cap. 1. tensores cartesianos e cálculo tensorial€¦ · disciplina mmc, z. dimitrovová,...

Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 1. Tensores cartesianos e cálculo tensorial

1. Grandezas (Quantidades) físicas 1.1 Classificação das quantidades físicas

1.2 Descrição matemática dos tensores

1.3 Definição dos tensores

2. Álgebra tensorial

3. Tensores cartesianos em 2D simétricos 3.1 Dedução da lei de transformação de vectores

3.2 A lei de transformação de tensores de segunda ordem

3.3 Valores próprios

3.4 Circunferência de Mohr 3.4.1 Convenções e consequências

3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais

3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária

3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas

3.5 Verificações dos valores principais

3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais

4.2 Determinação e propriedades

4.3 Casos particulares

4.4 Valores extremos fora de diagonal

4.5 O tensor de inércia

5. Análise tensorial


1. Grandezas (Quantidades) físicas

Escalares

Vectores

Tensores de segunda ordem

...

Tensores de ordem zero

Tensores de primeira ordem


...

1.1 Classificação das quantidades físicas

Escalares

1 dado é suficiente para a descrição completa

Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo


Representação geométrica

Vectores

direcção

intensidade

sentido

O vector é plenamente

determinado

quando sabemos: Sentido

Ponto de aplicação

Direcção

Intensidade

F

Necessitamos de 3 dados para a descrição completa

Exemplos: força, deslocamento, velocidade, aceleração

Neste caso tratou-se de um vector livre, ou seja de um vector no sentido matemático



O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto P

quando se conhecem 3 vectores com ponto de aplicação P, actuantes

em 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no ponto P

É necessário 9 dados para a descrição completa

Representação geométrica dos tensores ...

mais tarde de acordo com o significado físico

Da disciplina Estática já se sabe que de acordo com o significado físico

é necessário distinguir vectores de 3 tipos

Livre (exemplo: vector associado a um binário)

Deslizante ou seja fixo à sua linha de acção (exemplo: força na mecânica dos corpos rígidos)

Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicação (exemplo: força na mecânica dos corpos deformáveis)

Exemplo: tensão, deformação, tensor de momentos de inércia

Tensores de quarta ordem

Exemplo: tensor de rigidez e de flexibilidade


1.2 Descrição matemática dos tensores

A descrição matemática dos tensores baseia-se em

3n em 3D 2n em 2D

onde n corresponde à ordem do tensor

necessárias para a descrição completa dos tensores:

Euclid (ca. 325-ca. 270 BC)

Espaço

Para poder definir as componentes, é necessário definir o espaço e o referencial

Espaço de Euclid: 1D, 2D, 3D

Também chamado espaço cartesiano

1D – espaço dos números reais

mD – espaço de combinações de m

números reais

componentes

Número de componentes


Sistema de coordenadas ou referencial

Três eixos rectos mutuamente perpendiculares

Vectores base têm a norma unitária

Nas aplicações desta disciplina sempre directo

Verificação de acordo com a regra da mão direita

x

y z

Dedos de x para y Polegar mostra orientação positiva de z

Dedos de y para z Polegar mostra orientação positiva de x

Dedos de z para x Polegar mostra orientação positiva de y

René Descartes (1596-1650)

1kji

Referencial cartesiano:

É necessário introduzir para poder efectuar representações geométricas

É definido pela origem 0 e pelos vectores base

i

xy

z

k

j

0

Permutação positiva


332211zyxzyx eFeFeFkFjFiFFFFF

)F,F,F(F zyx

Tzyx

z

y

x

F,F,F

F

F

F

F

vectorial

matricial

3z2y1x eekeejeei

Vectores

x

z

yF

i

j

k

xFyF

zF

0

Vector F

zyx F,F,Ftem componentes

Representação matemática Representação geométrica



Representação matemática das componentes na forma matricial

333231

232221

131211

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

T

2221

1211

yyx

xyx

yyyx

xyxx

TT

TT

TT

TT

TT

TTT

Representação geométrica mais tarde

3D

2D

x1

y2

z3


1.3 Definição dos tensores

A grandeza física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem

a lei de transformação. Esta lei descreve a definição das componentes no

referencial transformado Tensores cartesianos

Tensores cartesianos são tensores definidos no referencial cartesiano,

consequentemente a lei de transformação é especificada apenas no

referencial cartesiano e representa uma rotação do referencial

As quantidades físicas têm por componentes números

As quantidades físicas habitualmente referem-se a uma dada posição (ponto)

Campos físicos

Quando as componentes são funções de posição, chamamos-lhes

Campo escalar

Campo vectorial

Campo tensorial de segunda ordem

...

z,y,xF,z,y,xF,z,y,xF zyx

Exemplo: o campo vectorial z,y,xF

tem as componentes

; temos assim:


2. Álgebra tensorial

até tensores de segunda ordem coincide com o cálculo matricial e vectorial

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma

da sua parte simétrica e antisimétrica

AST 2/TTS jiijij 2/TTA jiijij

jiij TT 0TTT iijiij

Tensor simétrico Tensor antisimétrico

Tensores cartesianos de segunda ordem

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma da sua parte esférica

(isotrópica, volúmica, volumétrica) e desviatórica (tangencial)

DITT m jiTD ijij miiii TTD

D3em3/TTTT zyxm Valor médio D2em2/TTT yxm

Propriedade: o tensor antisimétrico tem zeros na diagonal principal

Propriedade: o tensor desviador tem traço nulo


Introduz-se a rotação do referencial 0xy para 0x’y’

e calculam-se as componentes no referencial rodado

y

x

y

x

F

F

cossin

sincos

F

F

3.1 Dedução da lei de transformação de vectores

sinFcosFFF yxxx

sinFcosFFF xyyy

3. Tensores cartesianos em 2D simétricos

x

y

xF

yF

F

y

x

xF

yF

0

Matriz de transformação ou de rotação

FRF )x,xcos(R jiij

linha coluna

cossin

sincosR


x

y

y

x

0

i

j

é uma matriz ortogonal (ortonormal)

Quando a rotação efectua-se do referencial directo para o directo

det 1R

As componentes dos vectores base do novo

referencial, ou seja os cossenos directores

dos versores dos eixos rodados

formam as linhas da matriz R

1 T

R R det 1R Algumas das propriedades da matriz ortogonal : R

R

o determinante é positivo

Outras propriedades das matrizes ortogonais:

Produto interno das linhas ou colunas iguais (diferentes) equivale a 1 (0)


3.2 A lei de transformação de tensores de segunda ordem

TRTRT RTRT

T

Tensores de ordem maior

É necessário usar a designação “indicial” que não será dada

A prova será dada no Cap. Tensão para se poder usufruir o significado físico

Nota:

Voltando aos tensores de segunda ordem, considerando apenas os tensores

simétricos e desenvolvendo as multiplicações,

as componentes no referencial rodado escrevem-se:

cossinT2sinTcosTT xy

2

y

2

xx

cossinT2cosTsinTT xy

2

y

2

xy

22

xyyxxy sincosTcossinTTT

A propriedade de simetria mantém-se, qualquer que seja o referencial


Verifica-se, que existe uma rotação com propriedades especiais.

Neste novo referencial os valores diagonais correspondem ao máximo e ao

mínimo de todos os possíveis valores diagonais e a componente fora da

diagonal anula-se.

O máximo e o mínimo dos valores diagonais chamam-se valores próprios

A resolução pode ser facilmente expressa analiticamente e determinada

de três maneiras equivalentes:

1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos posteriores)

2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais

3. Encontrar a rotação para a qual 0Txy

Usando as funções trigonométricas de ângulos duplos, igualmente:

2sinT2cos2

TT

2

TTT xy

yxyx

x

2sinT2cos2

TT

2

TTT xy

yxyx

y

2cosT2sin2

TTT xy

yx

xy

3.3 Valores próprios


Pxy

yxyxx 0/2sinT2cos2

TT

2

TTT

Usando o ponto 2:

Usando o ponto 3:

02cosT2sin2

TTT PxyP

yx

xy

yx

xy

PTT

T22tg

02cos2T2sin22

TTxy

yx

yx

xy

PTT

T22tg

Igualmente para yT

Substituindo pelo P

2

xy

2

yxT

2

TTR

RTT mmax

RTT mmin 0Txy

nas equações das componentes rodadas:


0xyparaT

maxmin

x

y

Por convenção os valores

principais ordenam-se de acordo

com a sua grandeza, por isso o

valor do máximo está na matriz

de componentes na posição (1,1)

e o valor do mínimo na posição

(2,2). Isso implica que o eixo do

máximo é o “primeiro” eixo, tal

como por exemplo x, a o eixo do

mínimo é o “segundo” eixo tal

como por exemplo y.

x

ymaxx ou

min

max

T0

0T

Depois de terminar os cálculos

é necessário distinguir qual dos eixos rodados

corresponde ao eixo do máximo e

qual ao eixo mínimo.

Pode-se provar uma regra simples

representada na figura ao lado.

Os eixos do máximo e do mínimo

definem o referencial principal, e este

referencial tem que ser directo

miny ou


Cristian Otto Mohr (1835-1918)

2 2 2

x m xyT T T R

3.4 Circunferência de Mohr

2

2 2

y m xyT T T R

que são as equações de uma circunferência

0,Tm e raio R, em que visualizam-se no

eixo horizontal e no eixo vertical xyTyx T,T de centro

Substituindo, verifica-se facilmente:

As componentes de um tensor associadas a todas as possíveis

rotações do referencial original,

compõem uma circunferência


Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa corresponde

a e a ordenada a xyT oux yT T

Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal, dado que

neste caso a componente fora da diagonal é igual a zero e as

componentes normais atingem o valor máximo e o mínimo;

estes factos não estão influenciados pelo referencial original (inicial)

maxTminT

mT

Rmax min

2m

T TT

max min

2

T TR

Verifica-se igualmente que o valor máximo fora da diagonal

corresponde ao raio da circunferência

Neste caso o valor que complementa as componentes rodadas é mT


2cosRTT mx

Assume-se que o referencial original é coincidente com o principal, ou seja que:

2cosRTT my

2sinRTxy

maxx TT

0Txy

miny TT

maxx

miny x

y

negativo

3.4.1 Convenções e consequências

introduz-se uma rotação

x xy

xy y

T Tx

T T y

mT

maxTminTR

2

R

;x xyx T T

cos 2mT R

;y xyy T T

cos 2mT R

sin 2R


x

yxTxyT

xT

xyT

yT

yxT

yTyxT

Cada ponto da circunferência

corresponde às componentes do

vector na faceta correspondente

Componente normal,

diagonal

Componente tangencial,

fora da diagonal

o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção

Esta representação geométrica será igual para o tensor das tensões,

mas diferente para o tensor das deformações

Facetas positivas

Facetas negativas

As comp. tangenciais apontam para os quadrantes positivos

A faceta e a normal à faceta

A faceta corresponde a uma recta (“um corte”) onde “actuam” duas componentes

do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo índice

como a normal à faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem

dois índices)

são mutuamente perpendiculares

As comp. normais obedecem as regras de representação de tracção/compressão


A rotação na circunferência faz-se pelo dobro do ângulo de rotação dos eixos

-uma rotação de 90º faz-se na CM como 180º o que troca a posição (x) e (y)

-uma rotação de 180º faz-se na CM como 360º e não altera nada

consequentemente o sentido dos eixos nesta representação é indiferente

-para ponto (x) ou (x’) a ordenada tem sentido oposto (para baixo)

-para ponto (y) ou (y’) a ordenada tem sentido habitual (para cima)

-as componentes normais desenham-se na convenção habitual

Define-se

Faceta (x): faceta cuja normal coincide com o eixo coordenado x

Faceta (y): faceta cuja normal coincide com o eixo coordenado y

a convenção dos sentidos do eixo vertical

x xy

xy y

T Tx

T T y

Para se manter o mesmo sentido de rotação dos eixos coordenados e dos

raios da CM, adopta-se

As componentes na faceta de (x) designamos na CM (x).

Pontos (x) e (y) estão na recta que passa pelo centro da CM, ou seja todas as

componentes do tensor visualizam-se nos pontos opostos de um diâmetro


acimaO sentido das componentes tangenciais

determina a posição do ponto correspondente

na circunferência de Mohr

indiferentemente do referencial

abaixo

x

0xyT

yx

yx

y x

y

0xyT 0xyT 0xyT

horário,

negativo

Convenção alternativa

anti-horário,

positivo

A colocação dos pontos na CM é unicamente definida pelo sentido real da

componente tangencial, o referencial é da nossa escolha.

O sinal da componente tangencial depende do referencial e por isso não está

unicamente definido


x xy

xy y

T TT

T T

2

xy

2

yxT

2

TTR

yx

xy

pTT

T22tg

3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais

o referencial original x

y

x

0Txy

xT

yT

y

0Txy

mT

p2minT

maxT

Valores fora da diagonal, tangenciais

Valores diagonais, normais 0

xyT

2/TT yx

R

p2

x

yx

y

Justificação das fórmulas

Sentido de rotação

da componente

tangencial

p

p

max

min

componentes positivas

x yT T


x

y

x

y

mT

min max

0

p

p

max

min

00

Correspondência com a origem do referencial – O Pólo das normais 0

P

O Pólo das facetas P

// à faceta de (x)

// à faceta de (y)

// à direcção de x

// à normal da faceta de (x)

// à direcção de y

// à normal da faceta de (y)

xTxyTxT

xyT

yT

xyT

yTxyT


2

Propriedades das circunferências conhecidas do ensino secundário

Achar centro de uma circunferência

sabendo 3 pontos que pertencem

a esta circunferência

ângulo central e inscrito

2


x xy

xy y

T TT T

T T

x

2

x

0Txy

xT

x

xT

0Txy

y

yT

3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária

yT

y

0Txy

mT0

yxy

xyx

TT

TTT

x

y

0

0


x yT T

xT

xyT

xT

xyT

xyT

xyT

yT

yT

y


x

3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas

y

mT0

yxy

xyx

TT

TTT

x

y


0

x yT T

0

x

y

x

x

y

y

x

y

Referenciais em que o

valor tangencial

corresponde a um valor

dado que é positivo


R = máximo da componente

fora da diagonal, neste caso as

componentes diagonais não se

anulam, ambas têm o valor Tm

RT max,xy

min

max

T0

0T

m

m

T RT

R T

m

m

T RT

R T

max

min x

x

3.4.5 Rotações de 45º a partir do referencial principal

maxT

x

mTminT

x max

min


Invariantes Referencial original Referencial principal

yx TT minmax TT

minmax TT 2

xyyx TTT

Depois da resolução dos valores principais convém verificar os invariantes

Tdet

Ttraço

3.5 Verificações dos valores principais

Invariantes

Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencial

TtraçoI1 TdetI2

são invariantes fundamentais,

também chamados invariante linear e invariante quadrático

todos os restantes invariantes podem exprimir-se usando os fundamentais,

por exemplo os valores próprios são igualmente invariantes

21 I,I


O referencial introduzido é arbitrário,

convém fazê-lo na forma mais vantajosa

xa TT

cossinT2sinTcosTTT xy

2

y

2

abx

cossinT2sinTcosTTT xy

2

y

2

acx

Sabemos: , incógnitas: cba T,T,T xyyx T,T,T

3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções

Resolver xyy T,T

Cada tensor tem 3 componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de

referenciais diferentes, permitem sempre determinar as componentes.

O caso em baixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações

e além disso permite uma resolução gráfica simples

aTbT

cT x

xx

x


Resolução gráfica

2

2

a

b

c

a

arbitrário

auxiliar

b c

maxTminT

Esboço dos eixos

na posição original

aTbT

cT

Prova

2

2

º180

A posição mais

vantajosa do ponto

auxiliar está na recta

que corresponde à

direcção que está

geometricamente no

meio das outras


a

b

c

a

arbitrário

auxiliar

b c

Esboço dos eixos

na posição original

aT

bT

cT

º180

00


4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais

A solução não trivial de {v} existe apenas quando 0ITdet

Os números λ que asseguram a nulidade do determinante chamam-se

Substituindo o valor próprio pelo λ, (Eq. 1) tornam-se linearmente

dependentes e por isso o número das soluções para componentes de {v} é

infinito

0vIT (Eq. 1)

(Eq. 1) corresponde a 3 equações algébricas lineares homogéneas

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos

Definição matemática

valores próprios ou principais

As soluções não triviais de {v} chamam-se

vectores ou direcções próprios ou principais


zxz

xzx

zyz

yzy

yxy

xyx

2TT

TTdet

TT

TTdet

TT

TTdetI

TtraçoT3I m1

4.2 Determinação e propriedades

são reais (pode provar-se usando a simetria do tensor)

são 3, contudo podem ser múltiplos

calculam-se como raízes de equação característica

0III 32

2

1

3 0IIIITdet 32

2

1

3

TdetI3

Valores principais

são invariantes fundamentais,

também chamados invariante linear, quadrático e cúbico

todos os restantes invariantes definem-se usando os fundamentais,

por exemplo os valores próprios são igualmente invariantes

321 I,I,I


Direcções principais

Cálculo das raízes da equação característica:

2/3

2

2

1

321

3

1

I3I2

I27II9I2arccos

3

12,1,0j,

3

2jcosI3I

3

2

3

I2

2

1

1

1j

Os valores próprios correspondem às componentes do tensor relacionadas

a um referencial, em que todas as componentes fora da diagonal

anulam-se e os valores próprios visualizam-se na diagonal

Forma canónica da matriz de componentes

O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes

diagonais (normais), qualquer que seja o referencial

O mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes

diagonais (normais), qualquer que seja o referencial

O referencial novo mencionado acima está definido pelos vectores próprios

e designa-se o referencial principal (próprio)


A matriz de transformação (rotação) [R]

tem as linhas formadas pelos vectores próprios normalizados.

Para assegurar que o referencial novo é directo, é necessário ter o det([R])=1

A solução é única, por isso encontrando uma matriz diagonal,

pode concluir-se que os valores na diagonal são principais e o referencial

correspondente é também principal

Depois de calcular os valores próprios, o sistema de equações (Eq. 1) usa-se com

cada valor próprio separadamente para calcular o vector próprio correspondente

Quando os valores próprios são diferentes, a cada um correspondem

infinitas soluções do vector principal correspondente, estes vectores formam

uma única direcção no espaço. Assumindo o vector normalizado, existem apenas

duas soluções com sentidos opostos.

Pode dizer-se que existem apenas 3 vectores próprios normalizados,

unicamente definidos excepto do sentido, mutuamente perpendiculares.

Estes vectores definem o novo referencial, em que a matriz de componentes é

diagonal, contendo na diagonal os valores próprios.


4.3 Casos particulares

No caso particular da figura ao lado, vectores (2)

e (3) não são unicamente definidos. Todos os

vectores que satisfazem a Eq. (1) com o valor

λ2= λ3 substituído, formam um plano, cuja

normal coincide com a direcção (1)

321

qualquer direcção é principal, a matriz de componentes

inicial já é diagonal com valores iguais

Simplificação para o caso 2D

CD

DAT

C0D

0B0

D0A

T

Já é valor principal Vector principal correspondente: T22 0,1,0ev

Valor duplo

Valor triplo

321

321 1

3 2

É possível sempre quando se anulam as

componentes fora de diagonal


4.4 Valores extremos fora de diagonal

1 3

,max2

xz

T TT

1

2

3

3211 TTTI 3132212 TTTTTTI 3213 TTTI

Invariantes no referencial principal

Usando as conclusões de 2D

1 3 1 3

2

1 3 1 3

02 2

0 0

02 2

T T T T

T

T T T T

Círculo de Mohr

1T2T3T

Círculos fundamentais

Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar

os invariantes e a ortogonalidade dos vectores próprios

Verificações


Nota sobre 2D

0II 21

2 0IIITdet 21

2

O procedimento de cálculo poderá ser feito do modo análogo como em 3D

4.5 O tensor de inércia

x xy x xy

xy y xy y

I I I PI

I I P I

Justificação da posição dos eixos principais

0Isejaou

0Ppara

xy

xy

x

y

x

ymaxIm inI

5. Análise tensorial

Análise dos campos tensoriais

derivadas, teoremas integrais, etc...

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