UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS

ENGENHARIA CIVIL

Física I

TRELIÇAS

Prof. Esp. Antônio Fernando Reis

RIBEIRÃO PRETO - SP

Outubro/2015

GRUPO

Camilo Alves da Silva César A. Sabino Diego Gonçalves Dias Denis P. da Silva José Renato Teiga Reis Julio César Prudêncio Filho Leonardo Henrique Ota Luana Cremonezi Nailton de Andrade Castro Verônica Fernandes Silva Pedro José Destéfano de Lara Ana Luiza Trombella udo Vinicius eduardo vitti de laurentiz Guilherme Pasqualini Felipe de Oliveira Barbosa

3

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Primeira utilização oficial das treliças. Aqui o autor chamada a atenção para a

treliça usando cordas a fim de endurecer o feixe do navio. ........................................................ 6

Figura 2 Tipos mais comuns de treliças de coberturas como, por exemplo,“howe”,

“pratt”, “belga” e “fink” [3] ........................................................................................................ 7

Figura 3 Exemplo de utilização de treliças, torre eifel, paris, frança ......................................... 8

Figura 4 Golden gate bridge localizada na califórnia, estados unidos. Exemplo da

utilização de treliças na engenharia moderna [5] ....................................................................... 9

Figura 5 Tipos distintos de formatação da treliça.................................................................... 10

Figura 6 Ilustração do processo de área de influência [6] ........................................................ 11

Figura 7 Ilustração para projeção de forças sobre uma treliça. ................................................ 12

Figura 8 Ilustração da diagonal de um retângulo [8]. ............................................................... 13

Figura 9 Ilustração do processo analítico para determinação de forças nas treliças ................ 14

Figura 10 Ilustração de forças nos nós ..................................................................................... 15

Figura 11 Ação da barra sobre o nó, reação do nó sobre a barra e ........................................... 15

Figura 12 Primeira fase de cálculos .......................................................................................... 16

Figura 13 Ilustração gráfica da treliça que será criada. ............................................................ 17

Figura 14 Segundo parte da decomposição vetorial das treliças. ............................................. 18

Figura 15 Terceira parte da decomposição vetorial das treliças. .............................................. 19

Figura 16 Correlação de forças para compressão e tração ....................................................... 20

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Coberturas com estruturas de madeira ....................................................................... 10

tabela 2 Coberturas com estruturas de aço ............................................................................... 11

4

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 5

1.1 Objetivos .............................................................................................................................. 5

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................... 6

2.1 Ilustração dos cálculos de esforços nas treliças planas......................................................... 9

2.1.4 Projeção de forças ............................................................................................................ 12

2.1.4 Processo analítico para determinação das forças nas barras das treliças ......................... 14

CAPÍTULO 3 TRABALHO PROPOSTO ............................................................................................ 16

5

INTRODUÇÃO

Na Engenharia Civil, a treliça é uma estrutura que consiste de materiais de duas

forças, onde os membros são organizados de modo que, quando agrupados, se

comportam como um único objeto [1]. Esse material, é comumente fabricado de ferro

ou madeira a fim de formar uma série de triângulos alocados em um único plano. Um

dos motivos para o seu formato é o fato de que um triângulo não poder ser distorcido

pelo estresse, seja causado por peso ou por outra influência externa [2]. A grande

utilização das treliças no decorrer da história se deve a sua forma estável capaz de

suporta considerável carga externa sobre uma grande extensão [2].

O presente trabalho, aborda desde a primeira utilização das treliças, 1250 A. C.

pelos egípcios, até a sua atual utilização na Engenharia Civil. O porquê esse material

ainda é usado e com ele é usado pode ser encontrado nesse relatório. Ao fim desse

trabalho, objetiva-se apresentar ao leitor uma sucinta apresentação da utilização da

treliça na Engenharia Civil passando pelo seu desenvolvimento na história, demonstrado

casos de sucesso na sua utilização, e abordando a sua atual utilização nas construções

modernas.

1.1 OBJETIVOS

Esse relatório objetiva descrever as treliças tanto no cunho teórico, quanto

prática. Para isso, serão abordados fatos históricos que fundamentam a evolução da

utilização desse material na Engenharia Civil no decorrer do tempo. O principal

objetivo é fornecer ao leitor uma visão clara e ao mesmo tempo abrangente desse

material que tem resistido ao tempo e ainda mantem-se útil para os engenheiros

modernos.

CAPÍTULO 1

6

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Oficialmente, os egípcios foram os primeiros a utilizarem as treliças. O registro

mais antigo da utilização dessa material data de 1250 AC, em um navio egípcio

utilizado para travessias no mar vermelho (Figura 1). Nesse caso, as forma triangular das

trilhas era utilizada com cordas para sustentação ao feixe do navio.

Figura 1 Primeira utilização oficial das treliças. Aqui o autor chamada a atenção para a treliça usando cordas a fim de endurecer o feixe do navio.

Todavia, desde os primórdios as treliças, normalmente feitas com madeira ou

aço, são usadas para variadas finalidades como, por exemplo, apoio de telhados,

sustentação e distribuição de carga, ultrapassagem de vãos e, de modo geral, para apoio

e sustentação de cargas. Pode ser dizer que através da utilização da treliça o homem foi

capaz de superar grande obstáculos como os extensos vãos entre terrenos irregulares,

por exemplo. Mesmo com toda a tradição envolvendo o emprego da madeira, é possível

observar que até as primeiras décadas do século XIX, não existia um conhecimento

aprofundado de suas propriedades, ou seja, de suas características físicas, mecânicas e

elásticas. Dessa forma, não havia como se desenvolver projetos estruturais mais

elaborados devido à falta de processos matemáticos apropriados [3]. Pode-se dizer, de

CAPÍTULO 2

7

forma resumida, que uma treliça é uma estrutura com base triangular podendo ser feita

de qualquer material que ofereça alguma resistência mecânica.

A madeira e a pedra foram os primeiros materiais disponíveis na natureza a

serem utilizados em construções antigas. Apenas séculos depois foram utilizados o

ferro, o aço e o concreto. Diz-se que os melhores materiais para construções são aqueles

que apresentam as melhores qualidades como, por exemplo, resistência e durabilidade

[4]. Estruturas antigas, como o Coliseu em Roma, onde se utilizou pedras, cimento e

ferro resistiam a tensões de compressão e tração, assim conseguindo superar vãos

significativamente maiores. As vigas de concreto armado assemelham-se aos modelos

de treliças, dado que o dimensionamento das armaduras para resistirem a esforços são

decorrentes das solicitações tangenciais [5].

Um exemplo da utilização efetiva da treliça foi o modelo desenvolvido por

Morsch [5], o qual ficou conhecido como Treliça de Morsch ou Analogia Clássica da

Treliça, que é baseada em hipóteses de que a treliça tenha bielas diagonais com

inclinação de 45° em relação ao eixo longitudinal da viga e também formada por banzos

paralelos. Esse é apenas um exemplo dentre os mais variados tipos de treliças.

As treliças são estruturas lineares compostas por barras retas, colocadas de

maneira a formar painéis triangulares, e são utilizadas para as forças de tração e

compressão. Podem ser formadas por corda ou banzo, e compõe diagonais, montante,

painel e nó. A tesoura é um tipo de treliça de banzos não paralelos e tem como função

ser o suporte de uma cobertura. Alguns tipos mais comuns de treliças de coberturas

como, por exemplo, “Howe”, “Pratt”, “Belga” e “Fink” Figura 2.

Figura 2 Tipos mais comuns de treliças de coberturas como, por exemplo,“Howe”, “Pratt”, “Belga” e “Fink” [4]

8

Outro exemplo de utilização da treliça é a torre Eiffel (Figura 3). Construída no

século XIX, foi finalizada no ano de 1889, é o edifício mais alto de Paris. Por sua vez, é

uma treliça de Ferro. Tornou-se o ícone mundial da França e é uma estrutura

mundialmente reconhecida. Em maio de 1884 o engenheiro Maurice Koeclhin,

desenhou o esboço do seu esquema, era composto de quatro virgas-treliçadas verticais,

se unindo ao topo, unidas por treliças metálicas em intervalos regulares. Deste modo,

apresenta de boa forma a interação entre arte, engenharia e o uso da treliça que por seu

efeito, tornou possível a construção deste monumento [4].

Figura 3 Exemplo de utilização de treliças, Torre Eifel, Paris, França

Outro exemplo é a Golden Gate Bridge (Figura 4), que é uma ponte localizada no

estado da Califórnia, liga a cidade de São Francisco a Salito. Além de exemplo da boa

utilização de treliças, essa ponte é o principal cartão postal da cidade e é considerado

uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno. As suas treliças, estão ao longo de toda á

ponte, o peso dos veículos, pedestres e o peso da estrutura da ponte de rolamento é

sustentada pela as treliças do tabuleiro. Apesar das suas treliças serem fortes, elas não

são fortes o suficiente, para se estender de um lado ao outro do Golden Gate, pois a cada

15 metros são sustentados por cabos verticais de aço. Visualmente mostra-se mais uma

vez grande marca histórica no uso da treliça [6].

9

Figura 4 Golden Gate Bridge localizada na Califórnia, Estados Unidos. Exemplo da utilização de treliças na engenharia moderna [6]

Como é possível observar, as treliças é uma estrutura geométrica triangular que,

por ser útil, vem sendo utilizada no decorrer dos séculos. O sucesso na sua utilização se

deve a sua geometria que possibilita a sustentação necessária para suportar uma grande

carga de massa. A fim de entender os pontos onde as forças são aplicadas, na próxima

sessão será abordado a decomposição vetorial dos triângulos da treliça a fim de

desvendar os segredos desse estrutural secular.

2.1 ILUSTRAÇÃO DOS CÁLCULOS DE ESFORÇOS NAS

TRELIÇAS PLANAS

Estruturalmente, a treliça é um sistema estrutural formado por barras que se

ligam em nós articulados e sujeitas apenas a esforços de tração e compressão simples. É

importante lembrar que, para evitar que as barras fiquem submetidas a flexão as cargas

devem ser aplicadas nos nós. Outra característica da treliça e que lhe confere a

propriedade de estabilidade com nós articulados é que as barras formam triângulos. É

possível observar na Figura 5 algumas das possíveis formatações da treliça.

10

Figura 5 Tipos distintos de formatação da treliça.

Existem diversos processos de determinação de forças de compressão e tração

nas barras das treliças. Porém, antes de aplicá-las é necessária a determinação das

cargas que atuam sobre cada nó presente na treliça. Uma maneira rápida de determinar

essas cargas é por área de influência. Para isso, primeiro é necessário determinar a carga

distribuída por área que atua sobre a treliça. No caso de coberturas, as cargas atuantes

são o peso próprio da tesoura, o peso das terças, o peso das telhas e as cargas acidentais

de equipamentos e vento. Para vãos até 15 metros, para facilitar o cálculo, pode-se

considerar a carga do vento como vertical, o que não ocorre na realidade. Mas se quiser

considerar o comportamento real do vento, deve-se consultar a Norma específica, a

NBR 6123 [7]. Além disso, alguns atributos devem ser observados como, por exemplo,

o de que as cargas distribuídas que podem ser consideradas sobre a superfície de

telhados (Tabela 1).

Tabela 1 Coberturas com estruturas de madeira

Coberturas com Estruturas de Madeira Comentário Peso próprio da estrutura 50 kfg/m2

Telha de barro 45 kfg/m2

Telha de aço 5 kgf/m2

Telha de fibras 25 kgf/ m2

Vento 30 kgf/m2

Equipamentos 20 kgf/m2

11

Tabela 2 Coberturas com estruturas de aço

Coberturas com Estruturas de Aço Comentário Peso próprio 15 kgf/m2

Demais cargas 15 kgf/m2

Por exemplo, para uma carga total distribuída em um telhado com estrutura de

madeira e com telhas de barro seria:

� � 50 � 45 � 30 � 20 � 145�� /�2 (1)

Para calcular a carga concentrada em cada nó, aplica-se o processo de área de

influência, como ilustra a Figura 6.

Figura 6 Ilustração do processo de área de influência [8]

A carga em cada nó é calculada multiplicando-se a carga distribuída pela

respectiva área de influência de cada nó. Assim, tem-se para cada nó os seguintes

valores resultantes podem ser observados no intervalo de equação entre a 2 e a 5.

�� � �ó1 � �0,7� �0,75����2,5� �3��

�� � �ó1 � 7,97���

(2)

12

�� � �ó2 � �0,75� �0,8����2,5� �3��

�� � �ó2 � 8,52���

(3)

�� � �ó3 � �0,8� �0,8����2,5� �3��

�� � �ó3 � 8,8��

(4)

�� � �ó4 � �� � �ó2

�� � �ó5 � �� � �ó1

(5)

Em situação para cargas devidas a pisos, o processo pode ser o mesmo, usando

as cargas distribuídas para o cálculo de lajes [9]. A próxima sessão aborda a projeção

das forças na treliça.

2.1.4 PROJEÇÃO DE FORÇAS

Antes de mostrar o processo analítico para determinação das forças nas barras

das treliças, convém lembrar como se faz a projeção de uma força sobre dois eixos

ortogonais. Seja a força �1 � 2 , inclinada em relação ao eixo ! de um ângulo igual

a 30° (Figura 1).

Figura 7Ilustração para projeção de forças sobre uma treliça.

Para entender o que é projeção da força sobre os eixos, imagine essa força como

diagonal de um retângulo, como mostra a Figura 7.

13

Figura 8 Ilustração de da diagonal de um retângulo [8].

Denomine-se �#a projeção de �$na direção do eixo ! e de �%a projeção no eixo

&. Como se sabe, o cosseno dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é dado pela

relação entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e o seno, entre cateto oposto e a

hipotenusa. Assim, considerando o triângulo retângulo hachurado mostrado na Figura 7,

tem –se:

'()* �

'+ , (+-.+',� ,

ℎ01( ,�2)+�

�#

�%

(6)

Portanto

�# ��$ ∗ cos *

),�* �'+ , ((1() (

ℎ01( ,�2)+�

�%

�$

(7)

Logo

�% ��$ ∗ cos * (8)

Se fosse considerado o triângulo não hachurado, o ângulo seria β, logo o cateto

adjacente seria �%e o cateto oposto �#, neste caso.

�% cos 7 =

�%

�$

8(�( �% = �$ ∗ cos 7

),� 7 = �#

�$

8(�( �# = �$ ∗ ),� 7

(9)

14

Como 7 = 909 � * tem-se

cos 7 = cos�909 � *� = ),� *

),� 7 = ),� �909 � *� = cos *

(10)

Como pode-se observar, não há qualquer alteração nos resultados de �# e �%.

Voltando ao exemplo ilustrado na Figura 7, onde �$ = 2 , * = 309, tem-se:

�# = �$ cos * = 2 ∗ cos 309 = 2 ∗ 0,866 = 1,73

�% = �$ sen * = 2 ∗ sen 309 = 2 ∗ 0,5 = 1,0

(11)

Essa sessão é o resultado dos estudos da obra Estruturas de aço, concreto e

madeira, Atendimento da Expectativa Dimensional , escrita por Rebello [8].

2.1.4 PROCESSO ANALÍTICO PARA DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS NAS

BARRAS DAS TRELIÇAS

O processo analítico usado é o do equilíbrio dos nós, ou seja, como os nós não se

deslocam na horizontal e nem na vertical, são válidas as equações da estática, ou seja, a

soma das forças que atuam em determinado nó, tanto na vertical como na horizontal é

zero. As forças que atuam nas barras das treliças são sempre representadas como

aplicadas nos nós. É óbvio que, para uma barra estar em equilíbrio, as forças aplicadas

nos seus nós extremos devem ter sentidos diferentes, como mostra a Figura 9 [8].

Figura 9 Ilustração do processo analítico para determinação de forças nas treliças

Por convenção, a força que sai do nó (no sentido do nó para o centro da barra) é

considerada, positiva ou de tração e a que entra , negativa ou de compressão [8].

15

Figura 10 Ilustração de forças nos nós

Pela convenção, essa força é positiva ou de tração (sai nó), mas o que se vê é a

força de compressão na barra. O que ocorre é que, nessa convenção, o que se mostra é a

ação da barra sobre seus nós extremos, a barra puxando o nó que, por sua vez, reage,

puxando a barra, nela provocando tração [8].

Figura 11 Ação da barra sobre o nó, ação da barra sobre o nó, reação do nó sobre a barra e reação do nó sobre a barra [8].

Pode ser um pouco confusa, mas essa convecção é usada em quase toda a

literatura. Mesmo que infelizmente possa parecer confusa, deve-se aceitar que força

saindo do nó significa tração na barra e força entrando no nó, compressão na barra [8].

16

TRABALHO PROPOSTO

Fundamentado na revisão bibliográfica feita para o desenvolvimento desse

projeto e a fim de demonstrar a física aplicada na utilização das treliças, o trabalho aqui

descrito desenvolverá uma trilha no modelo Double Howe. As medidas, cálculos e

projeto da treliça são descritos nessa sessão.

Figura 12 Primeira fase de cálculos

CAPÍTULO 3

17

Figura 13 Ilustração gráfica da treliça que será criada.

18

Figura 14 Segundo parte da decomposição vetorial das treliças.

19

Figura 15 Terceira parte da decomposição vetorial das treliças.

20

Por ser uma treliça simétrica as forças se repetem, como pode ser observado na Figura

16.

Figura 16 Correlação de forças para compressão e tração

21

BIBLIOGRAFIA

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https://en.wikipedia.org/wiki/Truss.

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http://global.britannica.com/technology/truss-building. [Acesso em 30 Setembro 2015].

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http://blogdopetcivil.com/2014/02/28/a-construcao-da-torre-eiffel/.

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http://www.infoescola.com/materiais-de-laboratorio/balao-volumetrico/.

[11] WIKIPEDIA, “Kitasato,” 25 08 2015. [Online]. Available:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Kitasato.

[12] WIKIPEDIA, “Tubo de ensaio,” 25 08 2015. [Online]. Available:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Tubo_de_ensaio.

[13] UNESP, “Equipamentos de Laboratório,” 25 08 2015. [Online]. Available:

http://www2.fc.unesp.br/lvq/prexp02.htm#.

[14] WIKIPEDIA, “Erlenmeyer (balão),” 25 08 2015. [Online]. Available:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Erlenmeyer_(bal%C3%A3o).

[15] E. B. PIZZOLATO, M. D. S. ANJO e G. C. PEDROSO, “Automatic recognition of finger spelling

for LIBRAS based on a two-layer architecture,” Proceedings of the 2010 ACM Symposium

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on Applied Computing, pp. 969-973, 2010.

[16] Y. QUAN, “Chinese Sign Language Recognition Based On Video Sequence Appearance

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on, pp. 1537 - 1542, 15-17 June 2010.

[17] P. S. RAJAM e G. BALAKRISHNAN, “Recognition of Tamil Sign Language Alphabet using

Image Processing to aid Deaf-Dumb People,” Procedia Engineering, vol. 30, nº 30, p. 861–

868, 2012.

[18] H. a. T. District, 2015. [Online]. Available:

http://goldengate.org/exhibits/portuguese/exhibitarea1b.php.

[19] [Online]. Available:

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