algebra e analise tensorial

UNIVERSIDADE DE SO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS PS-GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

INTRODUO MECNICA DO CONTNUO

NOTAS DE AULAS (lgebra e Anlise Tensorial)

Sergio Persival Baroncini Proena

So Carlos, Janeiro de 2011.

Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial

Autor: Sergio P.B. Proena

1. Espaos Vetoriais Reais Def.1 - Espao vetorial sobre o campo R dos nmeros reais um sistema (V,+, R, ) constitudo por: - um conjunto no-vazio V cujos elementos so chamados vetores; - uma operao binria + sobre V chamada adio de vetores, cujo elemento neutro ser representado por 0; - um campo = (R, +, ), dotado das operaes de soma e multiplicao, cujos elementos so chamados escalares, sendo os elementos zero e identidade, representados por 0 e 1, respectivamente; - uma aplicao () de RV em V chamada multiplicao de escalar por vetor, que associa ao par ( , x) o vetor representado por x. Para a operao de adio, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas: a) A adio de vetores comutativa

,x y y x x y V (1) b) A adio de vetores associativa

( ) ( ) , ,x y z x y z x y z V (2) c) Existe um nico vetor 0 em V, chamado vetor nulo ou elemento neutro, tal

que: x 0 x x V (3) d) Para cada vetor x V , o chamado vetor oposto ou simtrico de x tal

que:

( )x x 0 x V (4) Def.2 - sejam dois vetores x e y, define-se por vetor diferena ou subtrao entre x e y ao vetor resultante da soma de x com o simtrico de y, representado por x - y, ou seja:

( )x y x y (5)



A operao de multiplicao por escalar deve apresentar as seguintes propriedades: e) ( ) ( ) , ex x x V f) 1x x x V g) ( ) , ex x x x V h) ( ) e ,x y x y x y V (6 a,b,c,d) Os exemplos que seguem constituem espaos vetoriais. Exemplo 1: o conjunto dos nmeros reais para as definies usuais de soma e produto. Exemplo 2: o sistema ( , , , )n R das n-uplas de nmeros reais

( , ,..., )1 2 nx e ( , ,..., )1 2 ny sendo ,i i R , em que as operaes igualdade de vetores, a adio de vetores e a multiplicao por escalar so definidos por:

se ;( ,..., )

( ,..., )

1 1 n n

1 1 n n

1 n

x yx y

x

Exemplo 3: o espao vetorial V cujos elementos so funes reais de mesmo domnio D tais que ( ) ( ) ( )( ) ( ( ))

f g x f x g xf x f x

Exemplo 4: o sistema ( , , , )m n R de todas as m n matrizes sobre o campo , sendo a adio de matrizes e a multiplicao de matriz por escalar operaes j conhecidas. 2. Dependncia e independncia linear de um conjunto de vetores Def.3 - sendo V o espao vetorial sobre o campo , um subconjunto S com nmero finito de vetores , , ,1 2 nx x x de V dito ser linearmente dependente se existirem escalares ( , ,..., )1 2 n no todos nulos tais que:



1 2 n1 2 nx x x 0 (7)

A notao empregando ndices superiores , por hora, introduzida e ser justificada mais adiante. Def.4 - um subconjunto S dito linearmente independente se para quaisquer vetores no-nulos , ,1 nx x de S, em nmero finito, e escalares j , a igualdade:

1 2 n1 2 nx x x 0 implicar em ...1 2 n 0

Exemplo 5: dois vetores (segmentos orientados clssicos) no-colineares no plano so linearmente independentes. Exemplo 6: os monmios 1, x1, x2, ... , xn so vetores linearmente independentes no espao dos polinmios em x. Evidentemente, neste caso os ndices superiores indicam potncias. 3. Espaos com produto interno Def.5 - Denomina-se produto interno em V, toda aplicao que associa a cada par de vetores (x,y) de VV um nico real denotado por (x . y) tal que: i. x y y x ii. ( )x y x y iii. x y z x z y z iv. x x 0 sendo que x x 0 se e s se x 0 (8 a,b,c,d) Um espao vetorial com produto interno denominado Espao Euclidiano. Exemplo7 - No espao 2 o produto interno entre x = (x1,x2) e y = (y1,y2) pode ser definido por:

1 1 2 2 1 2 2 1x y x y x y x y x y (9) Exemplo8 - No espao vetorial das funes contnuas no intervalo [a,b] define-se produto interno por:



ba

f g f t g t dt (10) Exemplo9 - No espao das matrizes reais de ordem nn define-se produto interno por: TA B tr A B (11) onde a operao trao, denotada por tr(.), realiza a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Def.6 - Sendo V um espao euclidiano, denomina-se norma de um elemento u de V ao nmero real no-negativo obtido por:

. 12u u u (12) A norma assim definida satisfaz s seguintes propriedades: i. u u ii. / ; u 0 p u 0 0 0 iii. u v u v (desigualdade de Cauchy-Schwarz) iv. u v u v (desigualdade triangular) (13 a,b,c,d) Obs. Qualquer operao que no necessariamente faa uso do produto interno, como na (12), mas que satisfaa s propriedades acima constitui uma norma. Assim o conceito se estende aos espaos vetoriais quaisquer. Def.7 - a distncia entre dois elementos x e y de um espao vetorial V definida como a norma da diferena entre eles, sendo representada por: ,d x y x y (14) A medida assim definida satisfaz s seguintes propriedades: i. , ,d x y d y x ii. , ,d x y 0 se x y e d x x 0 (15 a,b,c)



iii. , ,d x y d x z d z y (a distncia o menor caminho entre dois pontos)

Um espao com operao distncia definida chamado de espao mtrico. Def.8 - Da desigualdade de Cauchy-Schwarz decorre a definio de ngulo 0 entre dois vetores no-nulos, representada por:

cos , x yx yx y

(16) Obs. No se define ngulo entre vetores quando pelo menos um deles o vetor nulo. Outras definies complementares so tambm de interesse: Def.9 - Dois vetores x e y so ortogonais se x y 0 ; logo, o ngulo entre eles

2 .

Def.10 - Um conjunto de vetores de V ortogonal se seus vetores forem ortogonais dois a dois. Def.11 - Um vetor x dito unitrio, ou versor, se x 1 . Exemplo10 - No espao das funes contnuas no intervalo [-1,1] com produto interno definido por:

11

f g f t g t dt (17) os polinmios ( ) e ( ) 2f t t g t 3t 1 so ortogonais, assim como as funes ( ) cos e ( )f t 2m t g t sen2n t , com m e n inteiros quaisquer. 4. Combinaes lineares. Base e dimenso Def.12 - um vetor x do espao vetorial V dito ser uma combinao linear dos vetores , ,1 nx x de V se existirem escalares , ,...,1 2 n tais que:



1 2 n

1 2 nx x x x (18) Def.13 - uma base de um espao vetorial V um subconjunto de V linearmente independente tal que todo vetor do espao pode ser escrito de forma nica como uma combinao linear dos vetores da base. Existem infinitas bases em um espao vetorial. Def.14 - a dimenso de um espao vetorial o nmero mximo de vetores linearmente independentes do espao. O espao V dito de dimenso finita se admitir uma base finita. O teorema seguinte apenas enunciado. Teorema1 - Em qualquer espao euclidiano: i. Um vetor x ortogonal a todo vetor do espao se, e s se, x o vetor

nulo. ii. Um conjunto ortogonal de vetores no-nulos linearmente independente. Def.15 - Num espao euclidiano, um conjunto ortonormal um conjunto ortogonal de vetores unitrios. Exemplo10 - Considerando-se o produto interno definido por i ix y x y (i = 1,...,n) , os vetores:

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1

2

n

x 1 0 0 0

x 0 1 0 0

x 0 0 0 1

(19)

so unitrios e constituem uma base ortonormal para o n . Os teoremas que seguem so enunciados sem demonstrao: Teorema2 - Todo espao vetorial possui uma base.



Teorema 3 - Num espao de dimenso finita qualquer conjunto de vetores linearmente independente pode ser estendido a uma base. Corolrio - Se V for um espao de dimenso finita n ento: a) Qualquer conjunto de n + 1 vetores de V linearmente dependente; b) Nenhum subconjunto de V contendo menos de n vetores pode gerar V. Sendo com ( , , ),ie i 1 n uma base de V, qualquer vetor x do espao dado por 1 2 n1 2 nx e e e pode ser escrito segundo uma notao indicial na forma:

iix e (20)

onde os i so as componentes de x na base ie , tambm denominadas, por uma razo que ficar clara mais adiante, componentes contravariantes. Nota-se que na notao indicial, a repetio de ndices no mesmo termo tem o significado de somatria, sendo o nmero de parcelas igual dimenso do espao. O ndice repetido denominado ndice mudo. Alis, para ndice mudo pode-se adotar qualquer letra, de modo que segundo uma mesma base o vetor x pode ser representado indiferentemente por:

i j ki j kx e e e (21)

uma vez que todos os ndices variam de 1 a n . No caso de vetores diferentes, escritos cada um como combinao linear de uma mesma base, conveniente adotar letras diferentes para os ndices mudos. Entretanto, a notao indicial permite representar, por exemplo, um conjunto de m vetores escritos em funo de uma mesma base de dimenso n, do seguinte modo:

ji i jx a e com i = 1, ..., m e j = 1, ... , n (22)

O que equivalente a:


Autor: Sergio P.B. Proena 1 2 n

1 1 1 1 2 1 n

1 2 n2 2 1 2 2 2 n

1 2 nm m 1 m 2 m n

x a e a e a ex a e a e a e

x a e a e a e

(23)

Decorre da definio 15 e do teorema 2 que todo espao euclidiano de dimenso finita admite uma base ortonormal. Os vetores da base ortonormal verificam a condio:

i j ije e (24) ou seja: se e se i j i je e 0 i j e e 1 i j . Essas condies so resumidas na (24) pelo smbolo de Kronecker ij . Em termos prticos, a base ortonormal pode ser obtida de uma base ortogonal dividindo-se cada vetor pela sua norma. Sejam ie e jf duas bases de Vn (espao vetorial de dimenso n). Ento como os jf so vetores de Vn, tambm eles podem ser representados por combinaes lineares dos ie :

ij j if C e (25 a)

A mesma expresso pode ser colocada em forma matricial admitindo-se, por exemplo, que nas componentes ijC o ndice superior i est associado ao nmero de uma linha da matriz C e o ndice inferior j ao nmero de uma coluna. Nessas condies vale tambm a representao: Tf C e (25 b) sendo C interpretada como matriz de mudana de base. Sendo, por outro lado, i e j as componentes de um vetor x nas bases ie e

jf , respectivamente, ento:



i ji jx e f

Substituindo-se a relao (25 a), segue que:

j i ij i ix C e e (26)

Como as componentes segundo uma mesma base so nicas, ento:

i j ijC (27 a)

ou ainda, matricialmente: C (27 b) Sendo a matriz C inversvel e conhecidas as componentes i , vale escrever: 1C ou D , com 1D C . Em notao indicial:

j i jiD (28)

Nota-se, portanto, que a variao das componentes de um vetor escrito na base ie para a base jf se d com o inverso da matriz que opera a mudana dos vetores da base ie para os vetores da base jf . Segue da a denominao de componentes contravariantes. A condio de que D e C so inversas uma da outra pode ser colocada em notao indicial como:

i k kj i jC D (29)

onde se fez uso, novamente, do smbolo de Kronecker, mais formalmente definido por:



kj

0 se k j1 se k j

(30) Observa-se que nos vetores a notao com ndices superiores das componentes contravariantes proposital e est para diferenciar das componentes covariantes, que se escrevem em relao a uma base dual e so identificadas por um ndice subscrito. Um mesmo vetor pode ento ser escrito segundo componentes contravariantes numa base natural ou covariantes numa base dual. Sendo ie e jg versores das bases natural e dual, ambos se relacionam pela seguinte condio:

j ji ie g (31)

Conclui-se, portanto, que por definio os versores da base dual obedecem a uma relao de ortogonalidade em relao aos versores da base natural regida pela (31). O interesse pela base dual existe quando a base natural no ortogonal, entretanto, nestas notas, por simplificao, admite-se que as bases naturais adotadas sejam sempre ortonormais, de modo que as componentes naturais e duais se confundem. Nesse caso, o posicionamento dos ndices nas representaes dos versores da base ou das componentes de vetores em relao a elas torna-se irrelevante. Segue, por exemplo, que o smbolo de Kronecker pode ser representado indistintamente com ndices em posio mista, sobrescritos ou subescritos como: j jii ji . Por outro lado, em funo de sua propriedade o smbolo de Kronecker pode funcionar, numa deduo, como um trocador de ndices, pois:

j i ij (32) O mesmo smbolo serve, ainda, para indicar a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz ( n n ) como segue:



ij iiija a (33) (nesse caso fica implcito que: )ii 11 22 nna a a a . 5. Produto vetorial e produto misto O produto vetorial de dois vetores u e v definido como a operao que apresenta as seguintes propriedades: i. u v v u ii. u v w u w v w u,v V ; , iii. u . u v v . u v 0 iv. 2u v . u v u.u v.v u.v (34 a,b,c,d) O resultado do produto vetorial um vetor ortogonal ao plano definido por u e v, como indica a propriedade iii. Em relao a uma base ortonormal de V, a operao produto vetorial definida por: ijk i j ku v u v e (35) onde ijk o operador de permutao, que assume o valor +1 para uma permutao cclica ('horria') dos ndices i, j e k, -1 para uma permutao anti-cclica e zero no caso de coincidncia nos valores de quaisquer pares ou tripla de ndices. Escrevendo-se u e v em funo de suas componentes na base ortonormal de V i i j ju u e ; v v e e substituindo-se na relao anterior, conclui-se que: i j ijk ke e e (36) Realizando-se o produto interno da anterior por ke e por m ne e resultam, respectivamente:



ijk i j ke e .e (37) i j m n ijk mnp k pe e . e e e .e (38) Da anterior seguem os seguintes casos particulares: - se k = p ijk mnk i j m n im jn in jme e . e e (39) - se k = p e j = n ijk mjk i j m j ime e . e e 2 (40) - se k = p, j = n e i = m

ijk ijk 6 (41) As duas ltimas relaes podem ser verificadas considerando o seguinte desenvolvimento:

ijk mjk i 21 m21 i31 m31 i12 m12 i32 m32 i13 m13 i 23 m23 Tendo-se em vista a (34 d) e a (16), resulta a definio do mdulo do produto vetorial:

2 2

2 2 2 2 2

u v u v . u v u.u v.v u.v

u v u v cos u,v

u v u v sen u,v

(42)

A relao do mdulo do produto vetorial ao quadrado escrita em componentes fica dada por:



2

ijk mnk i j m n

im jn in jm i j m n

i i j j i i j j

u v u v u v

u v u v

u u v v u v u v

(43)

Seguindo um procedimento anlogo possvel demonstrar que: u v w u.w v u.v w (44) Geometricamente o mdulo do produto vetorial coincide com a rea do paralelogramo definido por u e v. Assim, admite-se a denominao "vetor rea" para o vetor resultante do produto vetorial de dois vetores com mdulo igual rea do paralelogramo por eles definido e com direo normal ao seu plano. O produto misto de vetores, simbolizado por: u v .w definido pela operao:

1 1 1ijk i j k 2 2 23 3 3

u v wu v .w u v w u v w

u v w (45)

O produto misto apresenta as seguintes propriedades:

i.

u v .w w u .v v w .u

v u .w u w .v w v .u u,v,w V

ii. u v w .d u w .d v w .d u,v,w,d V ; , iii. w. u v 0 se os vetores so linearmente dependentes. O resultado do produto misto, em mdulo, pode ser geometricamente interpretado como o volume do paraleleppedo de arestas alinhadas com u, v e w.



6. Formas lineares, bilineares e quadrticas Chama-se forma linear em um espao vetorial V toda aplicao f que a cada vetor x de V associa um nico nmero real f(x), de modo que:

( ) ( ) ( )f x y f x f y ( ) ( )f x f x (46)

Uma forma bilinear uma aplicao B que a cada par de vetores de V associa um nico nmero real satisfazendo as seguintes condies:

( , ) ( , ) ( , )B x y z B x z B y z ( , ) ( , )B x y B x y ( , ) ( , ) ( , )B x y z B x y B x z ( , ) ( , ) , ,B x y B x y x y z V R (47)

Uma forma bilinear dita simtrica se:

( , ) ( , )B x y B y x (48) Seja B uma forma bilinear simtrica definida em um espao vetorial V de dimenso finita. Define-se forma quadrtica associada forma bilinear como a aplicao que a cada vetor x de V associa um nico nmero real ( )B x , de modo que:

( ) ( , )B x B x x (49) Uma forma quadrtica se diz positivo-definida se:

( ) ( , ) 0B x B x x (50)

7. Transformaes Lineares em Espaos Euclidianos Sendo U e V espaos vetoriais reais, uma funo :F U V dita uma transformao linear se vale a seguinte relao:

( ) ( ) ( )F u v F u F v (51)



onde , so nmeros reais, u e v so vetores de U e ( ), ( )F u F v so vetores de V. Exemplo 12 - Seja f uma funo de em tal que: : 3f x x , ento:

a) ( ) ( )f x f x b) ( ) ( ) ( )f x y f x f y

De fato:

( ) 3 3 ( )f x x x f x ( ) 3( ) 3 3 ( ) ( )f x y x y x y f x f y

A funo f como definida acima uma transformao linear de em . Exemplo13 - Analogamente pode-se mostrar que a funo f de em tal que : 3 5f x x no uma transformao linear de em . Exemplo14 - Seja V o espao vetorial das funes polinomiais f sobre o corpo dos nmeros reais, dadas por:

0 10 1:

nnf x a x a x a x

Seja D o operador de derivao tal que:

11 2( ) : 2

nnD f x a a x na x

. Ento D uma transformao linear de V em V, ou seja, em um ponto x qualquer do domnio de f:

a) [ ( ] ( )D f x Df x b) 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )D f x f x Df x Df x

Voltando considerao da (51), se V = R a transformao F denominada forma linear, ou funcional linear. O teorema da representao das formas lineares diz que dada uma forma F existe um nico vetor a U tal que:

( ) .F v a v v U .



Por outro lado, sendo x e y vetores de um espao vetorial de dimenso finita, a uma forma bilinear B definida em V pode-se associar uma transformao linear T, tal que:

( , ) . ,B x y T x y x y V (52)

8. Vetores e valores prprios Seja T uma transformao linear num espao vetorial de dimenso finita. Um vetor x do espao que satisfaz a relao: T x x (53) chamado vetor prprio da transformao. O escalar , que pode assumir valores reais ou complexos, chamado valor prprio, ou autovalor de T. Existem alguns teoremas importantes no estudo dos autovalores. Os seus enunciados so aqui apresentados sem demonstrao. Teorema 4: Seja V um espao vetorial real euclidiano. Se T uma transformao linear simtrica definida em V, ento todos os seus autovalores so reais. Teorema 5: Seja T uma transformao linear num espao vetorial de dimenso finita. O conjunto de auto-vetores de T correspondente a autovalores distintos linearmente independente. Teorema 6: Seja T uma transformao linear simtrica num espao vetorial de dimenso finita. Existe em V uma base ortonormal relativa qual a matriz de T diagonal. Teorema 7: Seja T uma transformao linear simtrica num espao vetorial de dimenso finita. Auto-vetores de T associados a autovalores distintos so ortogonais entre si. Teorema 8: Seja V um espao vetorial real euclidiano de dimenso trs. Seja uma forma quadrtica definida sobre versores 1 2 3, ef f f de V e a transformao linear a ela associada. Ento a forma quadrtica passa por um



mnimo 3 e por um mximo 1 , respectivamente nos versores 3f e 1f , onde 1 2 3 so os autovalores reais da transformao.

9. Tensores de segunda ordem

Quando os espaos U e V forem um mesmo espao vetorial, a transformao linear :F V V chamada de tensor. Um tensor A de segunda ordem associa a um vetor arbitrrio a outro vetor Aa. A transformao em questo tal que: A a b Aa Ab (54) O tensor nulo de segunda ordem O associa o vetor nulo ao vetor arbitrrio a: Oa 0 (55) O tensor identidade I associa o vetor a ele mesmo: Ia a (56) 9.1 Produto Tensorial O produto tensorial de dois vetores u e v de V o tensor definido pela relao: ( ) ( )u v w v w u (57) onde w um vetor de V.

Note-se que o produto tensorial uma transformao linear de V em V, ou seja: ( )( ) ( ) ( )u v x y u v x u v y (58) 9.2 Base e componentes de um tensor Seja V um espao vetorial euclidiano de dimenso finita n, sendo ie versores de uma base. O conjunto de tensores:



/ , 1, ,i je e c i j n (59)

constitui uma base para o espao dos tensores de segunda ordem. A representao de um tensor T em componentes com relao base tensorial pode ser escrita por:

/ , 1, ,ij i jT T e e c i j n (60) Por outro lado, dado o tensor T, suas componentes em relao base tensorial podem ser determinadas por:

. / , 1, ,ij i jT e Te c i j n (61) 9.3 Algumas Propriedades

O transposto de um tensor S representado por TS o tensor que obedece a seguinte propriedade:

,TS u v u S v u v V . (62) Decorrem dessa definio e da (57):

a) ( )Tu v v u b) ( ) ,Tu v L u L v u v V . c) ( ) . .( )u v w d w v u d d) ( )( ) ( . )( )u v c d v c u d e) ( ) ( )L u v Lu v (63 a,b,c,d,e)

Um tensor dito simtrico se TS S e dito antissimtrico se TS S . Da relao (62) sendo S um tensor antissimtrico segue que:

,S u v u S v u v V (64 a) No caso particular de u = v na relao anterior, resulta:



0S u u (65 b) Outras relaes de interesse envolvendo transposto de um tensor so as seguintes: a) ( )T T TS T S T b) T TS S c) T T TST T S d) TTS S (66 a,b,c,d) Todo tensor pode ser escrito, de forma nica, como a soma de sua parte simtrica e outra antissimtrica, as quais so definidas, respectivamente, por:

12 ( )

TU F F 12 ( )

TW F F (67 a,b)

onde F U W . Como conseqncia: v Fv v Uv .

O trao de um tensor a aplicao que a cada tensor associa um nmero real definido por:

( )tr u v u v (68) O produto interno entre dois tensores S e T o nmero real representado por (S.T) e obtido pela seguinte operao: . TS T tr S T (69) A norma de um tensor o nmero real no-negativo determinado por:

1 2.S S S (70) A norma obedece s seguintes propriedades: a) S v S v b) SF S F



c) S G S G d) u v u v (71 a,b,c,d) O determinante de um tensor S o determinante da matriz que rene suas componentes em relao uma base qualquer: det det[ ]S S (72) Em termos das componentes do tensor S, a relao anterior pode ser escrita na forma:

ijk pqr ip jq kr

1det S S S S6 (73)

Levando-se em conta que ijk ijk 6 , pode-se ainda escrever:

ijk pqr ip jq krdet S S S S (74) Com as relaes anteriores pode-se concluir que:

3det detdet detdet ( ) det detdet 1

TS SS S

AB A BI

(75 a,b,c,d)

Se det A 0 o tensor inversvel e, portanto, existe 1A tal que:

11det detA A (76) Com a relao anterior, pode-se mostrar que: 1 1 1AB B A (77) Uma interpretao geomtrica para o determinante de um tensor de segunda ordem pode ser obtida mediante o produto misto, o qual, como j foi visto, representa o volume de um paraleleppedo.



Um tensor T que atua sobre os vetores que concorrem no produto misto transforma linearmente o paraleleppedo envolvido em outro cujo volume determinado por:

pqr pi i qj j rk k ijk i j kv T u T v .T w T u T v T w u v w detT (78) Assim sendo:

T u T v .T wv detTV u v . w

(79) Em aplicaes de interesse, particularmente quando T representa um tensor de deformao, comum impor a restrio que det T > 0, isto : a deformao no implica em inverso do volume inicial. Nessas condies, os sinais de mdulo na relao anterior podem ser suprimidos. Em outro caso particular, quando w u v segue que:

TT u T v .T u v T T u T v . u vdetT

u v . u v u v . u v (80)

ou ainda, TdetT u v . u v T T u T v . u v (81) de onde resulta: 1TT u T v detT T u v (82) 9.4 Invariantes de um tensor de segunda ordem As propriedades do produto misto permitem mostrar que dado um tensor de segunda ordem T arbitrrio e duas bases tambm arbitrrias definidas pelos vetores (u,v,w) e (l,m,n) valem as seguintes relaes:



T u v .w u Tv .w u v .Tw T l m .n l Tm .n l m .Tnu v . w l m .n

T u Tv .w u Tv .Tw T u v .Tw T l T m .n l Tm .Tn Tl m .Tm

u v . w l m .n

Tu Tv .Tw Tl Tm .Tnu v . w l m .n (83 a,b,c)

Das relaes anteriores, nota-se que o resultado numrico de cada igualdade o mesmo independente da base adotada e, por isso denominado invariante. Respectivamente para as relaes (83 a,b,c) os invariantes so representados por 1I , 2I e 3I . Formalmente, invariantes so aplicaes que fazem corresponder a um tensor de segunda ordem um nico nmero real, independente da base escolhida para represent-lo. Dado um tensor qualquer A, os invariantes podem ser definidos pelas seguintes operaes: 1 iiI tr A A

2 22 1 1( )2 2 ii ij jiI tr A tr A A A A A 3 detI A (84 a,b,c)

Da (84 a) segue que:

Ttr A tr A tr AB tr B A (85)

Da (84 c) pode-se concluir que: det detTA A (86) Admitindo-se que um tensor A seja definido pelo produto tensorial de dois vetores arbitrrios u e v, isto : A u v , as relaes (83) e as definies dos invariantes permitem concluir que o segundo e o terceiro invariantes de A se anulam e:



.

det 0

tr u v u v

u v

(87 a,b)

A partir de uma representao matricial para o tensor A cuja base definida a partir de uma base de versores ie , pode-se mostrar que o primeiro invariante (trao) coincide com a soma dos elementos da diagonal principal. O segundo invariante coincide com a soma dos determinantes menores de ordem dois e o terceiro invariante dado pelo determinante da matriz do tensor. Do anterior decorre uma propriedade til em algumas aplicaes de interesse, que consiste na derivada do determinante de um tensor em relao a um escalar. Nesse sentido, seja T um tensor inversvel que depende de um parmetro real . Segue da (79) sucessivamente que: u v . w detT T u T v .T w (88 a)

d d du v . w detT T u T v .T w T u T v .T wd d d

dT u T v . T wd

(88 b)

Introduzindo o tensor 1dB T Td

, ou dBT T

d , a anterior assume a

forma:

du v . w detT BT u T v .T w T u BT v .T wd

T u T v .BT w

(89)

Considerando que Tu, Tv e Tw so vetores e com a (83 a) e a definio do primeiro invariante, resulta:



du v . w detT tr B T u T v .T w tr B detT u v .wd

(90) Conclui-se, finalmente, que:

1d d TdetT detT tr Td d

(91) 9.5 Vetores e valores prprios de um tensor de segunda ordem Seja A um tensor de segunda ordem arbitrrio. Um vetor x um vetor prprio de A se existe um escalar que satisfaz a relao: ou 0Ax x A I x (92) O escalar pode assumir valores reais e chamado valor prprio, ou autovalor de A. Por outro lado, diz-se que um autovalor de A se satisfaz a equao caracterstica: det 0A I (93) Em forma expandida, a equao caracterstica pode ser representada na forma:

3 21 2 3I I I 0 (94)

onde e1 2 3I ,I I so invariantes do tensor A. Um tensor simtrico S possui trs autovalores e1 2 3, e trs vetores prprios e1 2 3e ,e e , ou autoversores, que compem uma base ortonormal. Aplicando a (59) os autoversores constituem uma base segundo a qual o tensor S pode ser escrito tendo os autovalores como componentes: 1 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (95)



A forma anterior denominada representao espectral do tensor simtrico. Explorando essa representao, os invariantes dados pelas (62) assumem as seguintes expresses: 1 1 2 3I tr S

22 1 2 1 3 2 312 ii ij jiI S S S 3 1 2 3 1 2 3ijk i j kI S S S (96 a,b,c)

Um tensor dito positivo-definido se: a Sa 0 a 0 (97) Um tensor simtrico positivo-definido possui autovalores positivos. Nessa condio, pela (69 c) det S > 0 e, portanto, S inversvel. A representao espectral do tensor inverso dada por: 1 1 1 11 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (98) Um tensor antissimtrico possui pelo menos um autovalor no-nulo. 9.6 Relao entre um tensor antissimtrico e o produto vetorial possvel associar a um vetor a do produto vetorial um tensor antissimtrico A tal que: com e Av a v a V A LinV (99 a) Adotando-se uma base ortonormal ke , em forma indicial a relao anterior passa a ser dada por:

ik k ijk j kA v a v (99 b) Segue ainda que:



2 2ik ijk j

ikm ik ikm ijk j ikm ikj j jm j m

A aA a a a a

(100) As relaes anteriores permitem determinar as componentes do tensor A e do vetor a umas em funo das outras. Tais relaes escritas em notao matricial so dadas, respectivamente, por:

32 23

3 2

3 1 13 31

2 1

21 12

12010 ;2

0 12

A Aa a

A a a a A Aa a

A A

(101)

Em particular, se o vetor a se apia no eixo 3x ( 3a a ) resulta:

0 0

0 00 0 0

aA a

(102)

Nota-se uma correspondncia vlida em trs dimenses: o nmero de componentes independentes de a e de A coincidem. Em geral, diz-se que a o vetor associado ao tensor A e A o tensor do vetor a. Um exemplo da utilizao do conceito de "vetor de tensor" apresenta-se na relao seguinte:

es a sT v T v T v T v a v v V T LinV (103) onde sT a parte simtrica de T, aT a parte antissimtrica e a o vetor de

aT . 9.7 Tensor Ortogonal Sejam x e y dois vetores quaisquer de V e Q um tensor tal que:



x Q x ; y Q y ; x x ; y y (104) Observa-se que o tensor Q assim definido preserva o produto interno de vetores, ou seja: x y x y (105) De outro modo, pela (16), o ngulo entre x e y mantido entre x e y . Ainda da (100):

Tx y x y Q x Q y Q Q x y . (106) Logo, pode-se concluir que TQ Q I , ou que 1TQ Q . O tensor Q chamado de Tensor Ortogonal. Considere-se a ao de um tensor ortogonal sobre um dos versores de uma base ortonormal:

*j je Qe (107)

Assim, explorando as (56) e (57) pode-se concluir que:

* *; Ti i i iQ e e Q e e (108 a,b) Portanto, conhecidos os versores * e i ie e as componentes do tensor ortogonal podem ser calculadas mediante as seguintes relaes:

* *

* *

. . cos ,

. cos ,ij i j i j i j

Tij ji i j i j

Q e Qe e e e e

Q Q e e e e

(109 a,b)

Ainda, se detQ 1 o tensor ortogonal dito prprio e efetua, conforme se mostra em seguida, rotao em torno de pontos ou de eixos que passam por esses pontos (eixo de rotao). Se detQ 1 o tensor ortogonal dito imprprio e efetua tanto rotao quanto reflexo de eixos em relao a planos perpendiculares a estes eixos.



Para mostrar que o efeito do tensor ortogonal prprio sobre um vetor pode ser interpretado como uma rotao do vetor em torno de um eixo, inicialmente considera-se a seguinte identidade:

TTQ Q I Q I (110) Operando-se o determinante em ambos os lados da igualdade, encontra-se: det Q I 0 (111) Comparando-se a relao anterior com a (66), conclui-se que o tensor Q possui um autovalor unitrio e, portanto:

TQ p p Q p (112) Admitindo-se que p seja um versor, pode-se acrescentar a ele dois outros versores e compor uma base ortonormal. Pela propriedade (74) e com a condio de ortogonalidade entre vetores (24), conclui-se que q, r, Qq e Qr so ortogonais ao vetor p e esto contidos num mesmo plano. Nessas condies, valem as relaes:

;Q q q r Qr q r (113) Pela ortogonalidade inicial entre q e r e com a propriedade (74) do tensor Q, conclui-se ainda sobre a ortogonalidade entre Qq e Qr, e que ambos so versores, isto :

0; 1Qq Qr Qq Qr (114) Com as (77) e (79), pode-se escrever o determinante do tensor Q como: detQ p q r Qp Qq Qr 1 (115) Seguem, das (79) e (80), substituindo-se nelas as definies dadas pelas (78), as seguintes relaes entre os parmetros , , e :



2 2

2 2

11

01

(116 a,b,c,d)

As relaes anteriores garantem a existncia de um ngulo definido no plano q-r tal que: cos e sen . Por outro lado, com os pares de versores da base (p,q,r) pode-se gerar uma base tensorial e em relao ela escrever o tensor Q nos moldes descritos pela (56), isto :

pp pq pr

qq qp qr

rr rp rq

Q Q p p Q p q Q p r

Q q q Q q p Q q r

Q r r Q r p Q r q

(117)

As componentes de Q podem ser determinadas conforme indica a relao (57) e escritas em funo de , , e aplicando-se as (78) e (79). Nessas condies a (82) assume uma forma mais simplificada:

cosQ p p q q r r sen q r r q (118) Em notao matricial o tensor de rotao descrito pela (83) fica representado por:

1 0 0

Q 0 cos sen0 sen cos

(119)

Aplicando Q sobre os versores q e r, conclui-se, conforme ilustra a Figura 1, que o efeito o de uma rotao de um ngulo em torno da direo definida por p:



0 1 0 0 0 0

q 1 Q q 0 cos sen 1 cos0 0 sen cos 0 sen

(120)

0 1 0 0 0 0

r 0 Q r 0 cos sen 0 sen1 0 sen cos 1 cos

(121)

(det Q =1)

q

q

r

p

(det Q = -1)

*

p*q*

r *

p =

q

+

Figura 1 Interpretao do tensor de rotao sobre uma base Para fins de interpretao geomtrica do efeito da aplicao do tensor Q sobre um vetor x qualquer, considere-se um ponto O para origem em relao qual posicionada a base (p,q,r) e tambm para origem de vetores representados geometricamente no espao tridimensional correspondente. A aplicao de Q sobre x leva ao seguinte vetor: cos cosp q r q ry Qx x p x x sen q x sen x r (122) onde: ; ; .p q rx x p x x q x x r



Analisando a (84), e em particular as componentes do vetor y em relao base (p,q,r), nota-se, em primeiro lugar, que a componente segundo p a mesma do vetor x segundo aquele mesmo versor. As outras componentes encontram-se no plano q-r.

A

q

r

q

xQx

A'

a

yq

yr

xq

xr

xQx

p

qr

q

o

o'

Figura 2 Interpretao geral do tensor de rotao

A Figura 2 ilustra uma interpretao geomtrica para o efeito do tensor de rotao sobre um vetor x. Na representao espacial claramente pode-se concluir que a componente de x e de Qx a mesma em relao ao eixo p. Na projeo no plano q-r, destacam-se as componentes de Qx, que segundo a geometria indicada podem ser facilmente determinadas pelas relaes:



cos

cos cos sen sencos sen

q

q r

y Qx

xx x

(123 a)

sen

sen cos sen coscos sen

r

r q

y Qx

xx x

(123 b)

Nota-se que as relaes anteriores aparecem na (84), validando a interpretao geomtrica proposta. Pode-se, finalmente, com o auxlio da Figura 2, determinar as seguintes relaes para o clculo das componentes e m do deslocamento do ponto A (posicionado pelo vetor x) respectivamente nas direes de q e r:

cos 1 sen

cos 1 senq q q r

r r r q

x y x x

m y x x x

(124)

Em notao matricial a relao anterior fica expressa como segue:

cos 1 sensen cos 1

q

r

xxm

(125)

Incluindo a componente segundo p, o deslocamento do ponto A fica expresso por:

cos 1 sen 0sen cos 1 0

0 0 1

q

r

p

xm xp x

(126)

Existe uma relao entre um tensor ortogonal Q e um tensor antissimtrico A dada por:



21 12! !

A nQ e I A A An

(127) Observa-se que sendo A antissimtrico:

1TT A AQ e e Q (128) A (127 ) pode ser entendida como uma funo de argumento tensorial e valor tensorial. Alm disso, ela apresenta a propriedade de isotropia. Diz-se que uma funo tensorial ( )H F T apresenta isotropia se: ( )T T TQHQ QF T Q F QTQ (129) sendo Q um tensor ortogonal. No caso da relao (127 ), tem-se que AH e e:

2

2

1 12! !

1 12! !

T

T A T n T

T T T n T

I

QAQ

QHQ Qe Q Q I A A A Qn

QIQ QAQ QA Q QA Qn

e

(130)

Funes tensoriais isotrpicas podem ser construdas a partir de funes analticas. Assim, a (127) resulta de:

21 112! !

x ne x x xn

(131) Por outro lado, substituindo-se na matriz do tensor ortogonal (119) os seguintes desenvolvimentos em srie:

3 5 7

3! 5! 7!sen (132 a,b)

2 4 6

cos 12! 4! 6!



e aps separar a soma de matrizes e compar-la com a (127) , conclui-se que:

0 0 0

A 0 00 0

(133)

Em notao tensorial:

A q r r q (134) 9.9 Relao entre as componentes de um tensor de segunda ordem numa

mudana de base H vrias situaes em que grandezas vetoriais e tensoriais em geral precisam ser referenciadas a bases que diferem entre si por uma rotao. Nesses casos h interesse em relacionar as componentes daquelas grandezas escritas segundo as diferentes bases. Sejam, ento, ie e je as bases em questo, cujos versores se relacionam por uma rotao mediante as relaes:

j jk ke Q e (135) ou e Qe (136) Certo vetor u pode ser escrito nessas bases pelas relaes:

i i j ju u e u e u (137) Levando-se em conta a relao entre os versores das bases:

j jk k ji j iu u Q e Q u e (138)



Segue da anterior a relao entre as componentes do vetor u:

Tj ji iu Q u u Q u (139)

ou u Qu (140) No caso de um tensor de segunda ordem T, o mesmo pode ser escrito segundo duas bases tensoriais como: ij i j kl k lT t e e t e e (141) Considerando a relao de rotao entre os versores das bases segue que: kl km m ln n kl km ln m n mn m nT t Q e Q e t Q Q e e t e e (142) Entre as componentes do tensor vale, portanto, a relao:

mn km kl lnt Q t Q (143) ou, matricialmente

TT Q T Q (144) ou

TT QT Q (145) Assim, um tensor de segunda ordem numa mudana de base deve obedecer a regra anterior. Uma concluso importante resulta do clculo dos autovalores do tensor T : det det 0TT I QT Q I (146) Explorando uma propriedade do determinante segue que:



det det

det det det det 0

T T T

T T

QT Q I QT Q Q I Q

Q T I Q Q T I Q

(147) Finalmente, conclui-se que: det det 0T I T I (148) Ou seja: tambm autovalor para T.

10. Diferenciao em Espaos Vetoriais Seja g uma funo com domnio num intervalo aberto I R e cujos valores podem ser escalares, vetores ou tensores 1. Sendo um escalar, a derivada de g em t, ( g ), definida por:

0

1( ) limd g t

g t g t gdt

(149)

A definio de derivada e o conceito de parcela de ordem superior implicam em que se pode escrever o valor da funo em torno de t como: ( ) ( )g t g t g t (150) isto , um termo linear em mais um termo que tende a zero mais rapidamente, ou de ordem superior, quando 0 . Portanto, observando a consistncia dimensional em cada parcela da (150), conclui-se que a derivada de uma funo de valor vetorial um vetor e de uma funo de valor tensorial um tensor. Por outro lado, pode-se ainda interpretar que a derivada uma aplicao (linear) que, para pequeno, permite aproximar a variao g t g por um termo linear no acrscimo. Esse conceito pode ser generalizado para as aplicaes em espaos vetoriais. 1 g(x) denota o valor de g em x.



Sejam agora V e U espaos vetoriais normados e f uma aplicao definida numa regio em V e com valores em U. Diz-se que a medida de f(v) aproxima-se de zero mais rapidamente que a medida de v, ou de ordem superior nessa medida ( ( ) ( ) / 0f v v p v ) se:

00

( )lim 0vv

f vv

. (151) Considerando-se, ento, uma aplicao f sobre V que leva a valores em U e seja W um subconjunto aberto em V. Ento, :f W U diferencivel em x W na direo do vetor u se existir uma transformao linear

( ) :Df x V U tal que: ( ) / 0f x u f x Df x u u p u (152) Em particular ( )D f x u a parcela linear no acrscimo e define o conceito de derivada direcional. No sentido de estender o papel da derivada expresso na (149) para este caso, considere-se uma vizinhana de x na direo de u definida, com o auxlio de um escalar , na forma: x u . Ento, para x e u fixos, tem-se que:

*( ) ( )f x u f (153) Pode-se, agora, desenvolver a (153) em srie em torno de :

* * *0

0 ( )df f fd

(154) Substituindo-se na (153) e truncando o desenvolvimento em srie no termo linear em , a relao anterior passa a ser escrita como:

0

( )df x u f x f x ud

(155) Para o confronto com a (152) interessante reescrev-la na seguinte forma:



f x u f x Df x u (156) Segue da comparao entre a (156) e a (155) que:

0

d f x uDf x u

d

(157) Diz-se que a relao anterior define a derivada direcional de f e exprime a parte linear do acrscimo de f conforme indica a (152). Em cada caso, pode-se determinar a parte linear do acrscimo ou por aplicao da definio dada pela (152) ou por aplicao direta da (157). Por exemplo, seja :V R dada por: ( ) .v v v . Ento, pelo conceito de diferenciabilidade: ( ) / 0v u v D v u u p u Impondo-se, ento, um acrscimo no argumento e pela definio da aplicao dada, tem-se que:

( ) ( ).( ) . 2 . .v u v u v u v v v u u u

( ) ( ) 2 . .v u v v u u u Finalmente, deve-se mostrar que u.u de ordem superior quando 0u , ou seja, verifica a condio:

00

.lim 0uu

u uu

.

Pela desigualdade do tringulo: .

.u u

u u u u uu

. Logo o limite indicado na condio igual zero. Assim sendo,

( ) 2 .D v u v u Uma observao importante que no caso analisado ( )D v u uma forma linear, pois uma funo de valor escalar ( :V R ). Pode-se, portanto,



aplicar o teorema da representao das formas lineares e representar o diferencial na forma do produto interno do vetor u por outro vetor:

( ) . ( 2 . )D v u u v u (158) Onde (.) o operador gradiente que associa a cada um vetor . Claramente neste caso: 2v . Ao mesmo resultado anterior pode-se chegar aplicando-se a definio (157). Segue, ento, que:

2( ) . 2 . .v u v v v u u u

0

( ) 2 . 2 .

( ) 2 .

d v u v u u udd v u v u

d

A derivada direcional satisfaz as propriedades usuais de derivadas, quais sejam as regras do produto e da cadeia.

11. Regras do produto e da cadeia Frequentemente necessrio computar a derivada da operao 'produto' de duas funes cujos argumentos e valores pertencem a espaos vetoriais normados. O 'produto' pode ser representado mediante operaes bilineares diferentes, de acordo com os tipos de espaos envolvidos, como por exemplo:

( , )( , ) .( , )( , )( , )

prod v vprod u v u vprod u v u vprod S v Svprod S S

(159)

Em termos gerais a operao produto pode ser simbolizada por:



:prod F G W (160) onde F, G e W so espaos normados de dimenso finita e prod bilinear. Assim, sendo :f D F e :g D G , ento ( , ) :h prod f g D W definida por: ( ) ( ), ( )h x prod f x g x x D (161) com D um subconjunto aberto de um espao vetorial de dimenso finita U. Regra do produto: sejam f e g diferenciveis em x D . Ento o produto

( , )h prod f g diferencivel em x e ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ),D h x u prod f x Dg x u prod Df x u g x u D (162) Para a demonstrao usam-se as condies de diferenciabilidade de f e g:

( )

( )

f x u f x Df x u u

g x u g x Dg x u u

E, portanto, da bilinearidade da operao produto: ( ) ( ) ( ) ( )h x u f x u g x u f x g x f x Dg x u Df x u g x u sendo que os termos de ordem superior existem uma vez que:

1( )Df x u k u e 2( )Dg x u k u . Para o caso em que U = R, da regra do produto decorrem:

( )

( . ) . .

( . ) . .

v v v

v w v w v w

T S T S T S

(163)



( )

( )

( )

TS TS TS

Sv S v S v

S S S

(163)

Regra da cadeia: seja g diferencivel em x D e f diferencivel em

( )y g x . Ento a composio h f g diferencivel em x e

( ) ( ) ( )D h x D f y dg x ou, ( ) ( ) ( )Dh x u D f g x Dg x u u D (164) Supondo U R ento, escrevendo t em lugar de x:

( ) ( ) ( )d f g t Df g t g tdt

(165)

12. Gradiente e divergente Considerem-se funes gerais definidas num subconjunto aberto de V (um espao vetorial associado ao espao de pontos) e que podem ser campos escalares, vetoriais ou tensoriais. O conceito de derivada direcional estendido a essa situao geral enseja a introduo dos operadores gradiente e divergente. Num primeiro caso, considere-se f como um campo escalar. Ento: ( ) / 0x u x D x u u p u e ( )D x uma aplicao linear de V em R . De fato, pelo teorema da representao das formas lineares ( )D x u pode ser escrito como o produto interno vetor u pelo vetor gradiente, ( )x V :

( ) .D x u u (166)



Noutro caso, se f v um campo vetorial, escreve-se: ( )v x u v x Dv x u u e ( )Dv x uma transformao linear de V em V, ou seja, um tensor. Neste caso, representa-se essa transformao por ( )v x , lendo-se gradiente de v em x, de modo que:

( ) ( )tensor

Dv x u v x u (167) Por definio, dado um campo vetorial regular V associado ao espao pontual euclidiano, o campo escalar:

( )divv tr v (168) chamado divergente de v. O divergente de um campo tensorial S o nico campo vetorial com a propriedade: . ( )divS a div S a a V (169) Nota-se que o resultado da operao anterior um escalar. Assim, como S a um campo vetorial, a operao ( )div Sa uma forma linear em V2, a qual pode ser representada pelo produto interno de a pelo vetor divS de V. Pelas definies anteriores, observa-se que o gradiente aumenta a ordem do espao e o divergente diminui. Seja V um campo vetorial, uma relao para ( )v , com R , pode ser deduzida a partir da aplicao da regra do produto: ( )v x h v x D v h h

( ) ( )vetor vetor escalar

D v h Dv h v D h

2 Dado a V a operao div(S a) associa um escalar.



( ) .v h vh v h

vh v h

v v h

v v v (170) Aplicando-se a definio (168) do divergente de um campo vetorial, resulta:

.

div v tr v v

tr v v

( ) .div v div v v (171) Outras relaes de interesse envolvem .u v e S v . Para .u v :

.

. ) . . ( )u v

v x h u x h u x v x D u v h h

( . ) .( ) .

( . ). . .

. .

escalar vetor vetor

T T

D u v h u Dvh v Du h

u v h u vh v u h

v u h u v h

. T Tu v v u u v (172) Para S v : ( )S x h v x h Sv D Sv h h

( ) ( )

( )

( )

vetor vetor tensor

D Sv h S Dvh DS v h

Sv h S vh divS v h

Sv S v divS v

(173)



Explorando mais uma vez a relao entre o trao de um campo vetorial e o divergente, da relao anterior obtm-se: [ ( )] ( ) ( )tr Sv div Sv tr div S v tr S v ( ) . . .Tdiv S v div S v tr S v div S v S v (174) Tambm se pode mostrar que: ( )S x h S D S h h

( ) ( )

( )tensor tensor vetor

T

T

D S h D S h D S h

div S h divS h Sh

divS h S h

divS S h

( ) Tdiv S divS S (175)

Por outro lado, o divergente de um tensor de segunda ordem pode ser obtido pela contrao primeira do gradiente desse tensor, sendo essa operao representada por: divT T I (176) Nota-se que na relao anterior T um tensor de terceira ordem. Uma definio importante para o que segue a do transposto de um tensor de terceira ordem. O transposto de um tensor de terceira ordem representado por T o tensor que obedece a seguinte propriedade:

. . ,TA B A B A B (177) onde A e B so tensores de segunda ordem.



Os resultados anteriores podem ser empregados na demonstrao da seguinte proposio:

T S h div S h (178) De fato, operando-se em ambos os lados da igualdade o produto interno pelo tensor identidade de segunda ordem, resulta:

. .

.

. .

T S h I div S h I

h S I tr I divS h

h divS divS h

(179)

13. Clculo das componentes do gradiente e do divergente de campos

escalares, vetoriais e tensoriais Seja uma base fixa (ou invarivel) em V e um campo regular de natureza escalar, vetorial ou tensorial. Ento, definindo-se o acrscimo por um vetor h alinhado com o versor ke da base, pode-se escrever que:

( ) / 0k kh

x e x D x e p (180)

Portanto,

0

1limk kD x e x e x (181) O escalar pode ser interpretado como a componente do vetor acrscimo segundo a direo definida pelo versor ke , ou seja: .k kh h e . Alm disso, se a base est atrelada a um sistema cartesiano adotado, segundo os versores da base definem-se as coordenadas cartesianas kx . Nessas condies o limite indicado na (181) exprime uma derivada parcial (direcional) de em relao a kx :

kk

xD x e

x (182)



O conceito geral expresso pela (182) pode ser usado para o clculo das componentes do gradiente e do divergente de campos escalares, vetoriais ou tensoriais. Num primeiro caso, considere-se que seja um campo escalar regular. Ento, kD x e fica representado por um produto interno entre o gradiente do campo escalar ( ) e o versor da base. Assim sendo, a derivada direcional fornece as componentes desse gradiente:

. ( )k k kkescalar

D x e ex (183)

Conhecidas suas componentes num espao de dimenso n, o vetor pode ser representado pela seguinte combinao linear dos versores da base:

1 21 2

k nk n

e e e ex x x x (184)

Sendo, agora, v um campo vetorial regular. Segue a seguinte relao entre a derivada direcional e o gradiente do campo vetorial:

k kkvetor

vD x e vex

(185) Como v um tensor, empregando a relao (61) suas componentes obtm-se do seguinte desenvolvimento:

( )( ) . . .

( . )ki

k kik i k i i

k k

k ik i

k k

v v ev e ve e ex x

v ve ex x

(186)

Uma vez conhecidas suas componentes o tensor v pode ser representado pela seguinte combinao linear dos tensores da base:



( ) , 1, ,ik i kv v e e i k n (187) Com a (168) pode-se exprimir a relao para o clculo do divergente do campo vetorial:

( )

( ) .

ik i k

i iik i k ik

ik i

divv tr v tr v e e

v vv e ex x

(188)

Noutra situao, considere-se S como um campo tensorial regular. Explorando o desenvolvimento feito na (175), em particular com k kD S x e divS e , segue uma relao envolvendo a derivada direcional e o divergente do campo tensorial:

k kktensor

SD S x e divS ex (189)

Realizando-se a operao trao sobre a relao anterior, obtm-se a expresso para o clculo da componente do divergente do campo tensorial:

( ). k kk k

S tr SdivS e divS trx x

(190)

Escrevendo-se o tensor S como combinao linear dos tensores da base, resulta:

( ) ( )ik i k ik ik ikk k k i

tr S tr S e e S Sx x x x

(191) Uma aplicao da relao anterior aparece no estudo das tenses, particularmente na relao de equilbrio do elemento de volume. Sendo b o vetor que rene as componentes das foras por unidade de volume e T o tensor que rene as componentes de tenso normal e de cisalhamento do estado de tenso, aquela relao pode ser representada como:

0divT b (192)



De fato, a mesma expresso escrita em componentes fica dada por: 0 ( 1,2,3)kk kdivT b e k (193)

Ou ainda, tendo-se em vista a (191):

0 ( , 1,2,3)ik kki

T b e i kx

(194) Considerando-se a independncia linear dos versores da base, segue que a relao anterior representa o seguinte conjunto de equaes:

11 21 31 11 2 3

T T T b 0x x x

12 22 32 21 2 3

T T T b 0x x x

(195)

13 23 33 31 2 3

T T T b 0x x x

Normalmente, costuma-se associar os nmeros 1, 2 e 3 com as direes dos eixos de referncia x, y e z. Alm disso, as componentes do tensor T que possuem ndices iguais so as componentes de tenso normal e aquelas de ndices diferentes as componentes de cisalhamento. Nessa notao a (195) (cuja deduo pode ser obtida a partir da figura abaixo) passa a ser dada por:

11 21 31 11 2 3

b 0x x x

12 22 32 21 2 3

b 0x x x

(196)

13 23 33 31 2 3

b 0x x x



14. Teorema da divergncia O teorema da divergncia aplica-se na transformao de integrais de campos definidos sobre volumes (V) para integrais sobre as superfcies de contorno ( S ) desses volumes. A origem do teorema est na integrao por partes, como se procura ilustrar em seguida. Considere-se uma funo diferencivel de duas variveis e resultante do produto de duas funes diferenciveis. Ento, pela regra do produto:

( , ), ( , ) f gf x y g x y g fx x x (197)

Portanto:

2 2 2

1 1 1

22

11

( , ), ( , )x x x

x x x

xx

xx

g ff dx g dx f x y g x y dxx x x

f g dx f gx

(198)

Seja, agora, um domnio no plano x-y. A normal ao contorno tem por cossenos diretores: 1 xn n l e 2 yn n m .



ymx

ymin

x (y)1 x (y)2

S1

S2

W

a

n

dy

dx

a

n

dxdy

X

Y

a

a

n

Figura 3 Interpretao para integrao por partes

Segue que:

2

min 1

22

1min 1

( )

( )

( )( )

( )( )

mx

mx

y x y

y x y

y x yx y

x yy x y

g gf d f dx dyx x

f g dx f g dyx

2 1min min

2 1min min

( ) ( )

2 1( ) ( )

mx mx

mx mx

y y

x y x yy y

y y

x y x yy y

f g d fg dy fg dyxf g d fg l dS fg l dSx

Nota-se que o sinal negativo no integrando da ltima parcela da relao anterior decorre do fato que em S1, indicado na Figura 3, a componente xn da normal aponta no sentido contrrio ao do eixo x de referncia. Do desenvolvimento anterior, conclui-se que:

ouS

g ff d g d f g l dSx x

S

f gd f g l dS

x (199)



Analogamente ao ltimo resultado:

S

f gd f g mdS

y (200)

Em conjunto, as relaes (199) e (200) so representaes do teorema da divergncia. De acordo com a interpretao dada ao produto (f g) o teorema assume diferentes representaes. Sendo, em particular, f g um campo escalar, as relaes do teorema da divergncia podem ser reunidas na seguinte forma:

, / 1,2i iS i

n dS d d c ix

(201) Passando para uma notao intrnseca, cada uma das relaes anteriores pode ser interpretada como integrais de componentes de campos vetoriais e n :

S

d ndS (202)

Por outro lado, somando-se as relaes (199) e (200):

S

f g f gd f g l f g m dS

x y (203)

e interpretando-se (f g) como componentes de um campo vetorial v, isto ,

1 2v fg e fg e , o teorema da divergncia se expressa por integrais envolvendo campos escalares ( divv ) e ( .v n ):

.S

divvd v n dS

(204)



A relao anterior pode ser generalizada considerando-se dois vetores arbitrrios a e b 3 e substituindo-se v por: .v v a Tb . Por um lado, segue que:

. . . .

.v

T

v a Tb n Tb v a n a v Tb n

a v T n b

(205)

Por outro lado, levando-se em conta as (171), (172) e (174):

. . . .

. . .

. . .

. .

T

div v a Tb v a div Tb Tb v a

v a divT b Tb va

divT b v a vTb a

v divT b a vT b a

(206)

Voltando integral (204 ) e tendo-se em vista a arbitrariedade dos vetores a e b, resulta; T

S

v divT vT d v T n dS

(207) H outros dois casos particulares de interesse da relao anterior. Em primeiro lugar, sendo T = I (tensor identidade), obtm-se:

S

vd v n dS (208)

Num segundo caso, considerando-se v um vetor fixo, da (207) resulta:

TS

v divT d v T n dS

(209) de onde se conclui que:

3 a e b so vetores arbitrrios e no campos vetoriais, por isso seus gradientes so nulos!



TS

divT d T n dS

(210) Ainda se pode escrever outra forma de interesse, explorando-se o produto vetorial entre os versores de uma base e o conceito de rotacional. Ento: ou .j k ljk l j k i ijke e e e e e (211) O rotacional associado a um campo vetorial a o campo vetorial definido por:

,

3 2 1 3 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

ijk k j irot a a e

a a a a a ae e ex x x x x x

(212)

Considerando-se a relao (201) e particularizando para o caso em que

ijk ka , segue que: ijk i k jn a n a e , ,j ijk k ja , coincidindo, respectivamente, com as i-zimas componentes do vetor n a e do rotacional de a. Assim sendo, em modo intrnseco resulta:

S

rot a d n a dS

(213) Todas as relaes entre as integrais de volume e de superfcie apresentadas constituem formas do teorema da divergncia. Portanto, a depender dos campos envolvidos o teorema da divergncia apresenta-se segundo diferentes formas. Em resumo, as formas de maior interesse so dadas segundo uma notao intrnseca por:

S

d ndS (214)

com um campo escalar.

S

vd v ndS (215)



.S

divvd v ndS

(216)

S

rot vd n v dS

(217) sendo v um campo vetorial.

T

S

divT d T ndS

(218) onde T um campo tensorial. Uma aplicao para o teorema da divergncia aparece na ponderao da equao de equilbrio (192) para fins de gerao de uma forma fraca. Para ilustrar tal aplicao, seja v um campo vetorial homogneo nas condies de contorno essenciais de um slido, com significado de deslocamentos virtuais e com grau de continuidade suficiente para que as integrais definidas que seguem apresentem valores finitos. A integrao da equao de equilbrio (192) ponderada por esse campo escreve-se: 0divT v d b vd

(219)

Substituindo-se a relao (174) sobre a primeira integral e observando-se a simetria do tensor de tenso T, obtm-se: 0divTv d T v d b vd

(220)

O teorema da divergncia aplicado na primeira integral fornece: 0

S

Tv n dS T vd b vd

(221) O contorno S dividido em partes complementares tS e uS aonde se prescrevem foras e deslocamentos, respectivamente. Considerando-se, ainda, a definio do transposto de um tensor na integral de contorno, a relao ( t T n ) que define o equilbrio na parte esttica do contorno ( tS ) e



lembrando que o campo v homogneo na parte cinemtica do contorno ( uS ), resulta:

tS

T v d t n dS b v d

(222) Dada a simetria do tensor T, ento o produto interno indicado no primeiro integrando fica dado por: sT v T v . Ao tensor sv pode-se dar a interpretao de campo tensorial de deformao virtual e, nessas condies a (222) pode ser interpretada como a expresso do P.T.V.

algebra e analise tensorial

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