treliças espaciais formadas por perfis tubulares de aço ... · arquitetônica e estrutural...
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“Treliças espaciais formadas por perfis tubulares de aço: design bio-
inspirado e dimensionamento via Algoritmos Genéticos”
Juarez Franco1, Eduardo de Miranda Batista2, Alexandre Landesmann3
Resumo
O objetivo deste trabalho é uma metodologia de procura de soluções arquitetônicas
inusitadas e competitivas para treliças espaciais com perfis tubulares de aço, próprias para
grandes vãos. Esta proposta é apresentada em duas partes: (i) analogias formais com a
Natureza e (ii) síntese estrutural através de Algoritmos Genéticos. A sinergia entre estas
ferramentas busca refinar a concepção arquitetônica inspirada na observação da Natureza,
minimizando a função custo sem prejuízo de considerações estéticas. São observadas
limitações de montagem, efeitos de não linearidade geométrica, ação de vento e as
recomendações do projeto de norma ABNT “Projeto de estruturas de aço e de estruturas
mistas de aço e concreto de edificações com perfis tubulares” no critério de dimensionamento.
Palavras-chave
Estruturas de aço, treliça espacial, perfis tubulares, síntese estrutural, algoritmos
genéticos.
1 Arqto, Aluno de Doutorado, COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia Civil; [email protected] 2 Engº Civil, Professor Associado, COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia Civil; [email protected] 3 Engº Civil, Professor Adjunto, COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia Civil; [email protected]
CONSTRUMETAL 2010 – CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICASão Paulo – Brasil – 31 de agosto a 2 de setembro 2010
Introdução
Design bio-inspirado é o processo e o produto da sinergia entre a (i) concepção
arquitetônica e estrutural motivada pela observação da Natureza e (ii) os modelos numérico-
computacionais de otimização em engenharia baseados em Algoritmos Genéticos (AG).
Trata-se de uma ferramenta de engenharia para o projeto arquitetônico de estruturas não
usuais, onde não exista experiência prévia de dimensionamento.
Seu propósito é explorar as possibilidades formais e estruturais das treliças espaciais
em aço, visando sua inovação, competitividade e sustentabilidade. Estas três noções, que
permeiam processos distintos, ajudam a explicar desde a seleção natural das espécies até
algumas escolas de economia e computação. Isto acontece porque a idéia de que as soluções
observadas na Natureza são a resposta mais eficaz para um dado problema nos leva ao desejo
de transpor estas soluções para os domínios humanos, na expectativa de atingir também os
melhores resultados com o menor custo possível.
Em certos setores da ciência as analogias com a Natureza são sistemáticas: biônica,
inteligência artificial, robótica, nanorobótica, engenharia bélica e de materiais são apenas
alguns exemplos. Em arquitetura e engenharia civil, um dos pesquisadores mais famosos das
analogias entre estruturas técnicas e naturais é Frei Otto, do Instituto de Estruturas Leves, em
Stuttgart.
Na construção civil não existe engenharia reversa que transcreva literalmente
estruturas naturais em estruturas técnicas, porque os processos construtivos e as funções
desempenhadas em cada caso são diferentes. Copiar significaria impor a “melhor solução”
para o problema errado. Por isto, a ênfase em nosso aprendizado recai sobre os princípios
mecânicos essenciais da Natureza. No último século, a menos que o custo da edificação não
fosse uma condicionante, analogias formais tinham grande chance de serem descartadas.
A adaptação aos novos tempos pode mudar este cenário. Os motivos convergem de
diversas frentes: (i) na Arquitetura, o “espírito de época” que deseja o equilíbrio das
demandas humanas com a capacidade da Natureza de supri-las ainda não encontrou uma
expressão regional. Em outros países, isto representou uma fusão do movimento HighTech
com princípios de racionalização de consumo energético. Nicholas Grimshaw, Jean Nouvel e
Norman Foster estão entre os grandes arquitetos que já produziram nesta linha; (ii) na
engenharia, a robustez dos sistemas computacionais e dos métodos numéricos de análise e
otimização permitem proposição de estruturas com índices de desperdício cada vez menores.
Entre estes métodos estão os AG, que empregamos neste trabalho; (iii) Na cadeia produtiva
do aço, a tecnologia de Controle Numérico por Computador (CNC) pode levar ao
barateamento de construções out-standard; (iv) nas Normas Brasileiras, atualizações recentes
apontam para a competitividade das seções tubulares de aço.
Acreditamos que esta seja uma linha de investigação contemporânea e necessária. Em
uma reedição recente do clássico “Sistemas de Estruturas”. ENGEL (2006, p134) afirma que
“O emprego dos sistemas estruturais de vetor-ativo [treliças] nas
construções é caracterizado pelo desempenho estrutural de alto nível, por um
lado, e pelo descuido estético, por outro. (...) Os sistemas em treliça nas
construções do futuro serão também dirigidas esteticamente e desempenharão
este papel formal que o potencial estético e estrutural do projeto merece”.
Contemporaneamente, no entanto, uma coletânea de estruturas tubulares em todo o
mundo aponta enfaticamente para realização magistral desta aspiração. Por todas estas razões,
consideramos oportuna a ocasião para investigar até que ponto as analogias formais com a
Natureza podem contribuir para a renovação do repertório formal da Arquitetura de treliças
espaciais em aço.
1. Arquitetura e Engenharia inspiradas na Natureza
Edificações inspiradas pela observação da Natureza não são uma novidade. Desde a
antiguidade os seres humanos constroem com este princípio, por diferentes motivações. Seja
de modo figurativo, como as colunas de seres antropormórficos dos templos gregos, seja de
maneira mais abstrata, como as pirâmides egípcias que se mimetizam com as dunas de areia,
supõe-se que estas semelhanças tratem mais de aspectos estéticos e simbólicos da Arquitetura
do que de seu desempenho estrutural.
Na Era Moderna, algumas investigações começaram a abordar sistematicamente as
estruturas na Natureza segundo uma avaliação de desempenho. Segundo REBELLO (2000,
pag. 200), referência do assunto na literatura nacional, os primeiros estudos remontam a 1870,
na obra do reverendo J. G. Wood. Aparentemente, este naturalista estaria mais interessado na
interpretação de estruturas naturais do que na sua transposição para a esfera técnica.
Ao longo do século XX, algumas obras emblemáticas apresentaram certo grau de
semelhança com estruturas naturais. REBELLO (2000, pag. 199) apresenta diversos exemplos
destas analogias. Sua metodologia consiste em (i) analisar um ser vivo, (ii) identificar o
princípio que confere competitividade estrutural ao seu corpo e (iii) apontar uma edificação
ou parte dela onde este princípio foi aplicado. Os arquitetos/engenheiros citados por ele
incluem Nervi, Santiago Calatrava, Felix Candela, Frei Otto, Buckminster Fuller, Gustave
Eiffel, Antonio Gaudi e Frank Loyd Wright. Entre estes, alguns adotaram analogia de
princípios mecânicos, outros deram mais ênfase a aspectos formais.
Mas não apenas arquitetos se inspiram na Natureza. A COPPE/UFRJ tem aplicado
esta diretriz a diversas frentes de inovação em engenharia. Entre estas, está o desenvolvimento
do aplicativo “Síntese e Análise de Treliças” (SAT) pelo Laboratório de Estruturas (Labest).
Baseado em Algoritmos Genéticos, este aplicativo é voltado para a otimização dimensional de
treliças espaciais. Segundo Engel (2006, p135), treliças são
“sistemas de estrutura de elementos sólidos e em linha reta (barras,
hastes), nas quais a redistribuição das forças faz-se efetiva através da
decomposição vetorial, isto é, da decomposição multidirecional de forças. Os
componentes do sistema são sustentados em parte por compressão, em parte
por tração. As características típicas deste tipo de estrutura são a triangulação
e os pontos de conexão.”
Embora, simplificadamente, se considere que os elementos de treliça atuam somente
sob a ação de esforços axiais, algumas análises levam em conta os possíveis momentos que
surgem nas conexões entre as barras.
Otimização, por sua vez, é a busca automática por soluções com melhor desempenho
dentro de uma área de busca preestabelecida. Os
algoritmos de otimização trabalham, basicamente,
por ciclos entre um módulo de síntese e outro de
análise. O módulo de síntese gera elementos (ou
indivíduos, em AG) no espaço de busca e envia para
análise. O módulo de análise avalia o desempenho e
retorna a aptidão deste indivíduo para o módulo de
síntese.
Síntese Análise
indivíduo
aptidãoFigura 1: ciclos de síntese e análise
Computadores não trabalham com variáveis contínuas, apenas simulam isso adotando
grandezas suficientemente pequenas. Tendo isto em mente, qualquer variável dimensional ou
geométrica pode ser assumida como discreta ou contínua. Em um caso geral de otimização,
poderíamos variar continuamente as propriedades geométricas dos perfis, como área ou
momento de inércia. Por este caminho, provavelmente chegaríamos a perfis não disponíveis
em escala comercial. O aplicativo SAT não é adequado a este tipo de trabalho, uma vez que o
seu usuário deve necessariamente adotar uma biblioteca de perfis.
Os elementos deste espaço de busca são,
portanto, arranjos de variáveis. Em estruturas de
treliça existem basicamente três classes de
variáveis: (i) a dimensão das seções, (ii) a geometria
da estrutura e (iii) sua topologia. Há uma
abordagem de otimização para cada classe. Se as
únicas variáveis são os perfis das barras, trata-se de
uma otimização dimensional (fig. 2a).
Por outro lado, fixar os nós nos impede de
testar outras formas. Na otimização geométrica,
observada na figura 2b, poderíamos fixar os perfis
das barras e variar a posição dos nós no espaço. É
possível, ainda, manter fixos os perfis e as posições
dos nós, mas variar as relações de adjacência das
barras, chamada topologia (fig. 2c). A isto se refere
a otimização topológica.
A otimização por algoritmos genéticos foi criado na década de 70 por John Holland,
da Universidade de Michigan. É mais facilmente explicado pelas analogias com a teoria da
seleção natural das espécies, na qual se inspira.
(a)
(b)
(c)
Figura 2: classes de variáveis em treliças
Trabalhamos com AG de representação
binária (o conjunto de variáveis com que se
trabalha é armazenada na forma de um vetor de
bits), mas existem outros sistemas de representação.
Neste modelo, um elemento contido na área de
busca é chamado indivíduo e sua representação
binária (um vetor de bits) é um cromossomo. Uma
população é uma matriz de bits, onde cada linha
representa o cromossomo de um indivíduo. Entende-se como população inicial uma
distribuição aleatória inicial sobre a área de busca. Todos os indivíduos gerados são avaliados
e a cada um deles é atribuído um valor, que representa sua aptidão. Nesta teoria, o processo
que conduz à convergência em um ótimo global é interpretada como a seleção do mais apto.
As iterações são identificadas como gerações subseqüentes, que recebem as características
dos melhores pais da geração anterior por um mecanismo chamado torneio. No torneio, um
determinado número de indivíduos é selecionado aleatoriamente dentro da população. O mais
apto em cada torneio pode transmitir suas características para a próxima geração.
A hereditariedade pode ser direta (o
filho é uma cópia idêntica do pai) ou por
crossover. No crossover são escolhidos dois
pais pelo método do torneio e seus
cromossomos trocam informação. Se os
descendentes apresentam melhor
desempenho que seus pais, seu código é
passado para as gerações seguintes; caso
contrário, não geram descendência.
Lado ao crossover existe a mutação, um mecanismo que aumenta a variabilidade
dentro da população. A posição do bit sobre o qual a mutação ocorre é aleatória. Ela inverte o
valor do bit sobre a qual incide. Em geral, a taxa de mutação é pequena (entre 0,01 e 0,1) e a
taxa de crossover é elevada (entre 0,9 e 0,95).
Desta forma, a teoria da seleção das espécies inspira e ajuda a explicar um algoritmo
de otimização robusto.
1 2 3 4 5 6
5 6
2 3 4
1
barras
perfis na biblioteca
cromossomo
00101001110111100101101110000011011
10011101101100010101001110110001100
0010100111 1101110000011011
1001110110 1001110110001100
0010100111 1101110000011011110001010
1001110110 1001110110001100011110010
pai 1
pai 2
filho 1
filho 2
operação crossover
Figura 3: representação binária de um cromossomo
Figura 4: operador crossover
2. Síntese e Análise
O módulo de síntese não armazena o modelo estrutural completo no cromossomo,
apenas o que efetivamente varia fica registrado nele. O indivíduo, portanto, é um arranjo de
variáveis admissíveis em uma n-upla ordenada. Aquilo que será incluído como variável
depende do objetivo da otimização e da capacidade de processamento do computador frente
ao custo computacional do problema.
Como comparação, suponhamos que os
ciclos de síntese e análise consumam 0,1 s para
serem efetuados. Imagine-se uma treliça plana de
duas barras, com uma articulação entre elas e as
demais extremidades com apoio rotulado. Temos
duas variáveis assumindo valores discretos, que são
a identificação dos perfis em uma biblioteca. Ao
número de elementos desta biblioteca chamaremos
“b” e ao número de variáveis chamaremos “v”. Temos então que o vetor solução está contido
em um conjunto de soluções. Se o projetista dispusesse de cinco perfis admissíveis para
cada barra, o que chamaremos de biblioteca de perfis, analisar as 25 soluções possíveis
demandaria 2,5s de processamento.
Suponha uma treliça de 20 barras e uma biblioteca de 10 perfis. O domínio passa a ser
um conjunto de astronômicas 10 alternativas. Neste caso, uma busca exaustiva
levaria mais de um milhão de anos para ser concluída.
O algoritmo genético deve efetuar uma busca
pela solução de melhor desempenho, mas não pode
fazê-lo exaustivamente. Para que isto seja possível,
o módulo de síntese gera uma primeira população
indivíduos com uma distribuição aleatória. A seguir,
com a avaliação dos indivíduos da primeira geração,
ele gera mais soluções no entorno de onde foram
encontrados os melhores resultados. Isto se repete
até que seja atendido um critério de convergência.
Figura 5: Treliça plana
Figura 6: processo de busca
Como a distribuição da população inicial é
aleatória, nem sempre é possível garantir que a
convergência aconteceu em um máximo global. É
possível reduzir a chance disto ocorrer, repetindo-se
várias vezes o processo de gerar uma população
inicial e guardar o melhor resultado de uma geração
para outra, mas isto não exclui completamente a
chance de que exista uma solução com melhor
desempenho e ainda desconhecida.
Em uma única busca é possível incluir variáveis de espécies distintas e mais de uma
meta a ser atingida pela estrutura. A isto se chama otimização multiobjetivo. Os objetivos
devem ser quantificáveis e podem ser conflitantes, como o caso em que mais elementos de
ligação podem eventualmente favorecer uma geometria que leve à menor massa da edificação.
O projetista deve atribuir um peso a cada objetivo, o que nem sempre é tarefa simples. Os
pesos atribuídos aos nós e a massa total são os seus preços unitários, que flutuam com o
mercado. Em conseqüência disto, quando se trata de otimização multiobjetivos de treliças, a
solução considerada mais adequada também varia no tempo
Os requisitos mínimos de uma estrutura são (i) não ruir e (ii) preservar sua forma
contra ações externas e internas. No entanto, mesmo que em uma ordem de grandeza inferior
a nossa capacidade de percepção, os edifícios se deformam, seja pelo peso próprio, seja pela
ação de agentes externos. Preservar a forma significa, mais precisamente, manter os
deslocamentos dentro de uma margem de tolerância. Estas são as restrições na otimização de
treliças. Em geral, muitas soluções dentro do domínio obedecem às restrições do problema,
algumas com maior custo do que outras. As restrições podem ser locais, se dizem respeito às
barras, ou globais, se atingem a treliça inteira.
Figura 7: Convergência em máximo local
Para avaliar a capacidade da estrutura de atender as restrições pelo
menor custo, o AG emprega uma função objetivo.
Observe-se o exemplo ao lado, onde um cabo a ser especificado
deve suportar um corpo de massa . Considerando constantes as
propriedades físicas do material do cabo, sua capacidade de resistir
dependerá exclusivamente da área de sua seção. Podemos, observando a
NBR 8800, calcular o esforço solicitante de cálculo e a capacidade
resistente de cálculo . Ao fazer a verificação, apenas um destes
resultados é possível:
1 ; significa que o esforço solicitante foi maior do que a resistência, logo
a estrutura não é segura;
1 ; apresenta a situação ideal onde o cabo está no limite de sua
capacidade na qual pode ser usado com segurança;
1 ; este caso nos interessa em particular, porque indica que o cabo
poderia ser mais solicitado ou ter uma resistência menor, sem risco para a estrutura.
Suponhamos 0,75. Isto quer dizer que existe uma folga de 25% no
dimensionamento do cabo. Definimos o desperdício neste elemento pela expressão
1 . 01
Voltemos ao caso geral da otimização de uma treliça com um número de
elementos que não violam restrições. O desperdício na estrutura é dado pelo somatório do
desperdício de seus elementos:
1 1 . 02
Esta é uma função objetivo na versão atual do SAT. A meta do programa é minimizar
esta função, diretamente relacionada com o custo da estrutura, sem violar restrições. Quando
uma solução não atende aos requisitos, seu desperdício é majorado por uma função de
penalização.
Figura 8: Massa suspensa por cabo
No SAT, se uma solução não viola nenhuma restrição, sua aptidão é numericamente
igual ao seu desperdício: quanto menor o desperdício, maior sua aptidão.
Imagine uma pequena estrutura com 10 elementos, cada um deles com 12kg, onde há
coincidentemente 0,83 Kg de desperdício em cada um. Se nenhuma restrição for violada, sua
aptidão é numericamente igual a 8.3.
Em outra solução para a mesma treliça, o desperdício em cada barra é de 0,72kg. Em
princípio, este indivíduo é mais apto do que o primeiro. Contudo, suponhamos um elemento j
desta última solução, onde 1. Isto significa instabilidade ou ruptura da barra,
implicando no desperdício total de sua massa e risco para a edificação. Neste caso, o
indivíduo sofre uma penalização, diminuindo sua aptidão frente a outros que não tenham
violado nenhuma restrição. A função de penalidade tem grande influência no resultado da
otimização, porque indivíduos com bom desempenho podem se encontrar na vizinhança
daqueles que violam restrições. As penalizações devem ser proporcionais à quantidade e
intensidade das violações, mas se forem muito severas diminuem a probabilidade de
convergência no indivíduo de melhor desempenho.
Tendo isto em vista, definimos penalidade como o somatório para os k elementos que
violam restrições:
1 . 03
A penalidade é somada ao valor da função objetivo, de modo que o valor numérico da
aptidão (considerando apenas as restrições locais) se expressa por
Ou seja:
1 . 04
Identificamos três tipos de violações de restrição global: (i) a estrutura se torna
instável devido a seu peso próprio, (ii) instabilidade devido às forças externas e (iii)
deslocamentos acima do valor máximo prescrito .
Nos dois primeiros casos, a penalização é a massa total da estrutura; no terceiro caso,
adotamos uma expressão que incorpora a quantidade e a intensidade de violações.
. 05
Onde são os deslocamentos dos nós da estrutura que maiores do que e
é a massa total da estrutura. Seja qual for a restrição violada, um marcador impede que a
solução seja registrada como o melhor cromossomo de sua geração.
A proposta com o menor desperdício de material,
mesmo sendo a mais leve entre outras possíveis,
pode não ser a mais barata. Devemos ainda
considerar a fabricação e montagem da treliça, que
agregam um custo significativo à edificação e
possuem as suas próprias restrições. No desenho ao
lado (fig. 9, acima) onde uma otimização hipotética
definiu uma seção diferente para cada barra, os
custos de montagem podem ser maiores do que na
alternativa “não otimizada” (fig. 9, abaixo), onde a
padronização dos perfis reduz os custos de produção
em escala, a despeito do desperdício de material na
estrutura. Somente uma visão integrada da cadeia
produtiva do aço pode conduzir a soluções
eficientes e economicamente viáveis.
O projetista pode, com base nos resultados de uma otimização preliminar, agrupar os
elementos que, por conta da fabricação, sabe-se que terão o mesmo perfil. Esta segunda
rodada trabalha com n-upla de menor dimensão, que exige um custo computacional menor.
Pela comparação dos resultados, é possível concluir se a padronização será ou não vantajosa.
O módulo de análise do SAT não emprega AG. A solução do sistema de equações não
lineares deste módulo emprega o algoritmo de Newton-Raphson modificado. Trata-se um
Figura 9: otimização dimensional x fabricação
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Espécie é um conjunto de indivíduos cujo
cruzamento dá origem a outros indivíduos que
guardam determinado grau de semelhança com os
primeiros. Em princípio, não pode haver cruzamento
entre espécies diferentes. Depende da abordagem
que se dá ao tratamento das variáveis, esta analogia
faz sentido no projeto de treliças.
Na competição inter-específica, duas
espécies concorrem por um nicho, com risco de
extinção para a menos apta. Por seu turno, os
indivíduos da “espécie vencedora” também
competem entre si, novamente com vantagem para
os mais aptos, o que caracteriza a competição intra-
específica.
Na figura ao lado, cada tipologia de ponte representa uma espécie diferente, dentre
uma enorme variedade de outras possíveis. O aplicativo SAT simula uma competição intra-
espécie com o objetivo de encontrar o indivíduo com o menor desperdício possível de
material. A competição inter-específica, por sua vez, ainda é uma prerrogativa do projetista.
Na versão atual do aplicativo, devemos modelar um indivíduo de cada espécie para simulação
no SAT.
O SAT depende da interface gráfica de outros programas, os chamados pré e pós
processadores (nós empregamos FEMAP, versão 9.2). Eles permitem visualizar a estrutura,
aplicar carregamentos e restrições de apoio e gerenciar bibliotecas de perfis e materiais. A
forma inicial da estrutura pode ser desenvolvida dentro destes ambientes ou importada de
outros aplicativos vetoriais, como o AutoCAD ou o Rhinoceros.
O FEMAP gera um arquivo em formato ASCII com todas as informações necessárias
sobre o modelo estrutural para o início do processamento no SAT. Complementarmente,
alguns parâmetros de otimização devem ser listados em um arquivo de texto. Quando
executado, o SAT acessa estes arquivos e as bibliotecas de perfis e materiais do FEMAP,
procede à otimização e imprime um arquivo para leitura.
Figura 12: Possíveis espécies para ponte‐cobra
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Este arquivo contém o mais apto modelo estrutural proposto pelo módulo de síntese e
os resultados obtidos pelo módulo de análise – deslocamentos em cada nó, esforços
solicitantes, esforços resistentes e o quociente entre eles em cada barra.
A próxima edição do SAT deve modificar seu conceito de competição intra-espécie.
Se o valor ótimo de uma variável é função de outra variável dentro do mesmo problema, diz-
se que estas variáveis são dependentes. Em geral, estes problemas são de difícil convergência.
Alternativamente, pode-se separar estas variáveis em diferentes etapas de otimização, de
modo que os indivíduos de cada etapa pertencendo a espécies distintas na cadeia evolutiva. O
SAT2 irá proceder nesta ordem: (i) otimização geométrica (ii) otimização dimensional. Não
será possível operar crossover entre indivíduos de etapas diferentes da otimização, porque
seus cromossomos serão relativos a espécies distintas. Assim, uma pequena parte da
competição inter-específica também será simulada.
Conclusões
O conceito de design bio-inspirado procura aproximar Arquitetura e Engenharia na concepção
de projetos estruturais comprometidos com a inovação tecnológica e um mundo mais
sustentável. O código do SAT é relativamente simples e acessível mesmo a quem não tem
larga experiência de programação. O aplicativo, que está em desenvolvimento, já apresenta
resultados e tem um grande escopo de implementações a serem realizadas, visando a redução
Figura 13: Análise de deslocamentos em SAT. Ponte cobra, espécie (e)
de seu custo computacional e refinamento dos módulos de síntese e análise. Entre os
próximos aperfeiçoamentos, está a incorporação de outras abordagens de otimização
(geométrica e topológiva), generalização para modelos de pórtico espacial visando análise
mais acurada das conexões e incorporação de restrições relativas à fabricação e montagem.
Bibliografia
REBELLO, Yopanan C.P. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000. ENGEL, Heino. Sistemas de Estruturas. Barcelona: Gustavo Gili, 2006. GHALI, Amin. Structural Analysis: a unified classical and matrix approach. New York: Taylor & Francis, 2009. V&M do Brasil. Imagination & Inspiração: coletânea de estruturas tubulares. Belo Horizonte: Tamoio Editora Gráfica, 2010. CAMARA NETO, João. Otimização do Custo de elementos metálicos e mistos sob temperatura ambiente e incêndio. Dissertação de mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2008. ZBIGNIEV Michaelewicz. Genetic Algorithms + data structures = evolution programs. Charlotte: University of North Carolina. 1992. LAMBERTS, Roberto. Eficiência energética da arquitetura. São Paulo: PW, 1997.