testes de hipóteses - probabilidade e estatistica

i

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARAN

CAMPUS DE FOZ DO IGUAU

CENTRO DE ENGENHARIAS E CINCIAS EXATAS

TESTES DE HIPTESES

Carlos dos Santos

Foz do Iguau /2014

1

4 TESTES DE HIPTESES ________________________________________________________ 2

4.1 Testes de hiptese para populaes com distribuio normal _________________________ 2

4.2 Esquema geral de um teste _________________________________________________________ 3

4.3 Teste para a mdia populacional . __________________________________________________ 4 4.3.1 Sequncia de exerccios n 1 ______________________________________________________________ 11

4.4 Teste para a diferena entre duas mdias populacionais 1 e 2. ______________________ 14 4.4.1 Sequncia de exerccios n 2 ______________________________________________________________ 28

4.5 Teste para a varincia populacional 2______________________________________________ 30 4.5.1 Sequncia de exerccios n 3 ______________________________________________________________ 34

4.6 Teste para igualdade de duas varincias populacionais 22

21 e . ____________________ 35

4.6.1 Sequncia de exerccios n 4 ______________________________________________________________ 39

4.7 Teste para a proporo populacional p _____________________________________________ 41 4.7.1 Sequncia de exerccios n 5 ______________________________________________________________ 45

4.8 Teste para a diferena entre duas propores populacionais p1 e p2 __________________ 46 4.8.1 Sequncia de exerccios n 6 ______________________________________________________________ 50

4.9 Teste qui-quadrado pra prova de aderncia ________________________________________ 52 4.9.1 Sequncia de exerccios n 7 ______________________________________________________________ 56

4.10 Teste de Kolmogorov-Smirnov ____________________________________________________ 57 4.10.1 Sequncia de exerccios n 8 _____________________________________________________________ 62

4.11 Teste de Lilliefors para normalidade ______________________________________________ 63 4.11.1 Sequncia de exerccios n 9 _____________________________________________________________ 67

4.12 Tabelas Estatsticas______________________________________________________________ 68

2

4 TESTES DE HIPTESES

4.1 Testes de hiptese para populaes com distribuio normal

A inferncia estatstica tem por objetivo fazer generalizaes sobre uma populao com base em

dados de uma amostra: Devido a isso, surgem dois problemas neste processo:

(a) Estimao de parmetros;

(b) Testes de hipteses.

Os testes de hiptese so utilizados para fazer afirmaes acerca dos parmetros (mdia, varincia,

proporo) de uma populao, ou para testar diferenas entre parmetros de duas populaes.

O pressuposto para esse tipo de teste de que os dados observados devem ter distribuio normal ou

aproximadamente normal. Existem testes para fazer esta verificao, o chamado teste de normalidade, o qual

ser apresentado adiante.

A seguir sero apresentadas algumas definies importantes de elementos essenciais na construo

dos testes de hiptese:

(a) Hipteses estatsticas

So suposies que se faz acerca dos parmetros de uma ou mais populaes ao tentar a tomada de

deciso. Essas suposies podero ser verdadeiras ou no.

(b) Hipteses nula e alternativa

- Hiptese nula (H0): qualquer hiptese que est sendo testada.

- Hiptese alternativa (H1): qualquer hiptese contrria hiptese nula.

O teste de hiptese coloca a hiptese nula H0 em contraposio alternativa H1. Supondo que seja um

parmetro a ser testado. As hipteses nula e alternativa so enunciadas como:

(1) H0: 0

H1: < 0

(2) H0: 0

H1: > 0

(3) H0: = 0

H1: 0

Observe que a H0 sempre tem a condio de igualdade, enquanto que H1 nunca tem.

(c) Nvel de significncia ()

O nvel de significncia a mxima probabilidade admitida de cometer o erro tipo I, ou seja, a

probabilidade de rejeitar a hiptese nula (H0) sendo ela verdadeira.

3

(d) Regies de aceitao e de rejeio

- Regio de aceitao (R.A.): uma rea entre a curva e o eixo das abscissas, na qual no se rejeita a

hiptese nula (H0).

- Regio de rejeio (R.R.) ou regio crtica (R.C.): a regio entre a curva e o eixo das abscissas onde

se rejeita a hiptese nula (H0), sendo complementar regio de aceitao.

a) H1: < 0 b) H1: > 0 C) H1: 0

(a) (b) (c)

Figura 4.1 Regio de rejeio (R.R.) e Regio de Aceitao (R.A) de um teste de hiptese.

Observa-se, tambm, que a localizao da regio de rejeio (rea sombreada), depende do sinal de

H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica

direita e para o sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados.

(e) Teste unilateral e bilateral

- Teste unilateral: quando a regio de regio (R. R.) estiver sobre uma das laterais sobre o eixo das

abscissas, como mostram os grficos a e b da figura 4.1, tem-se um teste unilateral.

- Teste bilateral: Quando a regio de rejeio (R.R.) estiver sobre as duas laterais sobre o eixo das

abscissas, como mostra o grfico c da figura 4.1, tem-se um teste bilateral.

4.2 Esquema geral de um teste

Na aplicao de um teste de hiptese devem ser seguidos os seguintes passos:

(1) Enunciar a hiptese nula (H0);

(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1);

(3) Fixar o nvel de significncia ;

(4) Determinar a R.R. da hiptese nula (H0) a partir da distribuio de probabilidade adequada ao teste;

(5) Calcular o valor da estatstica do teste, a partir da distribuio de probabilidade adequada ao teste;

4

(6) Concluso: com base no valor amostral obtido, tomar a deciso de rejeitar H0, se o valor da estatstica do

teste cair na R.R, ou no rejeitar H0 se o valor cair na R.A.

4.3 Teste para a mdia populacional .

(1): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.

0

0

0

0

)c

)b

)a

:H

em que a mdia populacional e 0 o valor da mdia que est sendo testado.

(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica

0

0

0

)c

)b

)a

:1H

De (1) e de (2), nota-se que H0 sempre apresenta o sinal de igualdade, enquanto que H1 sempre

apresenta o sinal de desigualdade. Portanto, nesta fase, o leitor dever ler com ateno o enunciado do

problema e verificar se a afirmao ou pergunta original contm a igualdade ou no. Quando corre a igualdade,

esta afirmao refere-se hiptese nula (H0), caso contrrio ser a alternativa (H1).

Exemplos:

(I) Os consumidores esto se sentindo prejudicados em determinado posto, pois quando o marcador da bomba

indica 1L, a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a 1L.

Soluo:

Percebe-se que a afirmao a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a

(menor do que) 1L, no contm o sinal de igualdade, portanto esta a hiptese alternativa (H1), enquanto que

a hiptese nula (H0) ser contrria, isto , a quantidade mdia de combustvel fornecida no inferior a 1L (

maior ou igual a 1L). Assim, os enunciados de H0 e de H1 ficam:

H0: 1L (a quantidade mdia de combustvel fornecida no inferior a 1L).

H1: < 1L (a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a 1L).

5

(II) A fim de atrair novos negcios, uma empresa afirma que a renda mdia anual de sua regio de no

mximo de R$2.500,00.

Nota-se que a afirmao a renda mdia anual de sua regio no mximo de R$2500,00 (menor ou

igual a de R$2500,00), possui a condio de igualdade, portanto esta a hiptese nula (H0), enquanto que a

hiptese alternativa (H1) ser a de que a renda mdia anual de sua regio superior a R$2500,00. Assim, o

enunciado simblico das hipteses fica:

H0: 2500 reais (a renda mdia anual da regio de no mximo de R$2.500,00)

H1: > 2500 reais (a renda mdia anual da regio superior a R$2.500,00)

(III) Um fabricante afirma que o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000 horas.

Observa-se que a afirmao de que o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000 horas (

igual a 16000 horas), possui a condio de igualdade, ento, esta a hiptese nula (H0). Logo, a hiptese

alternativa (H1) ser a de que o tempo mdio de vida dos amortecedores diferente de 16000 horas. Assim,

os enunciados de H0 e de H1 ficam:

H0: = 16000 h(o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000horas).

H1: 16000 (o tempo mdio de vida dos amortecedores diferente de 16000 horas).

(3) Fixar o nvel de significncia . Geralmente so utilizados: = 0,01, = 0,02, = 0,1.

(4) Determinar a regio de rejeio (R.R) de H0.

Tem-se que considerar dois casos para determinar a regio de rejeio para a mdia .

1o caso: Quando o desvio padro populacional for conhecido

Nesse caso utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da

regio de rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.2) e para o

sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.2).

6

a) H1: 0 c) H1: 0

Figura 4.2. Regio de rejeio sob a distribuio normal reduzida.

Os valores de -z e z so achados para o nvel de significncia , e -z/2 e z/2 para /2 , na

tabela 2.2 da distribuio normal reduzida.

2o caso: Quando o desvio padro populacional for desconhecido

Nesse caso utiliza-se a distribuio de t de student com = n 1 graus de liberdade, para determinar a

regio de rejeio. Semelhantemente ao 1 caso, a localizao da regio de rejeio, tambm depende do

sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.3) e para o sinal , a regio de rejeio fica

dos dois lados (grfico c da figura 4.3).

a) H1: 0 c) H1: 0

Figura 4.3. Regio de rejeio sob a distribuio t de student.

Os valores de -t, t so achados na tabela 2.3 da distribuio t de Student para = n 1 graus de

liberdade e nvel de significncia . No entanto, para achar o valor de -t/2 e t/2 utiliza-se = n 1 graus de

liberdade e /2.

(5) Calculo da estatstica do teste

1o caso: Quando o desvio padro populacional for conhecido, ou quando for desconhecido e ocorrer n >

30, a estatstica do teste ser dada pela seguinte expresso:

n

xz 0

, (1)

7

Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1, em que: x a mdia

amostral, 0 o valor da mdia populacional que est sendo testado, o desvio padro populacional e n o

tamanho da amostra.

2o caso: Quando o desvio padro populacional for desconhecido e ocorrer n 30, a estatstica do teste ser

dada pela seguinte expresso:

n

s

xt 0

, (2)

Essa estatstica segue a distribuio t de Student com = n 1 graus de liberdade, em que: x a mdia

amostral, 0 o valor da mdia populacional que est sendo testado, s o desvio padro amostral e n o

tamanho da amostra.

(6) Concluso:

Se for utilizada a distribuio normal, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (Z)

com o valor crtico -Z ou com Z (num teste unilateral) ou com -Z/2 e Z/2 (num teste bilateral). Olhando

para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste

cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste

caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser rejeitada.

Se for utilizada a distribuio t de Student, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do

teste (t) com o valor crtico -t ou com T (num teste unilateral) ou com -t/2 e t/2 (num teste bilateral).

Olhando para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica

do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do

teste caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser

rejeitada.

Exemplos

( 1 ) O desvio padro de especificao tcnica de parafusos de determinada marca 5 mm. Se uma amostra

de 50 parafusos tem mdia igual a 46 mm, podemos afirmar que o comprimento mdio dos parafusos

dessa marca superior a 43 mm, ao nvel de significncia de 5%?

8

a) Enunciar a Hiptese H0

H0: 43 mm (o comprimento mdio dos parafusos dessa marca inferior ou igual a 43 mm).

b) Enunciar a Hiptese H1

H1: > 43 mm (o comprimento mdio dos parafusos dessa marca superior a 43 mm).

c) Nvel de significncia: = 0,05.

d) Determinar a regio de rejeio

Haja vista que o desvio padro populacional conhecido ( = 5), utiliza-se a distribuio normal para

determinar a regio de rejeio.

Temos = 0,05, ento tentamos localizar o valor 0,05, no centro da tabela 2.2 da distribuio normal, ou o

mais prximo, se esse valor no ocorrer. Os dois valores mais prximos de 0,05 so 0,0505 e 0,0495, os quais

possuem a mesma diferena em relao a este. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor (0,0505), o qual

fornece Z = 1,64 nas margens da tabela, como mostra a figura a seguir.

Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita, a regio de rejeio (R.R.) = 0,05 e

fica na extremidade direita da distribuio normal, a partir de Z = 1,64, como mostra a rea sombreada do

grfico a seguir.

9

e) Clculo da estatstica do teste

Haja vista que o desvio padro populacional conhecido, utiliza-se a distribuio normal no clculo da

estatstica do teste.

= 5 mm, n = 50, mmx 46 , 0 = 43 mm

n

xZ

0 2,4

50

5

4346

ZZ

f) Concluso: Observa-se (Z = 4,2 > Z, = 1,64), logo, Z = 4,2 cai na regio rejeio, como mostra o grfico a

seguir.

Ento, rejeita-se H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, h evidncia estatstica para acreditar que o

comprimento mdio dos parafusos dessa marca superior a 43 mm.

( 2 ) Um fabricante afirma que a tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia no

inferior a 500 kgf. Uma amostra de 7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os resultados (em kgf)

490 495 480 493 475 478 485

Testar a afirmao do fabricante, utilizando o nvel de significncia de 5%.

a) Enunciar a Hiptese H0

H0: 500 kgf (o fabricante afirma que tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia

no inferior a 500 kgf).

10

b) Enunciar a Hiptese H1

H1: < 500 kgf (a tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia inferior a 500 kgf).

c) Nvel de significncia: = 0,05.

d) Determinar a regio de rejeio

Haja vista que o desvio padro populacional desconhecido e ocorre n = 7 < 30, utiliza-se a distribuio

de t de student com = n 1 = 7 1 = 6 graus de liberdade, e. Obtm-se na tabela 2.3, o valor crtico t

= 1,943 no cruzamento da linha do valor 6 com a coluna do valor 0,05 como mostra a figura seguir:

Tabela 2.3 Distribuio t de student.

Uma vez que o sinal da hiptese H1

11

kgf1,485x7

485...490x

78,7s17

)5,481485(...)5,481490(s

22

n

s

xt 0

07,5

7

78,7

5001,485

tt

f) Concluso: Observa-se (t = -5,07 < -t, = -1,943), logo, t = -5,07 cai na regio rejeio, como mostra o

grfico a seguir.

Ento, rejeita-se H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, h evidncia estatstica para acreditar que a

tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por esta companhia inferior a 500kgf, contrariando a

afirmao do fabricante.

4.3.1 Sequncia de exerccios n 1

(01) Em certo banco de dados, o tempo de realizao de buscas aproximadamente normal, com mdia de 53

segundos e desvio padro de 14 segundos. Depois de serem realizadas algumas modificaes no sistema,

observou-se, em uma amostra de 30 consultas, que o tempo caiu para 45 segundos. H evidncia de melhora,

ou seja, de que a mdia do tempo de busca agora inferior a 53 segundos? Siga o roteiro abaixo:

a) Enunciar a hiptese H0

b) Enunciar a hiptese H1

c) Fixar o nvel de significncia

d) Determinar a Regio de rejeio

e) Calcular o valor da estatstica do teste

12

f) D a concluso

(02) O calor liberado em calorias por grama de uma mistura de cimento tem distribuio normal. O fabricante

afirma que a mdia igual a 100 calorias/g e o desvio padro igual a 2 calorias/g. Numa amostra de 9

espcimes chegou-se a uma mdia de 98,6 calorias/g. Testar a afirmao do fabricante, de que a mdia de

100 calorias/g. Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(03) Um fabricante de fibra txtil est investigando um novo fio, que a companhia afirma ter uma fora mdia de

alongamento de no mnimo 14 kg. O fabricante coletou uma amostra de 20 pedaos dessa fibra e achou uma

mdia de 13,8 kg e desvio padro de 0,3 kg. Supondo que os dados coletados tm distribuio normal, testar a

afirmativa da companhia, utilizando o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(04) Os dois ltimos anos de um colgio atestam pra os calouros uma nota de 115 (teste vocacional). Para

testar a hiptese de que a mdia de uma nova turma a mesma, foram coletadas as informaes de uma

amostra de 20 alunos, obtendo uma mdia de 118 e desvio padro igual a 20. Admitir = 0,05. Siga o roteiro

abaixo:






f) D a concluso

13

Respostas:

(1)

a) H0: 53 seg

b) H1: < 53 seg

c) = 0,05

d) -Z = -1,64

e) Z = -3,1298

f) Rejeita-se H0

(2)

a) H0: = 100 cal/g

b) H1: 100 cal/g

c) = 0,05

d) -Z/2 = -1,96, Z/2 = 1,96

e) Z = -2,1

f) Rejeita-se H0

(3)

a) H0: 14 kg

b) H1: < 14 kg

c) = 0,05

d) -t = -1,729

e) t = -2,9814

f) Rejeita-se H0

(4)

a) H0: = 115

b) H1: 115

c) = 0,05

d) -t/2 = -2,093, t/2 = 2,093

e) t = 0,6708

f) No se rejeita H0.

14

4.4 Teste para a diferena entre duas mdias populacionais 1 e 2.

(1)

021

021

021

0

-)

-)

-)

:

dc

db

da

H

(2)

021

021

021

1

-)

-)

-)

:

dc

db

da

H

(3) Fixar o nvel de significncia .

(4) Determinar a regio de rejeio.

1o caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem conhecidos

Nesse caso, utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da

regio de rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.4) e para o


a) H1: 0 c) H1: 0


2o caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente iguais

Neste caso, ser utilizada a distribuio de t de Student e, -t, t, -t/2 e t/2 devero ser encontrados

na tabela de t de Student para = n1 + n2 2 graus de liberdade, em que n1 e n2 representam os tamanhos

das amostras 1 e 2, respectivamente. Semelhantemente ao 1 caso, a localizao da regio de rejeio,

tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.5) e para o sinal , a

regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.5).

15

a) H1: 0 c) H1: 0

Figura 4.5. Regio de rejeio sob a distribuio t de student.

30 caso: Se os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente diferentes.

Nesse caso, tambm utilizada a distribuio t de student e determina-se a regio de rejeio

conforme a figura 4.5 do 2 caso, porm o nmero de graus de liberdade de -t, t, -t/2 e t/2, dado por:

1n

w

1n

w

)ww(

2

22

1

21

221

, (3)

Em que:

1

21

1n

sw e

2

22

2n

sw , sendo 21s e

22s as varincias das amostras 1 e 2 e n1 e n2 so os tamanhos

das amostra 1 e 2, respectivamente.

40 caso: Quando os dados forem emparelhados, isto , quando os mesmos estiverem relacionados dois a dois

de acordo com algum critrio.

Nesse caso, tambm utilizada a distribuio t de student e determina-se a regio de rejeio

conforme a figura 4.5 do 2 caso, porm, para determinar o nmero de graus de liberdade de -t, t, -t/2 e t/2

utilizado = n 1.


10 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem conhecidos

Nesse caso utiliza-se a distribuio normal e a estatstica do teste dada pela expresso a seguir:

16

2

22

1

21

021

n

n

d)xx(z

(4)

Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1,em que:

1x e 2x so as mdias das amostras 1 e 2, respectivamente;

21 e

22 so as varincias das populaes 1 e 2, nesta ordem;

d0 a diferena entre as mdias populacionais 1 e 2 que esta sendo testada.

n1 e n2 so os tamanhos das amostra 1 e 2, respectivamente.

20 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente iguais

21

2p

021

n

1

n

1s

d)xx(t (5)

Essa estatstica segue a distribuio t de student com = n -1 graus de liberdade, em que:

1x e 2x so as mdias das amostras 1 e 2, respectivamente;

d0 a diferena entre as mdias populacionais 1 e 2 que esta sendo testada.


2ps a varincia ponderada, a qual utiliza as varincias amostrais

2

1S e 2

2S , e calculada pela

expresso:

2nn

s.)1n(s.)1n(s

21

222

2112

p

(6)

30 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente diferentes.

2

22

1

21

021

n

s

n

s

d)xx(t (7)

17

40 caso: Quando os dados forem emparelhados, isto , quando os mesmos estiverem relacionados dois a dois

de acordo com algum critrio.

n

s

ddt

d

0 (8)

em que:

d representa a mdia amostral das diferenas entre os pares dois a dois, isto

n

d

d

n

i

i 1 (9)

Em que: di representa a i-sima diferena entre duas observaes emparelhadas, ou seja,

di =x1i x2i; (10)

s do desvio padro amostral das diferenas entre os pares dois a dois, ou seja,

1

)(1

2

n

dd

s

n

i

i

d

(11)

(6) Concluso

Se for utilizada a distribuio normal, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (Z)

com o valor crtico -Z ou com Z (num teste unilateral) ou com -Z/2 e Z/2 (num teste bilateral). Olhando

para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste

cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste

caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser rejeitada.

Se for utilizada a distribuio t de Student, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do

teste (t) com o valor crtico -t ou com T (num teste unilateral) ou com -t/2 e t/2 (num teste bilateral).

Olhando para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica

do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do

teste caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser

rejeitada.

18

Exemplos

( 1 ) Sabe-se que os desvios padro dos tempos de durao das vlvulas das companhias A e B, so, 100h e

80h, respectivamente,. Uma amostra de 100 vlvulas da companhia A teve durao mdia de 1530 h,

enquanto uma amostra de 70 vlvulas da companhia B teve durao mdia de 1420 h. Testar a hiptese de

que as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia superior a 100h. Utilizar o nvel

de significncia de 1%.


H0: A - B 100h (as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia inferior

ou igual a 100h)


H1: A - B > 100h (as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia superior a

100h)


O nvel de significncia = 0,01

d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)

Haja vista que os desvios padro populacionais A e B so conhecidos, utiliza-se a distribuio normal

para determinar a regio de rejeio. Procura-se o valor = 0,01 ou o valor mais prximo no centro da tabela

2.2. O valor mais prximo 0,0099. Na margem esquerda da tabela e na mesma linha do 0,0099 ocorre o valor

2,3. Na margem superior da tabela e na mesma coluna de 0,0099 ocorre o valor 3. Logo, ocorre Z = 2,33,

como mostra a figura a seguir:

19

Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita. A regio de rejeio (R.R.) igual a =

0,01 e fica na extremidade direita da distribuio normal, a partir de Z = 2,33, como mostra a rea sombreada

do grfico a seguir.

e) Clculo de estatstica do teste

Haja vista que os desvios padro populacionais A e B so conhecidos, utiliza-se a distribuio normal no

clculo da estatstica do teste.

A = 100 nA = 100, hxA 1530 ,

B = 80 nB = 70, hxB 1420 , d0 = 100mm

72,072,0

70

08

100

001

100)14201530(

)(

2222

0

Z

nn

dxxz

B

B

A

A

BA

f) Concluso

Observa-se que ocorre (Z = 0,72 < Z = 2,33), logo Z = 0,72 cai na regio aceitao, como mostra o

grfico abaixo.

20

Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, as vlvulas da companhia A, em

relao s da B, tm uma durao mdia inferior ou igual a 100h.

( 2 ) Dois tipos de solues qumicas foram ensaiadas para se determinar os pH. Os resultados foram

Soluo 1 7,50 7,54 7,51 7,53 7,50

Soluo 2 7,49 7,50 7,51 7,52 7,50 7,51

Sabendo que os dados tem distribuio normal e que os desvios padro populacionais so iguais, testar se

h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues, utilizando o nvel de significncia de 5%.

(a) Enunciar a Hiptese nula

H0: 1 - 2 = 0 (no h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues).

(b) Enunciar a Hiptese nula

H1: 1 - 2 0 (h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues).

(c) Fixar o nvel de significncia.


(d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)

Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente iguais,

utiliza-se a distribuio de t de Student com = n1 + n2 2 = 5 + 6 - 2 = 9 graus de liberdade.

21

Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,05/2 = 0,025. Obtm-se na

tabela 2.3 o valor crtico t/2 = 2,262 no cruzamento da linha do valor 9 com a coluna de do valor 0,025, como

mostra a figura seguir:

Logo, a regio de rejeio de rejeio igual a 0,05, sendo dividida em duas partes de 0,025 e fica nas

duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -2,262 e direita de

t/2 = 2,262, como mostra o grfico a seguir.

(e) Calcular a estatstica do teste:

Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente iguais, utiliza-se a seguinte estatstica:

21

2p

021

n

1

n

1s

d)xx(t

n1 = 5; ,51675

37,581 x ; 0003,0

1-5

0,0013221 s

22

n2 = 6;; 505,76

45,032 x ; 0001,0

16

00055,022

s

2

.)1(.)1(

21

2

22

2

12 1

nn

snsns p

256

0001,0)16(0003,0)15(2

ps 0002,0

2 ps

21

2p

021

n

1

n

1s

d)xx(t

6

1

5

10002,0

0)505,7(7,516t 28,1 t

(f) Concluso

Observa-se que ocorre (t/2 = -2,262) < t = 1,28 < (t/2 = 2,262), logo t = 1,28 cai na regio aceitao

(R.A.), como mostra o grfico abaixo.

Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, no h diferena significativa entre

os pH mdios das duas solues.

( 3 ) Foram medidos os registros pluviomtricos de certo muncio, durante os ltimo oito anos, durante o ms

de Janeiro, constatando que a queda mdia pluviomtrica foi de 125 mm e o desvio padro foi de 25 mm.

Outro municpio, durante os ltimos cinco anos, no mesmo ms, teve queda mdia pluviomtrica de 100 mm e

desvio padro de 5 mm. Verificar se h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois

municpios, utilizando o nvel de significncia de 1%. Considere desvios padro populacionais diferentes.

23


H0: 1 - 2 = 0 (no h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois

municpios).

(b) Enunciar a Hiptese alternativa

H1: 1 - 2 0 (h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois municpios).




Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente diferentes,

utiliza-se a distribuio t de Student com grau de liberdade dado por:

1n

w

1n

w

)ww(

2

22

1

21

221

n1 = 8; 1251 x mm; 251 s mm 125,788

252

1

2

11

n

sw

n2 = 5; mm 1002 x ; 52 s mm 55

52

2

2

22

n

sw

8

15

5

18

125,78

)5125,78(22

2

Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,01/2 = 0,005. O valor

de t/2 = 3,355 achado na tabela 2.3, no cruzamento da linha do valor 8 com a coluna do valor 0,005 como

mostra a figura a seguir.

24

Logo, a regio de rejeio de rejeio (R.R.) igual a 0,01, sendo dividida em duas partes de 0,005 e fica

nas duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -3,355 e direita de


(e) Calculo da estatstica do teste:

Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente diferentes,

utiliza-se a estatstica do teste :

2

22

1

21

021

n

s

n

s

d)xx(t

n1 = 8; 1251 x mm; 251 s mm

n2 = 5; 1002 x mm; 52 s mm

25

2

2

2

1

2

1

021 )(

n

s

n

s

dxxt 742,2

5

5

8

25

0)100125(

22

t

(f) Concluso


(R.A.), como mostra o grfico a seguir.

Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, no h diferena significativa entre

as quedas mdias pluviomtricas dos dois municpios.

( 4 ) Dois operrios determinaram os pesos (em g) das impurezas contidas nas mesmas 6 amostras de certo

produto qumico, obtendo os seguintes resultados:

Operrio 1 10,1 10,4 10,2 10,5 9,9 10,0

Operrio 2 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5

Podemos concordar com a hiptese de que no existe diferena significativa entre as determinaes

das impurezas dos dois operrios, ao nvel de significncia de 1%?


H0: 1 - 2 = 0 (no existe diferena significativa entre as determinaes das impurezas dos dois

operrios).

26

(b) Enunciar a Hiptese alternativa

H1: 1 - 2 0 (existe diferena significativa entre as determinaes das impurezas dos dois operrios).




Haja vista que os dois operrios esto realizando as determinaes de impurezas nas mesmas 6

amostras, podemos considerar que esse um caso de amostras pareadas, ento utiliza-se a distribuio t de

Student com grau de liberdade dado por = n - 1 = 6 1 = 5.

Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,01/2 = 0,005. O valor de t/2

= 4,032 achado na tabela 2.3 da distribuio t de student, no cruzamento da linha do valor 5 com a coluna do

valor 0,005 como mostra a figura a seguir.

Logo, a regio de rejeio de rejeio (R.R.) igual a 0,01, sendo dividida em duas partes de 0,005 e

fica nas duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -4,032 e direita de


27

(e) Calculo da estatstica do teste:

Haja vista que os dois operrios esto realizando as determinaes de impurezas nas mesmas 6

amostras, podemos considerar que esse um caso de dados emparelhados ou pareados, e a estatstica do

teste :

n

s

ddt

d

0

Op. 1 10,1 10,4 10,2 10,5 9,9 10,0

Op. 2 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5

di 10,1-9,8=0,3 10,410=0,4 10,210,1= 0,1 10,5-10,0 = 0,5 9,910,1=-0,2 10,0-9,5 = 0,5

2667,06

6,1

6

5,03,01

n

d

d

n

i

i

; 2732,016

0,3733

1

)(1

2

n

dd

s

n

i

i

d

;

n

s

ddt

d

0 39,2

6

2732,0

02667,0

tt

(f) Concluso



28

Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, no existe diferena significativa

entre as determinaes das impurezas dos dois operrios.


Esto sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes tipos de propolentes slidos usados no

escapamento de aeronaves. Sabe-se que ambos os propolentes tm aproximadamente o mesmo desvio

padro de taxa de queima, ou seja, de 3cm/s. Duas amostras com 20 espcimes de cada tipo de propolente

foram testadas, em que o propolente do tipo 1 apresentou 18,02 cm/s e o do tipo 2 teve 24,37 cm/s de taxa

mdia de queima. Teste a hiptese de que ambos os propolentes tm a mesma taxa mdia de queima. Utilize

o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(02) Um produto fabricado por injeo de plstico analisado em dois nveis de percentual de talco. Os dados

seguintes apresentam os resultados da dureza (HRc), segundo o percentual de talco utilizado.

Baixo 51,7 49,4 65,9 60,0 71,1 72,9 71,9 75,1

Alto 75,2 76,0 63,7 69,6 67,1 69,1 52,8 57,6

Os dados mostram evidncia suficiente para afirmar que a dureza mdia do produto diferente nos dois nveis

de percentual de talco? Suponha desvios padro iguais e use = 0,05. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(03) Na fabricao de semicondutores, o ataque qumico via umidade frequentemente usado para remover

silicone da parte posterior das pastilhas, antes da metalizao. A taxa de ataque uma caracterstica

importante nesse processo e sabido que ela seque a distribuio normal. Duas solues diferentes pra

ataque qumico foram comparadas, usando duas amostras aleatrias de 10 pastilhas para cada soluo. As

taxas observadas (10-3

polegada/min) so dadas a seguir:

29

Soluo 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10 10,3 10,1

Soluo 2 10,2 10,6 12 10,4 10,5 10 10,2 11 10,4 10,3

Os dados justificam a afirmao de que a taxa mdia de ataque a mesma para ambas as solues ao nvel

de significncia de 5%? Presumir varincias diferentes. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(04) Foi realizado um experimento com seis ensaios de um algoritmo de otimizao, antes e aps a sua

modificao (dados pareados), realizada pelo mesmo programador. Os tempos de resposta, antes e aps a

modificao esto abaixo:

Antes 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 13,1

Aps 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 11,2

Pergunta-se: Os tempos mdios de resposta, antes e aps a modificao do algoritmo em estudo podem ser

considerados diferentes, ao nvel de significncia de 5%? Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

Respostas:

(1)

a) H0: 1 = 2

b) H1: 1 2

c) = 0,05

d) -Z/2 = -1,96, Z/2 = 1,96

e) Z = -6,6935

30

f) Rejeita-se H0

(2)

a) H0: 1 = 2

b) H1: 1 2

c) = 0,05

d) -t/2 = -2,1448, t/2 = 2,1448

e) t = -0,3609

f) No se rejeita H0

(3)

a) H0: 1 = 2

b) H1: 1 2

c) = 0,05

d) -t/2 = -2,110, t/2 = 2,110

e) t = -0,2,6

f) Rejeita-se H0

(4)

a) H0: 1 = 2

b) H1: 1 2

c) = 0,05

d) -t/2 = -2,571, t/2 = 2,571

e) t = 5,175

f) Rejeita-se H0

4.5 Teste para a varincia populacional 2

O teste de hiptese para a varincia populacional 2 utiliza os seguintes passos:

( 1 ) Enunciar a Hiptese nula

H0:

2

0

2

2

0

2

2

0

2

c)

b)

a)

31

( 2 ) Enunciar a Hiptese alternativa

H1:

2

0

2

2

0

2

2

0

2

c)

b)

a)

( 3 ) Fixar o nvel de significncia

( 4 )Determinar a regio de rejeio.

Nesse teste utiliza-se a distribuio qui-quadrado com = n 1 graus de liberdade, para determinar a

regio de rejeio. Semelhantemente aos testes da mdia e da diferena entre mdias,, a localizao da

regio de rejeio, tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura

4.4) e para o sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.4).

a) H1: 0 c) H1: 0

Figura 4.6. Regio de rejeio utilizando a distribuio Qui-quadrado .

Os valores de 2-1 ,

2 ,

2/2-1 e

2/2

so achados nas tabelas 2.4 ou 2.5 da distribuio Qui-

quadrado para = n - 1 graus de liberdade.

( 5 )Calcular a estatstica do teste

A Estatstica do teste da varincia segue da distribuio Qui- quadrado com = n - 1 graus de liberdade

e dada por:

20

22

s)1n(

32

Em que: n o tamanho da amostra; s2 a varincia da amostra e

2

0 o valor da varincia populacional ser

testado.

( 6 ) Concluso

Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (2 ) com o valor crtico

2

1 (num teste unilateral esquerda), ou com o valor crtico 2

(num teste unilateral direita), ou com os

valores crticos 2

2/1 e 2

2/ (num teste bilateral), ambos determinados no passo 4. Olhando para o grfico

do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de

rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio,

rejeita-se H0, caso caia na regio de aceitao, no se rejeita H0.

Exemplo:

As chapas de ao produzidas por certa indstria tm uma especificao tal que a varincia de suas

espessuras (em mm) no deve ser superior a 0,0009 mm2. Uma amostra de 10 chapas tem espessura (em mm)

3,15 3,18 3,15 3,12 3,14 3,13 3,17 3,16 3,15 3,16

Testar a hiptese de que a varincia est dentro da especificao desejada, usando = 0,05.

(a) Enunciar a Hiptese H0

H0: 2 0,0009 mm

2 (a varincia de suas espessuras (em mm) no superior a 0,0009 mm

2).

(b) Enunciar a Hiptese H1

H1: 2 > 0,0009 mm

2 (a varincia de suas espessuras (em mm) superior a 0,0009 mm

2).

(b) Fixar o nvel de significncia

O nvel de significncia = 0,05.

33

(d) Determinar a R.R.

O teste da varincia usa a distribuio qui-quadrado com = n 1 = 10 1 = 9 graus de liberdade.

Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita e utiliza-se = 0,05. Na tabela 2.5 da

distribuio Qui-quadrado, no cruzamento da linha de = 9 com a coluna de = 0,05, acha-se o valor crtico

919162 , , como mostra a figura a seguir:

Ento, a regio de rejeio (R.R.) igual a = 0,05 e fica na extremidade direita da distribuio qui quadrado,

a partir de 919162 , , como mostra a rea sombreada do grfico a seguir:

(e) Clculo da estatstica do teste.

mm151,310

51,31x ; 22 mm0003,0

110

00289,0s

20

22

s)1n(

0009,0

0003,0.)110( 2 3 2

34

(f) Concluso

Observa-se que ocorre (2 = 3) < (2= 16,919), logo 2 = 3 cai na regio aceitao (R.A.), como mostra o

grfico abaixo. Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, a varincia est dentro da

especificao desejada, ou seja, no superior a 0,0009 mm2.


(01) Uma mquina automtica de enchimento usada para encher garrafas com detergente lquido. Uma

amostra aleatria de 20 garrafas resulta em uma varincia do volume de enchimento 0153,02 s (ona

fluda)2. Se a varincia do volume de enchimento exceder a 0,01 (ona fluida)

2, existir uma proporo

inaceitvel de garrafas cujo enchimento no foi completo ou cujo enchimento foi em excesso. H evidncia nos

dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas cheias demais ou de menos?

Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(02) Uma fbrica produz certo tipo de regulador de presso. Estes reguladores so produzidos para suportar

uma presso mdia de 20 atm e varincia de 1 atm2. Foram realizados ensaios com uma amostra de 7

reguladores de presso e verificou-se que as presses suportadas foram:

19,5 18,9 19,0 19,1 18,9 19,3 19,0

3

35

Com base no ensaio realizado, podemos concluir que a varincia superior a 1atm2? Utilize o nvel de

significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

Respostas

(1)

a) H0: 01,02

1 (ona fluida)2

b) H1: 01,02

1 atm2(ona fluida)

2

c) = 0,05

d) 2= 16,812

e) 2 = 0,3

f) No se rejeita H0

(2)

a) H0: 12

1 atm2

b) H1: 12

1 atm2

c) = 0,01

d) 2= 30,144

e) 2 = 29,07

f) No se rejeita H0

4.6 Teste para igualdade de duas varincias populacionais 2221 e .

(1) Enunciar a hiptese nula

H0: .

C)

.b)

.a)

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

36

(2) Enunciar a hiptese alternativa

H1: .

c)

.b)

.a)

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1


( 4) Determinar a regio de rejeio (R.R.).

Nesse teste utiliza-se a distribuio F de Snedecor com 1 = n1 1 e 2 = n2 1 graus de liberdade,

para determinar a regio de rejeio. Semelhantemente aos testes anteriores, a localizao da regio de

rejeio, tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.5) e para o


a) H1: 22

21 b) H1:

22

21 c) H1:

22

21

Figura 4.5. Regio de rejeio utilizando a distribuio F de Snedecor .

Os valores de -1

F , F , /2-1F e

/2F so achados na tabela da distribuio F de Snedecor para

1 = n1 1 e 2 = n2 2 e graus de liberdade.

(5) Calcular a estatstica do teste

A Estatstica do teste para a igualdade de varincias dada por

22

21

s

sF

Em que 2

1s e 2

2s so as varincias amostrais dos dois grupos que esto sendo comparados.

37

(6) Concluso

Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste ( F ) com o valor crtico

2

1 F (num teste unilateral esquerda), ou com o valor crtico F (num teste unilateral direita), ou com os

valores crticos 2/1 F e 2/F (num teste bilateral), ambos determinados no passo 4. Olhando para o grfico

do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de

rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio,

rejeita-se H0, e caso caia na regio de aceitao, no se rejeita H0.

Exemplo

Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas 1 e 2, obtendo para 5 pneus de

cada marca os seguinte resultados:

Marca 1 30000 32000 28000 26000

Marca 2 25000 30000 20000 21000 23000

Existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas de pneus, no nvel de

significncia de 5%?

(a) Enunciar a Hiptese H0

H0: 2

2

2

1 (no existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas

de pneus).

(b) Enunciar a Hiptese H1

H1: 2

2

2

1 (existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas de

pneus).

(c) Fixar o nvel de significncia

O nvel de significncia = 0,05.

(d) Determinar a Regio de rejeio

O teste para a igualdade de varincias usa a distribuio F de Snedecor com 1 = n1 1 = 4 1 = 3 e

2 = n2 1 = 5 1 = 4 graus de liberdade. Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e utiliza-

38

se /2 = 0,05/2 = 0,025 ou 2,5%. Na tabela 2.10 da distribuio F de Snedecor ao nvel de 2,5%, no

cruzamento da coluna de 1 = 3 com a linha de 2 = 4, acha-se o valor crtico F/2(1, 2) = F/2(3, 4) = 9,98. Na

mesma tabela achado o valor crtico F/2(2, 1) = F/2(4, 3) = 15,08, como mostra a figura a seguir:

Tabela 2.10 Distribuio F de Snedecor ao nvel de 2,5%.

Logo,

07,008,15

1

)3,4(2/

1

)1

,2

(2/

12/1

FF

F

Devido ao fato de que o sinal da hiptese H1 , o este bilateral e a regio de rejeio de rejeio

(R.R.) igual a 0,05, sendo dividida em duas partes de 0,025 , ficando nas duas extremidades da distribuio F

de Snedecor, ou seja, esquerda de F1-/2 = 0,07 e direita de F/2 = 9,98, como mostra o grfico a seguir.

(e) Clculo da estatstica do teste.

n1 = 4; Kmx 290004

1160001 ;

22

1 7,666666614

20000000kms

n2 = 5; Kmx 238005

11900002 ;

22

2 1570000015

62800000kms

39

15700000

6666666,72

2

2

1

S

SF 4,0F

(f) Concluso

Observa-se que ocorre (F1-/2 = 0,07) < (F = 0,4) < (F/2 = 9,98), logo F = 0,4 cai na regio aceitao


Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, no existe diferena significativa

entre as varincias das durabilidades das duas marcas de pneus.


(01) Os dimetros de bastes de ao fabricados em duas mquinas extrusoras diferentes esto sendo

investigados. Foram testadas duas amostras aleatrias de tamanhos n1 = 15 e n2 =17 e as varincias foram

35,021 s e 40,02

2 s . Supondo que os dados sigam a distribuio normal, h evidncias que justifique a

hiptese de que as duas mquinas produzam bastes de ao com varincias iguais? Utilize o nvel de

significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

40

(02) Foi feita uma investigao sobre dois tipos de catalisadores diferentes quanto a efeitos de reao qumica.

O ensaio foi feito 10 vezes com cada tipo de catalisador, obtendo varincias 656,3521 s e 233,422

2 s .

Pegunta-se: H evidncias amostrais de que as varincias so iguais para os dois tipos de catalisadores?

Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(03) Foram ensaiadas 5 vlvulas do tipo A e 4 do tipo B, obtendo-se os seguintes tempos de vida, em horas:

Marca A 1500 1450 1480 1520 1510

Marca B 1000 1300 1180 1250

Podemos concluir, ao nvel de significncia de 2%, que as varincias dos tempos de vida dos dois tipos de

vlvulas sejam iguais? Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

Respostas:

(1)

a) H0: 2

2

2

1

b) H1: 2

2

2

1

c) = 0,05

d) F1-/2 = 0,34, F/2 = 2,82

e) F = 0,875

f) No se rejeita H0

(2)

a) H0: 2

2

2

1

41

b) H1: 2

2

2

1

c) = 0,05

d) F1-/2 = 0,25, F/2 = 4,03

e) F = 0,8443

f) No se rejeita H0

(3)

a) H0: 2

2

2

1

b) H1: 2

2

2

1

c) = 0,05

d) F1-/2 = 0.10, F/2 = 15.10

e) F = 0,0447

f) Rejeita-se H0

4.7 Teste para a proporo populacional p

(1) Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.

0

0

0

0

)

)

)

:

ppc

ppb

ppa

H

em que p a proporo populacional e p0 o valor da mdia que est sendo testado.

(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica

0

0

0

)

)

)

:1

ppc

ppb

ppa

H


(4) Determinar a regio de rejeio de rejeio (R.A) de H0.

Utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da regio de

rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal

42

figura 4.6), para o sinal >, a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.6) e para o sinal , a


a) H1: 0 c) H1: 0


Os valores de -z e z so achados para o nvel de significncia , e -z/2 e z/2 para /2 na

tabela que d as probabilidades da distribuio normal reduzida.


n

pp

ppz

)1(

00

0

, (1)

Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia igual a 0 e varincia igual a 1, em que: p a

proporo amostral, p0 o valor da proporo populacional que est sendo testado e n o tamanho da

amostra.

(6) Concluso:

Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste Z, com o valor crtico Z

(no caso de teste unilateral direita), ou com o valor crtico -Z (no caso de teste unilateral esquerda), ou -

Z/2 e Z/2 (no caso de teste bilateral), determinados quando achada a regio de rejeio. Fazendo essa

comparao possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de

aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio, rejeita-se H0 e, caso caia na

regio de aceitao, no se rejeita H0.

Exemplo

Sabe-se que o tratamento para evitar corroso em tubos metlicos eficiente, se pelo menos 95% dos

tubos apresentarem resultado satisfatrio. Foi testada uma amostra de 50 tubos e 45 apresentaram resultado

satisfatrio. H evidncias amostrais indicando que o tratamento para evitar corroso eficiente? Use o Nvel

de significncia de 5%.

43

(a): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.

H0: p 0,95 (o tratamento para evitar corroso eficiente).

(b) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica

H1: p < 0,95 (o tratamento para evitar corroso no eficiente).



(d) Determinar a regio de rejeio de rejeio de H0.

Utiliza-se a distribuio normal no teste da proporo. O valor de z achado na tabela 2.2 da

distribuio normal. O nvel de significncia = 0,05, ento se procura esse valor no centro da tabela. Como

no ocorre esse valor, procura-se o mais prximo. Os mais prximos so 0,0505 e 0,0495 e estes possuem a

mesma diferena em relao a 0,05. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor, o qual fornece z = 1,64

nas margens da tabela 2.2, como mostra a figura abaixo.

Uma vez que o sinal da hiptese H1

44

(e) Calculo da estatstica do teste

n

pp

ppz

)1(

00

0

n = 50, x = 45, 9,050

45

n

xp , p0 = 0,95

62,1

50

)95,01(95,0

95,09,0

z

(f) Concluso

Observa-se que ocorre (Z = -1,62) > (-Z = -1,64), logo Z = -1,62 cai na regio aceitao (R.A.), como

mostra o grfico a seguir. Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, o tratamento para

evitar corroso eficiente.

45


(01) Um fabricante afirma que no mximo 3% das peas que ele produz so defeituosas. Um comerciante

comprou 50 peas e verificou que 4 eram defeituosas. Com base nesse resultado, podemos concluir que a

afirmao do fabricante est correta? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(02) Uma empresa retira periodicamente amostras de 500 peas de sua linha de produo para anlise de

qualidade. As peas da amostra so classificadas como defeituosas ou perfeitas, sendo que a poltica da

empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidncia de que mais de 1,5% das peas so

defeituosas. Na ltima amostra, foram encontradas nove peas defeituosas. Pergunta-se: o processo precisa

ser revisto? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

Respostas:

(1)

a) H0: 03,0p

b) H1: 03,0p

c) = 0,01

d) Z = 2,33

e) Z = 2,0726

f) No se rejeita H0

(2)

a) H0: 015,0p

46

b) H1: 015,0p

c) = 0,01

d) Z = 2,33

e) Z = 0,5519

f) No se rejeita H0

4.8 Teste para a diferena entre duas propores populacionais p1 e p2

O teste para a diferena entre duas propores segue os seguintes passos:

(1)

021

021

021

0

p-p)

p-p)

p-p)

:

dc

db

da

H

(2)

021

021

021

1

p-p)

p-p)

p-p)

:

dc

db

da

H


(4) Determinar a regio de rejeio.

Utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da regio de

rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.7) e para o sinal , a


a) H1: 0 c) H1: 0


47

(5) Calcular a estatstica do teste

10 caso: para d0 0

2

22

1

11

021

)1()1(

)(

n

pp

n

pp

dppz

Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1,em que:

1p e 2p so as propores das amostras 1 e 2, respectivamente;

d0 a diferena entre as propores populacionais p1 e p2 que esta sendo testada;


20 caso: para d0 = 0

21

021

11)1(

)(

nnpp

dppz

Em que

21

221..

1nn

pnpnp

(6) Concluso

Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste Z, com o valor crtico Z

(no caso de teste unilateral direita), ou com o valor crtico -Z (no caso de teste unilateral esquerda), ou -Z/2

e Z/2 (no caso de teste bilateral), determinados quando achada a regio de rejeio. Fazendo essa

comparao possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de

aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio, rejeita-se H0 e, caso caia na

regio de aceitao, no se rejeita H0.

48

Exemplo

Uma empresa automobilstica afirma que os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo

2 em no mnimo 10%. Tomadas duas amostras aleatrias independentes encontrou-se que 56 de 200

consumidores preferiram o modelo 1, enquanto que 29 de 150 consumidores preferiram o modelo 2. Testar a

afirmao do anncio ao nvel de significncia de 5%.

(a): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.

H0: p1 p2 0,1 (os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo 2 em no mnimo 10%).

(b) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica

H1: p1 p2 < 0,1 (os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo 2 em menos de 10%).



(d) Determinar a regio de rejeio de rejeio de H0.

Utiliza-se a distribuio normal no teste da diferena entre propores. O valor de z achado na tabela

2.2 da distribuio normal. O nvel de significncia = 0,05, ento se procura esse valor no centro da tabela.

Como no ocorre esse valor, procura-se o mais prximo. Os mais prximos so 0,0505 e 0,0495 e estes

possuem a mesma diferena em relao a 0,05. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor, o qual fornece

z = 1,64 nas margens da tabela 2.2, como mostra a figura a seguir.

49

Uma vez que o sinal da hiptese H1 (-Z = -1,64), logo Z = -0,29 cai na regio aceitao (R.A.), como

mostra o grfico a seguir

50

Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, os automveis do modelo 1 superam em

venda os do modelo 2 em no mnimo 10%.


(01) Um operrio afirma que no existe diferena entre as porcentagens de peas defeituosas produzidas pelas

mquinas 1 e 2. Uma amostra de 50 peas de cada mquina, revelou 4% e 7% de peas defeituosas das

mquinas 1 e 2, respectivamente. H evidncias amostrais para rejeitar a afirmao do operrio? Utilize o

nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

(02) Dois tipos diferentes de injeo-moldagem so usadas para formar peas de plstico. Uma pea

considerada defeituosa se ela tiver excesso de encolhimento ou se for descolorida. Duas amostras aleatrias,

cada uma com 300 peas de cada tipo de moldagem so selecionadas, revelando 15 e 8 peas defeituosas do

tipo 1 e do tipo 2 de injeo moldagem, respectivamente. razovel concluir que os dois tipos de injeo-

moldagem produzem a mesma frao de peas defeituosas? Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o

roteiro abaixo:






51

f) D a concluso

(03) Numa pesquisa com 500 adolescentes nos anos de 1992 e 1997, o nmero de adolescente que usaram

droga foi, respectivamente, 35 e 41. H diferena significativa nas porcentagens de adolescentes usurios de

droga nesses dois anos? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:






f) D a concluso

Respostas:

(1)

a) H0: 021 pp

b) H1: 021 pp

c) = 0,01

d) -Z/2 = -2,57 e Z/2 = 2,57

e) Z = -0,6580

f) No se rejeita H0

(2)

a) H0: 021 pp

b) H1: 021 pp

c) = 0,05

d) -Z/2 = -1,96 e Z/2 = 1,96

e) Z = 1,9064

f) No se rejeita H0

(3)

a) H0: 021 pp

b) H1: 021 pp

c) = 0,01

d) -Z/2 = -2,57 e Z/2 = 2,57

e) Z = -0,7160

52

f) No se rejeita H0

4.9 Teste Qui-quadrado para prova de aderncia

O teste Qui-quadrado proposto por Karl Pearson o tipo prova de aderncia, apropriado para testar se

determinado distribuio terica (binomial, Poisson, normal, etc.) pode ser ajustada distribuio amostral dos

dados. Segundo Gibbons (1992) o teste Qui-quadrado mais apropriado para testar se uma distribuio

terica discreta se ajusta distribuio amostral, no sentido de que pode ser empregada para comprovar se

existe diferena significativa entre a frequncia observada, de indivduos, ou de respostas, em determinada

categoria, e o respectivo nmero esperado sob hiptese nula.

Restries no uso do teste Qui-quadrado:

a) O mnimo de classes k = 2 e a frequncia esperada mnima deve ser 5;

b) Para k >2, o teste Qui-quadrado no deve ser usado se mais de 20 % das frequncias esperadas forem

abaixo de 5 (cinco), ou se qualquer uma delas for inferior a 1 (um).

Em alguns casos contorna-se esse problema, agrupando as classes adjascentes, aumentando, desta

forma, a frequncia esperada em cada nova classe.

Mtodo

Suponha que uma amostra simples de tamanho n coletada de uma populao com funo de distribuio

terica desconhecida e h interesse em verificar se as frequncias observadas(Oi) pra os diferentes valores ou

classes, so significativamente diferentes das frequncias esperadas (Ei). Deseja-se testar a hiptese nula

H0: Oi = Ei para todo i(A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica bom).

Contra a alternativa

H1: Oi Ei para pelo menos um i (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio

terica no bom.)

A Estatstica do teste segue a distribuio Qui-quadrado com m-1-k graus de liberdade e dada por:

k

i i

ii

e

eo

1

22 )(

Sendo que:

53

k o nmero de categorias ou classes mutuamente exclusivas;

m o nmero de parmetros da distribuio terica que devem ser estimados;

Oi a frequncia observada na categoria ou classe i;

ei = npi a frequncia esperada da categoria i, com i = 1, . . ., k., a deciso relativa ao ajuste ser

baseada no desvio oi - ei.

Pela expresso dada, nota-se que, se as frequncias observadas tiverem valores prximos das esperadas, o

valor de 2 ser pequeno e, provavelmente H0 no ser rejeitada. Porm, se as frequncias observadas

tiverem valores distantes das esperadas, ocorrer o contrrio.

Regra de deciso

Se 22

, rejeita-se H0 e se 22

, no se rejeita H0. Em que 2

o valor crtico com nvel de

significncia e m-1-k graus de liberdade, o qual achado na tabela 2.5 da distribuio qui-quadrado.

Exemplos: ( 1 ) Um engenheiro de controle de qualidade tomou de um processo de produo, 50 amostras,

cada uma com 13 unidades. O nmero de unidades defeituosas para essas amostras esto mostrados a

seguir.

N de unidades

defeituosas

Nmero de amostras

Com 13 unidades

0 10

1 24

2 10

3 4

4 1

5 ou mais 1

Total 50

Teste a hiptese nula ao nvel de significncia de 5% de que o nmero de defeitos segue a distribuio de

Poisson

H0: Oi = Ei (o ajustamento dos dados amostrais distribuio de Poisson bom)

H1: Oi Ei (o ajustamento dos dados amostrais distribuio de Poisson no bom)

54

Como os dados esto agrupados e a distribuio discreta, o teste Qui-quadrado para bondade de

ajustamento apropriado. Porm, os parmetros no esto especificados, assim, eles devem ser estimados

para depois aplicar o teste.

A distribuio de Poisson P[X=x] = !x

ex , para x= 0, 1, . . ., em que a mdia de defeitos nas amostra de

tamanho 13.

3,150

)1(5)1(4)4(3)10(2)24(1)10(0

A probabilidade alguma amostra no conter peas defeituosas dada por:

P[X= 0] = 272500

e31 310,

!, ,

Da mesma forma, as probabilidades podem ser calculadas para 1, 2, 3, 4, 5 ou mais peas defeituosas.

No de defeitos N

o de

amostras(Oi)

P[X=x] ][ xXnPei

(0i- ie

)2

0 10 0,2725 13,625 0,9644

1 24 0,3543 17,715 2,2298

2 10 0,2303 11,515 0,1993

3 4 0,0998 4,990 0,1964

4 1 0,0324

15520,535

1,620,

0,0111

5 ou mais 1 0,0107

Total 50 1 3,6010

Nota-se que as frequncias esperadas das duas ltimas categorias so menores do que 5. Portanto as

mesmas foram somadas. Desta forma, restaram apenas k = 4 categorias.

Concluso: Como 2 = 3,6010 menor do que 81,72 05,0

2

1 mk , no se rejeita H0, isto , o ajuste

dos dados amostrais distribuio de Poisson bom.

( 2 ) Em determinada seo de um rio foram realizadas 1000 medidas de sua vazo (em m3/s) obtendo os

seguintes resultados.

55

Vazo (m3/s) Frequncia

10 I 14 55

14 I 18 126

18 I 22 325

22 I 26 315

26 I 30 130

30 I 34 49

Total 1000

Testar se os dados amostrais se ajustam distribuio normal, aplicando o teste qui-quadrado.

Enunciado das Hipteses

H0: Oi = Ei para todo i(O ajustamento dos dados amostrais distribuio normal bom).

H1: Oi Ei para pelo menos um i (O ajustamento dos dados amostrais distribuio normal no

bom).

Clculo da mdia e do desvio padro

Vazo (m3/s) Oi = fi xi

10 I 14 55 (10+14)/2=12

14 I 18 126 (14+18)/2=16

18 I 22 325 (18+22)/2=20

22 I 26 315 (22+26)/2=24

26 I 30 130 (26+30)/2=28

30 I 34 49 (30+34)/2=32

Total 1000

944,211000

4932126165512

x

7112,411000

49)944,2132(126)944,2116(55)944,2112( 222

s

Clculo das frequncias esperadas e da estatstica do teste

56

z P(Li< Z

57

Dimenso Frequncia

11,37 I 11,60 7

11,60 I 12,06 5

12,06 I 12,29 9

12,29 I 12,52 14

12,52 I 12,74 2

12,74 I 12,97 2

12,97 I 13,20 1

a) Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal, utilizando o teste qui-quadrado

para prova de aderncia. Use = 0,05.

4.10 Teste de Kolmogorov-Smirnov

O teste de Kolmogorov-Smirnov, assim como o de Qui-quadrado, um teste de aderncia. O mesmo

aplicado em situaes em que se deseja verificar a aderncia de um conjunto de dados em relao a uma

distribuio de probabilidade especfica.

A hiptese de nulidade especifica alguma funo de distribuio acumulada terica F(x). Uma amostra

x1, x2, . . ., xn retirada de alguma populao cuja funo de distribuio acumulada relativa observada S(x)

calculada, estabelecendo-se o confronto com F(x) para verificar se razovel estudar os dados atravs desta

distribuio terica.

Na maioria dos casos o teste de Kolmogorov-Smirnov mais eficiente do que o teste Qui-quadrado,

principalmente no caso de pequenas amostras.

Os seguintes passos devero ser seguidos nesse teste

(1) )(FF(X):H 00 X (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica bom)

(2) )(FF(X):H 01 X (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica no bom).

(3) Fixar o nvel de significncia

( 4) Clculo da estatstica do teste

1) Agrupam-se os dados amostrais em ordem crescente e calculam-se as frequncias acumuladas relativas

observadas )(S ix para cada valor xi (1 = 1, 2, . . .,n), por meio da expresso a seguir:

58

n

xvaloresdenmeroxS ii

)(

Em que xi o i-simo valor observado e n o nmero de valores observados na amostra.

2) Obtm-se para cada valor xi, o valor da frequncia acumulada esperada F(xi) de acordo com a distribuio

terica.

3) Calculam-se as diferenas absolutas )()( ii xSxF para cada i.

4) Calculam-se as diferenas absolutas )()( 1 ii xSxF para cada i.

5) Acha-se o valor da estatstica do teste pela mxima diferena absoluta calculada, levando em considerao

os valores calculados no 3 e no 4 passos, ou seja,

)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd

( 5) Valor crtico

Acha-se o valor crtico dc na tabela do teste de Kolmogorov e Smirnov para o nvel de significncia e

para o tamanho n da amostra.

( 6) Concluso

Se d dc, rejeita-se H0 (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica no

bom).

Se d < dc, no se rejeita H0 (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica

bom).

Exemplos:

( 1 ) As 20 observaes (xi) abaixo foram coletadas de uma populao com distribuio desconhecida. Os

dados esto apresentados em ordem crescente de magnitude. Teste ao nvel de significncia de 1% a hiptese

nula de que esses nmeros abaixo tm distribuio uniforme contnua no intervalo (0,1).

59

0,11 0,32 0,44 0,51 0,53 0,57 0,6 0,63 0,65 0,69

0,72 0,76 0,79 0,81 0,83 0,87 0,91 0,94 0,96 0,98

(a) H0: F(X) = F0(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio Uniforme contnua no

intervalo (0, 1) bom).

(b) H1: F(X) F0(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio Uniforme contnua no

intervalo (0, 1) no bom).

(c) Clculo da estatstica do teste

Na distribuio uniforme contnua a funo de distribuio acumulada dada por ab

axi

)F(xi . Como

ocorre a = 0 e b = 1, ento, por exemplo para X1 = 0,11 tem-se 11,001

011,0)F(x1

.

Xi )S(xi ab

axi

)F(xi

)()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF

0,11 0,05 0,11 0,06 0,11

0,32 0,10 0,32 0,22 0,27

0,44 0,15 0,44 0,29 0,34

0,51 0,20 0,51 0,31 0,36

0,53 0,25 0,53 0,28 0,33

0,57 0,30 0,57 0,27 0,32

0,60 0,35 0,60 0,25 0,30

0,63 0,40 0,63 0,23 0,28

0,65 0,45 0,65 0,20 0,25

0,69 0,50 0,69 0,19 0,24

0,72 0,55 0,72 0,17 0,22

0,76 0,60 0,76 0,16 0,21

0,79 0,65 0,79 0,14 0,19

0,81 0,70 0,81 0,11 0,16

0,83 0,75 0,83 0,08 0,13

0,87 0,80 0,87 0,07 0,12

0,91 0,85 0,91 0,06 0,11

0,94 0,9 0,94 0,04 0,09

0,96 0,95 0,96 0,01 0,06

0,98 1 0,98 0,02 0,03

60

)()(,)()(max 100 iiii xFxFxFxFd =0,36

e) Valor crtico

Na tabela 2.11 do teste de Kolmogorov-Smirnov, para n =20 e = 0,01, ocorre dc = 0,352, como mostra

a figura a seguir.

Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Kolmogorov-Smirnov.

( f) Concluso: Como ocorre (d = 0,36) > (dc = 0,352), rejeita-se H0, isto , o ajuste dos dados amostrais

distribuio uniforme contnua no intervalo (0,1) no bom, ao nvel de significncia de 1%.

( 2 ) Um fabricante de autopeas est prximo de fechar um grande contrato com uma montadora. O ponto

chave a garantia da qualidade de seus produtos, especialmente do dimetro (em mm) dos eixos produzidos,

que ela supe ter distribuio normal, com mdia igual a 100 mm e desvio padro igual a 2 mm. A montadora

selecionou uma amostra aleatria de 15 eixos para testar as especificaes a 5% de significncia. Os valores

esto descritos abaixo:

93,45 94,46 94,93 96,17 96,74

97,07 97,68 97,93 99,10 99,30

100,73 103,29 103,60 103,83 105,2


(a) H0: F(X) = S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 100

mm e desvio padro = 2 mm bom).

(b) H1: F(X) S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 100

mm e desvio padro = 2 mm no bom).

(c) Clculo da estatstica do teste

possvel calcular os valores de Zi por:

61

i

x Zi

Por exemplo, para xi = 93,45 tem-se:

28,32

1045,93 Zi

As probabilidades acumuladas dos valores crticos negativos de Z, ou seja, F(xi) = P(Zi -zc), so

achadas no centro da tabela 2.2 da distribuio normal. Por exemplo, para -zc = -3,28 tem-se a probabilidade

acumulada P(Z -3,28) = 0,0005, como mostra a figura abaixo.

Tabela 2.2 - Distribuio normal.

Logo, F(X1) = P(Z -3,28) = 0,0005

As probabilidades acumuladas dos valores crticos positivos de Z, ou seja, F(xi) = P(Zi zc), so

achadas na tabela 2.1 da distribuio normal. Por exemplo, para zc = 0,37 tem-se a probabilidade acumulada

P(Z 0,37) = 0,6443, como mostra a figura abaixo.


Logo, F(X11) = P(Z 0,37) = 0,6443.

A tabela a seguir mostra todos os valores de Xi e os respectivos valores de zi, )( ixF e )( ixS .

62

Xi iz )( ixF )( ixS )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF

93,45 -3,28 0,0005 1/15 = 0,0667 0,0662 0,0005

94,46 -2,77 0,0028 2/15 = 0,1333 0,1305 -0,0639

94,93 -2,54 0,0056 3/15 = 0,2000 0,1944 -0,1277

96,17 -1,92 0,0277 4/15 = 0,2667 0,2390 -0,1723

96,74 -1,63 0,0516 5/15 = 0,3333 0,2817 -0,2151

97,07 -1,47 0,0715 6/15 = 0,4000 0,3285 -0,2618

97,68 -1,16 0,1230 7/15 = 0,4667 0,3437 -0,2770

97,93 -1,04 0,1503 8/15 = 0,5333 0,3830 -0,3164 99,10 -0,45 0,3264 9/15 = 0,6000 0,2736 -0,2069

99,31 -0,35 0,3632 10/15 = 0,6667 0,3035 -0,2368

100,73 0,37 0,6443 11/15= 0,7333 0,0890 -0,0224

103,29 1,65 0,9505 12/15= 0,8000 -0,1505 0,2172

103,60 1,80 0,9641 13/15= 0,8667 -0,0974 0,1641

103,83 1,92 0,9726 14/15= 0,9333 -0,0393 0,1059

105,20 2,60 0,9953 15/15= 1,0000 0,0047 0,0620

Logo, )()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd =0,3830

e) Valor crtico

Na tabela 2.11 do teste de Kolmogorov-Smirnov, para n =15 e = 5%, ocorre dc = 0,338, como mostra

a figura abaixo.

Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Kolmogorov-Smirnov.

(f) Concluso: Como ocorre (d= 0,383) > (dc = 0,338), rejeita-se H0, isto , a aderncia ou ajustamento dos

dados amostrais distribuio normal com mdia igual a 100 mm e desvio padro igual a 2 mm no bom, ao

nvel de significncia de 5%.


01 O dados baixo so referentes a uma das dimenses, em mm, de peas auto-motivas produzidas pela

empresa faa certo S/A.

63

11,37 11,38 11,51 11,57 11,58 11,58 11,58 11,65 11,72 11,75

11,78 11,78 11,83 11,90 11,90 11,92 11,93 11,93 11,97 12,00

12,01 122,06 12,06 12,07 12,09 12,11 12,11 12,14 12,14 12,19

12,20 12,21 12,23 12,23 12,25 12,46 12,48 12,52 12,65 12,81

Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 12 e varincia 2 =

0,1 mm, utilizando o teste de Kolmogorov-Smirnov. Use = = 5%.

4.11 Teste de Lilliefors para normalidade

O teste de Kolmogorov Smirnov admite um funo de distribuio especfica, com mdia e varincia

conhecidas.

Para testar a normalidade, Lilliefors (1967) introduziu uma modificao no teste de Kolmogorov-

Smirnov ampliando o seu uso aos casos em que a mdia e a varincia populacionais no so previamente

especificadas, mas sim, estimadas atravs dos dados amostrais, ou seja:

n

x

x

n

1ii

1n

xx

S

n

1i

2i

2

)(

e obtm-se a varivel reduzida

S

xxz ii

, i =1,2, . . , n.

O teste estruturado, de forma semelhante ao de KolmogorovSmirnov para achar a diferena mxima

absoluta entre a funo de distribuio acumulada F(xi) e a frequncia relativa acumulada observada S(xi), ou

seja,

)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd

Exemplo

Utilizando o teste de Lilliefors, verifique ao nvel de significncia de 5%, se os dados amostrais abaixo

so provenientes de uma populao com distribuio normal.

64

13,9 18,9 21,1 22,2 23,4

17,7 19,4 21,3 22,7 23,8

17,9 19,8 21,7 22,8 24,4

18,3 20,2 21,9 23,2 24,4

18,5 20,6 22,0 23,3 24,9


(a) H0: F(X) = S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal bom).

(b) H1: F(X) S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal no bom).

c) Calculo da estatstica do teste

132125

924717913x ,

,,,

88566125

1321924132179171321913S

2222 ,

),,(),,(),,(

S = 2,624

Desta forma, possvel calcular os valores de Zi por:

s

x i

x Zi

Por exemplo: para xi = 13,9 tem-se

76,2624,2

13,219,13 Zi

As probabilidades acumuladas dos valores crticos negativos de Z, ou seja, F(x) = P(Z -zc), so

achadas no centro da tabela 2.2 da distribuio normal. Por exemplo, para -zc = -2,76 tem-se a probabilidade

acumulada P(Z -2,76) = 0,0029, como mostra a figura a seguir.

65


As probabilidades acumuladas dos valores crticos positivos de Z, ou seja, F(x) = P(Z zc), so

achadas na tabela 2.1 da distribuio normal. Por exemplo, para zc = 1,44 tem-se a probabilidade acumulada

P(Z 1,44) = 0,9951, como mostra a figura abaixo.


A tabela a seguir mostra todos os valores de Xi e seus respectivos valores de zi, )( ixF e )( ixS .

xi zi F(xi) S(xi) )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF

13,9 -2,76 0,0029 1/25 = 0,040 0,037 0,003

17,7 -1,31 0,0951 2/25 = 0,080 0,015 0,055

17,9 -1,23 0,1093 3/25 = 0,120 0,011 0,029

18,3 -1,08 0,1401 4/25 = 0,160 0,020 0,020

18,5 -1,00 0,1587 5/25 = 0,200 0,041 0,001

18,9 -0,85 0,1977 6/25 = 0,240 0,042 0,002

19,4 -0,66 0,2546 7/25 = 0,280 0,025 0,015

19,8 -0,51 0,3050 8/25 = 0,320 0,015 0,025

20,2 -0,35 0,3632 9/25 = 0,360 0,003 0,043

20,6 -0,20 0,4207 10/25 = 0,400 0,021 0,061

21,1 -0,01 0,4960 11/25 = 0,440 0,056 0,096

66

xi zi F(xi) S(xi) )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF

21,3 0,06 0,5239 12/25 = 0,480 0,044 0,084

21,7 0,22 0,5871 13/25 = 0,520 0,067 0,107

21,9 0,29 0,6141 14/25 = 0,560 0,054 0,094

22,0 0,33 0,6293 15/25 = 0,600 0,029 0,069

22,2 0,41 0,6591 16/25 = 0,640 0,019 0,059

22,7 0,60 0,7257 17/25 = 0,680 0,046 0,086

22,8 0,64 0,7389 18/25 = 0,720 0,019 0,059

23,2 0,79 0,7852 19/25 = 0,760 0,025 0,065

23,3 0,83 0,7967 20/25 = 0,800 0,003 0,037

23,4 0,87 0,8078 21/25 = 0,840 0,032 0,008

23,8 1,02 0,8461 22/25 = 0,880 0,034 0,006

24,4 1,25 0,8944 24/25 = 0,960 0,066 0,014

24,9 1,44 0,9251 25/25 = 1,000 0,075 0,035

Assim, o valor da estatstica do teste :

)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd = 0,107

d) Valor crtico

Na tabela 2.11 do teste de Lilliefors, para n =25 e = 5%, tem-se dc = 0,173, como mostra a figura

abaixo.

Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Lilliefors

Concluso: como ocorre (d = 0,107) < (dc =0,173), no se rejeita H0, isto , a aderncia ou ajuste dos dados

amostrais distribuio normal bom.

67


01 O dados baixo so referentes a uma das dimenses, em mm, de peas euto-motivas produzidas pela

empresa faa certo S/A.

11,37 11,38 11,51 11,57 11,58 11,58 11,58 11,65 11,72 11,75

11,78 11,78 11,83 11,90 11,90 11,92 11,93 11,93 11,97 12,00

12,01 122,06 12,06 12,07 12,09 12,11 12,11 12,14 12,14 12,19

12,20 12,21 12,23 12,23 12,25 12,46 12,48 12,52 12,65 12,81

Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal, utilizando Teste de Lilliefors para

normalidade . Use = 5%.

68

4.12 Tabelas Estatsticas

Tabela 2.1 - Distribuio normal - probabilidade acumulada de o valor de Z padronizado estar abaixo ou igual ao valor

crtico positivo Zc.

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,993

testes de hipóteses - probabilidade e estatistica

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