vetores cartesianos
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FAP - UNIESP
Mecnica Geral
Vetores Cartesianos
Prof. Natlia Cardoso Dal Molin Ferreira
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VETORES CARTESIANOS
As operaes de lgebra vetorial, quando
aplicadas para resolver problemas em trs
dimenses, so enormemente simplificadas se
os vetores forem primeiro representados na
forma de um vetor cartesiano.
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SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO
Dizemos que um sistema de coordenadas
retangular destro desde que o polegar da
mo direita aponte na direo positiva do
eixo z, quando os dedos da mo direita
esto curvados em relao a esse eixo e
direcionados do eixo x positivo para o eixo y
positivo.
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SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO
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COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR
Um vetor B pode ter uma, duas ou trs
componentes retangulares ao longo dos
eixos coordenados x,y e z, dependendo de
como o vetor est orientado em relao aos
eixos.
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COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR
zyx BBBB
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VETORES CARTESIANOS UNITRIOS
Em trs dimenses, os vetores cartesianos
unitrios, i, j e k so usados para designar as
direes dos eixos x,y, z, respectivamente.
REPRESENTAO DE UM VETOR CARTESIANO
kBjBiBB zyx
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INTENSIDADE DE UM VETOR CARTESIANO
222
zyx BBBB
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DIREO DE UM VETOR CARTESIANO
A
A
A
A
A
A
z
y
x
cos
cos
cos
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DIREO DE VETORES CARTESIANOS
Se B for expresso sob a forma de um vetor
cartesiano, uB ter uma intensidade de um e ser
adimensional, desde que B seja dividido pela sua
intensidade, ou seja,
kjiu
kB
Bj
B
Bi
B
B
B
Bu
B
zyxB
coscoscos
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DIREO DE VETORES CARTESIANOS
Existe ainda uma relao importante entre os
cossenos diretores, que dada por:
1coscoscos 222
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ADIO DE VETORES CARTESIANOS
A adio ou subtrao de dois ou mais vetores
bastante simplificada de os vetores forem
expressos em funo de suas componentes
cartesianas.
Se considerarmos vrias foras, ento a
resultante ser o vetor soma de todas as foras
do sistemas e poder ser escrita como:
kFjFiFFF zyxR
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EXEMPLO 1:
Expresse a fora F, mostrada na figura, como um
vetor cartesiano:
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SOLUO
Como apenas dois ngulos de direo
coordenados so dados, o terceiro ngulo deve ser calculado pela equao:
5,0)707,0()5,0(1cos
145cos60coscos
1coscoscos
22
222
222
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SOLUO
Da figura, necessrio que cos seja positivo, pois est na direo +x.Logo, com F=200N, vem que:
NkjiF
kjiF
kFjFiFF
)4,1410,1000,100(
)60cos200()60cos200()60cos200(
coscoscos
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EXEMPLO 2:
Determine a intensidade e os ngulos de direo
coordenadas da fora resultante que atua sobre o
anel da figura:
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EXEMPLO 2:
Uma vez que cada fora est representada na
forma vetorial cartesiana, a fora resultante :
)10010050{}8060{
21
kjikjF
FFFF
R
R
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EXEMPLO 2:
Ento, para a fora resultante em vetores
cartesianos e sua intensidade temos:
kNF
F
kNkjiF
R
R
R
191
180)40(50
}1804050{
222
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EXEMPLO 2:
Os ngulos de direo coordenados , e so determinados pelas componentes do vetor
unitrio que atuam na direo da fora resultante:
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EXEMPLO 2:
kjiu
kjiF
Fu
R
R
F
R
RF
9422,02094,02617,0
191
180
191
40
191
50
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EXEMPLO 2:
6,199422,0cos
1022094,0cos
8,742617,0cos