1. 1. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS lvaro F. M. Azevedo http://www.fe.up.pt/~alvaro Portugal Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 1 Edio Abril 2003
2. 2. Mtodo dos Elementos Finitos lvaro F. M. Azevedo http://www.fe.up.pt/~alvaro Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Portugal 1 Edio - Abril 2003
3. 3. iii PREFCIO O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) apresenta actualmente um nvel de desenvolvimento que permite a sua utilizao pela generalidade dos projectistas de estruturas. Enquanto que no passado muitos dos utilizadores do MEF estavam tambm envolvidos na respectiva programao em computador, verifica-se hoje em dia que a quase totalidade dos projectistas de estruturas apenas se preocupa com a utilizao do correspondente software e com a interpretao dos resultados obtidos. Devido grande complexidade associada ao desenvolvimento de modernos programas de computador dispondo de uma interface grfica intuitiva, o desenvolvimento de software tem sido cada vez mais restringido s empresas especializadas. Por este motivo, o utilizador programador quase desapareceu, dando lugar ao mero utilizador. Perante um problema de anlise de estruturas e dispondo de um software intuitivo, perfeitamente acessvel a um projectista a obteno de resultados credveis, mesmo quando no tem acesso fonte do cdigo computacional ou quando desconhece as caractersticas do modelo que est a utilizar. Ser ento necessrio exigir que um estudante de Engenharia atribua parte do seu tempo aprendizagem de formulaes e metodologias que na vida profissional vai certamente ignorar? Antecedendo a resposta a esta questo, apresentam-se algumas consideraes. Para que possa dar resposta em tempo til necessidade de justificao da segurana de uma estrutura, um projectista que no conhea as tcnicas correspondentes formulao do MEF ser tentado pela simples utilizao de um qualquer software de clculo. Uma vez que no tem acesso aos modelos que esto programados, nem tem bases para a sua compreenso, proceder utilizao do software de acordo com o treino que recebeu ou com base em sucessivas improvisaes. A tentao para aceitar os resultados provenientes do programa grande, quaisquer que sejam esses resultados, uma vez que considera que o software escolhido tem elevada qualidade. Os potenciais perigos de uma utilizao nestas condies so a no percepo de eventuais erros na introduo dos dados, a ausncia de correspondncia entre o modelo seleccionado e a estrutura que est a ser analisada, o facto de serem desprezadas importantes condicionantes, etc. Na ausncia de uma comparao dos resultados provenientes do MEF com os oriundos de outros modelos, existe o srio risco de a segurana de uma estrutura ser justificada com
4. 4. Mtodo dos Elementos Finitos - Prefcio iv base em clculos completamente inadequados. Este facto tem sido confirmado pelo elevado nmero de acidentes em estruturas acabadas de construir, bem como pela grande quantidade de reparaes que tem sido necessrio efectuar em construes recentes. A transmisso aos alunos dos fundamentos do MEF, e tambm de uma introduo correspondente programao em computador, constituem certamente factores que conduziro os futuros projectistas a uma utilizao mais segura dos softwares de anlise de estruturas. Existe uma outra motivao para continuar a ser necessrio ensinar as bases tericas do MEF, que consiste no facto de ser fundamental preparar hoje os inovadores de amanh. Uma vez que as ferramentas relativas aplicao do MEF se encontram intimamente ligadas ao mundo da informtica e uma vez que este apresenta uma constante e rpida evoluo, garantido que dentro de alguns anos ser necessrio adaptar as tcnicas de anlise de estruturas s plataformas de computao que nessa altura existirem. Se a actual base de conhecimentos ficar limitada a um reduzido nmero de pessoas, certamente que ser difcil encontrar no futuro investigadores que garantam o progresso da cincia. Por todos estes motivos se conclui ser fundamental prosseguir com o ensino das tcnicas em que se baseia a generalidade dos programas de elementos finitos. A principal motivao para a escrita desta publicao foi a de organizar de um modo coerente algumas das formulaes em que se baseou o desenvolvimento do programa FEMIX 4.0. Apesar de j existirem verses anteriores, a actual verso do programa foi totalmente rescrita, de modo a ser possvel explorar uma muito mais verstil estruturao do cdigo computacional. Espera-se, com este empreendimento, produzir um software em que seja simples desenvolver e testar novas formulaes. Por ltimo, desejo agradecer s pessoas que se tm empenhado no desenvolvimento do projecto FEMIX e que muito contriburam para que todos os conceitos aqui expostos apresentem uma indispensvel clareza e coerncia. Em particular um agradecimento quele que esteve presente desde o incio, Joaquim Barros, bem como aos entusiastas mais recentes, Jos Sena Cruz e Antnio Ventura Gouveia. Agradeo tambm ao Lus Brs o trabalho que teve na preparao do modelo da ponte que figura na capa. lvaro F. M. Azevedo - Abril 2003
5. 5. v NDICE 1 - INTRODUO...........................................................................................................1 1.1 - Tipo de anlise..........................................................................................................2 1.2 - Fundamentos do MEF...............................................................................................4 1.3 Breve histria do MEF.............................................................................................5 1.4 - Exemplo de aplicao do MEF.................................................................................6 2 - TRANSFORMAO LINEAR DE COORDENADAS ..........................................13 2.1 - Simbologia..............................................................................................................13 2.2 - Caso geral................................................................................................................14 2.3 - Caso particular com S e S' coincidentes..................................................................18 2.4 - Matriz de transformao de uma barra rectilnea no espao...................................19 2.5 - Consideraes finais ...............................................................................................27 3 - MTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIAS E PRTICOS...................29 3.1 - Simbologia..............................................................................................................29 3.2 - Referenciais.............................................................................................................31 3.3 - Graus de liberdade ..................................................................................................32 3.4 - Matriz de transformao .........................................................................................34 3.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao .....................................................................35 3.6 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao.........................37 3.7 - Introduo das condies de apoio .........................................................................41 3.8 - Faseamento da anlise de um prtico 3D ...............................................................44 3.9 - Matriz de rigidez de uma barra de trelia 3D no referencial local..........................45 3.10 - Matriz de rigidez de uma barra de prtico 3D no referencial local ......................46 3.11 - Consideraes finais .............................................................................................47 4 - ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS ......................................................49 4.1 - Simbologia..............................................................................................................49 4.2 - Funes interpoladoras ou funes de forma..........................................................50 4.3 - Campo de deformaes...........................................................................................54
6. 6. Mtodo dos Elementos Finitos - ndice vi 4.4 - Princpio dos trabalhos virtuais...............................................................................56 4.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao .....................................................................57 4.6 - Elemento finito unidimensional com trs ns.........................................................60 4.7 - Elemento finito unidimensional com substituio de varivel ...............................64 4.8 - Consideraes finais ...............................................................................................70 5 - QUADRATURA DE GAUSS...................................................................................73 5.1 - Simbologia..............................................................................................................73 5.2 - Integrao de uma funo polinomial.....................................................................73 5.3 - Integrais mltiplos ..................................................................................................79 5.4 - Consideraes finais ...............................................................................................81 6 - ESTADO PLANO DE TENSO ..............................................................................83 6.1 - Simbologia..............................................................................................................83 6.2 - Funes interpoladoras ou funes de forma..........................................................85 6.3 - Campo de deformaes...........................................................................................90 6.4 - Princpio dos trabalhos virtuais...............................................................................92 6.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao .....................................................................92 6.5.1 - Clculo de um elemento da matriz de rigidez......................................................95 6.5.2 - Clculo do vector solicitao correspondente a uma carga distribuda ...............97 6.6 - Caso geral com substituio de variveis ...............................................................99 6.7 - Algoritmo de clculo da matriz de rigidez de um elemento isoparamtrico ........108 6.8 - Clculo das tenses e deformaes finais.............................................................112 6.9 - Consideraes finais .............................................................................................113 7 - FUNES INTERPOLADORAS ..........................................................................115 7.1 - Simbologia............................................................................................................115 7.2 - Caso unidimensional.............................................................................................116 7.3 - Caso bidimensional...............................................................................................118 7.4 - Procedimento genrico para determinar as funes de forma ..............................121 7.5 - Elementos bidimensionais: famlias Lagrangeana e serendipity ..........................126 7.6 - Propriedades das funes interpoladoras..............................................................130 7.7 - Interpolao Hermitiana........................................................................................132
7. 7. Mtodo dos Elementos Finitos - ndice vii 7.8 - Consideraes finais .............................................................................................142 8 - ASSEMBLAGEM DE ELEMENTOS FINITOS....................................................145 8.1 - Simbologia............................................................................................................145 8.2 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao.......................146 8.3 - Consideraes finais .............................................................................................152 9 - FORAS NODAIS EQUIVALENTES...................................................................153 9.1 - Simbologia............................................................................................................153 9.2 - Expresses genricas das foras nodais equivalentes...........................................155 9.3 - Fora concentrada num ponto interior..................................................................160 9.4 - Carga distribuda por unidade de comprimento....................................................163 9.5 - Carga distribuda por unidade de superfcie .........................................................170 9.6 - Carga distribuda por unidade de volume.............................................................170 9.7 - Consideraes finais .............................................................................................172 10 - SLIDOS, ESTADO PLANO DE DEFORMAO E AXISSIMETRIA ..........175 10.1 - Simbologia..........................................................................................................175 10.2 - Elementos slidos tridimensionais (bricks) ........................................................176 10.3 - Estado plano de deformao...............................................................................184 10.4 - Estado axissimtrico ...........................................................................................187 10.5 - Consideraes finais ...........................................................................................192 11 - FLEXO DE VIGAS ............................................................................................193 11.1 - Simbologia..........................................................................................................193 11.2 - Flexo composta plana........................................................................................194 11.3 - Consideraes finais ...........................................................................................200 12 - VIGA DE EULER-BERNOULLI .........................................................................203 12.1 - Simbologia..........................................................................................................203 12.2 - Viga de dois ns sem substituio de varivel....................................................204 12.3 - Viga de trs ns sem substituio de varivel ....................................................212 12.4 - Viga de dois ns com substituio de varivel...................................................212
8. 8. Mtodo dos Elementos Finitos - ndice viii 12.5 - Consideraes finais ...........................................................................................220 13 - VIGA DE TIMOSHENKO....................................................................................223 13.1 - Simbologia..........................................................................................................223 13.2 - Viga de dois ns com substituio de varivel...................................................224 13.3 - Consideraes finais ...........................................................................................237 ANEXO A - UTILIZAO DO PROGRAMA FEMIX 3.1 .......................................239 A.1 - Instalao .............................................................................................................239 A.2 - Preparao dos dados...........................................................................................240 A.3 - Execuo do programa.........................................................................................245 A.4 - Visualizao grfica.............................................................................................246 A.5 - Consideraes finais ............................................................................................248
9. 9. 1 CAPTULO 1 INTRODUO No mbito da Engenharia de Estruturas, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) tem como objectivo a determinao do estado de tenso e de deformao de um slido de geometria arbitrria sujeito a aces exteriores. Este tipo de clculo tem a designao genrica de anlise de estruturas e surge, por exemplo, no estudo de edifcios, pontes, barragens, etc. Quando existe a necessidade de projectar uma estrutura, habitual proceder-se a uma sucesso de anlises e modificaes das suas caractersticas, com o objectivo de se alcanar uma soluo satisfatria, quer em termos econmicos, quer na verificao dos pr-requisitos funcionais e regulamentares. As tcnicas descritas nesta publicao apenas correspondem fase de anlise do comportamento de uma estrutura cuja geometria, materiais e aces so a priori conhecidos. Nos cursos de Engenharia Civil e de Engenharia Mecnica tradicional comear-se por ensinar a anlise de estruturas limitada s vigas, prticos, trelias e grelhas. As estruturas deste tipo recebem a designao de reticuladas, por serem constitudas por barras prismticas cuja seco transversal apresenta dimenses muito inferiores ao comprimento do seu eixo. As estruturas no reticuladas so, em geral, estudadas como meios contnuos (e.g., paredes, lajes, cascas, slidos). Nas estruturas reticuladas surgem j muitos conceitos que so comuns generalidade das estruturas, tais como o de equilbrio, compatibilidade, tenso, deformao, relao entre tenso e deformao, etc. No mbito das estruturas reticuladas torna-se particularmente simples explicar o mtodo das foras e o mtodo dos deslocamentos, bem como outras tcnicas que, em geral, so difceis de estender aos meios contnuos. Antes do aparecimento do MEF, a anlise dos meios contnuos era efectuada por resoluo directa dos sistemas de equaes de derivadas parciais que regem o fenmeno, tendo em considerao as necessrias condies fronteira. Para facilitar a aplicao desta tcnica a problemas no elementares, era comum recorrer a sries de Fourier [1.1]. Devido sua complexidade, estes procedimentos s eram aplicveis a meios contnuos homogneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas limitaes, era frequente a substituio de derivadas exactas por derivadas
10. 10. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 2 aproximadas, calculadas com base em grelhas de pontos. Da aplicao desta tcnica resulta o mtodo das diferenas finitas, que, antes do aparecimento dos computadores, apresentava o inconveniente de requerer a resoluo de grandes sistemas de equaes lineares. Para evitar este inconveniente foram propostos diversos mtodos de relaxao baseados na sucessiva diminuio de um conjunto de resduos [1.1]. Devido morosidade associada aplicao de qualquer um destes mtodos, tornava-se muito atractiva a substituio do problema real por outro semelhante, de modo a se poder recorrer a resultados publicados em tabelas ou bacos. Com o grande desenvolvimento que o MEF teve na dcada de 60 [1.2] e com a banalizao do recurso ao computador, passou a ser prtica corrente a anlise de estruturas de geometria arbitrria, constitudas por mltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. Este avano to significativo que os outros mtodos, atrs referidos, deixaram praticamente de ser utilizados. Actualmente, o seu interesse restringe-se ao de fornecer solues tericas de problemas simples para validar mtodos aproximados. A formulao do MEF pode ser baseada no mtodo dos deslocamentos, em modelos de equilbrio, ou em mtodos hbridos e mistos [1.3]. De todos estes mtodos, aquele que apresenta uma maior simplicidade e, consequentemente, uma maior versatilidade o mtodo dos deslocamentos, sendo este o nico que abordado nesta publicao. Associado ao mtodo dos deslocamentos surgem muitos conceitos que se supe que o leitor j domina no mbito das estruturas reticuladas, como por exemplo as noes de grau de liberdade, deslocamento generalizado, fora generalizada, equilbrio, matriz de rigidez, vector solicitao, assemblagem, introduo de condies de apoio, etc. Nesta publicao, alguns destes conceitos so de novo abordados, sendo dada particular nfase sua generalizao aos meios contnuos bidimensionais e tridimensionais. 1.1 - Tipo de anlise Quando surge a necessidade de resolver um problema de anlise de uma estrutura, a primeira questo que se coloca a sua classificao quanto geometria, modelo do material constituinte e aces aplicadas. O modo como o MEF formulado e aplicado depende, em parte, das simplificaes inerentes a cada tipo de problema. Referem-se em seguida alguns aspectos que necessrio ter em considerao na fase que antecede a anlise de uma estrutura.
11. 11. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 3 Anlise dinmica ou esttica As aces sobre as estruturas so em geral dinmicas, devendo ser consideradas as foras de inrcia associadas s aceleraes a que cada um dos seus componentes fica sujeito. Por este motivo, seria de esperar que a anlise de uma estrutura teria obrigatoriamente de ter em considerao os efeitos dinmicos. Contudo, em muitas situaes razovel considerar que as aces so aplicadas de um modo suficientemente lento, tornando desprezveis as foras de inrcia. Nestes casos a anlise designa-se esttica. Nesta publicao apenas so considerados problemas em que se supem vlidas as simplificaes inerentes a uma anlise esttica. Anlise no linear ou linear Na anlise de uma estrutura slida, habitual considerar que os deslocamentos provocados pelas aces exteriores so muito pequenos quando comparados com as dimenses dos componentes da estrutura. Nestas circunstncias, admite-se que no existe influncia da modificao da geometria da estrutura na distribuio dos esforos e das tenses, i.e., todo o estudo feito com base na geometria inicial indeformada. Se esta hiptese no for considerada, a anlise designada no linear geomtrica. tambm frequente considerar que, ao nvel do material que constitui a estrutura, a relao entre tenses e deformaes linear. Nos casos em que esta simplificao no considerada, necessrio recorrer a algoritmos especficos de anlise no linear material. Nesta publicao apenas se aborda o caso da anlise linear, quer geomtrica, quer material. Tipo de estrutura As estruturas podem ser classificadas quanto sua geometria como reticuladas, laminares ou slidas. Estas ltimas so as mais genricas, sendo classificadas como slidas as que no apresentarem caractersticas que as permitam enquadrar no grupo das laminares ou das reticuladas. As estruturas laminares so as que se desenvolvem para ambos os lados de uma superfcie mdia, mantendo-se na sua vizinhana. o caso de uma lmina cuja
12. 12. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 4 espessura muito inferior s restantes dimenses. Quando a superfcie mdia plana, a estrutura laminar pode ser classificada como parede, laje ou casca plana. Uma parede apenas se encontra sujeita a aces paralelas ao seu plano mdio. Uma laje pode ter aplicadas foras perpendiculares ao plano mdio e momentos cujo vector est contido no plano mdio. Uma estrutura laminar plana sujeita a outros tipos de aces designada casca plana. Quando a superfcie mdia no plana, tem-se uma casca tridimensional. As estruturas reticuladas so as constitudas por barras prismticas, cujas dimenses transversais so muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Neste tipo de estruturas habitual distinguir os prticos das trelias, conforme ou no considerada a compatibilidade de rotaes nas extremidades de barras adjacentes. possvel tratar com grande eficincia uma classe de problemas de anlise de estruturas designados axissimtricos. Estes ocorrem quando a estrutura um slido de revoluo e as aces so todas axissimtricas em relao ao mesmo eixo. Neste tipo de problemas ainda possvel distinguir o caso do slido de revoluo do caso da lmina de revoluo. Ser tambm tratado como um caso particular a anlise de uma estrutura que consiste num slido cuja geometria a aces se repetem indefinidamente ao longo de um eixo rectilneo. Trata-se do estado plano de deformao, que pode ser estudado com base numa geometria bidimensional. 1.2 - Fundamentos do MEF A formulao do MEF requer a existncia de uma equao integral, de modo que seja possvel substituir o integral sobre um domnio complexo (de volume V) por um somatrio de integrais estendidos a sub domnios de geometria simples (de volume Vi). Esta tcnica ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde ao integral de volume de uma funo f = = n i VV i VdfVdf 1 (1)
13. 13. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 5 Em (1) pressupe-se que = = n i iVV 1 (2) Se for possvel calcular todos os integrais estendidos aos sub domnios Vi, basta efectuar o somatrio correspondente ao segundo membro de (1) para se obter o integral estendido a todo o domnio. Cada sub domnio Vi corresponde a um elemento finito de geometria simples (e.g., segmento de recta, tringulo, quadriltero, tetraedro, paraleleppedo). O somatrio indicado em (1) vai dar origem operao designada assemblagem, que apresenta muitas semelhanas com a que efectuada nas estruturas reticuladas. A equao integral referida no incio desta seco proveniente da aplicao do mtodo dos resduos pesados ou de um princpio variacional [1.3]. No caso da aplicao do MEF anlise de estruturas a formulao mais intuitiva a que se baseia no Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV), sendo a nica que abordada nesta publicao. 1.3 Breve histria do MEF Em [1.2] encontra-se uma descrio detalhada da evoluo do mtodo dos elementos finitos ao longo do tempo. Em [1.3] efectuado o seu enquadramento com outros mtodos da mesma famlia. Apresenta-se em seguida apenas uma breve referncia s principais fases do desenvolvimento do MEF. Na generalidade dos casos, muito difcil definir a data em que determinado avano do conhecimento foi efectuado. No caso particular do MEF, referido por vrios autores que a publicao mais antiga em que utilizada a designao elemento finito o artigo [1.4], que data de 1960 e tem como autor Ray Clough. Anteriormente eram j conhecidas algumas tcnicas que vieram a ser incorporadas no MEF, sem este aparecer ainda com as principais caractersticas que hoje em dia possui. Os grandes passos do desenvolvimento do MEF, que o conduziram ao formato que actualmente apresenta maior aceitao, foram dados na dcada de 60 e incio da de 70. Inicialmente os elementos finitos mais comuns eram os triangulares e os tetradricos, passando-se mais tarde a dar preferncia aos quadrilteros e aos hexaedros.
14. 14. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 6 Ao contrrio de outros mtodos que eram utilizados no passado, o MEF s tem utilidade prtica se se dispuser de um computador digital. Este requisito devido grande quantidade de clculos que necessrio realizar, nomeadamente na resoluo de grandes sistemas de equaes lineares. Assim se compreende que o rpido desenvolvimento do MEF tenha praticamente coincidido com a generalizao da utilizao de computadores nos centros de investigao. Com a proliferao de micro-computadores ocorrida no final da dcada de 80 e na dcada de 90, o MEF chega finalmente s mos da generalidade dos projectistas de estruturas. 1.4 - Exemplo de aplicao do MEF Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicao do MEF, que consiste na anlise de uma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita s aces indicadas na Figura 1.1. Nestas condies pode-se admitir que se trata de um meio contnuo, sujeito a um estado plano de tenso [1.5]. Na Figura 1.1 est representada a malha utilizada, que constituda por 92 elementos finitos quadrilteros, sendo cada um destes elementos definido por 8 ns. Encontram-se tambm assinalados os 10 ns que esto ligados ao meio exterior. Depois de completada a anlise da estrutura pelo MEF, fica-se a conhecer os valores aproximados dos deslocamentos e das tenses instaladas. Na Figura 1.2 est representada a malha deformada pela aco das foras aplicadas estrutura. Para permitir uma melhor visualizao dos deslocamentos, estes so multiplicados por um factor de ampliao. Como referncia, tambm representada a malha original indeformada. Com o tipo de visualizao utilizado na Figura 1.3 possvel ter uma percepo imediata dos locais em que as tenses principais apresentam maiores valores, bem como da trajectria das tenses dentro da estrutura. Neste tipo de representao cada segmento de recta est orientado segundo uma direco principal de tenso e a sua grandeza proporcional ao valor da correspondente tenso normal. A cor verde indica que se trata de uma traco e cor vermelha est associada uma compresso. Na Figura 1.4, o valor da componente vertical do vector deslocamento representado, em cada ponto, por intermdio de uma codificao por cores. Consultando a escala
15. 15. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 7 lateral, fica-se a conhecer a ordem de grandeza do deslocamento vertical em qualquer ponto da estrutura. Na Figura 1.5, o tipo de visualizao grfica coincide com o da Figura 1.4, tratando-se tambm da representao de um campo escalar por intermdio de uma codificao por cores. O campo representado na Figura 1.5 o das tenses normais y, sendo y o eixo vertical. Esta componente do tensor das tenses sempre perpendicular a facetas horizontais. Fig. 1.1 - Consola curta: malha de elementos finitos e aco exterior.
16. 16. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 8 Fig. 1.2 - Consola curta: malha deformada representada sobre a estrutura indeformada. Fig. 1.3 - Consola curta: tenses principais e respectivas direces.
17. 17. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 9 Fig. 1.4 - Consola curta: campo de deslocamentos verticais.
18. 18. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 10 Fig. 1.5 - Consola curta: campo de tenses normais segundo um eixo vertical.
19. 19. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 11 BIBLIOGRAFIA [1.1] Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N. - Theory of Elasticity, Third Edition, McGraw-Hill, 1988. [1.2] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. - Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2002. [1.3] - Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. - The Finite Element Method, Fourth Edition, McGraw-Hill, 1988. [1.4] Clough, R. W. - The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., September 1960. [1.5] - Azevedo, A. F. M. - Mecnica dos Slidos, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 1996.
20. 20. Introduo - lvaro F. M. Azevedo 12
21. 21. 13 CAPTULO 2 TRANSFORMAO LINEAR DE COORDENADAS Neste captulo apresentada a deduo da expresso que permite transformar as coordenadas de um ponto no espao de um referencial ( S) para outro ( S ). Quer os eixos de S quer os de S so definidos por versores cujas componentes se encontram no referencial geral S. Estes trs referenciais apresentam origem comum (ponto O). Sendo P um ponto genrico no espao, a transformao das componentes do vector OP coincide com a transformao das coordenadas do ponto P. 2.1 - Simbologia Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada neste captulo. Tabela 2.1 - Simbologia relativa transformao linear de coordenadas. S Sistema de coordenadas (referencial) O Origem do sistema de coordenadas P Ponto genrico p Vector posio do ponto P x Eixo do sistema de coordenadas e Versor de um eixo do sistema de coordenadas A Matriz de transformao de S em S B Matriz de transformao de S em S g Referencial geral a Referencial auxiliar l Referencial local
22. 22. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 14 ngulo entre eixos dos referenciais auxiliar e local Matriz de transformao i Primeiro n de uma barra j Segundo n de uma barra L Comprimento de uma barra 2.2 - Caso geral Na Figura 2.1 encontram-se representados os trs referenciais ( SeSS , ), um ponto genrico P e o vector OPp = . 1x 2x 1x 2x 3x 3x 1x 2x 3x 1e 2e 3e 1e 2e 3e 1e 2e 3e p O P Fig. 2.1 - Referenciais e ponto genrico P. Os trs referenciais (que se supem directos e ortonormados) so definidos do seguinte modo
23. 23. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 15 ( ) ( ) ( ) 321 321 321 ,,, ,,, ,,, xxxOS xxxOS xxxOS (1) Versores de cada referencial: ( ) ( ) ( ) 321 321 321 ,,: ,,: ,,: eeeSdeVersores eeeSdeVersores eeeSdeVersores (2) Ponto genrico: ( )S xxxP 321 ,,= (3) Vector posio do ponto P: ( )321 ,, xxxOPp == (4) Nota: todos os versores e vectores apresentam as suas componentes no referencial S. Versores do referencial S: ( ) ( ) ( ) = = = 1,0,0 0,1,0 0,0,1 3 2 1 e e e (5) Vector p : ( )321 ,, xxxp = (6) ++= ++= ++= 332211 332211 332211 exexexp exexexp exexexp (7) As coordenadas do ponto P no referencial ( )321 ,, xxxS obtm-se projectando o vector p sobre os versores do referencial S :
24. 24. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 16 ( ) ( ) ( ) ++== ++== ++== 333221133 233221122 133221111 eexexexepx eexexexepx eexexexepx (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= ++= ++= 3333223113 2332222112 1331221111 eexeexeexx eexeexeexx eexeexeexx (9) Matricialmente tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 2 1 332313 322212 312111 3 2 1 x x x eeeeee eeeeee eeeeee x x x (10) xAx = (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 332313 322212 312111 eeeeee eeeeee eeeeee A (12) Nesta expresso, x so as coordenadas de P no referencial S, x so as coordenadas de P no referencial S e A a matriz de transformao de S em S . De um modo semelhante tem-se: ( ) ( ) ( ) ++== ++== ++== 333221133 233221122 133221111 eexexexepx eexexexepx eexexexepx (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= ++= ++= 3333223113 2332222112 1331221111 eexeexeexx eexeexeexx eexeexeexx (14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 x x x eeeeee eeeeee eeeeee x x x (15)
25. 25. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 17 xBx = (16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 333231 232221 131211 eeeeee eeeeee eeeeee B (17) Comparando (12) com (17) verifica-se que T AB = (18) A expresso (16) pode escrever-se da seguinte forma xAx T = (19) Substituindo (11) em (19) tem-se xAAx T = (20) Concluindo-se que IAA T = (21) sendo I a matriz identidade. Multiplicando ambos os membros de (21) por 1 A ( direita) obtm-se 1 = AA T (22) Quando a inversa de uma matriz coincide com a sua transposta diz-se que a matriz ortogonal. Assim se conclui que a matriz de transformao A uma matriz ortogonal. Vai-se agora proceder anlise do significado de cada um dos elementos de A. A expresso (11) pode escrever-se do seguinte modo ( )= = 3 1j jiji xax (23)
26. 26. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 18 sendo aij o elemento genrico da matriz A. Em (12) verifica-se que jiij eea = (24) Recorrendo definio de produto escalar tem-se ( )jijiij eeeea = ,cos (25) Uma vez que os versores dos referenciais possuem norma unitria ( )jiij eea = ,cos (26) e a matriz de transformao A pode ser obtida a partir dos cosenos dos ngulos entre versores dos referenciais S e S . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 332313 322212 312111 ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos eeeeee eeeeee eeeeee A (27) 2.3 - Caso particular com S e S' coincidentes Reproduzem-se em seguida as expresses (5), (11) e (12) ( ) ( ) ( ) = = = 1,0,0 0,1,0 0,0,1 3 2 1 e e e (28) xAx = (29) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 332313 322212 312111 eeeeee eeeeee eeeeee A (30) No caso de os referenciais S e S serem coincidentes, verifica-se que
27. 27. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 19 ii ee = (31) xAx = (32) Substituindo (31) em (30) obtm-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 332313 322212 312111 eeeeee eeeeee eeeeee A (33) Atendendo a (28), verifica-se em (33) que a primeira linha da matriz A contm as componentes do versor 1e no referencial S. A segunda e terceira linhas contm as componentes em S dos versores 2e e 3e . ( ) = SemedesComponente SemedesComponente SemedesComponente A 3 2 1 33 (34) 2.4 - Matriz de transformao de uma barra rectilnea no espao Nesta seco so utilizadas as expresses deduzidas nas seces anteriores com o objectivo de chegar matriz de transformao de uma barra de trelia 3D e de prtico 3D. No mbito da anlise de estruturas pelo mtodo dos deslocamentos, admitem-se as seguintes hipteses: conhecida a geometria da estrutura, que constituda por barras prismticas de eixo rectilneo e de seco constante; para cada barra, so conhecidas as coordenadas dos dois ns extremos, ficando assim definida a localizao do seu eixo baricntrico; conhecida a posio dos eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra [2.1].
28. 28. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 20 Considere-se um ngulo (), que ser definido adiante e que posiciona o referencial local (principal central de inrcia - PCI) em relao a um referencial auxiliar. Assim, vo ser considerados os seguintes referenciais: ( ) ( ) = PCIlocallS auxiliaraS geralgS 0 (35) O referencial geral (g) aquele em relao ao qual todos os pontos e todos os vectores esto definidos, sendo os seus versores definidos por (28). O referencial auxiliar (a), ao qual corresponde um ngulo nulo, tem o primeiro eixo coincidente com o eixo da barra e o segundo eixo perpendicular ao plano vertical que contem a barra. O terceiro eixo aquele que faz com que o referencial seja directo e ortonormado. Este referencial ser adiante definido com mais rigor. O referencial local (l) tem como primeiro eixo o eixo da barra, sendo os restantes eixos os eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra. O ngulo define a posio do referencial local (l) em relao ao referencial auxiliar (a). Vo ser em seguida definidas duas transformaes: transformao de g para a; transformao de a para l. A primeira transformao realizada com a seguinte expresso que semelhante a (32) gaga xTx = (36) sendo ag T a matriz que transforma as coordenadas de um ponto do referencial g para o referencial a. A segunda transformao permite obter as coordenadas de um ponto no referencial l a partir das suas coordenadas no referencial a, sendo semelhante definida por (11)
29. 29. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 21 alal xTx = (37) Substituindo (36) em (37) chega-se a gaglal xTTx = (38) Uma vez que se pretende uma matriz de transformao de g para l gl xTx = (39) comparando (38) com (39) conclui-se que agla TTT = (40) Na Figura 2.2 definida a posio do referencial auxiliar a em relao ao referencial geral g e barra. g 1 g 2 g3 a1 a2 a3 i j i < j Fig. 2.2 - Posio do referencial a em relao ao referencial g. Em relao Figura 2.2 considera-se ainda o seguinte: o eixo g3 vertical e orientado para cima; o eixo baricntrico da barra definido pelos ns i e j;
30. 30. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 22 em geral vantajoso considerar a conveno de ser sempre i < j. Assim, o primeiro n da barra o n i e o segundo o n j. Esta conveno clarifica todo o processo de estudo da barra sem lhe introduzir qualquer limitao; o eixo a1 coincide com o eixo baricntrico da barra, i.e., o eixo que definido pelos centros de gravidade de todas as seces transversais da barra; o eixo a1 encontra-se orientado do n i para o n j; o eixo a2 perpendicular ao plano (g3,a1) e est orientado de acordo com o sentido do produto vectorial entre os versores de g3 e a1; o eixo a3 est contido no plano (g3,a1) e resulta do produto vectorial entre os versores de a1 e a2; desta forma o referencial (a1,a2,a3) sempre directo e ortonormado. Para se calcular a matriz de transformao de g para a (36) vai-se recorrer expresso (34). Assim, a primeira linha de ag T constituda pelas componentes do versor a1 no referencial g, e assim sucessivamente. O clculo das componentes do versor a1 feito com base nas coordenadas dos ns i e j. Coordenadas do n i no referencial g: ( )iii xxx 321 ,, Coordenadas do n j no referencial g: ( )jjj xxx 321 ,, O comprimento da barra calculado com a seguinte expresso ( ) ( ) ( )2 33 2 22 2 11 ijijij xxxxxxL ++= (41) O vector 1a , que em geral no tem norma unitria, obtm-se por subtraco das coordenadas dos ns i e j. ( )ijijij xxxxxxa 3322111 ,, = (42) O versor 1a obtm-se dividindo o vector 1a pela respectiva norma
31. 31. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 23 Laa 11 = (43) Para posterior referncia, designam-se as componentes do versor 1a por A1, A2 e A3 ( )3211 ,, AAAa = (44) Tal como foi atrs referido, o eixo a2 definido pelo produto vectorial entre os versores dos eixos g3 e a1, sendo ( )1,0,03 =g 132 aga = (45) Uma vez que deste produto vectorial no resulta um versor, necessrio dividir o vector 2a pela respectiva norma 222 aaa = (46) Para posterior referncia, designam-se as componentes do versor 2a por B1, B2 e B3 ( )3212 ,, BBBa = (47) Para que o referencial a seja directo e ortonormado, calcula-se o versor 3a como sendo o resultado do produto vectorial entre 1a e 2a . Do produto vectorial entre versores perpendiculares entre si resulta sempre um versor. 213 aaa = (48) Para posterior referncia, designam-se as componentes do versor 3a por C1, C2 e C3 ( )3213 ,, CCCa = (47) De acordo com o que foi deduzido, os elementos da matriz de transformao do referencial g para o referencial a (36) so os seguintes = 321 321 321 CCC BBB AAA T ag (48)
32. 32. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 24 O resultado do produto vectorial expresso em (45) um vector nulo sempre que o versor 1a seja paralelo ao versor 3g . Supondo que o eixo 3g sempre vertical (hiptese considerada atrs), esta situao singular ocorre sempre que a barra vertical. Para estes casos ento necessrio definir a matriz de transformao ag T com outro critrio. Na Figura 2.3 e na Figura 2.4 encontra-se a posio do referencial a em relao ao referencial g para os casos da barra vertical orientada para cima e orientada para baixo. g1 g 2 g3 a1 a2 a3 i j i < j ( ) ( ) ( ) = = = 0,0,1 0,1,0 1,0,0 3 2 1 a a a Fig. 2.3 - Posio do referencial a em relao ao referencial g para o caso da barra vertical orientada para cima. g1 g 2 g 3 a1 a2 a3 i j i < j ( ) ( ) ( ) = = = 0,0,1 0,1,0 1,0,0 3 2 1 a a a Fig. 2.4 - Posio do referencial a em relao ao referencial g para o caso da barra vertical orientada para baixo. Considerando as seguintes expresses para os versores do referencial a, ficam cobertas as duas situaes esquematizadas nas Figuras 2.3 e 2.4. ( )321 33 1 ,,,0,0 AAA L xx a ij = = (49)
33. 33. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 25 ( ) ( )3212 ,,0,1,0 BBBa == (50) ( )321 33 3 ,,0,0, CCC L xx a ij = = (51) Tal como em (48), a matriz de transformao ag T constituda por = 321 321 321 CCC BBB AAA T ag (52) Procede-se em seguida definio da matriz la T que foi referida em (37). Esta matriz de transformao relaciona as coordenadas de um ponto no referencial auxiliar (a) com as suas coordenadas no referencial local (l). As consideraes que se seguem baseiam-se na Figura 2.5, em que esto representados os referenciais a e l. O referencial l constitudo pelo eixo da barra e pelos eixos principais centrais de inrcia da seco transversal. l1 l 2 l3 a1a2 a3 i j i < j Fig. 2.5 - Posio do referencial l em relao ao referencial a. De acordo com a Figura 2.5, pode-se constatar o seguinte: os eixos a1 e l1 coincidem; os eixos l2 e l3 esto rodados de um ngulo em relao aos eixos a2 e a3.
34. 34. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 26 A transformao entre os referenciais a e l um caso de transformao entre dois referenciais distintos do geral. Nesta situao pode-se recorrer matriz definida em (27), que corresponde a uma transformao entre os referenciais S e S . Neste caso, o referencial S o referencial a e o referencial S o referencial l. A matriz de transformao neste caso calculada com base nos cosenos dos ngulos formados pelos eixos dos dois referenciais. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 332313 322212 312111 ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos alalal alalal alalal T la (53) De acordo com a Figura 2.5 tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = cos90cos90cos 90coscos90cos 90cos90cos0cos la T (54) = cossin0 sincos0 001 la T (55) As matrizes de transformao ag T e la T encontram-se j definidas. De acordo com (40), a matriz de transformao T , do referencial geral para o local definida do seguinte modo agla TTT = (56) Tal como foi indicado em (39), a correspondente transformao efectuada com a seguinte expresso gl xTx = (57) As expresses aqui deduzidas e que permitem calcular a matriz T foram baseadas na informao de que habitual dispor numa anlise de um prtico 3D pelo mtodo dos deslocamentos, i.e., das coordenadas dos ns e do ngulo .
35. 35. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 27 Uma vez que a matriz T ortogonal, a transformao do referencial local para o geral efectuada com a seguinte relao lTg xTx = (58) 2.5 - Consideraes finais As expresses da matriz de transformao deduzidas neste captulo podem ser directamente utilizadas na formulao da matriz de rigidez de elementos de trelia ou de prtico 3D, bem como na formulao dos respectivos vectores de foras nodais equivalentes. BIBLIOGRAFIA [2.1] - Brazo Farinha, J. S.; Correia dos Reis, A. - Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E. T. L., 1998.
36. 36. Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo 28
37. 37. 29 CAPTULO 3 MTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIAS E PRTICOS Com o objectivo de apresentar alguns conceitos como o de assemblagem e introduo de condies de apoio, faz-se aqui uma sucinta descrio do mtodo dos deslocamentos aplicado anlise de trelias e prticos tridimensionais. 3.1 - Simbologia Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulao do mtodo dos deslocamentos em trelias e prticos. Tabela 3.1 - Simbologia relativa ao mtodo dos deslocamentos em estruturas reticuladas. g Referencial geral a Referencial auxiliar l Referencial local i Primeiro n de uma barra j Segundo n de uma barra ngulo entre eixos dos referenciais auxiliar e local xg Coordenadas de um ponto no referencial geral xl Coordenadas de um ponto no referencial local T Matriz de transformao a Deslocamento ou deslocamento generalizado Rotao F Fora ou fora generalizada M Momento
38. 38. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 30 a Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral ag Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da barra, no referencial geral al Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da barra, no referencial local K Matriz de rigidez da estrutura no referencial geral Kg Matriz de rigidez da barra no referencial geral Kl Matriz de rigidez da barra no referencial local F Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral Fg Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da barra, no referencial geral Fl Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da barra, no referencial local L ndice correspondente a um grau de liberdade no prescrito (livre) P ndice correspondente a um grau de liberdade prescrito R Reaco num apoio da estrutura n Nmero de graus de liberdade no prescritos (livres) p Nmero de graus de liberdade prescritos E Mdulo de Young de um material A rea da seco transversal de uma barra L Comprimento de uma barra G Mdulo de distoro de um material I Momento de inrcia da seco transversal de uma barra It Momento de inrcia de toro da seco transversal de uma barra
39. 39. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 31 3.2 - Referenciais De acordo com o que foi descrito no Captulo 2, na formulao da matriz de rigidez de uma barra de eixo rectilneo e de seco constante so considerados dois referenciais directos e ortonormados: o geral (g1,g2,g3) e o local (l1,l2,l3). O referencial geral aquele em que se encontram expressas as coordenadas de todos os ns que depois so utilizados para definir a posio das barras. O referencial local definido pelos seguintes eixos: l1 o eixo da barra e l2 e l3 so os eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra (ver a Figura 3.1). g 1 g 2 g 3 l 1 l2l 3 i j i < j Fig. 3.1 - Barra i j, referencial geral g e referencial local l. Considera-se habitualmente, sem perda de generalidade, que a barra definida pelos ns i e j tem o n i coincidente com a origem dos dois referenciais e o n j sobre o semi-eixo positivo l1. tambm habitual considerar que o nmero do n i inferior ao nmero do n j (i < j). Os eixos l2 e l3 podem ser trocados entre si, tendo em ateno que o referencial local deve ser sempre directo. A troca de l2 com l3 obriga a trocar entre si os valores dos momentos de inrcia em relao a l2 e l3. Em qualquer dos casos necessrio definir criteriosamente o ngulo (ver o Captulo 2).
40. 40. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 32 A transformao de coordenadas entre os referenciais g e l efectuada com a seguinte expresso em que T a matriz de transformao (3x3) definida tambm no Captulo 2. gl xTx = (1) Nesta expresso, gx so as coordenadas de um ponto no referencial g e lx so as coordenadas desse mesmo ponto no referencial l. A equao (1) tambm pode ser utilizada para transformar as componentes de um vector do referencial g para o referencial l. 3.3 - Graus de liberdade Num ponto do espao pertencente a um corpo sujeito a deslocamentos e deformaes podem ser considerados seis graus de liberdade (trs de deslocamento e trs de rotao). = = 6 5 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 a a a a a a a a a a (2) Designa-se por deslocamentos generalizados o agrupamento dos trs deslocamentos e das trs rotaes num s vector com seis componentes (ver a Figura 3.2). a 1 a 2 a 3 = a 4 1 = a 5 2 = a 6 3 Fig. 3.2 - Deslocamentos generalizados.
41. 41. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 33 No estudo de um prtico 3D so considerados os seis deslocamentos generalizados em cada ponto nodal (da barra ou da estrutura). O caso da trelia 3D, em que apenas so considerados trs deslocamentos em cada ponto nodal (a1, a2 e a3), pode ser adaptado do prtico 3D, bastando eliminar tudo o que diz respeito a rotaes e momentos. Para se passar da trelia 3D para a trelia 2D basta suprimir tudo o que diz respeito a um dos trs graus de liberdade. Os prticos 2D, grelhas e vigas contnuas so tambm simplificaes do caso do prtico 3D. Por ser o caso mais genrico, de aqui em diante apenas se desenvolve a formulao da barra de prtico 3D. Em correspondncia com os seis deslocamentos generalizados, so consideradas seis foras generalizadas (3 foras e 3 momentos), que se representam na Figura 3.3. F 1 F 2 F 3 = F 4 1 = F 5 2 = F 6 3 Fig. 3.3 - Foras generalizadas. Na Figura 3.4 encontra-se representada uma barra de dois ns (i e j). Em cada n so considerados seis graus de liberdade em correspondncia com os seis deslocamentos generalizados (2). Assim, o nmero de graus de liberdade da barra doze.
42. 42. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 34 3 1 4 2 5 6 9 7 10 8 11 12 i j i < j l 1 l 2 l 3 Fig. 3.4 - Graus de liberdade da barra i j no referencial local. Em correspondncia com os doze graus liberdade representados na Figura 3.4, tm-se tambm as foras e os momentos que actuam nas extremidades da barra. 3.4 - Matriz de transformao A matriz de transformao T referida em (1) uma matriz 3x3 cujos componentes so = 333231 232221 131211 TTT TTT TTT T (3) A transformao dos doze deslocamentos generalizados representados na Figura 3.4 pode ser efectuada com a seguinte relao, desde que a matriz de transformao T passe a ser uma matriz 12x12 constituda pela repetio de (3) quatro vezes. ( ) ( ) ( )1121212112 = gl aTa (4)
43. 43. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 35 = g g g g g g g g g g g g l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a a a a a TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT TTT a a a a a a a a a a a a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 (5) 3.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao Supondo o caso de uma barra de eixo rectilneo e seco constante, a respectiva matriz de rigidez no referencial local ( )lK , bem como o vector de foras nodais equivalentes a diversos tipos de aces ( )lF podem ser directamente obtidos com base num formulrio de estruturas [3.1] (ver tambm as Seces 3.9 e 3.10). Assim, parte-se do princpio que se dispe da matriz lK e do vector lF , que se relacionam com a habitual equao ( ) ( ) ( )1121121212 = lll FaK (6) sendo la o vector dos deslocamentos generalizados da barra no referencial local. As equaes (4) e (5) so vlidas, quer para os deslocamentos generalizados, quer para as foras generalizadas, tendo-se tambm ( ) ( ) ( )1121212112 = gl FTF (7) Uma vez que a matriz de transformao ortogonal, i.e. 1 = TT T (8)
44. 44. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 36 multiplicam-se ambos os membros de (7) por T T e obtm-se ( ) ( ) ( )1121212112 = l T g FTF (9) Substituindo em (9) a equao (6) ( ) ( ) ( )1121212112 = lll aKF (10) resulta ( ) ( ) ( ) ( )11212121212112 = ll T g aKTF (11) Substituindo (4) em (11) chega-se a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )112121212121212112 = gl T g aTKTF (12) Uma vez que a relao de rigidez da barra no referencial geral ( ) ( ) ( )1121121212 = ggg FaK (13) Da comparao de (12) com (13) conclui-se que a matriz de rigidez da barra de prtico 3D no referencial geral dada por ( ) ( ) ( ) ( )1212121212121212 = TKTK l T g (14) O vector solicitao gF pode ser calculado com a expresso (9). Depois de serem conhecidos os deslocamentos ga , possvel calcular as aces nas extremidades das barras no referencial local, recorrendo seguinte expresso, que resulta da substituio de (4) em (10) ( ) ( ) ( ) ( )11212121212112 = gll aTKF (15)
45. 45. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 37 3.6 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao Depois de calculadas todas as matrizes de rigidez das barras no referencial geral com recurso expresso (14), necessrio proceder ao clculo da matriz de rigidez global da estrutura. Uma operao semelhante tem de ser efectuada com os vectores solicitao das diversas barras. A assemblagem na matriz de rigidez global das matrizes de rigidez das diversas barras em seguida apresentada com base no exemplo da Figura 3.5. 1 A a 1 2 3 4 B C D a 2 a 3 a 4 F 1 F 2 F 3 F 4 Fig. 3.5 - Assemblagem num exemplo unidimensional. A estrutura representada na Figura 3.5 unidimensional, tem quatro ns (1 a 4) e quatro barras (A a D). Cada barra tem as suas caractersticas, nomeadamente, o mdulo de Young (E), a rea da seco transversal (A) e o comprimento (L). Em cada n existe um nico grau de liberdade. Em correspondncia com os quatro graus de liberdade existem quatro deslocamentos nodais (a) e quatro foras nodais equivalentes aco exterior (F). Cada barra tem dois graus de liberdade (um em cada extremidade). Para cada barra conhecida a matriz de rigidez (2x2) no referencial geral, cuja designao se simplifica de acordo com = = 2221 1211 2221 1211 : AA AA KK KK KABarra AA AA A (16) = = 2221 1211 2221 1211 : BB BB KK KK KBBarra BB BB B (17)
46. 46. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 38 = = 2221 1211 2221 1211 : CC CC KK KK KCBarra CC CC C (18) = = 2221 1211 2221 1211 : DD DD KK KK KDBarra DD DD D (19) Atendendo numerao global dos graus de liberdade (1 a 4), as matrizes de rigidez das barras passam a ser ( ) = 0000 0000 00 00 :21 2221 1211 AA AA KABarra A (20) ( ) = 0000 00 00 0000 :32 2221 1211 BB BB KBBarra B (21) ( ) = 2221 1211 00 00 0000 0000 :43 CC CC KCBarra C (22) ( ) = 2221 1211 00 0000 00 0000 :42 DD DD KDBarra D (23) O vector dos deslocamentos em todos os graus de liberdade da estrutura = 4 3 2 1 a a a a a (24)
47. 47. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 39 A a 1 B C D a 2 a 3 a 4 F 1 A F 2 A F 1 B F 2 B F 1 C F 2 C F 1 D F 2 D Fig. 3.6 - Vectores das foras nodais equivalentes a aces exteriores. Atendendo numerao global dos graus de liberdade, os vectores das foras nodais equivalentes s aces nas diversas barras so (ver a Figura 3.6) ( ) = 0 0 :21 2 1 A A A F F FABarra (25) ( ) = 0 0 :32 2 1 B B B F F FBBarra (26) ( ) = C C C F F FCBarra 2 1 0 0 :43 (27) ( ) = D D D F F FDBarra 2 1 0 0 :42 (28) Os vectores e matrizes indicados em (20)-(28) relacionam-se entre si de acordo com as seguintes equaes
48. 48. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 40 AA FaK = (29) BB FaK = (30) CC FaK = (31) DD FaK = (32) A soma dos primeiros membros das equaes (29)-(32) igual soma dos seus segundos membros, resultando DCBADCBA FFFFaKaKaKaK +++=+++ (33) ( ) DCBADCBA FFFFaKKKK +++=+++ (34) Uma vez que a relao de rigidez envolvendo todos os graus de liberdade da estrutura FaK = (35) conclui-se que DCBA KKKKK +++= (36) e DCBA FFFFF +++= (37) Adicionando as matrizes (20)-(23) de acordo com (36) chega-se a + + ++ = 22222121 12112221 121211112221 1211 0 0 00 DCCD CCBB DBDBAA AA K (38) Adicionando os vectores solicitao (25)-(28) de acordo com (37) chega-se a
49. 49. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 41 + + ++ = DC CB DBA A FF FF FFF F F 22 12 112 1 (39) O procedimento de assemblagem aqui exposto generalizvel ao caso em que existem seis graus de liberdade em cada n. Para esse fim, suficiente considerar que, por exemplo, C12 em vez de ser um escalar uma matriz 6x6 contendo os elementos da matriz C K que relacionam os graus de liberdade do n 1 com os graus de liberdade do n 2. 3.7 - Introduo das condies de apoio O sistema de equaes (35) ainda no pode ser resolvido, porque falta entrar em linha de conta com as condies de apoio da estrutura. Estas condies fronteira correspondem a apoios fixos ou assentamentos de apoio. Os apoios fixos podem sempre ser tratados como assentamentos de apoio de valor nulo. Por este motivo, no desenvolvimento que se segue apenas so referidos os assentamentos de apoio. O sistema de equaes (35) relaciona foras e deslocamentos que se encontram no referencial geral, englobando todos os graus de liberdade da estrutura. Tendo em vista a considerao das condies de apoio, os graus de liberdade da estrutura so divididos em dois grupos: L - graus de liberdade no prescritos (livres) P - graus de liberdade prescritos Assim, o sistema de equaes (35) passa a ter a seguinte organizao por blocos + = = PP L P L PPPL LPLL RF F a a KK KK FaK 0 (40) Em (40), La o vector que engloba os deslocamentos segundo os graus de liberdade no prescritos e Pa engloba os prescritos. O mesmo tipo de subdiviso efectuado com o vector das foras nodais equivalentes aco exterior ( F ). O vector adicional em que
50. 50. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 42 figura PR contm as reaces de apoio, que consistem nas foras (ainda desconhecidas) que fazem com que os deslocamentos em apoios assumam os valores prescritos. Designando por n o nmero de graus de liberdade no prescritos e por p o nmero de graus de liberdade prescritos, so especificadas na Tabela 3.2 as dimenses das sub-matrizes que figuram em (40). Tabela 3.2 - Dimenses das sub-matrizes presentes em (40). LLK ( n x n ) LPK ( n x p ) PLK ( p x n ) PPK ( p x p ) LL Fa , ( n x 1 ) PPP RFa ,, ( p x 1 ) Esta diviso em sub-matrizes obriga a fazer uma reorganizao das linhas e das colunas da matriz K que figura em (35), bem como das componentes dos vectores a e F . Na Tabela 3.3 apresentado o significado dos elementos das quatro sub-matrizes de K indicadas em (40). Tabela 3.3 - Significado dos elementos das sub-matrizes de K indicadas em (40). Deslocamento unitrio imposto segundo um grau de liberdade: Foras de fixao num grau de liberdade: LLK Livre Livre LPK Livre Prescrito PLK Prescrito Livre PPK Prescrito Prescrito No novo sistema de equaes indicado em (40), as incgnitas so La e PR . Os elementos de K , Pa , LF e PF tm valores conhecidos.
51. 51. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 43 O sistema de equaes (40) pode ser escrito do seguinte modo LPLPLLL FaKaK =+ (41) PPPPPLPL RFaKaK +=+ (42) A equao (41) pode ser rescrita do seguinte modo PLPLLLL aKFaK = (43) Em (43), LLK uma matriz quadrada, que em geral no singular, La o vector das incgnitas e os valores dos vectores e matrizes que esto no segundo membro so conhecidos. Por este motivo, (43) constitui um sistema de equaes lineares, que depois de resolvido fornece os valores dos deslocamentos La . A equao (42) pode ser rescrita do seguinte modo PPPPLPLP FaKaKR += (44) Uma vez que os deslocamentos La j so conhecidos, esta expresso fornece os valores das reaces em graus de liberdade prescritos ( PR ). O modo de introduo das condies de apoio aqui descrito tem as seguintes vantagens: na fase do processo que requer um maior volume de clculos e uma grande quantidade de memria de armazenamento, i.e., na fase de resoluo do sistema de equaes (43), o nmero de equaes e incgnitas n em vez de ser n+p; em comparao com o mtodo em que adicionado diagonal principal de K um nmero elevado, o mtodo aqui proposto apresenta menos problemas numricos, principalmente quando se utilizam mtodos iterativos para resolver o sistema de equaes. A principal desvantagem do mtodo aqui proposto a necessidade de agrupar os elementos de K em diversas sub-matrizes. Esta nova arrumao causa algumas dificuldades, principalmente quando se utilizam tcnicas de armazenamento esparso, em banda ou em perfil.
52. 52. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 44 3.8 - Faseamento da anlise de um prtico 3D Tendo em vista a anlise de uma estrutura do tipo prtico 3D pelo mtodo dos deslocamentos, sugere-se o seguinte algoritmo - Para cada barra: Calcular a matriz de transformao T (3) e em seguida calcular (5) Calcular a matriz de rigidez da barra, no referencial local ( lK ) Calcular a matriz de rigidez da barra, no referencial geral ( gK ) com (14) Assemblar ( gK ) em ( K ) (ver a Seco 3.6) Calcular o vector das foras nodais equivalentes aco exterior na barra, no referencial local ( lF ) Calcular ( gF ) com (9) Assemblar ( gF ) em ( F ) (ver a Seco 3.6) - Introduzir as condies de apoio (ver a Seco 3.7) - Resolver o sistema de equaes lineares (43), determinando assim os deslocamentos - Calcular as reaces nos apoios com (44) - Para cada barra: Passar os deslocamentos relativos barra corrente do vector a para o vector ga Calcular ( lF ) com (15) - Fim Embora seja possvel utilizar o procedimento sugerido sem recursos informticos, hoje em dia prefervel implement-lo por intermdio de um programa de computador. Neste domnio surgem muitas alternativas, tais como a seleco da linguagem de
53. 53. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 45 programao, o modo de criar os dados do problema, o modo de armazenamento da informao, as tcnicas numricas utilizadas, o recurso ou no a bibliotecas de operaes matriciais, etc. 3.9 - Matriz de rigidez de uma barra de trelia 3D no referencial local Na Figura 3.7 encontra-se representada uma barra de trelia espacial, de eixo rectilneo e seco constante. A sua matriz de rigidez (45), expressa no referencial local l, depende das seguintes grandezas: E - mdulo de Young, constante em todos os pontos da barra; A - rea da seco transversal da barra, considerada constante; L - comprimento da barra. 3 1 4 2 5 6 i j i < j l1 l2 l3 Fig. 3.7 - Trelia 3D: graus de liberdade da barra i j no referencial local. = 000000 000000 0000 000000 000000 0000 LEALEA LEALEA Kl (45)
54. 54. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 46 3.10 - Matriz de rigidez de uma barra de prtico 3D no referencial local Na Figura 3.8 encontra-se representada uma barra de prtico espacial, de eixo rectilneo e seco constante. A sua matriz de rigidez (46)-(50), expressa no referencial local l, depende das seguintes grandezas: E - mdulo de Young, constante em todos os pontos da barra; A - rea da seco transversal da barra, considerada constante; L - comprimento da barra; G - mdulo de distoro [3.2]; I2 - momento de inrcia da seco transversal da barra em relao ao eixo l2; I3 - momento de inrcia da seco transversal da barra em relao ao eixo l3; It - momento de inrcia de toro da seco transversal da barra [3.3] [3.4]. Nota: l2 e l3 so eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra. 3 1 4 2 5 6 9 7 10 8 11 12 i j i < j l1 l2 l3 Fig. 3.8 - Prtico 3D: graus de liberdade da barra i j no referencial local. = jj l ij l ji l ii l l KK KK K (46)
55. 55. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 47 = LEILEI LEILEI LGI LEILEI LEILEI LEA K t ii l 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 400060 040600 00000 0601200 6000120 00000 (47) = LEILEI LEILEI LGI LEILEI LEILEI LEA K t ji l 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 200060 020600 00000 0601200 6000120 00000 (48) ( )Tji l ij l KK = (49) = LEILEI LEILEI LGI LEILEI LEILEI LEA K t jj l 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 400060 040600 00000 0601200 6000120 00000 (50) 3.11 - Consideraes finais Neste captulo no foi considerada a possibilidade da a barra apresentar eixo no rectilneo, nem o facto de a seco transversal ser varivel ao longo do eixo da barra. No foi tambm considerada a contribuio das tenses tangenciais para a deformao, habitualmente designada deformao por esforo transverso. A incluso destas caractersticas faz com que a formulao apresentada neste captulo perca a simplicidade atrs evidenciada. Mais adiante sero apresentadas formulaes da matriz de rigidez de uma barra recorrendo a tcnicas especficas do Mtodo dos Elementos Finitos, em particular a formulao de viga de Timoshenko. Com este tipo de elementos de barra possvel ter em considerao a deformao por esforo transverso, o eixo curvilneo e a seco varivel.
56. 56. Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo 48 BIBLIOGRAFIA [3.1] - Brazo Farinha, J. S.; Correia dos Reis, A. - Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E. T. L., 1998. [3.2] - Azevedo, A. F. M. - Mecnica dos Slidos, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 1996. [3.3] - Segades Tavares, A. - Anlise Matricial de Estruturas, Laboratrio Nacional de Engenharia Civil, Curso 129, Lisboa, 1973. [3.4] - Massonnet, C. - Rsistance des Matriaux, Dunod, Paris, 1968.
57. 57. 49 CAPTULO 4 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS Antes de expor o mtodo dos elementos finitos (MEF) de um modo aplicvel a meios contnuos bidimensionais e tridimensionais, apresenta-se com algum detalhe o caso unidimensional. Quando apenas se considera uma dimenso, o mtodo resultante no tem grande interesse prtico, mas serve como introduo s tcnicas que mais adiante sero expostas para os casos mais genricos. O mtodo dos elementos finitos, que adiante ser exposto, baseia-se no mtodo dos deslocamentos e na discretizao de uma estrutura em sub-estruturas. Cada uma dessas sub-estruturas designa-se por elemento finito e tem comportamento conhecido, sendo o comportamento do todo considerado como a soma das partes. Cada elemento finito tem n ns, sendo apenas considerados explicitamente os deslocamentos generalizados nesses ns. Os deslocamentos nos restantes pontos do elemento finito obtm-se por interpolao dos deslocamentos dos ns. 4.1 - Simbologia Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulao do mtodo dos elementos finitos. Tabela 4.1 - Simbologia relativa ao mtodo dos elementos finitos. n Nmero de ns do elemento finito L Comprimento da barra prismtica x Coordenada cartesiana u Campo de deslocamentos a Deslocamento nodal N Funo interpoladora ou funo de forma
58. 58. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 50 Deformao B Matriz de deformao L 1 Operador diferencial (L 1 = d / d x) V Volume da barra prismtica Tenso normal p Aco exterior distribuda por unidade de comprimento F Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade do elemento finito, no referencial local A rea da seco transversal da barra prismtica E Mdulo de elasticidade ou mdulo de Young D Matriz de elasticidade ( D= ) K Matriz de rigidez do elemento finito no referencial local c Coeficiente de um termo de um polinmio x Coordenada cartesiana de um n de um elemento finito s Coordenada local E Mdulo de elasticidade num n do elemento finito A rea da seco transversal num n do elemento finito J Jacobiano da transformao (J = d x / d s) 4.2 - Funes interpoladoras ou funes de forma Na Figura 4.1 encontra-se representado um elemento finito unidimensional com dois ns e com comprimento L = 2.
59. 59. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 51 u (x) x1a 2a 1 2 L = 2 (x = - 1) (x = 1) Fig. 4.1 - Elemento finito unidimensional de dois ns. O nico eixo coordenado que considerado o eixo x, ocorrendo todos os deslocamentos paralelamente a x. A funo ( )xu corresponde ao campo de deslocamentos, verificando-se o seguinte ( ) ( ) =+ = 2 1 1 1 au au (1) sendo portanto a1 e a2 os deslocamentos dos ns. Considere-se agora, como aproximao, que a lei de variao do deslocamento entre os ns 1 e 2 linear. Nestas circunstncias, a seguinte funo ( )xu representa o campo de deslocamentos porque linear em x e respeita (1) ( ) x aaaa xu 22 1221 + + = (2) Os valores numricos dos parmetros a1 e a2 passaro a ser conhecidos depois de analisada a estrutura. Colocando a1 e a2 em evidncia em (2), chega-se seguinte expresso ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 axaxxu ++ = (3) Em (3) tem-se uma soma de produtos de funes lineares de x pelos deslocamentos nodais a1 e a2.
60. 60. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 52 A equao (3) pode ser escrita em forma matricial ( ) += 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a a xxxu (4) ou ( ) ( ) ( )[ ] = 2 1 21 a a xNxNxu (5) sendo ( ) ( ) += = xxN xxN 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (6) e aNu = (7) com ( ) ( )[ ] [ ]2121 NNxNxNN == (8) e = 2 1 a a a (9) O grfico das funes lineares N1 e N2 indicadas em (6) encontra-se representado na Figura 4.2.
61. 61. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 53 N1(x) x - 1 1 1 N2(x) - 1 1 1 x Fig. 4.2 - Grfico das funes N1(x) e N2(x). A principal caracterstica dos grficos das funes N1(x) e N2(x) salientada na Tabela 4.2 e consiste no facto de a funo N1(x) assumir o valor unitrio no n 1 e nulo nos restantes ns. A funo N2(x) assume o valor unitrio no n 2 e nulo nos restantes ns. Esta caracterstica ser clarificada adiante quando se apresentarem exemplos de elementos finitos com mais do que dois ns. Tabela 4.2 - Caractersticas das funes N1(x) e N2(x). x -1 1 N1(x) 1 0 N2(x) 0 1 Apresentam-se em seguida as funes de forma N1(x) e N2(x) para o caso da barra de dois ns de comprimento L (ver a Figura 4.3). u (x) x1a 2a 1 2 L (x = - L / 2) (x = L / 2) Fig. 4.3 - Elemento finito unidimensional de dois ns com comprimento L.
62. 62. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 54 De um modo semelhante ao que foi descrito para o elemento de comprimento L = 2, tem-se sucessivamente ( ) x L aaaa xu 1221 2 + + = (10) ( ) 21 1 2 11 2 1 ax L ax L xu ++ = (11) ( ) += 2 11 2 11 2 1 a a x L x L xu (12) ( ) ( ) += = x L xN x L xN 1 2 1 1 2 1 2 1 (13) 4.3 - Campo de deformaes O campo de deformaes na barra definido do seguinte modo xd ud = (14) Atendendo a (5) tem-se ( ) ( )[ ]2211 axNaxN xd d += (15) Uma vez que os deslocamentos nodais a1 e a2 no dependem de x, da derivao resulta 2 2 1 1 a xd Nd a xd Nd += (16) que em notao matricial fica = 2 121 a a xd Nd xd Nd (17)
63. 63. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 55 Designando por B a matriz = xd Nd xd Nd B 21 (18) e atendendo a (9), tem-se aB= (19) Designando por L 1 o seguinte operador diferencial xd d L =1 (20) a equao (14) escreve-se uL1 = (21) Atendendo a (7) tem-se aNL1 = (22) Comparando (22) com (19), conclui-se que NLB 1 = (23) De acordo com (18) e com (6), para o caso da barra de comprimento L = 2, os elementos da matriz B so os seguintes = = 2 1 2 1 2 1 xd Nd xd Nd (24) = 2 1 2 1 B (25) No caso da barra de comprimento L, de (18) e (13) chega-se a
64. 64. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 56 = = Lxd Nd Lxd Nd 1 1 2 1 (26) = LL B 11 (27) De (9), (19) e (27) conclui-se que, no caso da barra de comprimento L, se tem L L L aa a a LL aB = = == 12 2 111 (28) Neste exemplo simples, a expresso do campo de deformaes corresponde ao que se considera habitualmente para uma barra sujeita a um esforo axial. Uma vez que no depende da coordenada x, este elemento finito apresenta deformao constante. 4.4 - Princpio dos trabalhos virtuais Considere-se um corpo sujeito a um conjunto de foras de volume e de superfcie que lhe provocam uma deformao. Com base no seu estado de equilbrio esttico, a configurao do corpo modificada por um conjunto de deslocamentos muito pequenos e compatveis com as condies fronteira, que se designam deslocamentos virtuais. O princpio dos trabalhos virtuais ou princpio dos deslocamentos virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas na deformao virtual do corpo igual ao trabalho realizado pelas foras exteriores nos deslocamentos virtuais dos seus pontos de aplicao [4.1] [4.2]. De um modo mais simplista comum afirmar que o trabalho interno de deformao igual ao trabalho externo das foras aplicadas. Trabalho Interno = Trabalho Externo (29) Apresenta-se em seguida uma verso simplificada do princpio dos trabalhos virtuais (PTV) adaptada ao caso das barras sujeitas a deslocamentos e foras apenas axiais. Nas expresses que se seguem, o prefixo indica que os deslocamentos ou deformaes so virtuais.
65. 65. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 57 = L T V T LdpuVd (30) Nesta expresso o vector apenas tem a componente correspondente extenso segundo o eixo da barra, o vector apenas contem a tenso normal na seco transversal da barra, o campo de deslocamentos ( u ) e a aco exterior distribuda ( p ) apenas referem a componente segundo o eixo da barra (ver a Figura 4.4). u (x) x 1 2L (x = - L / 2) (x = L / 2) p F2F1 Fig. 4.4 - Elemento finito unidimensional sujeito a uma aco axial uniformemente distribuda. Neste caso a expresso do PTV (30) passa a ser a seguinte = L T V T LdpuVd (31) 4.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao Com base no princpio dos trabalhos virtuais apresentado na seco anterior, vai-se em seguida proceder deduo das expresses da matriz de rigidez e do vector solicitao que so utilizados no mtodo dos deslocamentos. Designando por A a rea da seco transversal da barra, tem-se xdAVd = (32) Uma vez que o eixo da barra coincide com o eixo x, tem-se xdLd = (33)
66. 66. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 58 A equao (19) referida deformao virtual a seguinte aB = (34) que equivalente a TTT Ba = (35) A relao constitutiva ou relao tenso-deformao neste caso D= (36) apresentando a matriz de elasticidade D apenas um elemento que consiste no mdulo de Young (E). Substituindo (19) em (36) tem-se aBD= (37) A equao (7) referida deformao virtual a seguinte aNu = (38) que equivalente a TTT Nau = (39) Substituindo todas estas equaes em (31) passa a ter-se o PTV expresso por + + = 2 2 2 2 L L TT L L TT xdpNaxdAaBDBa (40) Uma vez que os deslocamentos nodais no dependem de x podem passar para fora do integral + + = 2 2 2 2 L L TT L L TT xdpNaaxdABDBa (41)
67. 67. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 59 De acordo com o PTV, a equao (41) verdadeira para qualquer conjunto de deslocamentos virtuais, concluindo-se assim que + + = 2 2 2 2 L L T L L T xdpNaxdABDB (42) Comparando esta equao com a relao de rigidez que utilizada no mtodo dos deslocamentos FaK = (43) tem-se no caso da barra unidimensional + = 2 2 L L T xdABDBK (44) + = 2 2 L L T xdpNF (45) As expresses (42)-(45) so aplicveis quando as seguintes grandezas so variveis ao longo da barra: mdulo de Young (E), rea da seco transversal (A) e carga distribuda (p). Apresenta-se em seguida o desenvolvimento das expresses (44) e (45) para o caso de E, A e p serem constantes. + = 2 2 L L T xdBBAEK (46) Atendendo a (27) [ ] + = 2 2 11 1 1L L xdLL L L AEK (47) = LAELAE LAELAE K (48)
68. 68. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 60 Neste caso simples os elementos da matriz de rigidez coincidem com os que se obtm directamente pelo mtodo dos deslocamentos. Partindo de (45), tem-se neste caso em que p constante + = 2 2 L L T xdNpF (49) Atendendo a (8) e a (13) tem-se + + = 2 2 1 2 1 1 2 1 L L xd x L x L pF (50) = 2 2 Lp Lp F (51) Esta expresso tambm coincide com a que se obtm por processos mais simples. 4.6 - Elemento finito unidimensional com trs ns Considere-se o elemento finito unidimensional com trs ns representado na Figura 4.5, cujo comprimento L = 2. u (x) x1a 1 2 L = 2 (x = - 1) (x = 1) 3 2a 3a (x = 0) Fig. 4.5 - Elemento finito unidimensional de trs ns.
69. 69. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 61 De um modo semelhante ao que foi apresentado na Seco 4.2, considera-se que a funo ( )xu aproximada pelo seguinte polinmio de segundo grau ( ) 2 210 xcxccxu ++= (52) Pretende-se que a funo (52) respeite nos ns os valores dos respectivos deslocamentos, sendo ( ) ( ) ( ) =+ = = 3 2 1 1 0 1 au au au (53) Atendendo a (52) tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++ =++ =++ 3 2 210 2 2 210 1 2 210 11 00 11 accc accc accc (54) que equivalente a = 3 2 1 2 1 0 111 001 111 a a a c c c (55) Explicitando c0, c1 e c2 tem-se = 3 2 1 2 1 0 5.015.0 5.005.0 010 a a a c c c (56) Substituindo as expresses de c0, c1 e c2 em (52), chega-se a ( ) ( ) ( ) 2 321312 5.05.05.05.0 xaaaxaaaxu ++++= (57) que equivalente a ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 5.05.015.05.0 axxaxaxxxu +++= (58)
70. 70. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 62 Em notao matricial tem-se ( ) [ ] += 3 2 1 222 5.05.015.05.0 a a a xxxxxxu (59) Considerando ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = 3 2 1 321 a a a xNxNxNxu (60) tem-se ( ) ( ) ( ) += = = xxxN xxN xxxN 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 (61) Neste caso ( ) ( ) ( )[ ] [ ]321321 NNNxNxNxNN == (62) aNu = (63) = 3 2 1 a a a a (64) Na Figura 4.6 esto representados os grficos das funes N1(x), N2(x) e N3(x) indicadas em (61)
71. 71. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 63 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 x x x N1(x) N2(x) N3(x) Fig. 4.6 - Grfico das funes N1(x), N2(x) e N3(x). Na Tabela 4.3 encontram-se algumas caractersticas das funes de forma representadas na Figura 4.6 (comparar com a Tabela 4.2). Tabela 4.3 - Caractersticas das funes N1(x), N2(x) e N3(x). x -1 0 +1 N1(x) 1 0 0 N2(x) 0 1 0 N3(x) 0 0 1
72. 72. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 64 Generalizando a expresso (18) para o caso do elemento de trs ns, resulta = xd Nd xd Nd xd Nd B 321 (65) Atendendo a (61), os elementos da matriz B so neste caso os seguintes += 2 1 2 2 1 xxxB (66) O clculo da matriz de rigidez K e do vector solicitao F pode ser efectuado por um processo semelhante ao indicado na Seco 4.5, no sendo aqui desenvolvido. 4.7 - Elemento finito unidimensional com substituio de varivel Na Figura 4.7 encontra-se representado um elemento finito unidimensional com trs ns e geometria qualquer. u (x) x 1a 1 2 ( )1xx= 3 2a 3a ( )2xx= ( )3xx= Fig. 4.7 - Elemento finito unidimensional de trs ns com geometria arbitrria. As coordenadas dos ns so 1x , 2x e 3x . Tal como nos casos descritos anteriormente, E representa o mdulo de Young, A a rea da seco transversal e p a aco axial distribuda. Todas estas grandezas podem eventualmente depender de x. possvel calcular a matriz de rigidez K e o vector solicitao F com (44) e (45), utilizando como varivel a coordenada x. Contudo, e tendo em vista a generalizao deste estudo aos casos bidimensionais e tridimensionais, vai ser efectuada uma substituio de varivel do tipo
73. 73. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 65 ( )sxx (67) A funo ( )sx , neste caso seleccionada, corresponde a uma interpolao coincidente com a que foi efectuada na Seco 4.6 para a funo deslocamento ( )xu , em que foi utilizada a interpolao (60), conjuntamente com as funes de forma (61). ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = 3 2 1 321 x x x sNsNsNsx (68) ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 xsNxsNxsNsx ++= (69) ( ) ( ) ( ) += = = sssN ssN sssN 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 (70) De um modo semelhante ao que se verificou em (53), tem-se ( ) ( ) ( ) =+ = = 3 2 1 1 0 1 xx xx xx (71) A substituio de varivel (67) encontra-se esquematizada na Figura 4.8.
74. 74. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 66 x 1 2 ( )1xx= 3 ( )2xx= ( )3xx= s 1 2 (s = -1) 3 (s = 0) (s = +1) Fig. 4.8 - Substituio da varivel x. Aps a substituio da varivel x, o integral (44) passa a ser + = 1 1 sd sd xd ABDBK T (72) com D, B , A e dx/ds dependentes da nova varivel s. Se no forem constantes, D (que coincide com E) e A so interpolados com as mesmas funes de forma que foram utilizadas para interpolar as coordenadas dos ns, i.e., a interpolao efectuada tal como em (69). ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 EsNEsNEsNsE ++= (73) ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 AsNAsNAsNsA ++= (74) Nestas funes, iE e iA so os valores no n i do mdulo de Young e da rea da seco transversal. A expresso de dx/ds, que se passa a designar por J, obtm-se por derivao de (69), resultando 3 3 2 2 1 1 x sd Nd x sd Nd x sd Nd sd xd J ++== (75) Por derivao de (70) em ordem a s, obtm-se
75. 75. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 67 += = = 2 1 2 2 1 3 2 1 s sd Nd s sd Nd s sd Nd (76) ficando ( ) 321 2 1 2 2 1 xsxsxs sd xd J +++ == (77) Para avaliar o integral (72) ainda necessrio definir a matriz B em funo de s. Atendendo adaptao de (18) ao elemento de trs ns, que foi tambm utilizada em (65), existe a necessidade de calcular as derivadas das funes de forma em ordem a x, mas expressas em funo de s. Com este objectivo, e uma vez que as funes de forma Ni (61) dependem de x, que por sua vez depende de s (69), tem-se, recorrendo regra da cadeia ( )( ) sd xd xd Nd sd Nd sxN sd d ii i == (78) xd Nd sd xd sd Nd ii = (79) Multiplicando ambos os membros de (79) pela inversa de dx/ds resulta sd Nd sd xd xd Nd ii 1 = (80) Uma vez que dx/ds um escalar, pode escrever-se sd xd sd Nd xd Nd i i = (81)
76. 76. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 68 sendo, de acordo com (76) e (77) ( ) 321 1 2 1 2 2 1 2 1 xsxsxs s xd Nd +++ = (82) ( ) 321 2 2 1 2 2 1 2 xsxsxs s xd Nd +++ = (83) ( ) 321 3 2 1 2 2 1 2 1 xsxsxs s xd Nd +++ + = (84) A matriz B apresenta os seguintes componentes += 2 1 2 2 11 sss J B (85) Depois de definidos todos os componentes da funo integranda de (72), possvel efectuar as seguintes simplificaes + = 1 1 sdBBJAEK T (86) sendo ( ) ( ) = xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd BB T 321 3 2 1 3113 (87)
77. 77. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 69 ( ) = xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd xd Nd BB T 332313 322212 312111 33 (88) Atendendo a (81) e ao facto de ser J = dx/ds, tem-se = sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd sd Nd J BB T 332313 322212 312111 2 1 (89) A expresso genrica do elemento Kij da matriz K + = 1 1 sd sd Nd sd Nd J AE K ji ij (90) Como exemplo, apresenta-se em seguida a expresso do elemento K13 da matriz de rigidez do elemento finito, de acordo com (90) e (76) + + = 1 1 13 2 1 2 1 sdss J AE K (91) Considere-se agora um caso particular de uma barra de comprimento total L e n 2 centrado (ver a Figura 4.7), com += = = 2 0 2 3 2 1 Lx x Lx (92) Neste caso particular, a expresso de J calculada com (77) no depende de s, sendo
78. 78. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 70 2 L sd xd J == (93) Se alm de J ser constante, E e A tambm forem constantes, simples calcular o integral (91), resultando L AE K 3 1 13 = (94) Apresenta-se em seguida um exemplo numrico em que o n 2 no se encontra centrado no elemento finito de trs ns (ver a Figura 4.7) = = = 0.5 0.3 0.2 3 2 1 x x x (95) Neste caso concreto, a expresso de J calculada com (77) 2 3 +== s sd xd J (96) Supondo E e A constantes, tem-se, de acordo com (91) + + = 1 1 2 13 2 3 4 1 sd s s AEK (97) Na prtica conveniente resolver os integrais (90) e (97) recorrendo a uma tcnica de integrao numrica, que ser descrita no Captulo 5. 4.8 - Consideraes finais A formulao pelo MEF aqui efectuada no mbito de um problema muito simples serve como introduo s tcnicas que se aplicam em meios contnuos com duas ou trs dimenses, de que so exemplo os estados planos de tenso, as cascas e os slidos. Muitas das expresses matriciais que aqui foram apresentadas coincidem com as que
79. 79. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 71 surgem nos casos mais genricos, sendo apenas necessrio redefinir as dimenses e os elementos dos vectores e das matrizes. BIBLIOGRAFIA [4.1] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. - Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2002. [4.2] - Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. - The Finite Element Method, Fourth Edition, McGraw-Hill, 1988.
80. 80. Elementos Finitos Unidimensionais - lvaro F. M. Azevedo 72
81. 81. 73 CAPTULO 5 QUADRATURA DE GAUSS Muitos dos integrais que necessrio calcular no mbito da aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) no so triviais, i.e., ou a primitiva da funo integranda no existe explicitamente, ou demasiado complicada para viabilizar a sua utilizao prtica. Por este motivo essencial recorrer a tcnicas de integrao numrica, que tambm recebem a designao de quadratura. Neste captulo descrita e justificada a quadratura de Gauss, por ser a mais utilizada no mbito do MEF [5.1]. 5.1 - Simbologia Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada no estudo da quadratura de Gauss. Tabela 5.1 - Simbologia relativa quadratura de Gauss. c Coeficiente de um termo de um polinmio I Valor exacto do integral J Valor do integral calculado de acordo com a quadratura de Gauss P Posio de um ponto de Gauss ou ponto de amostragem W Peso (weight) associado a um ponto de Gauss ou ponto de amostragem n Nmero de pontos de Gauss utilizados numa direco p Grau de um polinmio 5.2 - Integrao de uma funo polinomial Na Figura 5.1 encontra-se representada uma funo polinomial de grau 5, cuja expresso genrica a seguinte
82. 82. Quadratura de Gauss - lvaro F. M. Azevedo 74 ( ) 5 5 4 4 3 3 2 210 xcxcxcxcxccxf +++++= (1) f (x) x -1 +11P 2P 3P Fig. 5.1 - Funo polinomial de grau 5. O integral (exacto) do polinmio (1) no intervalo [-1,1] ( ) + = 1 1 xdxfI (2) ( ) + +++++= 1 1 5 5 4 4 3 3 2 210 xdxcxcxcxcxccI (3) 420 5 2 3 2 2 cccI ++= (4) Para facilitar a sua comparao com uma expresso que vai ser em seguida apresentada, o segundo membro de (4) rescrito da seguinte forma 543210 0 5 2 0 3 2 0 1 2 ccccccI +++++= (5) Suponha-se agora que se pretende avaliar o integral de f (x) por intermdio do somatrio de avaliaes da funo f (x) em determinados locais, multiplicadas por adequados pesos. No caso do polinmio de grau 5 indicado em (1), ser adiante mostrado que, para se obter um resultado exacto, se deve avaliar a funo f (x) em trs pontos de amostragem Pi e multiplicar cada um desses valores por pesos Wi (ver a Figura 5.1). O integral avaliado desta forma designado por J, sendo