UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

PROJETO A VEZ DO MESTRE

AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E SUA IMPORTÂNCIA PARA O

CONHECIMENTO MATEMÁTICO

Por: Maria das Graças de Mattos

Orientador

Prof. Ms. Carlos Alberto Cereja de Barros

Rio de Janeiro

2004

2

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

PROJETO A VEZ DO MESTRE

AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E SUA IMPORTÃNCIA PARA O

CONHECIMENTO MATEMÁTICO

Apresentação de monografia à Universidade Candido

Mendes como condição prévia para a conclusão do

Curso de Pós Graduação “Lato Sensu” em Docência

do Ensino Superior.

Por: Maria das Graças de Mattos

3

AGRADECIMENTOS

Agradeço , sobretudo a Deus, a quem

dedico toda a honra. Agradeço

sinceramente ao professor Carlos Cereja

pela paciência e esforço em nos mostrar

como devemos pôr em prática nosso

pensamento. Este trabalho foi executado

porque ele o permitiu orientando- me e

conduzindo-me.

4

DEDICATÓRIA

Algumas pessoas marcam a nossa vida

para sempre, umas porque nos ajudam

na construção , outras porque nos

apresentam projetos e outras ainda

porque nos desafiam a construí-los.

Quando nos damos conta, são tantas

pessoas a agradecer ! Dedico este

trabalho a todas as pessoas que, de

alguma forma contribuíram para o seu

desenvolvimento e conclusão. Dedico

principalmente a minha família , pela

compreensão , apoio e incentivo para

superar as dificuldades encontradas ao

longo do curso e alcançar este objetivo. A

felicidade desta conquista portanto, é

nossa.

5

“Os caminhos da libertação são os do

oprimido que se libera; ele não é coisa

que se resgata, é sujeito que se deve

autoconfigurar responsavelmente.”

Paulo Freire

6

RESUMO

Pesquisa-se o papel e a importância das equações algébricas em

relação ao conhecimento matemático em geral e à álgebra, em particular,

com uma exposição inicial sobre o que é a álgebra e qual o percurso

histórico, para em seguida discutir mais detalhadamente as equações

algébricas. Neste ponto, são consideradas as raízes e os graus das

equações algébricas, identificando-se o Teorema Fundamental da Álgebra,

o Teorema da Decomposição e as operações referentes à multiplicidade de

uma raiz, que podem se apresentar como raízes racionais com coeficientes

inteiros ou raízes complexas com coeficientes reais, finalizando-se esta

exposição mais específica com a apresentação das Relações de Girard.

Esboçadas estas considerações, discute-se a questão das equações

algébricas em seu nível didático, ou pedagógico, mediante a verificação dos

conteúdos de álgebra no atual ensino de matemática.

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METODOLOGIA

A Metodologia utilizada para a realização deste projeto foi uma

profunda pesquisa em livros de natureza científica e livros didáticos, já que

os trabalhos escritos sobre matemática e a álgebra em particular

permanecem restritos às publicações didáticas.Isto nos permitiu uma ampla

coleta de dados e informações que nos levaram a uma profunda análise

sobre o tema escolhido.

8

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 9

CAPÍTULO I

A ÁLGEBRA NO CONHECIMENTO MATEMÁTICO 12

CAPÍTULO II

A NATUREZA MATEMÁTICA DA ÁLGEBRA E SUA APLICAÇÃO 23

CAPÍTULO III

FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA 29

CAPÍTULO IV

A ÁLGEBRA NO ATUAL ENSINO DE MATEMÁTICA 39

CONCLUSÃO 43

ANEXO 46

BIBLIOGRAFIA 49

ÍNDICE 50

FOLHA DE AVALIAÇÃO 52

9

INTRODUÇÃO

A pesquisa ora iniciada focaliza o estudo das equações algébricas,

situando-se a Álgebra como um campo de notável destaque, ante o

conhecimento matemático como um todo. A demonstração das equações

algébricas constitui um dos pontos mais complexos do atual currículo de

Matemática, nos ensinos fundamental e médio e seu tratamento didático

nem sempre se revela estimulante o suficiente para motivar os alunos a

superar as dificuldades normalmente encontradas no decorrer da

aprendizagem desta disciplina.

Deduz, então, que o cerne do problema poderia estar não exatamente

na aprendizagem, mas, provavelmente, no processo de ensino comumente

realizado, sendo necessário repensar o tratamento didático dado à Álgebra e

as estratégias motivacionais a ela relacionadas. Parte-se, portanto, da

exposição conceitual para os aspectos práticos das equações algébricas,

desdobrando-se a discussão a partir da análise dos itens gerais do Teorema

Fundamental da Álgebra e as propriedades algébricas das raízes.

A pesquisa tem como objetivo geral analisar e discutir a importância

da Álgebra no atual ensino de Matemática, considerando-se a aplicabilidade

desta disciplina ante as competências e habilidades necessárias para o

educando se profissionalizar e se inserir na sociedade atual. Como objetivos

específicos, a pesquisa pretende verificar se o ensino de álgebra se mantém

imóvel ou se ocorrem modificações significativas, especialmente no tocante

ao tratamento didático deste campo do conhecimento matemático.

Deve-se ressaltar a importância da prática de exercícios algébricos

em relação ao desenvolvimento cognitivo dos alunos, sobretudo quanto ao

10raciocínio lógico e a capacidade de indução e dedução, uma vez que a

álgebra é tradicionalmente “a arte dos raciocínios perfeitos”. Situada a

questão também sob oeste aspecto, deve-se considerar com mais exatidão

o que é Álgebra, como se enquadra no contexto geral da Matemática e quais

os seus desdobramentos, bem como suas possíveis aplicações práticas.

O desenvolvimento desta pesquisa se justifica, sobretudo, pela

crescente necessidade de se analisar a pertinência dos conhecimentos

disciplinares e seus conteúdos ante as atuais expectativas do sistema de

ensino brasileiro, expressas nas concepções construtivistas e sócio-

interacionalistas que norteiam as abordagens educacionais do presente.

Definida geralmente como a parte da Matemática que estuda as leis gerais

da quantidade e suas implicações, a Álgebra situa-se mais propriamente

como a “ciência do cálculo das grandezas abstratas”, as quais são

representadas por letras.

Por isso são geralmente associadas à Álgebra sa noções de cálculo e

de incógnita, sendo bastante oportunas algumas considerações históricas

sobre o percurso da Álgebra desde os árabes até os dias atuais. Após estas

considerações, terá lugar uma exposição mais específica sobre o conteúdo

geral da Álgebra, apresentando-se as equações algébricas e seu enfoque

didático, ou pedagógico, conforme as orientações atualmente propostas pelo

sistema de ensino para o trabalho com a Álgebra, no contexto geral do

conhecimento matemático.

A metodologia empregada para a realização desta abordagem é a

pesquisa bibliográfica, recorrendo-se, portanto, apenas ás fontes escritas

sobre o tema em exame. Em geral, os trabalhos escritos sobre Matemática

geral, e sobre a Álgebra em particular, permanecem restritos às publicações

didáticas. Só mais recentemente se desenvolveram estudos ou pesquisas

orientadas numa reflexão de caráter mais conceitual ou filosófica a respeito

do tema, embora as bases do conhecimento algébrico remontem há cerca

11de dois mil anos e permanecem mais ou menos inalteráveis. As mudanças

ocorreram em termos de metodologia de ensino e de enfoque do conteúdo,

adequando os antiqüíssimos postulados fundamentais da Álgebra a

questões ou problemas da atualidade. Por outro lado, há bastante tempo

vêm sendo desenvolvidos estudos de caráter histórico sobre os diversos

campos da Matemática, inclusive a Álgebra , os quais servirão como

referencial teórico à presente pesquisa.

Uma obra de grande importância é A Magia dos Números, de Paul

Karlson, e a História da Matemática, de Carl L. Boyer, o primeiro

remontando aos anos 40 e, o segundo, ao final dos anos 60. Ambos

oferecem valiosos subsídios históricos para o desenvolvimento dos objetivos

propostos nesta pesquisa. Os apontamentos específicos de conteúdos

algébricos são apresentados com base na vasta abordagem de Antonio

Marmo de Oliveira e Agostinho Silva, no setor de Álgebra de sua Biblioteca

de Matemática Moderna, em cinco volumes, editados em fins dos anos 60.

Finalmente, as considerações de ordem didática resultam da análise

do terceiro volume dos Parâmetros Curriculares Nacionais, onde se

encontrará extensa abordagem sobre o atual enfoque da Matemática, seu

tratamento didático, aplicabilidade e relacionamento interdisciplinar. Será

mais especificamente nesta etapa da pesquisa que serão consideradas as

expectativas sócio-culturais referentes ao ensino de Matemática e sua

importância para as tecnologias digitais, que são a base dos processos

produtivos e informacionais da atualidade. O enfoque ora proposto deve,

portanto, conciliar os conteúdos tradicionais com a nova dinâmica da

sociedade tecnológica, cuja base é essencialmente matemática, para a

inserção do educando no mercado de trabalho e na sociedade cada vez

mais competitiva e globalizada.

12

CAPÍTULO I

Álgebra no Conhecimento Matemático

“A essência da Matemática é a”.

liberdade." Leopold Kronecker

13

O QUE É A ÁLGEBRA?

Fornece-se neste capítulo as informações preliminares necessárias à

compreensão básica da Álgebra e seu enquadramento dentro do

conhecimento matemático, traçando-se, também, uma exposição geral

sobre o percurso histórico deste campo de Matemática.

1.1- Considerações Preliminares

Define-se modernamente a Álgebra como sendo a parte da

Matemática que estuda as chamadas “funções algébricas”, isto é, as

relações que encerram combinações das operações matemáticas

fundamentais. A particularidade mais notável da Álgebra é a utilização de

sinais e caracteres alfabéticos, juntamente com os números, para formar a

expressão algébrica.

Os sinais são:

• Mais (+), para indicar a operação de adição

• Menos (-), para a subtração

• Os sinais (x) ou(.) para a multiplicação

• Os sinais (÷) ou (:) para a divisão

Existem ainda os sinais de radiciação(√) que, juntamente com os

anteriores, foram criados por Stifel e o de igualdade(=), adotado por Record.

Viète introduziu os sinais de (>) e menor (<) e René Descartes definiu de

uma vez por todas a notação exponencial (Descartes, 1983, p.91).

Juntamente com os anteriores, integram o conjunto geral de sinais utilizados

nas operações envolvendo números e letras.

14

O termo Expressão Algébrica é largamente empregado em Álgebra e

se refere a um conjunto de letras representando os números, ligados

através de sinais, como em 3 a²+4bc , em que o número escrito à esquerda

é chamado de “coeficiente algébrico” e o restante é a “parte literal”.

Assim sendo, em 4bc, número 4 é o coeficiente e bc é a parte literal.

Cada grupo que não apresenta o sinal de adição ou subtração separando

seus elementos, constitui um termo da expressão algébrica, de modo que

em 7x³+4y²+3z, tem-se três termos. A expressão algébrica receberá

diferentes designações, conforme apresentam um, dois ou três termos. A

expressão algébrica receberá diferentes designações, conforme o número

de termos que apresentar, podendo ser monômio, binômio, trinômio,

conforme apresentam um, dois ou três termos. Possuindo mais de três

termos, a equação algébrica é genericamente designada como polinômios.

O campo de aplicação da Álgebra é vastíssimo e se faz presente em

quase todas as partes da ciência, bem como nos cálculos de todos os

campos da Matemática (geometria, mecânica, teoria das funções, lógica). A

chamada “Álgebra Moderna” muito se desenvolveu graças às pesquisas

envolvendo a resolução de equações algébricas.

1.2- Percurso Histórico

A palavra álgebra é de origem árabe, porém os métodos algébricos

são bem anteriores à civilização árabe. Os babilônios resolviam problemas

de segundo grau e empregavam para seus cálculos a numeração de

posição com base 60, desde o segundo milênio antes de Cristo. As

possibilidades são limitadas apenas pelas imperfeições peculiares deste

15sistema numérico, que não chegam a ser maiores do que as imperfeições da

numeração decimal.

Os chineses dispunham de uma técnica semelhante ao cálculo dos

determinantes desde o século II a.C. para os problemas de primeiro grau

com várias incógnitas, mas só calculavam com números inteiros racionais ou

fracionários, empregando tanto os números negativos como os positivos. Os

hindus tiveram a Ariabata seu maior algebrista, introdutor de regras para a

extração de raízes quadradas e cúbicas, além da resolução de equações de

primeiro e segundo graus.

O mais antigo tratado algébrico surgido no Ocidente é o Diofanto de

Alexandria (séc.IV d.C.), quando a Álgebra se tornou um campo de

conhecimento independente e com rigor científico. Ao discorrer sobre as

origens da Álgebra, tal como esta se apresenta atualmente, sobressai-se à

figura quase que lendária de Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, matemático e

astrônomo árabe do século VII, que foi autor de A Arte de Calcular . Dele

provêm os termos mais usados em Matemática, tais como “algarismo”,

“algoritmo” e “álgebra” , conforme informa o alemão Paul Karlson, historiador

da matemática:

“Granada, Sevilha, Córdoba - eis três grandes escolas

mouras. De Córdoba, Atelhart levou uma tradução de

Euclides, bem como uma cópia da obra mais

importante de origem genuinamente árabe -

justamente a Arte de Calcular de Alchwarizmi. “Falou

Algoritmi. Rendamos graças merecidas a Deus, nosso

guia e defensor. ” Eis o que dizem as primeiras linhas

deste manuscrito, guardado na biblioteca de

Cambridge. Algoritmi nada mais é do que uma

corruptela o complicado nome árabe, Alchwarizmi (...)

‘Algoritmo’ é o primeiro nome que o sábio mulçumano

incorporou à nossa língua. Ele criou outro ainda, no

16 título de sua obra, para nós a mais importante,

Aldschebr Walmakabala, em português ‘Restauração

e confronto’. Esta palavra Aldschebr se filiou,

estropiada, à nossa língua- é a nossa ‘álgebra’.

(Karlson, 1961, p.160)

Omar Khayánn, poeta e matemático persa, tornou-se famoso pelo seu

livro de poemas intitulado Rubayát, mas no campo da Matemática, foi o

primeiro a resolver de modo sistemático uma equação de segundo grau.

Durante a Idade Média, as notícias mais remotas sobre a álgebra na Europa

Ocidental remontam às tradições relativas a um papa que também foi

matemático. Silvestre II, cujo papado ocorreu entre 999 e 1003, foi sem

dúvida um dos mais brilhantes pontífices da História, sobretudo por ter sido

um ardoroso cultivador das ciências físicas e matemáticas, numa época em

que prevalecia o fanatismo religioso e a superstição. Não por acaso, este

papa chegou a ser acusado de pacto diabólicos, devido aos seus

extraordinários conhecimentos científicos.

A Álgebra chegou com vigor ao Ocidente , contudo, somente no

século XVI, no período denominado Renascimento, quando os algebristas

italianos Nicolo Tartaglia (1500-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576)

resolveram equações de terceiro e quarto graus, ao mesmo tempo em que

Rafael Bombelli (1526-1573) criou uma primeira forma de números

complexos ou imaginários.

Essas descobertas começaram a ser difundidas quando Cardano

publicou uma importantíssima obra chamada Ars Magna, onde apresenta a

seguinte fórmula resolutiva para a equação x³+ ax +b=0 (Iezzi,[ ], p.[ ]):

____________ ___________

x = √ - b +√ b² + a³ √ - b + √ b² + a³ 2 4 27 2 4 27

17

O filósofo e matemático francês René Descartes simplificou e

sistematizou o cálculo algébrico, aplicando-o a problemas geométricos e,

com isso, criou a Geometria Analítica, em 1637. Enunciou as principais

propriedades das equações algébricas no terceiro livro de sua Geometria,

estabelecendo o princípio segundo o qual ”(...) uma equação algébrica tem

tantas raízes quanto seu grau tem unidades ”( Descartes, 1983, p.71). Para

isso, porém, é preciso admitir a existência eventual de raízes múltiplas e,

sobretudo, admitir a realidade matemática das raízes “imaginárias”.

Somente no século XVIII é que os algebristas puderam determinar

mais precisamente estas novas noções. Jean d’ Alembert enunciou o

Teorema Fundamental da Álgebra, ou princípio de Descartes (1746),

satisfatoriamente demonstrado, mas submetida por Gauss a uma rigorosa

crítica, em 1788. Gauss demonstrou rigorosamente que toda equação

polinomial de grau n (maior ou igual a um), possui pelo menos uma raiz

complexa. O próprio Gauss chamou essa propriedade de Teorema

Fundamental da Álgebra (T.F.A.), decorrendo deste teorema que toda

equação polinomial de grau n ( ≥ a 1) possui n raízes complexas.

Juntamente com as diversas demonstrações de Gauss do Teorema

Fundamental, a demonstração de Legendre parece inspirada pela

representação dos “números complexos”, elaborada por Argand. Tal

representação generaliza-se graças à dos quatérnions, criadas em 1843 por

Sir William R. Hamilton, quando surge a primeira Álgebra não-comunicativa.

A terminologia de Hamilton se impõe, devendo-se a ele termos como “vetor”,

“comutatividade” e “tensor”.

A teoria dos números, entretanto, conduz a Álgebra a novas

concepções, em função das pesquisas empreendidas por Krummer sobre “O

grande Teorema de Fermat”, também em 1843: conjectura ao cabo da qual

18a equação xm + ym + zm , só é possível em números inteiros para m = 1 e 2.

Estas pesquisas conduziram-no à nova noção de número ideal que culmina

na noção fundamental de ideal de anel, aperfeiçoada e sistematizada por

Dedekind, em 1871.

Todos estes trabalhos concorreram para o desenvolvimento da Teoria

dos Corpos de Números Algébricos, de Hilbert e a tradicional noção de

“grupo”, devida a Galois (1830), se aplica inicialmente aos conjuntos finitos,

como o das permutações entre as raízes de uma equação algébrica. Esta

adquire extensão considerável nos trabalhos de Jordan, enquanto Felix Klein

e Sophus Lie generalizaram-na para conjuntos infinitos e fizeram com que

desempenhasse papel fundamental: o primeiro na geometria elementar e, o

segundo, na teoria das equações de derivadas parciais.

O conceito de “espaço vetorial” liga-se, por sua vez, ao trabalho de

Hamilton, ao cálculo geométrico de Möbius (1827) e os sistemas hiper-

complexos imaginados por Grassmann (1844). Se os determinantes são de

fato conhecidos desde o século XVIII como, por exemplo, os trabalhos de

Cramer sobre os sistemas de equações afins, seu estudo desenvolveu-se,

sobretudo no século XIV e só se tornaram de uso corrente com Carl Jacobi

(1841).

Os algebristas ingleses Sylvester e Cayley desenvolveram a teoria

das invariantes. Cayley criou o cálculo matricial, mas a contribuição mais

original desta escola inglesa foi a da Lógica Matemática, criada por George

Boole, cujas obras fundamentais marcaram o surgimento da Matemática

Pura. Depois de Dedekind e Hilbert, chegou-se à axiomatização da Álgebra,

devida, em especial, a Ernest Steinitz, Emil Artin e Emmy Noether. Surgiu

então a Álgebra abstrata contemporânea.

19

1.3- Histórico da Matemática

Bhãskara (1114/1185) era matemático hindu, trabalhou em quase

todos os ramos da Matemática de seu tempo. Sua obra-prima é o livro

Sidhãntasiromani, que se divide em quatro partes - Aritmética, Álgebra e as

duas últimas de Astronomia - e reúne muitos de seus trabalhos. Um deles é

a construção de uma tabela de senos com intervalos de um grau.

Girard (1590/1663) era matemático italiano, dedicou-se à álgebra das

equações, dentre outros ramos da Matemática. Seu grande trabalho sobre

as equações polinomiais são as relações entre os coeficientes e as raízes

de uma equação.

Gabriel Cramer (1704/1752) era matemático suíço, trabalhou com

Álgebra e Astronomia. Sua obra-prima é a Regra de Cramer, publicada em

1750, utilizada para resolver sistemas lineares determinados.

Joseph L. Lagrange (1736/1813) era matemático francês, presidiu o

Comitê de Pesos e Medidas. Trabalhou em Cálculo, Mecânica e Astronomia.

Teve um papel significante na verificação da teoria de Newton sobre

gravitação. Desenvolveu trabalhos sobre a impossibilidade de resolver

equações de grau 5 por meio de radicais.

Pierre Simon de Laplace (1749/1827) era matemático e astrônomo

francês. Sua grande obra publicada em cinco volumes num período de 26

anos, foi Mecânica Celeste, em que procurou demonstrar a estabilidade do

Sistema Solar por uma aplicação rigorosa da mecânica newtoniana. Em

Matemática, desenvolveu trabalhos com determinantes e é considerado o

criador da probabilidade analítica.

20

Paolo Ruffini (1765/1822) era matemático italiano, dedicou-se à

Álgebra, publicando em Bolonha (1799) um livro com vários trabalhos

apresentando a demonstração de que a equação geral de seu superior ao

quarto não pode ser resolvida por meio de radicais (essa demonstração tem

muitas lacunas). Seu nome está associado à divisão de um polinômio por

x - b.

Karl F. Gauss (1777/1855) era matemático e astrônomo alemão, fez

notáveis contribuições a vários ramos da Física, em que foi uma autoridade

em eletromagnetismo, e da Matemática, em que desenvolveu trabalhos

sobre teoria dos números, desenvolvendo o princípio de congruência

aritmética; representação gráfica dos números complexos de sua

construção axiomática; geometria não-euclidiana; geometria diferencial e

análise. Dentre tantos trabalhos de vulto, destacam-se "A soma de termos

de uma progressão aritmética ", aos oito anos; "Construção com régua e

compasso de um polígono regular de dezessete lados", aos dezenove anos

e "Teorema fundamental da Álgebra", aos 21 anos.

Bernhard Bolzano (1781/1848) era filósofo, lógico e matemático

tcheco, professor de Filosofia da Religião da Universidade de Praga.

Desenvolveu trabalhos em Lógica e Análise, destacando-se, entre outros,

aqueles dedicados a funções contínuas não-deriváveis; convergências de

séries e forma de distinguir classes finitas e infinitas -- tema abordado na

obra Parodoxos do Infinito, publicada após a sua morte.

Niels Henrik Abel (1802/1829) era matemático norueguês, cujos

trabalhos foram um modelo de rigor, segundo os padrões da atualidade,

destacando-se os que se referem a equações polinomiais, teoria geral de

convergência, série binomial, cálculo integral, funções transcendentais e

elípticas, entre outros. Seu primeiro grande trabalho foi a prova da

impossibilidade de resolver equações polinomiais de grau superior a 5 por

21

meio de operações elementares. Publicou um livro sobre o estudo das

propriedades especiais das funções transcendentais.

Carl Gustav J. Jacobi (1804/1851) era matemático alemão, trabalhou

em Álgebra e Análise. Na Análise, foi o primeiro a aplicar as funções

elípticas ao estudo de questões aritméticas, obtendo importantes resultados

que fizeram parte de sua grande obra-prima: Fundamentos de Uma Nova

Teoria das Funções Elípticas (1829). Na Álgebra, para citar apenas uma de

suas numerosas descobertas, elaborou por completo a teoria dos

determinantes.

Joseph Liouville (1809/1882) era matemático francês, trabalhou em

Análise e Teoria dos Números.

Evariste Galois (1811 /1832) era matemático francês, descobriu sua

vocação para a Matemática influenciado por trabalhos de Lagrange e

Legendre. Impedido de cursar a École Polytéchnique, Galois passou a

freqüentar aulas especiais ministradas por outro matemático francês, Paul

Émile Richard (1795 - 1849), que lhe facilitou o acesso à leitura de

trabalhos de Abel, Cauchy, Gauss e Jacobi. Com base no que observou em

Abel, Galois procurou as razões mais profundas da insolubilidade das

equações polinomiais de grau superior a 5. Essas razões são dadas por um

teorema seu segundo o qual uma equação polinomial pode ser resolvida por

meio de radicais se, e somente se, o seu grupo é resolúvel. As idéias

centrais de Galois são as noções de grupo e corpo.

James Joseph Sylvester (1814 /1897) era matemático inglês, foi o

primeiro a usar o termo matriz para indicar uma tabela retangular de

números. Amigo do matemático inglês Arthur Cayley, com o qual

desenvolveu a Álgebra das matrizes.

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Gerolamo CARDANO (1501/1576) era físico e matemático italiano,

dedicou-se a Matemática, Física, Astronomia, Filosofia, Medicina e

Astrologia. Na Matemática, sua obra-prima é o livro Artis Magnae Sive de

Regulis Algebraicis (A grande arte ou sobre as regras da álgebra), publicado

em 1545, onde se encontram o método de resolução das equações de grau

3, obtido de seu amigo Tartaglia, e de grau 4, obtido de seu discípulo Lovic

Ferrari; e a regra: "menos vezes menos dá mais".

23

CAPÍTULO II

A natureza matemática da Álgebra

e sua Aplicação

"A Matemática lida com um

mundo puro de idéias."

Leopold Kronecker

24

AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

O nome do matemático árabe a quem se deve a origem da palavra

Álgebra aparece sob diferente grafia na obra História da Matemática, de Carl

B. Boyer: Alkhowarizmi. Só não difere o reconhecimento quanto à

importância de sua obra magna, onde se encontram muito mais do que

simples resoluções de equações:

“Há, por exemplo, regras para operações com

expressos binomiais. Embora os árabes rejeitassem

as raízes negativas e grandezas negativas ,

conheciam as regras que governavam o que

chamamos números com sinal. Há também provas

geométricas alternativas de alguns dos seis casos de

equações do autor. Finalmente, a Álgebra contém

uma ampla variedade de problemas ilustrando os seis

capítulos ou casos.” (Boyer, 1987,p.169).

Este capítulo procura traçar sucintamente uma visão geral da Álgebra,

sua natureza matemática e suas aplicações, enquanto no capítulo anterior

foi apresentada uma introdução sobre este assunto. Entretanto, alguns

pontos específicos merecem ser mais bem aprofundados, sobretudo no que

diz respeito às equações algébricas- qualquer expressão matemática que

encerre uma quantidade desconhecida e um sinal de igual, e cuja igualdade

é verificada somente para certos valores desta quantidade. Sob este

enfoque, a Álgebra é, como disse Bháskara, “a arte dos raciocínios

perfeitos“.

25

2.1- Desvendando as Equações Algébricas

Em linhas gerais, a prática de exercícios algébricos consistiria

basicamente na “caça” de incógnitas, desde o manejo da mais simples das

equações: ax + b = 0

Sabe-se que:

• ax + b = 0, (a ≠ b) é uma equação do 1° grau cuja raiz é - b/a. Logo,

o conjunto solução dessa equação é 5 = {- b/aª}.

• ax² + bx + c (a ≠ o) é uma equação de 2° grau cujas raízes são:

___ ___

- b + √ ǻ e - b - √ ǻ 2a 2a

Logo, o conjunto solução dessa equação é ___ ___

S = { - b + √ ǻ , - b - √ ǻ } 2a 2a

Pelo que se pode observar, nas equações de 1° e 2° graus, os zeros

ou raízes da equação são obtidos´por fórmulas que envolvem os

coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de

raízes. Serão estudados alguns métodos que permitem resolver equações

de grau 3, ou maior do que 3, baseados no Teorema Fundamental da

Álgebra, demonstrado por Gauss em 1799 : “ Toda equação algébrica

F( x ) = 0 de grau n ( ≥ a 1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa”.

Equação Algébrica, ou Equação Polinomial é toda sentença do tipo

f (x) = g (x), onde f e g são funções polinomiais. a definição de monômio,

binômios, trinômios e polinômios já foi dada no capítulo anterior e,

precisamente, neste ponto da discussão é que a matéria adquire maior

26

complexidade. Na resolução de uma equação polinomial procura-se sempre

transformá-la em outra,equivalente e mais simples, em que o conjunto

solução possa ser obtido com maior facilidade, ou seja:

f (x) = g (x)

P(x) = f (x) - g (x)

P (x) = 0

Desta forma toda equação polinomial é redutível à: an xn + an-1 xn-1 +

an-2 xn-2 + ... + a2 x2 + a1x + a0 =0, onde,a menos que se diga o contrário, an ,

an-1,..., a2 , a1 e a0 são números reais.

2.2- Raiz de Uma Equação Algébrica e Conjunto Solução

Dada uma equação algébrica p (x) = 0, de coeficientes reais, o

número r é uma raiz de equação se, e somente se, P (a) = 0. O Conjunto

Solução ou Conjunto Verdade de uma equação algébrica é o conjunto

formado por todas as raízes (e somente por elas)da equação. Resolver uma

equação, portanto, é obter o seu conjunto verdade.

A raiz de um número é o número que, elevado á potência do mesmo

índice,reproduz este número. Seja x um número e a raiz n deste número

seja yn = x. Indica-se a raiz de um número n√ x = y. O símbolo n é utilizado

para designar qualquer raiz e, em particular, quando n = 2, denomina-se raiz

quadrada; n = 3, raiz cúbica; n = 4, raiz quarta; etc. Quando se trata de raiz

de um número negativo, a questão é tratada na teoria dos números

complexos.

27

2.3- As Equações e Seus Graus

O grau de uma equação será dado pelo valor numérico de seu

expoente, ou pelo número de raízes que apresentar, conforme evidencias as

exposições que se seguem.

Uma equação é classificada como equação do 1° grau quando puder

ser escrita sob a forma: a xn + b = 0, onde a e b são reais, com a ≠ 0. Uma

equação do 1° grau tem apenas uma raiz que pode ser obtida, isolando-se x.

Sendo o expoente n igual a 1, diz-se portanto que a equação é de primeiro

grau.

Uma equação classificada como equação do 2° grau tem no máximo

duas raízes, que podem ser obtidas pela fórmula:

x = - b ± √b² - 4 ac = - b ± √ ǻ 2a 2a

É importante observar que:

• Se ǻ > 0, então a equação admite duas raízes reais e distintas.

• Se ǻ = 0, então a equação admite uma raiz real de multiplicidade

dois.

• Se ǻ < 0, então a equação admite duas raízes complexas da

forma: α = m + mi, onde i = √ - 1

Uma equação é classificada como equação do 3° ou 4° grau, quando

puder ser escrita sob a forma ax³ + bx² + cx + d = 0 ou ax + bx³ + cx²+ dx +

e = 0, onde a, b, c, d e e são reais, com a ≠ 0. As raízes das equações do

terceiro e do quarto grau não podem ser obtidas através do auxílio de

fórmulas gerais.

28

Disto tudo se conclui que as equações de grau superior a 4, não

apresentam fórmulas resolutivas e, assim sendo, apresentam-se teoremas

válidos para quaisquer equações algébricas que possibilitem a resolução ou,

ao menos, informações úteis na obtenção das raízes de uma equação.

29

CAPÍTULO III

Fundamentos da Álgebra

"Não basta saber, é preferível

saber aplicar.Não é bastante

querer, é preciso saber querer."

Goethe

30

TEOREMAS

O Teorema Fundamental da Álgebra sobre equações algébricas de

coeficientes reais diz: Toda equação algébrica, de grau n (estritamente

positivo) admite n raízes, reais ou complexas não reais. O teorema garante a

existência de pelo menos uma raiz. Não diz como obtê-la, tampouco informa

o número de raízes da correspondente equação. O teorema tem validade no

conjunto dos números complexos, ou seja, pode ou não ter raiz real.

3.1- Teorema da Decomposição

O Teorema Fundamental da Álgebra- Toda equação polinomial de

grau n (n ≥ 1) admite pelo menos uma raiz complexa- tem uma aplicação na

fatoração de um polinômio.

Toda equação algébrica de grau n, da forma: P(x) = an xn + an-1 xn-1 +

an-2xn-2+...+ a2x² +...+ a1x+a0 , com an ≠ 0, pode ser decomposta e fatorada

em n fatores do 1° grau na forma: P(x)=an.(x-α1).(x-α2). ... . (x-αn). Os

números complexos são raízes de P (x). Esta forma fatorada mostra que a

equação tem, no máximo, n raízes, e não exatamente n, pois não sabemos

se os números α1, α2, … , αn são distintos dois a dois. (Vide demonstração

deste teorema no Anexo I).

Considerando estes aspectos teóricos, segue a demonstração.

Admitamos que a1 é uma raiz da equação de grau n (n ≥ 1): P (x) = an xn +

an-1 xn-1 ...+ a2x² +a1x+a0 = 0. Dividindo-se P (x) por x - a1 , encontramos um

quociente Q1 (X) e resto R1 = P (α1) = 0. Então: P (x) = (x - α1 ). Q1(x) .Q1 (x)

31

tem grau n - 1 e se n - 1 ≥1, possui pelo menos uma raiz a2. Dividindo Q1 (x)

por x - α2, encontramos um quociente Q2 (x) e resto R2 = Q1 (x2 )= 0. Então,

Q1(x)=(x- α2 ) Q2(x),

P (x)=(x - α1) (x - α2) Q2(x)

Prosseguindo assim, chegaremos, após um número finito de divisões,

a um polinômio constante, Qn(x)= K, tal que: P (x)=(x - α1) (x - α2) … (x - αn) .

Qn (x). Através da identidade: (x - α1) (x - α2) …(x - αn) K . anxn + an-1x n-1 … +

a2x2 + a1x + a0 , vemos que K=an .

Podemos, então, concluir que todo polinômio P(x) de grau n pode ser

colocado na forma fatorada: P(x) = an(x - α1) (x - α2) … (x - αn), em que an é

o coeficiente dominante e α1, α2, … , αn são raízes de P(x).

Sobre o abaixamento do grau de uma equação, observa-se que

quando conhecemos uma raiz α da equação P(x)=0, dividindo P(x) por x -

α, encontramos o quociente Q(x) tal que P(x) = (x - α) Q(x)=0 ⇔ (x - α = 0

ou Q(x)=0). Assim, as demais raízes de P(x)=0 são as da equação Q(x)=0.

Como grau de Q(x) é uma unidade a menos que o de P(x), dizemos que o

abaixamos o grau da equação.

3.2- Multiplicidade de uma Raiz

Quando se coloca um polinômio na forma fatorada, pode acontecer a

repetição de alguns fatores, seja P(x) um polinômio de grau n ≥ a 1.

Portanto, a é a raiz de multiplicidade da equação P (x) = 0 se, e somente se,

a forma fatorada de P(x) apresentar exatamente n fatores iguais a (x - a), ou

seja a é a raiz de multiplicidade n de P (x) = 0 se, e somente se, P (x) é

divisível por (x - a)m e não é divisível por (x - a)m+1.

32

Dizemos que a é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1), da equação P(x) = 0

se, e somente se, a equação puder ser escrita sob a forma (x - a)m. Q (x) =

0, isto é, a é raiz de multiplicidade m de P (x) = 0 quando o polinômio P é

divisível por (x - a)m, ou seja, a decomposição de P apresenta exatamente m

fatores iguais a (x - a). Nota: Se a é uma raiz da equação polinomial P(x) = 0

então o polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a.

3.3- Pesquisa de Raízes

Quando se conhece uma raiz a de uma equação algébrica P(x)= 0,

divide-se P (x) por x - a, caindo numa equação de grau menor. Sabendo-se

que a é raiz de multiplicidade m da equação P (x) = 0, se P(x) = (x - a)m .

Q(x) e Q(a) ≠ 0, vejamos algumas de suas propriedades que facilitarão a

pesquisa de raízes múltiplas numa equação algébrica.

Se a é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0, então a é raiz de

multiplicidade (m - 1) da equação P(x) = 0, onde P(x) é a derivação primeira

de P(x). Para que a propriedade seja válida, deve-se ter: P'(x) = (x - a)m-1 .

Q1(x) e (2) Q1(a) ≠ 0. Sabendo-se que P(x) = (x - a)m . Q(x) e (3) Q (a) ≠ 0.

Logo, P'(x) = m (x - a)m-1. Q(x) + (x - a)m . Q'(x)

P'(x) = m (x - a)m-1. [ m Q(x) + (x - a) . Q'(x) ] Q1(x)

Ou seja: P'(x) = m (x - a)m-1. Q1(x), o que comprova (1).

Calculando agora Q1(a), tem-se: Q1(a)= m . Q(a) + (a - a) . Q(a) = m .

Q(x) ≠ 0, o que comprova(2).

São também válidas as seguintes propriedades:

• Se a é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0, então

P'(a) = 0, P''(a), P'''(a) = 0,..., P(m - 1)(a) = 0 e Pm(a) ≠ 0.

33

• Se a é tal que P(a) = 0, P'(a) = 0, P''(a) = 0,..., P(m - 1)(a) = 0 e

Pm(a) ≠ 0, então a raiz de multiplicidade m da equação P(x) =

0.

Resumindo: Um número a é raiz de multiplicidade m de uma equação

algébrica (polinomial) P(x) = 0 se, e somente se, P(a) = 0, P'(a) = 0, P'''(a) =

0,..., P(m - 1)(a) = 0 e Pm(a) ≠ 0.

3.3.1- Teorema das Raízes Racionais Com Coeficientes

Inteiros

Veremos agora como pesquisar as possíveis raízes racionais de uma

equação com coeficientes inteiros. Consideremos a equação ax³ + bx² + cx +

d = 0, com coeficientes a, b, c e d inteiros, a ≠ 0 e d ≠ 0, supondo-se que a é

uma raiz racional da equação.

Coloquemos a = p/q, em que p e q são inteiros e primos entre si, ou

seja, a = p/q é a forma irredutível de a. De ax³ + bx² + cx + d = 0, vem:

• a(p/q)³ + b(p/q)² + c(p/q) + d = 0

• ap³ + bp² + cp +d = 0 q³ q² q

• ap³ + bp²q + cpq² + dq³ = 0

• ap³ + q(bp² + cpq + dq²) = 0

• p (ap² + bpq + cq²) + dq³ = 0

• bp² + cpq + dq² = - ap³ inteiros q

• ap² + bpq + cq² = -dp³ inteiros p Tem-se - ap³ e - dq³ como inteiros e p e q são primos entre si. q p

34

Conclui-se que q é divisor de a e que p é divisor de d. Assim, as

possíveis raízes racionais da equação dada são da forma p/q, em que p é

divisor do termo independente d e q é divisor do coeficiente dominante a.

Isso pode ser generalizado para uma equação algébrica de grau n, n ≥ 1, em

que os coeficientes são inteiros. Se a = p/q, p e q inteiros primos entre si, é

uma raiz racional da equação de coeficientes inteiros: an xn +an-1 xn-1 + ...+a2

x² + a1 + a0 = 0, an ≠ 0 e a0 ≠ 0 , então p é divisor de a e q é divisor de a.

Disto decorre a observação de que este teorema permite descobrir se

a equação tem ou não raízes inteiras; basta, para tanto, verificar um por um

dos divisores do termo independente de x = a0 . Este teorema abrange o

anterior, ou seja, o conjunto das possíveis raízes racionais contém o

conjunto das possíveis raízes inteiras.

3.3.2- Teorema das Raízes Complexas com Coeficientes

Reais

Sendo Z = α + βi (α, β ε R e β ≠ 0) raiz da equação P(x) = 0 de

coeficientes reais, o polinômio P(x) é divisível por x - (α + βi).

P(x) ≡ [x - (α + βi)] . P1(x) (1)

Se dividirmos P1(x) por x -s(α - βi), obteremos um quociente Q(x) e

um resto K (constante), tais que: P1(x) . [x - (α + βi)] . Q(x) + k (2)

Substituindo (2) em (1), temos:P(x) . [x - (α + βi)] . [x - (α + βi)] . Q(x) + [x -

(α + βi)] . K (3)

Esta última identidade mostra que, ao dividir P(x) por[x - (α + βi)] [x -

(α + βi)] o quociente é Q(x) e o resto é [x - (α + βi)] . K .Como o dividendo

P(x) é o divisor [x - (α + βi)] . [x - (α + βi)] x² - 2ax + (α² + β²) tem coeficientes

reais, o mesmo deve ocorrer comQ(x) e [x - (α + βi)] . k . kx - k (α + βi) e isso

35

só é possível se k ε R e k(α + βi) = (ka + kβi) ε R, portanto k = 0. Sendo k =

o, a condição (3) mostra que P(x) é divisível por x - (α - βi), isto é, α - βi é

raiz da equação P(x) = 0.

E, então, podemos concluir que se Z = α - βi (α ε R e β ε R*) é raiz de

uma equação polinomial de coeficientes reais, então Z = α - βi é também raiz

dessa equação.

Conseqüências: Nas equações de coeficientes reais, as raízes

complexas não reais aparecem aos pares: Z1 e Z1 , Z2 e Z2 , etc.Assim, uma

equação de coeficientes reais pode ter nenhuma, ou duas, ou quatro, ou

seis, etc., ou seja, um número parte de raízes complexas não reais. Uma

conseqüência importante deste fato é que toda equação algébrica de

coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.

De fato, sendo de grau ímpar e de coeficientes reais, há um número

par de raízes, complexas não reais (0 ou 2, ou 4 ou 6, etc.),e, portanto um

número ímpar de raízes reais (1 ou 3, ou, 5 ou 7, etc.). Deve-se observar

ainda que se o complexo z é raiz de multiplicidade m de uma equação

algébrica de coeficientes reais, então o conjugado Z também é raiz de

multiplicidade m da equação.

Se uma equação algébrica de coeficientes reais admitir a raiz x = a +

bi (a ε R),admitirá também a raiz x = a - bi, conjugada da primeira, com o

mesmo grau de multiplicidade. Este teorema apresenta as seguintes

conseqüências: o número de raízes complexas, não reais, de uma equação

algébrica é sempre par e toda equação algébrica de grau ímpar tem pelo

menos uma raiz real.

36

3.4- Relações de Girard

Dada uma equação algébrica de coeficientes reais, é possível

estabelecer relações entre os coeficientes e as raízes. Em 1629, o

matemático Albert Girard(1590-1633) obteve informações gerais sobre as

raízes de uma equação polinomial (algébrica) ao relacioná-las com os seus

coeficientes. Para estabelecer essas relações, considere-se a identidade

entre um polinômio de grau n e sua forma fatorada, onde comparecem as

raízes a1 ,a2 ,...,an.

Analisemos o caso n = 2. Considere-se o polinômio do 2° grau P(x) =

ax² + bx + c, com a ≠ 0, cujas raízes são a1 e a2 . Pelo teorema da

decomposição, tem-se:

ax² + bc + c = 0 ⇒ ax² + bx + c = a(x - a1) (x - a2), com a ≠0.

ax² + bx + c . (a1 - a2) (x - a2 ) a a

Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo

o segundo membro, obtemos: ax² + bx + c x² - (a1 + a2)x + a1 . a2

a a

Portanto, da identidade dos polinômios, vem a1 + a2 = - b a1 . a2 = c a a que são as relações entre as raízes a1 e a2 e os coeficientes da equação do

2° grau ax² + bx + c = 0.

Analisemos o caso n = 3, considere-se o polinômio do 3° grau P(x) =

ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠0, cujas raízes são a1 , a2 e a3. Pelo teorema

da decomposição, tem-se: ax³ + bx² + cx + d = 0 ⇒ ax³ + bx² + cx + d = 0,

a(x - a1 ) (x - a2 ) (x - a3 ), com a ≠ 0.

37

Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo

o 2° membro, obtém-se: x³ + bx² + cx + d = 0, x³ - (a1 + a2+ a3 )x² +

a a a

(a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 )x - a1 a2 a3

Portanto, da identidade vem:

a1 + a2+ a3 = - b a

a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 = c a

a1 a2 a3 = - d a

Que são as relações de Girard para a equação do 3° grau ax³ + bx² + cx + d

= 0.

Analisemos o caso n = 4, considere-se o polinômio do 4° grau:

P(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, com a ≠ 0, cujas raízes são a1 , a2 , a3 e a4 .

Pelo teorema da decomposição, tem-se: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0 ⇒ ax4

+ bx³ + cx² + dx + e = 0 , a(x - a1 ) (x - a2 ) (x - a3 ) (x - a4 ), com a ≠ 0.

Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo

o segundo membro, obtém-se: ax4+ bx³ + cx² + dx + e = x4 - (a1 + a2 + a3 +

a a a a

a4)x³ + (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4)x² - (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1

a3 a4 + a2 a3 a4)x + a1 a2 a3 a4

Portanto, da identidade vem:

a1 + a2 + a3 + a4 = -b a a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2

a3 + a2 a4 + a3 a4= c a

38 a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 = - d a

a1 a2 a3 a4= e a

Prosseguindo da mesma forma, estabelecem-se as relações de

Girard para uma equação de grau n. Convém notar que nos primeiros

membros aparecem sempre as somas das raízes tomadas p a p, 1> p > n , e

que nos segundos membros os sinais se alternam: -, +, -, +. O anexo II

apresenta um resumo esquemático bem sucinto sobre as relações de Girard

nas equações de 1°, 2°, 3° e 4° graus.

39

CAPÍTULO IV

A Álgebra no Atual Ensino da Matemática

"Aprender para nós é construir,

reconstruir, constatar para

mudar, o que não se faz sem

abertura ao risco e à aventura

do espírito."

Paulo Freire

40

A ÁLGEBRA NO CONTEXTO ATUAL

As considerações traçadas nos dois últimos capítulos mostram-se

complexas, intrincadas e, conseqüentemente, indesejáveis aos não-iniciados

no conhecimento matemático. Mesmo os estudiosos desta disciplina sentem

dificuldades em percorrer os meandros de muitas de suas ramificações, em

verdadeiros labirintos de raciocínios e processos matemáticos, que só vem a

demonstrar o quanto este campo do conhecimento humano é vasto e

complexo.

Diante desta complexidade, como o professor de Matemática deve

conduzir sua prática, especialmente no que se refere ai tratamento didático

da álgebra no ensino fundamental? Atualmente, as discussões sobre este

tema se voltam, em grande parte, para as propostas e orientações contidas

nos Parâmetros Curriculares nacionais, cujo terceiro volume é dedicado à

disciplina Matemática. Tais considerações não se aplicam exclusivamente

ao campo da álgebra, mas ao ensino de Matemática como um todo, num

enfoque completamente diferente de tudo o que já se escreveu até então.

O presente capítulo constitui uma resenha do conteúdo essencial dos

PCNs sobre o ensino de Matemática no nível fundamental, devendo-se

confrontar a densidade das informações expostas nos dois capítulos

anteriores com a leveza e objetividade destas assertivas dos PCNs, no que

diz respeito ao ensino de Matemática.

O ensino de Matemática costuma provocar duas sensações

contraditórias, tanto por parte de quem ensina, como por parte de quem

aprende: de um lado, a constatação de que se trata de uma área de

conhecimento importante; de outro, a insatisfação diante dos resultados

negativos obtidos com muita freqüência em relação à sua aprendizagem.

41A constatação da sua importância apóia-se no fato de que a

Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da

vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como

instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas

curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de

capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do

raciocínio dedutivo do aluno. A insatisfação revela que há problemas a

serem enfrentados, tais como a necessidade de reverter um ensino centrado

em procedimentos mecânicos, desprovidos de significados para o aluno.

Há urgência em reformular objetivos, rever conteúdos e buscar

metodologias compatíveis com a formação que hoje a sociedade reclama.

No entanto, cada professor sabe que enfrentar esses desafios não é tarefa

simples, nem para ser feita solitariamente.O documento de Matemática é um

instrumento que pretende estimular a busca coletiva de soluções para o

ensino dessa área.Soluções que´precisam transformar-se em ações

cotidianas que efetivamente tornem os conhecimentos matemáticos

acessíveis a todos os alunos.

A primeira parte do documento apresenta os princípios norteadores,

uma breve trajetória das reformas e o quadro atual de ensino da disciplina. A

seguir, faz-se uma análise das características da área e do papel que ela

desempenha no currículo escolar. Também trata das relações entre o saber,

o aluno e o professor, indicam alguns caminhos para “fazer Matemática” na

sala de aula, destaca os objetivos gerais para o ensino fundamental,

apresenta blocos de conteúdos e discute aspectos da avaliação.

A segunda parte, destina-se aos aspectos ligados ao ensino e á

aprendizagem de Matemática para as quatro primeiras séries do ensino

fundamental. Os objetivos gerais são dimensionados em objetivos

específicos para cada ciclo. Os blocos de conteúdos são detalhados e

especificados em conceitos, procedimentos e atitudes. Ao final, são

42apresentados critérios de avaliação e algumas orientações didáticas

referentes a cada bloco de conteúdo.

É possível iniciar a leitura do documento pela parte que se refere aos

tópicos de maior interesse do professor, mas é essencial ler e discutir todo

ele, para que haja uma visão integradora das possibilidades de

aprendizagem e dos obstáculos que o aluno enfrenta ao aprender

Matemática.

43

CONCLUSÃO

Ao término desta pesquisa, algumas considerações gerais devem ser

apresentadas, com relação aos três aspectos centrais da abordagem

desenvolvida, sabendo -se que o primeiro aspecto diz respeito à natureza e

as características essenciais da Álgebra dentro do conhecimento

matemático; o segundo aspecto se refere ao percurso histórico deste campo

da Matemática e, o terceiro, concernente ao seu tratamento didático nas

atuais abordagens do sistema de ensino brasileiro.

Conforme se constatou, a Álgebra é um campo da Matemática

extremamente importante, sendo mesmo considerada a “arte dos raciocínios

perfeitos”, em razão de sua eficácia na obtenção de dados desconhecidos, a

partir de dados conhecidos, em outras palavras, na descoberta de

incógnitas. Sob este aspecto, em particular, deve-se reafirmar a importância

das chamadas “expressões algébricas”- o conjunto de letras representando

os números, ligados através de sinais, em que o número escrito à esquerda

é chamado “coeficiente algébrico e o restante é a parte literal”: 3a² + 4bc ,

em 4bc, 4 é o coeficiente e bc é a parte literal. Os grupos que não possuem

sinais (de adição ou subtração) separando seus elementos denominam-se

“termos da expressão algébrica”, como se ilustra no exemplo seguinte, que

possui três termos : 7x³ + 4y² + 3z.

Conforme se informou, a expressão algébrica denominar-se -á

monômio, binômio, trinômio, apresentando um, dois ou três termos,

respectivamente; com mais de três termos , a expressão algébrica é

denominada polinômio. Do mesmo modo, o grau da equação será dado

conforme a potenciação de seu expoente, na razão inversa da radiciação.

Além disso, as expressões algébricas podem ser apresentadas sob a forma

de expressões geométricas, e vice-versa, aplicando-se a Álgebra a uma

série de outros campos da Matemática, da Mecânica e da Lógica. No plano

44didático, isto é, no que concerne ao ensino disciplinar do conhecimento

matemático, a importância da Álgebra se ressalta pela sua eficácia no

desenvolvimento do raciocínio lógico, não raro aplicável a situações práticas

do dia a dia.

O exemplo mais prático da atualidade é a larga utilização de

esquemas matemáticos nos cursos de Ciência da Computação, com base

em conhecimentos adquiridos na disciplina Álgebra Linear, que fornece a

base necessária às aplicações que serão utilizadas no referido curso. É

também por meio da Álgebra que se viabilizam as mais modernas

estratégias ou recursos didáticos destinados a motivar a aprendizagem

matemática, fugindo dos moldes tradicionais calcados na memorização de

fórmulas e repetição de exercícios.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais focalizam o tema nesta

perspectiva, evitando compartimentar os conteúdos em blocos

descontextualizados, sugerindo, porém, um tratamento didático diferenciado

para os três campos fundamentais do conhecimento matemático: Aritmética,

Álgebra e Geometria. Sobre Álgebra, em particular, os PCNs sugerem o

desenvolvimento de estudos reflexivos sobre cálculo, em suas diferentes

modalidades: exato e aproximado,ou mental e escrito.

As considerações finais desta pesquisa, no que concerne ao parecer

dos PCNs a respeito do ensino da Álgebra, podem finalizar-se com o

seguinte trecho do citado documento:

“Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver

uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do

ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão

ampliados; trabalhando com situações - problema, o

aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra

(como modelizar, resolver problemas aritmeticamente

45 insolúveis, demonstrar) representando problemas por

meio de equações (identificando parâmetros, variáveis

e relações tomando com fórmulas, equações,

variáveis e incógnitas) e reconhecendo a ‘sintaxe’

(regras para resolução) de uma equação”. (Brasil,

1997, p.55)

O emprego do termo “sintaxe” para designar o procedimento das

regras de resolução é particularmente interessante para que o aluno

compreenda os caminhos lógicos e racionais a serem percorridos até

encontrar a incógnita. Uma designação tão significativa quanto a de “arte” do

raciocínio, empregado por Bháskara século atrás, indicando o caráter

engenhoso e eficaz de se chegar a um objetivo ou resultado final, de forma

inequívoca, por meio de procedimentos matematicamente estruturados.

46

ANEXOS

Anexo 1- Resumo Esquemático das Relações de Girard

O quadro abaixo expõe de forma resumida os desdobramentos das

equações de 2°, 3° e 4° graus, segundo as relações de Girard.

__ ax² + bx + c = 0

a1 + a2 = - b a

a1 a2 = - c a __ ax² + bx + c = 0 a1 + a2 + a3 = - b a

a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 = - c a

a1 a2 a3 = - d a

__ ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0

a1 + a2 + a3 + a4 = - b a

a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 = c a

a1 a2 + a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 = - d a

a1 a2 a3 a4 = e a

47E assim sucessivamente. As relações de Girard são insuficientes para

a obtenção das raízes da equação, a menos que existam informações

adicionais.

Ao encontro desta expectativa é que vem o Teorema de Bolzano.

Seja f(x) = 0 uma equação polinomial, com coeficientes reais e (a; b) um

intervalo real aberto:

• Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de

raízes reais ou não existem raízes reais da equação no intervalo

(a; b):

• Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar

de raízes reais da equação em (a; b).

Anexo 2- Raízes de Polinômios

Valor de um polinômio:

Seja B um anel comutativo com unidade e A um subanel unitário de

B.

Dados:

f = anxn + anxn-1 + … + a1x + a0 ∈ A(x)

e µ ∈ B, chama-se de f em µ o seguinte elemento de B:

f(µ) = anµn + an-1 µn-1 + … + a1µ + a0

Quando se verifica a igualdade f(µ) = 0 (zero de B), dizemos que µ é

a raiz de f.

Proposição: seja A um anel de integridade e f ∈ A(x) um polinômio

não nulo. Então o número de raízes de f em A não ultrapassa ϕ (f).

48Demonstração: se o grau de f é zero, é imediato o que a preposição

afirma, pois, nesse caso, f não admite nenhuma raiz em A.

Suponhamos agora que ϕ (f) = n > 0 e que o teorema seja verdadeiro

para todo polinômio de grau n - 1. Se f não possui nenhuma raiz em A,

provado. Caso contrário se µ é uma raiz de f em A, então existe q ∈ A(x) de

modo que f = (x - µ)q. Daí qualquer outra raiz de f (caso exista) é raiz de q.

De fato: V ≠ µ e f(v) = 0 ⇒ ( v - µ ) q(v) = 0 ⇒ q(v) = 0 ( aqui

entrou a hipótese de A é de integridade). Como o número de raízes de q

não ultrapassa n-1 = ϕ (q), então o número de raízes de f em A é, no

máximo, n.

49

BIBLIOGRAFIA

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Ministério

da Educação/ secretaria de Educação Fundamental, 1997.

CASTRO, L. R. S., MACHADO, A. S. Matemática: Matemática.8ª ed. São

Paulo: Atual, 1982.

DANTE, L. R. Matemática- Contexto e Aplicações- Matemática. 1ª ed. São

Paulo: Ática, 2001.

DESCARTES, R. Objeções e Respostas. 3ª ed. São Paulo: Abril, 1983.

IEVVI, G., DOLCE, O., TEIXEIRA, J. P., MACHADO, N. J., GOULART, M.

C., CASTRO, L. R. S., MACHADO, A. S. Matemática: Matemática.8ª ed. São

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IEVVI, G., DOMINGUES, H. H.Álgebra Moderna: Álgebra. 2ª ed. São Paulo:

Atual, 1982.

KARLSON, P. A. A Magia dos Números. 2ª ed. Porto Alegre: Globo, 1961.

MACHADO, A. S. Matemática na Escola do Segundo Grau: Matemática. 1ª

ed.São Paulo: Atual, 1996.

50

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 6

METODOLOGIA 7

SUMÁRIO 8

INTRODUÇÃO 9

CAPÍTULO I

ÁLGEBRA NO CONHECIMENTO MATEMÁTICO 12

O QUE É ÁLGEBRA? 13

1.1- Considerações Preliminares 13

1.2- Percurso Histórico 14

1.3- Histórico da Matemática 19

CAPÍTULO II

A NATUREZA MATEMÁTICA DA ÁLGEBRA E SUA

APLICAÇÃO 23

AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 24

2.1- Desvendando as Equações Algébricas 25

2.2- Raiz de uma Equação Algébrica e Conjunto Solução 26

2.3- As Equações e seus Graus 27

CAPÍTULO III

FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA 29

TEOREMAS 30

3.1- Teorema da Decomposição 30

3.2- Multiplicidade de uma Raiz 31

3.3- Pesquisa de Raízes 32

51

3.3.1- Teorema das raízes Racionais com Coeficientes

Inteiros 33

3.3.2- Teorema das Raízes Complexas com Coeficientes

Reais 34

3.4- Relações de Girard 36

CAPÍTULO IV

A ÁLGEBRA NO ATUAL ENSINO DA MATEMÁTICA 39

A ÁLGEBRA NO CONTEXTO ATUAL 40

CONCLUSÃO 43

ANEXOS 46

BIBLIOGRAFIA 49

ÍNDICE 50

52

FOLHA DE AVALIAÇÃO

Nome da Instituição: Universidade Candido Mendes

Título da monografia: As Equações Algébricas e sua Importância

para o Conhecimento Matemático

Autor: Maria das Graças de Mattos

Data da Entrega: 24 de Janeiro de 2004.

Avaliado por: ___________________________ Conceito:______

Avaliado por: ___________________________ Conceito:______

Avaliado por: ___________________________ Conceito:______

Conceito Final: __________