aula vetores
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VETORES
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Vetores são grandezas que têm:
- módulo ou intensidade;
- direção;
- sentido
Um vetor “0A” é representado geometricamente por um segmento de reta orientado, de origem em “0” e extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela ponta de flecha em “A”.
Representação de um vetor:
Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc.
VETORES
Um vetor é caracterizado por:
- Módulo;
- Direção;
- Sentido.
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A
0
0A
Módulo do vetor: é indicado pelo comprimento da flecha (usa-se uma escala apropriada para desenhar o vetor).
Direção do vetor: é indicada pela própria direção da flecha que representa o vetor.
Sentido do vetor: é indicado pelo próprio sentido da flecha que representa o vetor.
VETORES
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Soma de vetores: Método Gráfico
a ba b+ = s
a b
s
VETORES
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Etapas para efetuar a soma de dois vetores - Método gráfico:
1) Desenhe, em escala, o primeiro vetor com direção e sentido corretos em um sistema de coordenadas adequado.
2) Desenhe o segundo vetor, na mesma escala, com sua origem na ponta do primeiro vetor (anteriormente desenhado).
3) Trace uma linha com origem no primeiro vetor até à extremidade do segundo vetor. Obtém-se assim, o vetor soma.
Observação:No caso da soma de mais de dois vetores, cada vetor é sucessivamente colocado com sua origem na ponta do vetor anterior. O vetor soma é desenhado da origem do primeiro vetor até à extremidade do último.
VETORES
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Subtração de vetores: Método Gráfico
O negativo de um vetor é um outro vetor de mesmo módulo e direção, mas de sentido oposto.
a b- a - b
a b- = a ( -b )+
Assim, a subtração segue a mesma regra da soma.
VETORES
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Exercícios
1) Um barco parte de um ponto “P” e executa os seguintes deslocamentos retilíneos sucessivos: 50 Km para o oeste; 30 Km para o norte e 20 Km para o leste, atingindo um ponto “Q’. Pede-se:
a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do barco;
b) A distância percorrida pelo barco.
c) O deslocamento total do barco, indicando o módulo, a direção e sentido.
2) Um estudante, inicialmente em repouso, parte de um ponto “A” de uma praça, desloca-se, a partir daí, 50m a norte, em seguida, 40m a leste, e finalmente, 20m a sul, chegando a um ponto “B”. Pede-se:
a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do estudante;
b) A distância percorrida pelo estudante;
c) O deslocamento total do estudante, indicando o módulo, a direção e sentido.
VETORES
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Exercícios
3) Uma criança movimenta-se a parte de um ponto “A” da seguinte forma: 60m a sul, seguido de 40m a leste, quando, por fim, se desloca de 30m a norte, chegando a um ponto “B”. Pede-se:
a) Faça um desenho representando o movimento da criança, por meio de vetores, do ponto “A” até o ponto “B”;
b) A distância percorrida pela criança;
c) O deslocamento total da criança, indicando o módulo, a direção e sentido.
4) Um avião foi de uma cidade “A” até uma cidade “B”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 400Km, direção vertical e sentido norte. Em seguida, o avião foi da cidade “B” para a cidade “C”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 300Km, direção horizontal, sentido leste. Com base nesses dados, pede-se:
a) A distância percorrida pelo avião;
c) O deslocamento total do avião, indicando o módulo, a direção e sentido.
VETORES
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Soma de vetores: Método Analítico
A soma de vetores pelo método analítico envolve a decomposição de um vetor em suas componentes com relação a um sistema de coordenadas particular.
a
axx
y
ay
0
ax = a.cos
ay = a.sen
a = ax2 + ay
2
tg = ay ax
VETORES
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Exercício
1) Um avião viaja 209Km em um curso retilíneo a 22,5o a leste do norte. Qual o deslocamento para norte e para leste do avião, em relação ao seu ponto de partida.
2) Um carro viaja para leste numa estrada plana por 32Km. Ele então vira para norte em um cruzamento e viaja 47Km antes de parar. Ache o deslocamento resultante do carro.
3) Uma motocicleta viaja para norte numa estrada retilínea por 50Km. Ela então vira para leste em um cruzamento e viaja 80Km antes de parar. Determine o deslocamento resultante da motocicleta.4) Um helicóptero viaja 150Km em um curso retilíneo a 30o a leste do sul. Qual o deslocamento para sul e para leste do helicóptero, em relação ao seu ponto de partida.
VETORES
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EM TRÊS DIMENSÕES
ax = a.sen.cos
ay = a.sen.sena
ay
y
z
az
0
x
ax
az = a.cos
VETORES
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j
y
z
0
xi
k
OBSERVAÇÃO: Quando um vetor e decomposto em suas componentes, é conveniente utilizar vetores unitários ( i , j , k ) nos sentidos positivos dos eixos “x”, “y” e “z”, respectivamente.
Deste modo, um vetor “ a “ em um sistema de coordenadas tridimensional é escrito em termos de suas componentes e dos vetores unitários.
a = ax i + ay j + az k
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Exemplo 1: tridimensional
a = ax i + ay j + az k
a
ay
y
z
az
0
x
ax
Considere: = 30o; = 60o e intensidade do vetor a = 20m. Pede-se: escreva o vetor a em termos de suas componentes e dos vetores unitários ( i , j , k ).
VETORES
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Uma partícula se move em um plano “xy” de tal forma que suas coordenadas “x” e “y” variam com o tempo de acordo com x(t) = t3 - 32t e y(t) = 5t2 + 12. Aqui “x” e “y” estão expressos em metros e “t” em segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da partícula quando t = 3s.
Exemplo 2: Movimento bi-dimensional
VETORES
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Soma de vetores: Método das Componentes
a b+=s
Se dois vetores são iguais, eles têm de ter:
- mesmo módulo;
- mesma direção;
- mesmo sentido.
Isto somente pode ocorrer se suas componentes correspondentes são iguais.
+=sx i sy j+ ax i ay j bx i+ + by j
VETORES
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Soma de vetores: Método das Componentes
Como as componentes correspondentes são iguais, tem-se:
=sx i sy j+ (ax + bx) i + (ay + by) j
Sx = ax + bx e Sy = ay + by
Módulo e direção de S:
S = Sx2 + Sy
2 S = (ax+bx)2 + (ay+by)2
tg = Sy
Sx tg =
ay + by
ax + bx
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Exercícios
1) Três vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 4,3 i - 1,7 j ; b = -2,9 i + 2,2 j ; c = -3,6 j , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos três vetores.
2) Quatro vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 5,2 i + 3,4 j ; b = -3,6 i + 6,2 j ; c = -2,8 j ; d = - 3 i , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos quatro vetores.
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Multiplicação de vetores
Como os vetores têm módulo, direção e sentido, a multiplicação vetorial não segue exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar.
Tipos de operações de multiplicação de vetores que vamos estudar:
1) Multiplicação de um vetor por um escalar;
2) Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar;
3) Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor.
VETORES
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Multiplicação de um vetor por um escalar
a 1,4 a-0,5 a
Observação: A multiplicação de um vetor “ a “ por um escalar “c” resulta no vetor “c a “, cujo módulo é “c” vezes o módulo de “ a “. O vetor “c a “ tem o mesmo sentido de “ a “ se “c” é positivo e sentido oposto se “c” é negativo.
VETORES
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Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar
O produto escalar de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como:
ab
a b = a. b cos
ângulo entre os dois vetores a e b
Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas como produto escalar de dois vetores:
- Trabalho mecânico; - Energia potencial; - Potência elétrica.
VETORES
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Observação: Se dois vetores são perpendiculares entre si, seu produto escalar é nulo.
j
y
z
0
x i
ki . i = j . j = k . k = 1
i . j = i . k = j . k = 0
Resultados do produto escalar entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):
VETORES
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j
y
z
0
x i
ka = ax i + ay j + az k
Produto escalar entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:
b = bx i + by j + bz k
a . b = (ax.bx )+(ay.by)+(az.bz)
VETORES
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Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor
O produto vetorial de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: (um outro vetor), cujo: a b = c
a b = a. b senMódulo de c é:
Direção de c é: a perpendicular ao plano formado por a e b. Sentido de c é: Regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido).
a
b
c = a b
a
b
c = b a
VETORES
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Observação: Se dois vetores são paralelos entre si, seu produto vetorial é nulo.
j
y
z
0
x i
k
i i = j j = k k = 0
i j = k
Resultados do produto vetorial entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):
j k = i
k i = j
j i = -k
k j = -i
i k = -j
VETORES
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j
y
z
0
x i
ka = ax i + ay j + az k
Produto vetorial entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:
b = bx i + by j + bz k
a b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k
VETORES
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1) Um certo vetor “ a “ no plano “xy” está dirigido a 250o no sentido anti-horário a partir do eixo “x” e tem módulo de 7,4 unidades. O vetor “ b “ tem módulo de 5 unidades e é paralelo ao eixo “z”. Pede-se:
a) O produto escalar (a . b);
b) O produto vetorial (a b).
Exercícios
Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas com produto vetorial de dois vetores:
- Torque; - Momento angular; - Fluxo de energia eletromagnética.