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Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.5, n.1, p.1-16, 2003 1

TRANSPORTE DE CALOR E MASSA EM SÓLIDOS HETEROGÊNEOS: UM ESTUDO

TEÓRICO VIA ANÁLISE CONCENTRADA

Genival da Silva Almeida1, Fabrício José Nóbrega Cavalcante2, Antonio Gilson Barbosa de Lima3

RESUMO

A secagem é uma das etapas do pré-processamento dos produtos agrícolas que tem por finalidade retirar parte da água neles contida, sendo definida como um processo simultâneo de transferência de calor e massa entre o produto e o ar de secagem. O objetivo desse trabalho é desenvolver um modelo matemático para predizer o fenômeno de transferência de calor e massa em corpos com forma arbitrária baseado-se numa análise concentrada e supondo que o mesmo é composto por dois materiais distintos. Vários resultados são apresentados para a verificar a influência da variação das propriedades de um corpo heterogêneo. Dos resultados obtidos pode-se concluir que um sólido que apresente propriedades distintas, especificamente densidade e calor específico, terá uma cinética de secagem diferente daquela que teria um sólido homogêneo tomado para estudo com propriedades constantes. Neste sentido o modelo proposto permite uma análise mais precisa do fenômeno.

Palavras-chave: Secagem, análise concentrada, sólido heterogêneo.

HEAT AND MASS TRANSFER IN HETEROGENEOUS SOLIDS: A THEORETICAL STUDY BY LUMPED ANALYSIS

ABSTRACT

The drying is one of the stages of the pre-processing of the agricultural products and it is used to remove the water inside the solid. In a general way, it is defined as a simultaneous process of heat and mass transfer between the product and the drying air. The objective of this work is to develop a mathematical model to describe the phenomenon of the heat and mass transfer in bodies with arbitrary shape considering that they are composed by two different materials. The study is based on lumped analysis. Many results are presented to verify the influence of the change of the thermo-physical properties of a heterogeneous body. The obtained results allows us to conclude that a solid which presents different properties, specifically density and specific heat, will have a drying kinetics different from a homogeneous solid one for a study with constant properties. The proposed model allows us to analyze accurately the drying phenomenon.

Keywords: Drying, lumped analysis, heterogeneous solid .

________________________ 1. Mestre em Engenharia Mecânica, Departamento de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), 58109- 970, Cx. Postal 10069, Campina Grande-PB, Brasil. 2. Aluno de Graduação, Departamento de Engenharia Mecânica (DEM), Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq/UFPB, Centro de Ciências e Tecnologia (CCT), Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), Campina Grande, PB. 3. Professor Doutor do Departamento de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), CEP 58109-970, Caixa Postal 10069, Campina Grande-PB, Brasil. Fone (083) 310-1317, e-mail: [email protected]

Transporte de calor e massa em sólidos heterogêneos....., Almeida et al.

Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.5, n.1, p.1-16, 2003

2

INTRODUÇÃO

Um vasto número de estudos tem sido conduzido para analisar o processo de secagem, uns consideram as condições externas do ar, tais como, temperatura, umidade relativa e velocidade, relacionadas à taxa de secagem do sólido, enquanto outros consideram as condições internas ao produto com ênfase aos mecanismos de movimento de umidade e seus efeitos sobre o mesmo (Lima, 1999).

Os modelos matemáticos de secagem podem ser usados para predizer o comportamento de secagem para um determinado tipo de produto em particular. Tais modelos podem ser usados para determinar o efeito da mudança de certos parâmetros na eficiência da secagem ou para minimizar os custos de operação do sistema.

A distribuição de temperatura e umidade no interior de um sólido submetido a um processo de secagem, depende fortemente das propriedades físicas do material de que é feito o sólido e das condições de transferência de calor e/ou massa entre a superfície e o fluido ambiental, no qual o sólido é posto para secar.

A distribuição de temperatura e/ou umidade num processo transiente, em sólido submetido à secagem, será uniforme em relação às coordenadas espaciais se a resistência interna a transferência de calor e/ou massa for pequena se comparada à resistência a convecção na superfície do sólido.

Uma análise matemática que considera resistência interna ao transporte de calor e/ou massa desprezível é chamado de análise concentrada, sendo mais simples do que aquele em que se usa uma análise distribuída, pois este último envolve a resolução das equações de difusão de calor e/ou massa.

Dentre vários trabalhos em que se modela o fenômeno de secagem por análise concentrada (camada fina) pode-se citar Henderson e Pabis (1962); para trigo; Misra e Brooker (1980), para milho; Hutchison e Otten (1982), para feijões brancos e soja; Bala e Ziauddin (1990), no estudo de canola; Alsina et al. (1999), com goiabas em cubo; Lopez et al. (2000), para legumes de mercados atacadistas; Basunia e Abe (2001), para arroz duro tipo japonês; Chen et al. (2001), para kiwi; Almeida et al. (2002), para vagens de algaroba, dentre outros tais como Parry (1985), Parti (1993), Sinicio et al. (1995), Cavalcanti Mata e Menegalli (1997), Ozdemir e Devres (1999) Yaldiz et al. (2001), Lima (2001) e Silva (2002).

Diante do exposto, torna-se importante o conhecimento dos efeitos da secagem sobre as propriedades químicas e biológicas dos produtos,

uma vez que estas afetam sensivelmente os fenômenos transferência de calor e massa, principalmente em alimentos.

Visando dar uma contribuição na predição do fenômeno de secagem, este trabalho tem como objetivos:

Desenvolver modelos matemáticos para

descrição do fenômeno de transferência de calor e massa em sólidos com forma arbitrária supondo que o mesmo é composto por dois materiais distintos, baseados numa análise concentrada.

Formular e implementar um programa computacional com as equações que governam o problema, visando a aplicação do modelo estabelecido.

Simular a variação do teor de umidade adimensional e temperatura adimensional em função dos parâmetros de processo para transferência de calor e massa.

Analisar os resultados obtidos, observando a influência da variação das propriedades de um sólido composto por dois materiais distintos, bem como os processos de transferência de calor e massa acoplados.

MODELAGEM MATEMÁTICA

Como pôde ser constatado, todos os trabalhos citados que usam os modelos concentrados supõem que o sólido é homogêneo, o que é irreal. Para um estudo da transferência de calor e massa, em um sólido heterogêneo (composto por dois materiais distintos), considere a Figura 1. Nesta figura, V é o volume (m3), A é a área (m2), Cp é o calor específico (J/kgK), K é a condutividade térmica (W/mK), M é o teor de umidade (kg/kg), T é a temperatura (oC) e hm e hc

são os coeficientes de transferência de massa (m/s) e calor (W/m2K), respectivamente.

Na modelagem matemática, são assumidas as seguintes considerações:

Material composto unicamente de água na fase líquida e matéria sólida;

As propriedades termo-físicas constantes para cada sólido;

Nenhuma geração de energia ou massa ocorre;

Gradientes de temperatura e teor de umidade internos são desprezíveis em cada sólido individualmente;

Fenômeno ocorre sob condição convectiva na superfície;

Dilatação do sólido devido à elevação de temperatura durante a secagem como sendo desprezível;



3

Contração volumétrica devido à perda de

água, desprezível;

Condução de calor e massa ocorrem

unicamente na interface entre os sólidos;

Material composto unicamente de água na

fase líquida e matéria sólida.

Sendo assim, do ponto de vista da transferência de calor neste sólido, o seguinte comportamento da temperatura no interior do sólido, por exemplo, pode ser evidenciado na Figura 2:

A2

A1

X1

X2

Fluido T

V2, 2, Cp2, T2, M2, K2

V1, 1, Cp1, T1, M1, K1

hm, hc

A1

Figura 1 Esquema representativo do sólido composto por dois materiais diferentes.

X

T

X1

X2

T1

T2

Figura 2

Efeito da resistência térmica de contato na distribuição de temperatura no sistema do sólido heterogêneo.

A queda de temperatura ocorre exatamente na interface dos dois sólidos e é devido a uma resistência térmica de contato.

Um balanço de energia entre os dois sólidos dá como resultado:

1T2TcAcR21q

(1)

onde a quantidade Rc é denominada coeficiente de contato (°C/W).

O mecanismo físico da resistência de contato é devido às irregularidades existentes entre as superfícies em contato, cujos espaços vazios geralmente é preenchido por fluido. Nesta região, a transferência de calor se dá por:

Condução sólido-sólido pelos pontos de contato,

Condução, convecção e radiação através dos fluidos aprisionados nos espaços criados pelo

contato. No entanto, geralmente, considera-se desprezíveis a convecção e radiação.

Este último fator representa a maior resistência ao fluxo de calor, pois, o fluido tem, geralmente, uma condutividade térmica menor que a do sólido.

Designando Ac por área de contato e Av a área vaga na interface entre os sólidos, tem-se que (Holman, 1983):

AcR

11T2T

vL1T2T

vAfK

cA2K2vL

cA1K2vL

1T2T21q

(2)

onde Lv é a espessura do espaço vago, Kf é a condutividade térmica do fluido que preenche esse espaço e A a área total de transferência de calor. Então:

AVLvAfK

AcA2K2

VL

cA1K2vL

1cR

(3)

O maior problema desta teoria simples é a dificuldade efetiva dos valores de Ac, Av e Lv para as superfícies de contato.

Infelizmente, não existe uma teoria satisfatória que permita predizer com boa exatidão a resistência térmica de contato, nem estudos que forneçam correlações empíricas perfeitamente confiáveis. Isto se deve às muitas condições



4

superficiais complexas que podem ser encontradas na prática (Holman, 1983).

Desta forma, neste trabalho, o Rc foi assumido ser:

1X1A1K

cR

(4)

A mesma analogia pode ser feita para o transporte de massa de forma que Rc assume a forma equivalente ao apresentado para transporte de calor. Sendo assim:

1X1A1D

cR

(5)

onde D é o coeficiente de difusão de massa.

Análise da transferência de massa

Considerando o sólido apresentado na Figura 1, e realizando a análise para transferência de massa, tem-se as seguintes equações diferenciais ordinárias:

Sólido 1:

dt1dM

1V1M2M1X1A1D

(6a)

ou ainda:

02M1X1V1A1D

1Mdt

d

1X1V1A1D

(6b)

Sólido 2:

dt2dM

2V

2M1M1X2

1A1D12MeM2Amh

(7a)

ou ainda:

2V2Amh

eM1M2V1X2

1A1D1

2Mdt

d

2V1X2

1A1D1

2V2Amh

(7b)

Considerando os seguintes parâmetros:

1X1V1A1D

1X , 1X2V2

1A1D12X , (8a-d)

2V2Amh

2Y , dt

dG

substituindo nas equações (6a) e (7a) tem-se que:

02M1X1MG1X

(9)

e

eM2Y1M2X2MG2Y2X

(10)

As equações (9) e (10) são resolvidas simultaneamente, obtendo-se uma equação diferencial envolvendo somente M1. Esta equação é dada por:

eM1X2Y1M1X2YG2X1X2Y2G (11)

Resolvendo a equação (3.8) obtém-se a solução geral, que na forma dimensional em relação a M1 resulta em:

eMt2be2Nt1be1N1M

(12)

onde os parâmetros b1 e b2 são dados a seguir. As constantes N1 e N2 são obtidas aplicando as condições iniciais:

2

21

2Y1X422Y2X1X2Y2X1X

1b

2

21

2Y1X422Y2X1X2Y2X1X

2b

(13a-b)

As condições iniciais para o problema são:

0t2M

t1M

eoM2M1M , (14a-b)

para t = 0

Aplicando estas condições iniciais na equação (12) obtém-se:

eMoM1b2b

2b1N

(15a)

e

eMoM1b2b

1b2N

(15b)

Para M2, a solução pode ser obtida pela substituição da relação para M1, da equação (12), na equação (11), resultando em:



5

e

1

2tb2

1

1tb12 M

X

b1eN

X

b1eNM 21

(16)

Definindo eM0M

eMM*M , tem-se que:

t2be1b2b

1bt1be1b2b

2b*1M

(17)

t2be1X2b

11b2b

1b

t1be1X1b

11b2b

2b*2M

(17b)

Análise da transferência de calor

Realizando um balanço de energia em cada sólido da Figura 1, têm-se as seguintes equações diferenciais ordinárias:

Sólido 1:

dt1dT

1PC1V11T2T1X1A1K

(18a)

Que pode ser escrita na forma:

02T1X1PC1V1

1A1K1T

dt

d

1X1PC1V1

1A1K 18b)

Sólido 2:

dt2dT

2PC2V22T1T1X1A1K

2TT2Ach (19a)


2PC2V2

2AchT1T

1X2PC2V2

1A1K

2Tdt

d

1X2PC2V2

1A1K

2PC2V2

2Ach

(19b)

Definindo os seguintes parâmetros:

1X1PC1V1

1A1K1B ,

1X2PC2V2

1A1K2B ,

2PC2V2

2Ach2F

(20a-c)

e re-escrevendo as equações (18) e (19), numa forma mais simplificada, obtêm-se:

02T1B1TG1B

(21)

e

T2F1T2B2TG2B2F (22)

As equações (21) e (22) são resolvidas simultaneamente, obtendo-se uma equação diferencial envolvendo somente T1. O operador G denota diferenciação em relação ao tempo. Assim:

T1B2F1T1B2FG2B1B2F2G (23)

Resolvendo a equação (23) obtém-se a solução geral, que escrita na forma adimensional em relação a T1 fica da seguinte forma:

Tt2me2Ct1me1C1T (24)

Para T2 a solução pode ser obtida pela substituição da relação para T1 da equação (24) na equação (21) assumindo a forma:

T1B2m

1t2me2C1B1m

1t1me1C2T (25)

Os parâmetros, m1 e m2 são dados a seguir.

2

21

2F1B422F2B1B2F2B1B

1m

2

21

2F1B422F2B1B2F2B1B

2m

(26a-b)

As constantes C1 e C2 são obtidas aplicando as condições iniciais. Estas são dadas:

0t2T

t1T

eoT2T1T em t = 0. (27a-b)

Então, obtêm-se:

)ToT(1m2m

2m1C

(28a)

e

)ToT(1m2m

1m2C

(28b)

Definindo TT

TTT

o

* , tem-se que:

t2me1m2m

1mt1me1m2m

2m*1T (29a)



6

t2me

1B2m

11m2m

1m

t1me1B1m

11m2m

2m*2T

(29b)

Análise simultânea da transferência de calor e

massa

Para a análise de simultaneidade da transferência de calor e massa, foi considerado, para o balanço de energia, o mesmo sólido ilustrado na Figura 1 e realizou-se a análise para transferência de calor com consideração de que existe convecção térmica e influência da variação da massa devido ao aquecimento do vapor e evaporação na superfície do sólido. Neste caso as seguintes equações são obtidas:

Sólido 1:

dt1dT

1PC1V11T2T1X1A1K

(30a)


02T1X1PC1V1

1A1K1T

dt

d

1X1PC1V1

1A1K

(30b)

Sólido 2:

dt2dT

2PC2V2

2TTpCfghdt

2dM2V2

1T2T1X1A1K

2TT2Ach

(31a)


Ttd

2dM

2pCvC

2PC2V2

2Ach

dt2dM

2PC

fgh1T

1X2PC2V2

1A1K

2Tdt

2dM

2PCvC

1X2PC2V2

1A1K

2PC2V2

2Ach

(31b)

Os parâmetros B1, B2 e F2 já foram definidos anteriormente nas equações (20a-c). Re-escrevendo as equações (30) e (31), numa forma mais simplificada, obtem-se:

02T1B1TG1B

(32)

e

T2Fdt

2dM

2PCvC

dt2dM

2PC

fgh

1T2B2TGdt

2dM

2PCvC

2B2F

(33)

Por outro lado, pode-se reescrever a equação (25) na forma:

2M1M2V1X2

1A1D12MeM

2V2Amh

dt2dM

(34)

Usando-se dos parâmetros definidos nas equações 8a-d e 15a-b, pode-se reescrever a equação (34) na forma:

t2be2Wt1be1Wdt

2dM

(35)

onde:

1X1b1N2X

1X1b1N2Y

1N2Y1W

(36a)

1X2b2N2X

1X2b2N2Y

2N2Y1W

(36b)

Substituindo-se a equação (35) na equação (33) e resolvendo as equações (32) e (33) simultaneamente, obtém-se uma equação diferencial envolvendo somente T1. O operador G denota diferenciação em relação ao tempo. Assim pode-se escrever:

1B2Ft2be2Wt1be1W2PC

vC

t2be2Wt1be1W1B2PC

fgh

1Tt2be2Wt1be1W1B

2PCvC

1B2F

Gt2be2Wt1be1W2PC

vC2B1B2F2G

(37)

A equação (37) é uma equação diferencial de 2ª ordem, não-linear e não-homogênea. Tal equação não pode ser resolvida de forma fechada, para a obtenção de uma solução exata. No entanto, para efeito de simplificação foi desconsiderada a energia necessária para aquecer o vapor d água desde a temperatura na superfície do sólido até a temperatura do fluido, podendo desta forma ser



7

obtida a sua solução. A equação (37) na sua forma simplificada é dada por:

T1B2Ft2be2Wt1be1W1B2PC

fgh

1T1B2FG2B1B2F2G

(38)

Com o auxílio do Software Mathematica®, a equação (38) foi resolvida, obtendo-se a solução, que é dada por:

12H22b1B

11H1B6H1H2b6H22b1b10H2

1b2Ft2He1B321T

(39)

Sendo os valores das variáveis que aparecem em T1, dadas por:

1B2B2F1H

(40a)

2

21H2F1B41H

2H

(40b)

2

21H2F1B41H

3H

(40c)

21H2F1B44H

(40d)

oTt4He1Tt3He2t4He14H

oTT1Ht4He15H (40e)

2Wfght4He11B25H1H2PC6H (40f)

4Ht4H2be2t4He11Ht4He17H (40g)

2W2Ft4He11B2

1W4H1Ht4H1be2t4He1

1W21Ht4He18H

(40h)

2Wt3H1be22Wt4He

2W1Wt3H1be21Wt4He11W4H

2W1W1Ht4He19H

(40i)

2Wfgh7H5H2F2PC1B

6H2b5H2PC21b10H

(40j)

2W7H1H1W2Ft4He11B2fgh

5H1H2F2PC11H

(40l)

9Hfgh5H2F2PC2F1B

8Hfgh7H5H2F2PC2b

1Wfgh7H5H2F2PC22b12H

(40m)

Na forma adimensional, a equação (39) é dada por:

ToT

T1T1T (41)

Para T2 a solução foi obtida derivando a equação (39) em relação a T1 e substituindo na equação (32). Assim tem-se que:

12H22b1B

11H1B6H1H2b6H22bb10H2

1b

2Ft2He2H1B32dt

1dT

(42)

e

1Bdt

1dT1T2T

(43)

Na forma adimensional, tem-se que:

ToT

T2T*2T (44)

Todas as resoluções das equações estão no anexo, juntamente com os programas computacionais. Para obtenção dos resultados, foi desenvolvido um código computacional em linguagem C++. Os resultados foram expostos em forma gráfica, utilizando o software Grapher®.

A metodologia empregada para a geração dos resultados foi a da variação das propriedades, densidade e calor específico dos sólidos, mantendo-se constantes as demais. Essa variação foi dada em proporções diferentes e com valores coerentes fisicamente, mas aleatórios. O valor da densidade e do calor específico, ambos medidos para o sólido considerado homogêneo foi obtido a partir dos valores destas grandezas para um sólido heterogêneo, usando as seguintes equações:

2V1V2V

22V1V

1V1 (45)



8

2

2PC1PCPC

(46)

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para a validação da metodologia, os resultados do teor de umidade médio e temperatura média, obtidos neste trabalho, foram comparados com resultados obtidos da literatura (Lima, 2001), para um sólido considerado homogêneo. A Tabela 1 apresenta todos os valores dos parâmetros usados neste trabalho, para a situação em que os fenômenos de transferência de calor e massa ocorrem de forma independente.

Tabela 1

Parâmetros físicos, usados neste trabalho, para o fenômeno de transferência de calor e massa desacoplados

Parâmetro Valor

hm 1,61.10-9 m/s D 2,8.10-10 m2/s hc 0,0255 W/m2K K1 0,1 W/mK

X1 0,005 m X2 0,003 m

D* 2,8.10-10 m2/s L* 2 ( X1 + X2) = 0,016 m

*Usados no modelo de Lima (2001) para validação do modelo proposto neste trabalho.

A validação do modelo matemático desenvolvido neste trabalho pode ser verificada pelo excelente ajuste nas curvas mostradas nas Figuras 3 e 9, ou seja, quando não há variações nos valores da densidade e do calor específico, o sólido heterogêneo tem um comportamento semelhante ao de um sólido considerado homogêneo. Todos os resultados foram gerados, tomando como análise os sólidos 1 e 2 de forma esférica, com raios X1 e ( X2 + X1), respectivamente. No entanto, qualquer outra geometria pode ser utilizada para análise. Os valores de X1 e X2 foram assumidos tal que o número de Biot de transferência fosse inferior a 0,1. Os resultados apresentados nas Figuras 3-14 referem-se ao caso em que os fenômenos de transferência de calor e massa ocorrem de forma desacoplada.

As Figuras 4

7 ilustram o efeito das densidades dos sólidos no transporte de massa. A partir da análise da Figura 4, pode-se perceber que o aumento da densidade no sólido 2, proporciona um aumento na velocidade de perda de massa dos sólidos 1 e 2. Verifica-se que a consideração de que um sólido heterogêneo se comporta como

homogêneo, retarda o fenômeno de transferência de massa.

Então, a densidade tem seu papel importante, no processo de secagem. Para um corpo com densidades diferentes, sendo a do sólido 2 maior que a do sólido 1, a taxa da perda de umidade é acelerada. A explicação está no fato de que o sólido 2 possui maior massa por unidade de volume e conseqüentemente uma maior quantidade de água, proporcionando uma maior perda de umidade no início do processo, quando relacionado ao modelo reportado por Lima (2001) para sólido homogêneo, persistindo em quase todo o processo, equilibrando-se no final.

De forma contrária, a Figura 5 mostra o efeito da densidade, desta feita com os valores das densidades invertidas. Verifica-se que o sólido heterogêneo retarda o fenômeno de transferência de massa. Isso é devido a baixa densidade do sólido 2. Como para um sólido homogêneo, tem-se

> 2, este tem maior perda de massa. As Figuras 6 e 7 ilustram, novamente, a influência da densidade, no comportamento dos sólidos, de forma mais intensa, devido a uma maior diferença das densidades. O sólido 1, apesar de ter a menor densidade, forma com o sólido 2 um único sólido e que, apesar de terem propriedades diferentes, agem como um único material.

Do exposto, quanto maior for a diferença entre as densidades dos sólidos 1 e 2 e aquela correspondente a um sólido heterogêneo suposto homogêneo com densidade de valor igual ao obtido pela equação (45), maior será o erro cometido na análise. Na análise da transferência de massa a variação do calor específico não exerceu mudanças consideráveis na cinética de secagem. A Figura 8 ilustra este efeito.

As Figuras 10 e 11 ilustram o efeito do calor específico no transporte de calor nos sólidos 1 e 2. Comparando com o comportamento de um sólido considerado homogêneo, o sólido 2, tendo calor específico maior, demora a se aquecer, ou seja, o processo de transferência de calor torna-se mais lento, e, conseqüentemente, o sólido 1 também tem seu fenômeno de aquecimento retardado. Por outro lado, se o calor específico do sólido 1 (interno) é maior que o do sólido 2 (externo), a transferência de calor é acelerada. Isso porque o calor que chega no sólido 2 é facilmente transferido para o sólido 1, acelerando o processo. Para transferência de calor, o sólido é mais sensível à variação do calor específico do que a variação da densidade.



9

0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 3

Comparação entre os resultados do teor de umidade médio adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001).( = 1= 2=900 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300J/kgK).

0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 4

Comparação entre os resultados do teor de umidade médio adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( 1=900 kg/m3, 2=2100 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK).

0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 5




10

0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 6


0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 7

Comparação entre os resultados do teor de umidade médio adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( 1=4100 kg/m3,

2=900kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK).

0.0E+000 5.0E+002 1.0E+003 1.5E+003 2.0E+003 2.5E+003

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 8

Comparação entre os resultados do teor de umidade médio adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( = 1= 2=900 kg/m3, Cp1=700 J/kgK, Cp2=1300 J/kgK).



11

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 9

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( = 1= 2=900 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK).

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 10

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( = 1= 2=900 kg/m3, Cp1=700 J/kgK, Cp2=1300 J/kgK).

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 11




12

As Figuras 12 e 13 ilustram a influência do

calor específico no comportamento dos sólidos, desta feita de forma mais intensa, devido a uma maior diferença entre o valor desta propriedade termo-física. Na análise da transferência de calor, a variação da densidade não afeta a cinética de aquecimento do sólido. A única diferença encontrada foi o tempo em que os corpos chegaram ao equilíbrio e que é proporcional à densidade, ou seja, quanto maior a densidade maior o tempo que o corpo leva para chegar ao teor de umidade de equilíbrio.

Comparando-se as Figuras 3-8 com as Figuras 9 14, verifica-se que a taxa de secagem é sempre inferior a taxa de aquecimento dos sólidos, como esperado.

Nenhuma diferença significativa entre os teores de umidade *

1M e *2M e temperatura *

1T e *2T no interior do sólido heterogêneo ocorreu. Isto

é atribuído ao baixo número de Biot de transferência obtido em cada caso. Aumentando-se o número de Biot, o efeito vai se tornando cada vez mais nítido, contudo o método de análise concentrada vai deixando de ter validade.

Para a análise simultânea de transferência de calor e massa, alguns parâmetros de entrada foram mudados, visando a uma melhor inter-

pretação dos resultados obtidos. Os seguintes valores foram utilizados hm = 3,15.10-9 W/m2K, hc

= 1,5 W/m2K, T =60 oC,To=25 oC, Mo=0,8 kg/kg, Me=0,2 kg/kg. O restante das propriedades dos sólidos foram mantidas como mostra a Tabela 1.

A Figura 15 ilustra a validade do modelo concentrado que considera o fenômeno de transferência de calor e massa acoplados, pela comparação entre os resultados apresentados pela formulação dada pelas equações (17a-b) e aquelas mostradas pelas equações (41) e (44) para hfg=0 J/kg. Verifica-se a excelente concordância entre os resultados.

A influência da transferência de massa na transferência de calor pode ser verificada nas Figuras 16 e 17, onde se considera que uma parcela da energia da transferência de calor que chega ao sólido por convecção é gasta para evaporar a água que se encontra na superfície do sólido externo (sólido 2), proporcionando o retardamento do fenômeno de aquecimento dos sólidos 1 e 2. Isto é visto nitidamente em ambas as figuras e de forma mais intensa na Figura 16 devido a um valor mais acentuado para o hfg que aquele usado no caso apresentado na Figura 17.

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 12




13

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 13

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtides a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( = 1= 2=900 kg/m3, Cp1=2300 J/kgK, Cp2=700 J/kgK).

0.0E+000 4.0E+001 8.0E+001 1.2E+002 1.6E+002 2.0E+002

t (h)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T*

Lima (2001)

Sólido 1

Sólido 2

Figura 14

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos neste trabalho e aqueles obtidos a partir do modelo proposto por Lima (2001). ( 1=900 kg/m3, 2=2100 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK)

0.00 20000.00 40000.00 60000.00t (s)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

T*

T1* Desacoplado

T2* Desacoplado

T1* Acoplado

T2* Acoplado

Figura 15- Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos nos casos desacoplado e no caso acoplado. ( = 1= 2=1500 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK, hfg=0 J/kg).



14

0.00 20000.00 40000.00 60000.00t (s)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

T*

T1* Desacoplado

T2* Desacoplado

T1* Acoplado

T2* Acoplado

Figura 16

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos nos casos desacoplado e no caso acoplado. ( = 1= 2=1300 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK, hfg=2,5.106 J/kg).

0.00 20000.00 40000.00 60000.00t (s)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

T*

T1* Desacoplado

T2* Desacoplado

T1* Acoplado

T2* Acoplado

Figura 17

Comparação entre os resultados da temperatura média adimensional obtidos nos casos desacoplado e no caso acoplado. ( = 1= 2=1300 kg/m3, Cp=Cp1=Cp2=1300 J/kgK, hfg=1,0.106 J/kg).

A temperatura de equilíbrio é atingida primeiramente no caso desacoplado, com um calor latente de vaporização hfg=0 J/Kg, e de forma mais lenta para hfg>0. A transferência de calor é acentuada no início do processo e bastante lenta no fim do processo, como esperado.

Do exposto, verifica-se que uma formulação matemática que engloba os fenômenos de evaporação e aquecimento do vapor na superfície do sólido gera menores taxas de aquecimento, proporcionando uma maior confiabilidade nos resultados obtidos e na tomada de decisão, no que diz respeito à qualidade do produto no final do processo.

Para finalizar, dada a quantidade de informações fornecidas e o bom ajuste obtido nas comparações apresentadas, pode-se afirmar que a

metodologia e os modelos são versáteis. Apesar deste trabalho se direcionar a secagem de sólidos esféricos, esta metodologia pode ser usada para descrever processos de umidificação e resfriamento em sólidos com geometria arbitrária, tendo em vista que os comprimentos característicos indepedem da forma do sólido.

CONCLUSÕES

A partir dos resultados gerados e apresentados, pode-se concluir que:

As propriedades dos materiais necessitam de uma atenção maior nos problemas que envolvem fluxo de calor e massa, uma vez que estas influenciam no processo de secagem.



15

Quando se tem um sólido que apresenta propriedades distintas, especificamente densidade e calor específico, este terá um comportamento na cinética de secagem diferente de um sólido tomado para estudo com propriedades médias.

A consideração do corpo heterogêneo nos

assegura uma melhor análise no processo de secagem, obtendo-se resultados mais concretos e mais reais. Como o estudo foi feito para sistemas concentrados (número de Biot de transferência baixo), caracterizando uma secagem lenta, verificou-se que o sólido 2, sólido externo, tem uma grande influência, no processo devido às propriedades dele, agindo como um controlador do fenômeno.

Trabalhou-se na modelagem matemática com sólido de forma arbitrária, o que abre um leque de aplicações para o modelo desenvolvido.

Para a análise do caso simultâneo de transferência de calor e massa, verificou-se a grande influência da transferência de massa na transferência de calor, e que para um sólido considerado heterogêneo, este efeito é apresentado mais precisamente, uma vez que, se suas propriedades físicas são distintas, tem-se os fenômenos de transferência de calor e massa de forma diferenciada.

Verificou-se que, quando se engloba na formulação matemática os fenômenos de evaporação e aquecimento do vapor na superfície do sólido, tem-se uma menor taxa de aquecimento dele, obtendo-se, assim, resultados mais confiáveis e uma maior segurança na tomada de decisões, uma vez que estes resultados tem uma influência significante em relação à qualidade do produto.

AGRADECIMENTOS

Os autores expressam seus agradecimentos a CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) processo nº 476457/2001-7 pelo suporte financeiro concedido a esta pesquisa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Almeida, F. A. C.; Gouveia, J. P. G.; Silva, J. E.; Vilamil, J. M. P.; SILVA, M. M. Secagem natural e artificial de vagens de algaroba. Revista Brasileira de Armazenamento, v.27, n.1, p.48-57, 2002.

Alsina, O. L.S., Almeida, M.M., Silva, Y.C., SÁ, R.M. Estudo do efeito das variáveis de operação na secagem de fatias de goiaba: aplicação de um modelo difusional, In: II Congresso de Engenharia de Processos do MERCOSUL (ENPROMER), 1999. Florianópolis - SC. Anais... Florianópolis-SC, 1999, CD ROM.

Bala, B. K., Ziauddin, A. T. M. Drying characteristics of canola. Transactions of the ASAE, v.33, n.3, p.871-876, 1990.

Basunia, M.A., Abe, T., Thin-layer solar drying characteristics of rough rice under natural convection. Journal of Food Engineering, v.47, p.295-301, 2001.

Cavalcanti Mata, M. E. R. M., Menegalli, F. C. Influence of the initial moiture contents and air velocity in the drying rate in thinlayers of bean grains. Inter-American Drying Conference, Itu, Proceedings , Vol. B, p. 569-577, 1997.

Chen, X.D,. Pirini, W., Ozilgen, M., The reaction engineering approach to modeling drying of thin layer of pulped Kiwifruit flesh under conditions of small Biot numbers. Chemical Engineering and Processing, v.40, p.311 320, 2001.

Henderson, S. M., Pabis, S. Grain drying theory ,VI. The effect of airflow rate on the drying index. Journal of Agricultural Engineering Research. v.7, p.85-89, 1962.

Holman, J.P. Transferência de calor. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983, 639p.

Hutchison, D., Otten, S. L. Thin-layer drying of soybeans and white beans. CSAE Paper No. 82-104, Ottawa, Ontario: Canadian Society of Agricultural Engineering, 1982.

Lima, A. G. B. Fenômeno de difusão em sólidos esferoidais prolatos. Estudo de caso: secagem de bananas. Universidade Estadual de Campinas. 1999. 256p. Tese (Doutorado).

Lima, L.A. Difusão em sólidos com geometria arbitrária: uma abordagem concentrada. Universidade Federal da Paraíba. 2001, 49p. Relatório PIBIC/UFPB-CCT.

Lopez, A., Iguaz, A., Esnoz, A., Viseda, P. Thin layer drying behavior of vegetables wasters from wholesale market. In Drying Technology, v.18 n.4, p.995-1006, 2000..



16

Misra, M. K., Brooker, D. B. Thin-layer drying and rewetting equation for shelled yellow corn. Transaction of the ASAE, v.23, n.5, p.1254-1260, 1980.

Ozdemir, M., Devres, Y.O. The thin layer drying characteristics of hazelnuts during roasting. Journal of Food Engineering, v.42, p.225-233, 1999.

Parry, J. L. Mathematical modeling and computer simulation of heat and mass transfer in agricultural grain drying. A review. Journal of Agricultural Engineering Research, v.32, p.1-29, 1985.

Parti, M. Selection of mathematical models for drying grain in thin-layers. Journal of

Agricultural Engineering Research, v.54, p.339-352, 1993.

Silva, J. B. Secagem de sólidos em camada fina via análise concentrada: modelagem e simulação. Universidade Federal da Paraíba, 2002. 64 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica).

Sinicio, R., Muir, W. E., Jayas, D. S., Cenkoskwi, S. Thin-layer drying and wetting of wheat. Posthaverst Biology and Technologic. N. 5, p. 261-275, 1995.

Yaldiz, O., Ertekin, C., Uzun, H. I., Mathematical modeling of thin layer solar drying of sultana grapes. Energy, v.26, p.457 465, 2001.

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