vetores - utfpr
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VETORES
A
B
DEFINIÇÃO:
É um ente matemático utilizado para
representar grandezas físicas vetoriais.
A B
Lemos: Vetor A e Vetor B
origem
origem
extremidade
extremidade
Massa Tempo Temperatura
GRANDEZA ESCALAR
Possui valor numérico e unidade
Força Velocidade Aceleração
GRANDEZA VETORIAL
Possui valor numérico,unidade,direção e sentido
GRANDEZAS FÍSICAS
Tudo que pode ser medido
•Grandezas Escalares – Grandezas que ficam bem definidas apenas com o módulo, sem estarem associadas a qualquer direção: área de um terreno, massa,
volume de uma caixa d’água, etc.
Grandezas físicas Vetoriais – Grandezas Vetoriais são aquelas que para
ficarem bem representadas necessitam de: Módulo, Direção e Sentido.
•Ex. : velocidade, aceleração, momento, força, etc.
Módulo: É representado graficamente
através do tamanho do vetor ou através de
um valor numérico acompanhado de unidade.
Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e
pode ser informada através de palavras
como: horizontal, vertical, etc.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela
seta e também pode ser informada através de
palavras como: para esquerda, para direita,
do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
Características de um vetor:
Exemplo 1:
A
Módulo: 3 cm
3 cm Direção: Vertical
Sentido: Para cima
Vetor A
Exemplo 2:Módulo: 5,5 cm
Direção: HorizontalVetor B
B
Sentido: Para esquerda
Operações com Vetores
1. Soma
2. Subtração
3. Decomposição de vetores
4. Multiplicação
5. Divisão
1. Soma de vetores
1. 1 Vetores de Direções e Sentidos
iguais:
BA
A + B
O módulo do resultante é dado pela soma
dos módulos dos dois vetores.
O sentido do vetor soma é o mesmo de A e
de B.
1.2. Vetores de mesma Direção e Sentido
opostos:
BA
A + B
Nesse caso o vetor soma terá o sentido do
maior deles (o sentido do vetor B)
O módulo da soma será dado por B – A , ou
seja, o maior menos o menor.
Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais
podemos utilizar duas regras, a do polígono e
a do paralelogramo.
A regra do polígono é muito útil quando
precisamos somar três ou mais vetores
enquanto a regra do paralelogramo deve ser
aplicada com grupo(s) de dois vetores.
Regra do Polígono e do Paralelogramo
1.3 – Vetores de direções e sentidos diferentes
1.3.1 Regra do Polígono
Sejam os vetores abaixo:
A
BC D
Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos
iniciar com qualquer um deles, veja como se
utiliza a regra do polígono:
C
D
A
BSoma
Após terminarmos
ocorre a formação de
um polígono.O VETOR RESULTANTE (VETOR
SOMA) É UM VETOR QUE LIGA A ORIGEM DO PRIMEIRO COM A
EXTREMIDADE DO ÚLTIMO VETOR.
V1
V3
V2
5. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a
seguir, obtenha graficamente a soma vetorial:
V1
V2
a) V1 + V2
VR
V1
V3
V2
b) V1 + V2 + V3
VR
1.3.2 Regra do ParalelogramoSejam os vetores abaixo:
B
Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:
A
A
B
Vamos fazer traços paralelos
aos lados opostos.
Soma = A + B
Teorema de Pitágoras
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois
vetores perpendiculares entre si, teremos o
mesmo vetor resultante e seu módulo pode
ser determinado utilizando o TEOREMA DE
PITÁGORAS:
Regra do Polígono:
AA
B
B
Regra do Paralelogramo:
S
S
S2 = A2 + B2
h2=a2+b2
Relações fundamentais em um triângulo retângulo.
1. Teorema de Pitágoras:
a ² = b ² + c ²
2. Seno ( q ) :
Sen q = b / a
3. Cosseno ( q ) :
Cos q = c / a
a = hipotenusa ; b = cateto oposto a q ; c = cateto adjacente a q
4. Tangente (q) :
Tg (q) = b / c
ab
c
q
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º
q
B
BAC
=
LEI DOS COSSENOS (Regra do Paralelogramo)
A
2 2 2 2 . .cosC A B A B q=
C
q
ou
Pois cos q = - cos
e
( + q) = 180o
A’
B’
𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ cos 𝜃
𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ cos 𝛼
Ex. Dados a= 12 cm e b= 8cm, calcule o módulo do vetor , cujo
ângulo é 120º.
R= 10,6 cm
𝑅 = Ԧ𝑎 + 𝑏
2. SUBTRAÇÃO DE VETORES
ou
ou
(Regra do Paralelogramo)
A
B
B
A
BA
A
A
)( BABA
=B
B
orig
em
extre
mid
ade
Regra do polígono
A+(-B)
BA
is
and, vectorsamong iprelationsh the
describeshat equation t vector The-3 Ex.
CBA
CBAe
CBAd
BACc
ACBb
ACBa
=
=
=
=
=
)
)
)
)
)
R= letra B
x
y
Vx
Vy
V
Componentes retangulares de um vetor
V = Vx + Vy
V2 = Vx2 + Vy
2
tg θ = Vy/ Vx
VsenV
VV
y
x
=
= cos
3. Decomposição (Projeção) de vetores
Exemplo-6Ex. 3.2 Halliday - Um pequeno
avião decola de um aeroporto
em um dia nublado e é
avistado mais tarde a 215 km
de distância, em um curso que
faz um ângulo de 220 a leste do
norte. A que distância a leste e
ao norte do aeroporto está o
avião no momento em que é
avistado?
Sol:
Θ= 90 – 22 = 680
dx = d cos 68 = = 215. 0,375 =81 km
dy = d sen 68 = 199 km
Assim o avião foi avistado a 81 km a leste e a
199 km ao norte do aeroporto.
Norte
Leste
4. Multiplicação de vetores
4.1 um vetor por um escalar
4.2 um vetor por um vetor
- 4.2.1 Produto Escalar
-4.2.2 Produto Vetorial
4.1.Multiplicação de vetores por números
reais (escalar)
A
Tomemos como exemplo um vetor A:
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:
3 A
A A AComprove:
-2 A
Comprove:
Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:
Vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é igual a um. Eles são
geralmente designados por orientados nos eixos x; y e z respectivamente.Sua única função é especificar uma direção e um sentido. Assim, um vetor pode
ser expresso como uma soma de três vetores, cada um paralelo a um dos eixos
coordenados:
Vetores Unitários
keji
;
kAjAiAA zyx
=
Se tivermos mais vetores procedermos do seguinte modo para somá-los: ex. Adição
de dois vetores
kBAjBAiBABA
kBjBiBkAjAiABA
zzyyxx
zyxzyx
)()()(
)()(
=
=
y
xA
BC
xC
yC
xA
yA
xB
yB
Componentes do Vetor Resultante:
yyy
xxx
BAC
BAC
=
=
Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Exemplo 3.4
A figura mostra três vetores:
a = (4,2m)î – (1,5m)^j
b = (-1,6m) î + (2,9m)^j
c = (-3,7m)^J
Qual é o seu vetor soma r ?
-1,5
-3,7
4,2
a
b2,9
r
θ-1,6
c
R = rx + ry
Rx= ax + bx+ cx
Rx=4,2m-1,6m+0= 2,6m
E
Ry= ay+ by+cy
Ry= -1,5m + 2,9m – 3,7m = -2,3m
logo= r = 2,6 î - 2,3 ^j
R= (√(2,6)2 + (-2,3)2 )= 3,5 m
E o ângulo medido é
θ= tan-1= (-2,3 / 2,6) = -41º
O sinal negativo indica que o
ângulo esta medido no sentido
horário
r-2,3j
2,6î2,6
-2,3
4.2 - MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM
VETOR4.2.1 – PRODUTO ESCALAR
resulta em um escalar
E o ângulo entre
i . i = 0o
j . j
K . k cos 0o = 1
E
i . j = 90o
j . K
k. i cos 90o = 0
Obs. A propriedade é comutativa
abba
.. =)(
)(
.
:
)ˆˆˆ).(ˆˆˆ(.
:
cos.
222
222
módulobbbb
móduloaaaa
onde
babababa
kbjbibkajaiaba
onde
abba
zyx
zyx
zzyyxx
zyxzyx
=
=
=
=
=
Exemplo 3.7 Halliday - Qual é o ângulo entre a.b
kib
e
jia
ˆ0,3ˆ0,2
ˆ0,4ˆ0,3
=
=
A= 5; b= 3,6; a.b=-6,0 ; ângulo = 109,5 = 110 graus.
3.2 Multiplicação de um vetor por um vetor3.2.1 Produto vetorial
jkXijiXk
ijXkikXj
kiXjkjXi
kXkjXjiXi
onde
kabbajabbaiabbabXa
kbjbibXkajaiabXa
onde
absenbxa
cbxa
yxyxxzxzzyzy
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆˆˆ
:
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
:
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
==
==
==
===
=
=
=
=
)( aXbbXa
=
A propriedade comutativa
não é aplicada
Sentido horário (-)
Exemplo 3.9 Halliday
?
;ˆ3ˆ2
;ˆ4ˆ3
bXac
kib
jia
=
=
=
R= -12i – 9j – 8k
5. Divisão de vetores por números reais
B
Tomemos como exemplo um vetor B:
Se desejamos obter o vetor B / 2, teremos:
B / 2
Posição, velocidade e aceleração:
r
Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:
( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k=
O vetor posição r para uma partícula é a
soma Vetorial de suas componentes vetoriais
Vetor deslocamento )( r
A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento
2 1r r r =
2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k=
Exemplo 4.1O vetor posição de uma partícula é inicialmente r1 e depois passa a ser r2. Qual é o deslocamento da partícula.
1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k=
rO X
Y
z
(-3m)î
(2m)^j
(5m)^k
9mi
2mj
8mkr1
Δr
r2 Δr = r2 – r1
Δr =[(9i+2j+8k) – (-3i+2j+5k)]
Δr =[(9i+3i) +(2j-2j) +(8k-5k)]
Δr =12i + 3k
Δr =(12m)î + (3m)k
E o módulo é:
Δr= 12,37m
Sol.:
Velocidade média )( médv
O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o
intervalo de tempo 12 ttt =
t
rvméd
=
Velocidade instantânea )(v
Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do
vetor deslocamento quando )0( t
dt
rd
t
rv
t
=
=
0lim
jvivjdt
dyi
dt
dxv
ou
jt
yi
t
x
t
jyix
t
rv
yx
tttt
ˆˆˆˆ
ˆlimˆlimˆˆ
limlim0000
==
=
=
=
Exemplo4.3 e 4.44.3-Para o coelho do exemplo anterior encontre avelocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação devetores unitários e na notação de módulo – ângulo.
4.4 -Encontre a aceleração vetorial
Vx = dx/dt = d/dt (-0,31t2+7,2t +28)= - 0,62 t + 7,2
Para t = 15 s, Vx = -2,1 m/s
Vy = dy/dt = d/dt( 0,22 t2 – 9,1 t +30) = 0,44 t – 9,1
Para t = 15 s, Vy = - 2,5 m/s
Logo, V = (-2,1 m/s) i + (-2,5m/s) j (not. vetores unit.)
E Para o módulo calculamos: Vr2 = vx
2 + vy2
Vr = 3,3 m/s e para achar o ângulo fazemos:
tan q = vy/vx = tan-1 (-2,5/-2,1) q = 50o .
Como o sentido é horário e esta no 3 quadrante 180 – 50 = 130º
Como o sentido é horário = -130
ax= dvx/dt = d/dt (-0,62t +7,2) = -0,62 m/s2
ay= dvy/dt = d/dt (0,44t -9,1) = 0,44 m/s2
a = (-0,62 m/s2) i + 0,44 m/s2)j (notaç. vet. Unit.)
Logo o módulo de a é:
a2= ax2+ay2= (-0,62)2+(0,44)2)1/2 ; ar=0,76m/s2
p/ obter o ângulo tg θ= 0,44/-0,62 = -0,71
θ= - 35º. Como esta no 2º. Quad. 180 + 35= 215o.
Como está no sentido horário = -215o
X(m)
Y (m)
-0,62
0,44
X(m)
Y (m)
-2,1
-2,5
vr
-130º
-215o.
ɵ
Aceleração média ( )méda
O vetor aceleração média é a razão entre a variação da
velocidade e o intervalo de tempo
12 ttt =
méd
va
t
=
A aceleração instantânea é o limite desta razão quando
)0( t
0lim
t
v dva
t dt
= =
kajaiakdt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
zyx ˆˆˆˆˆ ==
Exemplo 9:A posição de uma bola de beisebol é dada por r. Obtenha sua velocidade e sua aceleração.
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1,5 (12 / 16 / ) 4,9 / .r mi m si m sj t m s jt=
2 2ˆ ˆ ˆRe .: (12 / ) [16 / (9,8 / ) ] ; ( 9,8 / )sp v m s i m s m s t j a m s j= =
V= dr/dt = (12 i + 16 j) – 2 (4,9) j t
= (12 m/s) i + (16 m/s) j – (9,8 t m/s2)j
= (12 m/s) i + [(16 m/s) – (9,8 m/s2) t] j
a=dv/dt = – (9,8 m/s2) j