TESES

Carlos Mareio do Amaral

25 d@ oufybro d©

CENTRO BHASILESRO D I PESQUISAS FÍSICAS

ENGESLAU i

DE ÜANE

Tese 07-71

QUATERNIONS E ESPAÇO-TEMPO RIEMANNIANO E NfiO RIEHANNIANO

TESE DE DOUTORADO

defendida por

CARLOS MÁRCIO VO AMARAL

no Co.ntAo RtoÂ-dLoAAo da

em 25 de Outubro de 1971

perante a banca integrada pelos senhores professores

Luiz Adauto da Justa MedeirosTltalaA do C.B.P.F.

Prem Prakash SrivastavaTitula*, do C.B.P.F.

Guilherme Maurício Souza Marcos de La PenhaAdjunto do I.M.U.F.R.J.

Antonio Luciano Leite VideiraTitulou da P.ü.C.-RJ

Jorge André Swieca?Jw{fiAòoti Titulou da P.U.C.-RJ

t R it A i .1

Pag,

7

16

26

28

29

30

40

45

45

46

52

52

53

55

56

Linha

(13.11)

4

14

13

35,V)

1

10

6

9

23

6

17

18

1

4

Errado

A*=(A*, A*, A*, A;)

induz um quaternion ummoduidrQ que satisfaz

gerado por E^ à esquerda

gerado por E + I esquerdd

(J)' = Q \p

BA (u)BA

-2Ã(x) = ô, . A(x) c'a''

A(x) = - — a A(x) j"fx)

Ay(x)

A A f

• T 'B

função escalar

...-^ru-r;7

A, x (x) = A (JÍ) i h (xj, .=(a) v u | v (>>)

= A(a)(x)|v

J

res - Q ^us t-a.

ge r idj v oi '"direita

\

c; - Q -_

x- = \(-; "BA i.

l < J

i

\<*1 ' - y

i ' 5

• 1

. . . J J

1

J.1..-

Pag.

6u

6 7

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81

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48

25

60

60

99

99

99

Errado

15

17

12

VIII

8

(7.XI)

12

(14" M)

Je :oordenadas X",

f-R(x) cT(x) - . .us

Com auxílio das bases local

ÍC^(x)}, e náo [o , } da

induzida pelas (1 I.VIII)

F(x)"E

defere

F(x)

quaternion de

E =

Cerro

(14!rXI)

(1A.XI)

(14'JtI)

quando ha uma transformação

ou quando simplesmente haja

T (x) = $ (x)(j) ^ )

= b(J>y

a R(x)a " 2b = K

1

r •"

^ ;rord<=nada=. X' e de uma

Com guKiLi? da base local

ic (x)} da , .

induzida pelas (1.I.VIII e pelas Q(x)

difere

vetor

que~ haja uma transformação

ou quer simplesmente haja

- bd>,.(x>:

b = Cre g

Cx)

Cte g.

i

Pig.

29

29

Linha

19

20

(36.V)

(38,V)

Errado

-ia

2*

,0

(0)

Í0)

0

2*.

0

~\(2)J

(D

(1)'

(U)

(0 )

* (O'

;

/'lit*

Í N D I C E

AGRADECIMENTOS !

RESUMO ., m

PREFÁCIO V

l .PITULOS

I - INTRODUÇÃO 1

II - ÁLGEBRA DE QUATERNIONS 3

III - REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE QUATERNIONS. 9

IV - QUATERNIONS DE LORENTZ 11

V - QUATERNIONS-ESPINORES 18

VI - CONEXÃO ENTRE QUATERNIONS DE LORENTZ Eq-ESPINORES DE 2 a ORDEM HERMITIANOS 38

VII - QUATERNIONS EM ESPAÇO DE RIEMANN 40

(I. VII) Te t radas e Quaternions 4 0(II. VII) Derivada Covariante das q-Tet radas 4 9(III.VII) As q-afinidades Tv(x) 5fí(IV. VII) A q-curva tura [R r s ÍS1(V. VII) As equações quaterniônicas da gravitação

Einsteiniana (5 ti

VIII - P R O D U T O DIRETO D E ALGEBRAS QUATERNIÔNICASE GEOMETRIA E S P A Ç O - T E M P O NÃO RIEMANNIANA 70

(I. VIII) Transformações admissíveis decoordenadas 71

(II. VIII) Álgebra local de Clifford-Pauli 71(III. VIII) A afinidade assimétrica 73(IV. VIII) Derivada covariante em um espaço dotado

com uma base (Tv (x) 74(V. VIII) Produto direto de algebras locais de

Clifford-Pauli 7'i(VI. VIII) Derivada covariante de tensores

quaternions 78(VIL VIII) A torção 79(VIII.VII0 Lei de transformação de quaternions

tensores 'l>u

(IX. VIII) Produto direto de quaternions espinores . . . 82(X. VIII) A afinidade Ly (x) em função dos cam

pos t e t radas h ° (x)^ «5

IX - {I. IX) A quadri-velocidade e a quadr í -aceleraçáoem espaço-tempo quaterniônico 89

(II. IX) A equação da geodésica em espaço-tempoquaterniônico 91

X - A q-AFINIDADE r (x) EM FUNÇÃO DA TORÇÃO .. . 92P

XI - VARIEDADE ESPAÇO-TEMPO QUATERNIÔNICA,DOTADA DE AFINIDADE INTEGRÁVEL E TORÇÃOUNIFORME 95

XII - GENERALIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE WEYL PARA OCASO DE UMA VARIEDADE ESPAÇO-TEMPOQUATERNIÕNICA 100

APÊNDICES

I 105

II 108

III HO

IV 113

BIBLIOGRAFIA 115

A G R A D E C I M E N T O S

Ao Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas por ter me torne

cido o ambiente científico em que me formei.

Ao Professor C. G. Oliveira por me ter iniciado na teoria

espinorial da gravitação.

Aos Professores Costantino Menezes ^s Barros e Adel da

Silveira, pelas sugestões feitas durante a leitura do manuscrito.

À minha esposa pela valiosa colaboração na feitura desta

tese.

Ao Conselho Nacional de Pesquisas pelo financiamento par-

cial deste trabalho.

Ill

R E S U M O

Neste trabalho estudamos a álgebra e a análise de variedades qua

terniônicas espaço-tempo, quadridimensionais riemannianas e não riemanma-

nas. Obtem-se as equações quaternionicas da gravitaçao einsteiniana. Por

meio do produto direto de algebras de Clifford-Pauli gera-se variedades não

riemannianas. Aborda-se o caso particular de espaço com atinidade integra -

vel e com torção uniforme. Obtem-se, também, a equação de Weyl em espa-

ço-tempo quaternionico com torção uniforme.

V

P R E F Á C I O

Esta tese é um estudo de variedades quaterniônicas espaço-tem

po, riemannianas e não riemannianas. Em essência, ela pode ser decompos-

ta em duas partes. Na primeira parte, aplicamos a álgebra e a análise de qua

ternions à variedades riemannianas, enquanto que na segunda parte fazemos

o estudo de variedades quaterniônicas não riemannianas. A primeira parte

contém a essência de quatro trabalhos já publicados, (14), (15), (16), (17),

que se originaram, fundamentalmente, das idéias de P. G. Bergmann contidas

no trabalho "Two Component Spinors in General Relativity", (4). Do final des

ta primeira parte, extraimos um novo trabalho., "As equações Quaternionicas

da Gravitaçao Einsteiniana com Condições Subsidiárias".

A segunda parte se estrutura sobre três trabalhos a serem pu-

blicados :

a) Variedade espaço-tempo não riemanniana gerada pelo produ-to direto-de algebras locais de Clifford-Pauli.

b) Espaço-tempo quaternionico com afinidade integrávcl e tor-ção uniforme.

c) A equação de Weyl em espaço-tempo quaternionico com tor-ção.

Esta tese se apresenta como a exposição de uma técnica de cal-

culo e contem, implicitamente, aplicações a trabalhos onde foi utilizada. E

um mé.odo útil para o estudo das teorias físicas no espaço tempo curvo, esp_e

cialmente para o caso de campos fermiônicos em presença do campo gravita-

cional e para as teorias da gravitaçao em espaço sem curvatura.

I. INTRODUÇÃO

Os espinores têm papel fundamental na fíüiea moderna, particu

larmente devido ao fato de que o grupo de Lorentz admite, além de representa

ções tensoriais, representações espinoriais.

Os espinores foram descobertos por E. Cartan em 1913, mas

foi somente em 1929 que Van der Waerden criou uma notação útil para a álge-

bra espinorial, análoga à álgebra tensorial da relatividade especial. Em 1933

Infeld e Van der Waerden desenvolveram a análise espinorial de modo cova-

riante, paralelo à análise tensorial no espaço Riemann. A linha de Infeld-Van0 3)

der Waerden foi seguida em um trabalho publicado em 1953 por Bade e Jehle(13)

e pos ter iormente ampliado por P a r k e e Jehle em 1965, que formularam

espinorialmente equações de onda, covr^iante^ pelo grupo homogêneo de Lo-( 4 \

ren tz . Em 1957 P . Bergman publicou um importante trabalho sobre espmo

r e s a duas componentes em relat ividade geral . Nesse trabalho desenvolveu

uma teoria espinorial , nos moldes da linha Infeld-Van der Waerden de 1933 .

onde introduziu ma t r i ze s hermi t ianas , que são generalizações das matr izes de

Paul i . Tais m a t r i z e s contêm a es t ru tu ra geométr ica do espaço riemanniano

da relatividade gera l . Essas m a t r i z e s determinam unívocamente o tensor me

tr icô , mas dado o tensor mé t r i co , as mat r izes ficam determinadas a menos

de uma t ransformação local independente c i t ransformação de coordenadas. A

formulação ma t r i c i a l de Bergmann permi J e a descr ição do campo gravitacio-

nal d í modo bastante conveniente. Foi, entretanto, somente a par t i r de 1C60,

que a moderna t eo r i a da gravi tação reconheceu e explorou com profundidade

as vantagens do cálculo espinorial a duas componentes. Por outro lado epossj

vel formular a t eo r i a especial da relatividade por meio de quaternions e assim

o fêz F . Klein em 1911. Desde e s s a época até recentemente não surgi ram es

forços importantes no sentido de se aprofundar a aplicação dos quaternions à

relatividade, se bem que os houvesse no sentido de aplicá-los às teorias quân(12) ~

ticas. Em 1964, surgiu um trabalho de P. Rastall , onde o autor formulou

a álgebra e a análise dos quaternions de modo conveniente e as aplicou a rela-

tividade restr i ta e aos espaço-tempo riemanniano, mas Rastall explora de me-

do pouco extenso a correlação entre quaternions e espinores, restringindo-se

aos espinores de primeira ordem.

Um dos objetivos do presente trabalho é pretender estabelecer

de modo claro, completo, em grande parte original, desde as noções básicas,

a teoria dos quaternions em variedades espaço-tempo riemannianas e não r ie

mannianas. Para isto, passaremos, em seguida, a descrever a álgebra de

quaternions.

II. ALGEBRA DE QUATERNIONS

Como T. Kahan , definiremos a álgebra de quaternionsconb uma algebra, sobre um corpo comutativo, com uma base de quatro elemsseguinte:

g p , de qtro elemsntos, e Q, u,v,w que respeita a tabela de multiplicação

e oU

V

w

e oe ou

V

w

u

u

eo°-w

-ov

V

V

w

VBu

w

w

V

-u

onde a e 8 são elementos do corpo e a, 6 0. A base e , u,v,w ichamada base canonica. Escolhendo-se novas bases obteremos ãlgebras isomorfas. Para o nosso trabalho adotaremos o corpo dos complexos e escolheremos como base conveniente para os nossos objeti^vos os quaternions <^to\ i ®{\\'se canonica do seguintes modo:

. *i(3) correlacionados à ba-

(1) °C2)- -iw

Imperemos a e B iguais â unidade multiplicativa do

corpo.

Então:

(o)

(3)'

,' <«W =eo

A base CT, «, (a = 0,1,2,3), é constituída de elementos '

cujo quadrado vale e = (T, »• Os quaternions introduzidos são tam- J

bêm chamados biquaternions de Hamilton, üm quaternion A ê então '<

uma quádrupla ordenada de complexos A = (Al° ,A* ,Al ,Al ) , e ; ;

chamaremos de A â componente ado quaternion

* " I A(«»<r(a) = (A<O',A(1>,A<2>,A(3>) U.II) ;o=0

; (

A igualdade de dois quaternions é definida pela igual- \

dade das componentes de mesmo índice. -

A = B ^ a<«>.B(°>1

0 quaternion zero ê aquele em que A = 0, para todo a. j

Se X ê um complexo qualquer, então: !

XA = (XA(O)/XA

(1>, XA(2>, XA Í 3 )). (2.II) j

A soma de dois quaternions A, B i definida pela soma ;

das componentes, isto é: l

a+R -- ÍA^°^+ R Í O ) a^1^ 4. TI^1) a <2>J. n^2) iv

« ~ o — \A T * D , A + B # " +13 ,«

e

A - B = A + (-l)B1

Com a operação de soma, e multiplicação por um escalar, j

os quaternions, constituem um espaço vetorial de dimensão quatro \

sobre o corpo dos complexos. \

Os quaternions também respeitam as propriedades associ 1

ativa e distributiva:

4

A(BC) = JAB)C

(A + B)C = AC + BC ; C(A + B)'= CA + CB

A tabela de multiplicação de quaternions nos mostra

que a álgebra de quaternions não é comutativa.

Os quaternions de base <j~#a\ satisfazem, além da norma-

lização a 1, às propriedades:

k 4 l , k, I

onde k, -£, m são uma permutação cíclica de 1,2,3.

Se um quaternion ê A = (A^oí , A , A , A ), o qua

ternion adjunto associado, Ã, ê aquele definido como:

(7.II)

Em particular rr = 0 "(o) (o)

, se k

! Deste modo

: 3

I 5 - l A í a ) <f- . (8.H)

È claro que à = A .,

Se A e B são dois quaternions, então AB = B A .

1 Se \ I um complexo e A um quaternion, então vale XA = XA .

O cálculo direto nos mostra a útil fórmula:

a-0

Como conseqüência se A = ^ ( Q ) » vira

• 2 *

Quando não houver dúvidas, omitiremos a unidade <3~#o\.

A norma de um quaternion A ê definida como:

Norm (A) = Ã A = A Ã . (10.11)

Na base f(j~ . » "1 # a norma de A será:

2 - ( a < 3 >» 2 •

Também valem: •

ÃB = B Ã , e -i

__ i(AB) (AB) = (AA) (BB) ,

isto é, a norma de um produto de dois quaternions I o produto das

normas dos fatores. ;

Se um quaternion tem norma nula ele se diz singular.

Se AA = OV, o quaternion se denomina unimodular.

Se um quaternion A ê não singular, define-se o quater-

nion inverso de A como A tal que:

A-1 = — | (11.11)

AA

Se o quaternion ê unimodular, A = Ã" .

Da fórmula (11.XI) vem: A^A = AA"1 » cK x J

(o) ,iUma outra conseqüência da formula (11.11) ê que: 'i

(AB) =*B" A" , desde que A e B tenham inversos. 1Vaioos definir um importante conceito que ê o de quater '.

<4J

nion hermitiano associado a um quaternion A:

A t - <A*<O), A**1*, A*(2>, A * ( 3 ) ) , (12.11)

onde A ' ê o complexo conjugado da componente A^ de A. Com

esta definição vê-se que (AB)t = Bt A^" .

Um quaternion será hermitiano se coincidir com seu her

mitiano associado, isto i se A = A' e dal decorre que todas compo-

nentes de um quaternion hermitiano são reais. Definiremos quater-

nion complexo conjugado do quaternion A, ao quaternion:

* * * * *A = (AQ , Ax f -A2 , A 3 (13.11)

Das definições (7.II), (12.11) e (13.11) resulta que

A' = A' ; A = A

= A ; (A ) = A ;* * *

(AB) = A B

Se X e um numero complexo, va lem também: (14.11)

(XA)t - X At ; (XA)

(XA)" 1 = X" 1 . A " 1 ,

X A

i

Esta última propriedade vale somente seX^Oe

Vamos introduzir uma métrica no espaço vetorial da ál-

gebra dos quaternions por meio da definição do produto escalar de

dois quaternions.

Define-se produto escalar de dois quaternions por:

cr(o)*

(15.11)A| B *= | ( AB + BA) = | (AB + BA) =

A ( O ) B ( O ) - 'I Ak = l

O .produto escalar de dois quaternions i proporcional a

9 «6») (16.11)

De modo explícito:

(k 0) e 9 ( a 3 )= ° se a ' B

8 !

Em particular, (T{oj T{Q) = <T(o) ; .- (T(k) | <T(k)« <3~(o) , j

se k |i 0 ; e <T(o) I <T(B) - 0 se a * fi . •

Essas propriedades nos sugerem introduzir o "tensor me }

tricô" no espaço dos quaternions como senão: ]

Com auxílio dos g. . podemos definir os g 'por meio

do sistema de equações:

L *(B3) (3)

o

onde * #j\ ê zero se (a) (3) e ser! a unidade se (a) = (3).

A resolução do sistema (17.11) nos dará:

g(oo) m lf g(kk) s _1; s e k ^ Q ; g(«B) = 0 s e ( o ) ^ (6)>

Com auxilio dos glcte' podemos introduzir componentes

covariantes e contravariantes de um quaternion.

De fato: j

3 \ / 3 \ JI B0

3

a,0=0

ê

(O) (o)

(18.11)

Para obter esse resultado, usamos o fato de que

( A + B ) | C = A | C + B J C , e introduzimos a definição

B (a) I 3S

B(6) (19.11)

tes covariante,

B desse quaternion

Com a (19.11) estabelecemos a conexão entre componen -

, », de um quaternion e componente contravariante

Se invertermos a formula (19.11) obteremos:

(X)B(X) (20.11)

De um modo mais compacto, podemos escrever:

B ( O ) = cría)(19*.II)

Analogamente teremos (T| « | B = B, , , onde fizemos:

<T(B) (21.11)

(B)

Em geral, passaremos a omitir o sinal de somatório

quando referido a um índice covariante e outro contravariante,repe

tidos.

III. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE QUATERNIONS

As regras de multiplicação (5.II) e(C.II), juntamente

com a normalização imposta aos quaternions básicos 0~(a)i permite

o estabelecimento de um isomorfismo com as matrizes de Pauli adici^

10

onadas da matriz unidade. Especificando melhor, vamos estabelecer

a correspondência isomorfica seguinte:

0 quaternion transposto de um quaternion A ê:

Escritos os quaternions de base <5~ta\ n& forma matri-

cial (l.III), um quaternion qualquer, A, terá por matriz represen-

tativa:L(O) + A(3) A(l) -

A = A < a ) &, , = ( j (2.Ill) \

+ iA(2) A ( O ) -

Todas formulas do capítulo anterior são exprimíveis ma )

tricialmente e, em particular i

A(o) _ .(3) (1) . <2)

A = \ 1 (3.III),(2) A(o) + A(3)

A*(3) A*(D „ ± A*(2)\ ]

At =( ) (4.Ill) j

a*<o) . a

+ i A \ Í* (5III)

- iA*<2> A*^O) - A* ( 3

Se A = A', então todos A*"' que aparecem na matriz sãoreais, logo se transpusermos a matriz e tomarmos a sua complexaconjugada, ela não se altera.

i

11

cer i

III)

itri-

ssen-

.III)

Ls ma

.III)

.III)

-in) !

( 3 )

iA<2>

ÍA (2)'

isto ê.

(6.Ill), A ( 3 ) )

Um quaternion sera simétrico se A = A e então A^2' = 0.

A r i go r , deveríamos representar a matriz representa t i -

va de um quaternion A, (na base 0 " ^ ) , por M(A) , mas não o fare-

mos , por ser c la ra a identif icação de A com M (A).

Se calcularmos o determinante de A, obteremos:

det A =<A°)23

Ik=l

(A ( k ) ) 2 (7.III)

Mas então &~rQ\ (det A) = AA, que ê a norma de A.

Se somarmos as matrizes A e A, dadas respectivamente

em (2.Ill) e (3.III), obteremos:

A + A = CT(o)

(8.III)

sendo tr o traço da matriz que representa A na base J Õ~/Q\ > •

Analogamente, obteríamos como matriz associada ao qua-

ternion, inverso de A, a matriz inversa daquela associada a este

quaternion. Veremos que a forma matricial dos quaternions ê funda-

mental na correlação entre quaternions e espinores.

z sao

xa

3•à

IV. QUATERNIONS DE LORENTZ

Um evento no quadri-espaço da relatividade especial po

de ser caracterizado por quatro reais ordenados x , (v =0,1,2,3),

32

coordenadas cartesianas ortogonais disse evento.

A coordenada x° e temporal e as demais são espaciais .

A métrica a ser usada i definida pelo tensor simétrico real npv co

variante, de assinatura ( + - - - ) . Sabemos que as coordenadas co

variantes dx são obtidas das contravariantes dx por meio do

n , isto i:yv

dx = n dxv (l.IV)y uv

Ao n associamos o tensor met. rico contravariante n ,

tal que:

uv _ v _ -V »2vp p p

il

i

Vamos definir quaternion de Lorentz como sendo um qua }

ternion hermitiano cujas componentes A se transformam como as ]

componentes dx de um quadrivetor de universo. Se (a ) i uma í

transformação de Lorentz, ^

então: .. _. !

dx1 = dx a ~ u 1 lU V L (3.IV) I

A' = A 7 a"15 f

sendo (a p ) a matriz inversa da matriz (ap ;. j

Somente consideraremos transformações de Lorentz homo '.]

gêneas, próprias, ortôcronas, qué denominaremos restritas. j

Um ponto do espaço tempo da relatividade especial se-

rá freqüentemente chamado de evento de universo.

Seja o quaternion de Lorentz: j

X = X ( w ) CT. .(u)

(onde escreveremos o índice da componente quaterniônica entre pa-

rênteses, a fim de diferí-lo dos índices de universo ou dos índi-

ces espinoriais, que aparecerão posteriormente).

'-II

13

Também podemos escreve-lo na foriaa:

, x ( 2 ), x(3>)

Se tomarmos o seu adjunto, X, obteremos:

mas X . » =(a)

X = (X

X = (XÍO), _x(2) (3)s-A , -X J-

logo,

(o)' X(l)' X(2)' X(3) ) * (4.IV)

A definição de quaternion de Lorentz nos diz que as

componentes desse quaternion se transformam como componentes de

um quadrivetor. Logo, se o quaternion de Lorentz X ê a representa-

ção quaterniônica de um quadrivetor de universo, contravariante,

então X será a representação do quadrivetor covariante correspon-

dente. A operação de adjunção esta associada à operação de mudança

de variância. Um outro aspecto importante esta contido no fato de

que ao dizermos que as componentes do quaternion de Lorentz se

transformam como componentes de um quadrivetor de universo, estare

mos dizendo que o índice quaterniônico iv) se comporta como o Indi

ce de universo u , mas isto somente quanto ãs componente quaterniô-

nicas X 1*' , jâ que os quaternions <T» j são matrizes, numéricas,fi^

xas e que, portanto, nao se transformam. Disto tudo decorre que nu

mêricamente o tensor métrico quaterniônico, n coincide com o

tensor métrico de universo, rilJV . Esta coincidência numérica não

prevalece quando passarmos ao espaço curv

Uma interpretação geométrica que surge de imediato é a

do que ãs matrizes G~(u)

podemos associar quatro direções fixas no

espado de universo, independentes do ponto e a estas direções refe

rimos os quadri vetores. Na realidade, estamos comparando dois espa

ços em essência distintos, um de quaternions e outro de quadriveto

res da relatividade especial, e estamos impondo que a lei matemãtrL

ca de transformação das componentes do quaternion de Lorentz seja

a mesma que aquela do quadrivetor que o representa no espaço de u-

niverso.

14 .

üm quadrivetor de universo de componentes covariantes ;

X serã escrito na imagem quaternionica, como sendo o quaternion ;

de Lorentz: i_ '(u) (uv) JL_ !

; onde o* = n "^(v) '

As componentes quaterniônicas X. » coincidem com as i

componentes X . Uma transformação de Lorentz restrita, (própria, -\

ortõcrona, homogênea), leva os X em X' tal que: \

X1 = X^ a"lvM (5.IV) : r

y i C

onde (a" y) é a inversa da transformação de Lorentz (ayv ) estri^ i ota. j

Então, o quaternion X = X, v O" se transforma no qua

ternion ;i

x - = a i V u x . c r VM/ - x - (M) c r lM/ ( e . i v ) » eV

A realidade dos quadrivetores de universo se traduz na :

; e como a matriz (aM

X+ = X , logo x'A = X1 Í7.IV)

realidade das componentes X M# e como a matriz (aM ) e real, te- í

remos: ;í

i x

Os quaternions de Lorentz são hermitianos como decor - ] t

rencia da realidade dos quadrivetores associados e da hermiticida-

de da base quaternionica (J\ »•

Se tomarmos a norma de X1 , obteremos:

3

X' X' = (X' ( o )) 2 - l (X' ( k )) 2

k=l

Como essa ê a norma do quadrivetor associado e como a

transformação de Lorentz conserva a norma dos quadrivetores de uni, 1

verso, teremos: -1?

3 àX" X« = (X' ( O )) 2 - l ( X | ( k > ) 2 = "í|

i

tntes

lion

as

5. IV)

sstri.

a qua

5. IV)

uz na

, te-

15

(X ( o )) 2 -

3

I <x ( k>) 2XX (8.IV)

Concluímos que um quaternion de Lorentz tem a norma in

variante por uma transformação de Lorentz.

A (7.III) nos dã:

X1 X1 = det X1 = det X = invariante (9.IV)

0 determinante de um quaternion de Lorentz ê um inva -

riante por uma transformação de Lorentz restrita. Na forma matri-

cial específica, associada ã base CT, * da álgebra de quaternions,

os quaternions de Lorentz X1 e X se escrevem:

,(1)

(10.IV)

X,(O) + x,(3)X.

X1

X

x

, (D

(o)

x.(o) .

x,(3)

(3) xd) _ ix(2r

X

iX (2)X(o)

X(3)

(11.IV)

7. IV)

cor -

cida-

mo a

e uni

As matrizes (10.IV) e (11.IV) são quaternions de Lo -

rentz na forma matricial e a transformação da matriz (11. IV) na ma

triz (10.IV) 1 uma transformação induzida pela transformação de Lo-

rentz (au ) , restrita, que atua no espaço dos quadrivetores de uni

verso.

A relação entre X1 e X pode ser escrita na forma de

uma transformação por similitude:

X' = 4 Q X Q1"com (12.IV)

QQ = <T(o)

fi claro que em (12.IV) a hermiticidade e preservada.

Em (12.IV) vamos considerar apenas o sinal + para cor-

respondermos ãs transformações restritas de Lorentz.

16

Então, podemos escrever:

X- = Q X Ot = X'(ll) &M = a"1*, Xvá-

("» (13.IV)

Ê possível provar que uma transformação restrita de

Losrentz (av ) , induz um quaternion unimodular Q que satisfaz â

(13.IV).

Da equação (13.IV) obtemos:

X'X' = Q X X Q = norm(X) QQ = norm(X) Ó

então:

norm(X') = norm(X) , o que coincide com a C"-" ' ) .

A equação (13.IV) permite exprimir (ayv ) em função de

Q e recipocamente.

De fato:

X- = Q X Qt = Q KM <j-"> Qt = X ( u ) Q*'"» Qt '"-IV)

(p)

Por outro lado, como X1 ê quaternion de Lorentz, vale:

X1 = a"1Xv Xx<f

(v) = X I( V)Ó*( V > (15.IV)

Igualando (14.IV) a (15.IV) e levando em conta X, . eIP/ j

arbitrário, obteremos: i

Q(T(;i) Q1" = a"lp CTív)

vMultiplicando-se escalarmente ambos membros por

(17.IV) 'j

Essa fórmula nos dã o elemento de matriz de Lorentz i

g , quando conhecemos a Q unimodular que satisfaz â (13.IV).

Na correspondência inversa se demonstra ' que hã para J.

.de transformação de Lorentz (au ), restrita, duas possíveis ma-

virã: 1

13.IV) 5

•ita de

12 â

17

trizes, - Q , unimodulares,tais que:

X1 = Q X Qt

onde X1 e X são quaternions de Lorentz.

Um quaternion de Lorentz importante i o quaternion que

corresponde ao quadrivetor gradiente. Vamos defini-lo como:

onde

3 = < j ( P > 3

(P)

(u) (u)(li) (18. IV)

3X (li)

ição de I

(14.IV)

, vale:

(15.IV)

Êsse quaternion 3 é um quaternion formal. Pela própria

definição 3 respeita a (13.IV), isto ê:

- Q 3 Q« - - a {v)

O quaternion Q não depende de x w , logo:w

3' = Q 3 Q ^ ( u ) >(ll) Q+

Q < T Q 3 ( P ) (20.IV)

i O produto escalar de dois quaternions de Lorentz e um

! invariante. Realmente, se y e z são dois quaternions de Lorentz, o

a seu produto escalar serã, por (15.II):(16.IV)

y|z = õ1 íyz + zy) = (o)

(17.IV)

>rentz

L3.IV).

ia para

/eis ma-

= invariante xf.(o)

ziano.

y'|z» . (21.IV)

Como conseqüência imediata, zz" e um invariante Lorent-

Formalmente também se pode mostrar que:

18

313 = i (3 3 + 3 3) = 3V ' 3(o)

k=l

= n(v)

3|A = | (3Ã+ A 1) = 3(O)A(O) -

são invariantes Lorentzianos.

(k)

Devemos notar que A 3 quer dizer 3 A

V. QUATERNIONS-ESPINORES

i

Um quaternion- E e idempotente se

E.E = E (l.V)

Se tomarmos a adjunta da equação supra, obteremos:

Ê".Ê = Ê , (2.V)

logo, o adjunto de um idempotente ê idempotente. 0 quaternion nulo

e o quaternion <T » . são idempotentes e os chamaremos de idempoten

tes triviais.

Seja o idempotente E = E(/ %

ra:(S)

(l.V) fica- \

(3.V)

E E E 2 + E3 Ec

E1(1-2EQ) = 0

•2(1-2EO) = 0

E3(l~2Eo) = 0

(4.V)l4 C

19

Se E.. = E» = E = O, o sistema (4.V) nos dá E = 0 ou

E = 1 , mas esses são os casos dos idempotentes triviais:

I 0 = ( 0, 0, 0, 0> e cf(o) = (1/ 0, 0, 0).

1 2 2 2Se 1 - 2EQ = 0, então E* + E 2 + E^ = 1/4 e os E., com

; k jí 0 , não podem ser simultaneamente nulos. Este i o caso dos i-

, dempotentes não triviais.

Salvo indicação específica, utilizaremos somente os i-

; dempotentec não triviais.

Se o idempotente E é não trivial, isto ê, se:

\ Então

(l.V)

(2.V) J m a s P o r

E + Ê = CT(o)

(6.V)

Multiplicando (6,V) por Ê", obteremos:

EÊ" + Ê Ê = Ê"_ _ _

)» E E = E, logo:

ÊE = EÊ = 0 (7.V)

Todo idempotente não trivial satisfaz âs equações (6.V).empoten 1

j e (7.V).') fica- í Sobre o conjunto dos quaternions estão definidas as o-

perações de soma de quaternions e produto de quaternions. Com a o-

] peração de soma. os quaternions constituem um grupo aditivo,comuta

i tivo. Com a operação de produto, que goza das propriedades associa

|f tiva e distributiva, o conjunto dos quaternions passa a ser umI* *

!jj anel. Como esse anel tem cr . » por unidade multiplicativa, diz-se

_\ um anel com elemento unidade. O anel dos quaternions não i comuta-

(4.V) °1 tivo. Chamaremos o anel dos quaternions de R. Um & -conjunto de R

•* que &eja também um anel se chama sub-anel de R.

20

Se r é um elemento do anel R e R1 é um sub anel de R e

se para todo r' ç R1 valer r'r € R1, então o conjunto dos r'r se

diz um ideal â esquerda, gerado por r. Analogamente se define o

ideal gerado â direita e em geral eles diferem. ;

Se os elementos de um anel R podem ser representados \

de modo único, por n elementos I desse mesmo R, na forma de uma ;

combinação linear, isto i, se: !,

n -i

r - I r I ,a=l a a \

onde I € R e r 5 um escalar do corpo sobre o qual o anel ê de \a _ a r -a __

finido, então esse anel será uma álgebra de ordem n e os I cons- i

tituem uma base da álgebra.

Os quaternions com que estamos trabalhando, constituem •;

uma álgebra não comutativar de ordem quatro, sobre o corpo dos com J

plexos e a base escolhida ê constituída pelos <r . .. 1

-,!5 = Lf • ]_ . , (8.V) \

E + E * C

Sobre o anel R dos quaternions vamos definir o ideal

gerado â esquerda pelo idempotente E, não trivial, como sendo o

conjunto dos quaternions V definidos por:

Entao: <

jclogo: *

= 0 (9.V)

Um quaternion qualquer pode sempre ser decomposto na •>

soma de um quaternion pertencente ao ideal gerado â esquerda pelo -?

idempotente E e de um quaternion pertencente ao ideal à esquerda ^

gerado pelo seu adjunto Ê". -

Jt

21

de R e

r se

e o

.ados

Le uma

il ê de

cons-

stituem

los com

ideal

3o o

(8.V)

(9.V)

;to na

Ia pelo

[uerda

ê

De fato, a equação (6.V) nos dã E + E = (T, v e então. se A e um quaternion arbitrário, podemos escrevê-lo como:

A = A (T(o) = A(E + Ê) = AE + AÊ" = + Ag (10.V)

A uniqidade da decomposição ê facilmente demonstrãvel.

! Os idempotnntes E e E são projetores e separam os

i ideais gerados por eles, de tal modo, que somente têm como elemen-

'. to comum o quaternion nulo. De fato:

. E = (AE)E = AE

. Ê = (AE)Ê = A.O = O

(11.V)

(12.V)

1

Vamos definir quaternion-espinor de primeira ordem,con

travariante, tp , a todo quaternion que satisfaça as equações (8.V*

e que se transforme como:

li?1 = Q 10 , (13.V)

quando um quaternion de Lorentz sofre a transformação restrita

X1 = Q X Q+ e quando E é dado por (16.V) ou (17.V).

Então um quaternion-espinor satisfaz simultaneamente

as equações:

(14.V)

i onde E ê um idempotente definido abaixoí

A equação

trita de Lorentz.

I = \D G covariante por transformação res-

De fato, se \0E = \D , então:

Q,í logo

1Q

U5.V)

22 j!

Pela (15.V) vê-se que o quaternion-espinor transforma- ]

do, li) , pertence ao mesmo ideal a que (D pertence. \

Para a definição de quaternion-espinor restringiremos ; (

E aos casos: • r<

1 ' * I± 2 (o) ~ (3) i

i z.Dessa fórmula decorre que: ;

_ _ 1

A escolha do idempotente corresponde â escolha do par }

ticular ideal a que o quaternion-espinor \ty deve pertencer, mas a \ P'

lei de transformação dos quaternions-espinores deve ser lJP = Q , ] n

qualquer que seja o ideal a que \ty pertença. ; s

|Matricialmente: j

1E + = '

'• Io i lj

1Indicaremos os quaternions-espinores gerados pelos ?

E+ = l/2 ( Ó"(o)

+ ^(3)^ P° r ^P+ e aqueles pertencentes ao ideal 'jgerado por E_ = 1/2 ( CTío) - ^(3))' indicaremos por

De

$+ E+ "- f + 1 ( Ô"(o) + Ç^(3)) •{ } ' j

vem: .2

Analogamente:

23

forma- \ V^. <T(3) = - _ (20.V)

] Com a escolha dos idempotentes E + e E_indicados em

:emos ; (16.V), temos um modelo conveniente para a descrição dos espino -

• res da relatividade.

! A n íot) '

(16.V) | 0 quaternion-espinor \j) = W <T". . deve satisfa-

: zer â equação (19.V), isto ê:

0 p a r í A equação (21.V) estabelece a dependência de duas com

mas a > ponentes *y+ e m termos das outras duas. Vamos escolher as compo

Q\0 1 nentes LP e \0 como as independentes. Com esta escolha

\ se escreverá:

\

(18.V) J

JMatr ic ia lmente a equação (22.V) se e sc reve rá :

( O ) 0

.os (23. V)

ideal " \ 2 tP Kí) 0

5

1 A p a r t i r da fórmula (20.V), obteremos analogamente:

i e matricialmente

I / 2V(?(25.V)

_ t*\ I2

à

24

Fará os quaternions-esp-.nores de primeira ordem podere

mos escolher, arbitrariamente, o ideal gerado por E + ou aquele ge |

rado por E__ . Ambos ideais têm a mesma propriedade de transforma - |

çio (14.V). A correspondência entre os quaternions espinores e os J,

espinores propriamente ditos, (que as vezes são chamados de espino ]

res de Infeld-Van der Wasrden) , não ê biunívoca e esta não univoci .]

dade no ideal a escolher sugere que possamos ter dois tipos de j

quaternions-espinores de Ia

de transformação espinorial.

quaternions-espinores de Ia ordem, ambos com a mesma propriedade

Para representar espinores de I a ordem, propriamente

dito, por meio de quaternions-espinores, devemos escolher um dois

ideais e vamos escolher o ideai gerado por E, â esquerda. Com esta

escolha estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os espi-

nores e os quaternions-espinores

Em (22.V), tomando-se o adjunto de lD+, vira:

Se tomarmos o adjunto do lP_ em (20.V), teremos:

(27.V)

Se estabelecermos o isomorfismoj

podere

uêle ge

forma -

s e os

espino

univoci

de

edade

25

(o)

(1)(28.V)

j

mente

im dois

:om esta

is espi-

então, estaremos associando isomõrficamente os quaternions espino-

j res de primeira ordem contravariantes a vetores coluna e duas com-

1 ponentes. Nesse formalismo de vetores coluna e espinor dado por

(14.V) se escrevera:

*

E. =

(14 ' .V)

(26.V)

3:

i

Q

onde representamos Q pela matriz de elementos Çf E * c o m A » B = 1, 2,

A representação matricial de idempoteate E + usado na

definição dos quaternions espinores de I a ordem ê dada pela (18.V).

Do mesmo modo que estabelecemos o isomorfismo (28.V) ,

vamos estabelecer a correspondência biunívoca entre o quaternion

e a matriz linha:

'o o

(27.V)i

- 2 (D (o)(29.V)

Se observarmos as fórmulas (28.V) e (29.V), veremos que:

poir (30.V)

26

Se ao quajternion U^+ associamos o vetor coluna (28.V) ,

então ao quaternion iP associamos o vetor linha (29.V). Acontece

que as relações (30.V) são exatamente aquelas que ocorrem entre as

componentes covariantes e contravariantes de um espinor de 1 or-

dem no cálculo espinorial ordinário. Independentemente desse fato,

o cálculo matricial associa aos vetcres linha uma variancia contra

ria a que associa aos vetores coluna, (usualmente chamados contra-

variantes) .

A lei de transformação dos w+ ê W+ = Q \D+ e se to-

marmos a adjunta desta equação obteremos [0 = (0 Q

* 1

Como QQ = <T. j , resulta que Q = Q~ , logo:

Q-1 (31'V)

Um quaternion de 1 ordem, covariante e um quaternion

pertencente ao ideal gerado por E â esquerda e que se transforma

com L0 + , isto ê:

Compactamente escreveremos a (31.V) como;

» _ Q"1 ; Q = Q"1

(31.V)

A lei de transformação para <j> ., <J) o ê a mesma.

(31".V)

É claro que poderíamos escrever essa equação na forma

quaterniônica ordinária, usando-se a (26.V).

Se lembrarmos que a formula (7.III) nos dã

"1

27

(T(o) = QQ = 0~(o) (detQ) , e se decompusermos em equações entre os

elementos de matriz as equações matriciais (14'.V) e (31.V), obte-

remos respectivamente:

*A1

= Q

O»1A

B

B

•B

QB

A

(32.V)

onde A; b, = 1, 2. Mas essas são as equações usuais que definem os

espinores de I a ordem, contravariantes e covariantes.

Se considerarmos a definição de quaternion complexo

(13.11), cuja forma matricial esta dada em ( 5.Ill), e a aplicar

mos aos quaternions \D, e iP. , obteremos os quaternions

4'+ e Y + = i + ' <3ue s e transformam, (levando-se em conta as

(14.11), (14'.V) e (31.V), como:

(33.V)

_ * n * - 1 *Q = W^ Q

Matricialmente obteremos:

(Q (34.V)

Q*1

Q*2

Q*1

*2( 3 3 ' . V )

3:_-!

• •".

Vamos estabelecer a convenção seguinte:

( 3 4 ' . V )

1

28

onde o índice com pontuação, também chamado índice p) / indica que

ô quaternion considerado i o complexo conjugado do quaternion

Com esta convenção as equações (33'.V) e (34'.V) se

escreverão:

°v(33".V)

Q

2. *2.1 Q 2/

(34".V)

A lei de transformação de um quaternion espinor de l

ordem, contravariante de índice p é dada pela (33.V) e se for cova

riante serã dada pela (34.V). As formulas (33".V) e (34".V) são

as expressões matriciais equivalentes.

Ate aqui estabelecemos quatro tipos de quaternions es-

pinores de 1 ordem pertencentes ao ideal gerado por E â esquer-

da. Poderíamos ter feito o mesmo para o ideal gerado por E_ ã es-

querda e com auxílio das formulas (25.V) e (27.V) obteríamos os

quatro tipos de quaternions espinores:

•i

(35.V)

(36.V)

(37.V)

(38 .V)

: Para simplificar, passaremos a chamar òs quaternions

j espinoras de I a espécie de q-espinores de I a espécie e aos quater-

í nions ordinários, simplesmente de quaternions. Os quatro tipos de

i q-espinores supra se transformam segundo leis análogas aquelas vis_

í tas para os lD , [0 ,

\ Sabemos que, a menos do q-espinor nulo, os ideais gera

j dos por E e E_ são separados. Para cada ideal podemos somar q-es-

\j pinores do mesmo tipo ou multiplicá-los por um escalar, porque aa| lei de transformação da soma será a mesma das parcelas e o produto

\\ de um q-espinor por um escalar não altera sua lei de transformação.

''• Não podemos somar dois q-espinores de tipos diferentes, se quizer-

{ mas conservar a lei de transformação.

• Os escalares, por extensão, serão chamados q-espinores

] de ordem zero. Vamos construir q-espinores de 2 ordem por meio do

"\ produto de q-espinores de Ia ordem. Se \D+ e \\> + são dois q es-

\ pinores contravariantes, dados pela (28.V), eles se transformam co

I

0 ^ /Q i o l.\ / é1 o

(39 .V)d.

Por conveniência estamos escrevendo o q-espinor de 1ordem na sua representação matricial.

A (39.V) , efetuada ficara: %t, .

\0^ ^ 0 \ / „ ! ,AA ^1 .Bo1, •

onde

A formula (40.V) nos mostra que o produto de dois q-es^pinores de primeira ordem, contravariantes, sem índices pf perten-centes ao ideal gerado por E + â esquerda não gera senão uma partedos q-espinores de 2 a ordem, contravariantes, sem índice p. Preci-samos obter os elementos não nulos da 2 a coluna da matriz (40.V) «

mo U) = Q * ; v = Q v+ • Se o-xzermos o produto deles e se os |

escrevermos matricialmente/O produto ficará: j

0 r;

(40.V) 1

31

os obteremos com o produto de q-espinores de primeira ordem, sem

índice p gerados por E_ â esquerda.

De fato, a fórmula (35.V) nos permite escrever:

VI

/ o 0

0

1

9

•tf

i

logo

>A

A QB

Se somarmos (40.V) com (41.V), obteremos:

,2*1 6

(41.V)

• , _ ' C

Q «p . Q*+ + Q f _

.BB

0'

QJ B *B 2* Í-

B

B

(42.V)

iA7v r\ ft.

Ê importante observar que vf _ é independente de ij/ +

o mesmo ocorrendo entre 4* e i|»A . A equação (42.V) é sob forma

matricial, a lei de transformação do produto direto de dois espino

132 4

res ordinários, a duas componentes, contravariantes, sem índices p, \

cada espinor se transformando como ^ = Q . |

Para formar q-espinores de 2 a ordem não pudemos restrin ;

gir a um dos ideais, (gerado por E + ou por E_) , mas necessitamos \

de combinações de elementos de ambos ideais. \

A fórmula (42.V) pode ser escrita de modo mais conve - j

niente se observarmos que:

*- " Q 1 A í- •*- «"a2T2 -i

onde \\>2 é o transposto de T/J e Q ê o elemento de matriz da %matriz transposta de Q. \

Com essa observação a (42.V) se escrevera: 1

l if/ = Q QT (42'.V)

Definiremos q-espinores de 2 a ordem contravariantes,

sem índices p, a todo quaternion ij> que se transformar como:

TY = Q* Q

ABUsaremos freqüentemente a notação \h para indicar as

componentes de um q-espinor definido pela (43.V).

Qualquer outra combinação de produtos, como Q $ _

etc, não geraria a lei (43.V).

Na forma matricial a (43.V) se escreverá:

/ ,11/ ib

(43».V)A lei de transformação dos q-espinores de 2 a ordem, co ,'r,

variantes se estabelece de modo análogo, partindo-se de: \'irc

33

i

r_I Ti_ Q *_ Q

Q (44.V)

Com base nesse resultado definiremos um q~espinor de

2 ordem covariante, sem índices p a todo quaternion ty que

transforma segundo a lei:se

*' = QQT Q (45.V)com QQ (o)*

A notação i|»AB será usada para indicar os elementos da

matriz que representa o q-espinor (45.V) isto ê:

-2•21

(45'.V)

í

.1

Essa ê exatamente a lei de transformação dos espinores

covariantes de 2 a ordem do cálculo espinorial ordinário, quando na

forma matricial.

Os q-espinores de 2 a ordem contravariantes com índicesÍ V

rt • *p podem ser obtidos multiplicando-se *f\ por *' e somando-se»JL JL I T T

com <f _ i|i'_ ou tomando-se o complexo conjugado dos quaternions

que respeitam ã lei (43.V), isto è:

T* *Q = Q

(46 .V)

Notaremos as componentes de um q-espinor que satisfaz

a lei de transformação (46.V) , por ,AB

Por razões análogas definiremos q-quaternions de 2 or

dem, covariantes com índices p a todo quaternion que se transfor -

mar segundo a lei:

/ ' = Qt •* Q* (47.V)

34

O elemento de matriz que representa o q-espinor dado

pela (47.V) serã chamado

Para evitar analises enfadonhas, vamos impor que as

componentes de um espinor de 2 a ordem se transforme como o produto

de componentes de espinores de 1 ordem. Deste modo obteremos as

leis de transformação dos vários tipos de q-espinores de 2 a ordem,

desde que as escrevamos na forma matricial.

Deste modo a lei de transformação de um q-espinor ty ,

de 2 ordem, sem índices p, misto, ê dada por:

* = Q * Q (48.V)

Os elementos de matriz de um q-espinor definido pela

lei (48.V) representaremos por i>_

Se tomarmos o transposto do q-espinor definido pela

(48.V) teremos a lei de transformação do í<J/_ J e, por isso, vamos

também passar a indicar, os q-espinores por meio de expressões em

que os índices apareçam explicitamente, por exemplo:

AB

(*'AB) •

(49.V)

(50 .V)

Cf

(51.V).V) --Í r

BSe tomarmos o complexo conjugado dos q-espinores \J> n e s

teremos, com ajuda'das (51.V) as suas leis de transformação: | *'

35

(52.V)

i

-O ]

As formulas supra definem os dois tipos de q-espinores11' i mistos de segunda ordem, com índices p.

A lei de transformação do q-espinor de 2 a ordem contra

' variante com o 19 índice não p, e o segundo sendo um p índice, e:

Tomando o complexo conjugado desse quaternion virá:

e m 1 Por processos análogos aos anteriores, teremos:

(54 .V)

(55.V)

Ve

AB••;» l - Q f ^ Â B ) Q Í 5 6 - V )

q-espinores de 2a ordem.Essas leis de traiisformação definem os correspondentesde 2 ordem.

Analogamente teremos a lei de transformação do q-espi-n o r i|> *

-4 i s t o ê: N

1 U' A * ) = Q v * Q* (57.V)

A e 1 \ B/ \ B /i o : i ':] Se tomarmos a sua complexa conjugada, teremos:

36

,AB.

Q* B(58.V)

Tomando os transpostos das (57.V) e (58.V) obteremos

respectivamente:

- 3 t Q (59.V)

• 'i Qt (60. V)

A conexão entre os elementos de matriz de um quater-

nion e as suas componentes na base Ò~, \ ê obtida a partir da

igualdade:

ou

3

a=0

,11

.21

,12

,22.

(61.V)

onde usamos o q-espinor centravariante de 2 ordem apenas para

explicitação. Da representação matricial usada para os (T# w tira

mos:

(1) - i

-(1) + Í

(62.V)

*(o) _

Sabemos que um quaternion ê hermitiano se todas as

suas componentes $ a' são reais.

A partir das formulas (62.V) e com a hipótese de que

37

as i|»tot) sejam reais, i fácil ver que ( \|>AB)* = i|>BA , o que sõmen

te será possível se um dos índices for p e o outro não, isto ê, se:

Reciprocamente, se $ = y^ então ijr0^ ê" real.

Então, um q-espinor de 2a ordem ê hermitiano se contra

variante ou covariante com um índice p e outro não e se:

ou ' f (63.V)

jOs q-espinores hermitianos de 2a ordem são de grande

importância na formulação espinorial da relatividade.

A matriz de um q-espinor de 2a ordem hermitiano coinci

de com a transposta conjugada.

Se um q-espinor é de primeira ordem e se a definição

de quaternion hermitiano I a de que tenham todas componentes reais,

então a hermiticidade de um q-espinor de primeira ordem não ê con-

servada pela transformação Q, isto ê, por exemplo, se *p+ ê hermi

tiano Q<P+ não e hermitiano em geral, mas um q-espinor de 2a or-

dem hermitiano tem transformado hermitiano.

Veremos que com auxílio dos q-espinores de segunda or-

dem hermitianos, poderemos formular a curvatura no espaço riemanni

ano.

Devemos, chamar a atenção, mais uma vez para o fato de

que os quaternions QT / » são hermitianos, mas são quaternions nu-

mericamente fixados.

38

VI. CONEXÃO ENTRE QUATERNIONS DE LORENTZ E q-ESPINOREF DE

2 a ORDEM HERMITIANOS

No capítulo IV introduzimos os quaternions de Lorentz

como quaternions hermitianos cujas componentes Af . se transformam

como as componentes covariantes de um quadrivetor da relatividade

restrita. Da própria definição decorre a realidade de suas compo -

nentes e, então, a sua expressão matricial, na base <r , ê a de

uma matriz hermitiana e como sua lei de transformação, (13.IV),e

X1 - Q X Q >, vemos que ela coincide com a lei de transformação

(53.V) de um q-espinor de 2 a ordem, hermitiano da forma ( * A B ) .

Esse resultado ê importante pois, alem de correlacio -

nar um quaternion de Lorentz com um q-espinor herrrdtiano de 2 a or-

dem, mostra que o caráter espinorial do quaternion de Lorentz esta

associado intrlnsecamente à sua formulação matricial. Assim o qua-

ternion X tem uma representação quadrivetorial quando expresso em

termos dos elementos de base <T# » e tem uma representação eapinec-»-

rial quando representado matricialmeníe em termos das "matrizes &, .. Deste mo-

do:(v)

X .(y) <TX11

X12

(u) (l.VI)

,21X22

com

.11x(o> + x(3)

X21

De X1 = Q X Q t, tomando-se o adjunto, vira:

X Q(2.vi)

Mas esta ê a lei de transformação, (56.V) do espinor

. fi fácil ver que se X é herroitiano, X» ê hermitiano também.

As fórmulas (l.VI) e (2.VI) estabelecem uma çorrespon-

39

dência biunívoca entre X e ( X A 5 ) e entre X e (X^) respectivamente.

* U ) X ( u ) <í"íy) = x(li> ^(p) = X' multipliquemos escalarmente por cr V e usando as formulas (18.11) e (16.II), vira:

.(v)(w)

(vy)

A (19.11) nos dará:

«"(o) x(v)

(3.VI)

Omitiremos freqüentemente o o*, . , quando não houver dúvidas. Bela (15.11) .podemos.escrever também.

- 7 í 6" X tr ( (T X) (4.VI)

onde usamos a (8.III).

Comoros X são elementos do corpo dos escalares, se

X ê da forma (x ) então os <S7# . são da forma ( <T, . ) . A herml\V) / \ \V) —ticidade do X decorre da realidade dos X X M' e da hermiticidade dos

\V)

<j"/u) • Reciprocamente se X ê hermitiano e os X ^ ' reais, então os

§•, » são hermitianos. Desta analise a (4.VI) poderá ser escrita

como:

- X < * > (CT(V) X)

^(O) <y-(v)AB v.2 XBA (5.VI)

Essa fórmula dã as componentes do quadrivetor associa-

do ao q^-espinor hermitiano X quando conhecemos a sua representação

espinorial. Por outro lado, a formula (l.VI) , ê uma igualdade en-

tre a matriz X e a combinação linear das matrizes <S" j e s e fixar

mos o elemento de matriz AB no primeiro membro, deveremos fixa-Io

40

no segundo membro, isto ê:

<T AB

(y)(6. VI)

Esta fórmula ê a inversa da (5.VI) , pois dã as compo-

nentes da representação espinorial do quadrivetor X quando conhece

mos as suas componentes de universo (que chamaremos a sua represen

tação tensorial).

tão X = X ( a ) crA formula (2.VI) e o fato de que se X

(a) *X <T (u) » en-

(a)-'nos leva aos (a)

como tendo a representação

espinorial

w-itão X" = X ^ C T , 4 « , é a fórmula obtida dá igualda

de entre elementos da matriz, quando representamos matricialmente•ST v(o) "ET _ „ J-(o)

a expressão X = X*

A realidade dos quadrivetores é mantida pela transfor

mação de Lorentz e a correspondência (5.VI) entre quaternions de

Lorentz e q-espinores hermitianòs ê biunívoca. Deste modo, somente

podemos representar quadrivetores de universo por q-espinores her-

mitianòs de 2 a ordem.

0 calculo espinorial ordinário se baseia no produto di

reto de espinores pára formar espinores de ordem superior. Neste

trabalho usamos os quaternions para representar espinores de pri-

meira e segunda ordens. Para a formulação da curvatura no espaço

riemanniano não precisaremos sair da álgebra dos quaternions e is_

to quer dizer que nos bastarão os q-espinores de 2 a ordem. Se qui-

zermos representar espinores de ordem superior â. segunda por qua -

ternions, necessitaremos de introduzir a operação de produto dire-

to de quaternions.

VII. QUATERNIONS EM. ESPAÇO DE RIEMANN

(I.VII) Tetradas, e Quaternions

Definido um sistema de coordenadas reais x . na varie-

41

dade espaço-tempo, associemos a cada ponto P(x) do continuum espa

ço-tempo um conjunto de quatro vetores contravariantes, normaliza-

dos e linearmente independentes. Três dos vetores serão do gênero

espaço e um deles será do gênero tempo. Ao conjunto dos quatro ve-

tores num ponto P (x) chamaremos tetrada em P (x).

Csda vetor da tetrada * em por componentes quatro fun-

ções de ponto, rea.ls, hy(P(x))as hy(x)a , onde n é o índice de

componente e a indica o quadrivetor da tetrada. Faremos a e v vari

arem de 0 a 3.

A independência linear dos vetores da tetrada ê carac-

terizada pelo não anulamento do determinante:

h°

h1

h2

h3

(x)

(x)

(x)

(x)

o

o

o

o

h°

h1

h2

h3

(x)

(x)

(x)

(x)

1

1

1

1

h°

h1

h2

h3

(x)

(x)

(x)

(x)

2

2

2

2

h°

h1

.2ii

h3

(x)

(x)

(x)

(x)

3

3

3

3

(l.I.VII)

Definir a tetrada em cada ponto P(x) do espaço-tempo

corresponde a definir 16 funções reais hu (x)o. Com essas 16 fun -

ções podemos construir o tensor métrico gMV (x), de modo unívoco ,

através das equações:

(x) = hv (x)a (2.I.VII)

onde:

e = O se

iv (x)a = hv(x)a nBa

« ,n00 = l - - r,11 = - n22

- n33

Podemos definir naB de modo único, tal que

(3.I.VII)

By

n =onde 6 Y ê o símbolo de Kronecker.

Ct

Vamos introduzir ó. quaternion cry (x) por meio da equa-

ção:

42

(x) =h y<x) aó-( a ) (4.1.VII)

Como o índice a ê agora taitibim índice de componente

quaterniônica vamos escrevê-lo, como anteriormente, entre parênte-

ses, isto ê:

(x) =h>lCx)(a)

(a) (4M.VII)

eg ( o t B )

Com a definição (4'.I.VII) haverá a coincidência entre

= c{a) |<J(B); entre nag e g ( a p )= <T(a) | <T(p) .

Se fizermos o produto escalar de c- por <5"V (x) , vJL

ra:

h v ( x ) ( a ) (X).

Então:

16V (x) (5.1.VII)

Os quatro quaternions ç-y (x) definem unlvocamente a mé-trica gyv(x) e isto ê evidente pela (5.1.VII). Definir o campogyv(x) corresponde a definir um campo de 16 funções reais de argu-mento P (x), mas levando em conta a simetria do gwv (x), vê-se quesomente 10 são independentes. Como os quatro quaternions GV (X) correspondem a 16 funções independentes, então os gyv(x) não definemunlvocamente os 5-p(x), que encerram ainda 6 graus de liberdade ,que podem ser conectados a seis parâmetros contínuos. Estes seisparâmetros contínuos permitem definir diferentes tetradas em P (x),obtidas umas das outras por transformações hexaparamétricas, todaselas definindo unlvocamente a métrica g p v(x).

O índice y ê um índice de componente de quadrivetor .Nas transformações de coordenadas Xv em X'y num ponto P admitiremos sempre o jacobiano diferente de zero em alguma vizinhança do P,

isto é:

43

f o (6.1.VII)

Os <TP(x) são quaternions hermitianos devido â realida

de dos h^(x) . . e da hermiticidade dos çr

Veremos na fórmula (21.1.VII) que vale:

logo vale:

gyv(x) <Tv(x)

= gyv(x) (7.1.VII)

Cono o determinante (l.I.VII) ê diferente de zero

te a inversa da equação (4.1.VII), isto é:

(8.I.VII)

(a)onde f ' (x) é o elemento de matriz da inversa da matriz associa

da a (l.I.VII).

Então, em P(x) podemos escrever:

E(a)

Em particular,

f ( B ) ( x ) v gyv (x)

«5V(x) =i

,(3>(x)y

(9.1.vil)

(k)f(k)

s e k

'(10.I.VII)

v são f

Então, o quadrivetor da tetrada em P cujas componentes

(x) è um vetor do gênero tempo e os demais três veto-

44 &

res de componentes f (x) são do gênero espaço. Todos esses ve- |tores estão normalizados. • i

M , ':Existirá o inverso do quaternion <y (x) desde que >

gyy (x) ? 0, pois [

(<ru(x>)-1(U.I.VII)

No caso da relatividade restrita, e em coordenadas car

tesianas, ortogonais, gwv (x) - g*y . Neste caso, prdemos fazer •-;

as «3~y(x) coincidentes com as <r , o que corresponde a faaer:

hy (x) , » = 0 se v» ? a e 1 se y = a(a)

A conexão entre as métricas no espaço de universo, (es_

paço-tempo), e no espaço quaterniõnico se dã pela ralação:

gyv(x) = sM(x)|6-V(x) = h v ( x ) ( Q ) hv(x) ( g ) è-

(a)(3c)| o*(B)(x) = !J

(12.I.VII)

Essa fórmula correlaciona o tensor gyv(x) com o "ten -

sor" g (aP).i

Escrevemos ''tensor" porque ainda não definimos produto

tensorial de quaternions.

De:

(13.1.VII)

Concluímos que hv (x) . é a projeção do quaternion

Gy (x) sobre o quaternion (T / \ •

Como ( j r( B ) f ( e )(x) y o-u(x) virí:

45

. (8)

Então, de (13.1.VII) concluímos que:

v = h y ( x ) ( ( S ) . (14.I.VH)

Se tomarmos em um ponto P(x) a expressão corresponden-te â ^8.11), obteremos:

- 2Ã{X) = A(X) ár

£ ( B ) ( X ) W f ( o t ) (x ) v A 6V = gyv(x) 5yU) A(x) <yv (x) ,

logo:

A(X) = - A(x) (15.1.VII)

Esta formula ê um modo de associar ao campo A(x) o seucampo adjunto.

Podemos referir os quaternions de Lorentz no pontoP (x) aos qua*.ernions çv (x) como se estes constituíssem uma basequaterniõnica local . De fato, um quaternion de Lorentz, A(x) se escreverá:

A(x) = A ( p ) (x)(y) (16.1.VII)

sendo

3 X 1

3

(17.I.VII)

a lei de transformação de quadrivetor em P(x) quando passamos das

coordenadas x as x1

A(x)

onde

Com a ajuda da (8.1.VII), teremos:

, <TV(x)

(19.I.VII)

46

Então, concluímos que as 6" (x) se comportam comou

umabase local e aparece bem nítido o papel das f u (x) v na mudança

de índices quaterniônicos para índices de universo.

Se projetarmos A(x) sobre ^(x) obteremos:

Av(x) = <T V(X)|A(X) (20.1.VII)

Passaremos a chamar os <ry(x) da q-tetrada em P(x).

De (4'.I.VII) e de (8.1.VII) vem:

= hw f ( a )(x) v- h " (x) ( o ) è

Mas, por (14.I.VII), f(o> (x)v= h v(x) ( a )

logo:

De (12.1.VII),

(T (x) = gy (x) ff (x)

hv(x)<a) =g> (x) vem:

(21.I.VII)

As fórmulas (4'.I.VII) e (8.1.VII) estabelecem a rela-

ção entre a q-tetrada e a base quaterniônica no ponto P. Em cada

ponto do espaço curvo temos duas bases, uma independente do ponto,

o , e outra dependente do ponto, a q-tetrada £Ty(x). Um quater

nion local pode ser referido a qualquer uma delas. O fato de que c

se duas q-tetradas geram ò mesmo guv (x) elas devem diferir por uma

rotação de Lorentz não dependente de transformação xy •*• xlV, nos

leva a uma lei conectando duas q-tetradas no mesmo ponto:

<Sv(x> (22.I.VII)

com AM(x) não dependendo da transformação xy •* xtli

As q-tetradas <fy(x) *S m caráter tensorial porque con-

têm o índice de quadrivetor, mas o fato de serem uma combinação

linear das a)em cada ponto P(x) e coeficientes reais hy (x) (a) ,j

47

lhes dá também caráter espinorial hermitiano

Se escrevermos a equação matricial (4.1.VII) como umaigualdade entre elementos de matriz correspondentes, obteremos:

(23.1.VII)

Nesta formula hã três tipos de índices, o tensorial, o

quaterniônico e o espinorial, por isto é de grande importância. Ve

nos que e exatamente do fato de que (x) depende das & que de

corre o seu comportamento espinorial.

No caso dos quaternions de Lorentz, na relatividade

restrita, tínhamos uma conexão entre os três tipos de índices, com

a diferença de que não havia dependência de P(x) e o índice tenso-

rial estava coincidente com o quaterniônico. De fato: X =

se escrito em termos dos elementos de matriz passa a ser:X. .

(u)

No espaço curvo o índice quaterniônico (y) se separa

nitidamente do índice vetorial y.

A partir da formula (8.1.VII), isto ê:

teremos

nions que:

(24.I.VII)

Sabemos da definição de produto escalar de dois quater

logo:

f ( o J(x) v = |

BA

(25.I.VII)

48

Por contração com 9(aB) e ?wv (*> podemos baixar os ín

dices quaterniônico e vetorial, respectivamente, na formula supra.

A fórmula (24.1.VII) mostra explicitamente <JP (x) I

um quaternion hermitiano que tem índices espinoriais do tipo AB e

isto decorre, jã sabíamos, da sua dependência das <JT .

A expressão (22.1.VII) decorre do caráter vetorial dos

campos tetradas hM(x) . .. Uma rotação de Lorentz, A(x), efetuada

nos campos tetradas, independente de uma transformação de coordena

das, induz a lei:

hv(x)(a)

(22*.I.VII)

Em cada ponto P(x) podemos construir o homomorfismo

Q(x) •*• A (x) tal que um quaternion de Lorentz A(x) = A (x) (S"v(x)

se transforme como:

A'(x) = Q(x) A(x) Qt(x)

Levando-se em conta que A* (x)

obteremos em (26.1.VII):

logo:

-1Ap(x) A * = Q(x) Ay(x)

(26.1.VII)

A»1 (x)v Ay(x) ,

Qt(x)

Q(x) Qt(x) (26.1.VII)

X'

Quando houver uma transformação de coordenadas

(x ) as q-tetradas se transformarão como:

3 X1

3 X1Q(x) Qt(x) (27.1.VII)

Neste caso não se pode estabelecer um homomorfismo en-

tre as transformações gerais de coordenadas. x|V = xlM(xv) e as

transformações unimodulares Q (x). o grupo das transformações ge -

49

rais x'p = xlW(xv) admite somente representações tensoriais,deste

modo as transformações Q(x) atuam independentemente das transforma

ções x'p = xiy(xv) .

No restante a demonstração de (27.1.VII) se faz analo-

gamente ao caso anterior. Como A(x) ê uma matriz hermitiana, cons-

truamos :

Q(x) A(x) Qt(x)

onde

. Q(x) (O>

Mas:

A'(X») = A' (X) <y'V(x«) = (^-J A (X)

V /- Q(x) A(x)

logo, pela arbitrariedade dos A (x), decorrera a (27.1.VII).

Se tomarmos adjunta da (27.1.VII), teremos:

«r11

VQt(x) . <Jv(x) . Q(x) (29.I.VII)

.VII) Derivada Covariante das q-Tetradas

A derivada covariante de um vetor A (x), de componentes

Av (x) é, segundo o cálculo tensorial, o tensor cujas componentes

são dadas pela expressão:

r v i u.ii.vii)\ P v) (P)

Aw(x) Ap(x)

onde Aw (x) = (* A > i ( x )v Ip V)

« o símbolo de3 KV j p Ip V ) ( P )

Christotfel da 2a espécie em P e as xv são coordenadas do ponto P.

A generalização para a derivada covariante de um ten-

50

sor ê conhecida e para o caso de um tensor de segunda ordem contra

variante será:

(X)r P

f](x P j (P) +

(2.II.VII)

Sabemos também, do calculo tensorial no espaço de

Riemann, que um vetor ê transportado paralelamente a si mesmo, en-

tre dois pontos infinitamente próximos se vale a equação:

Ay(x)IP

(3.II,VII)

Em particular, qualquer dos unitários e (x) do sistema

de coordenadas em P(x) satisfaz ã condição:

= 0 (4.II.VII)

Os q-espinores de primeira ordem e de ceda espécie

constituem um espaço vetorial de dimensão 2 e, nesse sentido,os ín

dices espinoriais serão índices vetoriais do espaço vetorial consi

derado. Dessa interpretação decorre que os q-espinores de 2 o r -

dem poderão ser formados por produtos tensoriais, (produtos dire -

tos) , de dois q-espinores de primeira ordem.

No espaço tempo riemanniano os q-espinores ali defini-

dos contituem um campo espinorial. Nesse mesmo espaço definimos

grandezas de universo, como os quaternions de Lorentz, (agora gene

ralizados, no'sentido de que são dependentes de P).

Sabemos que os quaternions que representam quadriveto-

res de universo têm estrutura de q-espinores de 2 a "ordem, hermitia

nos. Veremos que poderemos expressar entes de universo, importan -

tes, como o tensor curvatura de rotação, em função âe produtos or-

dinários de quaternions. Para isto é necessária a extensão do con

ceito de derivação covariante e transporte paralelo aos q-espino -

res definidos no espajço tempo, de modo análogo ao do cálculo tenso

rial. Como há quatro tipos de índices espinoriais, vamos introdu -

51

zir quatro expressões que definem a derivada covariante de um q-es

pinor de I a ordem. Se o q-espinor ê do tipo (* (x)A) , a sua deriva

da covariante será definida por:

<P(x) + r (x) *(«) (5.II.VII)

Matricialmente essa expressão se escrevera:

B

onde (t(x) )

Mx) B) ,(5'.II.VII)

e onde Ty (x) é um quaternion que chama-

remos a q-afinidade espinorial no ponto P(x).

Se na formula (5.II.VII) o índice espinorial A fosse

um índice tensorial u , teríamos exatamente a formula (1.II.VII).

Veremos posteriormente que podemos expressar a r (x)

em função das q-tetradas <rW (x), de suas derivadas ordinárias e

dos símbolos de Cristoffel de 2 a espécie.

Se o q-esplnor é do tipo ( i|i(x).), -i-sto ê, covariante,

então sua derivada covariante será definida como:

|v • ""' ,v ' - ' F v ( x ) *

A expressão, matricial dessa formula serã:

(6.II.VII)

•(•<x)A)|v

Analogamente, se A fosse índice tensorial essa formula

daria a derivada covariante de um vetor covariante.

Doravante omitiremos, salvo menção contraria, a depen-

dência explicita em x.

* Observemos que a derivada covariante. de um q-espinor

passa a ter comportamento de quadrivetor covariante quanto ao

ce tensorial v .

52 . aAs derivadas covariantes de espinores da forma (i|> ) e

{$') são obtidas tomando-se as complexas conjugadas das expressõesA _

(5.II.VII) e (6.II.VII), respectivamente, isto e:

** é* + r* I|Í* (7.H.VII)V «5 ,V V

r|v T ,v vDevemos notar que:

£*(«) .( F"1 ' " ) - / ' » I v \ (9.II.VII)

Para os q-espinores de 2 ordem introduziremos a deri- t

vação covariante por analogia formal com o caso tensorial.Para os

q-espinores de ordem mais elevada ê necessário o conceito de produ [

to direto de quaternions, a fim de extender-se de modo coerente a \

noção de derivada covariante. Para um q-espinor do tipo (* ) a de \,

rivada covariante terá por expressão: |Í

!

í

cuja fôrma matricial ê:

sendo r = (r ) T .

(rv\) (*LB) + up) (\L*) , fio-.ii.vii)

As derivadas covariantes dos demais tipos de q-espino-

res de 2 ordem são obtidas a partir das correspondentes expressões

do calculo tensorial. Em particular, vamos apenas dar a derivada

covariante do q-espinor U>fc*):

«Mu • •.„- *r - r+* (il.ii.vii)

53

cuja expressão matricial é:

T

(rvÁ (ll'.II.VII)

A derivação covariante de um q-espinor introduz um ín-

dice tensorial, de modo que, o quaternion obtido pela derivação co

variante de um q-espinor i um ente misto. Se o quisermos derivar

novamente, covariantemente, estaremos estendendo a derivação cova-

riante alem dos q-espinores porque estaremos derivando não mais um

q-espinor mas ura ente misto, com índices espinoriais e tensoriais.

Para estendermos a derivação covariante de qualquer ordem de um

q-espinor, vamos definir a derivada covariante da derivada covari-

ante de um q-espinor. Vamos defini-la para o caso (5.II.VII), e os

demais casos serão obtidos facilmente a partir do exemplo desse ca

so. Escreveremos primeiramente na forma matricial para que fique

mais clara a sua lei de formação:

<•*> „„

onde í P ) ê o símbolo de Christoffel de 2a espécie e por\v v) [u vj

isso é uma função escalar.

Essa formula S3 escreve compactamente como:

r..# (12.II.vil)

A derivação covariante sucessiva ê agora de formação

óbvia.

A tetrada cru(x) ê um quaternion que envolve um índice

U de quadrivetor, ê hermitiano e sua forma matricial, sabemos, e

, por isso um ente misto de tipo vetor, espinor de 2 ordem.

Um campo de quaternions de Lorentz definido no espaço

54

riemanniano associa um campo de quadri vetor de universo a um campo

espinorial de 2 a ordem hermitiano.

Se A(x) = A <rv(x) é um campo de quaternions de Lorentz,

o campo de quadrivetores será dado por:

Ay(x) =cry(x) | A(X)

e o campo de espinores será dado por:

0 que fizermos para quaternions de Lorentz e q-espino-

res no caso da relatividade restrita o fizemos no espaço riemannia

no substituindo as cr pelas <TP (x). As q-tetradas <ru (x) fazem

o importante papel de referencial local e têm também a propriedade

de serem um quaternion hermitiano com um índice vetorial, logo têm

a mesma estrutura que as derivadas covariantes de um q-espinor de

tip o (i|i ) .

Então, como jâ definimos a derivada covariante da deri^

vada covariante de um q-espinor, podemos definir a derivada covari

ante das (fW, que será:

(i3.ii.vii)

variante e:A representação matricial desse quaternion derxuaâa co-

(rvAc) (rv'

B) (14.II.VII)

A derivada covariante da tetrada (j~ = g <r1

(i5.11.vu)

Se fizermos a derivada covariante de (Tw teremos:

i. \í l

55

cuja expressão matricial ê:

(16.II.VII)

B} .L.TLB*

As q-tetradas <rv (x) se comportam como uma base em P,

para referir todos quaternions all definidos, elas fazem papel anâ

logo aos vetores e (P) , unitários, associados a um sistema de co-

ordenadas em P. Dentro dessa analogia, vamos impor o anulamento da

derivada covariante das (j-M(x), isto é

17.II.VII)

Essa formula e sugerida pela (4.II.VII). -

Como(Tll(x)|<rV (x) = g UV (x), tomando-se a derivada covariante desse produto escalar, virá como decorrência da (17.II.VII): /

<rv(x) <rv<x) (x) f

logo

g y v (x ) , = 0 (18.II.VII)

Do anuiamento da derivada covariante das <Tv (x^podemos

escrever a derivada covariante dos quaternions de Lorentz como:

A(x) A y(x) | p

De cry(x) = h p(x) ( <

h" (x) (a)U

(19.II.VII)

é de(17.II. VIÍ) decorre que

(20.II.VII)

J

56

Então:

logo:

A(x) = A

A(«) ( x )!v. s s Au ( x )|v

(x) A(a)(x)

A(a) í x )|v(21.II.VII)

Esta é a relação entre a derivada covariante das compo

nentes quaterniônioas de um quaternion de Lorentz e a correspondei!

te derivada covariante de suas componentes quando referido â q-te- }'

Étrada local.

em que <T (<*)Do fato de Q* ser um quaternion constante implica

= 0 , mas

<r ( a ) <ry<ry(x) ,

e como (T (x) | = 0 , entãoIP

V|P

(III.VII) As q-afinidades r (x) .

(22.II.VII)

Partindo-se da fórmula (5.II.VII) e tonando-se a sua a

djunta, vira:

*7~ - í~ + ? r a.in1.vii)I V f V V

Vamos demonstrar que if> • = ih / isto ê, que o adjun-

to da derivada covariante é igual â derivada covariante do adjunto.

Como podemos escrever qualquer quaternion como combina

ção linear das (T* e, consequentemente, como combinação linear

das <y u (x), então podemos escrever o quaternion i|i. como:

• i

l i ij I , f.

57

Tomando-se o adjunto desta equação, obteremos:

Por outro lado, tomando-se a derivada covariante de;

*

vira:

Mas então:

1/; I = (2.IXI.VZI)

como queríamos demonstrar.

A relação (2.III.Vil) nos psrmite obter uma importante

propriedade das r . Sabemos que se ^ ê um q-espinor do tipo (i|> ),

o seu.adjunto \jT. se transforma como (*A) •

A derivada covariante de um q-espinor do tipo (i|> ) ê

dada pela (5.II.VII), isto é:

Se tomarmos a adjunta desta equação obteremos

= ^ + TfT T~" mas levando, em conta a (2.III.VII) tejtvos.| V / V V

, \

mas a ijTj i a derivada covariante de um q-espinor do tipo (<|»A), lo-

go é dada pela equação (6.II.VII), e então:

I v v ** ^ v ** v 7 v

Como a * I arbitrária, resulta que:

58

ou

r + r = 0V V

(3.III.VII)

Lembrando a (8.Ill), temos equivalentemente:

tr (rv) = 0 (4.III.VII)

isto é, as q.afinidades têm traço nulo.

íto do

V («)Do anulamento do traço das r e de sua representação

quaterniônica: r = (r ). . (T # temos:

(rv> to) (5.III.VII)

£ possível expressar as r^ em função das <ry e de suas

derivadas e isto ê feito a partir da equação <yy i = 0 . De fato:

<ru <r [/,, • * {"/.]+ r

Mas:

<r (6)

(6.III.VII)

Se expressarmos r como {r )P O(7.III.VII), obteremos:

)...O [0/

(7.III.VII)

e o levarmos à

59

«V rP o" (8,III.VII)

sao:O resultado (8.III.VII) e um caso particular de expres

(Ty (x) A(x) <Ty(x) = 4A ( o )(x) (T(( o ) ( o )

[• (O) (9.III.VII)onde A(x) e tarn campo quaterniônico arbitrário.

Cornos resultados (6.III.VII) e (8.III.VII), obtere -

mos:

ou

rt.P

Tomando-se o hermitiano, teremos:

(

jã que (T e

,P v tv PJ/P

quaternions hermitianos.

(10.IZZ.VII)

A fórmula (10.III.VII) define a q-afinidade em funçãodas <Twf suas derivadas parciais e dos símbolos de Christoffel de2 espécie. As r não são hermitianas.

PA fórmula (5. II .VII) mostra que as r^ se transformara

como quadrivetores de universo quanto ao índice v, entretanto, r^ê um quaternion de estrutura matemática mais complexa. Vejamos co-mo se transforma por uma transformação em que estejam fixadas as x

De (5.II.VII)

60

e levando em con*a que ty ê um q-espinor da forma (ij» ) e,portanto,

deve se transformar como i|»' (x) = Q (x) <|> (x) , quando hã uma trans -

formação de coordenadas xp+ xlW ou quando simplesmente haja uma

transformação an p, as x

CT"(P) com outra <T (x)

fixadas, que relaciona uma tetrada

Aw (x) (TV (x), (neste ultimo caso dize

mos que temos uma transformação de spin pura).

A transformação de (if> ) i induzida por uma transforma

ção de coordenadas Xv , decorre simultaneamente do seu caráter es-

pinorial e do seu caráter tensorial, respectivamente contidos nos

Índices A e y . Por isto, a sua lei de transformação e:

,Q(x) (ll.III.VII)

onde Q(x) depende da transformação de coordenadas.

Uma transformação pura de spin será um caso particular, j

definida por:

Q(x) (12.III.VII)

ou

+ r1 Q rJ

mas Q if» , logo:

(Q •) +

ou

rj

Da arbitrariedade de * resulta que.

I'

Como:

61

(o)

virá:

rj (x) = (Q rp • QTXT . (13.III.VII)

Esta 1 a lei de transformação das q-afinidades, quando

temos uma transformação pura de spin. Para o caso mais geral de

uma transformação de coordenadas, a lei de transformação deve le-

var em conta o caráter tensorial do índice \i , isto é:

(14.III.VII)

onde o ponto P vem indicado por suas coordenadas.

(IV.VII) A q-Curvatura IRrs

Do calculo tensorial sabemos que o tensor de Riemann -

Christoffel I definido em função dos símbolos de Christoffel e de

suas derivadas parciais, por meio da expressão:

ei i i i i

9

onde rlv s)

(1.IV.VII)

3{w s } , as Xr constituem o sistema de coordena -r

3 X

das e '{pxs) ê o símbolo de Christoffel dé 2a espécie.

No capítulo anterior vimos a correlação que existe en-

tre as q-af inidades r e os símbolos í/s} e essa correlação sur-

giu na definição da derivada covariante de um q-espinor. Dentro

dessa analogia, vamos procurar o quaternion análogo ao tensor de

Riemann-Christoffel. Para isto, lembremos que as derivadas covari-

antes não comutam e que a lei de comutação para a derivada covari-

62

ante de um quadrivetor ay ê:

(2.IV.VII)

A fórmula (5.II.VII) nos dã a derivada covariante de

um q-espinor do tipo (t)iA). Se a derivarmos mais uma vez e trocar -

mos a ordem das derivadas obteremos dois quaternions, derivadas co

variantes segundas de um q-espinor. Sè os subtrairmos, obteremos

uma certa função que envolve o próprio q-espinor, as q-afinidades

e suas derivadas parciais. Essa expressão serã indicada por:

|V M |p}!v vy* 1\]iv vy* ^ & « «« •

(3.IV.VII)

A obtenção deste resultado é um pouco trabalhosa e se

encontra no apêndice II.

Ao quaternion IR chamaremos q-curvatura.

A expressão matricial da (3.IV.VII) I:

(31. IV. VII)

Como se pode ver no apêndice II, a q-curvatura tR ê

dependente das q-afinidades e suas derivadas parciais e sua expres_

são é:

**vy " ayrv " V y + ryrV " W (4.IV.VII)

Comparando-se (4.IV.VII) e (3.IV.VII) com (1.IV.VII) e

(2.IV.VII), respectivamente, veremos a analogia entre a q-curvatu-

ra tR e o tensor de Riemann-Christoffei.vy

Do fato de que r + r = 0 resulta que:

IR + IR = 0vy vy (5.IV.VII)

OU

63

tr( CR ) = Ovy7

(6.IV.VII)

A formula (4.IV.VII) mostra que CR ê antissimêtricanos Indices v e y . vy

Se tomarmos o adjunto da (3.IV.VII) e levarmos em con

ta a (5.IV.VII), teremos:

yvIR

mas vy vy/ logo:

— üT IR.vy

Levando em conta que o adjunto de um q-espinor do tipo

(tf* ) passa a ser do tipo (iK), vem:

vy(7.IV.VII)

Mas essa i , então, a le i de comutação na derivada covariante de um q-espinor covariante. Ela apresenta grande analogiacom a correspondente expressão tensorial.

Como as q-tetradas têm derivada covariante nula, resul^ta:

efetuando-se os cálculos, que são algo longos e encontram-se no

apêndice I, obteremos:

•r R W + IR (s*1 + (T CR «* 0 (8.IV.VII)

A fórmula (8.IV.VII) estabelece uma importante correia

cão entre o tensor de Riemann R.u__ e a q-curvatura e a correia-A rs

ção é feita pelas q-tetradas (Tw •

Multiplicando-se â direita ambos membros de (8.IV.VII)

por (T e somando-se nos y , vira:

I

64

.*« y ^ + iRrscrw <TM + 0"

w " cr - ors uu ~ rs - ~ y rs y

Como CTV <T = 4<T° e como '<Ty IR +r Q <T..y rs y

4

(2 tr « „•

e como de (6.IV.VII) conclue-se que tr OR'rg = 0, obteremos:

IR.rs i ****X rs

(9.IV.VII)

A q-curvatura ê uma função do tensor de Riemann-Chris-

toffel e das q-tetradas. A formula (9.IV.VII) mostra que DRrs não

ê hermltlano.

A inversão da formula (9.IV.VII) ê obtida se projetar-

mos a expressão (8.IV.VII) sobre <f , isto ê:

OU

[*rs rs I

(10. IV. VII)

0 tensor de Riemann-Christoffel ê definido quando co-nhecemos as q-tetradas e a q-curvatura ou, mais explicitamente,quando conhecemos as q-tetradas (Tp, as q-afinidades e suas derivadas parciais.

Se levarmos em conta a definição, (15.11), do produto

escalar de dois quaternions, mais o fato de que <S" ( 1R-J5" + "ê o adjunto do ( IR <TU + cry IR+we,) <T

e e também que A + Ã = tr A ,rs rs

obteremos a partir de (10.IV.VII) a expressão:*~'°) /i»8y \ _ _ l /r^i m ^ y _t_ #».y m + \ •

rs

rs1 .

- | tr j <r (lO'.IV.VII)

D e

65

0 , vem:

o-e o-" - <rBrs

<r8 - '.VII)

Ê claro que a partir do tensor de Riemann podemos

obter as suas formas contraídas. Assim, de (10.IV.VII) podemos

obter:

cr<°> « • » „ > - * « » R 6S - - tf81 ( mu3 <r»+ <r» . t , . ,

(11.IV.VII)

fi possível escrever a fórmula (11.IV.VII) sob a forma

de traço ou desdobrada em outras formas equivalentes, mas a forma

supra é mais compacta. O tensor R e também chamado tensor de

Ricci.

Se contrairmos a (11. IV.VII) obteremos a curvatura es-

calar R, isto é:

= <TÍO)R .6•Í B|{ DR. (12.IV.VII)

As fórmulas (10.IV.VII), (11.IV.VII) e (12.IV.VII) dão

as expressões quaterniônicas dos tensores de Riemann, de Ricci e a

curvatura escalar em função da q-curvatura e das <TM •

Para a descrição da curvatura do espaço de Riemann bas

ta o conhecimento das <TU* <TM, dos lRrs e das K

r s

A conexão entre a q-curvatura e o tensor de Riemann-

-Christoffel tem suas verdadeiras raízes na fórmula (10.III.VII)

quando se conecta a q-afinidade com os símbolos de Christoffel de

2 a espécie.

Dados,os <TU, e os símbolos {v%} construiremos asuvq-afinidades e a q-curvatura, entretanto do mesmo modo que os g

não fixam unívocamente os <5"y, o tensor de Riemann-Christoffel não

fixa unívocamente o tR .

Í 66

(V.VII) As equações.guaterniSnicas da gravitacão Einsteiniana.

0 tensor de Ricci ê exprimível em função das q-tetradas J

e da q-curvatura e isto esta indicado em:

Lit \ R VXJ ~ u IX/ V IRlX/ O IXJ T O \X| IK \XI 1

(o) s ' p s ps(ll.IV.VII)

É fácil provar que se {<T (x)} e A(x) são, respect ivamen

te, uma base e um quaternion da algebra de Clifford-Pauli local

C2(K. P(x)) e se em P(x) vale A(x) | <SB (x) = 0 para 0 = 0,1,2,3,

então decorrera que A(x) = 0 em P(x).f

Deste lema, podemos concluir que em todo ponto P(x), \

em que R (x) se anular, então se anulará também, o quaternion f

JR(x) <Tu(x) + <S"y (x) K(x) .ps ps

Consequentemente, se em uma certa região de V., tiver-

mos a equação tensorial:

Re(x) = 0 , (1.V.VII)s

teremos a equação quaterniônlca:

. .e fi-P <x) + <TW (x) IR+(x) m = 0 (2 .V.VII)

e sua adjunta:

IR(x) + IR+(x) <Tw(x) = 0 (2».V.VII) .ps ps

Reciprocamente, se vale (2.V.VII), então por (ll.IV.VII)

valerá (1.V.VII).

A teoria da gravitação de Einstein ê uma teoria tenso-

rial, onde o tensor métrico g v(x) tem papel relevante.

A correlação entre a equação tensorial (1.V.VII) e a

equação quaterniônica (2.V.VII) nos leva, naturalmente, á iriterpre

tar as q-tetradas <Tv(x) alem de componentes de bases locais, como

potenciais quaterniônicos. • ' *

67

Se as q-tetradas e suas adjuntas são interpretadas co-mo potenciais gravitacionais quaterniônicos, então as equações(2.V.VII) serão interpretadas como equações quaterniônicas da gra-vitação em espaço vazio.

No caso mais geral, as equações da teoria tensorial deEinstein/ (onde omitimos a constante cosmologica), serão:

R e(x) s - | R(x)s

K T6(x)s

(á.V.VII)

onde R(x) ê a curvatura escalar (12.IV.VII). K uma constante eT e(x) n o tensor de energia-quantidade de movimento da matéria, (in

S ""cluso o campo eletromagnético).

Tanto R (x) ^(o) 9 u a n t o 9 M s ^"(o) s^° âescritos

na forma de produtos escalares de quaternions, onde um dos quater-nions ê 9 (x), de modo que podemos escrever a equação (3.V.VII) naforma quaterniônica:

CT6(x) <Ty(x) IR+ (x) (fs(x))

. K . T9(x)s

da C_(K, P ( x ) ) f então:De fa to , T ( x ) s € C2(Kf P(x)) e se[(Tv(x)) é uma base

T ( x ) s « T w (x) s

T <X)S,CTV (x) T(x)

s

(5.V.VII), c.q.d.

Além dò mais, T(x)g é único, porque se

(T9(x) | T(x)S s

então

<T9(x) I (T(x) - T ' ( x ) " 0 , e pelo lema jã visto teremos:

T(x) « T'(X)9

c.q.d.

68

CTe(x)Então, podemos escrever:

K . (6.V.VII)

Pela independência linear dos elementos ãa base,(T (x)

em cada P(x), concluímos que:

- <TW(x) U) = K . T(x)s

(7.V.VII)

A adjunta serã, por (5.IV.VII):

TR(xi + lR+(x).il5 <Ty(x) - S|2i- CT^(x) = K. T(x)s s

A equação (7.V.VII) e sua adjunta (7'.V.VII), consti -

tuirão o que passaremos a chamar o par de equações quaterniônicas

da gravitação.

0 campo quaterniônico, hermitiano, T(x) esta associa-s

do â distribuição de matéria e energia existente em V4 e as compo-

nentes de T(x) , relativamente ã base local {<T (x)1 , serão8

componentes T (x) do tensor de quantidade de movimento-energia.s

as

fi simples varificar, que se multiplicanos (7.V.VII) à

direita por (Te(x) e (7'.V.VII) por C"G (x). à esquerda e somamos

obteremos a (3.V.VII), se levarmos em conta (11.IV.VII).

A forma usual das equações da gravitação, isto ê, as

equações tensoriais resultaram de um modo particular de combinar a

equação (7.V.VII) e sua adjunta ^'.

Devemos observar que os campos C M (x) e . <T? (x) , solu

ções das equações (7.V.VII) e (7'.V.VII)f estão correlacionados ao

potencial gravitacional tensorial, g (x), pois (rv(x) | CTV(x)

õê a solução das correpondentes equações Einsteinianas.

(3)M. Sachs1 obteve equações análogas às equações

(7.V.VX1) e (7'.V.VII) por meio de métodos variacionais. No presen

69

te trabalho:q~processo utilizado foi simples, direto e decorreu

muito naturalmente da correlação que se estabeleceu entre o fonua-

lismo tensorial e o .quaternionico.

Para sermos mais completos, devemos anexar as equações

(7.V.VII) e (7'.V,VII), a condição subsidiária:

„ * 0 (17.II.VII)

fi importante assinalar que chamamos as equações

(7.V.VII) e (7'.V.VII) de equações quaternionicas da cfravitação

Einsteiniana, devido ao fato de que os tf" (x) e seus adjuntos, so-

luções daquelas equações, sejam restritos a terem o produto esca-

lar, <r (x) | «f (x), solução dá equação (6.V.VII), que se reescre-

ve na forma (3.V.VII) é esta forma é coincidente com a forma das

equações de Èinstèih.'

As 4 equações matriciais (7.V.VII) erruivalem a 16 eoua

ções entre elementos de matriz. Existem condições subsidiárias,

pois na teoria Einsteiniana da gravitação o tensor

respeitar as 4 condições:

T (x)g deve

<gvs(x). o

Então, com auxílio das (5.V.VII) e (7,v.vil) , conclui,

mos que valem:

_V ( X ) J = 0

(8.V.VIT)

As (8.V.VII) são relações vinculando as citadas 16 e-

quações entre elementos de matriz, de modo que somente 12 serão in

dependentes. Em termos de tetradas, isto eqüivale a dizer que as

equações determinam WSmentè 12 das 16 h íx) (a) •\ 7* *, \' -

70

VIII. PRODUTO DIRETO DE ALGEBRAS QUATERNIÕNICAS E,GEOMETRIA ESPA-

ÇO-TEMPO NÃO RIEMANNIANÁ

As propriedades geométricas de um espaço dependem da

natureza dos objetos geométricos que constituem os referenciais Io

calizados neste espaço.

Demonstraremos que em um espaço em que os referenciais

forem construídos com quaternions, as afinidades geradas são não

simétricas e consequentemente a geometria associada é não Rieman-

niana.

(4)P.G. Bergmann* ao formular espinorialmente a sua teo

ria da gravitação, baseou-se, realmente, em uma algebra de quater-

nions, de modo que a sua teoria não permite a construção de espino

res de ordem superior ã segunda.

. Neste sentido a teoria de Bergmann não é equivalente à

teoria espinorial.

No presente trabalho partimos das idéias básicas de

Bergmann e construímos uma álgebra de quaternions e com auxílio de

Ia estabelecemos uma geometria diferencial em' espaço curvo com es-

trutura Riemanniana. Em particular obtivemos as q-afinidades, a de

rivada covariante e a q-curvatufà. 4

Vamos agora ampliar o conceito de álgebra de quater -

nions introduzindo o conceito de produto direto de algebras locais

de quaternions. Deste modo poderemos construir a noção de quater-

nion-tensor, introduzir a derivada covariante de quaternions-tenso

res e abrir a possibilidade de introduzir- afinidades diferentes ;em

uma mesma derivação covariante. -

A torção ê construída em função das q~afinidades, e dasq - t e t r a d a s . i- • '•••••." , - • , ' - > v , •. .

71

(I.VIII) Transformações admissíveis de coordenadas

Vamos construir uma geometria mais complexa que a

Riemanniana, de modo que vamos introduzir novos conceitos e preci-

sar melhor alguns conceitos anteriores.

Seja V^ uma variedade diferenciãvel por partes*5' ,4-di

mensional, com coordenadas reais locais xv ; v = 0, 1, 2, 3; onde

x° é tenporal e os demais xv são coordenadas espaciais.

Uma transformação de coordenadas admissível será tran£

formação de coordenadas, diferenciãvel, a jacobiano não nulo, com

derivadas parciais pelo menos até a 3a ordem.

Vamos indica-las For:

x'v = x | V (xw) (l.I.VXII)

Como o jacobiano de (l.I.VIII) i suposto não nulo, va-

mos nos restringir à região de V. em que:

LJL > 0

(II.VIII) Algebra local de Clifford-Pauli

Uma álgebra Cn(K) de Clifford, sobre o corpo K dos com

plexos ê uma álgebra a 2ndimensõesf gerada por n elementos e^ ; j»

= 1, 2, ..., n ; ditos geradores da álgebra.

Os geradores de uma ãlgubra de Clifford devem satisfa-

zer às relações de anticomutação:

(e e + e. e ) = 26 . e , (l.,II.VIII)i j j i iJ °

onde e é" o elemento unidade da álgebra e 6. . ê o símbolo deo J

Kronecker.

Se construirmos 2* produtos linearmente independentes,

72

de geradores, teremos uma base para a álgebra C R (K). Hã uma inf ini

dade de bases.

A álgebra de quaternions definida em II, também chama-

da álgebra de Clifford-Pauli*6*, ê isomorfa â álgebra C2(K).

Para a álgebra de quaternions C2(K) podemos escolher

como elementos geradores (T,, x e (T#2) • ° elemento unidade será o

Estes quatros elementos são linearmente independentes >;r

e constituem uma base para a álgebra C.(K).- r • ' 1

Esta base sera chamada base nao local:l QT. » A .

Na variedade V. podemos introduzir o conceito de campo r

de algebras locais de Clifford-Pauli. Este conceito será construí-

do por meio da definição em cada ponto P(xv) de V4, da álgebra de

Clifford-Pauli local C2(K, P(x)).

Com auxílio da base não local í^/ a))e d a s tetradas po

demos definir em cada ponto P(x) €. V. bases locais. <r (x)=g (x)«r'*(x)

Vamos impor que as tetradas satisfaçam, as mesmas con-

dições de continuidade e derivabil^dade que as transformações

U.I.VIII).

Estas propriedades são satisfeitas, também, pelas q-te

tradas (fv(x), como decorrência da (4.1.VIII).

A independência linear dos (j-, v e a independência li-

near dos vetores tetradas acarreta a independência linear dos c (x).

Definida a base iÓ~(a\/ e construídos os campos tetra

da | hu (x) Q ~j e seus recíprocos, vamos definir a álgebra de Clifford-

-Pauli local C2(K, P(x)) como a totalidade, em P(x), dos elementos

da forma:

Cv (x) <TV (x) - C (x) ,

f onde C (x) é em geral uma função complexa.i

73

fi claro que C(x) é um quaternion, dito local. Com auxí

lio de. (4.1.VII) e das métricas gyv(x) e gpv(x), podemos escrever

C(x) car* combinação da base não f <T(a)} • fi essencialmente neste

fato que se apoia a asserção de que C2(K, P(x)) seja uma álgebra

de quaternions/ se bem que local.

Ha elementos não locais e que podem ser descritos Io -

calmente, como ê por exemplo o caso dos próprios CT, » que são ex-

primi veis em termos dos <j- (x).(a)

(III.VIII) A afinidade assimétrica

O espaço quaterniSnico que estamos considerando está

referido em cada ponto P (x) â base {<r (x) ]• . As condições de con

tinuidade e derivabiliâade vão permitir relacionar bases próximas.

Para isto, consideremos em P(x) a base <r eitl

P(x + dx) = P(x) + 6P(x) a base (Tv(x + (Tv(x) + 6(Tv(x).

A base (Tv(x) + 6 <TVU) ficara determinada unlvocamen-

te relativamente â base <J~ (x) se conhecermos as componentes dos

quaternions 6 <T (x) em função dos (Tv(x) locais.

Tal como na analise tensorial* , escrevamos:

Í e (T0(x) =

L(x)vp

dxf (1.IZI.VIII)

As.64 funções

<TQ (x) são hermitianos.0

s ã o r e a i s' Pois

Estas L (x) constituem as afinidades do espaço quavpvp

terniônico que estamos considerando

De (15.II.VII), temos:

ô' dxp = 3 (_<rv(x) IP

dxp - 6 <r (x) ,(2.in.viu)

74

ondende

*<r>> = axp (<r5 |%pJ+ <rv(x) rpf(x)+ rp M <rv<x)J (s . in .

Mas (T (x) r +(x) + r (x) (T (x) ê um quaternion her-v v p p v

mitiano, local, logo pode ser desenvolvido em termo da base local

{(Tx(x)} :A <x>vp = <TV

(X) rp + ( x ) + r p ( x ) ^ y W = A3(X)VP V X ) '(4.III.VIII)

onde os AB(x) são,salvo restrições, 64 funções reais.vp

Se compararmos a (1.III.VIII) com (3.III.VIII) e levar

mos em conta a (4.III.VIII), teremos:

L<x>\p

A afinidade L(x) yy não ê simétrica em geral, jã que

a A*1 , raivo restrições, ê assimétrica.

Um espaço dotado de tal afinidade não simétrica ê não

Riemanniano.

(IV.VIII) Derivada covariante em um espaço dotado com uma base<r(x)J

A estrutura geométrica de uma variedade diferenciâvel

se reflete no conjunto de seus referenciais, pois em cada ponto da

variedade é possível caracterizar as afinidades e o tensor métrico

por meio dos referenciais localizados nestes pontos.

A cada ponto P(x) £ V., associamos a álgebra de

Clifford-Pauli local C2(K, P(x)). Vamos também associar um espaço

vetorial, real, constituido pela totalidade dos vetores contrava -

riantes de componentes reais Av- = Av (x). ..

Este espaço vetorial local será indicado por T4(R, P(x)).j

Em cada P(x) £ V4 podemos definir o espaço vetorial T'.(R, P(x)),

75

constituído pela totalidade dos covetores reais A = A (x).

Se as Av (x) são as componentes de um elemento de

T4(R, P(x)) então podemos formar o quaternion hermitiano local

A(x)€c2(K, P(x)):

A(x) = Av (x) <T

!

Se admitirmos condições suficientes de derivabilidade

para os Av (x), vamos definir a derivada do quaternion vetor A(x),

como sendo:

A(x)| p = (Av (x) p + AX (x) Lv (x) X p ) <rv(x) (l.IV.VIII)

A afinidade L? (X) . não ê simétrica em geral nos ín-

dices \ , p ; de modo que hã dois tipos de derivada covariante

possíveis:

Av (x) | =Av(x) „ +AX(x) Lv (x), (l'.IV.VIII)

AV (x). = AV(X) n + AX(X) LV ÍX)

IP rP(1'MV.VIII)

Para nosso trabalho vamos escolher (l'.IV.VIII) comosendo a definição de derivada covariante das componentes contrava-riantes de um quaternion vetor.

Os acréscimos paralelos dos quaternions de base são:

v(X) (x)vp ^u (X) d X p

- H

(2.IV.VIII)

(3.IV.VIII)

Com estas definições temos:

(x) (x) Lv

(5.IV.VIII)

76

Daqui por diante, salvo menção contraria, a definição

de derivação covariante será do tipo (+).

(V.VIII) Produto direto de algebras locais de Clifford-Pauli[h

Em cada ponto P (x) £ V\ podemos construir o produto di- [

reto de algebras de Clifford-Pauli locais C2(K, P(x)). I

Faremos a construção para o caso do produto direto de l

duas algebras e a generalização para o caso de produto de mais de (

duas, se fará de modo natural, por indução. \\

Consideremos o caso C_(K, P(x)) 0 CO(K, P(x)). í

Neste caso estaremos multiplicando a álgebra C2(K, $(x)) |por si mesma.

Poderíamos considerar em P(x), algebras distintas econstruir o produto direto delas. Isto seria uma generalização,nãonecessária para os nossos objetivos atuais, gue permitiria a cons-trução de derivadas covariantes com afinidades de espécies distin-tas.

Com auxilio das bases local J <y (x) \ e não \&. * ] da

álgebra C2(K, P(x)), formemos o produto direto:

<rM<x> ® cr v (x) = h l Mx)^ h l p ; ( x ) v < r ( a ) ® <rtoS , ( I . V . V H D

com

Todo elemento de C,(K, P(x)) 9 C2(K, P(x)) e da formaf (x) (Tu(x) 0 0"v(x), onde f

Pv (x) é uma função em geral complexa.

Consideremos um campo tensorlal TMV(x)€T4(R, P(x)) 0* Ü IXV, t IXJ i •

Formemos a combinação linear local:

77

MVTOO = TMV (x) CJ- ÍX) _• CTv(x) , (2.V.VIII)

O elemento T(x) não ê um quaternion, será chamado um

quaternion tensor de 2a ordem representado por suas componentes

contravariantes.

No caso geral de um tensor quaternion de ordem n as

componentes serão as componentes de um tensor de ordem n.

A métrica 9yv(x) e sua reciproca nos permite represen-

tar T(x) em função de suas componentes cbvariantes oú mistas:

T(x) =

ps

9 <Tv(x) « Tp (x)v 0"p(x) © CTv(x)

© crs(x) (3.V.VIII)

Os elementos de matriz da representação matricial de

T(x) são as componentes da sua representação espinorial, enquanto

que os coeficientes do desenvolvimento de T(x) em função dos produ

tos diretos <r (x) ® <T (x) constituem as componentes de sua repre

sentação tensorial.

O inverso da fórmula (2.V.VIII) se faz com auxílio da

fórmula:

| t r ( <r (x) <rv

zes ' , vem:

(4.V.VIII)

De fato, pelas propriedades de produto direto de matri,

(x) <re(x) =

J ®<r (x) ® orv(x) . <rp(x)

. CT6(x)• ] • (5.V.VIII)

Tomando o traço de ambos membros e levando em conta a

(4.V.VIII) , vem:

| t r FT(X) *ve<x) s T

P e w

(6.V.VIII)

78

Este processo.de inversão se .aplica de modo análogo,

qualquer que seja o número de fatores no produto direto.

A componente genérica de representação espinorial de

T(x) e:

T ( X ) A4CD = T v v ( x ) ^ AB ( x ) ^ C D

tal qual no calculo espinoral usual

(VI.VIII) Derivada covariante de tensores quaternions

Vamos introduzir o conceito de derivada covariante deum tensor-quaternion. Em particular abordaremos explicitamente ocaso de tenspor indução.caso de tensor-quaternion de 2 ordem, mas a regra geral se obtém

Seja T(x) € C2(K, P(x)) ® C2(K, P(x)), dada por:

T(x) = Tpv(x) 0"y(x) 9 crv(x) , (1.VI .VIII)

onde

Tyv(x) €T 4(R, P(x)) ® T4(Rf P(x))

Vamos definir a diferencial absoluta de T(x) por meioda expressão:

dxp T(X) [p = 3 TyV

3 X K K

(CT (X) 9 <T (x)) , (2.VI.VIII)+

onde:

6 ( <Ty(x) 9 CTv(x)) = (6CT

+ cry (x) 9 (6 crv (x)) <3,vi'.viii)

Sabemos de (2.IV.VIII) que:

79

Então vira:

T(x)IP

cre(x)

VP "e<T.(x) dxp

(Tv(x)

(4.VI.VIII)

crfl(x)

iP

6

logo:

T(x)

L (x) 6v p cry(x) ® crQ(x)

o6 (x> L wvT w v (x)

<Te(x)

®<T9(x)

(5.VI.VIII)

Os coeficientes de (5.VI.VIII) coincidem com a defini-ção de derivada covariante de um tensor de 2 a ordem duas vezes contravariante onde a afinidade e L(x) p *.

vp

0 caso Riemanniano surge quando r (x) = 0

A generalização para. o caso de um tensor quaternion detipo ou ordem arbitrários i agora facilmente construtível.

(VII.VIII) A torção

A afinidade* t_v(x)w não ê simétrica em geral. Podemosvp -

decompo-la em uma parte simétrica e em uma parte antissimetricat

L(x)*.•v»P vpV

com

tw"

- L '

(X)

pvV

(1.VII.VIII)

(2.VII.VIII)

(3.VII.VIII)

80

Explicitando melhor:

<rv(x)rp+(x) + rp(x)<rv(x))

(xrp(x) rv+(x) +rv(x) <rp(x))l | <r

y(x))l (4.VII.VIII)

= 1 [((rv(x) rP+

(x) ffvW) '

- (<r (x) r T(x) + r <x)<r (x))p(x) rv v(x)<rp <ryCx>(5.VII.VIII)

Sabemos que a lei de transformação das afinidades, in-

zida pela lei .(l.I.VIII), é diferente da lei de transformação dos

tensores, .isto é, não ê uma lei linear homogênea, é apenas linear.

A soma de duas. afinidades não ê" uma afinidade, se bem que.a. soma

de uma afinidade .e um. tensor, com a mesma estrutura de Indices, ê

ainda uma. afinidade.

(9)Da lei de transformação de uma afdnidade decorre

que a parte antissimétrica' d,a afinidade se transforma como- une ten-

sor. Então A^íx)^ , -dado por "^5T.VII.VIII) se transforma .como. .um

tensor e -este tensor será chamado tensor das torções ou simplesmen

te torção.

Notemos que a torção está associada a existência da

q-afinidade r (x).

Então,, tm espaço 4otado1 com uma estrutura de referên -

ciais | (Tv tx) J é em geral um espaço dotado de torçãc.

(VIII.VIII) Lei de transformação de quaternions tensores

"i " ' - Í , .

Em , (VWIII) introduzimos o. conceito de produto direto

de algebras locais de Clifford-Pauli. Todo elemento, de um produto

81

direto , por :exemplo,. de duas algebras C(K, P(x)) I da forn^a generica fH (x) cr (x) 0 <T

Os quaternions-tensores do segunda ordem constituem umsub espaço ve tor ia l de C2(K, P(x)) 8 C2(K, P(x)) e são caracterizados pelo fato de que as fw v(x) devam se transformar como componentes contravariantes TRV Cx) de um tensor de 2 a ordem. Ja1 assinala -mos anteriormente, que podemos representar o mesmo quaternion-ten-sor por meio de suas componentes covariantes ou mistas bastando,para i s t o , mudar, a representação da base local da algebra com auxí-l i o da métrica g (x) .

Analogamente â (27.1.VII) , definiremos-a l e i de trans-formação dos quaternions de base <T (x) , intluzida pelas ( l . I .VIII) ,como;

cr'y(x') Q(X) CTv(x) QT(x) , (1 .VIII .VIII )

Então:

Q(x) CTp(x) Q'(x)

®Q(x) Qf(x)s

Q(X) fi>Q(x) .<r (x)p

. Qf(x) 0 Qf(x)(2.VIII.VIII)

A expressão (2.VIII.VIII) I a l e i de transformação dabase local{cr (x) <8 <Tv(x)} do produto de algebras C2(K, P(x)) ®« C2(K, P(x. > .

A l e i de transformação da base de um produto de n Slgebras ê construido, por indução, a pjartir da, (2.VIII.VHI) .

Conhecida, a le± âe transformação dos. elementos de basede Co(Kr.P(x)) <S C,.(K, E(x) )v podemos obter & l e i de transformação

82 82

de um quaternion-tensor, por exemplo, de 2 ordem.

1 p5Se levarmos em conta que T'pV(x) = ~ L 2*1- T p 5 <x>

3xp dx\é a transformação induzida em T pelas (l.I.VIII), virá:

Ti(x.) = T'yv(xt) CT^ (x1) ® <Ty (x1) =

= Q(X) ® Q(x) . Tpff(x) . <Tp(x) 9 Gs (x) . Q+(x) <8 Q+(x) =

- Q(x) 9 Q(x) . T(x) . + (x) 9 Q+(x) . (3.VIII .VIII)

A lei de transformação de um quaternion-tensor de or-

dew n se obterá, por indução, a partir da (3.VIII.VIII) .

0 produto de quaternions-tensores não e em geral um

quaternion tensor, mas o produto direto é.

(IX).VIII) Produto direto de quaternions espinores

Vamos definir quaternions-espinores de I a ordem,contravariante, a todo quaternion $ (x) ÇC-ÍK, P(x)) que satisfaça àsequações:

4> (x) E • * (x) 1f , (1.IX.VIII)

(x) J

onde E + = 7 (<r(o) + <T(3)) .

Ao campo quaterniônico Q(x) imporemos a condição deunimodularidade, isto é:

Q T X T Q(X) • CT - (2.IX.VIII)

Os quaternions Q(x) constituem um grupo, dito unimodular2 x 2 .

Sabe-se que as transformações de Lorentz próprias,òrtocronas admitem representações tensoriais e representações espino -

83

riais, mas o grupo- das transformações gerais de coordenadas ,(1.1.VIII) somente admite representações tensoriais. Deste modo vamos admitir que o grupo .das transformações unimodulares, Q(x),atue independentemente das transformações admissíveis de coordena-das.

Se> tomarmos.'O complexo conjugado das equações(1.IX.VIII) obteremos:

(x) (x)

= Q (x) <j> (x)(3.IX.VIII)

* Q*(x) = (T(o)

Estas equações definem localmente um espinor de i ordem, contravariante com.índices .complexos (p) .

Seitomarmos as adjuntas der (1. IX-VIII). obteremos osquatemions-espinores covariantes de I a ordem.

Ê + TTxT(4.IX.VIII)

Q(x) - <

Se tomarmos o complexo conjugado destas últimas, obte-remos b qàafeemian,-espinòr de I a ordem, covariante, com índice complexo, (p.) :

* *E

(5 .IX.VIII)

Q(x) * Q*(x) - (o)

: ;. O produto de dois quaternions espinores não ê, em ge-

ral, um quaternion espinor.

84

Se construirmos a lei de transformação do produto dire

to de dois quaternions do tipo (1.IX.VIII), obteremos:

e

• • (x) 8 <|/'(x) = Q (x) * (x) 0 Q (x) i|»(x) =

= Q (x) 8 Q (x) . * (x) 8 i|> (x) ;

* (x) E+ 8 i|i (x) E+ • * (x) ® i|i (x) , ou

* (x) 8 * (x)' . E+ 8 E+ = 4 (x) 8 * (x) .

(6.IX.VIII)

(7.K.VIII)

Vamos, então,definir como quaternion espinor de 2 or-

dem contravariante sem. índice complexo a todo elemento de

C2(K, P(x)) ® C2(K, P(x)), que satisfaça a:

(8.IX.VIII)

F1 (x) = Q(x) 8 Q(x) . F(x)

F(x) . E 8 E - Fix)

De Q(x) . Q(x) = (T^oj , decorre:

ÕTxT 8 QTXT . Q(x) 8 Q(X) = cr (o) e cr(o) O.IX.VIII)

A lei de formação de um quaternion-espinor de uma dada

ordem e um dado tipo será inferida, como no caso da (8.IX.VIII) ,pe

Ia lei de formação do produto direto de quatemions-espinores de

Ia ordem.

Em particular, um quaternion-espinor de 2 a ordem contra

variante, com o primeiro:índice complexo (p) , e o segundo não com-

plexo, serã todo elemento dé C~(K, P (x)) 8~C2(K, P(x)) que respei-

te as propriedades:

F1 (x) • Q (x) 8 Q(x) F(x)

F(x) . E + 8 E + = F(x)

(10.IX.VIII)

85

Notemos que Q*(x) ® Q(x) . Q*(x) ® Q(x) =

f (o)

Q*(x) = ÕTxT*

(o)e <*ue:

Um quaternion-espinor de 2 a ordem, duas vezes covarian

te será todo elemento F(x) de C2(K, P(x)) ® C2(K, P(x)) que se

transformar como:

F1 (x) = F(x) ÕTx) <8

F(x) . E+ ® E + = F(x)

(11-IX.VIII)

No caso de um quaternion-espinor, misto cora o primeiro

índice cortravariante, temos:

F* (x) - Q(x) ® ÕTxT . F(x)

TF(x) . E+ 0 E^ T = F(X)

(12.IX.VIII)

onde QTx) = Q (x) , e Q (x) e o transposto do quaternion Q(x).

Ê fáci l verificar-se que:

QTx) 9 QT(x) Q(x) 8 TO) T

A partir.destes exemplos, podemos construir um quater-

nion-espinor de ordem e espécie qualquer.

(X.VIII) A afinidade |_y(x)v em função dos campos tetradas h (x)

Vimos em (5.III.VIII) que podemos decompor a afinidade

Se levarmos em conta que:

(1.X.VIII)

86

(onde os h[a) (x) são-os recíprocos dos h y ( x ) j a j , então do anula-

mento da derivada covar iante das q - t e t r a d a s <3"(x) , r e s u l t a :

(2.X.VIII)

Devemos lembrar.que as derivadas covariantes são do ti

po (+) devido ã assimetria da Lu(x) , , isto ê:* vp

h ( o ) ( X ) , o = h ( o )(x) , =UlP V I P

= h(a)(x) a - h( o )(xK LX(x) = O (3.X.VIII)

0 = h(ot)(x)

Usando a decomposição (5.III.VIII) temos

(x)A AX

ürP- h ( a ) (x)

De (4.VII.VIII) e (5.VII.VIII), temos:

logo

AX (x)HP

AX (x) + AVP—

(x)HP

v

(5.X.VIII)

(6.X.VIII)

Decompondo h . (x) em uma parte simétrica e numa„ P f P

parte antissimetrica, obteremos:

(x)

(a)

»P

h ( o ) (x) + h(a)(xKAX (x)ji_p A y pv

ÍL

(7.X.VIII)

,

87

Para obter a correspondente equação em termos das g-tetradas, basta multiplicar ambos membros da (7.x.VIII) por cr, esomar sobre (o).

Igualando as partes simétricas e antissimetricas, res-pectivamente, virá:

PfW (x), [X \y P

h ( o t ) (x) - h ( o t ) (x)P/y

OU

A6 (X)yp

A6 (X),

y #P p *y ] • Í .M

•] '•(8.X.VIII)

.X.VIII)

As (8.X.VIII) sao em numero de 40, enquanto que as(9.X.VIII) são em numero de 24.

Poderíamos obter os resultados (8.X.VIII) e (9.X.VIII)em função.das q-tetradas se partíssemos da (7.X.VIII) multiplicadapor <r. . , somando.sobre os (a),e posteriormente usando o produtoescalar de quaternions, is to I ;

U).._(o)12

<X(x) • • ] -( .8 1 .X .VIII )

(x) _ 1yp " 1V

(x) Ter (x)y . P ] (91.X.VIII)

88

Por (4.VII.VIII) e (5.Vil.VIII) ve-se que A 9 U ) U e

A (x) são reais,ypv

Se as q-afinidades r (x) forem .nulas, então as.

(8.X.VIII) e (9.X.VIII) se anulam, mas a recíproca-não é valida.

O anulamento A (x) impõe 40 relações* funcionais eu-

tre os símbolos- de Christoffel de 2 a espécie \ p j , os campos te -

tradas e suas derivadas:

(10.X.VIII)

Se levarmos em conta que det(h. . (x) ) 0 , o anula -B — —

mento de A (x) impõe 24 relações:

Ae(x).._ = O

= 0

(11.X.VIII)

• Para que as reiações (11.X.VIII) valham, não & neces -

sãrio que a afinidade L (x) seja integrãvel.

Devemos•observar, também, que-por uma transformação de

coordenadas admissível, (l.I.VIII), os campos tetradas se transfor •

mam comoi - B

h|(ot)(x') =1-2—h ( o i ) (x) (12.X.VIII)v a xlV v

Comfauxílio das fórmulas (1.VII.VIII) , (8.X.VIII) e

(9.X.VIII), obtem-se:

A expressão (13.X.VIII) e geral, não exige a integrabi_

89i»

lidade da afinidade ou a simetria nos_ índices inferiores.

Se levarmos em conta a relação (2.IV.VIII), podemos es

crever a (13.X.VIII), como um produto escalar de quaternions, isto

ê:

6 + <ry(x) dx

logo:

LA(x) = 0-X(x) \

Com o formalismo quaternionico construido, podemos pas_

sar a algumas aplicações.

(I.IX) A quadri-velocidade e a quadri-aceleração em espaço tempo

quaternionico.

Daqui por diante vamos nos apoiar nos conceitos e rela

ções introduzidos até. o capítulo (X.VIII) , de modo, que os usare -

mos sem maiores detalhes, ou explicações.

Seja o quaternion hermitiano:

dX(x) = dxv <Tv(x) (l.I.IX)

onde dX £C2(K, P (x)) ..

Cor. a base local.íõ" (x)} , podemos construir a métricag (x) e com es ta , formar a norma de quaternion dX(x) , i s t o ê:

dX(x) | dX(x) - dxM dxv

dx (x) Ò"

rp ( x )

dS 2 <T (2.I.IX)

Definamos a quádri-velocidade ü(x) como o quaternion

. _

ü(x) 6 C2(K, P(x)), tal que:

90

ü(x) . «Js> = *f ^(x) =u v(x) <rv(x) - (3.i.ix)v

O arco dS liga os pontos P(x) e P(x + dx) de V4.

Seja U(x + dx) - ü(x) « d(U(x)) (4.1.IX)

isto é:

d(U(x)) - d(üv(x) <Tv(x)) -

= dUV(x) (Tv(x) + Uv(x) 6 +.<Tv(x) (5.1.IX)

Mas dU v (x ) = 3 U ( x ) dx p e l e v a n d o em c o n t a ( 2 . I V . V I I I ) ,3xP

obteremos:d(ü(x) ) - dUX(x) CT, (x) + Uv(x) LX(x) CT (x) dxp -

A v p A

= fajíi íx) + o v ( x ) LX(x) 1 (Tx(x) dx^ . (6.1.IX)I 9X _]

Definiremos^a tjuadri—aceleração W(x) como o quaternion

W(x) € C2-(K# P(x)) t a l que:

W(x) = ^SÍ2L}- I ^ S S Í S J * uv(x) LX(x)vp Up(x) o"x(x) (7.1.IX)

OU:

W(x) - WX(x)

onde: .

Lwx(X) = d i y s ) + ov ( x ) [}U)^ u P ( x ) =

J 2 X , v , , p• l O • J- » X A ;

Como:

U(x)| U(x) = ||-" ff - íTv(x)| (Ty(x)v(x)| (Ty

(9-x-lx)

conclue-sê que:W(x) | ü(x) • 0 (10.I.ÍX)

91

(II.IX) A equação da geodésica em espago-tempo quaternionico.

De (7.1.IX), a equação da quadri-aceleração nula é:

ayx) - o (i.ii.ix)o*C«>

Somente a parte simétrica da afinidade contribue para

a equação (l.II.IX). Se levarmos em conta que a parte simétrica

L X p vale {vAp} X+ A X ( x ) ^ , teremos:

is

uv(x) up(x) <rx(x) (2.II.IX)

onde A (x) e s t a dada em (4.VII.VIII) em função das q-tetradasG (x) e dãs q-afinidades r (x) e suas hermitianas associadas, ou

em (8.X.VIir),, como função dos campos tetradas h, . (x) e as deri-vadas de seus recíprocos.

Se os campos <r (x) respeitam as condições subsidiárias:

= 0 (3.II.IX)

então, a equação (2*11.IX) coincidirá com a equação da geodésica

de uma variedade pseudo-Riemanniana 4-dimensional dotada com a as-

sinatura ( + - - - ) .

A independência linear dos crx(x) permite que se escreva:

dUA(x) [v\] üV(x) ü II.

-Se temos'uma.geometria 4-dimensional quaternionica, do

tada de uma métrica:

92

e de uma afinidade:

< r u ( x >

dxp

a toda curva xv(S) , solução, da equação (l.II.IX), chamaremos de ge

odésica quaterniônica.

.Por (2.II.IX) , vê-se, qae quando A íx) = 0, a geodêsi^

ca quaterniônica-coincidira com agecdêsica métrica de uma varieda

de pseudo-Riemanniana» pois a parte.simétrica da L (x) coincidi-

rã com o símbolo de Christoffel de 2 espécie formado com os giiti(x),

isto é, coincidira com o

X. A q-afinidade r (x) em função da torção.

No capítulo-V.Vir vimos que as equações quaternion!casda gravitação, (7.V.VII) e (71 .V.VII)\f foram suplementadas pelacondição subsidiária G\,(x)|n ~ 0 , mas, se levarmos er- conta que:

0\

(x) |

então, de <J"v(x)v(x)|

(Tv(x)

0 , decorrera que:(o) ,

(l.X)

Logo:

porque:

fácil concluirmos, então, que vale:

(TB(x)

(l'.X)

(2.X)

93

pois:

(g v (x) cr ,(x)) i = crV IP IP

A condição (2.X) pode ser escrita de modo explícito

com auxilio da (13.II.VII):

cr (x)i = 0 = <xB(x) + <jx(x) LB(x). , (3.x)

onde

Então:

Utilizando a relação (10.III.VII), teremos:

(4.X)

r (x) = £ Ap(xK + Ap(xK 0" (x) 3\,(x) . (5.X)

j P * L LP ^PJ *i Esta relação expressa a q-afinidade em função da tor -

çao A (x) , e do tensor simétrico Ap(x). .v Ap M»

Nos casos em que impuzermos a restrição A (x) . = 0 ,

valerá a (10»X.VIII) e obteremos:

(6.X)rp(x) •- J Ap(x) lr t . cr'

v=0

Neste caso, a q-afinidade dependerá somente da torção,

das q-tetradas e suas adjuntas.

Se estivermos em uma variedade V4 em que a torção for

nula e valer a (6.X), então:

94

r (x)p

(7.X)

Xp ' " w X p '— v

Heste particular caso (7.X) , a variedade v4 sera

Riemanniana, a afinidade sera a própria de Christoffel, | x p J •

De (4.X), obteremos então:

rp(x) = o(8.X)

Escrevendo os c (x) em função dos c , e levando em

conta a independência linear destes, virá:

= 0

ou(X)

(a) ,p

h x(x) ( a ). hv(x)(o)

(9.X)

A condição (8.X) eqüivale a í CT (x) s 6 (T (x)=CTx(x)i X 1 6xf

Podemos interpretar este caso especial, dizendo que no

transporte paralelo., dos cT (x) a sua estrutura interna manteve-se

rígida, não dependente da 6xp e para isto é necessário e suficien

te o anulamento das q-afir.idades r (x) em toda variedade V. .

Uma variedade sera a torção uniforme se a derivada cova

riante da torção se anular em toda a variedade, isto e:

(10.X)

v +

Com auxílio das. (6.X), concluímos que uma variedade a'

torção uniforme e onde o tensor simétrico AB(x), for idêntico a

95

zero, serã uma variedade a q-afinidade uniforme, isto é:

rp(x) |-á = 0 (11.X)

XI. VARIEDADE ESPAÇO-TEMPO' QÜATERNIÕNICA, DOTADA DE AFINIDADE

INTEGRÁVEL E TORÇÃO UNIFORME

No capítulo III e VIII vimos que a variedade V- pode

ser referida, em cada ponto P(x), a uma base íG" (x)^ da algebra Io

cal C2(K. P(x)). Cada base se relaciona com a base vizinha por

meio de condições de continuidade e derivabilidade e destas surge

a afinidade Líí (x) , explicitamente indicada em (5.III.VIII) .

Com auxilio de (1.VII.VIII), (2.VII.VIII) e (3.VII.VIII)

•; v e m :"i

ei.»»

Sabemos que a condição necessária e suficiente para

que uma afinidade seja integrável e que o correspondente tensor de

Riemann seja nulo em todo P(x) C V 4 onde é" definido. A condição de

afinidade integrável corresponde a uma condição de paralelismo à

distancia. Se a U'ix) é" suposta integrável, o tensor de Riemann

associado, U1 (x) o , é nulo em toda a variedade, isto ê:

= 0

A integrabilidade de afinidade não é suficiente para

que a variedade seja achatada, (flat space-time), a menos que a

torção Ay(x) ,„ seja nulavp

Na teoria- Riemannians úa gravitação, a conexão é simé-

trica e a torção se anula. No caso em estudo a torção não £ nula

96

mas podemos impor a condição de torção uniforme. Deste modo, a af:L

nidade que estamos considerando esta sujeita a dois tipos de res -

trições:

m 0

p|

v +

onde

V +

A derivação covariante do tipo (-) defere daquela do

tipo (+) e facilmente, se demonstra:, levando em conta a independên-

cia linear dos (T (x) , que se tivermos-try (x) ] Q = <TV(X)I , então a

finidade será simétrica isto 3 LNx) •* L^M "afinidade será simétrica, isto 3, LNx) py

Deste resultado decorre que a existência da uma torçãoesta ligada' â não coincidência dos dois tipos de derivação covari-ante. No apêndice IV constroi-se o CTv (x) i e o g (x) i em fun-ção da torção. — —

Imponhamos a condição:

Au(x)vp = 0 (5.XI)

• Com esta hipótese a parte simétrica da afinidade L? (x)

coincidira com a afinidade de Christoffel, \ u \, isto é:

e então :L U { U ] ^ p • (6.m

97

Com a parte simétrica da (6.XI), isto é, com a I u \ ,\v p J

construamos uma entidade formalmente análoga ao tensor de Riemann -

-Chris toff el de uma variedade cuja afinidade fosse a i v \ . Chame

mos a esta entidade de s jj'ix)- e a definamos como:

a3,Y u _

i it i \

„ , (7.XI)

onde a LNx) . ê dada em (5'.XI).Olp

No apêndice III demonstra-se que a s LW (x) é um ten«• u - ^ ""sor construtxvel com o tensor [_ (x) e deste modo terá todas provp —

priedades do tensor de Riemánn-Chrisiíoffel, apezar de estar defini^

do em uma variedade cuja afinidade ê a |_w (x) .A curvatura de

rotação e dada pelo tensor L^Xx) g , mas por (3.XI) , esta-curvatu

ra e nula. A condição (5.XI) restringe os símbolos de Christoffel

de 2 a espécie a se relacionarem às tetradas por meio das equações

(10.X.VIII).

variedade que estamos considerando, os tensores fun

damentais são o g v(x) e o LW(3t)v e eles são construtíveis com

os <T (x), seus adjuntos e suas derivadas.

Como s Lu (x) D é estruturalmente um tensor de Riemann-

-Christoffel, então valera a relação:

A fórmula (5.A.III) do apêndice III nos dá a relação

entre s I y(x) o e a torção:

(9.XI)

98

Deste modo o s |_M(x) o sendo um produto de tensoresfêotpy «.

um tensor. A (9.XI) e o fato de que a variedade seja a torção uni-forme leva a:

.xi)

O tensor s j_ (x) g faz o papel da parte Riemanniana da curvaturatotal LM(xJ- • 0 e a formula (10.XI) nos diz que o s L v í x ) a P Y eum carpo uniforme. ,

O conhecimento das 24 componentes Ly (x) determina oS Lw(x)ag ,que está sujeito as 4 condições subsidiárias (10.XI).

A teoria quaterniõnica que estamos construindo tem co-

mo entidades fundamentais os campos G"v(x) e seus adjuntos. Neste

capitulo XI, construímos uma teoria tensorial, métrica, onde a tor

ção é o tensor fundamental, alem do g- (x). Ambos são construidos

com os or (x) e seus adjuntos e derivadas.

Do apêndice III, vemos que c tensor contraído, construi^

x) o

•L(«)

do com o s l_y (x) o é dado por:OPY

V

Este tensor tem as propriedades de um tensor de Riccie se bem que a afinidade desta variedade seja a Lj'ix)^ o tensorSL() ê / v ]L(x) ê construido com a / v ]

Como L? (x) i>2 = 0 , então este tensor também é uni -forme, isto é: v +

ay,5 . (11.XI)+

Construamos os campos vetoriais duais dos camposf i s t o -.

€ La (x)V . (12.XD

onde ^ Xayv i a densidade de Levi-Civita.

99

Da uniformidade do |_°(x)yV , resul ta :

TB « 0 (13.XI)

Os tensores gy v (x) e L*(x)g são independentes, esão considerados os tensores fundamentais" da variedade que estamosconsiderando.

0 tensor s L (x) deve ser uma combinação l inear detensores simétricos construídos com o g (x)* e o Lv (x) e estascombinações l ineares devem ser t a i s que a derivada covariante sejanula* A solução geral da equação (11.XI) pode ser esc r i t a :

L(x)._ - a g....(x) = b $..(x) *..(x) . (14.XI)- a gyv(x)

Tanto g (x) quando <f> (x) sao- 1 uaByconstrutiveis cornos campos cr (x), suas derivadas e seus adjuntos.

Se admitimos as equações quaterniônicas de campo como sendo- as e-

quações 07.V.VII). e (7'.V.VII) e como estas são restritas ã condi-

ção tensorial (3.V.VII), que é a forma Einsteiniana das equações do

campo gravitacion=il, então deveremos identificar:

R(x)a

b = K

T (x) = *

(14'.XI)

Entãor podemos considerar as equações (14.XI), com as

identificações- - (14' .XI), como as equações tensoriais. da, variedade

espaço-tempo •quaterniônica dotada de afinidade integrável e torção

uniforme. ;

As equações qaraterniõnicas desta mesma variedade serão

as equações ('7*V. ..VII) e d'.V.VII), juntamente com a condição sub

s i d i ã r i a <S (x) . = 0 .v | p

100

Os .campos- <|> - (x) devem ser dados e a métrica g (x) de

ve ser obtida como solução, das (14.XI).

Dar os <f> (x), corresponde a conhecer em cada P(x) os 10

XII. GENERALIZAÇÃO DA. EQUAÇÃO DE WEYJ, ,PARA O CASO DE UMA VARIEDADE

ESPAÇO-TEMPO QUATERNIÔNICA.

Consideramos um campo quaternion-espinor ty (x), do tipo

(•i (x)).Como sabemos,: a derivada covariante deste caititu I:

• (x)|v = *(x)^v - rv+(x) r|>(x) (8.II.VII)

Multiplicando a esquerda por o~V (x) e somando em v, virá:

<TV(x) *(x)i = <jv(x) \|i(x) - cv(x)r (x) i|<(x) (l.XII)

A equação de- Wey 1 ' em espaço achatado, em coordena-

das cartesianas ortogonais Çt

# ( v ) - 0 (2.XII)

A generalização'de unia tal equação para um espaço cur-

vo quaterniônico será:

|v = 0 (3.XII)

Se desenvolvermos a *(x) i por meio de (8. II.VII) , vi.

ra_:

<Hx) - crv(x)r

A equação (3.XII) e covariante desde que ij)| se trans-

101

forme como uma entidade q-espinor covariante com índice p, veto

r ia l covariante, isto é, se transformar-se como:

|V y>x«yp(x) i"A le i de transformação dos <rv (x) e conhecida e dada

em (l.VIII.VIII) . A (4.XII) ê inferida com auxílio das (3.XII) e

(1.VIII.VIII).

A equação (3'.XII) poderá ser escrita em função dos

Ap(x), se utilizarmos a (5.X):AP

v v<rv(x)i v 4 L ' W

<r (x) . o-A(x)P

Se a variedade for tal qua & '(jt) = 3, como e o caso

(5.XI), entàó:

(5.XII)

= 3, como e o cas

<rvlx)ij;(x) , - ^ - M - A ^ Í X ) . , <Tft(x) CT (x) i|)(x) = 0 (6.XII), v •* A v p

A equação (6.XII) tem um termo proporcional â torção.

Devemos obsarvar que a equação {3.XII) ê uma equação

de um campo-q'espinorial representado pelo q-espinor i|>(x) e este

sistema esta-em interação com o campo gravitacional representado

pelas g-.te faãaa<rv,(x).i A própria equação (3.XII) indica explícita

mente a interação ao acoplar os dois csunpos.

O campo.i|i(x) é definido pela equação (3.XII) enquanto

que os campos trv(x) devem satisfazer às equações quaterniônicas

(7.V.VII) ei p'-V.VII) , qué são Es equações quaterniônicas do campo

gràvitacional.

Então, a rigor, estaremos considerando o sistema de

equações:

102

- IR(x)

102

ysCR+(x) (x) • K . T(x)

s

r"(x) -SÍ5L (x) = K . T(x)

« 0.XII)

<T (x) •(«)

Um.quasi, desaeoplamenfco deste sistema serã o caso em

que os campos <rv (x) satisfaçam às correspondentes equações, do cam-

po, independentemente da "existência do campo espinorial. t|i (x>. Nes_

te caso a presença do. campo <Mx) perturbara desprezivelmente os

campos tru (x) .

Qaando os campo crv(x) satisfizerem a uma equação tenso

rial como a. (14^X1), estaxemos num" caso em que-A. (xj = 0, e onde

o tensor das torções jtmtamerrte com o q. (x) constituem o par fun-

damental.- Neste cas'Oi a variedade' espaço-tempo tem a geometria de-

terminada pelo:

= K

e o $ (x) é construido com o \J(x)mm / J

Um dos princípios fundamentais da gravitaçao Einsteini^

ana ê o princípio, de Mach\ Por. ês±e princípio o tensor T -(x> ê

determinado pelra distribuição de matéria na variedade espaço-tempo.

No caso qzier-.estamos' considerando:, se a presença da matéria for: re-

presentada pela presença do sistema if* (x) , então devemos- relacionar

o tensor de momentum-energia com o q-espinor i|i(x) .

Se admitirmos estar dentro das condições que estrutu ~

ram a variedade •quaterniônica- espaço-tempo definida no capítulo XI,

então deveremos ter:

103

Lu<*>oeY -"(3.XI)

onde

vp

«YÍ5

+

=0

13T L°(x)K,V

(5.XI)

(11.XI)

(12.XI)

Então a equação tensorial do campo gravitacional serã:

(14.XI)

Uma; hipótese possível, simples, será:

u(x) * Cfh(x) <r (x) i|»(x) ,

onde C é uma constante real.

Logo, levando-se em conta a simetria vira:

C2 Uf(x)

<rv(x)

<Tv(x)

(8.XII)

(9.XII)

Lembremos que t|»(x) ê do tipo (i|>*), de modo que se tran£

forma como *' (x) •» Q(x) i|)(x) e recordando a lei de transformação

dos cr (x) , vê-se que $ (x) 4> (x) transforma-se como um tensor co-

variante de 2 a ordem.

A expressão supra é induzida pela condição de preserva

ção do princípio de Mach.

Nas relações (7.XII), teremos neste caso:

104

T(x)s * Tsv(x) o-v(x) = *s(x) .<|>v(x)<r

v(x) , (10.XII)

onde 4>s(x) <t>v(x) & d a d o P o r O-XII) .

Se invertermos a formula (12.XI) e usarmos a hipótese

(8.XII), então ficará aparente o caráter não linear da equação

(6.XII).

R. Finkelstein* ' construiu uma generalização da equa

ção de Dirac para o elétron, e- nesta equação há uma correção à mas_

sa do elétron que ê proporcional a torção.

A equação de Finkelstein poderá ser obtida--se usarmos

as generalizações yV(x) das matrizes yv de Dirac. As matrizes yv(x)

serão construídas por medo de produtos diretos dos campos q-tetra-

das<rv(x), já-que uma algebra de Cliff ord-Dirac local é sempre eons_

trutlvel por meio1 do produto direto de duas algebras de Clifford -

-Pauli locais.

Não faremos tal cálculo, deixando-o apenas mencionado.

!I

105

A P Ê N D I C E I

CALCULO DE: rs<x)<TX(x) + (R^(x) <ry(x) + Cw(x) jR+rs(x) = 0

Omitiremos, nos cálculos o argumento x.

Trabalharemos no formalismo matricial. A formula (14,II.VII) nos

onde (I1.. ;) s |r ' ) ev , r são índices vetoriais.r -ii r ii

Derivando essa expressão covariantemente, vira:

rs

?> i r . ;

(r

106

- (r r) (r. ppara formarmos a expressão (8.IV:VII) precisamos

subtrair , do resultado anter ior , o <rUi__ e anular a diferença.I st

A formação do<rM'sr é .feita analogamente ao <rM|rs »(bastando-se comutar na fórmula anterior s por r ) .

Mas, do cálculo tensorial temos:

U "li ÍA / ^v s j ( | r

\ rs

RAV

r s é o tensor de Riemann-Christaffel. Esta é a l e i de comutação da derivada covariante do calculo tensor ia l .

Então:

rr

10'

<rr

Então, can a omissão dos termos cancelados, teremos:

+

A » , „ L

[ ( r r * j f. - <rrA

L>('sLc> "

. «r»°S +

(<r^)

Escrevendo em forma compacta e levando em canta a definição da

q-curvatura Rrg , dada em (2.IV.VII), virá:

c.q.d.

108

A P Ê N D I C E II

A fórmula (5.II.VII) nos dá a expressão da derivada coa A

variante de um espinor de 1 ordem do tipo ( i|/ ) :

A, = A + r • (5.I

Se derivarmos novamente a (5.II.VII), obteremos:

O símbolo de Christoffel í p l surgiu porque ijn além

de espinor tem caráter tensori ai devido ao índice v . Comutando-se

a ordem dos índices v , u em (l .A.II) , virá:

<tb, ) , = ip i = (* + r *) - <h ( p ) + r iffi ( 2 . A . H )

Subtraindo-se (2~A.II) de (l.A.II) e levando em conta

a simetria dos símbolos de Christoffel nos índices p, v , virá:

+ r \|/ -i- r ip + r i | ) .

- a i - r i | i - r i j )

iji + r I* + rv ,y y ,v v

- r v - r * - r (• + r *) ou

•J;I , - *i • I r + r r - r - r r 1 i O . A . I I )|vy |uv I v,y y v y,v v y

Comparando essa fózmula oom a correspondente formula do cálculo

tensorial, escreveremos:

onde

dade da

109

IRvyi

IRR 3 r + r r - 3 r - r ry \> y V V y v y

Mas esta e a formula. (4.IV.VII), que dâ a q.curvatura.

Em (3.A.II) se trocamos u por v , obteremos:

(Ryv

(3'.A. II)

(4.A.II)

Conparando (4.A.II) com (3'.A.II) e levando em conta a arbitrarie-

cxincluinos que:

IR * - IRpv vy(5.A.II)

- 110

A P Ê N D I C E I I I

CÁLCULO DE S |Mtx) a E M FUNÇÃO DE U* (x)_ QtPY Vp

V

Tirando (7.XI) de (2.XI) , vem:

- lí«0Y .

a 6 . L»w •

v

Somando G subtraindo a parte antissimétrica da afinidad e L (x)

Vp ' e m a^umas parcelas de ( l .A.III) , vamos obter:V p

v

- Lgw., , ÜM *

V V V

Ill

v

6 Y

V V

V V

L

« O , logo:+ '

- (x)a Y . L W a 0

V V V V

L°w.Y

x)OY + L° w a 6 . L" w 0 TV V V

Mas, então podemos escrever a (8.XI) em termos de

(2.A.Ill) e vira:

o = L ° ( X ) O Y . Ly(x)o0 - La(x)a6 . Lp(x)flY •V V V ' V

+ L ° ( x ) Y B . Lw(x)aa - L°(x)Ya , I 1 1 » , , , +v v v v

+ L°(x)3a . Lp(x)oY - L a w 6 Y . L"(x)o^ »

= 2< LV°(x)aY . Lw(x)og - L ° ( x ) a B . L?(x)0Y +V V V V

5

112 i

+ L° w T B .L y (x) a a ) (3.A.ni)

logo:

L° w a r . L » » r t - L°wa 6 . L» (x)oT -

^ Lff (x)6> . L V W f f o . (4.A.IH)

Comparando com ( 2 . A . I l l ) , v i r a :

*L» (K)aBY = - L a ( X ) 8 y .L11 w o a (5.A.IH)

Se contrairmos u com a , cano há a antissimetrica em

or , a ,então:

Resta então, como única contração não nula de

(5.A.III):

s I « S |_M (X) » - L° (X)fly i— u\iy *— y Y

vNotemos que o tensor s 1_ (x) é simétrico em a, y, logo

tem somente 10 componentes" independentes r e é construido. com o

Lu(x) que tem 4 componentes independentes,v

As (4.A.III) estabelecem 16 relações entre os i_a(x)aJ.

A condição rp(x) + r (x) = 0 , (3.III.VII), estabelece

mais 4 relações, da forma |_°(x) • 0' .v

Então,das 24 componentes do |_f (x)v , restam 4 independentes. v

113

A P Ê N D I C E IV

CALCULO DE (Ty{x) \n E g,1M(x) u EM FUNÇÃO DA TORÇÃO.

Sabemos que;

e que:

Logo:

" <VX>|P

ou(x) jp = 2

Se a torção for nula, então: <rv (x) i = 0 .

De (gMV (x) CT (x) | = crV(x) . , decorre que com a ajuIX i P _i_P

da de ( l .A.IV) e o conhecimento de gyV ( x ) i p # podemos c a l c u l a r

« VUX

Então devemos conhecer g,,,, (x)

A determinação de g y v (x) j p se faz a part ir de guX (x) gXv<x)

p •

Mas:

> V (X ) |P = % ( X ) I ffvWjP ' ^U <X)|P

c r u ( x ) | ( r v W | p = ( < r M ( x ) f P - crA(x) L x ( x ) p u ) |<r v W

w ! > > p v <r (o i + o-M(x)l crv(x) fp -

Lx(x)pv) = cry.(x)fp| crv(x) -

x w Lx w p vv(x) f p

114

Subtraindo <3\ . g (x). = 0 , vem:

(o) uv % jp

(o) gyv |p ~ g*v py Xv yp

- g , (x) Lx (x) + g , (x) Lx (x) ) i " , . , " (2g. (x) Lx

yyA *- pv ^yX *" vp (o) 3Xv

ou

onde

( X ) | P = 2 ( L v ( x ) y P + L y ( x ) v p ) '

1 V v

outras expressões são facilmente construtxveis.

115

B I B L I O G R A F I A

(1) T. Kahan, Théorie des Groupes en Physique Classique et Quantique.Tome I, Dunod, Paris, (1960).

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