um programa baseado no mef para a resolução de treliças 2d 1
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Um programa baseado no MEF para a resolução de treliças 2D
Jonathas I. F. de Oliveira, Eric M. F. Bezerra, Ruan M. O. de Freitas, Raimundo G. de
Amorim Neto UFERSA - Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas,
DCAT - Campus Leste
59.625-900, Mossoró, RN E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
Flaviana M. de S. Amorim Faculdade de Ciências e Tecnologia Mater Christi
59611-030, Mossoró, RN
E-mail: [email protected]
Palavras-chave: MatLab, treliças planas, MEF
Resumo: A treliça é um tipo de estrutura das mais comumente utilizadas na construção de pontes e
coberturas. A sua resolução clássica consiste na imposição de equilíbrio de seus elementos
constituintes (nós e barras), e esta resolução se torna por demais custosa e às vezes inviável
manualmente. Assim este trabalho foca no desenvolvimento de uma ferramenta gráfica-computacional
que auxilia na solução das treliças planas. Como pacote de auxilio na programação optou-se pelo uso
do MatLab, em função da suas sub-rotinas previamente contidas. Os resultados numéricos foram
satisfatórios e a sua aplicabilidade se mostra bastante abrangente.
1 Introdução
As treliças são elementos estruturais amplamente utilizados em obras de engenharia devido a sua
versatilidade, economia e pequeno peso próprio se comparado com as cargas que podem suportar. São
frequentemente utilizadas na construção de pontes e coberturas. Elas são compostas por barras
delgadas retas, sendo articuladas em suas extremidades ou nós (conforme a Figura 1). Na prática sendo
comumente feitas de aço ou madeira, sendo conectadas por rebites ou solda.
Figura 1: Exemplo de treliça no Restaurante Universitário da UFERSA
Os referidos nós são considerados por meio de rótulas, que implica na não transmissibilidade de
momentos entre as barras. Embora não sejam considerados para efeito de cálculo, os momentos
existirão, porém sendo desprezíveis em relação aos esforços normais existentes. Dessa forma,
considera-se que as barras de uma treliça estão sujeitas apenas a esforços normais, que podem ser de
compressão ou tração. Para a sua análise se faz necessário à obtenção de um modelo físico-
matemático, que leve em consideração a ação do esforço normal como preponderante sobre os
momentos. As treliças são estruturas estáticas, assim sendo, devem obedecer às condições vetoriais de
equilíbrio, apresentadas na equação 1,
∑ e ∑ (1) As equações da estática são utilizadas para determinar a reação dos apoios e são a base para os
métodos clássicos para a análise dos esforços internos nos elementos das treliças, como o método dos
nós e método das seções. Em resumo, o método dos nós condiciona que para a treliça estar em
equilíbrio, todos os seus nós deverão também estar em equilíbrio. Desse modo, para se conhecer os
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esforços em cada barra da treliça, basta utilizar as condições de equilíbrio para um ponto material. Já o
método das seções parte de principio análogo, mediante a separação de partes da estrutura.
Após se conhecer as forças internas em cada barra da treliça, pode-se obter as tensões se com base
nas seções transversais das barras. Já as deformações de cada elemento da treliça podem ser
conhecidas através da utilização de métodos de energia, onde as deformações se caracterizam pelos
deslocamentos dos nós. O principal método de energia utilizado é o Princípio dos Trabalhos Virtuais
(PTV), onde conhecidos os esforços internos reais, admite-se uma força unitária virtual no nó e
direção onde se deseja conhecer o deslocamento, conforme a equação 2, a seguir:
∑
(2)
Nesta, tem-se que: n = esforço na barra devido ao carregamento virtual; N = esforço na barra devido
ao carregamento real; L = comprimento da barra; E = módulo de Young e A = área da seção
transversal da barra. A resolução de treliças pelo método analítico, em especial o Princípio dos
Trabalhos Virtuais, é uma atividade dispendiosa e impraticável para dependendo da complexidade e
tamanho da estrutura.
2 Metodologia
Em face a dificuldade dos métodos energéticos e analíticos, e em paralelo ao avanço da computação
surgiram métodos numéricos para a resolução de estruturas, destacando-se entre eles o método dos
elementos finitos (MEF). O MEF consiste em discretizar o domínio e analisar cada um nos
subdomínios separadamente. Devido os esforços nas barras da treliça serem constantes por todo o seu
comprimento, pode-se adotar como elemento finito a própria barra.
O MEF se baseia nos métodos de energia, a medida que faz o uso do principio da conservação da
energia, para uma estrutura em equilíbrio, o trabalho realizado pelos esforços internos deverá ser igual
ao trabalho realizado pelas forças externas, uma vez desprezadas as forças dissipativas, como por
exemplo o calor e ondas sonoras, resultando nas Equações 3 e 4, sendo a segunda a apropriada
expansão da equação 3, mediante a consideração dos esforços normais, de torção, momento e
cisalhamento
(3)
dxGJ
Tdx
GA
Vfdx
EI
Mdx
EA
NF
LL
S
LL
ii
0
2
0
2
0
2
0
2
22222
1 (4)
As treliças tem como esforço preponderante o normal, sendo então os demais termos da equação da
energia desconsiderados para análise da estrutura. Ainda com base na partição do domínio do
problema e a resolução das equações integrais, chega-se a representação simplificada do problema,
apresentada na Equação 5, onde a resolução de treliças por elementos finitos consiste em resolver o
sistema de equações,
(5) onde F é o vetor das forças externas atuantes na estrutura, K é a matriz de rigidez e D o vetor dos
deslocamentos da estrutura. Por fim a matriz de rigidez K da estrutura é obtida através da justaposição
das matrizes de rigidez de cada elemento da treliça nos seus locais específicos, de acordo com os
deslocamentos restritos dos nós. Após conhecidos os deslocamentos em cada um dos elementos é
possível determinar as tensões e forças existentes nos mesmos, e posteriormente as reações nos apoios.
A realização do cálculo torna-se dispendiosa, o que sugere a necessidade de implementação
computacional. Utilizou-se para tanto, o MATLAB que permite a elaboração de códigos utilizando
matrizes sem a necessidade de bibliotecas adicionais, o que torna possível uma programação mais
clara e objetiva, soma-se a fácil elaboração de uma interface gráfica.
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3 Resultados e Considerações Finais Como resultado desenvolveu-se um aplicativo, o TMEF, que utiliza dois códigos principais: um
responsável pela interface gráfica e consequentemente a entrada e saída de dados, e outro código
responsável pela interpretação dos dados e chamada de funções. O código que interpreta os dados foi
baseado em um exemplo do livro Matlab Codes for Finite Element Analysis, do Ferreira. Na interface gráfica, necessita-se que o usuário informe a área da seção transversal e o módulo de
Young comum aos elementos, as coordenadas dos nós na estrutura, o nó inicial e final de cada
elemento, os nós onde estão localizados os apoios e seu gênero, assim como as forças externas à
estrutura. A introdução dos dados é realizada através da interface gráfica.
Figura 2: resultados no TMEF
Optou-se por verificar a aplicação do programa, um exemplo simples de treliça com 3 nós,
conforme a Figura 2. Na tabela 1 são comparados os resultados obtidos analiticamente e com o TMEF.
Programas como o TMEF reduzem consideravelmente o tempo para análise de estruturas, além de
reduzirem erros de cálculos existentes ao realizá-los manualmente. Embora se trate de um método
numérico que se aproxima da solução analítica, verifica-se que não há discrepância nos resultados.
Espera-se futuramente ampliar o aplicativo para análise de estruturas tridimensionais e
dimensionamento destas. O TMEF pode ser utilizado para auxiliar no dimensionamento de treliças e
também como ferramenta auxiliar de ensino.
Propriedade Método analítico TMEF
Reações de apoio =0;
= -2.7285* ;
Forças internas
Tensões
Deslocamentos
Tabela 1: comparação entre os resultados obtidos
Referências
[1]. R.C. Hibbeler, Structural Analysis, Pearson Prentice Hall. New Jersey, 2012.
[2]. A.J.M. Ferreira, Matlab Codes for Finite Element Analysis, Springer Science, Porto, 2009.
[3]. F.P.Beer, E. Russel, Jr, Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª ed, McGraw-Hill, São Paulo,
1994.
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