UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB DEPARTAMENTO DE CINCIAS HUMANAS CAMPUS IX

Uma Introduo Teoria das Superfcies Mnimas

Orientadora: Liliane Xavier Neves Orientandos: Arlene Cordeiro Hebrom Kalebe

A Geometria Diferencial e o estudo das Superfcies Mnimas

Em Geometria Diferencial estudam-se objetos de natureza geomtrica, como curvas e superfcies, usando as tcnicas do Clculo Diferencial e Integral e originou-se de questes da cartografia.

A Geometria Diferencial uma subrea da Matemtica bastante estudada nos dias de hoje. O estudo das superfcies e suas caracterizaes vm sendo base de estudo para muitos estudantes do mestrado em Matemtica pura. Mais tarde passou a ser utilizada na Astronomia e na Engenharia. Tambm a Teoria da Relatividade teve como base a Geometria Diferencial.

A Geometria Diferencial tem sido fator de desenvolvimento de vrias subreas da Matemtica e Matemtica Aplicada como, por exemplo, Anlise, Equaes Diferenciais Parciais e Computao grfica. A Geometria Diferencial tambm tem sido utilizada na rea empresarial, fornecendo a interface grfica adequada apresentao de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.

Curvas e superfcies so objetos que qualquer pessoa pode ver e muitas das questes que podem ser levantadas sobre esses objetos so bvias e naturais. A Geometria Diferencial preocupa-se com a formulao matemtica de algumas dessas questes e em tentar encontrar respostas para elas usando as tcnicas do Clculo Diferencial e Integral. [Picado, 3]

No Brasil, a Geometria Diferencial vem sendo bem desenvolvida em centros como o Instituto de Matemtica Pura e Aplicada, situado no Rio de Janeiro e que referncia na Amrica Latina. No IMPA, na dcada de oitenta um Matemtico brasileiro descobriu uma superfcie mnima, a qual recebeu o seu nome, Superfcie Costa.

As superfcies Mnimas so especiais, pela sua propriedade de minimizar reas, ou seja, uma superfcie mnima no pode ser modificada sem aumentar a rea da superfcie. Tambm abordaremos uma aplicao desta teoria na Fsica: Tenso Superficial.

Pela importncia da Geometria Diferencial na Matemtica, mais especificamente, as Superfcies Mnimas, estas sero nosso objeto de Estudo neste trabalho.

PROBLEMA

Dentro da Geometria Diferencial, quais as Superfcies Mnimas descobertas at os dias atuais e quais as suas caractersticas?

OBJETIVO GERALRealizar uma pesquisa bibliogrfica sobre a Teoria das Superfcies Mnimas e sua relao com Tenso Superficial.

OBJETIVOS ESPECFICOS Estudar os conceitos bsicos da Geometria Diferencial no espao tridimensional ; Fazer uso do software Maple como auxlio no estudo sobre curvas e superfcies; Caracterizar as Superfcies Mnimas; Relacionar Superfcies Mnimas com Tenso Superficial.

METODOLOGIAEste estudo permite que o aluno utilize conceitos, mtodos e resultados estudados nas disciplinas de geometria analtica, clculo diferencial e integral e lgebra. 1. 2. 3. 4. 5. Estudos semanais e pesquisa bibliogrfica sobre os conceitos bsicos da Teoria de curvas e superfcies para posterior apresentao (tambm semanal) orientadora. Ser tambm usado o software Maple como ferramenta para uma mais apurada compreenso dos tpicos da teoria de curvas e superfcies selecionados. Leitura de artigos dos assuntos relacionados Teoria de curvas e superfcies. A mesma metodologia ser utilizada para o estudo das superfcies Mnimas e para sua aplicao em Tenso Superficial. Construo das Superfcies Mnimas utilizando bolha e sabo.

CAPTULO 1: Curvas no Espao e Teoria Local das SuperfciesTrataremos, neste captulo, dos pontos bsicos principais do estudo Teoria das Curvas no Espao e da Teoria Local das Superfcies.

Estudo das Curvas Parametrizao de uma curva qualquer; Definio de curva regular no espao; Definio de vetor tangente a uma curva; Definio de Curvatura de uma curva; Deduo do Triedro de Frenet.

Estudo das Superfcies Definio de Superfcie regular parametrizada; Plano Tangente e Vetor normal uma superfcie; Primeira e Segunda Formas Quadrticas; Curvaturas Normal, Principal. De Gauss e Mdia de uma superfcie.

No texto so apresentados vrios exemplos para os conceitos introduzidos.

CAPTULO 2: Superfcies MnimasUma superfcie mnima uma superfcie cuja curvatura mdia zero em todos os pontos da superfcie.

Esta definio pode ser reescrita da seguinte maneira: se uma superfcie S tem menor rea entre todas as superfcies de mesma fronteira, ento S uma superfcie mnima.

No captulo 2 ser introduzido formalmente o conceito de Superfcies Mnimas. Tambm apresentaremos um breve resumo histrico deste conceito, imagens grficas doas superfcies mnimas descobertas at os dias atuais e suas caracterizaes (como equao de tal superfcie, clculo da curvatura mdia.)

CAPTULO 3: Superfcies Mnimas e Tenso SuperficialUma interpretao fsica de superfcies mnimas pode ser associada com as pelculas de sabo, obtidas quando mergulhamos uma moldura formada por um arame em uma soluo de sabo e retirando-a em seguida.

Plateau (1873) realizou experincias com bolhas de sabo, determinando assim uma soluo para o problema de determinar a superfcie de rea mnima sujeita a determinado bordo fixo.

Joseph Antoine Ferdinand Plateau

Uma pelcula de sabo formada em um contorno dado fixa-se nesse com a menor rea superficial, ou seja, a pelcula de sabo estvel forma uma Superfcie Mnima.

APNDICETodos os comandos utilizados para a construo de curvas e superfcies no software Maple sero deixados para o leitor no nico Apndice deste trabalho.

Referncias Bibliogrficas Carmo, Manfredo P. Pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil. Matemtica Universitria. Dezembro de 1999. TENEBLAT, Keti. Introduo Geometria Diferencial. 2 Edio, Editora Edgard Blucher, 2008. CARMO, Manfredo Perdigo do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfcies (Coleo: Textos Universitrios), Sociedade Brasileira de Matemtica SBM, Rio de Janeiro, 2005. ARAJO, Paulo Ventura. Geometria Diferencial (Coleo Matemtica Universitria), Instituto de Matemtica Pura e Aplicada IMPA / CNPq, Rio de Janeiro, 1998. Swanson, W. M. Mecncia dos Fluidos. Universidade de Washington.