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UFU – ÚLTIMAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA

1. (Ufu 2016) A senha de acesso ao cofre de um carro-forte é formada por d algarismos, em

que esses algarismos pertencem ao conjunto de inteiros 0,1,2, ,9 . Um dos guardas observa

o colega digitar o último algarismo da senha, concluindo que esta corresponde a um número

ímpar. Assuma que esse guarda demore 1,8 segundos para realizar cada tentativa de

validação da senha, sem realizar repetições, de maneira que, assim procedendo, no máximo em duas horas e meia terá sucesso na obtenção da senha.

Segundo as condições apresentadas, conclui-se que o valor de d é um número a) quadrado perfeito. b) primo. c) divisível por 3. d) múltiplo de 5. 2. (Ufu 2016) Em uma gráfica, uma impressora foi ajustada para imprimir as 323 páginas de

um livro, em ordem crescente da 1ª até a 323ª página. Assuma que ocorreu uma pane,

interrompendo a impressão e deixando de ser impresso um total de páginas, em cujas

enumerações seriam utilizados 636 algarismos.

Se é o conjunto de todos os números usados na enumeração das páginas, então a quantidade de elementos desse conjunto que são quadrados perfeitos é igual a a) 11. b) 8. c) 9. d) 10.

3. (Ufu 2016) Considere o polinômio de variável real 3p(x) x kx 150, com k sendo um

número natural fixo não nulo.

Se o número complexo z 3 ai é uma raiz de p(x), em que a é um número real positivo e i

é a unidade imaginária, então o valor do produto k a é igual a a) 44. b) 66. c) 24. d) 96.

4. (Ufu 2015) O polinômio de variável real 3 2 2y p(x) x a x 9x a r é representado

graficamente conforme ilustra a figura a seguir, em que r, r e a são constantes reais e

encontram-se, nessa ordem, em progressão aritmética (P.A.).

Nessas condições, o valor de a é um número a) primo. b) ímpar.

c) múltiplo de 5. d) divisível por 7. 5. (Ufu 2016) Um comerciante de perfumes comprou de seu fornecedor um lote de um

determinado perfume ao custo de k reais a unidade. Assuma que, em uma semana, na qual

vendeu 48 x unidades desse perfume, ao preço de x reais a unidade, o seu lucro foi

máximo, sendo o lucro entendido como a relação entre a receita da venda e o custo semanal da compra, sem a inclusão de custos ou taxas adicionais.

Sabendo que a média aritmética entre os valores de x e k é igual a R$27,00, elabore e

execute um plano de resolução de maneira a determinar o percentual de aumento repassado aos clientes, calculado sobre o preço unitário pago na compra do lote. 6. (Ufu 2016) Sejam 1k e 2k dois números reais positivos com 2 1k 3k .

Suponha que os gráficos cartesianos das funções reais definidas por 1f(x) x k e

2g(x) x k delimitam um quadrilátero de área 8 unidades de área.

Segundo essas condições, o valor do produto 1 2k k é igual a

a) 9. b) 15. c) 18. d) 12.

7. (Ufu 2015) O gráfico da função de variável real 2y f(x) ax bx c, em que a, b e c são

constantes reais, é uma parábola. Sabe-se que a função y g(x) 2 f(x 1) apresenta o

gráfico que segue:

Nessas condições, o produto entre os valores da abscissa e da ordenada do vértice da

parábola representando f(x) é igual a

a) 18. b) 6,5. c) 9. d) 4,5.

8. (Ufu 2015) Em função dos recentes problemas de escassez de água, uma prefeitura

resolveu taxar o consumo de água nas residências segundo o que segue: para um consumo

mensal de até 310m , é cobrado um valor fixo de R$32,00; para um consumo mensal superior

a esse valor, é cobrado R$32,00, mais um acréscimo linear, proporcional a R$5,00 por 3m

consumido acima dos 310m .

Os moradores de uma residência consumiram 38m de água em abril e, devido a um

vazamento não percebido, houve uma elevação do consumo em maio. Esse consumo foi

superior a 310m e elevou em 0,025% o valor efetivamente pago pelo 3m de água em relação

ao que foi pago em abril. Elabore e execute uma resolução de maneira a determinar:

a) Qual foi o valor efetivamente pago por 3m de água em abril.

b) Quantos 3m de água foram consumidos em maio. 9. (Ufu 2016) Considere o feixe de retas concorrentes no ponto P (8,3). Seja r a reta desse

feixe que determina junto com os eixos cartesianos um triângulo retângulo (ângulo reto na

origem) contido no quarto quadrante e área igual a 6 unidades de área.

Na equação geral ax by c 0 da reta r, a soma dos inteiros a b c é múltiplo de

a) 7. b) 13. c) 11. d) 5.

10. (Ufu 2016) Suponha que os pontos A(0, 0), B(3, 3 3) e C(9, 3 3) representam três torres

de observação ao longo de um anel viário circular, representado pelo círculo λ centrado no

ponto P(6, 0).

Uma nova torre será construída nesse anel, localizada num ponto D de modo que CD é um

diâmetro do círculo .λ

Essas torres determinam um quadrilátero ABCD inscrito no circulo λ e, de cada torre, é

possível enxergar as outras três torres segundo um ângulo de visão (ângulo interno do quadrilátero). Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar:

a) As coordenadas cartesianas do ponto que representa a torre D.

b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão DAB, ABC, BCD e CDA.

11. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo

PQR tem ângulo reto no vértice R (3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está inscrito no

círculo de centro C(1,1). A área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a

a) 40.

b) 8 20.

c) 4 20. d) 80. 12. (Ufu 2015) Uma máquina moderna usa um sistema de coordenadas cartesianas xOy para

representar a forma e a dimensão (mapear) dos objetos que serão cortados, furados etc.. Uma

chapa metálica delgada triangular é mapeada pelo triângulo de vértices A ( 3, 0), B (1, 4) e

C (5, 4) e será feito um furo circular de raio uma unidade de comprimento, com centro no

centro de massa dessa chapa (baricentro do triângulo). Para realizar esse procedimento com precisão, a máquina calcula a equação cartesiana do círculo. Elabore e execute um plano de resolução que conduza à determinação do centro de massa e da equação desse círculo. 13. (Ufu 2016) A densidade (ou densidade volumétrica) de um material mede a quantidade de

matéria (massa) que está presente em uma unidade de volume desse material. Embora todo material seja um objeto espacial, é comum considerarmos sendo de “natureza linear”. Por exemplo, um fio de cobre tem natureza linear e consideramos sua densidade linear (razão de sua massa pelo seu comprimento).

O vergalhão CA 60 são barras de aço muito resistentes, utilizadas na construção civil e

comercializadas em barras padrão de 12 metros. Admitindo que essas barras sejam

cilíndricas, seus diâmetros (bitolas) variam de 4,2 a 9,5 mm.

De acordo com as especificações da norma NBR 7480, a barra da bitola de 6,0 mm tem

densidade linear de 0,222 kg / m (quilograma por metro).

Com base nas informações apresentadas, a densidade, em 3kg / m , de uma barra de bitola

6 mm é igual a

a) 222

36π

b) 222

9π

c) 222000

9π

d) 222000

36π

14. (Ufu 2015) Um modelo de piscina é formado por três partes, determinando três níveis d’água, conforme mostra o esquema a seguir.

A primeira tem a forma da metade de um cilindro circular de raio 1m e altura 0,3m; a segunda

tem a forma de um paralelepípedo de 0,3m de comprimento, 2m de largura e 0,8m de altura,

e a terceira também tem a forma de um paralelepípedo, com 3m de comprimento, 4m de

largura e 2m de altura.

Suponha que a água dessa piscina esteja no nível da base do primeiro paralelepípedo (aquele

de 0,8m de altura). Quantos metros cúbicos de água são necessários para encher de água

essa piscina? a) 0,15 14,88π b) 0,15 10,08π c) 0,30 10,08π d) 0,30 14,88π

15. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um

metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as

perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e

pistola pneumática 25%.

Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro

circular de 10m de altura e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem

rendimento teórico de 220m por litro e que são necessárias duas demãos.

Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.

Dado: Use 3,14.π

16. (Ufu 2016) Dois irmãos herdaram um terreno que, conforme consta no registro de imóvel,

pode ser representado pelo triângulo retângulo ABC da figura a seguir.

Os irmãos pretendem murar esse terreno e, ao mesmo tempo, dividi-lo por um muro,

representado pelo segmento AD, em dois terrenos triangulares de mesma área. O preço de

construção do metro quadrado de muro foi orçado em R$ 90,00, e em toda extensão o muro

terá 3 m de altura.

A parte inteira do custo da construção do muro, em milhares de reais, é a) 25. b) 23. c) 24. d) 26. 17. (Ufu 2015) Um lustre no formato cônico foi fixado ao teto por duas cordas linearmente

esticadas, AC, BC, conforme indica a figura a seguir.

Suponha que o triângulo ABC seja retângulo com altura 3

h CH m13

e 1

CB m4

e que, na

figura, r é o raio da região circular S, de forma que r é igual ao dobro de AB.

Nessas condições, a área de S, em 2m , é dada pela expressão:

a) 169

100π

b) 25

169π

c) 144

169π

d) 169

400π

18. (Ufu 2016) Um estudante recorre a uma imobiliária na expectativa de alugar um apartamento. A imobiliária exige de seus locatários o pagamento de um depósito caução, dividido em três parcelas fixas e de iguais valores, a serem pagas junto com as mensalidades do aluguel nos três primeiros meses. Essas mensalidades são fixas e de iguais valores. O estudante desembolsará, em um ano de

contrato, um total de R$ 8.400,00, de maneira que o desembolso total, após o término do

pagamento do depósito caução, será 80% superior àquele correspondente ao desembolso

referente aos três primeiros meses. Nas condições apresentadas, o valor do depósito caução é igual a a) R$ 1.400,00.

b) R$ 1.200,00.

c) R$ 900,00.

d) R$ 1.800,00.

19. (Ufu 2015) Um financiamento de R$10.000 foi contratado a uma taxa de juros

(compostos) de 3% ao mês. Ele será liquidado em duas parcelas iguais, a primeira vencendo

em 60 dias e a segunda em 90 dias após a efetivação do contrato. O valor de cada parcela

desse financiamento é, aproximadamente, igual a Dados:

1(1 0,03) 1,03 2(1 0,03) 1,0609 3(1 0,03) 1,0927

1

10,9709

(1 0,03)

2

10,9426

(1 0,03)

3

10,9151

(1 0,03)

a) R$5226,00.

b) R$5383,00.

c) R$5387,00.

d) R$5282,00.

20. (Ufu 2015) Um grande tanque de capacidade 500 litros contém, inicialmente, 100 litros de

uma solução aquosa de cloreto de sódio, cuja concentração é de 5 gramas por litro. Esse

tanque é abastecido com uma solução aquosa de cloreto de sódio, com concentração de 1

grama por litro, a uma vazão de 10 litros por minutos, e um mecanismo de agitação mantém

homogênea a solução no tanque.

A concentração no tanque é a razão entre a quantidade do cloreto de sódio (em gramas g) e o

volume de solução (em litros, ). Logo, a concentração no tanque, em g , no instante em que

ele começa a transbordar, é:

a) 9

5

b) 10

5

c) 54

50

d) 4

5

21. (Ufu 2015) Os alunos do curso de Educação Física de uma instituição responderam a uma pesquisa que avaliou qual o seu esporte coletivo predileto: basquete, futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas uma opção. Os dados coletados foram parcialmente divulgados conforme indica o quadro a seguir.

Esporte Homens Mulheres Total

Futebol 130 70 200

Basquete 70

Vôlei

Total 268

Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das respostas das 3 opções, e que o

número de mulheres optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes por basquete.

Segundo essas informações, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a a) 14016. b) 222. c) 12312. d) 380. 22. (Ufu 2016) Uma loja que comercializa celulares registrou, em uma campanha de lançamento, o número de compradores, femininos e masculinos, de um novo modelo de smartphone. O gráfico a seguir descreve o ocorrido nos quatro dias de pré-venda desse modelo.

Com o sucesso de vendas, a loja decidiu sortear um acessório para este modelo de smartphone entre os compradores femininos e outro acessório entre os compradores masculinos. Qual é a probabilidade de que um dos sorteados tenha feito sua compra no primeiro dia de pré-venda e outro no último dia de pré-venda?

a) 17

120

b) 11

20

c) 7

80

d) 1

40

23. (Ufu 2016) A tabela que segue descreve o número de jogadores de uma equipe de vôlei,

com suas respectivas idades, em que k é um número natural fixo.

Número de jogadores

Idade

1 19

5 21

k 23

3 24

Sabendo que a média de idade de todos os jogadores é 22 anos, elabore e execute um plano de resolução de forma a determinar: a) O número de formas distintas de se estruturar aleatoriamente uma comissão representativa

da equipe composta por dois jogadores.

b) A probabilidade de a média de idade dos dois jogadores da comissão ser superior a 22 anos.

24. (Ufu 2015) Existe um grupo de n pessoas trabalhando em um escritório. Sabe-se que

existem 780 maneiras de selecionar duas dessas pessoas para compor uma comissão

representativa do grupo e a probabilidade de ser selecionado um homem desse grupo é 0,2

maior do que a probabilidade de escolha de uma mulher.

Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar: a) Qual é o valor de n. b) Quantos homens existem no grupo.

25. (Ufu 2015) Assuma que a função exponencial de variável real k tT f(t) r e , em que r e

k são constantes reais não nulas, representa a variação da temperatura T ao longo do tempo

t (em horas) com 0 t 4.

Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, nessa ordem, uma progressão

geométrica de razão 1

4 e soma igual a

255,

128 então o valor de r é um número múltiplo de

a) 9. b) 5. c) 3. d) 7. 26. (Ufu 2016) Os programas de edição de imagens possuem a ferramenta RECORTAR, que permite delimitar e recortar uma área retangular de uma imagem digital (figura, foto etc.). Para

delimitar a área a ser recortada, é construído um retângulo com lados paralelos às laterais da imagem; em seguida, esse retângulo é rotacionado em torno de seu centro, transladado e redimensionado, de acordo com a necessidade.

A figura a seguir ilustra a delimitação de uma área 1R , a ser recortada de uma imagem

retangular delimitada por 2R . Os retângulos 1R e 2R que delimitam, respectivamente, essa

área e a imagem são semelhantes, e dois vértices de 1R estão nos lados de 2R .

Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar: a) As dimensões da figura recortada.

b) O valor do percentual de aumento a ser aplicado na imagem recortada de modo a obter uma

nova imagem no tamanho 10cm 15cm.

27. (Ufu 2016) A figura a seguir, sem escala, apresenta informações parciais de um triângulo

retângulo ABC, sendo CD uma mediana e γ um ângulo obtuso.

Com base nessas informações, determinam-se as medidas dos ângulos δ e γ que

possibilitam encontrar os ângulos internos do triângulo ABC. Esses ângulos internos são:

Observação: 6 2 2 3.

a) ˆ ÂCB 90 , CBA 15 e ˆBAC 75 .

b) ˆ ÂCB 90 , CBA 10 e ˆBAC 80 .

c) ˆ ÂCB 90 , CBA 20 e ˆBAC 70 .

d) ˆ ÂCB 90 , CBA 30 e ˆBAC 60 .

28. (Ufu 2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC

orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol

F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a

medida FAC 30 e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a

medição do ângulo FBC, obtendo 60 . Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.

De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto

inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente,

a) 2 3 e 3

3.2

b) 2 3 e 4 3.

c) 3 3 e 6 3.

d) 3 3 e 3.

Gabarito: Resposta da questão 1: [A]

2,5h 9.000s

Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que o número n de senhas

será dado por: d 1n 10 5 ou n 9000 1,8 5000

Portanto,

d 110 5 5000 d 1 3 d 4

Portanto, d é um quadrado perfeito.

Resposta da questão 2:

[D]

Número de páginas não impressas: 636 : 3 212

Total de páginas impressas: 323 212 111

Escrevendo todos os quadrados perfeitos de 1 até 111, temos:

1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81,100.

Temos então 10 quadrados perfeitos utilizados na enumeração das páginas.

Resposta da questão 3: [A]

Se z 3 ai é raiz de p(x), então z 3 ai também é raiz. Chamaremos o terceira raiz de r.

Considerando as relações de Girard podemos escrever que:

3

03 a i 3 a i r r 6

1

3 a i 3 a i ( 6) 150 a 4

P( 6) 0 ( 6) k ( 6) 150 0 k 11

Portanto, k a 11 4 44.


[B]

Se ( r, r, a) formam uma P.A., podemos escrever que a 3r.

Utilizando a soma dos produtos das raízes duas a duas, temos:

29r r r a ( r) a r 9 r 3

1

Como, a 0 e a 3r, concluímos que a 9, portanto um número ímpar.

Resposta da questão 5: ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Considerando que a média aritmética entre x k é 27, podemos escrever que k 27 x.

Portanto, a expressão que determina o lucro será dada por:

)54x2()x48()x(L

))x54(x()x48()x(L

Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que intersecta o eixo x nos pontos

(48, 0) e (27, 0) e que possui concavidade para baixo.

O valor do x do vértice será a média aritmética entre suas raízes, portanto vx 37,5.

Como o valor de x, para que o lucro seja máximo, não é um número inteiro, concluímos que a

quantidade vendida, 48 x, também não será um número inteiro.

Consideraremos então os valores x 37 ou x 38, como valores de x apropriados para o

lucro máximo.

Se x 37 k 17 e o aumento percentual será dado por:

%64,11717

1737

Se x 38 k 16 e o amento percentual será dado por:

%5,13716

1637

Resposta da questão 6: [D]

1 1 1BD 3k k 2k .

Resolvendo um sistema com as funções, podemos encontrar a medida da diagonal AC.

1

1

y | x | k

y | x | 3k

Resolvendo o sistema, obtemos a seguinte equação:

1 1| x | k x k

Portanto, 1AC 2k .

A área do quadrilátero será dada por:

1 1

1 1 2

2k 2k8 k 2 ou k 2 (não convém) e k 6.

2

Portanto, 1 2k k 12.

Resposta da questão 7: [D]

Gráfico de 2f(x) obtido de translação horizontal do gráfico de g(x) para a direita.

Do gráfico acima, podemos escrever:

2f(x) a (x 4) (x 2)

( 5) a(1 4) (1 2)

a 1

Daí, podemos escrever que:

22 x 2x 8

2f(x) x 2x 8 f(x)2

Portanto,

V

V

1x 1

1

1 2 8 9y f( 1)

2 2

O produto pedido será dado por 9

( 1) 4,5.2


a) O valor efetivamente pago por 3m de água em abril foi de 32

R$ 4,00.8

b) Seja f : a função dada por

32, se 0 x 10f(x)

32 (x 10) 5, se x 10

32, se 0 x 10,

5x 18, se x 10

em que f(x) é o valor a pagar por um consumo de 3x m de água.

Sabendo que o valor efetivo pago por 3m de água em maio foi 0,025% superior ao de abril,

segue que tal valor é igual a 1,00025 4 R$ 4,001. Em consequência, temos

3

4,001 5x 18 0,999x 18

x 18 m .

Resposta da questão 9: [B]

Considerando a figura acima, podemos escrever o seguinte sistema:

p qp q 126

23p

3 3p q8 p

q 8 p

Resolvendo o sistema, obtemos a seguinte equação: 2p 4p 32 0, cujas raízes são p 8

(não convém) e p 4.

Concluímos então que A(4, 0).

Determinando agora a equação da reta que passa pelos pontos A(4, 0) e P(8, 3), temos:

x y 1

4 0 1 0 3x 4y 12 0

8 3 1

Portanto, a soma pedida será dada por: 3 4 12 13 (múltiplo de 13).


a) Teremos:

33y02

33y

3x62

9x

DD

DD

Portanto, o ponto D será dado por D(3, 3 3).

b) Teremos:

3 3tg 60 120 e 30

2 3 2

α αα β

Observando que as retas AB e CD são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente

angular:

339

3333m

303

033m

CD

AB

DAB 120

ABC 90 30 120

BCD 180 120 60

CDA 180 120 60

Resposta da questão 11: [C]

2 2PM MQ MR (3 1) (5 1) 20 (raios)

PQ 2 20

Portanto, a área do triângulo PRQ será dada por:

2 20 4A 4 20

2


O baricentro G do triângulo ABC é dado por

3 1 5 0 4 ( 4)G , (1, 0).

3 3

Portanto, como o raio do círculo é igual a 1, segue-se que a equação pedida é

2 2 2 2 2(x 1) (y 0) 1 (x 1) y 1.


Volume de uma barra com um metro de comprimento em 3m . 2

3 9V

1000 1000000

ππ

Portanto a densidade, em 3kg / m , será dada por:

30,222 222000kg / m .

9 9

1000000

π π


[A]

Sejam 1 2V , V e 3V os volumes de cada uma das partes da piscina e 4V o volume de água

inicialmente na piscina. 2

31

32

33

34

1 0,3V 0,15 m

2

V 0,3 2 0,8 0,48 m

V 3 4 2 24m

V 3 4 0,8 9,6m

ππ

Fazendo 1 2 3 4V V V V 0,15 14,88.π


Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão

aplicadas duas demãos, a área que receberá a tinta é igual a 22 2 2 (2 10) 301,44 m .π

Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria

de 301,44

15,07220

litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta

utilizada, segue que o resultado pedido é 15,072

20,0960,75

litros.


[A]

Para que as áreas dos terrenos sejam iguais, devemos considerar que BD DC 10m.

No triângulo ABD, temos:

2 2 2AD 21 10 AD 23m

Então, o comprimento total do muro será dado por, aproximadamente:

21 29 20 23 93m

Portanto, a área total de muro construída será de, aproximadamente, 293 3 279m .

E o valor total da construção será de, aproximadamente, 279 90 25.110,00, ou seja,

aproximadamente 25 milhares de reais. Resposta da questão 17:

[A]

No BHC,Δ temos:

2 221 3 5

BH BH4 13 52

No ABC,Δ temos:

22 1 5 13

BC AB BH AB AB4 52 20

Portanto, o raio da região circular será dado por:

13 13r 2

20 10

E a área da região será:

2213 169

A m .10 100

ππ

Resposta da questão 18: [B] x : o valor desembolsado nos primeiros três mês.

1,8x : valor desembolsado nos nove meses finais.

Desta forma podemos escrever:

x 1,8x 8400 2,8x 8400 x R$3.000,00

Valor de cada parcela:

1,8 3000

R$600,009

Portanto, o valor do depósito calção será: 3000 3 600 R$1.200,00.

Resposta da questão 19: [B]

Valor da dívida após 2 meses: 2

10.000 1,03 10.609

Valor da primeira prestação: x

Valor da segunda prestação (10.609 x) 1,03

Como as prestações são iguais, podemos escrever:

x (10609 x) 1,03

Resolvendo a equação acima concluímos que x é aproximadamente R$5.383,00.


[A] Calculando, inicialmente, x a massa de sal na solução aquosa que se encontra no recipiente.

1L 5 g

100 L x

Portanto, x 500 g.

Deverão ser colocados mais 400 L da segunda solução aquosa para que o recipiente fique

cheio.

Consideremos y a massa de sal em gramas na segunda solução aquosa.

1L 1g

400 L y

Portanto, y 400 g.

Logo, a concentração de sal na mistura será dada por:

L/g5

9

500

900

500

500400


[C]

Esporte Homens Mulheres Total

Futebol 130 70 200

Basquete 70 x = 90

Vôlei 114 1,2x = 108

Total 314 268 582

Se a média aritmética é 194, o total é 582, portanto o total de homens será 582 268 314.

O total de homens que preferem vôlei será dado por 314 130 70 114.

Na coluna das mulheres, temos 70 1,2x x 268 x 90 e 1,2x 108.

Portanto, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma

mulher, é igual a 114 108 12312.


[C] De acordo com o gráfico, temos:

Total de compradores masculinos: 1000

Total de compradores femininos: 1200

O sorteio poderá ser feito de duas maneiras: 1) Probabilidade de se sortear um comprador masculino no primeiro dia e um comprador

feminino no último dia.

1150 600 3

P1000 1200 40

2) Probabilidade de se sortear um comprador feminino no primeiro dia e um comprador

masculino no último dia.

250 300 1

P1200 1000 80

Portanto, a probabilidade P pedida será dada por:

1 23 1 7

P P P40 80 80


Determinando, inicialmente, o valor de k, temos:

2k22k9

24323k21519

Temos, então, um total de 11 jogadores.

a) Calcularemos todas as combinações de 11 elementos, tomados 2 a 2, para obtermos o

número de combinações pedido.

11,211!

C 552! 9!

b) Para que a média das idades seja maior que 22, a soma das idades deverá ser maior que

44. Temos, então as seguintes comissões:

Idades Número de comissões

21 e 24 anos 5 3 15

23 e 23 anos 1 23 e 24 anos 2 3 6

24 e 24 anos 3C 2,3

Logo, o número de combinações é 15 1 6 3 25 e a probabilidade P pedida será dada

por:

11

5

55

25P

Resposta da questão 24: a) Tem-se que

n n!780 780

2 2! (n 2)!

n (n 1) 40 39

n 40.

b) Seja h o número de homens no grupo. Logo, vem

h 40 h0,2 2h 40 8

40 40

h 24.


k

2k

3k

4k

f(1) r e

f(2) r e

f(3) r e

f(4) r e

Como a sequência é uma P.G., podemos escrever que:

kf(1) 1 1 re f(1)

f(2) 4 4 4

Portanto,

255 1 1 1 1 255 85 255f(1) f(2) f(3) f(4) r r r 6

128 4 16 64 256 128 256 128

Então, r é um número múltiplo de 3. Resposta da questão 26:

Considerando que as dimensões de 2R sejam x e y, temos:

a) 4 1 4

sen30 x 8 cmx 2 x

Como os retângulos são semelhantes, temos:

cm3

16y

10

y

15

8

As dimensões do retângulo são 8 cm e 16

cm.3

b) Teremos:

%5,878

815

(aumento linear)

ou

1615 10 8

3 252%16

83

(aumento da área)

Resposta da questão 27: [A]

( 6 2)25

6 22ˆcos(CBA) CBA 15 e BAC 75 .50 4


ˆAFB 30 AB BF 6 milhas.

No FBH:Δ FH 3 FH

sen60° FH 3 3 milhas6 2 6

No FHA:Δ 3 3 1 3 3

sen30° AF 6 3 milhasAF 2 AF

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