Problemas de Contagem!!!Prof. Túlio Barbosa - UFBA

O PRINCÍPIO ADITIVO: Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com m e n elementos, respectivamente, então A U B possui m + n

elementos. 

Exemplos:

1) Numa classe existem 18 rapazes e 12 garotas. De quantas maneiras podemos selecionar 1 estudante?

Resposta: 30 maneiras

2) Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer?

Resposta: 8 pedidos

O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2

pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq.

Exemplos:1) Uma pessoa pode viajar no trecho Natal/Recife/Natal de ônibus, automóvel, avião, navio ou trem. Se o meio de transporte da ida não é o mesmo da volta, de quantas maneiras essa pessoa pode realizar a viagem?

Resposta: 5.4 = 20 maneiras

2) As placas dos veículos são formadas por três letras (de um alfabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderão ser formadas?

Resposta: 26³ x 104 = 175.760.000

3) Quantas são as formas de pintar a bandeira a seguir utilizando 3 cores diferentes dentre 4 dadas?

Resposta: 4 x 3 x 2 = 24 formas

4) Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis. De quantos modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentes tenham cores distintas?

Resposta: 4 x 3 x 3 = 36 modos

5) Quantos são os números de três algarismos distintos?

Resposta: 9 x 9 x 8 = 648 números 6) Quantos são os números pares de três algarismos distintos?

Resposta: 1 x 9 x 8 = 724 x 8 x 8 = 256

Total: 72 + 256 = 328 números 7) De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas

em fila?

Resposta: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 modos

Quantos divisores são pares?

Resposta: O número de divisores naturais pares é igual ao número total de divisores naturais menos o número de divisores naturais ímpares. Logo, 24 – 6 = 18.

Quantos são quadrados perfeitos?

Resposta: Um número natural é quadrado perfeito se, e somente se, na decomposição em seus fatores primos só comparece expoente par. Desse modo, existem 2 x 2 x 1 = 4 divisores naturais de 360 que são quadrados perfeitos.

1) (OBM) Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? A) 120B) 240C) 360D) 480E) 600

Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 x 8 x 5 = 240.

2) (OBM) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares?  A) 20B) 48C) 100D) 125E) 225

Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades para o algarismo C : 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os algarismos A e B deverão preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada um. Logo 5 x 5 x 5 = 125 números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.

3) (OBM) Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos? A) 0B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 

Sejam p,q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p14 e p2q4. Assim teremos as seguintes possibilidades: 22.34 = 324, 32.24 = 144 e 52.24 = 400.

4) (OBM) Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3? A) 18B) 24C) 28D) 36E) 48

Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que o número seja divisível por 3, a soma dos seus 3 algarismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de três algarismos nessas condições são {1,3,5}, {3,5,7}, {5,7,9} e {1,5,9}. Com cada um desses conjuntos podem-se formar seis números diferentes. Por exemplo, para o primeiro, temos os números 135, 153, 315, 351, 513 e 531. Portanto, há 4 x 6 = 24 números.

5) (OBM) As permutações da palavra BRASIL foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de seis letras em um dicionário. A 361ª palavra nessa lista é: A) BRISALB) SIRBALC) RASBILD) SABRILE) LABIRS

A palavra BRASIL tem 6 letras diferente. Fixando a primeira letra à esquerda, restam 5 letras. O número de palavras que se obtém permutando-se essas 5 letras é 5x4x3x2x1=120. Portanto, após fixar à esquerda as letras A, B e I, teremos listado 3x120=360 palavras. Obedecendo à ordem alfabética, a próxima letra a ser fixada é L; escrevendo as demais letras em ordem alfabética, teremos a palavra LABIRS.

6) (OBM) Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é: A) 72 B) 36C) 35D) 64E) 56

Existem 9 8 números de dois dígitos distintos, exatamente metade deles é bonito e a outra metade não é. Logo existem 9 8/2 = 36 números bonitos.

7) (OBM) O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? A) 12 B) 6 C) 10 D) 24 E) 120

O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado B, temos duas possibilidades e os demais estados têm suas cores determinadas (1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de 3 2 = 6 formas.

B

CD AE

8) (OBMEP) Gabriel comprou uma rosa, um cravo e um lírio e quer dar uma flor para cada uma de suas três amigas. Ele sabe que uma amiga não gosta de cravos, outra não gosta de lírios e a terceira não gosta de rosas. De quantas maneiras ele pode distribuir as flores de modo a agradar às três amigas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

9) (OBMEP) Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto?

A) 8 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

10) (OBMEP) Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada? A) 1B) 2C) 3D) 4E) 8

Obs.: Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado.

11) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”. 

a) possíveis? 

Resposta: 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 

CURIOSIDADE:

Cite um anagrama para a palavra

ARGENTINO.

IGNORANTE

14) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não adjacentes de um tabuleiro 8 x 8? E se os reis fossem iguais?

Resposta: O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (vértices), 24 casas laterais que não são vértices e 36 casas centrais. Cada casa de canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5 casas adjacentes e cada central possui 8 casas adjacentes. Vamos contar separadamente os casos que ocorrem conforme o rei negro ocupe uma casa de canto, lateral ou central. Se o rei negro ocupar uma casa de canto, haverá 4 posições para o rei negro e 60 posições para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma estará ocupada, e as 3 a ela adjacentes não poderão ser ocupadas pelo rei branco. Haverá, portanto, 4x60 = 240 modos de dispor os reis.

Se o rei negro ocupar uma casa lateral que não seja de canto, haverá 24 posições para o rei negro e 58 posições para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma estará ocupada e as 5 a ela adjacentes não poderão ser ocupadas pelo rei branco. Haverá, portanto, 24x58 = 1 392 modos de dispor os reis. Se o rei negro ocupar uma casa central, haverá 36 posições para o rei negro e 55 posições para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma estará ocupada, e as 8 a ela adjacentes não poderão ser ocupadas pelo rei branco. Haverá, portanto, 36x55 = 1 980 modos de dispor os reis. Portanto, a resposta é 240 + 1 392 + 1 980 = 3 612.

Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da resposta anterior, 1 806.

15) Cada dígito de uma calculadora é mostrado no visor acendendo filamentos dispostos como mostra a figura a seguir. Quantos símbolos diferentes podem ser representados? (Não inclua o caso em que nenhum filamento é aceso.)

Resposta: São 7 filamentos. Para cada um, há duas possibilidades (aceso ou apagado). Logo, o número total de configurações possíveis é 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128.Excluindo aquela em que estão todos apagados, obtemos 127 símbolos diferentes.

17) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Este problema foi resolvido por um aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa. Há portanto 10×5 = 50 modos de formar um casal.” A solução está certa ou errada? Se estiver errada, onde está o erro?

O casal João e Maria foi considerado diferente do casal Maria e João. Isso é devido ao fato de termos trabalhado com o conceito de primeira pessoa do casal. Por isso a resposta encontrada é o dobro da resposta real.