Clculo Diferencial e Integral

Limites

Material Terico

Responsvel pelo Contedo:Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano

Reviso Textual:Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin

5Introduo

Limites

Propriedades teis para avaliao dos limites

Para ajud-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaa os exemplos resolvidos, alm de treinar com as Atividades Prticas disponveis e suas resolues ao final do contedo.

No deixe de assistir, tambm, apresentao narrada do contedo e de alguns exerccios resolvidos.

Finalmente, e o mais importante, fique atento s atividades avaliativas propostas e ao prazo de realizao e envio.

Estudaremos: Conceito intuitivo de limite; Limites pela esquerda e pela direita; Limite inexistente; Limite quando a imagem de a no est definida; Indeterminao do limite; Limites envolvendo o infinito; Propriedade dos limites; Reta tangente e taxa de variao mdia e instantnea. Definio formal de um limite.

Ao trmino deste estudo, desejamos que voc seja capaz de interpretar e conceituar um limite, bem como resolver problemas envolvendo o conceito de limite.

Limites

Problemas de aplicao

Definio formal de limite

6Unidade: Limites

Contextualizao

O conhecimento matemtico a construo do homem para auxili-lo na resoluo de problemas. Qualquer novo conhecimento leva um tempo para ser internalizado.

Como atividade de contextualizao, leia a parte de um artigo muito interessante,retirado do site: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/10/aprendendendo-aprender-matematica.

Ningum aprende Matemtica ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras que sejam suas prelees, por mais que se entenda tudo que ele explica. Isto ajuda muito, mas preciso estudar por conta prpria logo aps as aulas, antes que o benefcio delas desaparea com o tempo... Mas esse estudo exige muita disciplina e concentrao: estuda-se sentado mesa, com lpis e papel mo, prontos para serem usados a todo o momento. Voc tem de interromper a leitura... para fazer um grfico ou diagrama, ou alguma figura que ajude a seguir o raciocnio do livro, sugerir ou testar uma ideia... Por isso mesmo, no espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrrio, esse leitor ser induzido a uma situao passiva, quando o mais importante desenvolver as habilidades para o trabalho independente... Os exerccios so uma das partes mais importante do livro. De nada adianta estudar a teoria sem se aplicar na resoluo dos exerccios propostos. Muitos desses exerccios so complementos da teoria e no podem ser negligenciados, sob pena de grande prejuzo no aprendizado. Voc estar fazendo progresso significativo quando sentir que est realmente aprendendo a aprender.

7Introduo

A ideia de limite surgiu na Grcia antiga (sculo V a.C.). Nesse tempo, Zeno de Eleia desafiou os filsofos gregos com uma srie de paradoxos . Entre eles, o de Aquiles e a tartaruga.

GlossrioUm paradoxo uma declarao aparentemente verdadeira que leva a uma contradio lgica, ou a uma situao que contradiz a intuio comum. Em termos simples, um paradoxo o oposto do que algum pensa ser a verdade. A identificao de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliando significativamente o progresso da Cincia, Filosofia e Matemtica.

O veloz Aquiles corre para alcanar uma tartaruga que se afasta dele, mas quando ele chega ao lugar em que a tartaruga estava ela j partiu. Aquiles nunca pode alcanar a tartaruga, porque na altura em que atinge o ponto de onde a tartaruga partiu, ela j ter se deslocado para outro ponto. Na altura em que alcana esse segundo ponto, ela ter se deslocado de novo, e assim sucessivamente, ad infinitum.

Arquimedes consolida esse conceito definindo a rea do crculo como limite dos polgonos inscritosecircunscritos,determinandocomoconsequnciaovalorde.

Vamos observar algumas situaes em que esto presentes as ideias intuitivas de limite.

Se o cmbio do dlar americano se estabilizar em torno de R$ 2,00, ento, o valor pago por 100 dlares estabilizar em R$ 200,00.

Logo, podemos dizer que o limite (valor pago por 100 dlares) igual a R$ 200,00 quando o valor pago por 1 dlar tende a R$ 2,00.

Considere sequncia (an) de nmeros, com *1 , na nn

= .

Veja a sequncia numrica e observe o que acontece com a_n, conforme n cresce indefinidamente.

Dizemos que quando n tende ao infinito, o limite da sequncia igual a zero, pois o valor obtido tende a zero.

Sequncia=1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001...

Imagine uma placa metlica quadrada que se expande de maneira uniforme ao ser aquecida. Se

o comprimento do lado, a rea da placa dada por 2A = . Portanto, quando se

aproxima de 3, 2A = se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente, escreveremos 23

lim

= 9.

Pense agora que voc est acelerando um automvel. Quando o acelerador for calcado para baixo cerca de 2 cm, a velocidade se manter prxima a 60 km/h.

8Unidade: Limites

Logo, podemos dizer que o limite (a velocidade instantnea do carro) 60 km/h quando o acelerador tender a 2 cm para baixo.

Matematicamente, expressamos essa informao da seguinte maneira:

( )2

lim 60x

v x

=

Sendo que v(x) a velocidade instantnea do carro e x a medida em centmetros calcado no acelerador.

Limites

O limite um conceito matemtico rigorosamente definido. Basicamente, estaremos preocupados com o que acontece com a varivel dependente quando os valores da varivel independente se aproximam de uma constante a.

Alguns pontos importantes:

O conceito de limite de uma funo quando x tende para a no pode ser confundido com o conceito do valor da funo quando x = a;

O limite quando x tende para a pode existir e a funo pode ser definida em a ou no;

A funo pode ser definida para a e o limite pode existir ou no;

O limite quando x tende para a pode existir e a funo pode ser definida para a, e seus valores podem ser os mesmos ou no;

Geralmente x pode tender para a pelos dois sentidos, por meio de valores menores que a ou de valores maiores que a;

O limite L deve ser um nmero finito.

Vamos considerar a funo f(x) = x + 2:

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1f(x) = x+2 3,9 3,99 3,999 3,9999 4 4,0001 4,001 4,01 4,1

Podemos observar claramente que quanto mais x se aproxima de 2, tanto para valores menores do que 2 (pela esquerda), como para valores maiores do que 2 (pela direita), f(x) se aproxima cada vez mais de 4.

Observe no grfico e analise para que valor a funo tende (olhe no eixo y), quando nos aproximamos do valor 2 (eixo x).

9 Seja f(x) uma funo definida em um intervalo aberto em torno de x0, Se f(x), fica to prximo de L (tanto quanto quisermos) para todos os valores de x de prximos de x0, dizemos que f tem um limite L quando x tende a x0 e escrevemos:

( )0

limx x

f x L

=

L-se: O limite de f(x) quando x tende x0 L.

Limite pela direta e pela esquerdaQuando a varivel x tende x = a, mas sempre permanece menor do que a, dizemos que x

tende a a pela esquerda, ou seja, para valores menores do que a.

Se o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de L- quando x tende a a pela esquerda, dizemos que L- o limite pela esquerda e empregamos o smbolo:

( )limx a

f x

= L-

Da mesma forma, quando x tende para a, e sempre permanece maior do que a, simbolizamos o limite por: ( )lim

x af x

= L+

Surge, ento, a questo: os valores de f(x) sempre tendero ao nmero real L quando x tende para a, seja pela esquerda ou pela direita?

A resposta NO.

10

Unidade: Limites

Limite inexistenteVamos analisar o seguinte caso:

Seja a funo ( ) xf xx

= , sendo , 0

. 0

x se xx

x se x

=

11

Se isto acontecer, significa que a funo tem limite e o valor desse limite o mesmo para o qual a funo tende.

A funo f(x) que estamos analisando no est definida no ponto 4, ou seja, no possvel calcular a sua imagem no ponto 4.

Queremos saber se a funo tem limite quando x tende a 4. A funo definida em partes, para valores maiores e menores do que 4. Portanto, teremos de calcular os limites laterais para saber se a funo ter ou no limite.

Para calcular o limite de forma algbrica, basta substituir o valor de x diretamente na funo.

Observe:

( )4

lim 4 4 0x

f x

= =

( )4

lim 4 4 0x

f x+

= =

Portanto, a funo tende a zero quando f se aproxima do 4 tanto pela esquerda quanto pela direita.

Se a funo tende para um nico valor, significa que a funo tem limite e o valor desse limite o valor para o qual ela tende.

Em linguagem matemtica: ( )4lim 0x f x = importante observar que o fato da funo no estar definida em um ponto no implica a

existncia ou no de um limite, pois vamos observar o comportamento da funo na vizinhana do ponto.

Quando o limite do denominador igual a zeroQuando calculamos o limite, ns o fazemos quando x tende para a e no para x = a.

A funo pode no existir no ponto a e seu limite pode existir. Essas situaes nos levam a encontrar o limite do denominador igual a zero ou uma indeterminao 0

0 .

Para resolver o problema, preciso manipular algebricamente a funo, por exemplo, fatorando o denominador.

Vamos encontrar, caso exista, o limite de:2

2

4 4 4 0lim2 2 2 0x

xx

= =

Substituindo o valor de x na funo, chegamos ao resultado acima.

Como no existe diviso por zero, podemos concluir que o limite no existe?

A resposta no!

12

Unidade: Limites

Sempre que chegarmos ao resultado 00

, implica que o nosso limite est indeterminado, ou seja, ele pode ou no existir.

Para resolver esse problema, teremos que manipular algebricamente essa funo para saber se o limite existe ou no.

Nosso objetivo ser eliminar o denominador que est atrapalhando a resoluo do nosso problema.

Podemos fatorar a expresso do numerador e com isso ser possvel cancelar o denominador, observe:

2

2

4 4 4 0lim2 2 2 0x

xx

= =

O numerador uma expresso que representa a diferena de dois quadrados (produto notvel), que pode ser reescrita na forma de um produto.

Ao se reescrever a funo como um produto de dois fatores, possvel cancelar um deles (x-2) e, portanto, calcular o limite da funo substituindo o x por 2.

Limites envolvendo o infinitoAt agora, trabalhamos com limites de funes que tinham a varivel independente x

tendendo para uma certa constante a.

O que acontece se permitido que a varivel x cresa ou decresa sem limite?

A expresso tende para o infinito usada para indicar que x no est se aproximando de nenhum nmero real, mas crescendo indefinidamente.

Notao:

xindicaquexcresceilimitadamenteatravsdevalorespositivos.

xindicaquexcresceilimitadamenteatravsdevaloresnegativos.

Trocando Ideias

Lembre-se de que infinito no nmero real que se representa na reta real, mas sim um conceito.

13

Quando X tende para zeroAnalise o comportamento da funo abaixo, observando a tabela.

Verifique o seu limite pela esquerda e pela direita, quando x tende para zero: f(x) =1/x.

Verifique, tambm, se quando x tende para zero se a funo tem valores se aproximando de um limite bem definido:

X -1 -0,1 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,1 1f(x) -1 -10 -100 -1000 1000 100 10 1

Note que quando nos aproximamos de zero pela esquerda (valores menores do que zero), a funo vai tendendo para um valor cada vez menor. Ele tende para o menos infinito.

Quando nos aproximamos do zero pela direita, para valores maiores do que zero, a funo tende para valores cada vez maiores, ou seja, tende ao mais infinito.

Dizer que uma funo tende para mais infinito ou menos infinito uma forma de dizer que essa funo no tem limite.

Propriedades teis para avaliao dos limites

Pro priedade 1

Para qualquer constante real k, limx a

k k

=

Portanto, 7 o limite de uma constante (k), a prpria constante.

2lim 7 7x

=

Propriedade 2

Para qualquer nmero real n, lim n nx a

x a

=

Exemplo:2 2

3lim 3 9x

x

= =

Propriedade 3

( ) ( )lim limx a x a

kf x k f x

=

14

Unidade: Limites

Exemplo:2 2

2 2lim3 3limx x

x x

=

( )222

lim3 3. 2 3.4 12x

x

= = =

( )222

3lim 3. 2 3.4 12x

x

= = =

Propriedade 4

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x

= Exemplo:

2 2

3 3 3lim( 2 ) lim lim 2x x x

x x x x

+ = +

2 2

3lim( 2 ) 3 2.3 15x

x x

+ = + =

2 2

3 3lim lim 2 3 2.3 15x x

x x

+ = + =

Propriedade 5

( ) ( ) ( ) ( )lim . lim .limx a x a x a

f x g x f x g x

=

Exemplo:

2 2

5 5 5lim .3 lim .lim3x x x

x x x x

=

( )225

lim .3 5 .3.5 375x

x x

= =

2

5lim 25x

x

=

5lim3 3.5 15x

x

= =

2

5 5lim .lim3 25.15 375x x

x x

= =

15

Propriedade 6

( )( )

( )( ) ( )

limlim , lim 0

limx a

x a x ax a

f xf xse g x

g x g x

=

Exemplo:

222

22

lim 11lim3 lim 3

x

xx

xxx x

++=

+ +

2 2

2

1 2 1 5lim 13 2 3 5x

xx

+ += = =

+ +

2 2

2lim 1 2 1 5x

x

+ = + =

2lim 3 2 3 5x

x

+ = + =

2

2

2

lim 1 5 1lim 3 5x

x

x

x

+= =

+

Taxas de variao e limitesA taxa de variao a base do estudo das funes. Ela exprime a rapidez com que uma

funo cresce/decresce em um intervalo de tempo.

Exemplo:

Um carro desloca-se de A para B em um intervalo de tempo, conforme descrito na tabela abaixo. Calcular a taxa de variao mdia entre os instantes 1 e 4:

Tempo(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...Espao (m) 0 2 5 9 14 20 27 35 ...

[ ] 14 21, 4 3 /4 1

tvm m s= =

16

Unidade: Limites

A taxa de variao mdia (tvm) de uma funo f em um intervalo [XA, XB], :

[ ]( ) ( )

,

tvmA B

B A

X XB A

f X f X yX X x

= =

Os fenmenos fsicos muitas vezes envolvem grandezas que variam:

A intensidade do tremor de um terremoto;

A inflao de uma moeda;

O nmero de bactrias em uma cultura;

A velocidade de um foguete;

Etc.

O objetivo da aula desenvolver o conceito de derivada, que a ferramenta matemtica que estuda a taxa segundo a qual varia uma quantidade em relao outra.

O estudo de taxas de variao est relacionado ao conceito geomtrico de uma reta tangente a uma curva. Portanto, estudaremos a definio geral de reta tangente e tambm os mtodos para encontrar sua inclinao e equao.

Retas TangentesReta tangente a uma curva y = f(x) num ponto P(x0, f(x0)). Considere um ponto Q(x, f(x)) que

seja distinto de P e calcule a inclinao da reta secante PQ (m PQ):

m PQ = ( ) ( )0

0

f x f xx x

Quando x tende a x0, ento Q caminha na curva e se aproxima de P. Se a reta secante PQ atingir uma posio limite quando x x0, consideraremos essa posio como a posio da reta tangente em P.

Se m nos d a inclinao da reta, podemos achar a equao da reta tangente pela aplicao da frmula: y=ax+b.

Taxa de variao instantnea de uma funoVamos tomar, por exemplo, a velocidade de um automvel em um percurso AB.

Em geral, a velocidade mdia do percurso AB no coincide com a velocidade em um determinado instante.

17

Para obter a velocidade instantnea no instante t0, consideram-se intervalos de tempo entre t0 e t0 + h e se calcula o limite das taxas de variao (tvm [t0, t0 + h]) quando h tende para zero.

A velocidade instantnea ou a taxa de variao instantnea (tvi) de uma funo f no instante t0 ou a derivada da funo dada por:

0limx

yx

Sendo:

y=f(x0+x)f(x0)

O valor desse limite denotado por f(x0) e dizemos que f derivvel em x0.

Graficamente vamos considerar uma reta secante passando por:

Q(x0+x,f(x0+x))

P (x0 + f(x0))

Paraxtendendoazero,aretasecantequepassaporPQmudadeposio,poisopontoQvai se aproximando do ponto P, ou seja, tendo reta tangente ao grfico em P.

Em termos de limite temos:

m = ( ) ( )00

lim

+

o

x

f x x f xx

A derivada de uma funo f em x0 igual ao coeficiente angular da reta tangente do grfico de f no ponto de abscissa x0.

18

Unidade: Limites

Exemplo

Vamosusaraideiadelimiteparaobteraequaodaretat,tangenteaogrficodef(x)=x21nopontoPdeabscissa1.

Resoluo

O ponto P um par ordenado. Portanto P (x, y), temos o valor de x e, portanto, precisamos acharovalordey,pelafuno,ouseja,f(1)=2,logoP=(1,2).

A partir dessa informao, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao grfico no ponto P.

m(inclinao da reta) = ( ) ( )00

lim ox

f x x f xx

+

( ) ( )0

1 1limx

f x fx

+

( ) ( )20

[ 1 1] 2limx

f xx

+

( )20

1 2 1 2limx

x x

x

+ + +

( )20

1 2 1 2limx

x xx

+

( )20

2limx

x xx

( )0

2limx

x xx

Como o limite encontrado igual inclinao da reta (ou seja, o seu coeficiente angular), podemos substituir na frmula:

y=ax+b

y=-2x+b

19

Nosso prximo passo ser achar o valor de b, e conseguimos isso substituindo os valores conhecidos de x e y (ponto P), na funo:

-2=-2.1+b

b=0

A equao da reta tangente ao ponto P : y=-2x.

Observe no grfico a seguir a equao da reta encontrada e a equao tangente ao grfico da parbola abaixo.

Vamos analisar se f(x) = |x- 2|, para x = 2.

0

2 2 0limx

f xx

+

0limx

xx

=

1, 01, 0se xse x

>

20

Unidade: Limites

Problemas de aplicao

Exerccio 1Seja f: RR dada por f(x) = ax2, derivvel. Calcule o coeficiente angular da reta tangente

curva no ponto de abscissa x= a.

Resoluo

Como j vimos no exerccio anterior, o coeficiente angular da reta tangente curva em um ponto Pqualquernumericamenteigualaolimitedafunonessepontoquandooxtendeazero.

Nosso primeiro passo calcular esse limite:

( ) ( )20

limx

f a x f aax

x +

=

( ) ( ) ( )2 22. 2f a x a a x a a a x x + = + = + +

( ) ( )23 22f a x a a x x+ + + =

( ) 2 3.f a a a a= =Vamos calcular o limite:

( )23 2 32

0

2limx

a a x x aax

x + +

=

( )2220

2limx

a x xax

x+

=

( )22 20

2lim 2x

x a xax a

x

+

= =

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente curva f(x)= ax2 2a2.

21

Exerccio 2Obtenha a equao da reta tangente ao grfico de f(x) = x2 no ponto de abscissa -2.

Resoluo

Se o que buscamos a equao da reta tangente, nosso primeiro passo ser identificar o coeficiente angular dessa reta, que sabemos ser numericamente igual ao limite da funo quando o valor de x tende -2:

( ) ( )22

2 2limx

f x fx

x +

=

( ) ( ) ( )2 22 2 4 2f x x x x+ = + = +

( ) ( )22 2 4f = =

( )222

4 2 4limx

x xx

x +

=

( )22

2lim 4x

x xx

x

=

+

=

Obtivemos, assim, o coeficiente angular da reta que procuramos.

y=-4x+b

Basta substituir os valores de x e y por um par ordenado conhecido. Sabemos que quando x -2, o y = 4, portanto:

4=-4.(-2)+b

4=8+b

A equao da reta procurada y=-4x-4.

Continuidade

Dizemos que uma funo f(x) contnua num ponto a de seu domnio se as seguintes condies so satisfeitas:

22

Unidade: Limites

1) f(a) definida, isto , o domnio de f inclui x = a.

2) ( )limx a

f x

existe.

3) ( )limx a

f x

=f(a)

Verifique se as funes abaixo so contnuas ou no:

1) f(x)=(x^2-4)/(x-2)

Para que a funo seja contnua, ela no pode ter nenhuma interrupo. a ideia de uma linha continua, sem quebras.

No caso dessa funo, observe que ela no est definida no ponto 2, ou seja, no h imagem para x = 2. Portanto, ela no contnua porque no est definida no ponto x = 2.

A funo no atende uma das condies acima mencionadas. Para a funo ser contnua, ela tem que atender as trs condies simultaneamente.

Resposta: a funo no contnua por no estar definida no ponto x = 2.

2) ( ) 2 , 53 5, 5

x se xf x

x se x

= + >

Vamos observar as condies de continuidade:

A funo est definida em todos os pontos do domnio. Portanto, atende a condio 1.

Para ela ser contnua, ele dever ter limite, no caso, para x = 5.

Calculando os limites:

5lim 2 10x

x

=

5lim 3 5 20x

x+

+ =

Os limites laterais no coincidem. Portanto, o limite de f(x) no existe. Com essa informao percebe-se que a funo no atende a condio 2, portanto a funo no contnua.

23

Definio formal de limite

A definio intuitiva de limite por vezes inadequada para determinados propsitos, pois ela afirma que quando se est prximo do valor a do eixo x, a funo tende para o nmero L no eixo y.

Vamos entender a definio precisa de um limite analisando a seguinte funo:

( ) 2 1, 36, 3

x se xf x

x se x

= = =

Intuitivamente, nota-se que quando mais prximo se est do nmero 3, mas para um nmero diferente de 3, o limite L 5, ou seja:

( )3

lim 5x

f x

=

Para obter informaes detalhadas de como f(x) se comporta (quanto varia) quanto mais perto se est do nmero 5, podemos fazer o seguinte questionamento:

A que proximidade do 3 o x deve estar para que f(x) difira de 5 por menos de 0,1?

A distncia de x at 3 igual ao mdulo: |x-3| e a distncia de f(x) at

5 |f(x)-5|.

Nosso problema ser achar um nmero (letra grega delta), tal que:

|f(x)-5|

24

Unidade: Limites

Esses nmeros 0,1, 0,01, 0,001 so chamados erros de tolerncia, ou tolerncia que se pode admitir.

Para que o nmero 5 seja precisamente o limite de f(x) quando o x tende a 3 preciso conseguir que a diferena entre f(x) e o nmero 5 seja menor que qualquer nmero positivo. Se chamarmos um nmero positivo arbitrrio pela letra grega psilon, podemos reescrever o nosso problema da seguinte forma:

|f(x)-5|0 possvel encontrar um >0 adequado de tal modo que x seja diferente de 1e esteja a uma distncia menor do que de x0 = 1.

Isto , sempre que 0

25

|5x-5|

26

Unidade: Limites

Material Complementar

Para se aprofundar sobre o estudo os limites, consulte os sites e as referncias a seguir:

https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4

https://www.youtube.com/watch?v=SJb1g3qr_0o

https://www.youtube.com/watch?v=2a_WmvgVhVs

https://www.youtube.com/watch?v=x6lICc6aCvk

https://www.youtube.com/watch?v=T4l79_LplPQ

Outra indicao:

Captulo 2 do livro Clculo (George B. Thomas Jr), (volume 1), de Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. So Paulo: Addison Wesley, 2009. p. 66-91.

27

Referncias

FLEMMING, Diva Marlia; GONCALVES, Miriam Buss. Clculo A: funes, limite, derivao, integrao. 6.ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

STEWART, James. Clculo 6.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2010.

THOMAS JR., George B. et al. Clculo (de) George B. Thomas jr. 12.ed. So Paulo: Addison-Wesley, 2003.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de clculo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.

28

Unidade: Limites

Anotaes

www.cruzeirodosulvirtual.com.brCampus LiberdadeRua Galvo Bueno, 868CEP 01506-000So Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000