ffiwdmxçffim ffiffi ryr*rem#rwrynxmffiwmre€w

. Reduzirumarco dado ao primêiroquadrânte é dêteíminar um arco do primeiro quâdrante,cujas íunções trigonométricas seiam iguais em valor absoluto às do arco dado._ ''

Temos três casos:

í

,igra:on"'d"'"to" o" arcos suplementares x e; x indicados no ciclo trigonométrico da

Da igualdade dos triângulos retângulos OMiMI e o t\,1,2tú2, vem:

sen(r - x) = ssnx cos (Í x) = -cos x

Portanto:

t0{ , Í_x) = sen(, Í -x) = - !9! l _ ,^" .cos(r-x) cosX - ' lv^t '

ísenos ior.,arsDois aícos suplementâros lêm: I

tco-senos e lang€ntês simélricos

52

tg (?r - x) = -tgx

: " : I

ObservaçÕes:'1 9 ) ,osarcos cujâs mêdidas sãoxe(Í x)são suplêm€nlares, pois x + (tr - x) = Íou

/ 180".21) pa@ teduzit um arco do29 quadrante para o 19 quadrante, bâsta achar o seu

suplemenÌo.

Veiamos âlguns êxêmplos.

19 exemplo: Calcular as tunções tr igonométricas de um arco de 120o.

Resoluçáo: Um arco de medidâ 120o está no 29 quâdrante; portanto, vamos achar a mediday do seu suplemento: 12Oo + y = 180Ô + y = 600 \

Í

Então: \Ãsen 120Õ = sen 60' = sen 12O" =;

cosec 1200 = cosêc 60o - cosêc 1200 ='1 122\B

'3 =

ú =

32

= cos 1200 =

tg 120o = rB

= l- = cotq 12Oo-í3

= _i = sec 120'=

229 exemplo: Simplificar a expressão

cos(540o -o) + sen(1 2600 d) -sen(900o -d).

Besolução: Sabemosque:5, t0o=1800+3600

12600 = 1800 + 3 36009000=1800+2 3600

Logqcos (540" d) = cos (1800 a) = -cosdsên (1 2600 - d) = sen (18Oo - d) = sen asen(900'- o) = sen (1800 o) = sena

Substituindo, têmos: - coso + senê seno = - cosd

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

cos 1200

tg 120" =

cotg 120"

sec 1200

= -cos 600

-tg 60" =

_1- tg 120"'1

- cos 1200

1-T

- l5

2

I calcuÌe o valor das funçôes trigonométÍicas do

aì lJ5. bì jl c) I 590' d) -=-

2 catcute:a) sen 135' + 4 cotg 120'

b) cos 510' + ts Ë

3 Simplifique:a) sen (9Í - i) + sen (5,r x)b)ts(3Í - x) + tg(- 5r - x)

r

QUADRANTE29 coso: REDUçÃO DO 3? QUADRANTE P-ARA O

Considerêmos os arcos explementares x e Íf iguía.

/ *" '

u', ̂ ^ í,

Da igualdade dos triângulos retângutos Ol\4!Mi e OM,2M2,vem:

no ciclo tíigonométrico da

. t

+ x indicados

Í

Fortanto:

ts (Í+x) = !9!l4trÈ = = !9! L = tgx- sen x il- cos x

Dois arcos explemêntares têm:

Obsêrvações:

1i)os arcos cuias medidas sãoxelr + x) sâo êxplemêntaÌes, pojs (Í + x) _ x = ?rou 18Oo.2:) para rêduzir um arco do 39 quadrante para o 19 quadrante, basta subtrair 18Oo do

arco inicial.

Exemplo: Calculâr as funçôos lrigonométrÍcâs de um arco de 22So.Resolução:

Umarco dê 225 o está no 39 quadrantê; ponantq vamoscalculara mediday do seuexptemenÌo

senos e co,senos simétricos

tangentes iguais

225' y= 180"-y=45"

Então: sen 2250 = -sen 45o = I

cos 2250 = -"o"+S" = f

sen (?r+x) = - sen x

Xrg+tg (Í

tg 2250 = tg 45ô = 1

""'" "- - tg zzs"

sec 225" = coJ25"2

cosec 225o = a*-ZE"

= _A- = -12

1_

f, ï

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

@abule as funçôes trigonométricas de um ar- @Ache o vaÌor de sen 240' - cos 570'.

d) 930.

Osimplifique as expressôes:

a) sen (x - 900') + cos (x - 540')b) ts (x + 540') tg (7Í+x)

Fortanto:

to {2,r x) = sen (?r x) -- cos (2r - X)

39 COSO: REDUCÃO DO 49 QUADRANTE PARA O19 QUADRANTE

2Ì-x

Consideremos os aícos replementares x e 2Í - x indicados no ciclo trigonométrico dafioura.

/

M".

ía[,11: r .__ )

, / l

')1x à

. - \

\o' lv2

Da igualdade dos triânoUlos retângulos OÌú'11\r1 ê OM'2M2, vêm:

- sen xcos x

= tgx

7-:

Dojs arcos replementares têm:

Observações:

1:) os arc^o_s cujas medidas são x e (2r x) são r€plementares, pois (2Í x) + x = 2rou 36002i) para reduzir um aaco do 49 quadrante paía o 19 quadrantg bastâ acharo seu íeptemênto

Exemplo: Dêlerminar as Íunções trigonomótricas de um ârco de 2 1OOo. . tResolução:

2 1000 I 36003oo" [s

21000=300o+5.3600L- 1: detsminação po€iiiva

Como 270o < 300ô < 3600, o arco está no 49 quadrantê.

Vamos, enlão, dete.minar a mêdjda y do seu replêmento:

300o+y=36003y=600

Então: sen 21OOo = son 30Oo -sen 60ô = ìr

cos 2 lOOo = cos 3OOo = cos 60. = +

tg 2 100' = tS ?,00' = -tg 60. = -€

cotq2lOOo===1==- =_1 _ v€ts2lOOo - _!3 =

i -

11seczruu"= cõs?ÌõOo- =

ì -=2z

cosec 2 1000

senos e tangentes simétricos

co-senos iguais

t

1 1 t , tã= senZ-ìm" = -va = Ï'2

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Determìne âs fimções trigonomaÍicas de umarco d€:r ì 1<o hr l l l

2 Simplifique a explessão:sen (4Í x) + cos (8tr

q+

x) - sen 0m" -

x).

3 Calcule seÍì 330. - cos2 4{í'".

4 Reduza ao 19 quadrante:a) sen 2 510'b) ts I 000ôc) sec I 560.

IIIIt

PROPRI EDADE DOS ARCOS COMPLEMENTARES

Consideremos no ciclo tr igonométrico dois arcos cujas medidas são x e (+

Obseruando o ciclo tí igonométíicq verif icamos que:

. os arcos cujas medidas são x e ( L 1) sáo complementares, pois

\+ x) +x=foueor

.cosx = õMr,senx = Ìv l lv l t

"o.( ; -*) -e-F,sen{ã ì=ot

Considerando os tr iângulos OMlM E oPiB têmosì

Ol\4=OP (=t)

M1Ôtvì = PloP (x)

ú1 =Ê1

")

I

(reto)

Daí resulta que:

: ÀOM1M = ÀOP1P

sen l- rJ = "o" "

"o" (á x) = sen x

OP-1 = ÓlMì

PPI = tu11\,4j

")

.)

cos I+ _ {l

Assim. teremos as tunções tÍ igonometÍicas do arco { ; x)em luncao do arco .".

""" \2

""n(; " ) cos x*É -4=sên x

57

EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM

I SiÍnplifique a expressão:

*'(+ ") *"(+ - 44 Simplifique a expÍessão:

* ' t "r ' * ' (" * ') -*"(+ -4. .*(* 4

sen (270" + x) - sen (m" + x) - cos (90" - x) + sefl(360'+ r)

*" ,Ë x, + cos x.

! Í2 (FCV-SP) Simplifique a expressâo:

cos (m" + x) + cos (180' x) + cos (360' x) + 3€os(90'- x)

3 SiÍnplifique:

EXERCíCIOS DE FIXAÇÃO

5ó Quais sao os arcos suplementârcs de:rr r75"? br la? r ì 16"? Jr +?' I

57 Quais sào os arcos explementares de:

ar20"? b) i Ì c) Í - ' d) l l5" ' /

58 Quais são os arcos complementâÍes de:

r , ló"? b)ì i? ( ,Ër J) Í?

59 Cdìluleas lunçòer I ngonomer rìca' do\ aÍcos

a) ó90"

b) ó 360"

sen(,r+x).cos(+ ì *(* - . )

sen (270" - x-) ts (540" x)

tg (540' + xì . co\ í540' \)

cosec (57r x) cotg ( x). sen (n +x)

ó2 E{prima em função

a) tg (3Í + x)

b)tc l ; - l

ó3 simplifiqüer

cleÌgxecotgxas

o.o,e(f * ")

a)cote(f ì

ó0 Simplifique a expressào:

scn( l l t r+x)-cos( Í+x) tg(h+x)-

*' o" *.r . *"(f *-) 'gt+n-*r

seL (4Í - r ) tÂl++xl .sen(Í \ )ól Exprima ern Íun(ão de sen \ e cos r as

e) sen (3Í

. , ' ' ' . 2

a) sen (4Í + x)

b) cos (5Í + x)

c) sen (4Í - x)

d) cos (- Í x)

x)

x)

+x)

x)

ó4 Calcule o valor da expressão:

' sen 330' + sen (-450')rg l20o . cotg ( 210')

59

cosl : x lcotg { + xl = l! -

' sen( l i

Veiâmos alguns exemplos.

19 exemplo: Simplificaí a expíessão y =

sen xcos x

1*"(+ i=cos l-4_ xl

cosec (+ - xJ =

sen x

I

sên tá _ xl cos x

Í

Senx.cotgx

Resotuçáo: sen(+ + 4= *"Í+ 1 x1l =cos(,x)

cos(-x) = Ol\4 I cos( x) = cosxcos x = OÌü

No ciclo trigonomélrico, temos:

58

ts

*"{+ ") .ç*"".(á -,)""-\z ") ts{+ 4

cosx.secx c€íx.secxsêrÍx . cos x c€s x- ,sêí x

Rêsposfa.- sec x

29 êxemplo: Demonstra, qu" ""n

l-+ * ,ì = "o"

,.\z I

cos x sec x

' ,