TUTORIAL

MATHEMATICA 5.1

-Novembro 2005-

Nome: Meire Hellen de Souza Ra: 045379 Disciplina: MA111/C

Prof: Márcio Rosa

Introdução

Venho através deste tutorial, expor alguns comandos interessantes do Calculo I, como ocomputo de limites, derivadas e integrais no software Mathematica.

Esse tutorial não aborda todos os comandos e recursos do software, visto que este é muitosofisticado e de grande abrangência.

Além dos cômputos mencionados acima, o tutorial também conta com uma introdução, ondesão expostos cálculos mais simples, afim de que se possa entender os comandos básicos dosoftware.

Este tutorial também aborda a construção de gráficos e a resolução de equações poraproximações gráficas.

Durante as explicações, foram usados exemplos simples, com a intenção de facilitar oentendimento dos mesmos.

O que é o Mathematica?

Mathetimatica é um ambiente de desenvolvimento altamente integrável à computaçãotécnicas. Sua primeira versão em 1988 teve grande importância na forma como os computadoreseram usados na área técnica e em diversos outros campos.

Costuma-se dizer que o lançamento do Mathematica iniciou a era moderna da computaçãotécnica.

Desde a década de 1960, existem pacotes individuais para tarefas numéricas, algébricas,gráficas, entre outras, mas o Mathematica permitiu que diversos conceitos fossem manipulados deuma só maneira. Este avanço intelectual só foi possível com a invenção de uma linguagem deprogramação simbólica que permitia pela primeira vez o processamento de uma grande variedade deobjetos de computação científica utilizando um número pequeno de diretivas básicas.

Com a chegada do Mathematica 1.0, o New York Times escreveu “a importância doprograma não pode ser omitida” , e mais tarde o Business Week classificou o Mathematica entreos dez mais importantes produtos desenvolvidos naquele ano. O Mathematica também éreconhecido pela comunidade técnica como a principal revolução prática e intelectual.

No início seu impacto foi sentido nas áreas de ciências físicas, engenharia e matemática,mas, com o passar dos anos, ele se tornou importante em diversos campos, sendo utilizado hoje porcientistas de incontáveis campos, entre eles física, biologia, e ciências sociais, tendo um papelcrucial em muitas descobertas importantes, e tem sido base para milhares de artigos técnicos.

Em engenharia, ele se tornou uma ferramenta padrão tanto para o desenvolvimento comopara produção, e em muitos dos novos produtos confiam uma ou outra etapa do desenvolvimento aoMathemática. No comércio, ele tem um papel importante no desenvolvimento de sofisticadosmodelos de financiamento, bem como em muitos tipos de planejamento e análise. O Mathematicatambém mostrou ter grande importância para a ciência da computação e desenvolvimento desoftware. Os elementos de sua linguagem são largamente utilizados em pesquisa, prototipagem einterface de desenvolvimento.

A maioria dos usuários do programa consistem em profissionais técnicos, mas também élargamente utilizado em educação, havendo diversos cursos em nível médio e graduação baseadosnele. Com a adição da disponibilidade de licenças estudantis, o Mathematica tornou-se umaimportante ferramenta tanto para estudantes técnicos ou não em todo mundo.

A diversidade de usuários é surpreendentes. Ela se alastra por todo os continentes e diversasgerações, incluindo artistas, compositores, lingüistas e advogados. Também há pessoas que temcomo hobby o interesse por ciências matemáticas e computação. Para elas o Mathematica faz partede suas vidas.

Desde seu lançamento a base de usuários do Mathematica tem crescido constantemente,sendo hoje milhões . Ele se tornou padrão para diversas companhias, dentre elas as 50 mais ricas,todos os 15 departamentos do governo dos EUA e as 50 maiores universidades do mundo.

No nível técnico, Mathematica é reconhecido como o principal feito em engenharia desoftware. Ele está entre as melhores aplicações simples já desenvolvidas, e contém uma grandevariedade dos mais recentes algoritmos e das mais importantes inovações técnicas. Entre estasinovações podemos citar uma plataforma independente de documentos interativos conhecida comonotebooks que se tornaram padrão para diversos tipos de notas de aula e relatórios, e com essasnovas capacidades incluídas a partir do Mathematica 3.0 eles se desenvolveram como um modelogeral para publicações de documentos técnicos na web ou em qualquer outro lugar.

O desenvolvimento do Mathematica foi levado para fora da Wolfram Research por umaequipe liderada por Stephem Wolfram. O sucesso do projeto tem alimentado o crescimentocontínuo da empresa, e tem permitido o desenvolvimento de uma grande comunidade independentede negócios relacionados com o Mathematica. Existem hoje próximo de uma centena de pacotesespecializados disponíveis comercialmente para o Mathematica, bem com muitos periódicos emais de duas centenas de livros dedicados ao sistema.

Texto retirado de “Mathematica guide”

Como obter o Mathematica

O software Mathematica pode ser encontrado no seu site oficial: http://www.wolfram.com/ .O software não é gratuito, mas pode-se baixar uma versão-teste grátis, para experimentá-lo

durante 30 dias.

Na instalação, o Mathematica cria sozinho um atalho no menu Programas:

Para acessá-lo, basta clicar em Mathematica 5.1.

Como obter ajuda

No menu do Mathematica 5.1, temos várias opções.

Clicando em Help Browser, aparece a seguinte tela:

Nela podemos escrever (em inglês) o que desejamos procurar.Também podemos usar o Mathematica Help Browser como uma janela de comandos, ou

seja, ele executa comandos da mesma forma que a janela de comandos.Clicando em Starup Palette, podemos encontrar o Ten-minute Tutorial, em inglês, porém

muito fácil de entender. Ele possui 23 slides e dá explicações e exemplos rápidas sobre algunscomandos.

Se desejar que ao iniciar o Mathematica o Starup Palette não apareça, basta não selecionar oDisplay this window at startup.

No Startup Palette, podemos clicar em What's New in 5.1 | 5.0, vemos o que há de novoentre a versão 5.1 e 5.0, além disso, no final da tela temos vários links que servem como ajudatambém.

Ainda no Startup Palette, podemos ir direto ao site do Mathematica, basta clicar em Website.

Em FILE, além das opções de abrir uma nova janela de comandos, fechar, salvar, etc,podemos selecionar a opção PALETTES.Nela encontramos 9 opções. Para que está iniciando o uso do Mathematica as mais úteis são:AlgebraicManipulation, BasicCalculations, BasicImput e a BasicTypesetting.

O BasicInput que contém símbolos como de integração e de derivação. Alguns símbolos têmum quadradinho (ou mais que um), que é para se preenchido com números ou variáveis, para issobasta clicar com o cursor do mouse sobre cada quadradinho e digitar em seguida. Dando Tab noteclado, o próximo quadradinho é selecionado.

Sempre que uma janela do Mathematica é minimizada, ela não vai para a barrade tarefas, e sim para o canto inferior esquerdo da tela, a menos que se tenha minimizado o menu.

Executando comandos no Mathematica

Para que um comando seja executado, devemos digitá-lo e pressionarSHIFT+ENTER, se digitarmos apenas ENTER, pularemos de linha.

Veja o que acontece quando somamos 3 e 8 no Mathematica:

Quando damos um comando no Mathematica, aparece na tela espressões do tipo: In[2]:=,Out[2], e também colchetes alongados, cada um desses símbolos representam algodiferente:

As operações no Mathematica

Para a operação de soma, utilizamos o sinal "+":

Para a operação de subtração "-":

Para divisão, utilizamos "/" :

Para multiplicação podemos utilizar "*" ou usamos um espaço vazio:

Quando a multiplicação for entre números e variáveis, não é necessário utilizar nem espaçonem "*".

Multiplicação envolvendo números entre chaves também não é necessário que se empreguetanto espaço quanto "*"

.Podemos também efetuar operações de potenciação, com o sinal "̂ ".

Para indicar números decimais, utilizamos o "ponto" ao invés da "vírgula".Sempre que houver uma entrada em decimal, o Mathematica dará a resposta em decimal.

Quando quisermos uma resposta em decimal, devemos dar o comando N[i], onde i pode serum número, uma função ou uma expressão.

Se quisermos uma resposta em decimal, porém com um número certo de dígitos, utilizamosN[i,k], onde k é o número total de dígitos.

Além desses, também podemos utilizar //N.

O uso de chaves, parênteses, colchetes, asterisco, porcentagem e outroscaracteres

Para indicar a prioridade das operações, não devemos utilizar chaves nem colchetes,devemos utilizar somente parênteses:

É o mesmo que:

Os argumentos dos comandos ou das funções são expressos entre colchetes "[]"As chaves são utilizadas para expressar listas.Também utilizamos chaves para mencionar intervalos, da seguinte forma:

{variável , começo do intervalo , final do intervalo}.Ex:{1,6,9,7} representa uma lista de 4 números.{x, 2, 8} deve ser entendido como: o "x" vai de 2 até oito.

Podemos escrever comentários na janela de comandos, colocando os comentários entrechaves e asterisco:

Quando se quer utilizar a última saída de algum comando, não é necessário reescrevê-la,basta digitar o caracter "%":

"%%" representa a penúltima saída:

"%%%" a antepenúltima saída, etc.

"!" significa fatorial. Para calcular o fatorial de um número escrevemos o número e emseguida "!" e pressionamos SHIFT+ENTER:

"=" não significa o sinal de igualdade usual, "=" atribui o valor do lado direito do sinal para avariável que está no lado esquerdo. Utilizamos esse comando quando queremos utilizar ovalor atribuído apenas uma vez.

":=" também significa atribuição, porém este é utilizado quando vamos utilizar a expressãomais vezes.

"= =" sim significa igualdade."<" significa menor">" significa maior"<=" significa menor ou igual">=" significa maior ou igual"./" é utilizado para substituir uma variável por um número:

Onde %/.x->5 deve ser entendido como “%” representando onde se quer colocar a variável,“/.”como o comando de substituição, “x->” é a variável que será substituída e “5” o que entrará nolugar da variável.

Note que foi usado %% no segundo comando pois queríamos substituir x por 4 naantepenúltima saída (X^2) e não na ultima (9).Obs: a seta foi obtida utilizando-se o sinal de menos “-” e o sinal de maior “>”.

Os comandos

Todos comandos devem começar com letra inicial maiúscula.

Ex: Integrate[], D[] (derivação) , Plot[], ParametricPlot[], Expand[],Simplify[], Clear[], Factor[], FactorInteger[], Solve[].

Alguns desses comandos serão explicadas abaixo, outras terão sua explicação expostasquando for mais conveniente:

Expand[] nos fornece uma equação equivalente a de entrada, porém expandida:

Simplify[] simplifica e expressão de entrada:

Factor[] retorna a expressão fatorada, ou seja, em sua forma irredutível:

FactorInteger[] fatora o inteiro fornecido, retornando os fatores primos e seus respectivosexpoentes:

Solve[] resolve equações:

Note que utilizamos Solve[equação] e também Solve[equação,variável] e ambos retornaram ummesmo valor, pois quando estamos resolvendo uma equação com apenas uma variável, não énecessário declararmos em relação a que variável estamos querendo resolver.

Resolvendo a mesma equação em relação a variáveis diferentes:

Às vezes, o comando Solve não consegue resolver uma equação dada:

Então temos que utilizar o comando NRoots[]ou Nsolve[]:

Obs: os dois comando acima retornam o mesmo resultado.

Ao invés de usar o NRoots[], poderíamos ter usado o //N:

Funções do Mathematica

Assim como comandos, as funções também devem ser declaradas com inicial maiúscula:

Sqrt[n] calcula a raiz quadrada de n:

Note que tivemos que forçar o Mathematica a nos dar a resposta dando o comando //N.

Sin[n] , calcula o seno de n:

Assim como no Sqrt[n], temos que usar //N para obter uma resposta mais satisfatória.Note que, embora tivéssemos, em ambos os casos, calculado o seno de 45, quando usamos o

sinal “°”(grau), obtivemos um resultado diferente. Isso ocorre porque o Mathematica entende 45como 45 radianos, apenas quando colocamos o sinal de grau que ele calcula o seno de 45°, issotambém vale para quando estivermos calculando as outras funções trigonométricas: Cos[n] paracosseno; Tan[n] para tangente; Sec[n] para secante; Cosec[n] para cossecante e Cotan[n] paracotangente.

E representa o número natural e

Podemos obter e com quantas casas decimais quisermos:

Exp[n] calcula

Log[n] , calcula o logaritmo natural de n:

Para tirarmos a prova real, basta aplicarmos a inversa do logaritmo, ou seja a exponencial:

Abs[n], dá o valor absoluto de n:

I representa o número complexo i:

Pi representa p:

Algumas recomendações

O Mathematica diferencia letras maiúsculas de minúsculas:

O Mathematica é bem flexível quanto à se reescrever sobre comandos, ou seja, podemos darum comando e modificá-lo quantas vezes quisermos, porém, a saída do comando anterior se perde,dando lugar a nova saída.

Podemos recortar e copiar comandos, mesmo quando estes já foram executados.

Outra vantagem é quanto a cópia de gráficos, apenas clicando sobre eles com o botão direitopodemos copiá-los e colá-los onde quisermos facilmente.

Para aumentar ou diminuir o tamanho da letra, basta mudar a porcentagem na barra deestatus da janela de comandos.

COMANDOS INTERESANTES PARA O CÁLCULO I

DECLARANDO FUNÇÕES:

Para se declarar funções, damos o seguinte comando f[x_]:=expressão, onde f[x_]representa o f(x), e ao invés de =, utilizamos no comando := , aí então basta apenas escrevermos aexpressão:

Para sabermos o valor de da função f quando x é igual a 4, colocamos 4 entre os colchetes dafunção f:

Para que a função declarada deixe de existir, devemos utilizar o comando Clear[] daseguinte forma: Clear[f]

Note que depois de f ser apagada, quando introduzimos novamente o comando f[2], oMathematica entende isso como uma variável.

Após apagarmos uma função, podemos escrever uma nova função com o mesmo “nome” daanterior dando o comando:f[x_]:=nova_expressão

Teremos então uma nova função f(x).Obs: o comando Clear[] serve para apagar o registro de qualquer variável e não apenas apagarfunções:

O comando Clear[] pode e deve ser utilizado antes de qualquer comando, para se evitar usaruma variável que já foi usada com valor diferente.

COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Através de dois comandos podemos compor funções:Através do comando Composition[], formamos funções compostas a partir de duas ou mais

funções distintas:

Se quisermos formar uma função composta por ou mais funções iguais, utilizamos o Nest[]:

CALCULANDO LIMITES

O comando para se calcular limites é Limit[expressão, x-> x0]

O Mathematica calcula limites laterais, isto é, limites tendendo à esquerda ou à direita de umponto, para isso, temos que usar os comandos:Limit[expressão, x-> x0 , Direction->1 ]Limit[expressão, x-> x0 , Direction->-1 ]

Quando Direction->1, x tende a x0 pelo lado direito.Quando Direction->-1, x tende a x0 pelo lado esquerdo.

Também podemos calcular o limite de uma função já declarada , utilizando:Limit[f[x], x->x0, Direction->1]

Para calcular um limite quando a variável tende para o infinito, usamos:Limit[f[x], x->Infinity]

Obs: Devemos sempre tomar o cuidado de escrever Infinity com letra inicial maiúscula.

CALCULANDO DERIVADAS.

Com a ajuda do símbolo abaixo (que se encontra na BasicPalette), fica mais visível como secalcula uma derivada. Basta-nos clicar sobre cada quadradinho e preencher.

Ou então, podemos calcular derivadas com quatro comandos abaixo:

f'[x] computa a derivada da função f(x) em relação a x:

Obs: o símbolo que ' entre f e [x] é a aspas.

F''[x] computa a segunda derivada de f(x), etc.

D[f[x],x] computa a derivada de f(x) em relação a x também:

D[f[x],{x,n}] computa a n-ésima derivada de f(x) em relação a x:

Obs: para os três comandos acima, f(x) deve já ter sido declarada.

D[expressão, variável] computa a derivada da expressão em relação a variável:

Obs: nesse último caso, declaramos apenas a expressão e não a função.

CALCULANDO DERIVADAS IMPLÍCITAS

Calcular uma derivada implícita requer mais de um comando.Primeiramente, escrevemos Dt[expressão, variável_1], e damos SIFT+ENTER, depois

damos o comando Solve[] da seguinte forma Solve[Dt[expressão, variável_1] , Dt[variável_2,variável_1]] e novamente SIFT+ENTER.

onde: [Dt[variável_2, variável_1] equivale a

CALCULANDO INTEGRAIS

Assim como para calcular a derivada, podemos calcular integrais com ajudar dos símbolosdo BasicImput:

Outra forma é utilizar o comando Integrate[] da seguinte maneira:Integrate[expressão,variável] que calcula a integral indefinida de uma expressão;Integrate[expresão,{variável , início do intervalo , final do intervalo}]que calcula a integraldefinida da expressão:

Integrate[f[x],x] que calcula a integral de f(x) dx.Integrate [f[x], {x,a,b} que calcula a integral de f(x)dx de a até b.

PLOTANDO GRÁFICOS

Para se plotar gráficos de funções ou expressões, utilizamos o comando Plot[].

Plot[função já definida , {variável , início do intervalo , final do intervalo}]

Ou também podemos usar diretamente uma expressão, ao invés da função já declarada:Plot[expressão , {variável , início do intervalo , final do intervalo}].

MODIFICANDO OS GRÁFICOS

O Plot[] nos permite nomear o gráfico, colorir a curva , nomear eixos, etc.

Com Options[Plot] ficamos sabendo todas as opções que o Plot[] nos oferece:

Quando plotamos um gráfico com o comando Plot, o Mathematica “escolhe”automaticamente algumas opções. Nesse tutorial vou apresentar como modificar algumas dessasopções:

1. Para colocar nome no eixo, modificamos o AxesLabel:

2. Para dar nome à curva, modificamos o PlotLabel:

3. Para colorir a curva, modificamos o PlotStyle:

Obs: o primeiro número indica a quantidade de vermelho, o segundo a quantidade de verde e oterceiro a quantidade de azul.

4. Para modificar a espessura da curva, o Thickness:

5. Para tracejar, o PlotStyle->{Dashing:

6. Para o gráfico englobar toda a imagem, utilizamos o PlotRange->All:

7. Para selecionar um intervalo de imagem, PlotRange->{início da imagem , final da imagem}:

8. Para retirar a numeração dos eixos, Ticks->None:

9. Para por uma moldura no gráfico, Frame->True:

10. Para quadricular o gráfico, o GridLines->Automatic:

PLOTANDO MAIS DE UM GRÁFICO NO MESMO EIXO

Podemos também traçar mais de um gráfico no mesmo eixo de coordenadas, e com estilosdiferentes:

Obs: não devemos nos esquecer de mencionar as funções entre chaves e separadas porvírgulas.

AGRUPANDO GRÁFICOS

Podemos também traçar gráficos que já foram plotados com o comando Show[].Caso os gráficos ainda não tenham sido plotados, devemos dar o comando como no exemplo

a seguir:

Observe que o Mathematica plota cada gráfico para depois reagrupá-los com o comandoShow[GraphicsArray[].

GRÁFICOS DEFINIDOS POR MAIS DE UMA EQUAÇÃO

Podemos também traçar graficos definidos por mais de uma equação, para isso, podemos utilizar ouo comando Show[], ou o comando Which:

Com o comando Which:

Com o comando Show[]:

Obs: o comando Which[] considera a função como sendo contínua.

RESOLVENDO EQUAÇÕES POR APROXIMAÇÃO GRÁFICA

Para resolver equações por aproximação gráfica, devemos diminuir o intervalo de variaçãoda variável:

Diminuindo o intervalo, obtemos:

Se quiséssemos parar por aqui, já teríamos um resultado com uma casa decimal, porém,podemos diminuir ainda mais o intervalo:

Podemos concluir as aproximações e aceitar que a raiz da equação x³+5 seja -1,71, oucontinuar diminuindo os intervalos.

PLOTANDO GRÁFICOS 3D

O Plot[] também plota gráficos 3Dimensões:

Com Options[Plot3D] podemos ver as opções que o Plot3D nos mos oferece:

Da mesma forma que o Plot, podemos mudar a aparência dos gráficos produzidos peloPlot3D[].

Podemos ver os gráficos do Plot3D por outra perspectiva, para isso, posicionamos o cursordo mouse onde a figura indica e digitamos simultaneamente CONTROL+SHIFT+V.

MUDANDO O ÂNGULO DE VISUALIZAÇÃO DO GRÁFICO

Aparecerá uma nova janela, como a janela a seguir:

Arrastamos o cubo com o mouse até obter a posição desejada, clicamos em PASTE.Na janela de comandos vai aparecer ViewPoint->{ponto 1, ponto 2, ponto 3} ( ponto 1,

ponto 2 e ponto 3 correspondem às coordenadas theta, phi e r da jenela 3D ViewPoint Selector).

Devemos colocar uma vírgula antes de ViewPoint, pois o Mathematica não a colocasozinho.

Dando SIFT+ENTER, nosso gráfico se move seguindo as coordenadas passadas.

GRÁFICOS COM O PARAMETRICPLOT

O comando Plot já vem embutido no Mathematica, porém para traçar gráficos com equaçõesparamétricas, devemos usar o comando ParametricPlot, para isso é necessário carregarmos o pacoteque o contém.

Devemos primeiramente dar o comando:

Needs[“Graphics`Graphics`”]

Depois poderemos usar o comando ParametricPlot para traçar gráficosquantas vezes quisermos, desde que não fechemos o Mathematica.

O ParametricPlot também possui diversas opções e podemos acessá-las da mesma forma queacessamos as opções do Plot:

RESOLUÇÕES DE EXERCICIOS ATRAVÉS DO MATHEMATICA

Observe que declaramos a função A(r) e que foi dado o comando Simplify[] para se obteruma equação mais fácil de ser entendida.