mecânica das estrutura - treliças isostáticas

3 TRU 022 Mecnica das Estruturas II UEL / CTU / Departamento de Estruturas / Prof. Roberto Buchaim

1

UEL / CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 022 - Mecnica das Estruturas II Prof. Roberto Buchaim

3. Trelias Isostticas

3.1 Introduo Trelias so estruturas de barras ligadas entre si por ns articulados, cujas cargas se aplicam nesses mesmos ns. Com isso resultam como esforo solicitante nas barras unicamente foras normais. As trelias tm campo de aplicao muito vasto: so usadas nas estruturas de cobertura, desde vos pequenos a mdios, como nas edificaes residenciais e industriais, at grandes vos, como nas coberturas de estdios, de estaes metrovirias; so tambm usadas nas pontes rodovirias e ferrovirias. Do ponto de vista estrutural elas podem ser planas ou espaciais, e so constitudas usualmente de madeira, ao e, em menor grau, de concreto armado ou protendido. No presente captulo s se estudam as trelias isostticas planas. A principal hiptese feita para estas estruturas, a referente aos ns articulados, aproximada, mas de boa preciso. A aproximao , geralmente, lcita porque: (1) as barras que constituem a trelia tm peso prprio iG pequeno, mas no desprezvel, e que transposto para

os ns de forma estaticamente equivalente, i. e., 2iG em cada n da

barra i ; (2) as barras tm pequena rigidez flexo, decorrendo disso baixos momentos fletores, mesmo sendo os ns efetivamente rgidos ou semi-rgidos. Esses momentos fletores causam as chamadas tenses secundrias nas barras. Para que essas tenses se mantenham baixas, necessrio que os eixos das barras sejam bem dispostos, de modo a concorrerem nos respectivos ns, onde devem ser aplicadas as cargas. A Fig. 3.1 mostra alguns tipos mais comuns de trelias, todas elas isostticas, usadas em coberturas e em pontes. As trelias isostticas podem ser geradas por analogia com as vigas Gerber, cf. a Fig. 3.2. Note-se na Fig. 3.2b, que foram retiradas duas barras da trelia da Fig. 3.2a e, simultaneamente, foram adicionados dois apoios mveis, com o que a nova trelia tambm isosttica.


2

a1: Trelia Inglesa ou Howe a2: Trelia Francesa ou Polonceau

a3: Trelia Pratt a4: Trelia Comum

a) Trelias de Cobertura

b1: Trelia Pratt b2: Trelia Warren ou Neville

b3: Trelia K b4: Trelia Nielsen

b6: Trelia Parabolica Invertidab5: Trelia Fink

b) Trelias de Pontes

Fig. 3.1: Exemplos de Trelias Isostticas


3

a) Trelia Comum

a) Trelia Anloga viga Gerber

c) Viga Gerber

Fig. 3.2: Trelia gerada a partir da viga Gerber (cf. Carpinteri, 1997)

As trelias podem, ainda, formar peas estruturais de modo a substituir as vigas de alma cheia, sejam elas de eixo curvo ou reto. Ver a Fig. 3.3

tirante

a) Arco Treliado

tirante

a) Vigas Treliadas

Fig. 3.3: Peas para coberturas.


4

A nomenclatura das partes que compem uma trelia est dada na Fig. 3.4.

nCorda (ou banzo) inferior

Montante Corda (ou banzo) superior

diagonal

Fig. 3.4: Nomenclatura dos componentes de uma trelia.

As trelias so, como se v, peas leves, por causa do baixo consumo de material. Chama-se a ateno para a necessidade de contavent-las com a devida segurana, especialmente quando usadas nas coberturas de edificaes, e tambm nas pontes. Como nas trelias h barras solicitadas compresso, nas diagonais ou nos montantes, e, p. ex., nas cordas superiores, h sempre dois perigos a serem combatidos: os de ocorrncia de instabilidade por efeito da esbeltez dessas barras comprimidas. Um deles, o da flambagem local, pode ocorrer no prprio plano da trelia, e mesmo fora dele, o outro pode se dar por flambagem lateral da trelia como um todo. Menciona-se, ainda, que as peas de concreto armado e protendido podem ser analisadas e dimensionadas, idealizando-se uma trelia interna, simplesmente seguindo ou impondo o fluxo de foras desde o ponto de aplicao da carga at os apoios; nessa trelia fictcia as compresses so atribudas ao concreto e as traes so atribudas s armaduras longitudinal e transversal (mtodo das escoras e tirantes).

3.2 Trelias Isostticas e Hiperestticas Embora o presente estudo se limita s trelias isostticas, no h, em princpio, nenhuma razo para no projet-las hiperestticas, tanto mais que hoje em dia a anlise e o dimensionamento esto facilitados pelo clculo eletrnico. Conforme o nmero de vnculos que impeam o movimento de corpo rgido da trelia, ela pode ser externamente isosttica ou hiperesttica.


5

No primeiro caso, os esforos reativos so determinados apenas pelas condies de equilbrio. Na trelias isostticas planas tem-se, ento, como apoios duas articulaes, uma fixa e outra mvel, como se v na Fig. 3.1. Se o nmero de vnculos for superior a trs, a trelia externamente hiperesttica. Por outro lado, a trelia pode ser isosttica ou hiperesttica tambm internamente. Ver a Fig. 3.5.

a) Trelias Isostatica, interna e externamente

b) Trelias externamente isosttica e internamente hiposttica

Fig. 3.5

r = 3r + b = 20 = 2n

d) Trelias Hipostticac) Trelias Isosttica

r + b = 20 = 2nb = 17

B

C D

n = 10 r = 3 b = 17

A

DC

B

n = 10

Fig. 3.6

Conforme seja o nmero de deslocamentos impedidos pelos vnculos da trelia, tem-se igual nmero de reaes, indicado por r . Como as barras tm apenas fora normal, h ento tantas foras normais a determinar quantas forem as barras. Indicando-se por b o nmero de barras, h no total )( br + incgnitas a determinar. Mas, cada n fornecer duas equaes de equilbrio (seriam trs se o n fosse rgido). Sendo n o nmero de ns, contados os dos apoios, tem-se n2 equaes de equilbrio. Se ocorrer a igualdade


6

nbr 2=+ (3.1a)

tem-se uma condio necessria, mas no suficiente, para que a trelia seja isosttica. Como mostra a Fig. 3.6, a equao (3.1a) atendida nas duas trelias, mas a segunda, obtida da primeira deslocando-se a barra AD para o quadro seguinte, hiposttica, pois nela as barras AB e CD formam um pndulo duplo, e tal conexo no impede o deslocamento vertical relativo das partes da trelia a ele ligadas. Resulta, com isso, um mecanismo (ou uma cadeia cinemtica), pois no se consegue impedir o movimento da trelia como corpo rgido. Se, por outro lado, ocorrer a desigualdade

nbr 2>+ (3.1b)

tem-se um nmero de incgnitas superior ao nmero de equaes de equilbrio. A trelia ento hiperesttica, de grau de hiperestaticidade

nbrg 2-+= (3.2)

e neste caso so necessrias g condies de compatibilidade (ou de congruncia) para resolv-la. Se houver excesso de equaes de equilbrio em relao ao nmero de incgnitas, resultar a seguinte condio necessria e suficiente

nbr 2


7

As trelias externamente isostticas formadas por tringulos, de modo que a cada dois tringulos sucessivos corresponda um lado comum, so isostticas tambm internamente. As trelias que possuem esta lei de formao so chamadas simples. A unio de duas trelias simples, atravs de trs barras no paralelas, nem concorrentes num mesmo ponto, ou atravs de um n e de uma barra no concorrente nesse n, resulta na chamada trelia composta. A trelia Polonceau, Fig. 3.1a2, um exemplo deste ltimo caso. Na Fig. 3.8 indica-se uma trelia composta, formada pelas duas trelias simples ABC e ''' CBA , interligadas por trs barras no paralelas, de modo a no formar um pndulo triplo, nem concorrentes num mesmo ponto, de modo a no formar a terceira articulao. Com isto, ficam impedidos os trs deslocamentos de corpo rgido no plano: as duas translaes, horizontal e vertical, e uma rotao.

C C

B'BA A'

1 2

3

Fig. 3.8: Trelia composta.

Note-se que a trelia da Fig. 3.8 isosttica, pois verifica a igualdade (3.1a), com 3=r , 25=b e 14=n , donde nbr 228 ==+ . H, ainda, as trelias complexas, tambm isostticas, mas de formao distinta das duas anteriores. A sua anlise exige a montagem de um sistema de equaes, soluo que atualmente abandonada em favor do clculo eletrnico. Para maiores detalhes ver Sssekind, J. C., vol. 1, 1980, e Souza Lima, V. M., 1965.


8

3.3 Mtodos de Anlise de Trelias Isostticas Sero vistos neste item apenas dois mtodos de anlise, dentre os muitos existentes: o mtodo de equilbrio dos ns e o mtodo de Ritter, tambm chamado mtodo das sees. Este ltimo, aplicado s trelias de cordas paralelas, e sujeitas a cargas nodais a elas perpendiculares, pode ser acoplado, para facilitar a soluo da trelia, viga isosttica anloga, i. e., de mesmo vo, mesmo carregamento e igual vinculao, como se mostrar adiante.

3.3.1 Mtodo de Equilbrio dos Ns Este mtodo de soluo analtica ou grfica consiste em impor o equilbrio em cada n, fechando o polgono de foras normais nele concorrentes. Como o n um ponto material, s h duas equaes de equilbrio a considerar: 0=S xF e 0=S yF . Com isto, preciso ter no n

em questo apenas ou no mximo duas foras normais desconhecidas. Como conveno de sinal das foras normais adota-se, como antes, o sinal positivo para trao, e negativo para compresso. Na representao grfica do equilbrio do n, os vetores das foras que nele chegam so foras de compresso, e os que dele saem so foras de trao. Ver a Fig. 3.9.

a)

1

2

3

F

N1 > 0

N1

N2

F

N3N1F

N3

N2

N1

b)

c) Fora nos ns

d) Tringulo de Foras

Fig. 3.9


9

Se a soluo for analtica atribui-se a cada fora normal o sentido positivo (i. e., saindo do n) e o sinal decorrer da soluo das equaes de equilbrio. Se a soluo for grfica trabalha-se com os mdulos, sentidos (presumidos) e direes dos vetores, atribuindo-se ao fim o sinal, conforme resultar a natureza da fora normal, ou seja,

0>N se trao e 0


10

N1

Rh,a = 30

Rv,a = 37,5

N2a

N1Rv,a

N2 - Rh,a

a

Fig. 3.10b

50,37sen1 =aN ou KNN 50,621 =

AhRNN ,21 cos -=a ou KNN 802 =

Como o sentido dos vetores est correto conclui-se que KNN 50,621 -= (compresso) e KNN 802 = (trao). O prximo n a examinar o 1, Fig. 3.10c, e no pode ser o 3, pois neste concorrem cinco barras e, mesmo que 9N fosse conhecida do

equilbrio do n B, haveriam ainda trs foras a determinar - 4N , 5N e

7N - para apenas duas equaes de equilbrio.

Fv = 30

Fh = 10

N1 = 62.5

a

a

N4

Fh = 10N

1 = 62.5

Fv = 30N3

N3N4

aa

a

Fig. 3.10c

aa cos5,6210cos)( 43 +=+ NN ou 7543 =+ NN

vFNN -=- aa sen5,62sen)( 43 ou 5,1243 =- NN


11

Resolvido este sistema de equaes resultam KNN 75,433 = e KNN 25,314 = , ambas de compresso pois os vetores assim foram

indicados no desenho anterior. Portanto, KNN 75,433 -= e KNN 25,314 -= .

O prximo n a resolver o de nmero 2, Fig. 3.10d, e no possvel resolver ainda o n 3.

N3 =

43.

75

Fh = 10

a

Fv = 30

N6N5

a

Fv = 30

N5N6

N3 =

43.

75

Fh = 10

a

a

Fig. 3.10d

aa coscos 63 NFN h =+ ou KNN 25,566 =

563 sen)( NFNN v +=+ a ou KNN 305 =

Como o sentido das foras est correto, tem-se KNN 305 = (trao) e KNN 25,566 -= (compresso).

Agora examina-se o n 3, Fig. 3.10e, pois nele s h duas incgnitas:

7N e 9N .

N5 = 30N7

N9N2 = 80

N4 = 31.25

aa N 4 = 31.25

N9N2 = 80

N5 = 30N

7

a

Fig. 3.10e


12

aa sensen 457 NNN =+ ou KNN 75,187 -= e o sentido presumido de 7N no est correto.

8479 cos)( NNNN =++ a ou KNN 709 = Logo, pode-se por KNN 75,187 -= (compresso) e KNN 709 = (trao). Examina-se em seguida o n 4, Fig. 3.10f, que s tem uma incgnita, a fora na barra 8.

a

Fv = 30

N7 =

18.75

N8 = 56,25

Fh = 10

Fv = 30

Fh = 10

N8 = 56,25

N7 = 1

8.75

a

a

Fig. 3.10f

hFNNN +=- aa coscos)( 768 ou KNN 50,878 = Como no ltimo n, o do apoio B, Fig. 3.10g, todas as foras que nele concorrem so conhecidas, pode-se confirmar se a soluo conseguida at aqui est correta.

N8 = 87.50

N9 = 70

Rv,b = 52,5

N 8 = 87.50Rv,b

N9 = 70

a

Fig. 3.10g


13

BvRN ,8 sen =a ou KNR Bv 50,52, =

98 cos NN =a ou KNN 709 = Estes valores coincidem com os calculados anteriormente. A Fig. 3.11 rene os resultados obtidos. A Fig. 3.12 por sua vez mostra a posio deformada da trelia, e nela se nota que as barras permanecem retas, sem curvatura, pois s tm deformao axial, alongamentos nas barras tracionadas e encurtamentos nas barras comprimidas.

Rh,a = 30

Rv,a = 37.5

A a

Fh

- 62.5

Fv

Fv30- 31.25

80

Fh

Fv

Fh

- 56.25

- 87.5070

- 18.7

5

B

- 43.7

5

Rv,b = 52.5

1

3

5

2 9

74

6

8

[KN]

Fig. 3.11

2.00 m

30 kN

37.5 kN

10 kN

1.

50

m

1.

50

m

2.00 m2.00 m2.00 m

30 kN

30 kN

10 kN

30 kN

10 kN

Fig. 3.12


14

3.3.2 Mtodo das Sees Este mtodo, atribudo a Ritter, consiste em secionar a trelia convenientemente em duas partes, e estudar o equilbrio de uma delas. Nesse corte ficam explcitas as foras normais nas barras por ele interceptadas e que representam a ao da outra parte sobre aquela em considerao. Como, no plano, so trs as equaes de equilbrio de corpo rgido, deve-se ter trs barras secionadas e, portanto, trs foras normais incgnitas, cf. a Fig. 3.13. Considerando-se uma delas, as outras duas devem ser concorrentes num ponto do plano da trelia, cf. a Fig. 3.13a, e que ser escolhido como plo de momentos, ou devem ser paralelas (plo no infinito), cf. a Fig. 3.13b, o que permite escrever a equao de equilbrio de foras ortogonalmente direo dessas duas barras. Com isso determina-se a fora normal na barra transversal s outras duas.

d

1 =

h

1

d 4

a

a) Trelia com barras concorrentes

R h,aR v,a

F h

a

d 3

a

F vN3

N4

N2

a

3

2

S

a

b) Trelia de cordas paralelas

N4

aaA

R h,a

3

R v,a

2

5

4

1

F v

2

S

1

N2

N3

F h

B

7

6

3

a

Fig. 3.13 A Fig. 3.13a mostra a seo de Ritter, s-s, para a determinao das foras 2N , 3N e 4N , indicadas como positivas (trao). A determinao

de 2N toma como plo de momentos de todas as foras esquerda do corte s-s o n 1, pois nele concorrem as foras 3N e 4N . Para obter 3N

o plo passa a ser o n 3, onde concorrem 2N e 4N . Da mesma forma, a fora 4N ter como plo o n do apoio A. A Fig. 3.13b mostra uma trelia de cordas paralelas. Para a seo s-s, a indicada, obtm-se 2N tomando-se o n 1 como plo de momentos. Na determinao da fora 4N escolhe-se o n 2 para plo de momentos. Mas a fora 3N no pode ser assim obtida, ela tem de

resultar do equilbrio de todas as foras verticais (ou horizontais, se 2N


15

e 4N j forem conhecidas) posicionadas esquerda da seo s-s. Conforme a figura, essa equao vem a ser

vAv FRN -= ,3 sena Note-se que o segundo membro desta equao exatamente a fora cortante na seo de corte, se a trelia for imaginada como uma viga. No que segue, resolve-se, em parte, a trelia da Fig. 3.13a, idntica da Fig. 3.10, com os seguintes dados: KNFv 30= e KNFh 10= , ma 2= ,

mh 50,11 = . Com esse dados tem-se, ainda, KNR Av 50,37, = e

KNR Ah 30, = , e da geometria da trelia obtm-se as distncias

mhd 50,112 == e mhdd 40,2)90sen(2 143 =-== a .

01 =SM ou 2,,22 dRaRdN AhAv += , donde KNN 802 =

03 =SM ou 02,133 =+-+ aRaFhFdN Avvh , donde KNN 75,433 -=

0=S AM ou 0144 =++ aFhFdN vh , donde KNN 25,314 -=

Estes valores coincidem com os obtidos pelo mtodo de equilbrio dos ns. Considere-se agora a trelia da Fig. 3.13b, formada por tringulos

equilteros de lado a . Portanto, a sua altura vale ah23

= . As cargas

aplicadas nos ns 1 e 3 so iguais a KNFv 100= e KNFh 320= . As

reaes de apoio so iguais a KNR Ah 340, = , KNR Av 70, = e

KNR Bv 130, = . As foras 2N , 3N e 4N decorrem das seguintes equaes de equilbrio (ver a Fig. 3.13b):

01 =SM ou 2,,2a

RhRhN AvAh += , donde KNN 70,1092 @

02 =SM ou aRhFa

FhN Avhv ,4 2--= , donde KNN 74,574 -@

0=S yF ou vAv FRN -= ,3 sena , donde KNN 64,343 -@


16

Atravs de uma seo de Ritter, vertical e passante pela barra 5, obtm-se as foras nas barras 5 e 6. Ver a Fig. 3.14, onde se indica a fora 4N como positiva, i. e., com seu sentido fsico.

03 =SM ou 223

,6

aRaN Bv= , donde KNN 06,756 @

0=S BM ou aFNa

FaN hv 23

)(22

345 +=+ , donde KNN 65,345 @

aa

F h = 20 3

R v,b

N5

N6

56

N4 = 54.74

F v = 100

60

7

h

=

(3)

a /

2

A

60

3

S

Fig. 3.14 Nesta ltima equao a fora 4N foi considerada em valor absoluto, como se disse. fcil ver que as foras 1N e 7N so determinveis cada qual por uma

seo vertical, como se mostra na Fig. 3.15.

Rv,ba

N2 N6

N7

N7sena

S

SN1

N1sena

a

Rv,a

Rh,a

Fig. 3.15


17

AvRN ,1 sen =a , donde KNN 83,801 @

BvRN ,7 sen =a , donde KNN 11,1507 @ Como ambas as foras so de compresso tem-se KNN 83,801 -@ e

KNN 11,1507 -@ . Ver os resultados reunidos na Fig. 3.16. Nela interessante examinar o fluxo interno das foras desde os pontos de aplicao das cargas at os apoios. Nessa figura indica-se tambm a posio deformada da trelia, notando-se novamente que as barras permanecem retas.

a) Cargas e foras normais nas barras

b) Posio deformada da Trelia

Fig. 3.16


18

O mtodo de Ritter pode ser usado com muita eficincia se for acoplado a uma viga anloga (tambm chamada viga de substituio), nos casos de trelia de altura constante e sujeitas apenas a cargas verticais. A viga introduzida com a finalidade de obter os esforos solicitantes: o momento fletor M e a fora cortante V . Atravs destes as foras nas barras da trelia podem ser determinadas rapidamente. Seja, como exemplo dessa aplicao, a trelia da Fig. 3.17a, onde todos os ngulos entre as cordas e as diagonais so iguais a 45 .

Q2

Q Q Q Q Q2

Rv,b = 3,125QRv,a = 1,875Q

L1 = 4h L2 = h

A'C' D' E' B'

F'

AC D E B F

1 3

2

5

4

7

8

6

11

9

12

10

1315

14

16 20

19

18

17

21 ha)

Q2

Q Q Q Q Q2

Rv,a = 1,875Q Rv,b = 3.125Q

A C D E FB

1,

37

5Q

1,

37

5Q

0.

37

5Q

-

0.

37

5Q

Salto -Q

-

1.

62

5Q

b)

c)

V

1.

37

5Q

h

1.

75

Qh

1.

37

5Q

h

- 0.5Qh

M

d)

Fig. 3.17


19

Considere-se um corte vertical atravessando as barras 6, 7 e 8, como se mostra na Fig. 3.17a, entre os pontos C e D da viga anloga, mostrada na Fig. 3.17b. A determinao de 6N se faz atravs do

momento fletor na seo CC, indicado por QhM C 375,1= no diagrama de momento fletor da viga anloga, tomando-se o ponto C como plo de momentos. Ver a Fig. 3.18.

0)5,0( ,6 =-+ hQRhN Av ou 06 =+ CMhN donde QN 375,16 -=

4

Q2

5

C

C'

Q

6

8

7

N6

N7

N8

S

M

Vcd

Q

Rv,a

Q2

Fig. 3.18 Para um corte imediatamente esquerda de CC o momento fletor da viga anloga o mesmo, e a fora 4N resulta do equilbrio de momento em relao ao ponto C, cf. a Fig. 3.19.

0)5,0( ,4 =-- hQRhN Av ou 04 =- CMhN donde QN 375,14 =

Q2

C'

N4

S

Rv,a

Fig. 3.19


20

Com isto fica claro que nos trechos onde a fora cortante mantm seu sinal, h igualdade dos mdulos das foras das cordas inferior (trao, no caso) e superior (compresso, idem) de quadros sucessivos. De volta ao corte entre os pontos C e D, a fora 8N determinada com

o momento fletor DM da viga anloga, cujo valor Qh75,1 . Assim, cf. a Fig. 3.20, tem-se:

02)5,0( ,8 =+-- QhhQRhN Av ou 08 =- DMhN donde QN 75,18 =

QQ

2C'

C

S

A'

A D

D'

h

Rv,ah h

Vcd

MQQ2

Rv,a

N8

Fig. 3.20 Da mesma forma para as demais barras das cordas obtm-se:

Qh

MN D 75,112 == , Qh

MN E 125,116 == e 020 == h

MN F

Qh

MN E 125,110 -=-= , Qh

MN B 5,014 =-= e Qh

MN B 5,018 =-=

Note-se que 0202 == NN . Do equilbrio do n F, tambm ter de ser nula a fora na barra 21. O mesmo se conclui do equilbrio do n D para a barra 9, i. e., 09 =N . Do equilbrio do n A, com 02 =N , ter de ser

QN 5,01 -= . Como se mostrou, a determinao das foras nas cordas se faz com o momento fletor da viga anloga. J as foras nas diagonais so determinadas com a fora cortante dessa viga. Da Fig. 3.18 obtm-se


21

0=S yF ou 0)5,0(sen ,7 =--+ QQRN Ava Mas CDAv VQQR =-- )5,0( , , donde

QV

N CD 530,0sen7

-=-=a

Da mesma forma, resulta para a barra 3

QV

N AC 945,1sen3

-=-=a

As diagonais 11 e 15 situam-se no segmento da viga anloga onde a fora cortante negativa. Para um corte vertical entre D e E, cf. a Fig. 3.21, tem-se:

02)5,0(sen ,11 =+-- QQRN Ava

Q2

11

ED

D'

QQ

Rv,a

N11

S

a

Rv,a

Q2

QQVDE

S

Fig. 3.21 Mas DEAv VQQR =-- 2)5,0( , , donde

QV

N DE 884,0sen11

-==a


22

Para a barra 15 resulta

QV

N EB 298,2sen15

-==a

A barra 19 semelhante s barras 3 e 7, pois a ela corresponde

0>BFV , donde:

QV

N BF 707,0sen19

-=-=a

Daqui se v que a disposio das diagonais, cf. a Fig. 3.17a, est relacionada com o sinal da fora cortante, de modo que elas resultam todas comprimidas. Assim, partindo dos quadros adjacentes aos apoios, as diagonais devem ter direo do apoio ao n diagonal seguinte nos casos de 0>V , como na barra 3, de A a C, e na barra 19, de B a F; e nos casos de 0


23

especialmente se metlica, por causa da sensibilidade possivelmente

maior dessas barras flambagem, pois tm um comprimento 2 vezes maior que os montantes, no exemplo. Isto pode ser evitado, se for o caso, invertendo-se a direo das diagonais, que passaro a ser tracionadas, s custas de compresso dos montantes (alis, com um deles apresentando compresso bem maior que a diagonal mais comprimida), que deixam de ser tracionados, conforme se mostra a seguir. A Fig. 3.23 rene os resultados do presente exemplo para KNQ 100= e

mh 1= . A Fig. 3.24 mostra a soluo da trelia com disposio oposta das diagonais. Nela, as diagonais esto tracionadas e os montantes comprimidos. Compresso bem maior ocorre agora na barra 17 que transmite a reao do apoio B, KNN 50,31217 -= contra o valor

KNN 81,22915 -= na diagonal mais crtica da Fig. 3.23. Note-se que a suspenso da carga vinda dos montantes comprimidos agora feita pelas diagonais tracionadas.

L = 4m

137.5

- 194

.45

187.5

50 100

h

=

1m

312.5

100 100 100 50

175.00 175.00 112.50 0

- 53.

03

- 70.

71

- 88.39

- 229.81

-

50

- 37.50

0

62

.5

0

-

10

0

0

0 - 137.50 - 112.50 50 50

1

2 6 10 14 18

4 8 12 16 20

5 913 17 21

3 7 11 15 19

A B

Fig. 3.23

2

194.45

50

A

1

-

18

7.

5

187.5

13

100 100

11735 9

1284

106- 175 - 175- 137.5

- 100

-

13

7.

5

88.3

953.03

0 137.5 112.5

100 100 50

B

15 19

2117

16 20

14 18- 112.5 0

-

50

-

31

2.

5

-

16

2.

522

9.81 70.71

- 50-50

312.5

Fig. 3.24


24

Seja agora a trelia K da Fig. 3.25a. Os esforos solicitantes da viga anloga esto dados nas Figuras 3.25b e 3.25c.

2Q

h h h h

2Q

h 2h 2

Q2 Q Q Q

Q2

1

2

3 9 14 20

4

5

6 12 17 23

11

10 15

16

21

22

24

25

AC D E

B

C' D E'

8

7

19

18

13a)

1,5 Q

0,5 Q

- 1,5 Q

- 0,5 QV

b)

M

1,

5

Qh

1,

5

Qh

2

Qh

c)

Fig. 3.25 A determinao das foras nas cordas se faz atravs do corte s1-s1, tomando-se como plos de momentos os ns C e C, para obter 9N e

12N , respectivamente. Ver a Fig. 3.26.

C'

C

6

5

4

3

2

1

QQ2

2Q

N7

N8

N9

N12

S1

h

Fig. 3.26


25

0' =S CM ou CMQhhN == 5,19 , donde QhM

N C 5,19 ==

0=S CM ou CMQhhN -=-= 5,112 , donde QhM

N C 5,112 -=-=

As foras nas diagonais 10 e 11, cf. o corte s2-s2, resultam iguais em mdulo, pois 0129 =+ NN e no h carga horizontal aplicada na trelia, nem, portanto, na viga anloga. Alm disso, a soma das componentes verticais, asen10N e asen11N , ambas de mesmo sentido, igual fora cortante entre os pontos C e D. Ver a Fig. 3.27.

CDVQQNN =-=+ 5,1sen)( 1110 a ou asen210CDVN =

Q2

Q

Q

C'

C

Q2

Vcd

M

S2

N9

N12

1

26

5

4

3

8

7

N4

N10

2Q

aa

11

10

A

9

12

N9

QN5

N120

C'

N9

N4

N7

0 C

AD

C

Fig. 3.27 Fig. 3.28 Note-se na Fig. 3.27 que a diagonal superior est comprimida e a inferior tracionada. Logo

asen211CDVN -=


26

As foras normais nos montantes podem ser obtidas do equilbrio dos

ns onde eles se ligam s cordas, cf. a Fig. 3.28. Como 2

sen4ACVN =a ,

do equilbrio do n C resulta

0sen47 =+ aNN ou QV

N AC 75,027

-=-=

Do equilbrio do n C, com QV

N AC 75,02

sen5 ==a , resulta

85 sen NQN +=a ou QV

N CD 25,028

-=-=

Os resultados da anlise desta trelia esto reunidos na Fig. 3.29, para

KNQ 100= e mh 1= .

100

13

7

8

10

11

126

5

4

9

2

1

10050

200

18

19 25

24

22

21

16

15

2317

2014

50100

200

- 167.7

1

167.71

167.71

- 167.71

55.90

- 55.90- 55.90

55.90

150 150 003

-

20

0-

5

0

0 - 150 - 150 0

-

50

-

20

0

-

25

-

75

-

25

-

75

-

50

[KN]

Fig. 3.29

A 1

2

C

3

C' A'

E E'

S

F

D D'

Fig. 3.30


27

Examina-se a seguir a trelia composta da Fig. 3.30, isosttica, pois o nmero de barras 21=b , o nmero de reaes 3=r e o nmero de ns 12=n , donde nbr 224 ==+ . Para resolv-la, pode-se analisar separadamente as trelias simples ACE e BCE, carregando-se os ns C, D e E da primeira e C, D e E da segunda, com as foras nas barras 1, 2 e 3. Esta so, portanto, determinadas em seguida s reaes de apoio. Com esse fim, corta-se a trelia segundo s-s, conforme se v na Fig. 3.30. As foras nas barras 1, 2 e 3 decorrem, respectivamente, das equaes de equilbrio de momentos em relao aos pontos F, E e D.

3.4 Exerccios

1. Analisar as duas trelias isostticas da Fig. 3.31, formadas por tringulos equilteros de lado a . Na primeira tem-se KNQ 1201 = e na segunda KNQ 1602 = . Comente as diferenas obtidas nas duas solues, tanto nas foras normais quanto no fluxo interno das cargas.

Q1 Q1 Q1Q1

h

=

(3

)a

/

2

Q1Q1 Q1

h

=

(3

)a

/

2

l = 4a

Fig. 3.31


28

2. Analisar a trelia francesa da Fig. 3.32, para KNQ 200= e ma 5,1= .

Q

Q

Q

Q

Q

a a a a a a

l = 6a

h

=

(3

)2

a

/

2

Fig. 3.32

3. Analisar a trelia isosttica da Fig. 3.33, gerada a partir de uma viga Gerber. Dados: KNQ 400= , ma 3= e mh 35,1= .

Q Q Q Q Q Q Q

L1= 4a L2 = a L3 = 2a

B CA

h

=

(3

)a

/

2

Fig. 3.33


29

4. Analisar as duas trelias em balano da Fig. 3.34, com os seguintes dados: KNQ 200= , ah 75,0= . Como no primeiro exerccio, comente as diferenas obtidas nas duas solues, tanto nas foras normais quanto no fluxo interno das cargas.

QQ

h

=

3a

4

a a

h

=

3a

4

Q Q

Fig. 3.34 5. Analisar a trelia em balano da Fig. 3.35, para KNQ 100= ,

cma 90= . (Carpinteri, 1997).

QQQQ

a a a

a 3a 3

a 3

Fig. 3.35


30

6. A Fig. 3.36 mostra duas peas, de concreto armado ou protendido, com introduo de uma carga KNQ 500= em uma rea reduzida em relao seo transversal. No primeiro caso essa pea pode ser um pilar, e no segundo uma viga protendida, caso em que a carga a fora de protenso. Pelo Princpio de Saint-Venant, essa regio de introduo de cargas representa uma zona de perturbao de tenses, que s se regularizam a uma distncia a da borda da pea onde se introduz a carga. Essa distncia a , segundo o mesmo princpio, aproximadamente igual largura da pea (ou altura da viga). O modelo de escoras e tirantes pode ser aplicado nessas peas para determinar as armaduras que absorvem as foras de trao, bem como para limitar as tenses de compresso no concreto. Com a geometria dada para cada caso, e conhecidas as tenses nas sees onde vlida a hiptese de Bernoulli, pede-se obter as foras nas barras das trelias internas de ambas as peas, que serviro para o dimensionamento dessas zonas de introduo de carga.

Q2

Q2

Q2

Q2

a0 = 20 cm

a0

/

4a

/

2

a =

100 cm

b = 20 cm

a / 2 = 50 cm a / 2 = 50 cms =

5

k

N/

cm

15 cma0 = 20 cm

50 cm

3 4

5

6 7

1

2

s

max

=

12.5 kN/cm

s

mi

n

= 2.5

kN/cm

a / 6

a / 2 = 50 cma / 2 = 50 cm

a / 6Q6

Q7 = Q2CG6

CG7CG2

2

3

4 4'

2'

1

TraoCompresso

Q

Fig. 3.36


31

3.5 Bibliografia Consultada

1- Carpinteri, A.: Structural Mechanics. A Unified Approach. E & FN Spon, 1997

2- Duddeck, H., Ahrens, H.: Statik der Stabtragwerke. Beton-Kalender, 1988, Teil I, S. 295 - 429, Ernst & Sohn, Berlin.

3- van Langendonck, T.: Curso de Mecnica das Estruturas. Vigas Articuladas, Arcos e Prticos Triarticulados. Editora Cientfica, R.J., 1958.

4- Souza Lima, V. M.: Trelias Isostticas. Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, SP, 1965.

5- Sssekind, J. C.: Curso de Anlise Estrutural. Volume 1, Estruturas Isostticas. Editora Globo, 1980.

mecânica das estrutura - treliças isostáticas

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