TRANSFERNCIA DE CALOR EM SUPERFCIES ESTENDIDAS1. INTRODUOEsse tipo de transferncia de calor usado mais frequentemente quando uma superfcie estendida usada para aumentar a troca de transferncia de calor entre um slido e um fludo adjacente. Tal superfcie estendida chamada de aleta.Exemplo de aplicaes de aletas: Dispositivos usados para resfriar o cabeote de motores de motocicletas; Para resfriar transformadores de potncia eltrica; Tubos aletados usados para promover a troca de calor entre o ar e o fludo de trabalho em um aparelho de ar condicionado.

2. ANLISE GERAL DA CONDUOPara determinar a taxa de transferncia de calor associada a uma aleta, devemos obter a distribuio de temperatura ao longo da aleta.Na prtica a aleta fina e as variaes de temperatura na direo normal no seu interior so pequenas quando comparadas com a variao de temperatura entre aleta e o ambiente. Assim podemos considerar que a temperatura uniforme ao longo da espessura da aleta, isto , somente em funo de x.Ento, aplicando a lei da conservao de energia:

acu= ent-sai+g

acu= ent-sai+g

ent=saiqx=qx+dx+dqconv

Da lei de Fourier sabemos que:qx=-KAtr

Onde Atr a rea da seo transversal, que pode variar com x. Como a taxa de conduo de calor em (x+dx) pode ser representada por:

qx+dx=qx+

Tem-se que:qx+dx=-KAtr .K.Atr

A taxa de transferncia de calor por conveco pode ser representada por:dqconv = hdAs(T-T)Onde dA=As(rea superficial). Substituindo as equaes anteriores, obtemos: (-KAtr )dx + hdAs(T-T)=0Ou: (-KAtr + h (T-T)=0

para K constante: (Atr- (T-T)=0

Ou:+ Atr - . (T-T)=0

.: - . (T-T)=0(Forma geral da equao da energia para uma superfcie estendida).

3. ALETA COM REA DE SEO RETA UNIFORME E NO-UNIFORME3.1 rea de Seo Reta UniformeNesse caso a forma geral da equao da energia para uma superfcie estendida, resulta:

Como As= P.x , onde P o permetro, obtemos:

Simplificando a equao transformando a varivel definido uma temperatura ():

= T(x) - T

Substituindo, temos:

Obs.: m= a razo entre a troca de calor por conveco pela superfcie lateral e a conduo de calor.

A soluo geral da equao (que diferencial de 2 ordem, linear e homognea) tem a forma:(x)= C1emx + C2e-mx

Para se determinar as constantes C1 e C2 necessrio explicar as condies de contorno apropriadas.Uma dessas condies ser em termos da temperatura especificada na base da aleta.Ou ento poder ser em condies de contorno no topo da aleta: Perda de calor por conveco; T especificada; Aleta longa T-> T e L -> 0

3.2 rea de Seo Reta no-UniformeNesse caso a forma geral da equao da aleta se reduz a:

Onde Atr= 2mr varia com r.X substitudo por r.As= (2mr2 = r)

Com m2= e =T-T

Equao de Bessel modificada de ordem zero.

Forma geral: (r)=C1La(mr)+C2Ka(mr)

Onde, La e Ka so funes de Bessel modificadas de ordem zero, de 1 e 2 espcies respectivamente.

4. DESEMPENHO E EFICINCIA GLOBAL4.1 DesempenhoO desempenho est ligado efetividade da aleta (a):

a=

E ao calor transferido:

a= =

Onde Atr,b= rea da seo transversal da aleta na baseObs.: quando a2 justifica-se o uso de aletas.

Considerando o caso de aleta infinita, resulta:

a=

a=

A partir desse resultado, deve-se inferir que: a melhora com um material de elevada condutividade trmica; a melhora com o aumento da razo P/A (Permetro/rea seo transversal); melhor usar aletas quando o h for pequeno; Se a2, (KP/Atr,b) 4; No necessrio uso de aletas muito longas, poiss com L=2,65/m atingem 99% da transferncia de calor da aleta.

O desempenho de aletas pode ser quantificado tambm em termos de resistncia trmica.A resistncia da aleta pode ser definida por:Rt,a=

Na base exposta:qb=

.: a=

Outra medida do desempenho da aleta dada pela sua eficincia (a). Assim a taxa mxima na qual uma aleta poderia dissipar energia a taxa que existiria se toda superfcie da aleta estivesse na temperatura da base.a=

Onde Aa a rea superficial da aleta.

Aleta plana, seo uniforme e adiabtica:a= =

a= . = .

.:a=

Um outro artifcio consiste em se trabalhar com um comprimento adicional da aleta de forma a compensar a conveco desprezada no topo:Lc=L+t/2 para aleta retangularLc=L+D/4 para aleta piniforme

Portanto: qa=

ea=

Erros associados so desprezveis se: (ht/K) ou (hD/2K)0,0625

Se a largura de uma aleta retangular muito maior que sua espessura, w, o permetro pode ser aproximado por P=2w:

mLc= . Lc. =. Lc) =

Multiplicando o numerador e o denominador por Lc1/2 e introduzindo uma rea corrigida do perfil da aleta Ap=Lc.t, segue-se:

mLc= . Lc. =. Lc(3/2) =

4.2 Eficincia GlobalA eficincia global (o) caracteriza um conjunto de aletas e a superfcie na qual ele est fixado.o=

Onde,Qt= taxa total de transferncia de calor na rea At.At= rea total, rea das aletas somadas a frao exposta da base (chamada superfcie primria).

Considerando N aletas de rea Aa e a rea da superfcie primria Ab, a rea superficial resulta:At= NAa+Ab

Taxa total de transferncia de calor por conveco das aletas e da superfcie primria:qt=Nqa+qsp

Porm, a = ou ento qa=ahAab e qsp=hAbb

.: qt=NahAab+hAbb

Onde h considerado equivalente em toda superfcie.a = eficincia de uma aleta isolada.

Colocando h e em evidncia:

Da definio de eficincia global de superfcie, considerando aleta como parte integrante da parede, tem-se:

Isolando qt, resulta:Na forma de resistncia trmica, tem-se:ondePara aleta integrante a parede:

Para aleta no integrante a parede:

a resistncia trmica de contato

5. REFERNCIASIncropera, Frank P., Fundamentos de Transferncia de Calor e de Massa. 6 ed., Rio de Janeiro, ed. LTC, 2008.