cap. 1. tensores cartesianos, cálculo tensorial · sebenta da disciplina mmc, zuzana dimitrovová,...

Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017

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Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial

1. Quantidades físicas

1.1 Tipos das quantidades físicas

1.2 Descrição matemática dos tensores

1.3 Definição dos tensores

2. Álgebra tensorial

3. Tensores cartesianos em 2D simétricos

3.1 Derivação da lei de transformação para vetores

3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem

3.3 Valores principais (próprios)

3.4 Circunferência de Mohr

3.4.1 Convenções e consequências

3.4.2 Determinação dos valores e das direções principais

3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária

3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas

3.5 Verificações dos valores principais

3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direções


4.1 Valores e vetores próprios ou valores e direções principais

4.2 Determinação e propriedades

4.3 Casos particulares

4.4 Valores extremos fora da diagonal

4.5 O tensor de inércia

5. Análise tensorial


2

1. Quantidades físicas

1.1 Tipos das quantidades físicas

Nas aplicações das disciplinas de mecânica é importante determinar o tipo de grandeza de

cada quantidade física introduzida. Esta separação permite saber o número de dados

necessários a uma descrição completa desta quantidade, e as regras de cálculo a que está

sujeita. Todas as quantidades físicas classificam-se em grandezas escalares, vetoriais, tensoriais

de segunda ordem, tensoriais de terceira ordem, etc. Para uniformizar esta designação, os

escalares chamam-se também tensores de ordem zero e os vetores, tensores de primeira

ordem.

Uma grandeza escalar (um escalar) exige para a sua descrição apenas um único dado/número.

Os exemplos das quantidades físicas de grandeza escalar são: massa, densidade, tempo,

trabalho mecânico, energia, etc.

Uma grandeza vetorial (um vetor) é plenamente determinada pela sua direção, sentido e

intensidade, ou seja, pelos três dados, ligados à sua representação geométrica.

Consequentemente, um vetor costuma-se representar por uma seta. Os exemplos das

quantidades físicas de grandeza vetorial são: força, deslocamento, velocidade, aceleração,

binário, ângulo de rotação, velocidade angular, aceleração angular, etc. Na matemática, um

vetor considera-se como vetor livre, ou seja, o seu ponto de aplicação não representa um dado

necessário e assim a sua representação não é única. Na Figura 1, todas as setas representam

um único vetor livre em várias representações geométricas, porque as setas têm a mesma

direção, sentido e intensidade.

Figura 1

Por exemplo, a um binário pode-se associar um vetor livre. No entanto, o significado físico de

alguns vetores exige uma definição mais pormenorizada. Por exemplo, o vetor da força

considera-se idêntico, quando o seu efeito a um certo objeto é igual. Assim, classificam-se

além dos vetores livres, vetores deslizantes e vetores fixos (ou aplicados). Uma força nas

disciplinas de estática ou de mecânica dos corpos rígidos, corresponde a um vetor deslizante,

ou seja, a um vetor cujo dado adicional é a linha de ação (ou a reta de suporte) sobre a qual o

vetor pode livremente deslizar. As duas representações na Figura 2, correspondem ao mesmo

vetor deslizante (fixo à sua linha de ação).


3

Figura 2

O vetor fixo está ligado ao seu ponto de aplicação, e por isso poderá ter apenas uma única

representação geométrica. Torna-se óbvio que na mecânica dos corpos deformáveis as forças

são vetores fixos, porque o efeito sobre um corpo deformável é diferente quando o ponto de

aplicação é diferente. Na Figura 3, a linha tracejada corresponde a uma representação

simplificada do possível efeito da força aplicada na forma de deformação.

Figura 3

Outros vetores mencionados, deslocamento, velocidade ou aceleração, representam uma

quantidade física diretamente ligada a um certo ponto de um corpo, e podem ser assim

considerados como vetores aplicados (fixos). Mas os vetores associados aos ângulos de

rotação, à velocidade angular ou à aceleração angular, na dinâmica do corpo rígido,

correspondem aos vetores livres.

Os tensores de segunda ordem serão abordados nesta disciplina pela primeira vez e os

exemplos são: a tensão e a deformação. Existem naturalmente tensores de ordem maior que

têm significado físico. Os que serão introduzidos nesta disciplina, são o tensor de rigidez e de

flexibilidade, que são de quarta ordem.

Os tensores de segunda ordem são generalizações de vetores, e para a sua determinação

completa é necessário saber três vetores actantes em três planos diferentes, não paralelos,

que se intersectam no ponto de aplicação destes três vetores.

Dado que o nosso objetivo é transformar os problemas físicos em conceitos matemáticos para

os podermos resolver, é necessário estabelecer as regras de descrição matemática dos

tensores.

1.2 Descrição matemática dos tensores

A descrição matemática dos tensores baseia-se em componentes. Para poder definir as

componentes é necessário introduzir o espaço e o referencial. Nesta disciplina vamos trabalhar

apenas no espaço de Euclides, também chamado espaço cartesiano. A palavra “cartesiano” já

está ligada ao referencial introduzido. Vamos distinguir o espaço unidimensional (1D), que

corresponde à recta de números reais, plano cartesiano ou espaço bidimensional (2D), que

corresponde à lista ordenada (enupla) de 2 números reais, e espaço tridimensional (3D), que


4

corresponde à lista ordenada de 3 números reais. É possível estender esta definição no sentido

matemático para a lista ordenada de m números reais, designada m .

O número de componentes necessárias para a descrição completa de tensores é: nm em que

m corresponde a “ordem” do espaço e n a ordem do tensor. Por exemplo: um vector em 3

dimensões, tem 31 =3 componentes, etc.

O já mencionado referencial cartesiano, será o referencial maioritariamente utilizado nesta

disciplina. O referencial cartesiano é definido pelos eixos coordenados, mutuamente

perpendiculares. Cada eixo poderá ser definido pelo seu vetor de base unitário. No espaço

cartesiano (de Euclides), a “unidade” tem o mesmo “comprimento” em todas as direcções dos

eixos cartesianos. Nas aplicações convém uniformizar a utilização do referencial. Nesta

disciplina será somente utilizado o referencial direto (destro). O referencial direto é possível

confirmar pela regra da mão direita. Em 3D, basta rodar os dedos na direção de x para y e o

polegar indica o sentido positivo do eixo z . Em alternativa, é possível rodar os dedos de y

para z , ou de z para x e o polegar indica o sentido positivo de x ou de y , respectivamente.

A ordem dos eixos x , y e z nesta verificação tem que corresponder a uma permutação

positiva, que poderá ser obtida pela alteração cíclica de índices (Figura 4).

Figura 4

Em 2D costuma-se introduzir eixos x e y de tal maneira que o eixo z aponta contra o

observador.

Representações matemáticas e geométricas

As componentes além da descrição matemática, ajudam igualmente na representação

geométrica dos tensores. No caso de uma grandeza escalar, não faz sentido falar sobre

representação geométrica. A descrição matemática exige apenas este único dado, que

corresponde a um número real, ou seja, pertence ao conjunto . Grandeza escalar não se

altera quando é medida por observadores em referenciais diferentes.

A representação geométrica dos vetores mostra-se na Figura 5.

Figura 5


5

A representação matemática dos vetores usa as componentes introduzidas e a sua forma

poderá ser vetorial ou matricial. Na forma vetorial pode-se usar a soma vetorial:

1 2 3x y z x y z x y z x x y y z zF F F F F i F j F k F e F e F e F e F e F e= + + = + + = + + = + +

ou a forma em componentes:

( ), ,x y zF F F F=

A descrição matricial usa por convenção as componentes na forma de uma coluna, ou seja, de

dimensão (3,1) em 3D.

( ), ,

xT

y x y z

z

F

F F F F F

F

= =

A representação matemática das componentes de tensores de segunda ordem faz-se na forma

matricial, em duas dimensões (2D), por exemplo:

11 12

21 22

xx xy x xy

yx yy yx y

T T T T T TT

T T T T T T

= = =

e analogamente em 3D:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

xx xy xz x xy xz

yx yy yz yx y yz

zx zy zz zx zy z

T T T T T T T T T

T T T T T T T T T T

T T T T T T T T T

= = =

A forma utilizada nesta disciplina corresponde à matriz no meio (na segunda posição). As

componentes na diagonal principal chamam-se diagonais e as outras “fora da diagonal”.

Igualmente irá ser utilizado o termo “componente normal” em vez de diagonal, e

“componente tangencial” em vez de “fora da diagonal”. Estas designações já se referem ao

significado físico, mas é possível implementá-las na parte de cálculo tensorial.

A representação geométrica dos tensores de segunda ordem usa a definição mencionada na

Secção 1.1: Cada tensor de segunda ordem é definido pelos 3 vetores referentes a (atuantes

em) 3 planos distintos (não paralelos), que se intersectam no ponto de aplicação destes

vetores, ou seja, no ponto em que atua o tensor. Torna-se útil introduzir os termos: faceta e a

normal à faceta. A faceta corresponde a uma superfície elementar e a normal é um vetor

perpendicular à faceta. Em seguida, apenas o caso 2D será abordado, a extensão ao caso 3D é

óbvia.

Torna-se vantajoso usar a designação seguinte: a faceta de ( )x será a faceta cuja normal é

paralela ao eixo coordenado x , e analogamente para as outras direções. Por convenção a

normal à faceta é exterior, o que significa que o lado em que se representa a atuação das


6

componentes chama-se exterior e o outro interior. Estes termos serão mais claros nos

capítulos seguintes, onde se vai considerar um corpo e a faceta vai representar um corte que

separa este corpo. O “exterior” depois representa o vazio, e o “interior” a parte de corpo após

do corte. A cada corte correspondem duas facetas com normais exteriores opostas. (isso é

valido em 2D, mas também em 3D).

A definição da Secção 1.1 particularizada para 2D, envolve 2 vetores e 2 planos representados

por retas. Quando estas retas são paralelas aos eixos coordenados, as componentes do tensor

(colocadas na forma matricial) correspondem às componentes destes vetores. Assim, as

componentes na primeira linha: xT e

xyT correspondem às componentes de um vetor atuante

na faceta de ( )x e as componentes na segunda linha: yxT ,

yT correspondem às componentes

de um vetor atuante na faceta de ( )y . Neste caso, definem-se ainda as facetas positivas e

negativas. As normais exteriores às facetas positivas têm o sentido igual ao sentido do eixo

coordenado. As normais exteriores às facetas negativas têm o sentido oposto ao sentido do

eixo coordenado. Mostra-se na Figura 6 a visualização em 2D.

Figura 6

A representação das componentes nas facetas positivas obedece às regras de visualização de

componentes de vetores. Nas facetas negativas as componentes positivas atuam nos sentidos

opostos aos sentidos dos eixos coordenados. Nota-se que nas componentes com 2 índices, o

primeiro corresponde à normal, e o segundo à direção. A regra de visualização pode-se

simplificar usando os significados físicos conhecidos da disciplina de estática, nomeadamente,

as componentes normais positivas atuam no sentido que induz tração às facetas, as

componentes normais negativas induzem a compressão. As componentes tangenciais

positivas apontam para quadrantes positivos.

Designam-se por quadrantes positivos os quadrantes em que a multiplicação das coordenadas

dos pontos dá número positivo, ou seja, os quadrantes positivos são os quadrantes I. e III. em

que as coordenadas dos pontos são ambas positivas ou ambas negativas.

A visualização em 3D obedece às mesmas regras e será dada no capítulo Tensão.

Dependência da posição


7

As componentes dos tensores são habitualmente números e assim estão relacionados a uma

dada posição. Quando as componentes dependem da posição, designamos os tensores

campos tensoriais. Usa-se assim:

Campo escalar

Campo vetorial

Campo tensorial.

Em resumo, a diferença entre um tensor e um campo tensorial, é que as componentes do

tensor são números e as componentes do campo tensorial são funções de posição, ou seja,

funções de , ,x y z de um dado referencial. Assim, por exemplo, um campo vetorial ( ), ,F x y z

tem as componentes ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y zF x y z F x y z F x y z .

1.3 Definição dos tensores

A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem à lei de

transformação. Esta lei descreve cálculo das componentes no referencial após a

transformação.

Tensores cartesianos

Os tensores cartesianos são tensores cujas componentes são definidas no referencial

cartesiano, consequentemente a lei de transformação é especificada apenas para os

referenciais cartesianos e por isso representa apenas a rotação do referencial.

2. Álgebra tensorial

A álgebra tensorial obedece às mesmas regras como o cálculo matricial. Serão revistas apenas

as propriedades que serão utilizadas nesta disciplina.

Tensores cartesianos de segunda ordem classificam-se em tensores simétricos, antissimétricos

e assimétricos. As componentes de um tensor simétrico verificam

ij jiT T=

As componentes de um tensor antissimétrico verificam

ij jiT T= −

o que implica que os termos diagonais são nulos, porque apenas o número 0 é igual ao seu

oposto.

As componentes de um tensor assimétrico não verificam nenhuma regra especial, no entanto,

este tensor é possível separar na sua parte simétrica e antissimétrica.

T S A= +


8

O cálculo das componentes efetua-se de acordo com as fórmulas seguintes:

2

TT T

S+

= , ou seja 2

ij ji

ij

T TS

+=

2

TT T

A−

= , ou seja 2

ij ji

ij

A AA

−=

Será de utilidade futura uma outra separação, que devido ao significado físico será aplicada

apenas aos tensores simétricos.

S V D= +

Em que mV T I= designa-se a parte volúmica e D a parte desviadora. A parte volúmica

tem na diagonal principal, valores de média 3

x y z

m

T T TT

+ += ou

2

x y

m

T TT

+= conforme o

tensor seja definido em 3D ou em 2D, e fora da diagonal, zeros. A parte desviadora calcula-se

pela diferença D S V= − , ou seja, de cada termo na diagonal principal subtrai-se o valor

médio. Consequentemente, o traço do desviador é nulo, como se mostra em seguida:

03 3 3

x y z x y z x y z

x y z

T T T T T T T T TT T T

+ + + + + +− + − + − =

Em 2D isso implica que na diagonal do desviador há números opostos.


3.1 Derivação da lei de transformação para vetores

Definem-se vetores de base os versores segundo os eixos cartesianos.

Já foi definido que a transformação de referencial corresponderá a uma rotação. Uma rotação

de referencial em 2D está plenamente determinada por um único ângulo, cujo sentido positivo

considera-se anti-horário, de acordo com a regra da mão direita, porque o eixo não

visualizado, z , aponta contra o observador. Com a alteração do referencial, alteram-se as

componentes do tensor. Este facto poderá ser facilmente visualizado no caso de um vetor,

como está explicado na Figura 7.

É fácil de deduzir o valor das componentes no referencial rodado:

cos sin

sin cos

x x

y y

F F

F F

= −

, F R F =

Designa-se a matriz de rotação


9

cos sin

sin cosR

=

−

Figura 7

A matriz de rotação é uma matriz ortogonal, ou seja:

• O determinante equivale a 1

• Os produtos internos de colunas/ linhas equivalem a 1 no caso de colunas/linhas

iguais, e 0 se forem diferentes

• A matriz inversa corresponde a sua transposta, ou seja 1 T

R R−=

Na realidade, pode-se ainda verificar que as linhas de matriz de rotação são formadas pelos

vetores base do referencial rodado com as componentes no referencial original.

Vale a pena destacar que o determinante da matriz de rotação vale 1, quando o referencial

após da rotação é também direto. Esta condição torna-se óbvia em 2D, no entanto em três

dimensões (3D) o valor de determinante pode-se usar para confirmar que o referencial

resultante é direto. No caso de obter valor -1, basta alterar o sentido de um dos vetores base

ao contrário.

3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem

A matriz de rotação usa-se também para calcular as componentes dos tensores de segunda

ordem no referencial rodado.

T

T R T R =

Em 2D é possível apresentar as fórmulas completas

2 2cos sin 2 sin cosx x y xyT T T T = + +

2 2sin cos 2 sin cosy x y xyT T T T = + −


10

( ) ( )2 2sin cos cos sinxy x y xyT T T T = − − + −

ou, em alternativa, usando os ângulos duplos

( ) ( )cos 2 sin 22 2

x y x y

x xy

T T T TT T

+ − = + +

( ) ( )cos 2 sin 22 2

x y x y

y xy

T T T TT T

+ − = − −

( ) ( )sin 2 cos 22

x y

xy xy

T TT T

− = − +

A igualdade de fórmulas é fácil de comprovar, mostra-se apenas a primeira:

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

cos 2 sin 2 sin cos2 2 2

cos sin 2 sin cos cos sin 2 sin cos2

x y x y x y

x xy

x y

xy x y xy

T T T T T TT T

T TT T T T

+ − + = + + = +

−+ − + = + +

3.3 Valores próprios

Verifica-se que existe uma rotação do referencial original (inicial), tal que componentes do

tensor neste novo referencial (rodado) têm propriedades particulares. Nomeadamente, as

componentes diagonais (normais) correspondem ao máximo e ao mínimo de todos os

possíveis valores diagonais (em conformidade designados por maxT e

minT ), e a componente

fora da diagonal (tangencial) anula-se. Designam-se valores principais (próprios) os valores

diagonais assim definidos, e o referencial correspondente, referencial principal. Os eixos

cartesianos do referencial principal designam-se também direções principais. Tomando em

conta a importância dos valores e direções principais, usa-se para este ângulo de rotação

designação diferente, P . Em resumo, o ângulo de rotação

P define dois eixos do referencial

rodado, ou seja, duas direções principais que são ortogonais, e as componentes do tensor no

referencial principal escrevem-se da seguinte maneira (forma canónica):

max

min

0

0princ

TT

T

=

Por convecção costuma-se colocar o valor máximo na posição (1,1) ou (x,x) na matriz de

componentes, ou seja não se costuma escrever

min

max

0

0princ

TT

T

=

apesar de não estar errado. Trata-se puramente de uma convenção que também se vai referir

em 3D. De acordo com esta convenção, o primeiro eixo do referencial designa-se por max, ou


11

seja, há uma correspondência de índices e eixos. Repare: componente xT está na posição (1,1)

da matriz de componentes no referencial cujo primeiro eixo designa-se por x; em

conformidade maxT está na posição (1,1) da matriz de componentes no referencial cujo

primeiro eixo designa-se por max.

Prova:

1. Usando a nulidade de componente fora da diagonal (tangencial)

Assume-se, que a componente tangencial no referencial rodado usando o ângulo de rotação

P , equivale a zero:

sin 2 cos2 02

x y

xy P xy P

T TT T

− = − + = ( )

2tan 2

xy

P

x y

T

T T =

−

Desta condição pode-se calcular o ângulo P como se mostra acima.

2. Usando a extremidade das componentes diagonais (normais)

Assume-se que existe valor extremo da componente normal segundo referencial rodado. Para

determinar este extremo é necessário considerar que a componente no referencial rodado é

uma função de ângulo de rotação e que as componentes no referencial original (inicial)

representam parâmetros. Para encontrar o ponto estacionário de uma função, é necessário

igualar a zero a primeira derivada em ordem da variável :

cos 2 sin 2 / 02 2

x y x yxxy

T T T TTT

+ − = + + =

( )2sin 2 2cos2 02

x y

xy

T TT

−− + = ( ) ( )

2tan 2 tan 2

xy

P

x y

T

T T = =

−

Resolvendo a equação acima, verifica-se que o ângulo obtido é o mesmo como determinado

da propriedade 1.

Analogamente, pode-se comprovar que o extremo na componente yT ocorre para o mesmo

ângulo de rotação P .

Voltando às fórmulas das componentes no referencial rodado, designado o valor médio

2

x y

m

T TT

+= e usando ( )( )

2sin arctan

1

xx

x=

+, ( )( )

2

1cos arctan

1x

x=

+, pode-se

introduzir mais um valor conforme:

2 2

22 2 2

12

xy x y

xy

x y x y x y

T T TT R

T T T T T T

− + = + = − − −


12

ou seja, introduziu-se

2

2

2

x y

xy

T TR T

− = +

depois

2

2 2 2

x y x yx y xy

x m xy

x y

T T T TT T TT T T

R R T T

− −− = + +

−

para poder continuar com os cálculos, é preciso assumir dois casos:

x yT T ou seja

2

21

2

x y

x m xy m

T TT T T T R

R

− = + + = +

x yT T ou seja

2

21

2

x y

x m xy m

T TT T T T R

R

− = − + = −

Analogamente para yT . Isso significa que apenas tomando em conta as grandezas de valores,

pode-se decidir se a rotação pelo P rodará o eixo coordenado x para o eixo do máximo ou

do mínimo. Nomeadamente mostrou-se que para x yT T a rotação pelo

P indica o eixo do

máximo e vice-versa. O sinal da subtração x yT T− pode combinar-se diretamente com o sinal

da componente tangencial, porque isso influencia o sinal do ângulo P calculado usando a

fórmula ( )2

tan 2xy

P

x y

T

T T =

−. A fórmula indica que ( )2 90º,90ºP − ou seja

( )45º,45ºP − . Existem assim quatro casos:

1. 0x yT T− , 0xyT 0P & P roda para o eixo do máximo, ou seja, o eixo do

máximo corta quadrantes positivos

2. 0x yT T− , 0xyT 0P & P roda para o eixo do máximo, ou seja, o eixo do

máximo corta quadrantes negativos

3. 0x yT T− , 0xyT 0P & P roda para o eixo do mínimo, ou seja, o eixo do máximo

corta quadrantes positivos

4. 0x yT T− , 0xyT 0P & P roda para o eixo do mínimo, ou seja, o eixo do máximo

corta quadrantes negativos

Pode-se assim concluir, que é fácil determinar diretamente os valores extremos usando as

fórmulas deduzidas acima


13

max mT T R= + , min mT T R= −

onde

2

x y

m

T TT

+= e

2

2

2

x y

xy

T TR T

− = +

Os valores extremos chamam-se valores próprios (principais), e o ângulo de rotação P define

as direções principais, mutuamente ortogonais, e formam o referencial principal. Em resumo,

as componentes do tensor no referencial principal podem ser escritas da seguinte maneira:

max

min

0

0princ

TT

T

=

Por convecção costuma se colocar o valor máximo na posição (1,1).

Depois de terminar os cálculos, é necessário decidir qual dos eixos rodados corresponde ao

eixo que vai na direção do valor máximo (para simplificar, designado como o eixo do máximo),

e qual ao eixo do mínimo. Pode-se provar uma regra simples desenhada na Figura 8.

Figura 8

Ou seja, quando o valor fora da diagonal é positivo, o eixo do máximo corta os quadrantes

positivos; quando é negativo, o eixo do máximo corta os quadrantes negativos. A regra

explicada na Figura 8 não está de maneira nenhuma afetada pelo sinal do ângulo P .

Em quatro casos definidos em cima não se consideraram igualdades. Quando x yT T= ,

P

equivale a 45º e m x yT T T= = , xyR T= e a regra designada na figura acima mantem-se

válida. Quando 0xyT = , as componentes no referencial original já correspondem aos valores

principais, neste caso 0ºP = quando x yT T , ou seja, quando o valor máximo já esta

corretamente na posição (1,1) da matriz de componentes, ou 90ºP = quando x yT T e

torna-se necessário (por convenção) trocar a posição de máximo e mínimo na matriz de

componentes.

0xyparaT


14

3.4 Circunferência de Mohr

Considera-se um referencial original 0xy e as componentes de um tensor neste referencial.

Considera-se como variável ângulo de rotação . Começa-se por simplificação da expressão

seguinte (usando as fórmulas de rotação com os ângulos duplos):

( )

( )

( )

2 2

2 2

22

22

2

2 2

cos 2 sin 2 sin 2 cos 22 2

cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 22 2

2

x y x y

x m xy xy xy

x y x y

xy xy

x y x y

xy xy

x y

xy

T T T TT T T T T

T T T TT T

T T T TT T

T TT R

− − − + = + + − +

− − = + +

− − + − + −

− = + =

analogamente

( )2

2 2

y m xyT T T R − + =

Nota-se que nas equações acima o ângulo de rotação foi eliminado e que as equações

correspondem à equação de uma circunferência de centro ,0mT e raio R , chamada a

circunferência de Mohr. A variável associada ao eixo horizontal é xT ou

yT , ou seja, a

componente normal do tensor; e a variável associada ao eixo vertical é xyT , ou seja, a

componente tangencial do tensor. Pode-se assim concluir que as componentes de um tensor

de segunda ordem simétrico em 2D, relacionadas a todas as possíveis rotações do referencial

original, formam uma circunferência. Cada ponto da circunferência corresponde à

componente normal e tangencial atuantes na mesma faceta.

De acordo com as equações deduzidas, as componentes normais xT mas também

yT

representam-se no eixo horizontal, que se pode chamar o eixo das componentes normais.

Este eixo envolve o diâmetro principal da circunferência e é formado pelo eixo dos números

reais com o sentido habitual. As componentes tangenciais representam-se no eixo vertical.

Visto que a componente tangencial xyT corresponde à componente tangencial na faceta de (x)

ou seja, está relacionada com a componente normal xT , mas também corresponde à

componente tangencial na faceta de (y) ou seja, está relacionada com a componente normal

yT , é necessário estabelecer as regras para a representação destes pontos.

Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal (Figura 9), dado que neste caso a

componente fora da diagonal (tangencial) é nula, e as componentes normais atingem os seus

valores máximos e mínimos; este facto não está influenciado pelo referencial original.


15

max min

2m

T TT

+= , max min

2

T TR

−=

Figura 9

3.4.1 Convenções e consequências

Caso particular

Assume-se que o referencial original (inicial) corresponde ao referencial principal, ou seja

max

min

0

0princ

TT

T

=

Considera-se uma rotação deste referencial pelo ângulo . Admitindo que max min

2m

T TT

+= ,

max min

2

T TR

−= , as componentes no referencial rodado são

( )cos 2x mT T R = +

( )cos 2y mT T R = −

( )sin 2xyT R = −

ou seja, a componente tangencial é negativa

Nota-se que a rotação na circunferência de Mohr efectua-se pelo dobro do ângulo que foi

aplicado à rotação dos eixos coordenados.

Para manter a rotação do referencial no mesmo sentido, como a rotação dos pontos na

circunferência, tem que se adoptar a convenção seguinte: o ponto na faceta que corresponde

ao primeiro eixo coordenado representa-se com a componente tangencial oposta. Para

evitar a confusão dos sinais, os pontos na circunferência representam-se com a designação da

maxTminT

mT

R


16

faceta, assim ( )x corresponde ao ponto formado pelas componentes na faceta de ( )x , ou

seja, a componente normal (coordenada horizontal do ponto na circunferência) corresponde a

xT , e a componente tangencial (coordenada vertical do ponto na circunferência) corresponde

a xyT . Analogamente para o ponto ( )y . Relativamente à visualização dos pontos acima ou

abaixo do diâmetro principal, aplica-se a convenção seguinte

ou seja, para a componente tangencial positiva xyT > 0 , ponto ( )x desenha-se abaixo e o

ponto ( )y acima do diâmetro principal e vice-versa.

Ainda é possível encontrar na circunferência uma recta paralela ao eixo rodado. Para isso usa-

se a propriedade da circunferência conhecida do ensino secundário, que vamos chamar a

regra dos ângulos da circunferência. Para o mesmo segmento da circunferência o ângulo com

vértice no centro (ângulo central) é o dobro do qualquer um que tenha vértice na

circunferência (ângulo inscrito). Veja a figura abaixo e os eixos paralelos na figura anterior.

Visto que as rotações na circunferência efectuam-se pelo dobro dos ângulos, os pontos ( )x e

( )y tem que estar sempre no lado oposto de um diâmetro, ou seja, a rotação entre os eixos

do referencial que é de 90º , corresponde à rotação na circunferência de 180º . Também se

pode concluir que o sentido dos eixos é indiferente, visto que para virar o sentido de um eixo é

preciso uma rotação de 180º que corresponde à volta completa na circunferência, ou seja, a

360º .

Nota: A convenção de visualização não é única, existem autores que preferem a conversão

oposta, o que implica que depois os pontos na circunferência rodam no sentido oposto dos

eixos do referencial.

Representam-se de seguida alguns casos concretos. Na construção, primeiro introduzem-se os

eixos horizontal e vertical com uma escala conveniente e usando a convecção, marcam-se os

dois pontos ( )x e ( )y . A recta que liga ( )x e ( )y intersecta o eixo horizontal no centro da

circunferência, o que finalmente permite completar a circunferência.

( )

( )

y

x

TT

TT

yxy

xyx


17

0

2 6

6 4xyT

=

−

0

2 6

6 4xyT

− =

− −

0

4 6

6 2xyT

− =


18

0

4 6

6 2xyT

− − =

−

Existe outra regra de visualização de pontos na circunferência de Mohr que tem a vantagem de

não precisar de um referencial, porque o sentido das componentes tangenciais determina a

posição dos pontos na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial. A regra é:

quando a componente tangencial numa dada faceta roda no sentido horário - negativo (anti-

horário - positivo), o ponto correspondente na circunferência de Mohr está posicionado

acima (abaixo) do diâmetro principal.

Esta regra pode-se justificar de maneira seguinte:

Na figura acima representa-se actuação real da componente tangencial para um dado caso,

por isso, o sentido das setas é igual nos quatro esboços. No entanto, o referencial é da nossa

escolha. Mostram-se os quatro possíveis referenciais para este caso. Com a escolha de

referencial muda o sinal da componente tangencial, no entanto, aplicando a regra utilizada nas

construções anteriores, verifica-se que os pontos correspondentes às componentes nas

facetas designadas com um ponto vermelho estão sempre acima do diâmetro, e os designados

com o ponto verde, abaixo, como era de esperar. No entanto, verifica-se que nas facetas

designadas com o ponto vermelho a componente tangencial roda no sentido horário (ou seja

negativo) e nas com o ponto verde, no sentido anti-horário (ou seja positivo), o que finaliza a

justificação.


19

O termo mais correcto a utilizar é o Círculo de Mohr. Isso porque a representação dos pontos

é possível fazer para tensores em 3D e os pontos que representam as componentes nas

facetas preenchem espaço entre círculos nos três planos principais. Esta construção não faz

parte da matéria desta cadeira. Como no caso de 2D os pontos na realidade formam apenas

uma circunferência, é possível usar o termo Circunferência de Mohr.

A circunferência de Mohr tem diversas aplicações, na determinação dos valores e direcções

principais, na determinação dos valores para uma rotação arbitrária, na determinação do

referencial ligado a componentes especificadas de diversas maneiras, etc.

Como pontos ( )x e ( )y ficam no lado oposto do diâmetro (rotação 90º dos eixos que

corresponde a 180º na circunferência), a recta que os liga passa pelo centro e os valores

normais são simetricamente posicionados em relação ao centro. Verifica-se assim que

xmax min

2 2

y

m

T TT TT

++= = é valido para qualquer rotação e vai ser referido posteriormente

como relacionado ao 1º invariante.

3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais

Admite-se por exemplo referencial original em que as componentes do tensor são positivas e

0x yT T , 0xyT ; 0

x xy

xyxy y

T TT

T T

=

A circunferência de Mohr mostra-se na figura seguinte. Como explicado anteriormente,

desenha-se a circunferência, ou seja, introduzem-se os eixos horizontal e vertical com uma

escala conveniente e marcam-se os dois pontos ( )x e ( )y .

Junta-se a recta que liga ( )x e ( )y . Esta recta intersecta o eixo horizontal no valor mT , ou

seja no centro da circunferência, o que permite completar a circunferência. Em seguida as

intersecções com o diâmetro principal definem os valores principais, maxT e

minT .


20

Confirmam-se assim as fórmulas já deduzidas: max mT T R= + ,

min mT T R= − . Para obter o

referencial principal, verifica-se que é preciso rodar o eixo original x pelo ângulo 2 p na

circunferência.

Retirando o triângulo correspondente,

confirmam-se as outras fórmulas já deduzidas:

( )2

2xy

P

x y

Ttg

T T =

− e

2

2

2

x y

xy

T TR T

− = +

Finalmente, para se obter paralelas com os eixos principais no esboço

dos eixos originais, usa-se a propriedade dos ângulos da

circunferência explicada anteriormente. A recta vermelha é paralela

ao eixo do máximo e a azul ao eixo do mínimo.

Complementa com a animação no slide correspondente.


21

Pode-se assim concluir que existe um ponto na circunferência que corresponde à origem do

referencial e pode-se assim em conformidade designar 0. O esboço do referencial pode ser

“colado” directamente à circunferência, o que permitirá uma ligação directa entre as

componentes na faceta de ( )x com o eixo x (ligação ( )0 x é paralela ao eixo x , ligação

( )0 y é paralela ao eixo y , ligação ( )0 max é paralela ao eixo max , etc.). Este ponto é

também chamado o Pólo irradiante das direcções (das normais às facetas) ao contrário do

Pólo irradiante das facetas P, que está no lado oposto da circunferência, numa recta que

passa pelo centro da circunferência.

Em resumo, cada ponto da circunferência de Mohr representa de maneira inequívoca

componentes intrínsecas numa faceta. A inclinação da faceta e da normal à faceta podem

ser determinadas usando um dos pólos irradiantes. A posição dos pólos depende do

referencial original/inicial (que até podia ser o principal) em que foram definidas as

componentes do tensor utilizado para a construção inicial da circunferência. A componente

normal corresponde à abcissa do ponto. Quando este valor é positivo a actuação da

componente corresponde à tracção, e quando negativo à compressão. A componente

tangencial corresponde à ordenada do ponto. Esta ordenada determina-se no valor absoluto

e a actuação real define-se usando a regra acima, ou seja, se o ponto for posicionado acima

do diâmetro, a componente tangencial roda no sentido negativo, e se for abaixo do

diâmetro, a componente tangencial roda no sentido positivo.

Complementando o pólo irradiante das facetas, pode-se verificar que os pontos ( )x , 0 , ( )y ,

P formam um rectângulo. Este rectângulo tem lados paralelos com o rectângulo elementar

no referencial 0xy .

Os pólos irradiantes podem coincidir com os pontos ( )x e ( )y usados para a construção da

circunferência, neste caso:

( ) 0x , ou seja ( )y P , implica ( )( ) / /x y y


22

( ) 0y , ou seja ( )x P , implica ( )( ) / /x y x

3.4.3 Determinação dos valores para uma rotação arbitrária

Veja a animação no slide 26.

Admite-se novamente referencial original em que as componentes do tensor são positivas e

0x yT T , 0xyT ; 0

x xy

xyxy y

T TT

T T

=

Pretende se determinar componentes no referencial rodado, 0

x xy

x yxy y

T TT

T T

=

, definido

pelo ângulo de rotação .

Em primeiro lugar desenha-se a circunferência de Mohr usando as componentes no referencial

original e determina-se o ponto correspondente à origem do referencial.

O eixo rodado x pode-se desenhar no esboço dos eixos e também directamente na

circunferência. A intersecção com a circunferência define as componentes na faceta de ( )x

ou seja o ponto ( )x . Verifica-se que o ângulo de rotação (com o vértice no centro da

circunferência) entre os pontos ( )x e ( )x equivale a 2 . O ponto ( )y tem que ser

posicionado no lado oposto do diâmetro. Na figura seguinte mostra-se a utilização da regra

dos ângulos para definir a recta paralela com o eixo x .


23

Como último passo, determinam-se as componentes no referencial rodados identificando as

coordenadas dos pontos ( )x e ( )y . As coordenadas horizontais dos pontos definem as

componentes normais xT e

yT . O valor tem que ser “medido” começando do zero e será

assim determinado inclusive o sinal. A coordenada vertical corresponderá a xyT . O valor tem

que ser “medido” a partir do diâmetro principal no valor absoluto. O sinal determina-se

usando a regra de visualização dos pontos, no caso representado na figura 0xyT .

Nota: Esta construção será somente utilizada para confirmação dos valores calculados, ou para

estimativa de valores.

3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas

Admite-se novamente o referencial original em que as componentes do tensor são positivas e

0x yT T , 0xyT ; 0

x xy

xyxy y

T TT

T T

=


24

Pretende-se, por exemplo, determinar o referencial em que a componente tangencial é

positiva e correspondem à metade da componentes tangencial no referencial original.

Primeiro traçam-se duas rectas que dividem o valor xyT em metade. Visto que no referencial

novo o valor tangencial deve ser positivo, existem duas soluções relacionadas aos pontos ( )x

e ( )x abaixo do diâmetro principal.

Em seguida encontram-se pontos ( )y e ( )y no lado oposto dos diâmetros. Finalmente os

eixos coordenados definem-se usando a origem na circunferência. Ao traçar os eixos no

esboço dos eixos originais, é preciso ter o cuidado de definir referenciais direitos.


25

Veja a animação no slide 27.

3.4.5 Rotações de 45º a partir do referencial principal

Verifica-se que existem mais dois pontos da

circunferência que têm uma posição especial.

Na figura acima são designados ( )x e ( )x . Nota-se que estes pontos são os mais afastados

na direcção vertical, e por isso fornecem máximos ao valor tangencial. Deduz-se facilmente da

circunferência que este valor máximo corresponde ao raio da circunferência ,maxxyT R= e que

pode ser positivo ou negativo. No entanto, em ambos os casos o valor diagonal equivale a mT .

As regras de visualização dos pontos definem o sinal da componente tangencial de acordo com

o referencial escolhido. Note-se que estes referenciais estão desviados a 45º do referencial

principal.

Pode se verificar que no caso da componente tangencial

positiva (referencial 0x y ), o eixo do máximo corta os

quadrantes positivos, e no caso da componente negativa

(referencial 0x y ), o eixo do mínimo corta os quadrantes

positivos, como era de esperar. A representação da actuação


26

real das componentes tangenciais cujo valor equivale a R não

depende do referencial e nota-se que as setas apontam para o

eixo do máximo.

3.5 Verificações dos valores principais

Para a verificação dos valores principais utilizam-se os invariantes. Os invariantes são números

escalares cujo cálculo efectua-se usando as componentes num dado referencial. A propriedade

“invariante” indica que este número é igual em todos os referenciais. Em duas dimensões

existem dois invariantes fundamentais. Todos os outros são depois definidos usando os

fundamentais.

1º invariante fundamental: traço, ou seja 1 x yI T T= +

2º invariante fundamental: determinante, ou seja 2

2 x y xyI T T T= −

Outros invariantes: 1

2m

IT = ,

( ) ( )

( )

22 2 2 2 2

1 2 x x x x

22 x2 2 2 2 2

x x

1 1 14 4 2 4 4

2 2 2

1 12 4 4

2 2 2

y y xy x y y y xy

y

x y y xy y xy xy

R I I T T T T T T T T T T T T

T TT T T T T T T T T

= − = + − − = + + − +

− = + − + = − + = +

maxT , minT

A verificação de cálculo dos valores principais faz-se da seguinte forma:

1 x max minyI T T T T= + = +

2

2 x max miny xyI T T T T T= − =

3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3

direcções

Cada tensor de segunda ordem em duas dimensões simétrico tem 3 componentes distintas, e

por isso cada 3 valores mesmo de referenciais diferentes permitem sempre determinar as

componentes num único referencial.

O caso abaixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações, e além disso permite uma

resolução gráfica simples


27

Assume-se que são conhecidos os valores normais nas três direcções diferentes e pretendem-

se calcular as componentes que pertencem a um único referencial, e em seguida por exemplo

valores principais. Neste caso, não é vantajoso escolher o eixo x horizontal. Uma vantagem no

cálculo apresenta escolha do eixo x com uma das direcções definidas. Na realidade, podem-se

introduzir 3 referenciais, 0xy , 0x y e 0x y . Em cada um destes referenciais é conhecido o

valor na direcção do eixo correspondente, ou seja, o primeiro valor normal, assim:

0

?

? ?

a

xy

TT

=

, 0

?

? ?

b

x y

TT

=

e

0

?

? ?

c

x y

TT

=

Um destes referenciais pode ser escolhido como referencial base, por exemplo 0xy . Depois:

a xT T=

e falta encontrar as restantes componentes yT e

xyT . Para isso utilizam-se os restantes dados

do problema, ou seja, o valor bT que corresponde a

xT podia ser obtido pela rotação do

referencial 0xy pelo ângulo no sentido positivo:

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin 2 sin cosx b a y xyT T T T T = = + +

A segunda equação cria-se de forma análoga.

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin 2 sin cosx c a y xyT T T T T = = + + + + + +

Acima estão duas equações para duas incógnitas yT e

xyT , que é possível resolver e completar

assim as componentes no referencial 0xy . Em seguida, pode-se proceder ao cálculo dos

valores principais, que sendo invariantes, não serão afectadas pela escolha efectuada acima.

A resolução gráfica mostra-se na animação no slide 31. A resolução gráfica será utilizada

apenas para confirmação dos valores calculados ou para estimativas.

Em primeiro lugar traçam-se as três rectas verticais na escala de valores numéricos, porque os

3 valores dados representam componentes normais em referenciais diferentes. Sabe-se que a

componente normal corresponde à componente horizontal dos pontos da circunferência de

Mohr e por isso os pontos que representam as componentes nas facetas de ( )x , ( )x e ( )x

serão posicionados algures nestas rectas verticais.


28

De seguida, escolha-se um ponto auxiliar arbitrário em

qualquer das rectas. Muitas vezes é vantajoso escolher

este ponto na recta no meio, mas não é regra.

Pelo ponto arbitrário é necessário passar rectas

desviadas pelos ângulos relativos entre as direcções

definidas, e estas rectas inclinadas têm que se

prolongar até intersectar as rectas verticais

correspondentes. Nomeadamente para encontrar

ponto de intersecção na recta c tem que se fazer

pelo ponto arbitrário uma recta desviada pelo ângulo

relativo entre as direcções a e c . Este ângulo

começa-se a medir a partir da recta vertical no mesmo

sentido como na realidade. Analogamente para a outra

intersecção.

A construção das rectas inclinadas, podia ser facilitada pelo esboço auxiliar em que a recta com

o ponto auxiliar está na posição vertical. Neste caso, as rectas inclinadas podem fazer-se

paralelamente com as direcções correspondentes neste esboço, ou seja o ponto auxiliar

(arbitrário) directamente coincide com o pólo das direcções (normais) relacionado com o

desenho auxiliar.


29

As intersecções assim definidas, ( )b e ( )c , correspondem

já às componentes nas facetas correspondentes ( ) ( )b x

e ( ) ( )c x . Estes 2 pontos, mais o ponto auxiliar, fazem

parte da circunferência de Mohr. Neste momento pode

aplicar-se a construção da circunferência de 3 pontos. Sabe-

se que 3 pontos formam 3 segmentos e as mediatrizes

destes segmentos intersectam-se no centro da

circunferência.

A construção por isso continua pela utilização de 2 segmentos, já formados pelas rectas

inclinadas, traçando mediatrizes e encontrando o centro da circunferência pelo qual se pode

traçar o diâmetro principal.

Depois de completar a circunferência é necessário passar o ponto auxiliar na sua recta vertical

para o outro lado da circunferência. Este ponto depois corresponderá às componentes na

faceta de ( ) ( )a x . É possível ainda representar os valores principais.


30

A prova desta construção consiste na verificação que na circunferência construída os ângulos

entre os raios correspondem ao dobro do ângulo que rodam os eixos, ou seja, que os ângulos

correspondem aos valores representados na figura acima. A figura mais pequena no lado

esquerdo, mostra a verificação referente ao ângulo , outras verificações fazem-se de forma

semelhante.

Na figura acima, mostra-se ainda a construção do pólo irradiante das normais (ponto

correspondente à origem). Verifica-se que o esboço dos eixos na sua posição original podia ser


31

directamente colado neste ponto, cada eixo (vermelho, verde e azul) é formado na

circunferência pela recta da mesma cor (não tracejada) que liga o pólo das normais (direcções)

0 com o ponto que representa as componentes na faceta (a), (b) e (c), respectivamente.

Na figura acima mostra-se a justificação da construção mais uma vez. Representam-se três

triângulos com lados amarelos, cada um composto pelos dois raios e um segmento da

circunferência. Começando do ponto auxiliar, nota-se que a recta verde foi traçada usando o

ângulo relativo entre as direcções [a] e [b] com o intuito de encontrar pontos da

circunferência (a) e (b) cujos raios ( )C a e ( )C b rodam na circunferência pelo ângulo 2 no

mesmo sentido, tal como dita a definição da circunferência de Mohr e a regra dos ângulos.

Igualmente, nota-se que a recta azul foi traçada usando ângulo relativo ( )180º − + entre

as direcções [a] e [c] com o intuito de encontrar pontos da circunferência (a) e (c) cujos raios

( )C a e ( )C c rodam na circunferência pelo ângulo ( )360º 2 − + , tal como dita a

definição da circunferência de Mohr e a regra dos ângulos. Finalmente, nota-se que o ângulo

de rotação dos raios ( )C b e ( )C c , 2 , verifica a regra dos ângulos.

Problema

Sabendo que as componentes normais nas direcções definidas pelos eixos que fazem 20º ,

80º e 120º com o eixo horizontal, são -29, 31 e -5, calcule os valores e as direcções principais

e verifique a solução graficamente. Marque na circunferência de Mohr o ponto

correspondente à origem e as direcções principais.


32

Resolução:

Arbitrando como o referencial base 0xy : 0

29 ?

? ?xyT

− =

( ) ( ) ( ) ( )2 231 29cos 60º sin 60º 2 sin 60º cos 60ºx y xyT T T = = − + +

( ) ( ) ( ) ( )2 25 29cos 100º sin 100º 2 sin 100º cos 100ºx y xyT T T= − = − + +

Resolvendo

0

29 36,66

36,66 8,67xyT

− =

m

29 8,6710,16

2T

− += = − ,

2

229 8,6736,66 41,21

2R

− − = + =

max 10,16 41,21 31,05T =− + = , min 10,16 41,21 51,38T = − − = −

1 2 36,66arctan 31,4º

2 29 8,67p

= = −

− − (corresponde ao mínimo)

x

xx

20º

80º120º

x

xx

20º

80º120º

max

min

31, 4º

40º

100º


33

Em seguida verifica-se que a solução dos valores e direcções principais não foi afectada pela

escolha do referencial base e que a solução gráfica não está afectada pela escolha do ponto

auxiliar.

Arbitrando como o referencial base 0x y : 0

31 ?

? ?x yT

=

( ) ( ) ( ) ( )2 229 31cos 60º sin 60º 2 sin 60º cos 60ºx y xyT T T = − = − + − + − −

( ) ( ) ( ) ( )2 25 31cos 40º sin 40º 2 sin 40º cos 40ºx y xyT T T = − = + +

Resolvendo

0

31 2,02

2,02 51,33x yT

− =

− −

Os valores seguintes têm que ser iguais como na resolução anterior

m

31 51,3310,16

2T

−= = − ,

( )( )

2

231 51,332,02 41,21

2R

− −= + − =

max 10,16 41,21 31,05T =− + = , min 10,16 41,21 51,38T = − − = −

( )( )

2 2,021arctan 1,4º

2 31 51,33p

−= = −

− − (corresponde ao máximo)

Finalmente, arbitrando como o referencial base 0x y : 0

5 ?

? ?x yT

− =

( ) ( ) ( ) ( )2 229 5cos 100º sin 100º 2 sin 100º cos 100ºx y xyT T T = − = − − + − + − −

( ) ( ) ( ) ( )2 231 5cos 40º sin 40º 2 sin 40º cos 40ºx y xyT T T = = − − + − + − −

Resolvendo

0

5 40,89

40,89 15,33x yT

− − =

− −

Os valores seguintes têm que ser iguais como na resolução anterior

m

5 15,3310,16

2T

− −= = − ,

( )( )

2

25 15,3340,89 41,21

2R

− − −= + − =

max 10,16 41,21 31,05T =− + = , min 10,16 41,21 51,38T = − − = −

x

xx

20º

80º120º

max

x

x

x

20º

80º120º

min

1, 4º

x

xx

20º

80º120º


34

( )( )

2 40,891arctan 41,4º

2 5 15,33p

−= = −

− − − (corresponde ao máximo)

max

x

x

x

20º

80º120º

min

41, 4º

( )auxº

60º

40º


35

Verde: rectas verticais traçadas no início da resolução e a ligação ( )x ( )y

Vermelho: rectas que passam pelo ponto auxiliar, desviadas pelos ângulos relativos entre as

direcções

Azul: circunferência, diâmetro principal, paralelas com os eixos x e y

Azul claro: mediatrizes dos segmentos para determinação do centro da circunferência

( )auxº

60º

100º

cap. 1. tensores cartesianos, cálculo tensorial · sebenta da disciplina mmc, zuzana dimitrovová,...

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