mef vigas concreto

7/25/2019 MEF Vigas Concreto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UFSC

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL PPGEC

MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE NO LINEAR FSICA

E GEOMTRICA DE VIGAS E PRTICOS PLANOS DE CONCRETO

ARMADO

Tese apresentada Universidade Federal deSanta Catarina como requisito parcial exigido pelo

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil PPGEC, para obteno do Ttulo de Doutor emEngenharia Civil.

Prof. Henriette Lebre La Rovere

RENATA S BRITO STRAMANDINOLI

Florianpolis, maro de 2007


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MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE NO LINEAR FSICA EGEOMTRICA DE VIGAS E PRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO

Tese julgada adequada para a obteno do Ttulo de DOUTOR em Engenharia Civil eaprovada em sua forma final pelo programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil PPGEC da Universidade Federal de Santa Catarina UFSC.

Prof. Glicrio Trichs Coordenador do PPGEC

Profa. Henriette Lebre La Rovere, PhD Orientadora

COMISSO EXAMINADORA:

Dr. Daniel Domingues Loriggio ECV/UFSC

Roberto Caldas de Andrade Pinto, PhD ECV/UFSC

Dr. Eduardo Alberto Fancello EMC/UFSC

Dr. Mauro Schulz UFF

Dr. Amrico Campos Filho UFRGS


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A meus pais,

Suzana e Antonio,

com amor.


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AGRADECIMENTOS

Em especial Professora Henriette Lebre La Rovere, pela excelente

orientao e pela amizade e apoio demonstrados durante a realizao deste trabalho.

Ao Professor Daniel Domingues Loriggio pelas discusses e contribuies a

esta tese, e aos demais professores de Estruturas do PPGEC, pelos ensinamentos

transmitidos.

Aos meus pais, por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim, e em especial

ao meu pai, engenheiro e professor, pelo incentivo inicial e pelas contribuies ao

longo de todo o trabalho.

Aos meus irmos, pela amizade e carinho, e em especial minha irm

Juliana, pelo apoio e convivncia durante os anos em Floripa.

Aos parentes, amigos e colegas que de alguma forma me incentivaram.

Ao colega Alexandre Chimello pelas figuras cedidas.

Ao CNPq, pela bolsa de estudos concedida.

COPEL, Companhia Paranaense de Energia, pelas facilidades oferecidas,

que permitiram a concluso deste trabalho.

Aos colegas, professores e funcionrios do Programa de Ps-Graduao em

Engenharia Civil da UFSC, que auxiliaram direta e/ou indiretamente o desenvolvimento

deste trabalho.

Por ltimo, mas no menos importante, a Deus, por mais esta conquista.


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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS......................................................................................................ix

LISTA DE TABELAS ................................................................................................... xiii

LISTA DE SMBOLOS.................................................................................................xiv

RESUMO.....................................................................................................................xvii

ABSTRACT................................................................................................................xviii

1 INTRODUO............................................................................................................1

1.1 CONSIDERAES GERAIS..................................................................................1

1.2 JUSTIFICATIVA......................................................................................................2

1.3 OBJETIVOS............................................................................................................3

1.4 ORGANIZAO DOS CAPTULOS ....................................................................... 4

2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ............. 6

2.1 INTRODUO........................................................................................................6

2.2 MODELOS EXISTENTES PARA ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS

RETICULADAS DE CONCRETO ARMADO...........................................................8

2.3 LIGAES VIGA PILAR....................................................................................17

2.4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS.........................................20

2.4.1 Concreto...............................................................................................................21

2.4.1.1 Concreto sob compresso uniaxial ................................................................... 21

2.4.1.2 Concreto sob trao uniaxial............................................................................ 29

2.4.1.3 Concreto sob estado biaxial de tenses............................................................31

2.4.1.4 Concreto sob estado triaxial de tenses............................................................352.4.2 Ao ....................................................................................................................... 35

3 NOVO MODELO DE TENSION-STIFFENING ..................................................... 38

3.1 O MODELO DO CEB (BULLETIN DINFORMATION NO. 158-E MANUAL DE

FISSURAO E DEFORMAO, 1985) ............................................................. 38


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3.2 NOVO MODELO DE TENSION-STIFFENING......................................................41

3.3 COMPARAO ENTRE MODELOS....................................................................45

3.4 COMPARAO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE ENSAIOS

UNIAXIAIS ............................................................................................................ 47

4 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE DE VIGAS E

PRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO ....................................................... 50

4.1 MODELO DE BARRA COM HIPTESE DE EULER-BERNOULLI ...................... 51

4.2 MODELO DE BARRA COM HIPTESE DE TIMOSHENKO................................66

4.2.1 Formulao para elemento elstico-linear:........................................................67

4.2.2 Considerao da no-linearidade geomtrica................................................... 71

4.2.3 Considerao da no-linearidade fsica ............................................................ 71

4.2.3.1 Modelo MCFT ................................................................................................. 72

4.3 MODELO MISTO PROPOSTO.............................................................................78

4.3.1 Elemento plano..................................................................................................78

4.3.2 Elemento de transio..........................................................................................81

4.4 MODELOS CONSITUTIVOS UNIAXIAIS................................................................83

4.4.1 Concreto sob compresso....................................................................................83

4.4.2 Concreto sob trao ............................................................................................. 84

4.4.3 Ao ...................................................................................................................... 84

5 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ............................................................. 86

5.1 ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS..................................................................86

5.2 MDULOS DO PROGRAMA ANALEST .............................................................. 86

5.2.1 Mdulo ESTRU..................................................................................................87

5.2.2 Mdulo PORT2D ............................................................................................... 87

5.2.3 Mdulos RESOLNLB e RESOLNLT..................................................................88

5.2.4 Mdulo DXF.......................................................................................................90


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5.3 ALGORITMOS UTILIZADOS PARA A SOLUO DAS EQUAES NO

LINEARES............................................................................................................ 91

5.3.1 Mtodo de Newton-Raphson.............................................................................91

5.3.2 Mtodo do Comprimento do Arco......................................................................92

5.3.3 Critrio de Convergncia...................................................................................97

6 ESTUDO PARAMTRICO E COMPARAO ENTRE OS DIFERENTES

MODELOS .................................................................................................................... 98

6.1 ESTUDO PARAMTRICO....................................................................................98

6.1.1 Viga simplesmente apoiada .............................................................................. 98

6.1.1.1 Nmero de elementos.....................................................................................99

6.1.1.2 Nmero de camadas de concreto.................................................................103

6.1.2 Prtico Plano ................................................................................................... 104

6.1.2.1 Nmero de elementos...................................................................................104

6.2 COMPARAO ENTRE OS MODELOS............................................................107

6.2.1 Vigas simplesmente apoiadas.........................................................................108

6.2.1.1 Exemplo 1.....................................................................................................108

6.2.1.2 Exemplo2......................................................................................................110

6.2.1.3 Exemplo 3.....................................................................................................114

6.2.1.4 Exemplo 4.....................................................................................................116

6.2.1.5 Comentrios..................................................................................................118

6.2.2 Vigas contnuas...............................................................................................119

6.2.2.1 Exemplo 5.....................................................................................................119

6.2.2.2 Exemplo 6.....................................................................................................1236.2.2.3 Comentrios..................................................................................................125

6.2.3 Prticos planos................................................................................................126

6.2.3.1 Exemplo 7.....................................................................................................127

6.2.3.2 Exemplo 8.....................................................................................................129

6.2.3.3 Exemplo 9.....................................................................................................131


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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 Elemento de ligao proposto por Pessiki et al (1990)..........................................................19 FIGURA 2 Elemento de ligao proposto por Bao (2005).......................................................................20FIGURA 3 Curvas tenso deformao para o concreto sob compresso............................................22FIGURA 4 Modelo Constitutivo de Hognestad.........................................................................................23FIGURA 5 Modelo constitutivo do CEB 90 ......................................... .................................................. ...25FIGURA 6 Modelo da NBR 6118 ................................................ .................................................. ...........26FIGURA 7 Modelo de Mander et al..........................................................................................................26FIGURA 8 Efetividade do confinamento entre estribos .............................................. .............................27FIGURA 9 Grfico para clculo da resistncia do concreto confinado....................................................29FIGURA 10 Concreto sob estado biaxial de compresso-compresso (Kupfer et al, 1969, apud franca,

2006) ............................................. .................................................. .................................................. ...32FIGURA 11 Concreto sob estado biaxial de trao-trao (Kupfer et al, 1969, apud franca, 2006).......32FIGURA 12 Concreto sob estado biaxial de trao-compresso (Kupfer et al, 1969, apud franca, 2006)

.............................................................................................................................................................33 FIGURA 13 Modelo elasto-plstico perfeito.............................................................................................36FIGURA 14 Modelo elasto-plstico com endurecimento linear .......................................... .....................36

FIGURA 15 Modelo trilinear .............................................. .................................................. .....................37FIGURA 16 Mecanismo de fissurao num elemento de concreto armado sujeito trao: a) tenso no

ao; b) tenso de aderncia; c) tenso no concreto - (CEB,1985 - Fonte: Llins, 2001). ..................39FIGURA 17 Diagrama tenso x deformao do ao (CEB, 1985)...........................................................40FIGURA 18 Representao do efeito de tension stiffening em um elemento de concreto armado

tracionado, (a) diagrama de fora x deformao do elemento, (b) diagrama tenso x deformao doconcreto................................................................................................................................................42

FIGURA 19 Ajuste de curva para o diagrama tensoxdeformao.........................................................44FIGURA 20 Ajuste de curva para obteno de ....................................................................................44 FIGURA 21 Comparao das curvas de tension-stiffening, (a) para n=0.2, (b) para n=0.4. ............46FIGURA 22 Comparao dos modelos de tension-stiffening: (a) Collins e Vecchio (1986) e Figueiras

(1986), (b) modelos simplificados e o novo modelo para diferentes valores de n ...........................47FIGURA 23 Grfico tenso x deformao do elemento v3......................................................................48 FIGURA 24 Grfico carga x deformao do elemento no. 7 .............................................. .....................48

FIGURA 25 elemento de barra no linear com 7 graus de liberdade (Chimello, 2003) ..........................51FIGURA 26 deformao de uma barra (*) configurao deformada ......................................... ...........53FIGURA 27 deformao de um segmento no eixo neutro da barra ............................................. ...........54FIGURA 28 Mtodo das lamelas: a) discretizao das sees em lamelas; b) distribuio de

deformaes; c) distribuio de tenses; d) esforos totais. (Chimello,2003) ....................................64FIGURA 29 Deformao na teoria de timoshenko...................................................................................67FIGURA 30 Elemento isoparamtrico de 4 ns.......................................................................................79FIGURA 31 Elementos que sero utilizados no modelo..........................................................................82FIGURA 32 Elemento de transio t1......................................................................................................82FIGURA 33 Elemento de transio t2......................................................................................................83FIGURA 34 Curva tenso x deformao para o ao .................................................. .............................84FIGURA 35 Fluxograma dos mdulos do programa ANALEST ......................................... .....................87FIGURA 36 Fluxograma simplificado do mdulo resolnlb ou resolnlt .................................................. ...89FIGURA 37 Mtodo do comprimento do arco: (a) Riks e Wempner, (b) Crisfield ..................................93

FIGURA 38 Mtodo do comprimento do arco (Riks e Wempner)............................................................94FIGURA 39 Geometria da viga analisada................................................................................................99FIGURA 40 Discretizao dos elementos para o caso 1 de carregamento. .........................................100FIGURA 41 Discretizao dos elementos para o caso 2 de carregamento. .........................................101FIGURA 42 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 1 de carregamento : (a) elemento com

hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .102FIGURA 43 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 2 de carregamento : (a) elemento com

hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .102FIGURA 44 Nmero de camadas da seo transversal de concreto....................................................103FIGURA 45 grfico carga x deslocamento vertical cm variao do no. de camadas: (a) elemento com

hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .103FIGURA 46 Geometria do prtico analisado..........................................................................................104


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FIGURA 47 Casos de carregamento .................................................. .................................................. .105FIGURA 48 Discretizao dos elementos para o prtico analisado......................................................105 FIGURA 49 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 1 de carregamento: (a) elemento com

hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .106FIGURA 50 Grfico carga x deslocamento horizontal para o caso 2 de carregamento: (a) elemento

com hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .......................................106FIGURA 51 Geometria da viga do exemplo 1........................................................................................108FIGURA 52 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1a..........................................109 FIGURA 53 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1b..........................................109 FIGURA 54 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1c. .........................................110FIGURA 55 Geometria da viga do exemplo 2........................................................................................110FIGURA 56 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2a..........................................111 FIGURA 57 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2b..........................................111 FIGURA 58 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2c. .........................................112FIGURA 59 Grfico carga x deformao da armadura longitudinal da viga do exemplo 2b.................113FIGURA 60 Fissurao na viga do exemplo 2b para a carga de 125 kN: (a) Bernoulli, (b) Timoshenko

para y=0.08%....................................................................................................................................113 FIGURA 61 Estrutura deformada e indeformada (viga 2b) para carga de 125 kN................................114FIGURA 62 Geometria da viga do exemplo 3........................................................................................114

FIGURA 63 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3a..........................................115 FIGURA 64 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3b..........................................115 FIGURA 65 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3c. .........................................116FIGURA 66 Geometria da iga do exemplo 4. ............................................. ...........................................116FIGURA 67 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4a..........................................117 FIGURA 68 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4b..........................................117 FIGURA 69 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4c. .........................................118FIGURA 70 Geoemtria da viga do exemplo 5........................................................................................119FIGURA 71 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5a..........................................120 FIGURA 72 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5b..........................................121 FIGURA 73 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5c. .........................................121FIGURA 74 Grfico carga x deformao da armadura longitudinal da viga do exemplo 5b.................122FIGURA 75 Fissurao na viga do exemplo 5b para a carga de 55 kN: (a) Bernoulli, (b) Timoshenko

para y=0.08%....................................................................................................................................122

FIGURA 76 Estrutura deformada e indeformada (viga 5b)....................................................................123FIGURA 77 Geometria da viga do exemplo 6........................................................................................123FIGURA 78 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6a..........................................124 FIGURA 79 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6b..........................................124 FIGURA 80 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6c. .........................................125FIGURA 81 Geometria do prtico plano. ............................................ .................................................. .126FIGURA 82 Discretizao dos elementos utilizados nos modelos........................................................126FIGURA 83 Condio de carregamento do exemplo 7. ............................................. ...........................127FIGURA 84 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7a..........................................128 FIGURA 85 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7b..........................................128 FIGURA 86 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7c. .........................................128FIGURA 87 Condio de carregamento do exemplo 8. ............................................. ...........................129FIGURA 88 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8a..........................................130 FIGURA 89 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8b..........................................130

FIGURA 90 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8c. .........................................130FIGURA 91 Condio de carregamento do exemplo 9. ............................................. ...........................131FIGURA 92 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9a......................................132FIGURA 93 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9b......................................132FIGURA 94 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9c......................................132 FIGURA 95 Condio de carregamento do exemplo 10. ........................................... ...........................133FIGURA 96 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10a....................................134FIGURA 97 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10b....................................134FIGURA 98 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10c....................................134 FIGURA 99 Detalhes das vigas vt1 e vt2 ..............................................................................................137FIGURA 100 Grfico carga x deslocamento vertical das vigas vt1/vt2. ............................................... .138FIGURA 101 Detalhe das vigas vb4, vb6 e vc3.....................................................................................139


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FIGURA 102 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vb4..........................................................140FIGURA 103 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vb6..........................................................140FIGURA 104 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vc3..........................................................141FIGURA 105 Detalhe da viga vre...........................................................................................................142FIGURA 106 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vre...........................................................143

FIGURA 107 Detalhe da viga j-4............................................................................................................144FIGURA 108 Grfico carga x deslocamento vertical da viga J-4...........................................................145FIGURA 109 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA1. .............................................. .........147FIGURA 110 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA2. .............................................. .........147FIGURA 111 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA3. .............................................. .........147FIGURA 112 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A1. ....................................... ...................148FIGURA 113 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A2. ....................................... ...................148FIGURA 114 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A3. ....................................... ...................148FIGURA 115 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B1. ....................................... ...................149FIGURA 116 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B2. ....................................... ...................149FIGURA 117 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B3. ....................................... ...................149FIGURA 118 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C1...........................................................150FIGURA 119 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C2...........................................................150FIGURA 120 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C3...........................................................150

FIGURA 121 - Geometria, discretizao e sees transversais da viga (dimenses em cm) .................153FIGURA 122 - Grfico carga x deslocamento vertical ........................................... ...................................153FIGURA 123 - Geometria das vigas contnuas analisadas (dimenses em cm)......................................154 FIGURA 124 Detalhes da viga V1, Silva (1977) ......................................... ...........................................155FIGURA 125 Detalhes da viga V2, Silva (1977) ......................................... ...........................................156FIGURA 126 Detalhes da viga V3, Silva (1977) ......................................... ...........................................156FIGURA 127 Detalhes da viga V4, Silva (1977) ......................................... ...........................................157FIGURA 128 Detalhes da viga V6, Silva (1977) ......................................... ...........................................157FIGURA 129 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V1. ....................................... ...................158FIGURA 130 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V2. ....................................... ...................158FIGURA 131 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V3. ....................................... ...................159FIGURA 132 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V4. ....................................... ...................159FIGURA 133 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V6. ....................................... ...................159FIGURA 134 Detalhe da viga VA1-40....................................................................................................161

FIGURA 135 Grfico carga x deslocamento vertical da viga VA1-40....................................................162FIGURA 136 Detalhe das vigas CW1 e CF1 .............................................. ...........................................163FIGURA 137 Grfico carga x deslocamento vertical da viga CW1........................................................163FIGURA 138 Grfico carga x deslocamento vertical da viga CF1.........................................................164 FIGURA 139 Grfico carga x deformao dos pilares...........................................................................166FIGURA 140 Geometria do prtico de Williams (1964) .............................................. ...........................167FIGURA 141 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico de Williams.........................................168 FIGURA 142 Detalhe do prtico de concreto armado ................................................ ...........................169FIGURA 143 Grfico carga x deslocamento horizontal do prtico ............................................... .........169FIGURA 144 Estrutura deformada e indeformada.................................................................................170FIGURA 145 Detalhe do prtico ensaiado por Vecchio e Emara (1992) ............................................. .171FIGURA 146 Grfico carga x deslocamento horizontal do prtico de Vecchio e Emara.......................172 FIGURA 147 Grfico carga x rotao do n esquerdo superior do prtico ...........................................173FIGURA 148 Grfico carga x deformao axial da armadura longitudinal inferior na extremidade

esquerda da viga do primeiro pavimento...........................................................................................174FIGURA 149 Grfico carga x deformao por cisalhamento na extremidade esquerda da viga doprimeiro pavimento.............................................................................................................................174

FIGURA 150 Grfico carga x deformao por cisalhamento na extremidade direita da viga do primeiropavimento...........................................................................................................................................175

FIGURA 151 Detalhe do prtico ensaiado por Vecchio e Balopolou (1990) .........................................176FIGURA 152 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico ......................................... ...................177FIGURA 153 Estrutura deformada (apenas os ns) e indeformada para a carga de 450 kN...............178 FIGURA 154 Grfico carga x deformao axial da armadura longitudinal inferior no meio do vo da viga

do primeiro pavimento........................................................................................................................180FIGURA 155 Detalhe do prtico P2 ............................................ ................................................ ...........181FIGURA 156 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico P2.......................................................182


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FIGURA 157 Detalhe dos prticos ensaiados por Read ............................................ ...........................183FIGURA 158 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico bi-rotulado ......................................... .184FIGURA 159 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico bi-engastado ......................................184FIGURA 160 Detalhes do prtico de Wilby e Bandit (1967)..................................................................186FIGURA 161 Discretizao da estrutura utilizada nos modelos de barra..............................................187

FIGURA 162 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico ......................................... ...................187FIGURA 163 Detalhes do prtico ensaiado por Bertero e McClure ............................................. .........188FIGURA 164 Grfico carga x deslocamento lateral...............................................................................189FIGURA 165 Detalhe dos prticos.........................................................................................................190FIGURA 166 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico A40.....................................................191FIGURA 167 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico A60.....................................................191FIGURA 168 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico B40.....................................................192FIGURA 169 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico B60.....................................................192FIGURA 170 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico C40.....................................................193 FIGURA 171 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico C60.....................................................193


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LISTA DE TABELAS

TABELA 1 Dados dos materiais (unidades kN e m)........................................... .....................................98TABELA 2 Dados dos materiais (unidades kN e m)........................................... ...................................108TABELA 3 Propriedades dos materias das vigas vt1 e vt2 (unidades kN e m).....................................138TABELA 4 Propriedades dos materias das vigas vb4, vb6, vc3 (unidades kN e m) ..............................139TABELA 5 Propriedades dos materias da viga vre (unidades kN e m) ................................................ .143TABELA 6 Propriedades dos materias da viga j-4 (unidades kN e m)......................................... .........144TABELA 7 Detalhes das vigas de bresler e scordelis............................................................................146TABELA 8 Propriedades do concreto ......................................... .................................................. .........146TABELA 9 Propriedades das armaduras...............................................................................................146TABELA 10 Propriedades dos materias (unidades kN e m)..................................................................152TABELA 11 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................154TABELA 12 Cargas ltimas das vigas ................................................ .................................................. .160TABELA 13 Propriedades dos materiais da viga va1-40 (unidades kN e m) .......................................161TABELA 14 Propriedades dos materiais das vigas cw1 e cf1 (unidades kN e m) ................................163TABELA 15 Cargas ltimas das vigas ................................................ .................................................. .164TABELA 16 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................169

TABELA 17 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................171TABELA 18 Cargas numricas e experimental para algumas etapas de carregamento ......................173TABELA 19 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................176TABELA 20 Cargas numricas e experimental para algumas etapas de carregamento ......................180TABELA 21 Propriedades dos materiais do prtico p2 (unidades kN e m) ...........................................181TABELA 22 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................184TABELA 23 Propriedades dos materiais................................................................................................186TABELA 24 Propriedades dos materiais................................................................................................188TABELA 25 Propriedades dos prticos..................................................................................................190TABELA 26 Propriedades do concreto (unidades kN e m)....................................................................190 TABELA 27 Propriedades das armaduras (unidades kN e m) ........................................... ...................190TABELA 28 Carga Mxima ....................................... .................................................. ...........................194


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LISTA DE SMBOLOS

Gregos

parmetro da curva do modelo de tension-stiffening

deformao longitudinal

0 deformao correspondente tenso mxima cmf

c deformao longitudinal no concreto

2c1c , deformaes principais no concreto

s deformao longitudinal no ao

u deformao ltima

x deformao longitudinal na direo x

0x deformao longitudinal no eixo de referncia

y deformao longitudinal na direo y ou deformao correspondente ao

incio do escoamento do ao

c coeficiente de minorao da resistncia do concreto

xy deformao transversal

coordenada natural na direo x

coordenada natural na direo y

tenso normal

c tenso no concreto

2c1c , tenses principais no concreto

s tenso no ao

x

tenso normal na direo x

y tenso normal na direo y

xy tenso tangencial

taxa de armadura

rotao

curvatura


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xv

vetor de foras residuais

Romanos

A rea

Ac rea de concreto

As rea de ao

B matriz que relaciona deformao x deslocamento

C1, C2 matriz de transformao (elemento de barra em elemento de transio)

D matriz constitutiva

E mdulo de deformao longitudinal

Ec mdulo de deformao longitudinal do concreto

Es mdulo de deformao longitudinal do ao

f vetor de foras externas

cmf valor mdio da resistncia compresso do concreto

cdf resistncia compresso de clculo (= cck/f )

fck resistncia caracterstica do concreto

ctf valor mdio da resistncia trao do concreto

fy tenso de escoamento do ao

fu resistncia ltima do ao

G mdulo de deformao transversal

I momento de inrcia

K matriz de rigidez

Ko matriz de rigidez fsica

Kg matriz de rigidez geomtrica

Ku matriz de rigidez devida aos deslocamentos iniciais

L comprimento do elemento

M momento fletor

N esforo normal

Ni funes de interpolao


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xvi

n relao entre os mdulos de elasticidade do ao e do concreto

R matriz de rotao

r vetor de foras internas (restauradoras)

S momento esttico

u deslocamento longitudinal

uo deslocamento longitudinal no eixo de referncia

U vetor de deslocamentos nodais

v deslocamento transversal

x direo longitudinal

y direo transversal

()t tangente


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RESUMO

Este trabalho visa desenvolver, estudar a aplicabilidade e comparar modelos de

elementos finitos para anlise no linear fsica e geomtrica de vigas e prticos planosde concreto armado. Primeiramente estuda-se um elemento de barra de 3 ns e 7graus de liberdade, considerando a teoria de viga de Euler - Bernoulli. A seotransversal subdividida em camadas, onde cada camada est sujeita a um estadouniaxial de tenses. Posteriormente desenvolve-se um elemento onde a deformaopor cisalhamento incorporada, considerando a teoria de viga de Timoshenko. Nesseelemento, cada camada submetida a um estado biaxial de tenses. Finalmentedesenvolve-se um modelo onde as vigas e colunas so modeladas por elementos debarra e as ligaes viga-coluna so modeladas por elementos planos. Utiliza-se umelemento finito plano hbrido de 4 ns para modelar a ligao e ainda elementos detransio para ligar os elementos planos aos de barra. Um novo modelo constitutivopara representar o comportamento do concreto tracionado tambm proposto, para

levar em conta a contribuio do concreto entre as fissuras. Este modelo, alm de sersimples e fcil de implementar computacionalmente, apresenta boa acurcia emcomparao com dados experimentais e com outros modelos mais refinados. Todos osmodelos de elementos finitos desenvolvidos so implementados em um programacomputacional na linguagem FORTRAN 90, denominado ANALEST. Diversos estudosparamtricos e tericos so realizados para verificao dos modelos implementados,do efeito das propriedades dos materiais e dos modelos constitutivos e tambm paracomparao entre os diferentes modelos. A comparao dos resultados numricos comresultados experimentais, obtidos de ensaios em diferentes laboratrios, para diversasvigas e prticos, mostra a eficincia do programa computacional desenvolvido.

Palavras-chave: concreto armado; elementos finitos; anlise no linear.


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ABSTRACT

This work aims to develop, to study the applicability and to compare finite element

models for the material and geometrical nonlinear analysis or reinforced concretebeams and plane frames. Initially, a bar element with 3 nodes and 7 degrees of freedomis investigated, considering the Euler Bernoulli beam theory. The transversal sectionis subdivided into layers, where each layer is subjected to a uniaxial stress state. Next,a Timoshenko beam element is developed in order to take into account the sheardeformation in the section. In this element, each layer is submitted to a biaxial stress-state. Finally, a model where the beams and columns are modeled by bar elements andthe beam-column joints are modeled by plane elements is developed. A 4 noded hybridplane finite element is used for modeling the joints, and transition elements are used toconnect the plane elements to the bar elements. A new constitutive model to representthe tensile behavior of concrete is also proposed, in order to take into account theconcrete contribution between the cracks. This model, besides being simple and easy to

implement computationally, displays good accuracy in comparison to experimental dataand other refined models. All finite elements models are implemented into acomputational program written in FORTRAN 90, named ANALEST. Some parametricand theoretical studies are performed to verify the implemented models, the effect ofmaterial properties and constitutive models, and also for comparison between thedifferent models. Comparison between numerical and experimental results, obtainedfrom tests in different laboratories, for several beams and plane frames, shows theefficiency of the developed computational program.

Key-words: reinforced concrete; finite element; nonlinear analysis.


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1 INTRODUO

1.1 CONSIDERAES GERAIS

O concreto armado um dos materiais mais utilizados na construo de

estruturas de edifcios residenciais ou comerciais, principalmente aqui no Brasil. Essas

estruturas devem ser dimensionadas para resistir com segurana a todas as

solicitaes a elas impostas, alm de no apresentar deformaes excessivas nem

grau de fissurao indesejvel, de forma a comprometer as condies de servio e

durabilidade das mesmas.

A anlise de estruturas de concreto armado pode ser feita de diversas formas,dependendo da preciso que se deseja dos resultados, das leis constitutivas utilizadas

para os materiais e da complexidade das estruturas.

A anlise elstico-linear, que considera uma relao linear entre tenses e

deformaes (linearidade fsica) e entre deformaes e deslocamentos (linearidade

geomtrica), muito importante e ainda a mais utilizada devido maior simplicidade de

aplicao e ao fato de que o seu conhecimento j est consolidado.

No entanto, sabe-se que a caracterstica mais marcante do concreto a sua

baixa resistncia trao se comparado compresso. Devido a isso, as estruturas de

concreto j apresentam fissurao para baixos nveis de carga, ocorrendo reduo da

rigidez da estrutura e modificao da distribuio de tenses, ou seja, a estrutura passa

a apresentar comportamento no linear fsico. Alm da fissurao do concreto

tracionado, a no-linearidade fsica das estruturas de concreto armado caracterizada

pela plastificao do concreto comprimido e pelo escoamento do ao.

Alm disso, quando os deslocamentos da estrutura no so to pequenos de

forma que as equaes de equilbrio precisem ser formuladas para a configurao

deformada, a estrutura passa a apresentar comportamento no linear geomtrico

importante.

Sempre que o efeito de redistribuio de tenses causado pela fissurao e

plastificao for significativo, ou sempre que a interao entre esforos de flexo e axial

ou flexo e cisalhamento for importante, deve-se levar em conta as no-linearidades da

estrutura.


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2

Nos projetos, em geral, os resultados de uma anlise elstico-linear so

utilizados para verificaes de estados limites de utilizao, podendo ser estendidos

para verificaes de estado limite ltimo. No entanto, em alguns casos, uma anlise

elstico-linear pode no satisfazer as condies de compatibilidade no estado limite

ltimo, tornando-se necessria uma anlise no linear. E mesmo em verificaes de

servio, onde a fissurao deve ser considerada, a no-linearidade fsica considerada

de maneira aproximada.

Em muitas situaes a anlise no linear importante, como no caso de

estruturas muito esbeltas ou ento estruturas submetidas a aes excepcionais, tais

como terremotos ou furaces. Alm disto, uma anlise no linear torna-se necessria

para a verificao da capacidade resistente de estruturas existentes que sero

submetidas a novos carregamentos no previstos em projetos ou em casos onde as

cargas foram subestimadas no projeto estrutural.

Verifica-se, tambm, uma tendncia das normas atuais em encorajar a

utilizao e desenvolvimento de mtodos e programas que levem em conta as no-

linearidades das estruturas de concreto armado em projetos estruturais.

Uma das vantagens da anlise no linear que se pode ter uma idia global

do funcionamento da estrutura, entendendo melhor o processo de formao e

propagao de fissuras e o desenvolvimento dos mecanismos de colapso.

1.2 JUSTIFICATIVA

Devido ao avano tecnolgico e utilizao de materiais mais resistentes,

estruturas mais complexas e mais esbeltas esto sendo desenvolvidas, necessitando

para isso mtodos computacionais mais elaborados para a anlise e projetos de

edifcios.

Para anlise no linear de estruturas de concreto armado, o Mtodo dos

Elementos Finitos se tornou a ferramenta mais utilizada atualmente, e, embora vrios

modelos de elementos finitos j tenham sido desenvolvidos, esse ainda um tema

avanado no meio tcnico-cientfico, tendo em vista a dificuldade de se modelar

corretamente o concreto armado, devido fissurao do concreto, ao escoamento do

ao, e interao entre os dois materiais.

Sendo assim, o desenvolvimento de modelos que combinem eficincia


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3

computacional e uma preciso razovel deve ser cada vez mais incentivado (Silva e

Matos, 2000).

Existem diversos modelos de barra 2D para anlise de vigas e prticos de

concreto armado que representam bem o comportamento de estruturas quando este

predominantemente de flexo. No entanto, comparaes desses modelos com

resultados experimentais em vigas contnuas ou vigas/prticos com carga vertical

concentrada ou prticos com cargas horizontais, no tm mostrado bons resultados,

devido presena de fissuras inclinadas causadas por flexo e cisalhamento

combinados.

Modelos de elementos finitos planos so mais adequados para a anlise

desses casos, no entanto o esforo computacional das anlises bem mais elevado,

principalmente para estruturas maiores com nmero elevado de graus de liberdade.

Surge assim a necessidade de se buscar modelos que melhor representem o

comportamento de estruturas de concreto armado com modo de ruptura de flexo com

cisalhamento e que ao mesmo tempo conduzam a nmero de graus de liberdade

reduzidos e anlises mais econmicas.

1.3 OBJETIVOS

O principal objetivo desta tese desenvolver novos modelos e investigar

alguns modelos existentes de elementos finitos para a anlise esttica no linear de

estruturas reticuladas de concreto armado, levando-se em conta a no-linearidade

fsica e geomtrica e implementar esses modelos num programa computacional. A

partir da comparao entre os resultados dos modelos de elementos finitos, estudados

e desenvolvidos, com resultados experimentais obtidos para vigas e prticos de

concreto armado, pretende-se definir quais os principais parmetros a serem utilizados

e tambm recomendar qual o melhor modelo a ser utilizado em cada caso.

Alguns objetivos especficos so:

- Estudar o elemento de barra de 7 graus de liberdade que considera a teoria

de viga de Euler Bernoulli, com a seo transversal subdividida em camadas, onde

cada camada est sujeita a um estado uniaxial de tenses;


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4

- Propor um modelo com elemento de barra que considere a teoria de viga de

Timoshenko, com a seo transversal subdividida em camadas, onde cada camada

est sujeita a um estado biaxial de tenses.

- Propor tambm um modelo misto, com as vigas e colunas modeladas por

elementos de barra e as ligaes viga-coluna modeladas por elementos planos.

- Desenvolver um novo modelo constitutivo para o concreto armado sob

trao, que ao mesmo tempo represente de maneira mais realista o efeito de tension-

stiffening (enrijecimento trao entre as fissuras) e seja de fcil implementao para

anlise no linear de estruturas de concreto armado;

- Implementar os modelos desenvolvidos em um programa computacional

para anlise no linear fsica e geomtrica de estruturas reticuladas, com a

possibilidade de diversos mtodos para resoluo das equaes no lineares;

- Realizar um estudo paramtrico para auxiliar o entendimento dos diversos

modelos e realizar uma comparao entre os diversos modelos estudados;

- Realizar uma comparao entre os resultados dos modelos de elementos

finitos desenvolvidos com resultados experimentais para vigas, pilares e prticos

planos de concreto armado;

- Utilizar esta comparao para definir os principais parmetros que influem

nas anlises e extrair recomendaes para utilizao dos diversos modelos.

1.4 ORGANIZAO DOS CAPTULOS

Inicialmente, no captulo 2, feita uma reviso de literatura sobre os

principais temas do trabalho.

A seguir, no captulo 3, descreve-se o novo modelo de tension-stiffening,

desenvolvido nesta tese, fazendo-se uma comparao com modelos existentes.

No captulo 4 so descritos os modelos de elementos finitos desenvolvidos,

enquanto que a implementao computacional destes modelos descrita no captulo 5.

No captulo 6 faz-se um estudo paramtrico para avaliar o efeito de alguns

parmetros e propriedades dos materiais usados nos modelos, e desenvolve-se uma

comparao entre os diferentes modelos.

No captulo 7 realizada a aplicao direta dos modelos desenvolvidos, a

partir de diversos exemplos de vigas, pilares e prticos planos, comparando-se os


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5

resultados numricos dos modelos com resultados experimentais obtidos em ensaios

de laboratrio.

Finalmente, no captulo 8, so apresentadas as concluses e recomendaes

para trabalhos futuros.


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2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

2.1 INTRODUO

Estruturas de concreto armado reticuladas podem ser modeladas por

elementos unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais ou mistos. Os elementos

unidimensionais so as barras, que podem ter eixo reto ou curvo. Os elementos

bidimensionais ou elementos planos possuem geralmente geometria triangular ou

quadrilateral. Os elementos tridimensionais so os elementos slidos, usualmente

tetradricos ou hexadricos. J os elementos mistos aparecem da combinao dos

elementos citados anteriormente.Para anlise destas estruturas, podem ser utilizadas a anlise linear e a

anlise no linear, com inmeras variaes.

Em uma anlise linear tem-se que o carregamento aplicado proporcional ao

deslocamento da estrutura. J na anlise no linear, incrementos constantes de carga

no correspondem a incrementos constantes de deslocamentos. O comportamento no

linear pode estar relacionado ao comportamento do material ou associado a mudanas

da configurao da estrutura.

No-Linearidade Geomtrica:

A linearidade geomtrica fica atendida se as mudanas de configurao do

sistema estrutural forem suficientemente pequenas, de modo a permitir a utilizao de

relaes deformaodeslocamento lineares e equaes de equilbrio com base na

geometria inicial. Quando a variao de esforos e de deslocamentos provocados pela

mudana da geometria da estrutura sob ao de carregamentos j no for to

pequena, deve-se considerar a no-linearidade geomtrica, formulando as equaes

de equilbrio para a configurao deformada da estrutura. Os efeitos desta nova

formulao so usualmente chamados de efeitos de 2. ordem.

No-Linearidade Fsica:

O concreto um material que apresenta um comportamento no linear, e

quando combinado com o ao, o seu comportamento ainda mais complexo, devido


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interao que ocorre entre ambos os materiais. Para uma anlise realista do

comportamento de estruturas de concreto armado, deve-se levar em conta a no-

linearidade das relaes tenso x deformao dos materiais.

Para a considerao das no-linearidades fsicas e geomtricas na anlise de

estruturas atravs do Mtodo dos Elementos Finitos duas formulaes podem ser

utilizadas: a Formulao Lagrangeana e a Formulao Euleriana.

Para a mecnica dos slidos a formulao mais utilizada a formulao

Lagrangeana, pois no processo de soluo, visto o comportamento de todas as

partculas que constituem a estrutura, desde uma configurao inicial, t=0, at a

configurao t+t, onde possvel estabelecer o equilbrio esttico. Na formulao

Lagrangeana as variveis so relacionadas a uma configurao conhecida. Uma outra

formulao seria a formulao Euleriana, que normalmente utilizada na Mecnica dos

Fluidos. Simplificadamente, pode-se dizer que na formulao Lagrangeana, a posio

onde uma partcula est dada em termos de onde ela estava, j na formulao

Euleriana a posio onde a partcula estava dada em funo de onde ela est.

Dentro das Formulaes Lagrangeanas, duas metodologias se destacam: A

Formulao Lagrangeana Total (FLT) e a Formulao Lagrangeana Atualizada (FLA).

Na FLT todas as variveis estticas e cinemticas so referenciadas configurao

inicial, no tempo t=0. Na FLA estas variveis so referenciadas ltima configurao

equilibrada, tempo t.

Segundo Bathe (1982), ambas as formulaes incluem todos os efeitos no

lineares devido a grandes deslocamentos. A nica vantagem de se utilizar uma

formulao ao invs da outra est na eficincia numrica.

Segundo Chan (1982), as duas formulaes so matematicamente

equivalentes, mas a FLA computacionalmente mais eficiente, pois, como ser visto

adiante, na formulao da matriz de rigidez no necessrio incluir a matriz devido aosdeslocamentos iniciais. Alm disso, com a FLA o problema de deformao artificial que

ocorre com grandes rotaes de corpo rgido evitado.

Segundo Wong e Tin-Loi (1990) a FLT mais fcil de ser implementada, no

entanto apresenta a desvantagem de que no possvel distinguir o movimento de

corpo rgido do elemento da sua deformao local. Isso implica numa descrio

incorreta do equilbrio, exceto para problemas com rotaes e deflexes pequenas ou


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8

moderadas. J na FLA, o movimento de corpo rgido do elemento pode ser separado

da sua deformao local, mas apesar de apresentar uma descrio do campo de

deslocamentos mais exata, o esforo computacional para calcular as deformaes

locais no elemento em cada etapa de carregamento muito grande.

Gummadi e Palazotto (1997) dizem que teoricamente as duas formulaes

podem ser utilizadas para a soluo de problemas com grandes deslocamentos e

grandes rotaes, no entanto, a FLA mostrou-se eficiente para a anlise de vigas e

arcos com grandes deslocamentos e rotaes, j a FLT s eficiente para grandes

rotaes, se utilizada em conjunto com a tcnica co-rotacional.

2.2 MODELOS EXISTENTES PARA ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURASRETICULADAS DE CONCRETO ARMADO

O comportamento no linear de estruturas de concreto armado tem atrado

ateno de pesquisadores, o que possibilitou o desenvolvimento de diversos modelos

para considerao da no-linearidade fsica e geomtrica em estruturas de concreto

armado.

Um dos primeiros modelos utilizados para considerar a no-linearidade fsica

do concreto foi o modelo de barra com molas no lineares nas extremidades,

formuladas a partir de relaes momentorotao pr-definidas. Esse modelo foi

posteriormente estendido para considerar a formao de rtulas plsticas, cargas

cclicas e tambm considerar mltiplas molas no elemento. Apresenta-se abaixo uma

breve reviso desses modelos.

O modelo de Clough e Johnston (1967), apud Taucer et al(1991), utilizava

duas molas no-lineares em cada extremidade do elemento, conectadas em paralelo,

sendo uma das molas com comportamento elasto-plstico perfeito, para representar o

escoamento, e outra, com comportamento perfeitamente elstico, para representar oencruamento do ao (strain-hardening), ou seja, considerando-se uma relao

momento x rotao bilinear.

O modelo de Giberson (1967), apud Kaba e Mahin (1984), consistia de um

elemento elstico-linear com uma mola no linear em cada uma das duas

extremidades do elemento. Esse modelo mais verstil que o anterior, pois pode

descrever comportamentos mais complexos atravs da escolha apropriada das


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9

relaes momento rotao para as molas.

O modelo de Takayanagi e Schnobrich (1979), apud Taucer et al (1991),

subdividia cada elemento em um nmero finito de sub-elementos, cada um

representado por uma mola no linear, como se fossem molas ligadas em srie. As

propriedades de cada segmento dependem do momento fletor do ponto mdio do sub-

elemento que admitido constante ao longo deste.

Mirza et al (1981) desenvolvem um modelo para prticos planos que

considera o concreto armado como um material elasto-plstico perfeito, dando enfoque

nas rtulas plsticas. realizada uma redistribuio dos momentos fletores,

considerando a capacidade de rotao destas rtulas, atravs do desenvolvimento de

um programa computacional que fornece como sada o comportamento carga

deslocamento completo e tambm o local e seqncia de formao das rtulas

plsticas at que se forme o mecanismo de colapso.

Senem (2000) apresenta um mtodo numrico para a anlise limite de

prticos planos, baseado na anlise matricial de estruturas. O trabalho apresenta

enfoque em estruturas metlicas, mas com possibilidade de extenso a estruturas de

concreto armado. O comportamento plstico do material incorporado pela mudana

dos mdulos de elasticidade de pequenos elementos de barra, localizados nas

posies de formao de possveis rtulas plsticas.

Outros mtodos, tambm simplificados, admitem funes de interpolao

para a obteno de rigidez varivel ao longo do elemento devido a no-linearidade

fsica. Umemura et al (1973), apud Kaba e Mahin (1984), sugeriram este modelo

admitindo uma distribuio parablica para a flexibilidade flexo (1/EI) ao longo do

eixo do elemento. Conhecendo-se a flexibilidade nas sees das extremidades e no

ponto de inflexo e utilizando as funes de interpolao, pode-se calcular a

flexibilidade ao longo de todo o elemento para uma dada distribuio de momentos. A

matriz de flexibilidade depois invertida para a obteno da matriz de rigidez. Essemodelo foi posteriormente utilizado por Rasheed e Dinno (1994(a)), sendo a funo de

interpolao dada em funo das sees das extremidades e do meio do elemento.

Desde a primeira aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para a

anlise de vigas de concreto armado, por Ngo e Scordelis (1967), vrios modelos de

elementos finitos para estruturas de concreto armado esto surgindo, pois existe uma

grande dificuldade em se modelar corretamente o concreto numa anlise de elementos


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10

finitos. (Ashour e Moreley (1993)).

Vrios modelos de elementos finitos de barras bidimensionais (2D) foram

desenvolvidos e estendidos para barras tridimensionais (3D). Dentre estes modelos

podem-se citar alguns:

Barbosa (1978) desenvolveu um modelo para a anlise no linear de prticos

planos de concreto armado considerando um nmero fixo de camadas de concreto

igual a 10. No modelo, levam-se em conta os efeitos da fissurao, da no-linearidade

compresso do concreto e o comportamento no linear do ao, atravs de uma

modificao dos mdulos de elasticidade das camadas e redistribuio das tenses

excedentes. Apresenta-se no trabalho a comparao do modelo com o resultado

experimental de uma viga simples.

Holzer et al (1979) mostram um programa desenvolvido anteriormente,

descrevendo o elemento finito utilizado para a anlise no linear fsica e geomtrica de

vigas/colunas de concreto armado. O elemento utilizado apresenta dois ns externos

com trs graus de liberdade cada e um n interno com um grau de liberdade. O modelo

admite uma relao deformao x deslocamento no linear, para levar em conta a no-

linearidade geomtrica, mas considera pequenos deslocamentos. So utilizadas

relaes constitutivas inelsticas e as cargas podem ser monotnicas ou cclicas.

ilustrada a capacidade do programa em prever a histria de carregamento x

deslocamento e o colapso de vigas e prticos de concreto armado.

Mar (1984) estendeu o modelo de barra 2D para 3D, para possibilitar a

anlise no linear fsica e geomtrica de prticos espaciais de concreto armado. Com o

intuito de incorporar as variaes das propriedades fsicas dos materiais na avaliao

das propriedades dos elementos, cada elemento dividido em um nmero discreto de

filamentos ou lamelas de concreto e ao. Admite-se que cada um desses filamentos

est sob um estado de tenso uniaxial e as deformaes por cisalhamento so

desprezadas. Em qualquer seo transversal as propriedades fsicas de cada filamentopodem variar para acomodar as no-linearidades dos materiais. A rigidez da barra

obtida pela soma das contribuies de todos os filamentos. O autor utiliza um elemento

de barra com 13 graus de liberdade, sendo seis graus para cada um dos dois ns da

extremidade e um grau de liberdade axial, no n interno do elemento. Para a

integrao da matriz de rigidez so utilizados dois pontos de Gauss e considera-se um

nico valor para a matriz constitutiva, utilizando o valor do ponto mdio do elemento,


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11

que representa a mdia dos valores ao longo do elemento. Dessa forma, a matriz de

rigidez pode ser obtida de forma explcita.

Kaba e Mahin (1984) desenvolvem um modelo para a anlise no linear fsica

de colunas e prticos planos de concreto armado considerando o mtodo das lamelas

e utilizando uma anlise dinmica para possibilitar a anlise da estrutura sob ao de

sismos.

Espion (1986) apresenta um modelo para anlise no linear fsica e

geomtrica de prticos planos de ao e de concreto armado. utilizado um elemento

de viga/coluna com nove graus de liberdade. Nesse modelo o campo de

deslocamentos transversais representado por um polinmio de quarta ordem e o

deslocamento axial por um polinmio de terceira ordem. Para a no-linearidade

geomtrica utilizada a formulao Lagrangeana Atualizada, considerando pequenas

deformaes. Foram implementadas diversas relaes tenso x deformao: linear,

bilinear, trilinear e foram realizadas vrias anlises para testar o modelo proposto.

Pimenta (1988) apresenta a deduo de um elemento de prtico plano para a

anlise no-linear, considerando a no-linearidade geomtrica, onde permitido que os

ns sofram grandes deslocamentos e rotaes assim como que a barra apresente

grandes alongamentos e curvaturas, introduzindo o conceito da formulao

corrotacional. A no-linearidade fsica pode ser includa considerando um material

elasto-plstico e as barras no precisam ser homogneas nem prismticas.

Pimenta e Soler (1989) aplicam o elemento desenvolvido anteriormente por

Pimenta (1988) anlise da estabilidade de prticos de concreto armado,

apresentando uma formulao lagrangeana com a tcnica corrotacional. Para modelar

o comportamento no linear do concreto armado compresso utilizada uma relao

tenso x deformao semelhante da NBR 6118, desprezando-se a resistncia n. J

para o ao considera-se que um material elasto-plstico perfeito. So mostrados

exemplos de uma viga e dois prticos, encontrando-se a carga crtica.El-Metwally e Chen (1989) estudam a influncia da no-linearidade fsica e

geomtrica e a flexibilidade das ligaes no comportamento de prticos de concreto

armado. A no-linearidade geomtrica levada em conta tanto localmente quanto

globalmente. Para modelar o efeito localizado foi modificada a matriz de rigidez por

funes de rigidez, e globalmente feita a atualizao das coordenadas aps cada

iterao. Para modelar o comportamento no linear do concreto armado compresso


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12

foi utilizada a relao tenso x deformao proposta por Soliman e Yu, a qual

considera o confinamento do concreto pelos estribos. Despreza-se a resistncia

trao do concreto e o ao considerado um material elasto-plstico perfeito. A ligao

viga-coluna modelada por uma mola de rotao.

Carol e Murcia (1989(a) e 1989(b)) desenvolvem um modelo para anlise no

linear fsica de prticos planos de concreto armado atravs de uma formulao hbrida

de elementos finitos. Nesta formulao encontrada uma soluo analtica para a

variao dos esforos ao longo da seo transversal e so utilizadas as expresses

matemticas dos esforos da seo transversal como funes de interpolao destes

esforos ao longo do elemento. De acordo com os autores no necessrio refinar a

malha, pois as funes de interpolao so exatas, podendo-se utilizar elementos

longos. considerado o efeito da fluncia para o concreto armado e podem-se

considerar os efeitos de segunda ordem. O modelo implementado no programa

CONS.

Vecchio e Emara (1992) desenvolvem um modelo para a considerao da

deformao por cisalhamento na anlise no linear de prticos de concreto armado,

considerando o Modelo da Teoria do Campo de Compresso Modificada. A

deformao por cisalhamento definida atravs da compatibilizao das foras

cortantes nas extremidades dos elementos.

O modelo desenvolvido por Sun et al (1993) pode ser utilizado para a anlise

de estruturas de concreto armado e protendido. Esse modelo permite a utilizao de

um material no homogneo e a utilizao de elementos no prismticos. Para a

incluso da no-linearidade geomtrica utilizada a formulao Lagrangeana Total, a

qual considera a estrutura indeformada, mas considera o efeito dos deslocamentos na

mudana da geometria atravs de uma matriz de deslocamentos iniciais. utilizado o

mtodo das lamelas para a diviso da seo transversal, onde cada camada est sob

estado uniaxial de tenses. Para modelar o comportamento no linear do concretoarmado compresso utilizada a relao tenso x deformao proposta por

Hognestad (1951) e trao utiliza-se uma relao linear at atingir a tenso de

fissurao, aps utiliza-se uma curva do terceiro grau para representar o efeito de

enrijecimento do concreto entre fissuras (tension-stiffening). O ao considerado um

material elasto-plstico perfeito. Foi desenvolvido um programa computacional que

apresenta bons resultados para cargas menores que a carga ltima.


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Rasheed e Dinno (1994(a) e 1994(b)) propem dois modelos para anlise no

linear fsica de estruturas reticuladas de concreto armado. Um deles um modelo

simplificado j citado anteriormente, e o outro semelhante ao modelo proposto por

Carol e Murcia (1989(a) e 1989(b)). Para modelar o comportamento no linear do

concreto armado compresso, utiliza-se uma curva de quarto grau para a relao

tenso x deformao, considerando o confinamento do concreto pelos estribos. Para o

concreto sob trao utiliza-se a relao sugerida por Gilbert e Warner, a qual combina

os efeitos de enrijecimento do concreto entre fissuras (tension-stiffening),

amolecimento (tension-softening) e aderncia-deslizamento (bond-slip),

representada por trs trechos lineares. O ao considerado um material elasto-plstico

com encruamento.

Paz (1995) desenvolveu em dissertao de mestrado na UFF um modelo

computacional capaz de prever o comportamento no linear de vigas ou colunas de

concreto armado confinados nas zonas potenciais de formao de rtulas plsticas. A

autora utiliza um elemento de dois ns, com trs graus de liberdade cada. So

consideradas apenas sees retangulares e utiliza-se a formulao isoparamtrica.

Adota-se o modelo simplificado de Mander, Priestley e Park (1984) apud Paz (1995)

para modificar a equao constitutiva do concreto submetido compresso em funo

da armadura de estribos. A matriz de rigidez e as foras restauradoras so avaliadas

numericamente pelas quadraturas de Gauss, sendo utilizados trs pontos de Gauss. A

matriz constitutiva e os esforos so avaliados nos pontos de Gauss, sendo a seo

discretizada em camadas (Mtodo das Lamelas).

Ovunc e Ren (1996) realizam a anlise no linear fsica e geomtrica de

prticos de concreto armado. A no-linearidade fsica includa atravs de uma

aproximao de uma funo contnua da tenso em relao deformao. A no-

linearidade geomtrica includa expressando os deslocamentos dos elementos em

sua configurao deformada, atravs da formulao Lagrangeana Atualizada. Estaformulao foi implementada nos mdulos relacionados a no-linearidades no

programa STDYNL.

Shuraim (1997) mostra um modelo para a anlise no linear fsica e

geomtrica de prticos planos de concreto armado. utilizada uma relao

deformao x deslocamento no linear, obtendo-se a matriz de rigidez do material e

uma matriz de rigidez geomtrica. Utiliza-se a formulao Lagrangeana Atualizada, a


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qual atualiza as coordenadas nodais a cada etapa. O concreto sob compresso

modelado pela curva proposta por Carreira e Chu (1985), e sob trao por dois trechos

lineares; o ao considerado elasto-plstico perfeito. utilizado o mtodo de Newton-

Raphson modificado para soluo das equaes no lineares.

Araripe (1998) desenvolve trs modelos de elementos finitos considerando

tanto a no-linearidade fsica quanto geomtrica, dentro de uma descrio

Lagrangeana Total. Alguns exemplos tericos so apresentados.

Silva e Matos (2000) fazem a anlise no linear fsica e geomtrica de

prticos planos de concreto armado, considerando a contribuio de concreto entre

fissuras. Neste modelo a seo dividida em camadas de ao e concreto. Considera-

se a estrutura submetida a grandes deslocamentos e grandes deformaes, baseando-

se numa formulao terica consistente e utilizando um sistema de coordenadas

corrotacional solidrio ao elemento. Para modelar o comportamento no linear do

concreto armado compresso utilizada a relao tenso x deformao proposta por

Hognestad (1951), e trao adota-se o modelo constitutivo apresentado por Vecchio

e Collins. apresentado um exemplo de um prtico de 14 pavimentos comparando-se

anlises com e sem o efeito de tension-stiffening, anlise linear e anlise

considerando o P-delta.

Mendes Neto (2000) aborda a anlise no linear esttica de prticos planos,

mas no considera a seo dividida em camadas, utiliza uma formulao atravs do

Teorema de Green para a obteno dos esforos resistentes do concreto. O enfoque

da anlise para o Estado Limite ltimo.

Branco (2002) desenvolve um cdigo computacional para anlise de prticos

planos de concreto armado considerando a deformao por cisalhamento atravs da

teoria de vigas de Timoshenko. utilizada a formulao Lagrangeana Atualizada,

considerando tanto a no-linearidade fsica quanto a geomtrica. Para a considerao

da no-linearidade fsica utiliza-se um modelo baseado no modelo de Dano de Mazars.No so apresentadas comparaes entre os resultados obtidos com o modelo e

resultados experimentais.

Kwak e Kim (2002) desenvolvem um modelo para anlise no linear fsica de

vigas de concreto armado. Ao invs de utilizar o mtodo das lamelas, utilizada a

relao momento x curvatura das sees previamente construda durante a anlise da

seo. A curva tenso x deformao utilizada para representar o concreto sob


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compresso a curva de Scott et al (1982) e sob trao representada por dois

trechos lineares, um trecho at a fissurao e outro trecho de decaimento linear para a

considerao do efeito de tension-stiffening. O ao modelado como elasto-plstico

com encruamento.

Izzudin et al (2002) apresentam uma nova formulao para elementos de

viga/coluna para anlise no linear de prticos espaciais considerando a no-

linearidade geomtrica e considerando a no-linearidade fsica de forma simplificada.

Nesta formulao cada viga ou coluna modelada por um nico elemento no incio da

anlise e h um refinamento automtico da malha nos lugares onde se torna

necessrio. Admite-se que o concreto sob compresso apresenta uma relao tenso x

deformao no linear, representada por um trecho parablico at a tenso mxima, e

depois, por um trecho constante, considerando o confinamento do concreto pelos

estribos. No se admite, no entanto, nenhuma resistncia do concreto sob trao e o

ao admitido como um material elstico-linear. Para os deslocamentos transversais

so admitidas funes de quarta ordem. O modelo foi implementado num programa

denominado ADAPTIC.

Chimello (2003) desenvolve um modelo para a anlise no linear de vigas de

concreto armado reforadas com tiras de carbono, utilizando um elemento de trs ns,

sendo os dois ns externos com trs graus de liberdade cada e um n interno com um

grau de liberdade de deslocamento axial. So consideradas apenas sees

retangulares discretizadas em camadas. Nesse trabalho tambm utilizada a

formulao isoparamtrica, sendo a matriz de rigidez e as foras restauradoras

avaliadas numericamente pelas quadraturas de Gauss, utilizando-se trs pontos de

Gauss.

Schulz e Reis (2003) apresentam uma formulao de elementos finitos para

estruturas reticuladas tridimensionais de concreto armado, considerando a no-

linearidade fsica e geomtrica. Utiliza-se a formulao Lagrangeana Total,considerando deslocamentos finitos e pequenas rotaes. Utiliza-se um processo

iterativo baseado no mtodo do comprimento do arco. As relaes constitutivas

utilizadas so as recomendadas pela NBR-6118 para o dimensionamento e tambm

so implementadas as curvas indicadas pelo CEB 90. utilizado um elemento finito de

barra com trs ns e sete graus de liberdade. Os dois ns externos apresentam trs

graus de liberdade, sendo dois deslocamentos, axial e transversal, e uma rotao. O n


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interno, no ponto mdio do elemento, apresenta apenas um grau de liberdade, de

deslocamento axial.

Pode-se tambm utilizar elementos finitos de barra com formulao em

termos de foras, em vez de deslocamentos, como no modelo de Taucer et al(1991) e

Spacone et al(1992).

Neste contexto, tambm se pode citar o trabalho de Teixeira e de Souza

(2003), o qual apresenta anlises tridimensionais de um edifcio de concreto armado de

18 pavimentos, considerando para a modelagem das barras de prtico tridimensional

um elemento finito baseado no Mtodo das Foras. Para esse estudo foi utilizado o

programa OpenSees desenvolvido na Universidade de Berkeley. Utilizou-se a

formulao corrotacional e tambm o mtodo P-delta para validao dos resultados.

Para resoluo das equaes no lineares utiliza-se o mtodo de Newton-Raphson.

Esses modelos baseados no Mtodo das Foras tm apresentado timos

resultados, no entanto a sua implementao computacional torna-se mais difcil,

principalmente em programas usuais de elementos finitos que utilizam formulao em

termos de deslocamentos ao invs de foras.

Modelos de elementos finitos planos e slidos tambm tm sido utilizados

com sucesso na anlise de estruturas de concreto armado, levando em conta modelos

constitutivos biaxiais e triaxiais, desenvolvidos mais recentemente. Alguns desses

modelos so citados abaixo.

Ashour e Morley (1993) desenvolveram um modelo de elementos slidos para

a anlise no linear fsica de estruturas de concreto armado. Considera-se na anlise o

modelo de fissurao distribuda. admitido estado triaxial de tenso para o concreto,

utilizando-se uma superfcie de ruptura proposta por Kotsovos. Para tenses que no

ultrapassem esta superfcie de ruptura, o concreto considerado um material

isotrpico, e para tenses alm desta superfcie o comportamento do concreto torna-se

ortotrpico. A interao entre o concreto e o ao modelada utilizando-se elementosde contato, no qual cada um desses elementos consiste de trs molas, sendo

formulado tambm o clculo da rigidez das molas. Esses elementos so utilizados para

conectar os ns do concreto com os ns do ao que tenham as mesmas coordenadas.

So apresentados dois exemplos numricos de vigas isostticas.

O modelo desenvolvido por Zhang et al (1994) consiste de elementos slidos

isoparamtricos sob estado triaxial de tenso. O ao pode estar distribudo no concreto


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ou disposto em camadas e ambos os materiais tm a mesma deformao. O efeito de

tension-stiffening considerado atravs da modificao da relao constitutiva do

ao.

O modelo desenvolvido por Kwak e Filippou (1997) utiliza elementos sob

estado plano de tenso. O concreto e o ao so representados por modelos separados.

proposta uma relao para considerar o efeito de tension-stiffening na anlise

baseada num critrio de fissura derivado dos princpios da mecnica da fratura.

utilizado para o concreto um modelo ortotrpico no linear, considerando o modelo de

fissuras giratrias (rotating crack model), no qual se admite que a direo das fissuras

no seja fixa, mas se mantm perpendicular s deformaes principais durante a

histria de carregamento. Um novo modelo para o ao, o qual considerado

incorporado no elemento de concreto, desenvolvido para uma modelagem mais

eficiente de estruturas complexas.

O modelo de Wang e Hsu (2001) tambm utiliza elementos planos sob estado

plano de tenso, utilizando o critrio de ruptura de Kupfer. Podem ser utilizados

elementos isoparamtricos de 4 ou 8 ns. Considera-se fissurao distribuda e um

modelo de fissuras fixas (fixed crack model), onde os eixos de referncia so os eixos

correspondentes ao incio da fissurao. O modelo implementado num programa

denominado FEAPRC.

Dvila (2003) props dois modelos distintos para representar as fissuras em

peas de concreto armado, um modelo que considera a fissurao distribuda, e outro,

que considera a fissurao incorporada, com a utilizao de elementos finitos planos.

2.3 LIGAES VIGA PILAR

Os deslocamentos apresentados por uma estrutura esto relacionados sua

rigidez, que depende tambm da rigidez das suas ligaes. Portanto, a verificao das

deformaes de uma estrutura deve considerar a deformabilidade das ligaes.

A ligao entre a viga e o pilar, usualmente denominada de n de prtico, tem

um comportamento particular em relao ao resto da estrutura. Muitas vezes, os ns

de prtico so regies mais crticas do sistema estrutural como um todo, pois nestes

pontos ocorre a mudana de direo do eixo da estrutura, o que provoca alterao na

direo dos esforos internos e, conseqentemente, modificao na distribuio de


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tenses na seo.

Para elementos de barras, as ligaes podem ser classificadas com relao

rigidez flexo em: articuladas, semi-rgidas e rgidas. As ligaes articuladas so

aquelas que no apresentam impedimento para a ocorrncia de rotao relativa entre

as peas conectadas: so as rtulas perfeitas, utilizadas em elementos de trelias. As

ligaes rgidas so aquelas nas quais todos os deslocamentos relativos entre as

peas so impedidos, isto , no h alterao no ngulo relativo entre elas: so as

ligaes comumente utilizadas em elementos de prticos. As ligaes semi-rgidas

apresentam resistncia rotao relativa, mas no possuem rigidez suficiente para

impedir todo deslocamento entre as peas: o caso de ligaes de elementos de

concreto armado submetidos flexo, aps a fissurao. A utilizao de ligaes semi-

rgidas resulta em uma estrutura menos rgida quando comparada ao uso de ligaes

rgidas e, por conseqncia, maiores deslocamentos na estrutura. Considera-se nas

ligaes semi-rgidas apenas a influncia da variao da rigidez flexo, sendo estas

ligaes consideradas rgidas o suficiente para impedirem os deslocamentos relativos

de translao.

Para utilizao das ligaes semi-rgidas, existe a dificuldade de como avaliar

os coeficientes de rigidez da ligao, devendo em geral recorrer a ensaios

experimentais.

Para o caso de prticos sujeitos a cargas horizontais, nas ligaes entre vigas

e pilares o efeito de cisalhamento importante, e as elevadas tenses cisalhantes

provocam fissuras inclinadas, por isso torna-se necessria uma modelagem mais

refinada da ligao entre os elementos.

Uma maneira de capturar adequadamente o comportamento das ligaes a

partir de uma modelagem de toda a estrutura por elementos finitos planos. No entanto,

o modelo resulta em um grande nmero de graus de liberdade, o que fica quase

impraticvel para a anlise de prticos em escala real. Outros modelos simplificadostm sido propostos:

O Mtodo das Ligaes Flexveis, proposto por Saffarini e Wilson (1983),

consiste em representar as vigas e pilares por elementos de barras, mas no encontro

entre esses elementos utiliza-se um elemento finito plano, submetido a um estado

plano de tenses. Esse mtodo foi proposto para anlise elstico-linear, mas poderia

ser estendido para a considerao da no-linearidade do concreto, capturando assim,


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as fissuras inclinadas.

Pessiki et al (1990), apud Elmorsi (1998), afirmam que a maioria dos

programas para anlise de prticos de concreto armado considera a ligao, entre

vigas e prticos, rgida, e propem uma alternativa para a modelagem destas ligaes.

A FIGURA 1 mostra o modelo que eles propuseram, onde os elementos de barra eram

conectados atravs de um elemento no n formado por quatro barras conectadas por

ligaes articuladas, cuja estabilidade mantida por uma mola diagonal.

FIGURA 1 ELEMENTO DE LIGAO PROPOSTO POR PESSIKI ET AL (1990)

Alguns modelos interessantes foram propostos principalmente para prticossubmetidos a aes ssmicas, nos quais as tenses cisalhantes nos ns so elevadas.

Elmorsi (1998) props um modelo onde as ligaes viga-pilar so modeladas por

elementos finitos planos com 12 ns, e para conectar esse elemento com os elementos

de barra, existem elementos planos de transio com 10 ns. Para compatibilizar os

elementos de barra com os elementos de transio, que so elementos planos,

transformam-se os graus de liberdade de rotao do elemento de barra em graus de

liberdade de translao, atravs de uma matriz de transformao.

Bao (2005) props um modelo onde a ligao viga-pilar idealizada por um

elemento de junta que consiste de barras de prtico formando um paralelogramo,

rgidas axialmente e com zonas de interface nas extremidades das barras. Estas zonas

so compostas de elementos de comprimento nulo e componentes de transio

rgidos. A deformao axial e por cisalhamento das extremidades dos elementos na

zona de interface so desprezadas, enquanto que a rotao destas interfaces


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causadas por carregamento de flexo levada em conta. Na modelagem, dois

elementos de comprimento nulo so utilizados para ligar os ns da extremidade dos

componentes de transio rgidos aos ns do paralelogramo, liberando o grau de

liberdade de rotao e restringindo os graus de liberdade de translao que possam

causar deformao por cisalhamento, conforme FIGURA 2.

FIGURA 2 ELEMENTO DE LIGAO PROPOSTO POR BAO (2005)

2.4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS

A no-linearidade fsica est diretamente ligada ao comportamento mecnicodos materiais constituintes da estrutura. Para uma anlise no linear torna-se

necessrio, portanto, conhecer o comportamento dos materiais para poder definir um

modelo que possa ser u

mef vigas concreto

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