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UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Ciências Aplicadas

CIDADE UNIVERSITÁRIA DE LIMEIRA

Cálculo II – LE203 - 2º Semestre – 29/11/09

Nome: Lucas Antonio Risso RA 091998

Professor: Dr. Márcio Antonio de Faria Rosa

2009

SUMÁRIO

Nota do autor 3

Apresentação 4

Introdução 5

A escrita dos comandos 6

Tabela de símbolos 7

Comandos elementares 8

Comandos úteis 10

Matrizes 12

Vetores 16

Gráficos 18

Gráficos 2D 18

Gráficos 3D 21

Limite 24

Derivada 25

Integral

O comando Manipulate

26

28

Usando o Mathematica sem escrever os comandos 29

Usos em outras áreas de conhecimento 31

Exercícios resolvidos 33

Considerações finais 37

Bibliografia 38

Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 2

NOTA DO AUTOR

Ao ingressar em um curso de graduação, a vida de todo estudante altera-se de forma

significativa. Em um primeiro momento, alguns já se deparam com o dilema de ter que optar por

uma ao invés de outra instituição, isso porque, há poucos meses, a dificuldade talvez fosse a

escolha da carreira a ser trilhada. Além disso, existe também o desafio de, na maioria dos casos,

estruturar sua vida em outra cidade, inclusive passando a morar com alguém que até então

sequer conhecia.

Neste sentido, alguns preferem encarar a situação com otimismo, literalmente como uma

aventura prazerosa, afinal o vestibular já passou. Eis que surge o choque com a realidade: os

tempos são outros, a situação é completamente distinta de todas as outras experiências já

vivenciadas.

Chegara ao fim a rotina colegial de estudar na véspera da prova. E a princípio, toda

dedicação aparenta ser insuficiente quando a disciplina em questão é o Cálculo, o qual eu arrisco

dizer que aos poucos irá construir uma relação de amor e ódio com o calouro dos cursos de

exatas.

A fim de amenizar a situação, para alguns, cômoda até que se acostume com o ritmo da

nova jornada, foram criados programas computacionais de cálculo matemático, cujo objetivo é

auxiliar o estudante, buscando dinamizar e atribuir maior produtividade às longas e necessárias

horas desprendidas para o aprendizado do Cálculo.

Logo, o objetivo exclusivo deste tutorial é poder facilitar o primeiro contato com o

Mathematica®, um dos líderes do segmento de programas ligado ao ensino e a aplicação dos

fundamentos das disciplinas ligadas ao Cálculo.

Portanto, de antemão, esclareço que as instruções aqui disponibilizadas são de caráter

primitivo, buscando ao menos incentivar o uso desta útil ferramenta, e tomara que reduzir a

quantidade de equívocos no preenchimento e uso dos comandos.

Mathematica® é uma marca registrada da Wolfram Inc. A partir desta nota, cairá em desuso o símbolo de marca

registrada (®).


APRESENTAÇÃO O QUE É O MATHEMATICA?

O software Mathematica, ao lado de outros igualmente conhecidos, como Maple, Máxima,

Octave, MatLab, Mupad etc é um CAS (Computer Algebraic System), nas entrelinhas, algo como

um Sistema Algébrico Computacional.

Um CAS é um programa que busca facilitar o cálculo em matemática simbólica, ou seja,

através de um CAS, é possível calcular com a mesma formalidade do cálculo no papel, seguindo-

se as mesmas regras, e nas versões mais modernas, utilizando-se das mesmas notações.

Este tutorial foi desenvolvido para mostrar alguns conceitos do Mathematica, bem como

possibilitar, para um estudante de exatas, um melhor uso de seus recursos para o estudo de

Cálculo e disciplinas relacionadas. Ainda assim, é válido citar que a versão mais recente

apresenta funções desenvolvidas em outras áreas de conhecimento, tais como finanças,

estatística, ciências biológicas, entre outras. As instruções que compõe este guia fazem

referência à versão 7.0.


INTRODUÇÃO

O Mathematica é um programa de vasta abrangência . O qual possui inúmeras funções, e

por sinal bem desenvolvidas. Podendo efetuar cálculos numéricos, operar expressões algébricas,

gerar uma grande variedade de diferentes tipos de gráficos, incluindo ainda a geração de

documentos com alta qualidade para impressão. Adicionalmente, sua poderosa linguagem de

programação de alto nível permite ampliar seu uso para aplicações que atendam a necessidades

específicas, como por exemplo, cálculo estrutural, séries temporais, redes neurais, entre outras.

O Mathematica é usado por milhões de engenheiros, analistas, cientistas, educadores e

estudantes, aliando uma capacidade computacional inigualada -- incluindo as mais rápidas rotinas

de álgebra linear do mercado – com uma interface avançada, conectividade com Java, .NET,

C/C++, XML e outras. Os recursos do programa incluem computação simbólica (operações com

literais) e numérica, otimização, programação linear, análises e visualização, com gráficos em

duas e três dimensões. Existem também recursos de uma linguagem de programação própria e

possibilidade de criação de documentos Web.

O formato de documentos no Mathematica ,chamado notebook, termo que significa

caderno em inglês, possibilita a geração de arquivos customizáveis para variadas plataformas

indicados para a produção de documentos de alta qualidade para publicação em mídia, seja esta

eletrônica ou impressa.

Uma sempre crescente biblioteca de aplicações (aplication packages) provê soluções

específicas para diversas áreas como engenharia, finanças, estatística, análise de dados, web, e

multi-processamento.

O Mathematica no Brasil está em uso em organizações importantes, como a Petrobrás,

Banco Santander, Furnas, Eletronuclear, Transpetro, CENPES, INPE, Embraer, entre outras. E

no âmbito acadêmico, Mackenzie, USP, UNESP, Unicamp, ITA, FGV, UFRJ já adotaram o

programa.


A ESCRITA DOS COMANDOS

O idioma do Mathematica é o inglês, logo a separação da parte inteira com a parte decimal

é feita usando-se um ponto (“.”) e não uma vírgula, como se utiliza no Brasil. O mesmo caso

acontece no emprego das funções trigonométricas, pela mesma razão o programa adota a

abreviação “Sin” para a função seno, assim como “Limit” refere-se ao cálculo do limite de uma

função.

Ao desejar-se estabelecer uma relação de igualdade entre os termos da direita e da

esquerda, é necessário escrever um duplo sinal de igual(“==”). Como alternativa de praticidade,

quando necessário utilizar o último resultado basta escreve no devido local, o símbolo de

porcentagem(„%‟), analogamente para o penúltimo (“%%”), e assim por diante.

Em tempo, para escrever um comando basta clicar na última linha, logo abaixo das outras

linha já foram utilizadas, digitando os processos que deseja realizar. Para nomear uma sentença,

a fim de reutilizar seu resultado, basta colocar uma letra antes da linha correspondente, como

será exemplificado à diante.

No Mathematica, a linha do comando é reconhecida e referenciada automaticamente como

„ln[n]:=comando inserido‟, enquanto o resultado da operação aparece como „Out[n]= resposta‟,

podendo essa ser dada tanto através de números como de símbolos.

No que diz respeito à execução de um comando, deve-se pressionar as teclas

SHIFT+ENTER, ou de modo equivalente, o ENTER do teclado numérico

Em seguida, atente-se a formatação utilizada para escrever um comando, que não seja

dos mais elementares: Comando[função,{variável,valor mínimo,valor máximo}]

Nota-se que a somente a primeira letra do comando deve ser escrita em maiúscula. Os

colchetes, as chaves e as vírgulas devem estar devidamente posicionados, caso contrário o

comando não será executado. O interessante é que o programa então acusará por meio de cores

qual o sinal faltante. Em caso da existência de mais variáveis, essas devem ser acrescentadas de

modo similar a primeira, atribuindo-se seus valores de mínimo e máximo, respectivamente,

conforme será exemplificado mais a frente. É aconselhável usar parênteses nas sentenças, ainda

mais quando o comando não funcionar na primeira tentativa.

Para incluir uma informação adicional que não deva ser levada em conta como uma

representação de dados basta escrever (*informação) nota-se que o escrito passará para a cor

cinza, como pode ser visto na seção “Exercícios resolvidos”.

Quanto às letras do alfabeto grego e alguns símbolos, para incluí-los basta apertar a tecla

ESC(escape), escrever o termo fornecido na tabela abaixo, onde se encontram apenas alguns

dos principais, e em seguida, usar novamente a tecla ESC.


TABELA DE SÍMBOLOS

Para obter o resultado, ou seja o símbolo desejado, digita-se Esc, o termo da coluna

“Comando” e novamente a tecla Esc.

Comando Resultado

int Símbolo de integral

sumt Símbolo de somatória

prodt Notação de Produtório

ee Notação de exponencial

mesmo que E.

ii Representação da unidade

imaginária, mesmo que I

inf Símbolo de Infinito

deg Símbolo de graus

elem Pertence

um União

inter Intersecção

a Alfa

b Beta

g Gama

d Delta minúsculo

e Épsilon

z Zeta

et Eta

th Teta

k Kapa

l Lambda

m Mi

n Ni

x Csi

pi PI

r Ro

s Sigma

t Tau

ph Fi

cph Fi(curvo)

c Chi

os Psi

o Ômega


COMANDOS ELEMENTARES

As descrições e indicações do programa Mathematica sugerem sua utilização para

cálculos e atividades avançadas, contudo o programa pode ser utilizado em casos elementares.

Isto é, resolvendo contas de natureza simples, e de extrema facilidade. Se comparado com uma

calculadora, a vantagem é que a tela de manipulação manterá os dados dos comandos e

resultados “anotados”.

Para executar as operações de soma e subtração, é necessário somente escrever os n

valores envolvidos acrescentando entre eles os sinais correspondentes às operações em

questão.

Quando o intuito é multiplicar n valores, o usuário pode simplesmente dar um espaço entre

os caracteres ou então recorrer ao uso do asterisco (*) para separá-los.

No caso da divisão, deve se escreve o dividendo e o divisor separados por uma barra, ou

seja, como uma fração. Contudo, isso não é o suficiente, já que assim o Mathematica interpretará

o argumento como uma constante, mantendo-o na forma fracionária. Para se obter o valor deverá

ser indicado o desejo de se obter o valor numérico, com o comando N[função], para saber o

número inteiro mais próximo do resultado usa-se o comando IntegerPart[função].

Assim como a multiplicação, a potenciação também pode ser feita através de dois modos

equivalentes. Pode se escrever o 23² como 23^2, ou então, usar o atalho no teclado pressionando

as teclas CTRL+6, digitar o valor do expoente, e em seguida a tecla direcional „→‟ para desabilitar

o cursor do espaço do expoente.


O Mathematica também apresentar dois métodos para o cálculo da raiz quadrada. O

comando específico Sqrt[função], ao passo que para raízes de outra ordem, utiliza-se escrever o

expoente “invertido”. Existe ainda, apenas para a raiz quadrada, a opção de usar o atalho

CTRL+2, e na seqüência preencher o valor dentro do radical.

O Mathematica é capaz de calcular o logaritmo de uma função especificada. O programa

adota como base padrão para o logaritmo a base e, ou seja, o logaritmo natural. Para se calcular

um logaritmo em uma base distinta deve ser declarada a base pretendida. Assim log10 40 é

representado como Log[10 ,40], e o logaritmo natural de 40 seria escrito como Log[40].

Novamente, é inevitável o uso do comando N[função] para se obter o valor numérico.

Usando o Mathematica é possível também calcular o fatorial de um número, ora dispondo

do comando Factorial[número] ou escrevendo diretamente “número!”.


COMANDOS ÚTEIS

Inicialmente, será reforçado o modo de usar o comando N[função], apresentado na seção

anterior e útil para se obter o valor numérico da circunstância matemática implícita no comando.

Ademais, também é possível obter o valor de constantes estabelecidas, como 𝜋 e ⅇ, por exemplo,

recorrendo ao método descrito na da página 7. Outra funcionalidade, é poder determinar o

número total „n‟ de algarismos apresentados para o resultado.

No que diz respeito à solução de equações, pode se empregar o comando Solve[função],

sempre lembrando da necessidade de colocar dois sinais de igualdade(“==”) na equação.

Próximo a este comando, existe o NSolve, com o qual é possível determinar o número de

algarismos do resultado, e também assumir o interesse em um resultado numérico.

Por excelência, para resolver sistemas mais complexos, leia-se com várias incógnitas, há

o comando RowReduce[função], o qual tem maior abrangência. Comando este que será

introduzido na seção de matrizes e vetores, juntamente com o método de representação de

vetores.

De ampla utilidade, é o comando Simplify[função], conforme o próprio nome já sugere,

capaz de simplificar os dados das expressões matemáticas. Caso este não seja suficiente, existe

ainda a alternativa seqüente, que corresponde ao uso do comando FullSimplify[função], o qual

torna possível a máxima simplificação. Note que no exemplo a seguir, fora aproveitada a

possibilidade de „reutilizar‟ o resultado anterior.


Para exibir simultaneamente dois resultados dados pelo Mathematica, sejam eles,

numéricos, simbólicos, vetores, matrizes ou até mesmo gráficos, usa-se o comando Show. Neste

sentido, é muito cômodo utilizar a nomenclatura dos comandos anteriormente trabalhados, ou

então as referências de antecessão, cujo uso fora explicado na seção “A escrita dos comandos”.

Encerrando está seção, porém não menos importante é a ferramenta de somatória (∑) de

uma série. Digita-se a tecla Esc, a designação “sumt”, e novamente a tecla Esc. Então, surgirá o

símbolo de somatória, e os campos que deverão ser preenchidos. Por critério de segurança, é

aconselhável colocar parênteses na função.


MATRIZES

Nesta seção serão descritos alguns dos comandos disponíveis no Mathematica para a

manipulação de matrizes, a qual tem origem a partir da criação de uma lista de dados. Logo, uma

matriz quadrada de terceira ordem teria sua lista de dados representadas da seguinte forma:

M(3x3) = {{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}

É notório que se representada uma linha por vez, para em seguida usar o comando

MatrixForm[lista], para então dispor os números. Mais uma vez, torna-se bastante útil nomear um

comando, ou usar o recurso de antecessão(%).

Existem vários comandos que facilitam às questões ligadas ao conceito de Matriz. Um

deles é o Inverse[matriz], o qual encontra, quando possível a matriz inversa, lembrando da

propriedade: , que equivale a .

De modo análogo, o comando Transpose[matriz] aponta a matriz transposta àquela que

fora informada.


Por hora, o comando MatrixPower[matriz,n] é capaz de a n-ésima potência da matriz dada.

Para calcular o determinante de uma matriz, aplica-se o comando Det[matriz], o qual

satisfaz o presente objetivo.

É possível ainda, através do comando IdentityMatrix[n], chegar a uma matriz identidade de

ordem „n‟ com maior praticidade.


O comando DiagonalMatrix[lista] cria uma matriz onde os elementos da diagonal são

determinados pela lista e todos os restantes são nulos.

Incluídos na área das matrizes, existem dois comandos capazes de, desde que tenha-se

equações suficientes, resolver sistemas com várias incógnitas, são eles: o RowReduce[matriz] e

o LinearSolve[matriz,vetor]. O primeiro emprega o método de Gauss, o qual resolve o sistema

através do escalonamento da matriz formada pelos coeficientes do sistema. Já para segundo,

representa-se os coeficientes das variáveis na forma matricial, e os números referentes ao

segundo termo como um vetor.

Sendo o sistema: 1𝑥 + 1𝑧 = 01𝑥 + 1𝑦 = 1

2𝑥 + 3𝑦 + 1𝑧 = 0

, já se sabendo que 𝑥 =3

2, 𝑦 = −

1

2 e 𝑧 = −

3

2.


As operações básicas envolvendo matrizes são feitas de modo muito simples, semelhante

ao método usado para números reais. Veja:


VETORES

De modo idêntico as matrizes, os vetores são constituídos a partir da formação de uma

tabela de dados, onde são informadas as coordenadas de cada vetor. A seguir serão

apresentados alguns dos comandos que o Mathematica dispõe para o tratamento vetorial.

Novamente, é importante denominar com letras a linha corresponde a cada vetor, conforme

segue:

O produto vetorial é calculado usando o comando Cross[vetor1,vetor2], ao passo que a

multiplicação de um vetor por um escalar é feita da mesma forma que a multiplicação entre

escalares, desde que assumidas as coordenadas do vetor a ser multiplicado.

O Produto Escalar de dois vetores usa o comando Dot[vetor1,vetor2], ou então, pode ser

obtido incluindo, invariavelmente, um simples ponto(„.‟) entre as coordenadas dos vetores

envolvidos.

Existe ainda o comando específico para o cálculo do módulo de vetor, descrito como

Norm[vetor].

Usando o Mathematica, também é possível calcular o ângulo entre dois vetores,

recorrendo-se ao comando VetorAngle[vetor1,vetor2].


O comando VectorPlot permite a visualização de um campo vetorial, em duas

dimensões, enquanto o VectorPlot3D possibilita a vizualização em três dimensões. Serão

mostrados dois exemplos, sem um maior aprofundamento, servindo apenas como um breve

complemento.


GRÁFICOS

Esta seção abordará uma das principais áreas de contribuição do uso do Mathematica

durante um curso de Cálculo, a plotagem de gráficos em duas dimensões e em três dimensões.

De modo informal, pode se afirmar que um gráfico nada mais é do que um traço da união dos

pontos da função em um plano cartesiano.

Os gráficos de funções podem ser em duas ou três dimensões, dependendo da quantidade

de variáveis presente na função, e suas respectivas ordens. Neste instante, também serão

abordadas as curvas parametrizadas.

Existe uma gama de comandos, sendo a escolha feita de acordo com a natureza da

função que será plotada.

GRÁFICOS 2D

Os gráficos em duas dimensões, em sua maioria, apresentam como variáveis x e y,

estando o valor de uma relacionado ao da outra, ou seja, um par ordenado. As formas dos

gráficos, dependem do grau da variável. Assim, funções de primeiro grau formam uma reta, para

funções do segundo grau tem-se uma parábola, entre outras tantas formas possíveis.

A seguir, serão dadas as instruções para o uso dos quatro principais comandos para a

plotagem de gráficos em duas dimensões.

O primeiro a ser comentado é o comando Plot, cujo uso segue a seguinte forma:

Plot[{função},{variável,valor mínimo, valor máximo}]. No segundo exemplo, pode ser observado a

plotagem de duas funções simultaneamente, o que equivale ao uso do comando Show.


Quando a superfície em questão necessita estar ou está na forma parametrizada, o

comando empregado é o ParametricPlot. Fundamentado de forma semelhante ao comando Plot,

conforme segue : ParametricPlot[{função},{variável,valor mínimo, valor máximo}]. Porém neste

caso os valores da de máximo e mínimo da variável devem ser informados em radianos.


O comando PolarPlot também é escrito de forma análoga, porém destas vezes os extremos da variável deve ser dado em termos do valor do ângulo da função, então: PolarPlot[{função},{ângulo,valor mínimo, valor máximo}].

Encerrando esta seção, surge o comando ContourPlot, o qual conforme será visto adiante,

é bastante útil para a visualização das curvas de nível de uma função. Este comando é

preenchido da seguinte maneira: ContourPlot[função,{var1,min,max},{var2,min,max}]. Como pode

ser observado, necessitando o conhecimento de informações sobre duas variáveis.


GRÁFICOS 3D

Quando a função tem dependência de duas variáveis, torna-se inevitável a adição de outro

eixo cartesiano. Sendo assim, tem-se a construção de um gráfico em três dimensões. Os

comandos usados para a plotagem em três dimensões são de uso análogo aos usados para 2

dimensões, porém desta vez, há um trecho adicional contendo as informações da segunda

variável.

Iniciaremos novamente pelo comando Plot, apresentando a versão Plot3D, cuja escrita

obedece ao seguinte padrão: Plot[{função},{var1,min1, max1},{var2,min2,max2}]. No segunda

imagem, mais uma vez pode ser observado a plotagem de duas funções simultaneamente, o que

como já fora dito na seção anterior, equivale ao uso do comando Show.


Analogamente, existe o comando para a representação de funções paramétricas em três

dimensões, denominado ParametricPlot3D. Descrito da seguinte forma

ParametricPlot[{função},{var1,min1, max1},{var2,min2,max2}], porém desta vez envolvendo

coordenadas polares.

O comando SphericalPlot gera uma plotagem de raio esférico como uma função de

cordenadas esféricas, de acordo com a seguinte escrita: SphericalPlot3D[função relativa ao

raio,{𝜃,min,max},{𝛽,min,max}]. Na imagem abaixo, foram fornecidos três valores para o raio, de

uma só vez.


LIMITE

O Mathematica executa o cálculo do limite de uma função através do comando

Limit[expressão,x->x0], sendo que x0 pode ser um número real, uma expressão, ou o termo

infinito, cuja simbologia é obtida usando a sequência Esc, inicial “inf”, e novamente a tecla Esc. A

seta(->) incluída é feita utilizando-se os sinais de menos(-) e de maior(>).

Tomando como exemplos 2

3

1

1lim

23

3

1

xxx

x

xe 3

94

733lim

2

2

xx

xx

x, observe os devidos

procedimentos:

Como não poderia faltar, há também um meio de se obter o cálculo dos Limites laterais de

uma função, isto é, através da opção „direction‟, seguida do valor „-1‟(para limites laterais à direita)

ou „+1‟ (para limites laterais à esquerda). Logo, o comando varia para: Limit[expressão,x-

>ponto,Direction-> ±1]. Esta opção torna-se muito útil para o cálculo das assíntotas de um gráfico,

por exemplo. Sendo 1

1lim

21 xx

e 2

1lim

2 xx, assim:


DERIVADA

A derivada de uma função é a pode ser enunciada como a medida da inclinação de sua

reta tangente em certo ponto pertencente à função. De uma maneira mais objetiva, a derivada de

uma função é a taxa que representa quão rápido ou devagar a função varia.

Ao invés de um número, na maioria dos casos as funções apresentam como derivada uma

nova função, a qual é capaz de fornecer diversas informações sobre a função inicial. Por

exemplo, a derivada de uma função também é útil para identificar pontos de máximo e mínimo da

função, e para saber outras informações da função, tal como a concavidade de uma curva.

O Mathematica usa o comando D[função,variável] para o cálculo de derivadas. Para o

cálculo de derivadas de ordens superiores, aconselho o uso da referência do termo antecedente,

dada pelo símbolo de porcentagem(%).

Para o cálculo das derivadas parciais usa-se o mesmo procedimento, porém desta vez,

expressando em seguida a outra variável.


INTEGRAL

O ensino da integral de uma função é introduzido, a fim de facilitar a interpretação,da como

sendo a função inversa da derivação, daí vem o termo antiderivação. Dentre ss principais

aplicações, as integrais assumem ampla ligação com a área de alguma superfície ou o volume de

algum sólido, e também origina muitas modelos da Física, por exemplo.

Quando os extremos de integração são declarados ou podem ser obtidos, a integral é

classificada como definida. Em contrapartida, quando não se tem conhecimento dos tais extremos

a integral é do tipo indefinida, e então chega-se há uma nova função acompanhada de uma

constante.

As funções mais especificas, trigonométricas, logarítmicas, entre outras, também podem

ser integradas, porém exigem critérios mais aprofundados e o uso de tabelas de integrais,

contidas nos apêndices que compõem o final do livro.

No Mathematica, o comando usado para o cálculo de integrais é o Integrate, escrito do

seguinte modo: Integrate[função, {x, xmin, xmáx}]. Em caso de integrais múltiplas, declaram-se as

variáveis de acordo com a ordem de integração, e seus extremos de modo análogo ao primeiro.

Logo, chega-se há formatação, semelhante a esta: Integrate[função, {x, xmin, xmáx},{y, ymin, ymáx},{z,

zmin, zmáx}], supondo as variáveis x,y e z, nesta ordem. Para obter o símbolo de integral(), usa-se

a seqüência, Esc, a inicial “int”, e a tecla Esc.


Para obter o símbolo de integral para apenas preencher os valores, usa-se a seqüência,

Esc, „intt‟, Esc, para as integrais indefinidas, e Esc,‟dintt‟,Esc, para as integrais definidas. Neste

caso, particularmente, julgo que para as integrais múltiplas é interessante utilizar os referências

de antecedência, já mencionados, e feitas através do uso do símbolo de porcentagem(%).


O COMANDO MANIPULATE

O comando Manipulate merece destaque devido ao fato de possuir uma interface capaz

de promover uma visão interativa da variação de uma função, diga-se de passagem, um vídeo

mostrando como a figura é construída.

Para isso, é necessário o acréscimo de um parâmetro, o qual será o responsável pela

alternância da variável. A escrita do comando Manipulate é a seguinte:

Manipulate[Comando[função,{variável, mínimo, máximo},{variável, mínimo, novo

parâmetro}],{novo parâmetro, mínimo, máximo}].Observe a aplicação do comando Manipulate

para uma rosácea:

Em seguida, veja a possibilidade de visualização através do comando Manipulate, serão

mostradas quatro imagens de diferentes estágios da animação.


USANDO O MATHEMATICA SEM ESCREVER OS COMANDOS

Até então, todas as instruções sobre a manipulação dos comandos fora feita apenas

através da escrita destes. Entretanto, o Mathematica também disponibiliza um meio mais prático,

e inclusive eficaz em caso de falta de conhecimento para a execução de uma tarefa usando o

programa.

Contida na barra superior, está a opção “Palettes”, cuja primeira sub-opção, denominada

„Basic Math Assistant‟, a qual expandirá consideravelmente os horizontes do usuário sobre os

procedimentos e habilidades do programa.

Através do „Basic Math Assistant‟ é possível ter acesso aos comandos e suas

propriedades. Além disso, para a maioria dos comandos, ao ser aproximado o mouse, é

apresentada a designação para obtê-lo utilizando o teclado, como pode ser visto para o comando

Factorial. Em casos, também é disponibilizada uma breve explicação. Ainda observando a

imagem acima, nota-se que pode obter, imediatamente, desde simbologia matemáticas, até os

comandos para serem somente preenchidos, passando ainda por formatos de matrizes.


Abaixo seguem demonstrações de comandos que precisam somente ser preenchidos,

para em seguida, serem executados normalmente. Os comandos abordados são

ParametricPlot, Plot3D, uma matriz 3x3, uma integral definida, comando de

simplificação(Simplify) e o a opção de derivada parcial. Na sequência, é mostrado como obter

diretamente os símbolos e representações, usando também a opção „Special Characters‟, a

qual apresenta uma barra com muitas possibilidades.


USO EM OUTRAS ÁREAS DE CONHECIMENTO

É um absurdo equívoco julgar o Mathematica como uma simples calculadora, ou então

como um programa útil apenas para as Ciências Exatas. Sendo assim, esta seção foi incluída

como critério de complementação, a fim de mostrar a aplicação do Mathematica em outras áreas

de conhecimento.

Dentre um amplo leque de possibilidades, foram escolhidos exemplos relacionados às

Ciências Biológicas e à Gráficos de Estatísticas.

Abaixo, segue a plotagem da estrutura molecular das proteínas „KLKB1‟ e „A2M‟, note que

é necessário um carregamento de dados para a execução do comando.


Em seguida, será abordado rapidamente, simplesmente para caracterizar a abrangência

do programa, a criação de um gráfico de barras em três dimensões. Em um primeiro momento,

será carregado, do banco de dados do servidor, um modelo de um clássico bule de chá de Utah.

Em seguida, será plotado um gráfico de barras no qual a figura será empregada como elemento

gráfico, conforme segue:


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Nesta seção, serão apresentados exemplo de resoluções de exercícios usando o

Mathematica. Retirados do livro Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3 de C. H. Edwards, Jr.

E David E. Penney, da editora LTC®.

14.2 – Esboço de curvas de nível, exercícios 25 e 30, respectivamente.

14.4 – Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem de cada função, exercícios 3 e 14.

Achar a equação do plano, tangente a superfície no ponto indicado, exercício 39

. Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 33

14.5 – Determinar toso ospontos da superfície dada, em que o plano tangente é horizontal, exercício 8.

Determinar o ponto mais alto ou o ponto mais baixo na superfície de equação dada, exercício 13.

14.8 – Determinar o vetor gradiente da função no ponto P indicado, exercício 1.

Determinar a derivada direcional de f em P na direção de v, exercício 11.

Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso

34

Determinar a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre, exercício 21.

15-1 – Calcule as integrais iteradas, exercícios 17 e 20.

15.2 – Calcular a integral iterada, exercício 9, utilizando a ferramente Basic Math Assistant.

Esboçar a região de integração, em seguida inverter a ordem de integração e finalmente, calcular a integral resultante, exercício 17.


15.3 – Usar a integração dupla para achar a área da região do plano xy delimitada pelas curvas dadas, exercício 3.

Determinar o volume do sólido abaixo da superfície z=f(x,y) e acima da região do plano xy delimitada pelas curvas dadas, exercício 19

15.4 – Utilizar a integração dupla em coordenadas polares para achar o volume do sólido delimitado, acima pela superfície dada e, abaixo, pela região plana R limitadas pela curva dada, exercício 9.

15.6 – Esboçar o sólido delimitado pelos gráficos das equações dadas. Ache então seu volume por integração tripla.


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Espero que a leitura deste tutorial seja de um mínimo proveito para cada usuário que

acessá-lo, e desde já agradeço por tê-lo acessado.

Qualquer comentário a ser feito, desde críticas construtivas até correções, podem ser

enviadas para o email [email protected] , caso seja pertinente, o ajuste poderá ser

feito já na próxima revisão.

Aliás, os planos para a primeira revisão incluem a ampliação da seção “Exercícios

resolvidos”, a apresentação de novos comandos e a introdução de opções de formatação.

Enfim, ficam os votos de um bom trabalho usando o Mathematica. Mantenha-se sempre

focado, buscando seus objetivos, quaisquer que sejam estes. Afinal, “O único lugar onde o

sucesso vem antes do trabalho é no dicionário”.(Albert Einstein)

Lucas Antonio Risso Novembro/2009


http://www.pensador.info/autor/Albert_Einstein/

BIBLIOGRAFIA

Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3 de C. H. Edwards, Jr. E David E. Penney,da Editora LTC®. Wolfram Research, Inc - www.wolfram.com

Site do Professor Dr. Márcio Antonio de Faria Rosa - www.ime.unicamp.br/~marcio Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 38

http://www.wolfram.com/

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