unidade 2 limites

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E FSICA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDADE 2

Limites de Funes Reais de Uma Varivel

Objetivos

Calcular limites de funes.

Analisar a existncia de limites. Usar a definio de limites para provar validade do resultado do clculo do limite.

Determinar a existncia ou no de assntotas verticais e/ou horizontais de funes

Aplicar os limites fundamentais no clculo de limites envolvendo funes mais complexas.

Clculo Diferencial e Integral Unidade 2 Limites de Funes de uma Varivel

51

UNIDADE 2 LIMITES DE FUNES REAIS DE UMA VARIVEL

Nessa unidade sero estudados os conceitos de limites que permitem definir o comportamento de uma funo em um determinado ponto.

2.1 Definies importantes

a) Vizinhana: Chama-se vizinhana (ou entorno) de centro em a e raio ao intervalo aberto ( ) + aa , , onde 0>

Notao: ( ) ( ) { }


52

Observao: No importa o que acontea com ( )xf quando x igual a a , o que interessa o comportamento de ( )xf para x perto de a .

Notao: ( ) Lxfax

=

lim l-se L o limite de ( )xf quando x se aproxima de a . O matemtico francs Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi a primeira pessoa a atribuir um

significado matematicamente rigoroso s frases ( )xf se aproxima arbitrariamente de L e x se aproxima de a .

Exemplo 2: Como ser o comportamento da funo ( ) 12 += xxxf quando x est cada vez mais prximo de 2?

Soluo:

1) Grfico 2) Tabela

Observe os grficos abaixo.

a)

b)

c)

d)

O que acontece com a funo ( )xf quando x se aproxima de a , mantendo-se porm ax ?

( )xf se aproxima do nmero L nos casos a), b) e c), porm no caso d) no se aproxima de nenhum nmero.

Para os casos a), b) e c) pode-se dizer que o limite de ( )xf para x tendendo a a L e escreve-se ( ) Lxf

ax=

lim .

Para o caso d), no existe o limite.

x f(x)1,0 1,0000001,5 1,7500001,9 2,710000

1,95 2,8525001,99 2,970100

1,995 2,9850251,999 2,997001

22,001 3,0030012,005 3,015025

2,01 3,0301002,05 3,1525002,1 3,3100002,5 4,750000

3 7,000000

3) Algbrico L)x(flim

ax=

L-se: limite de ( )xf quando x tende a L .

3312212

2

2

2

2==+=+

xxxlimlimxxlim


53

importante salientar que no importa o que acontece quando ax = , mas sim o que acontece com ( )xf para x nas proximidades de a .

Observemos que podemos tornar f(x) to prximo de L quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de a.

A linguagem utilizada at aqui no uma linguagem matemtica, pois ao dizermos, por exemplo, x suficientemente prximo de a, no sabemos quantificar o quo prximo.

Como exprimir em linguagem matemtica a definio de limite ( ) Lxfax

=

lim ?

(1) ( )xf deve ser arbitrariamente prximo de L para todo x suficientemente prximo de a (e diferente de a ).

Como definir proximidade arbitrria? A matemtica usa smbolos para indicar essas pequenas quantidades. Os smbolos usualmente so

(epsilon) e (delta). Considere um nmero 0> , arbitrrio. Os nmeros de ( )xf so tais que ( ) + (delta) tal que Dx ,


54

Exemplo 3: Como ser o comportamento da funo ( )

=

=

3,53,12

x

xxxf quando x est cada vez mais

prximo de 3?

Soluo:

tal que Dx ,


55

Exemplo 5: Prove formalmente que 4lim2

2=

xx .

Soluo:

Deve-se provar que: dado qualquer 0> , existe 0> tal que Dx ,


56

Existncia do limite finito

Teorema: O limite ( )xfax

lim existe e igual a L se e somente se os limites laterais ( )xfax +

lim e ( )xfax

lim

existem e tm o valor comum L .

Exemplo 7: Considere as funes ( )x

xxf = e ( ) xxg =

a) Calcule ( )xfx +0lim .

b) Calcule ( )xfx 0lim .

c) Determine, se houver, ( )xfx 0lim

.

d) Calcule ( )xgx +0lim .

e) Calcule ( )xgx 0lim .

f) Determine, se houver, ( )xgx 0lim

.

Soluo:

a) ( ) 1lim0

=+

xfx

.

b) ( ) 1lim0

=

xfx

.

c) Como ( ) ( )xfxfxx +

00

limlim , no existe ( )xfx 0lim

.

d) ( ) 0lim0

=+

xgx

.

e) ( ) 0lim0

=

xgx

.

f) Como ( ) ( ) 0limlim00

==++

xgxgxx

, existe ( )xgx 0lim

e seu valor zero.

Exerccios

E2. Prove que o limite de ( )

>

=

0,20,1

x

xxf

quando x tende a zero no existe.

E3. Dada a funo ( ) xxf = , determine, se houver:

a) ( )xfx 0lim b) ( )xf

x +0lim c) ( )xf

x 0lim

E4. Calcule o limite L , depois determine 0> tal que ( ) 01,0


57

2.6 Propriedades usadas no clculo de limites

Nesta seo so mostradas as propriedades usadas no clculo de limites de funes.

Se L , M , a e k so nmeros reais e ( ) Lxfax

=

lim e ( ) Mxgax

=

lim , ento

1. Limite da soma

O limite da soma de duas funes a soma de seus limites: ( ){ } MLxgxfax

+=+

)(lim .

Demonstrao:

Seja 0> , considera-se 2

.

a) Existe 01 > tal que 10


58

6. Limite da potenciao

O limite da n-sima potncia de uma funo igual n-sima potncia do limite da funo: ( )[ ] ( )[ ] nn

ax

n

axLxfxf ==

limlim , se n um inteiro positivo qualquer.

Ou ainda ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) Mxgax

xg

axLxfxf ax ==

limlimlim

7. Limite da radiciao

O limite da raiz n-sima de uma funo igual raiz n-sima do limite da funo: ( ) ( ) nn

ax

n

axLxfxf ==

limlim , se 0>L e n um inteiro positivo ou se 0L e n um inteiro positivo

mpar.

8. Limite de uma constante

O limite de uma constante a prpria constante kkax

=

lim .

9. Limite da funo identidade ( ) xxf =

O limite da funo identidade o valor de a : axax

=

lim .

10. Limite de funo polinomial

Para qualquer polinmio, ( ) nn xcxcxccxp ++++= ...2210 e a qualquer nmero real, ento ( ) ( )apxp

ax=

lim .

11. Limite de funo racional

O limite de uma funo racional ( ) ( )( )xQxP

xf = quando ax pode ser calculado por substituio,

isto , ( ) ( )( )( )( )aQaP

xQxP

xfaxax

==

limlim , desde que ( ) 0aQ .

12. Limite do logaritmo natural de uma funo

O limite do logaritmo natural de uma funo igual ao logaritmo natural do limite da funo: ( ) ( ) Lxfxf

axaxlnlimlnlnlim ==

.

Exemplo 8: Calcule os seguintes limites:

a) xxx

3lim 25

+

R: 40

b) 51lim

2

3 +

x

x

x R: 1

c) 52lim2

++

xx

Soluo: ( ) 9522lim52lim02

=++=+ +

hxhx


59

d) 4lim3

+

xx


=+=+

hxhx

e) 1lim1

+x

x


=+= +

hxhx

f) 23

9lim xx

Soluo: ( ) 0699lim39lim 20

2

0=+=

hhh

hh

g) 1lim 21

++x

x

Soluo: ( ) 211lim1lim 20

2

1=++=+

+hx

hx

Exemplo 9: Considere a funo ( )


60

Resposta

a) Sim, 0)1( =f b) 0)(lim1

=+

xf

x c) Sim

d) Sim, 1)1( =f e) 2)(lim1

=

xfx

f) No

2.7 Limites Infinitos

Definies:

Se os valores de ( )xf crescem indefinidamente quando x tende a a , escreve-se ( ) +=

xfax

lim . A

notao ( ) =

xfax

lim significa que para cada 0>M , existe 0> tal que Mxf >)( sempre que M , existe M1

= tal que se 21

.

Exemplo 11: Calcule os seguintes limites:

a) 4

lim4

x

x

x b) ( )23 3

1lim

xx c) ( )3lnlim

3

x

x

d) x

x

x

2

0

3lim +

e) 2

1lim2

xx

Exemplo 12: Considere a funo ( )

=

2,2

1

2,2

1

xx

xxxf , calcule ( )xf

x 2lim

.


61

2.8 Limites no Infinito

Definies:

Seja uma funo f definida em todo x que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se estende na direo positiva do eixo x , escreve-se ( ) Lxf

x=

+lim se dado qualquer 0> , h um correspondente

nmero positivo M tal que ( ) . Seja uma funo f definida em todo x que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se

estende na direo negativa do eixo x , escreve-se ( ) Lxfx

=

lim se dado qualquer 0> , h um correspondente

nmero negativo M tal que ( )


62

Observaes:

1. +=+

n

xxlim , ,...3,2,1=n

2.

=

=+=

,...5,3,1,,...6,4,2,

limn

nx n

x

3. Um polinmio comporta-se como o seu termo de maior grau quando +x ou x .

Exemplo 15: Calcule os limites: a) xxx

38lim 2 ++

b) 45 67lim xxx

2.9 Unicidade do Limite

Se ( ) Lxfax

=

lim e ( ) Mxfax

=

lim , ento ML = .

Demonstrao:

Vamos iniciar supondo que ML . Sem perda de generalidade, pode-se escrever que ML > .

Tomemos 02

>

=

ML .

a) Existe 01 > tal que 10


63

2.10 Indeterminaes

So indeterminaes as substituies obtidas no clculo de limites que resultam em 00

,

, ou

nas potncias 1 , 00 , 0 .

1. Indeterminao tipo 00

Em uma funo racional quando o denominador e o numerador forem ambos nulos, fatora-se o numerador e o denominador, cancelando seus fatores comuns. Assim, podemos reduzir a frao outra, onde o numerador e o denominador no sejam mais nulos em ax = . Se isso acontecer, podemos obter o limite por substituio na frao simplificada.

Em uma funo algbrica irracional, uma maneira de encontrar o limite de uma funo para qual

a substituio direta leva a uma forma 00

usar a tcnica de racionalizao. Essa tcnica pode ser usada para

racionalizar o denominador ou o numerador.

Exemplo 16: Como o comportamento da funo 3

96)(2

+=

x

xxxf quando x se aproxima de 3?

Soluo:

Observe que esta funo no est definida em 3=x . Contudo, isto no interfere no limite, uma vez que este determina o comportamento de )(xf para valores de x prximos a 3, mas no para 3=x .

Para encontrarmos o limite desta funo quando x tende a trs, preciso simplific-la algebricamente, fatorando o numerador. Assim, temos:

1) Tabela x f (x)

2,9 -0,1 2,95 -0,05

2,995 -0,005 2,999 -0,001

3 3,001 0,001 3,005 0,005

3,05 0,05 3,1 0,1

Exemplo 17: Calcule os limites: a) 11

lim0

+ x

x

x b)

11lim

4

1

x

x

x

Soluo:

a) Observe que esta funo no est definida em 0=x . Contudo, isto no interfere no limite, uma vez

que este determina o comportamento de f para valores de x prximos a 0, mas no para x = 0. Para encontrarmos o limite desta funo quando x tende a zero, preciso simplific-la algebricamente, racionalizando o denominador.

( ) 03333

33

96

nao)(indetermi 00

396

3962

33

2

3

2

3

2

3

2

3

===

=

+

=

+

=

+

xxxx

x

x

limxlimx

xlimx

xxlim

x

xxlim

?x

xxlim)


64

Assim, temos:

?x

xlimx

=

+ 110

( )( )

( )

21111011lim

11lim1111lim

1111

11lim

11lim

0

0000

=+=++=++

=

++=

+

++=

++

++

+=

+

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

Logo, 211

lim0

=

+ x

x

x.

b) 11lim

4

1

x

x

x

Nesse caso, faz-se uma mudana de variveis para facilitar os clculos. Por exemplo, 0,4 = ttx . Quando ,14 t 1t . Substituindo no limite,

( )( ) ( )

adordenooFatorandondosimplifica

ttt

t

t

t

t

t

x

x

ttttx

min

21

11lim

111lim

11lim

11lim

11lim

11214

4 4

1

4

1

=

++

=

=

=

=

Logo, 21

11lim

4

1=

x

x

x.

E8. Calcule:

a) xx

xx

x

3

2

0lim b)

11lim

31

x

x

x c)

28lim

38

x

x

x d)

ax

ax

ax

22

lim

e) 49

32lim 27

x

x

x f)

x

xx

x

+

11lim0

g) x

x

x

+ 51

53lim4

h) 4356lim 2

2

1

++ xx

xx

x

Respostas

a) 1 b) 3/2 c) 12 d) aa4 e) 56/1 f) 1 g) 0 h) 5/4

2. Indeterminao tipo

nao)(indetermi 00

11lim

0=

+ x

x

x


65

Se ( )( )

=

+ xgxf

xlim , divide-se o numerador e o denominador pela maior potncia de x que aparece

no denominador.

Exemplo 18: Determine o valor dos seguintes limites:

a) 3

lim

x

x

x b)

12953lim 4

24

+

+ x

xx

x c)

7653lim

+ x

x

x d)

94293lim

2

2

++

++ xx

xx

x

Soluo:

a) 1311lim3

1lim3lim3lim

min

min=

=

=

=

=

xxx

x

x

xx

x

x

x

xxx

adordenooenumeradorosedividindo

adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelaxObserve

que o termo 3/x tende a zero quando x tende a .

b) =+

+

=

=

+

+

4

4

4

24

min

min4

24

12

953

lim12

953lim

x

x

x

xx

x

xx

x


adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax

23

12

953lim

12

953

lim4

42

44

4

44

2

4

4

=

+

+=

+

+

x

xx

xx

x

xx

x

x

x

xx.

Observe que os termos 5/x2, 9/x4, 1/x4 tendem a zero quando x tende a .

c) =

+ 76

53limx

x

x 21

63

76

53

limmin

min==

+

=

x

xx

x

x


adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpela

d) =++

++

=

=

++

++

x

xx

x

xx

xx

xx

x


adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax 942

93

lim942

93lim2

2

min

min2

2

14213lim

942

93lim

942

93

lim

2

2

2

2

2

2

=

+

+=

++

++

=

++

++

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3. Indeterminao tipo

Para resolver limites do tipo ( ) ( )[ ] =

xgxfax

lim so usados artifcios algbricos para

chegar a 00

ou

.


66

Exemplo 19: Resolva os limites:

a)

31 13

11lim

xxx b) ( ) ( )[ ]xgx

xcotseccoslim

0

c) ( )xxx

x+

1lim 2

Soluo.

a)

=

)1)(1(3

11lim

13

11lim 21

lg

31 xxxxxx x

eebricamentaomanipuland

x, pois aplicando BR

uma das razes de 1 x3 igual a 1, restando o polinmio x2 x 1. Sendo assim, temos

==

++

++

=

=

=

06

)1)(1(4lim

)1)(1(4lim)1)(1(

31lim)1)(1(3

11lim

2

2

1

2

2

12

2

121

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxx

x

xxx

b) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 020

cos1)(lim

)(cos11lim

)(cos

)(1

1lim

cotseccos1lim

cotseccoscotcot1lim

cotseccoscotseccoslim

cotseccoscotseccos

.cotseccoslimcotseccoslim

000

0

22

0

22

0

0

lg

0

==

+=

+=

+

=

+=

+

+=

+

=

+

+=

x

xsen

xsen

x

xsen

x

xsen

xgxxgxxgxg

xgxxgx

xgxxgx

xgxxgx

xxx

xxx

x


x

c)

( ) ( )( )( )

21

111

1lim1

lim1

lim

11lim

11lim

111lim1lim

22

2

min

min2

22

22

2

222

=

++

=

++

=

=

++

=

++=

++

+=

++

+++=+

xx

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

xxxxxxxx

xx


adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax

xxxx

4. Indeterminao tipo 0

Se ( ) ( )[ ] =

0lim xgxfax

, transforma-se em outras indeterminaes usando artifcios algbricos.

Exemplo 20: Calcule ( ) ( )xxsenx

seccoslim0

.

Soluo:


67

( ) ( ) ( ) 1)(1lim0seccoslim

0

lg

0==

xsenxsenxxsen

x


x

E9. Calcule os limites:

a)

5213lim

++ x

x

x (R: 23 )

b)

43lim+ xx

(R:0)

c)

375lim 2

2

xx

x

x

++

(R: 35 )

d)8

3lim 24

+ x

xx

x (R: 3 )

e) 110lim 2 +

xxx

(R: + )

f) 115lim 34

23

++

++ xxx

xxx

x (R: 0)

g)352

32lim 22

+

+ xx

xx

x (R: 21 )

h) 21limxx +

(R:0)

i)

+

+ xx

1002lim (R:2)

j)532lim 2

3

+

++ x

xx

x (R: + )

k)1

lim2 + x

x

x (R:1)

l)1

lim+ x

x

x (R: + )

m) xxx

+

1lim (R:0)

n) 19

1lim+

+ x

x

x (R: 31 )

o) 32

23

452372lim

xxx

xxx

x+

+

(R: 21 )

p) 54lim

2

x

xx

x (R: + )

q) ( )xxxx

1lim 2 (R: 21 )

r) 11lim 22 +

xxx

(R:0)

s) xxxx

2123lim 2 ++

(R: + )

2.11 Teorema do Confronto

Suponha que ( ) ( ) ( )xgxfxh para qualquer x em um dado intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente quando

ax = . Suponha tambm que ( ) ( ) Lxhxgaxax

==

limlim , ento

( ) Lxfax

=

lim .

Demonstrao:

Para 0> , existem 01 > e 02 > tais que ( )


68

Como ( ) 11 xsen , pode-se dividir por x , j que 0>x a desigualdade mantida e podemos escrever

( )xx

xsen

x

11 . Calculando os limites, ( )xx

xsen

x xxx

1limlim1lim

, chega-se a

( ) 0lim0 x

xsen

x, pelo teorema do confronto, ( ) 0lim =

x

xsen

x.

2.12 Limites Fundamentais

1. Limite fundamental: ( ) 1lim0

= x

xsen

x

Demonstrao:

Observe na figura que

rea OAP < rea do setor OAP < rea OAT

Podemos expressar as reas em termos de da seguinte forma:

rea OAP = ( ) ( )( ) ( ) sensenalturabase211

21

21

==

rea do setor OAP = ( )2

121

21 22 ==r

rea OAT = ( ) ( )( ) ( ) tgtgalturabase211

21

21

==

Logo, tgsen21

21

21


69

Exemplo 22: Utilizando ( ) 1lim

0=

sen, calcule os limites: a) ( )

x

x

x

1coslim0

b) ( )

x

xsen

x 52lim

0

2. Limite fundamental: ( ) ex xx

=+

1

1lim0

Proposio: ex

x

x=

+

11lim , onde e o nmero irracional neperiano cujo valor aproximado 2,718281828459... .

Exemplo 23: Mostre que ( ) ex xx

=+

1

1lim0

.

Demonstrao:

Primeiramente, mostraremos que ( ) ex xx

=++

1

1lim0

.

Aplicando a mudana de varivel t

x1

= , temos que t quando + 0x . Logo,

( ) et

x

t

tx

x=

+=+

+

11lim1lim1

0.

Da mesma forma, mostra-se que ( ) ex xx

=+

1

1lim0

.

Portanto, ( ) ex xx

=+

1

1lim0

.

Exemplo 24: Calcule os limites:

a) ( ) xxx

1

31lim0

+

b) ( ) xxx

1

51lim0

c)

xx

x

1

21lim

0

d) ( )

x

x

x

101lnlim0

+

e) ( )( ) ( )xsenxsenx

1

1lim0

+

f) x

x x

+

21lim g) x

x x

211lim

+

h)

2

31lim

+

+

x

x x

x

3. Limite fundamental: ( )akx

a kx

xln1lim

0=

, 1,0 > aa

Demonstrao:

Fazendo 1= kxat , temos: 1+= ta kx . Aplicando os logaritmos neperianos:

Formas mais gerais

( ) kx

ekx x =+

1

1lim0

kx

xe

x

k=

+

1lim


70

( )1lnln += ta kx ( )1lnln += takx ( )ak

tx

ln1ln

+=

Quando 0x , 0x , temos 0,0 tt e ento podemos escrever

( ) ( ) ( ) aaat

kxa

tt

t

t

ttt

a

tt

kx

xln

lim

1limln1limlnlim1lim 1ln

0

01ln0

ln1ln00

====

+

++

, j que ( ) 1lim 1ln0

=+

tt

t.

Exemplo 25: Calcule os limites:

a) x

x

x 312lim

3

0

b)

x

x

x 213lim

2

0

c)

( )

x

xa

x

13lim2

0

d)

x

ee bxax

x

0lim

E11. Calcule os seguintes limites:

a) ( )11lim 21

+ x

xsen

x R:

21

b) ( )xsenx

x 32lim

0 R:

32

c) ( )( ) ( )xsenxgx

x 33cot13coslim

0

R: 0 d) ( )2

2

0

cos1limx

x

x

R: 1

e) ( )xsenxx x

x 21lim

0

+

R: 2e

f) ( )

( )xtgxtg

x

21lim0

R: 2ln

g) 2

13lim4

2

2

x

x

x

R: 3ln4 h)

x

x

xx

+ 1

1ln1lim0

R: 1

i) ( ) ( )1211

lim 30

+ xx

xsenxsen

R: 2ln3

1 j)

( )

( )xe x

x cos

1limcos

2

pi

R: 1

k)

+

+ 1

4lnlim 22

2

x

xx

x

R: 3 l)

233lim

2

2

x

x

x R: ( )3ln

432 2

m) ( ) ( )ax

atgxtgax

lim R:

a2cos

1 n) ( )( ) ( )xxsen

xtgx cos

1lim4

pi

R: 2

o) ( ) ( )h

xsenhxsenh

+0

lim R: ( )xcos p) 2

54lim

+

+

x

x x

x

R: 91e

Lista de Exerccios Limites de Funes de uma Varivel

1. Considere o grfico da funo ( )xf


71

Para cada afirmao abaixo, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta.

a) ( ) ( )xfax

lim no existe.

b) ( ) ( ) 3lim =

xfax

.

c) ( ) ( ) 0lim0

=

xfx

.

d) ( ) ( )xfxx 0

lim

existe em todo ponto do intervalo ( )a,0 .

2. Calcule os limites:

a) y

yy

5lim

2

5

R: 25

b) ( )3182lim0

z

z

R: 2

c) 168lim 4

3

2

v

v

v

R: 83

d) z

zzz

24lim

2

4

R: 16

e)

20

11limxxx

R: f) 23lim ++

xxx

R: 0

g) ( ) ( )mmsenm

seccoslim0

R: 1 h)

11

12lim 20 xxx

R: 1

i) 3542lim

3

+

+ yy

y

R: + j)

187125lim 2

3

+ y

yyy

R:

k) 43

19lim2

2

+

++ v

vv

v

R: 3 l) ( ) ( )( )[ ] senv

lnlnlim0

+

R: 0

m) ( )( )xxg

x seccos

cotlim0+

R: 1 n) ( )xsen

x

x+0

lim R: 1

o) xx

xx

x ee

ee

+

lim R: 1 p) ( )xsene x

x

lim R: 0

3. Suponha que ( ) 1lim0

=

xfx

e ( ) 5lim0

=

xgx

, calcule o valor de ( ) ( )( )( )3272lim

0 +

= xf

xgxfLx

. R: 47

4. Se ( ) 1

25lim

2=

x

xfx

, determine ( )xfx 2lim

. R: 3

5. Determine as assntotas dos grficos das seguintes funes:

a) ( )23

+

+=

x

xxf R: Assntota horizontal y = 1, Assntota vertical x = 2.

b) ( )4

82

=

xxf R: Assntota horizontal y = 0, Assntota vertical x = 2 e x = 2.

c) ( )8+

=

x

xxf R: Assntota horizontal y =1, Assntota vertical x = 8.

d) ( )x

xxf 1+= R: Assntota horizontal y =1, Assntota vertical x = 0.

unidade 2 limites

Documents