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Redes de difração, Interferência e Interferômetros

Túlio Brito Brasil

Estágio PAE

[email protected]

Supervisor: Adriano M. Alencar

Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 1 / 32

Redes de difraçãoUma rede de difração é um componente ótico que modula periodicamente a fase ou aamplitude de uma onda incidente

Na aproximação paraxialUma rede onde a espessura varia periodicamente na direção x com periodo ⇤converte uma onda plana incidente, de comprimento de onda � ⌧ ⇤, incidindo comum pequeno ângulo ✓

, em várias ondas planas que se propagam em pequenosângulos, na forma

= ✓i

⇤(1)

onde q = 0, ±1, ±2, . . . São chamadas ordens de difração.

Redes de difraçãoUma rede de difração é um componente ótico que modula periodicamente a fase ou aamplitude de uma onda incidente

Na aproximação paraxialUma rede onde a espessura varia periodicamente na direção x com periodo ⇤converte uma onda plana incidente, de comprimento de onda � ⌧ ⇤, incidindo comum pequeno ângulo ✓

, em várias ondas planas que se propagam em pequenosângulos, na forma

= ✓i

⇤(1)

onde q = 0, ±1, ±2, . . . São chamadas ordens de difração.

Problema

Redes de difraçãoRelação geral: Fora da aproximação paraxial

Uma análise mais geral mostra que uma onda plana incidente é convertida em váriasondas planas formando ângulos ✓

que satisfazem

sin ✓q

= sin ✓i

⇤(2)

Quando luz policromática incide na rede, as componentes espectrais são separadasespacialmente. Redes de difração são usadas em filtros e analisadores de espectro.

que satisfazem

sin ✓q

= sin ✓i

⇤(2)

que satisfazem

sin ✓q

= sin ✓i

⇤(2)

Equações de MaxwellFRAMEWORK

As equações de Maxwell são lineares. Sendo, U1 (r) e U2 (r) soluções da equaçãode onda, temos:

U (r) = U1 (r) + U2 (r) (3)

Também é solução! Dizemos que vale o princípio da superposição

U (r) = U1 (r) + U2 (r) (3)

InterferênciaConceitos básicos

A intensdade é dada pelo módulo quadrado da amplitude complexa, a intensidadetotal é dada por

I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U

⇤1 U2 + U

⇤2 U1 (4)

Substituindo,U1 =

i'1U2 =

i'2 (5)Obtemos,

I = I1 + I2 + 2

pI1I2 cos' (6)

onde ' = '2 � '1

I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U

⇤1 U2 + U

⇤2 U1 (4)

Substituindo,U1 =

i'1U2 =

i'2 (5)Obtemos,

I = I1 + I2 + 2

pI1I2 cos' (6)

onde ' = '2 � '1

I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U

⇤1 U2 + U

⇤2 U1 (4)

Substituindo,U1 =

i'1U2 =

i'2 (5)Obtemos,

I = I1 + I2 + 2

pI1I2 cos' (6)

onde ' = '2 � '1

I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U

⇤1 U2 + U

⇤2 U1 (4)

Substituindo,U1 =

i'1U2 =

i'2 (5)Obtemos,

I = I1 + I2 + 2

pI1I2 cos' (6)

onde ' = '2 � '1

Termo de Interferência

A contribuição do termo de interferência pode ser positiva (interferência construtiva)ou negativa (interferência destrutiva). Se I1 = I2 = I0, então

I = 2I0 (1 + cos') = 4I0 cos

2 ('/2) (7)

• ' = 0, máximo de intensidade I = 4I0

• ' = ⇡/2 ou 3⇡/2, mínimo de intensidade, I = 0.

Termo de Interferência

A contribuição do termo de interferência pode ser positiva (interferência construtiva)ou negativa (interferência destrutiva). Se I1 = I2 = I0, então

I = 2I0 (1 + cos') = 4I0 cos

2 ('/2) (7)

• ' = 0, máximo de intensidade I = 4I0

• ' = ⇡/2 ou 3⇡/2, mínimo de intensidade, I = 0.

InterferômetrosOndas Planas

Considere duas ondas planas de mesma intensidade, uma está atrasada em relação aoutra por uma distância d , tal que

I0 exp (�ikz) U2 =p

I0 exp [�ik (z � d)] (8)

A intensidade ficaI = 2I0

1 + cos

✓2⇡

◆�(9)

“Regra” para ondas planasQuando o atraso é um múltiplo inteiro de �, interferência construtiva acontece e aintensidade total é I = 4I0. Por outro lado, quando d é um múltiplo semi-inteiro de� interferência destrutiva completa ocorre e I = 0.

I0 exp [�ik (z � d)] (8)

1 + cos

✓2⇡

◆�(9)

I0 exp [�ik (z � d)] (8)

1 + cos

✓2⇡

◆�(9)

Interferômetro de Mach-Zehnder

Interferômetro de Michelson

Interferômetro de Sagnac

InterferômetrosDivisor de feixe

A conservação da energia impõe que as fases das onda refletida e transmitida porum divisor de feixes difiram por ⇡. Considere um divisor com coeficiente de reflexãor e coeficiente de transmissão t :

Assim, temos U

= rU e U

= tU . A conservação da energia implica

|r |2 + |t|2 = 1 (10)

Assim, temos U

= rU e U

|r |2 + |t|2 = 1 (10)

Assim, temos U

= rU e U

|r |2 + |t|2 = 1 (10)

Agora considere dois campos U1 e U2 entrando no divisor de feixe

A relação entre os campos de entrada e saida é dada:

1 = tU1 + rU2

2 = rU1 + tU2

Agora considere dois campos U1 e U2 entrando no divisor de feixe

A relação entre os campos de entrada e saida é dada:

1 = tU1 + rU2

2 = rU1 + tU2

A conservação da energia impõe que:

|U1|2 + |U2|2 = |U0

1|2 + |U0

= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt

⇤) (U1U⇤2 + U

⇤1 U2)

Logo,r

⇤t + rt

⇤ = 0 (12)

fazendo r = |r |e i'r e t = |t|e i't , temos

i('r�'t) = �1 ) 'r

� 't

= ⇡ (13)

Essa é uma relação muito importante na análise de interferômetros!

|U1|2 + |U2|2 = |U0

1|2 + |U0

= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt

⇤) (U1U⇤2 + U

⇤1 U2)

Logo,r

⇤t + rt

⇤ = 0 (12)

i('r�'t) = �1 ) 'r

� 't

= ⇡ (13)

|U1|2 + |U2|2 = |U0

1|2 + |U0

= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt

⇤) (U1U⇤2 + U

⇤1 U2)

Logo,r

⇤t + rt

⇤ = 0 (12)

i('r�'t) = �1 ) 'r

� 't

= ⇡ (13)

InterferômetrosAplicações

Analisando a dependência da intensidade a fase ' = 2⇡d/� = 2⇡nd/�0, podemosutilizar interferômetros para fazer medias de grande precisão de:

• Pequenas mudanças na diferença de caminho d

• Índice de refração• Comprimento de onda �0 (equivalente a frequeência ⌫)

ExemploSe d/�0 = 10

4, uma mudança no índice de refração de apenas �n = 10

corresponde a uma mudança de fase de �' = 2⇡ que é facilmente observável.

InterferômetrosAplicações: Ondas gravitacionais?

Figura: LIGO, Caltech. Hanford, Washington

InterferênciaOndas planas obliquas

Considere duas ondas planas, uma se propagando na direção z e outrapropagando-se com um ângulo ✓ em relação ao eixo z

A soma das funções de onda é dada porU =

pI0 exp(�ikz) +

pI0 exp [�i (zkcos✓ + xk sin ✓)] que leva a uma intensidade

totalI = 2I0 [1 + cos (k sin ✓x)] (14)

o padrão de intensidade oscila x , com período 2⇡/k sin ✓ = �/ sin ✓

pI0 exp(�ikz) +

Problemas

Interferência de Múltiplas Ondas

Para calcular o efeito da superposição de M ondas monocromáticas de mesmafrequência,

U = U1 + U2 + · · ·+ U

Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas.

Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por

I0 exp [i (m � 1)'] (16)

onde m = 1, 2 ..., M e ' é a diferênca de fase. Fazendo h = e

i',temosU

I0hm�1

I0�1 + h + h

2 + · · ·+ h

M�1� =p

I01 � h

1 � h

I01 � e

1 � e

U = U1 + U2 + · · ·+ U

Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas. Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por

I0 exp [i (m � 1)'] (16)

i',temosU

I0hm�1

I0�1 + h + h

2 + · · ·+ h

M�1� =p

I01 � h

1 � h

I01 � e

1 � e

U = U1 + U2 + · · ·+ U

Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas. Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por

I0 exp [i (m � 1)'] (16)

i',temosU

I0hm�1

I0�1 + h + h

2 + · · ·+ h

M�1� =p

I01 � h

1 � h

I01 � e

1 � e

Interferência de Múltiplas OndasQue corresponde a uma intensidade

I = |U|2 = I0

��exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)

exp (�i'/2)� exp (�i'/2)

��2

Assim,

I = I0sin

2 (M'/2)

2 ('/2)(19)

I = |U|2 = I0

��exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)

exp (�i'/2)� exp (�i'/2)

��2

Assim,

I = I0sin

2 (M'/2)

2 ('/2)(19)

I = |U|2 = I0

��exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)

exp (�i'/2)� exp (�i'/2)

��2

Assim,

I = I0sin

2 (M'/2)

2 ('/2)(19)

Como vimos a intensidade depende fortemente da diferença de fase '. Quando' = 2⇡q, onde q é um inteiro, temos um pico de intensidade. É importante notarque:

• A intensidade no pico é I = M

• A intensidade média é I = (1/2⇡)R 2⇡0 Id' = MI0

• Quando ' = 2⇡/M a intensidade é zero.

Como vimos a intensidade depende fortemente da diferença de fase '. Quando' = 2⇡q, onde q é um inteiro, temos um pico de intensidade. É importante notarque:

• A intensidade no pico é I = M

• A intensidade média é I = (1/2⇡)R 2⇡0 Id' = MI0

• Quando ' = 2⇡/M a intensidade é zero.

Problema

Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante

Agora o problema vai envolver um número infinito de ondas, considere asuperposição de ondas em que as amplitude decrescem em uma taxa geométrica

I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h

2U1, . . . (20)

onde h = |h|e i', |h| < 1.

A amplitude total fica

I0�1 + h + h

2 + · · ·�

1 � |h|e i'

A intensidade total é

(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)

I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h

2U1, . . . (20)

onde h = |h|e i', |h| < 1. A amplitude total fica

I0�1 + h + h

2 + · · ·�

1 � |h|e i'

(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)

I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h

2U1, . . . (20)

onde h = |h|e i', |h| < 1. A amplitude total fica

I0�1 + h + h

2 + · · ·�

1 � |h|e i'

(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)

É conveniente escrever a equação para a intensidade total na forma

1 + (2F/⇡)2 sin

2 ('/2)(23)

(1 � |h|)2F =

⇡p|h|

1 � |h| (24)

O termo F é chamado finesse e é muito importanhte na análise de cavidades óticas.

1 + (2F/⇡)2 sin

2 ('/2)(23)

(1 � |h|)2F =

⇡p|h|

1 � |h| (24)

1 + (2F/⇡)2 sin

2 ('/2)(23)

(1 � |h|)2F =

⇡p|h|

1 � |h| (24)

Para |�| ⌧ 1 podemos usar a aproximação sin ('/2) ⇡ '/2. E a intensidade podeser escrita como

I ⇡ I

1 + (F/⇡)2 '2(25)

A intensidade tem metade do valor do pico quando ' = ⇡/F , tal que largura totalna metade do máximo (full width at the half maximum - FWHM) torna-se

�' ⇡ 2⇡

F (26)

FinesseA finesse é a razão entre o periodo 2⇡ e FWHM dos picos do padrão deinterferência, portanto é uma medida da nitidez do padrão de interferência.

I ⇡ I

1 + (F/⇡)2 '2(25)

�' ⇡ 2⇡

F (26)

I ⇡ I

1 + (F/⇡)2 '2(25)

�' ⇡ 2⇡

F (26)

Interferência de Múltiplas OndasO interferômetro de Fabry-Perot

Um aparato muito importante que utiliza esses princípos é o interferômetro deFabry-Perot

Basta fazer |h| = |r | e ' = k2d = 2⇡⌫/ (c/2d)

Interferência de Múltiplas OndasInterferência em filmes finos

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