estatistica aplicada e probabilidade para engenheiros montgomery cap 1 e 2

Resumo dos Procedimentos dos Testes de Hipteses para Uma Amostra

Curva COHiptese

Critrios paraParmetro deApndiceCaso

Hiptese NulaEstatstica de TesteAlternativaRejeioCurvaCOGrfico VI

1.

H'o: I.l. = IJ-o x - I.l.oH): I.l. "" I.l.oIZol> Zal2d = II.l. - l.l.ol/ IJ-oto> ta,n-)d = (IJ- - I.l.o)/

ResumodosProcedimentosparaIntervalodeConfianaparaUmaAmostra

EstimativaCaso

Tipo deProblemaPontual

1.

Mdia JJ., comvarincia0"2conhecida x

2.

Mdia JJ. deumadistribuionormalcom xvarincia0"2desconhecida

3.

Varincia0"2deumadistribuionormal s2

4.

Proporoouparmetrodeumapdistribuiobinomialp

IntervaloBilateralde

Confianade 100(1 - a)%

x - Zaf20"/v/;z :S JJ. :S x + Zaf20"/v/;z

x - taf2.n_ I s/v/;z :S JJ. :S x + taf2.n-1 s/v/;z

(112- l)s2 :S 0"2:s ~ - l)s2Xa/2,n- I X j-af2,n-j

A Jp(l - fi) A Jfi(l - p)p - Zaf2 11 :SP :SP +Zaf2

EstatsticaAplicadaeProbabilidadeparaEngenheiros

EstatsticaAplicada eProbabilidadeparaEngenheiros

SegundaEdio

DouglasC. MontgomeryArizonaStateUniversity

GeorgeC. RungerArizonaStateUniversity

Traduo:

Profa. VernieaCalado,D. Se.Praf. Adjunto- DepartamentodeEngenhariaQumicaEscolade Qumica/UFR]

LTCEDITORA

No interessededifusodaculturaedoconhecimento,osautoreseoseditoresenvidaramomximoesforoparalocalizar os detentoresdosdireitosau~oraisdequalquermaterialutilizado,dispondo-seapossveisacertosposteriorescaso,inadvertidamente,aidentificaodealgumdelestenhasidoomitida.

U Vooo 3&973 LJAppliedStatisticsandProbabilityfor Engineers,2ndeditionCopyright 1999John Wiley&Sons,Jnc.All rightsreserved.AuthorizedtranslationfromtheEnglishlanguageeditionpublishedby John Wiley &Sons,Jnc.

Direitosexclusivosparaa lnguaportuguesaCopyright2003byLTC - Livros Tcnicose CientficosEditora S.A.TravessadoOuvidor,11Rio deJaneiro,RJ - CEP 20040-040Tel.: 21-3970-9480Fax: [email protected]

Para:

Meredith,Neil, Colin e Cheryl

Taylor,George,Elisae Rebecca

Prefcio

A indstriaamericana*temdecontinuaramelhoraraqualida-dede seusprodutose serviossequisercontinuara competirefetivamentenosmercadosinternoeexterno.Umaporosigni-ficantedesseesforodemelhoriadaqualidadesercomandadaporengenheirosecientistas,porqueessessoosindivduosqueprojetamedesenvolvemnovosprodutosesistemaseprocessosdfabricao,sendotambmaquelesquemelhoramossistemasexistentes.Mtodosestatsticossoumaimportanteferramentanessasatividades,porqueelesprovemos engenheiroscommtodosdescritivose analticosparalidarcoma variabilidadenosdadosobservados.

Esteumlivro introdutrioparaumprimeirocursoemesta-tsticaaplicadaeprobabilidadeparaestudantesdegraduaoemengenhariaecinciasfsicasouqumicas.Enquantomuitosdosmtodosqueapresentamossofundamentaisparaanliseesta-tsticaem outrasdisciplinas,taiscomonegciosou gesto,ascinciasdavidaeascinciassociais,elegemosfocalizaro pbli-co voltadoparaengenharia.Acreditamosqueessaabordagemservirmelhoraosestudantesdeengenhariaeospermitircon-centrar-senasmuitasaplicaesdeestatsticanessasdisciplinas.Trabalhamosarduamentedemodoaassegurarquetodososnos-sosexemploseexercciosestivessembaseadosemengenhariae,emquasetodososcasos,usamosexemplosdedadosreais- to-madosdefontepublicadaoubaseadosemnossasexperinciascomoconsultores.

Acreditamosqueosengenheirosdetodasasreasdeveriamcursarestatstica.Infelizmente,porcausadeoutrasnecessidades,muitosengenheirosfazemapenasumcursodeestatstica.Escre-vemosestelivrodemodoqueelepudesseserusadoparaumnicocurso,emboratenhamosfornecidomaterialsuficienteparadoiscursos,na esperanadequemaisestudantesdeengenhariave-jam asaplicaesimportantesdeestatsticaemseustrabalhosdiriose faamumsegundocurso.Acreditamosqueestelivrotambmsirvacomoumarefernciatil. .

ORGANIZAO DOLIVROMantivemoso nvelrelativamentemodestodematemtica,usa-donaprimeiraedio.Percebemosqueosestudantesdeengenha-ria,quetenhamcompletadoumoudoisseme_stresdeclculo,noterodificuldadeemlerquasetodoo texto.E nossaintenodaraoleitornoateoriamatemtica,masumentendimentodame-todologiaecomoaplic-la.Fizemosumcertonmerodemelho-riasnestaedio,incluindoareorganizaodealgummaterialereescrevendograndesporesdevrioscaptulos.

O Capo1 umaintroduoaocampodaestatsticae comoos'engenheirosusama metodologiaestatsticacomopartedo

*Isto va'lenosparaosEUA, comoderestoparatodosospasesdeeconomiaaberta.(N.R.)

processodesolucionarproblemasdeengenharia.Discutimoseilustramosmtodossimplespararesumiredescreverdados.Estecaptulointroduztambmo leitoremalgumasaplicaesdees-tatsticaem engenharia,incluindo a construode modelosempricos,o planejamentodeexperimentosemengenhariaeomonitoramentodeprocessosdefabricao.Estestpicosserodiscutidosemmaisdetalhesnoscaptulossubseqentes.O Capo2 continuaa apresentaodadescriodedadose focaosdia-gramasderamoefolhas,oshistogramas,osdiagramasdecaixaevriostiposdegrficosdesriestemporais.

Os Caps.3,4, 5 e6 cobremosconceitosbsicosdeprobabi-lidade,variveisaleatriascontnuasediscretas,valoresespera-dos,distribuiesconjuntasdeprobabilidadeedeindependn-cia. Demosumtratamentorazoavelmentecompletodessest-picos,pormevitamosmuitosdosdetalhesmatemticosoumaistericos.

O Capo7comeao tratamentodainfernciaestatsticacomestimaodeparmetros.Estecaptulointroduztambmoscon-ceitosdeamostragemaleatria,algumasdasimportantespropri-edadesdosestimadores,o mtododamximaverossimilhana,distribuiesamostraiseo teoremacentraldolimite.Introduzi-mostambmo bootstrapcomoumatcnicaparaencontraroerro-padrodeumaestimativa.

OsCaps.8e9discutemainfernciaestatsticaparaumanicaamostrae paraduasamostrasrespectivamente.O materialfoiextensivamentereescritoe reorganizado.Testedehipteseseintervalosdeconfianaparamdias,varinciaseproporessoapresentados,juntamentecominformaesdetalhadaseexem-plosdemtodosparadeterminaros tamanhosapropriadosdasamostras.Queremosqueosestudantessetornemfamiliarizadoscomo modocomoessastcnicassousadaspararesolverpro-blemasdeengenhariadomundorealeconseguiralgumenten-dimentodosconceitosportrsdeles.Damosumdesenvolvimen-to lgicoeheursticodosprocedimentos,emvezdeumdesen-volvimentotericoformal.

Os Caps. 10e 11 apresentama regressolinear simplesemltipla.Usamoslgebramatricialemtodoomaterialderegres-somltipla(Cap. 11),porque,bemfrancamente, a nicamaneirafcildeentenderosconceitosapresentados.Apresen-taesdearitmticaescalarpararegressomltiplaso,name-lhor dashipteses,inconvenientesenotamosqueosalunosdegraduaoem engenhariaestoexpostos bastantelgebramatricialparaentenderaapresentaodestematerial.

OsCaps.12e13lidamcomexperimentoscomumnicofatorecommltiplosfatoresrespectivamente.Enfatizam-seasnoesdealeatoriedade,blocagem,planejamentosfatoriais,interaes,anlisegrficadosdadoseplanejamentosfatoriaisfracionrios.O Capo14forneceumabreveintroduoaosmtodoseaplica-esdeestatsticanoparamtrica.O Capo15introduzo leitorno controleestatsticodaqualidade,enfatizandoascartasdecontrolee osfundamentosnocontroleestatsticodeprocesso.

nii PREFCIO

Em adio coleousualdetabelase grficosestatsticos,fornecemostambmalgummaterialtcnicocomplementarnosApndices.Essematerialincluiumaintroduoafunesgera-dorasdemomentos,mudanadetcnicasdevariveis,aper-mutaesemtodosdecontagem,aodesenvolvimentodasdis-tribuiest eF, estimaodeBayeseaoprincpiodara:odeverossimilhana.Essematerialpodeserde interesseparaal-gunsprofessoreseestudanreseo temosfornecidocomoumare-ferncia.

Cadacaptulotemumacoleoextensivadeexerccios,in-cluindoexercciosdefinal de seo,queenfatizamo materialdaquelaseo,exercciossuplementaresnofimdocaptulo,quecobremo escopodostpicosdocaprulo,e exercciosparaex-pandira mente,quefreqentementerequeremqueo estudanteestendadealgummodoo materialtextoouo apliqueemumanovasituao.

USANDO O LIVRO

Esteumlivro-textomuitoflexvel,porqueasidiasdosprofes-soresvariammuitoacercadoquedeveriaestaremumprimeirocursodeestatsticaparaengenheiros,assimcomoashabilidadesdediferentesgruposdeestudantes.Conseqentemente,hesita-mosemdarumnmerodemasiadodeconselhos,explicaremospormcomousamoso livro.

Acreditamosqueumprimeirocursodeestatsticaparaenge-nheirosdeveriaserprincipalmenteumcursodeestatsticaaplica-daenoumcursodeprobabilidade.Em nossocursodeumse-mestre,cobrimostodoo Capo1eo 2 (emtrsouquatroaulas),revisamosomaterialdeprobabilidade,colocandomaisnfasenadistribuionormal(seisaoitoaulas),discutimosamaiorpartedosCaps.8 e 9 sobreintervalosdeconfianae testes(dezau-las), introduzimososmodelosderegressodo Capo10 (quatroaulas),damosumaintroduoaoplanejamentodeexperimen-tosdosCaps.12e 13(seisaulas)e apresentamososconceitosbsicosdecontroleestatsticodeprocesso,incluindoascartasdecontroleShewartdoCapo15(seisaulas).Issonosdeixacercadetrsaquatroperodosparaexamesereviso.Vamosenfatizarqueafinalidadedestecurso introduzirosengenheirosno modocomoa estatsticapodeserusadapararesolverproblemasdeengenhariado mundoreale noparaafugentarosestudantesmenosagraciadosmatematicamente.Esteno umcurso"in-fantildematemtica-estatstica",quetofreqentementedadoaengenheiros.

Sehouverdisponibilidadedeumsegundosemestre,entopossvelcobriro livro inteiro,incluindoalgummaterialdosapn-dices,seapropriadoparaosestudantes.Seriapossveltambm

designare trabalhar,na aula,muitosdosproblemaspropostosparareforaroentendimentodosconceitos.Obviamente,regres-somltiplae maisplanejamentodeexperimentosseriamostpicosmaisimportantesemumsegundocurso.

USANDO O COMPUTADOR

Na prtica,engenheirosusamcomputadoresparaaplicarmto-dosestatsticoscoma finalidadederesolverproblemas.Logo,recomendamosfortementequeo computadorsejaintegradonaaula.Atravsdetodoo livro,apresentamossadasdoMinitab eSAS comoexemplostpicosdoquepodeserfeitocompacotesestatsticosmodernos.Paraensinar,usamosnosomenteessespacotescomooutros,taiscomoEXCEL, STATGRAPHICS,DESIGN-EASE, JMP eSPSS.No saturamoso livrocomexem-plosdemuitospacotesdiferentes,porquea formacomoo pro-fessorintegrao pacoteemsaladeaulamuitomaisimportantedoquequalpacoteusado.Todososdadosno textoestodis-ponveisnaformaeletrnica.Emalgunscaptulos,hproblemasquesentimosquedeveriamsertrabalhadosusandopacotenocomputador.Marcamosessesproblemascomumsmboloespe-cial namargem.

Em nossasprpriasaulas,levamosum notebookPC e ummostradordecristallquido,paraquasetodasasaulas,emostra-moscomoa tcnica implementadano computador,to logoelasejadiscutidaemclasse.Muitospacotesestatsticosoferecem,abaixocusto,versesparaestudantes,quepodemcomprarsuaprpriacpiaouusarosprodutosdisponveisnasredeslocaisdecomputadores.Percebemosque issomelhorougrandementeoandamentodocursoeo entendimentodomaterialporpartedoestudante.

AGRADECIMENTOS

Gostaramosdeexpressarnossagratidoa muitasorganizaese indivduosquecontriburamparaestelivro. Muitosprofesso-resqueusaramaprimeiraedioforneceramexcelentessuges-tesqueincorporamosnestareviso.SomostambmgratosaoDI. SmileyChengpelapermissoparaadaptarmuitasdastabe-las estatsticasde seuexcelentelivro (com Dr. JamesFu),StatisticalTablesfor ClassroomandExamRoam.SomosgratostambmaJohn Wiley andSons,PrenticeHall, o InstiruteofMathematicalStatisticse oseditoresdaBiometricspornosper-mitiremusaro materialcomdireitosautorais.

DouglasC. MontgomeryGeorgeC. Runger

Sumrio

CAPTULO 1oPapeldaEstatsticanaEngenharia 1

1.1 O MtododeEngenhariaeoJulgamentoEstatstico 11.1.1 EngenhariaeResoluodeProblemas1.1.2 JulgamentoEstatstico5

1.2 ColetandoDadosdeEngenharia 61.3 ModelosMecansticoseEmpricos 71.4 PlanejandoInvestigaesExperimentais 81.5 ObservandoProcessosaoLongodoTempo 10

ExercciosSuplementares 13ExercciosparaExpandira Mente 13

CAPTULO 2 SumrioeApresentaodeDados 14

2.1 ImportnciadoSumrioeApresentaodeDados 14

2.2 DiagramasdeRamoeFolhas 142.3 DistribuiesdeFreqnciae

Histogramas 182.4 DiagramadeCaixa (Box Plot) 202.5 GrficosSeqenciaisdeTempo 22

ExercciosSuplementares24ExercciosparaExpandira Mente 26

CAPTULO 3 Probabilidade 27

3.1 EspaosAmostraiseEventos 273.1.1 Introduo273.1.2 EspaosAmostrais283.1.3 Eventos 29

3.2 InterpretaesdeProbabilidade 333.2.1 Introduo333.2.2 AxiomasdeProbabilidade35

3.3 RegrasdeAdio 373.4 ProbabilidadeCondicional 39

3.5 RegrasdaMultiplicaoedaProbabilidadeTotal 42

3.5.1 RegradaMultiplicao423.5.2 RegradaProbabilidadeTotal 42

3.6 Independncia 443.7 T eoremadeBayes 473.8 VariveisAleatrias 48

ExercciosSuplementares49ExercciosparaExpandiraMente 50

CAPTULO 4 VariveisAleatriasDiscretaseDistribuiesdeProbabilidades51

4.1 VariveisAleatriasDiscretas 51

4.2 DistribuiesdeProbabilidadeseFunesdeProbabilidade 52

4.3 FunesdeDistribuioCumulativa 544.4 MdiaeVarinciadeumaVarivel

AleatriaDiscreta 55

4.5 DistribuioUniformeDiscreta 574.6 DistribuioBinomial 584.7 DistribuiesGeomtricae BinomialNegativa 62

4.7.1DistribuioGeomtrica624.7.2DistribuioBinomialNegativa 63

4.8 DistribuioHipergeomtrica 654.9 DistribuiodePoisson 68

ExercciosSuplementares71ExercciosparaExpandiraMente nCAPTULO 5 VariveisAleatriasContnuase

DistribuiesdeProbabilidade 735.1 VariveisAleatriasContnuas 73

5.2 DistribuiesdeProbabilidadeseFunesDensidadedeProbabilidade 73

5.3 FunesdeDistribuioCumulativa 765.4 MdiaeVarinciadeumaVarivel

AleatriaContnua 77

5.5 DistribuioUniformeContnua 785.6 DistribuioNormal 795.7 GrficosdeProbabilidade 85

5.8 AproximaesdasDistribuiesBinomialedePoissonpelaNormal 87

5.9 DistribuioExponencial 895.10DistribuiesdeErlange Gama 93

5.10.1DistribuiodeErlang 935.10.2DistribuioGama 94

5.11DistribuiodeWeibull 95ExercciosSuplementares96ExercciosparaExpandiraMente 97

CAPTULO 6 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 98

6.1 DuasVariveisAleatriasDiscretas 98

6.1.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 986.1.2 DistribuiesdeProbabilidadesMarginais99

X SUMRIO

6.1.3 DistribuiesdeProbabilidadesCondicionais1006.1.4 Independncia101

6.2 MltiplasVariveisAleatriasDiscretas 1046.2.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjumas 1046.2.2 DistribuioMultinomialdeProbabilidades105

6.3 DuasVariveisAleatriasContnuas 107

6.3.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 1076.3.2 DistribuiesdeProbabilidadesMarginais 1086.3.3 DistribuiesdeProbabilidadesCondicionais1096.3.4 Independncia111

6.4 MltiplasVariveisAleatriasContnuas 1136.5 CovarinciaeCorrelao 1156.6 DistribuioNormalBidimensional 1186.7 CombinaesLinearesdeVariveisAleatrias 1206.8 DesigualdadedeChebyshev 122

ExercciosSuplementares 123ExercciosparaExpandiraMente 124

CAPTULO 7 EstimaodeParmetros 1267.1 InfernciaEstatstica 126

7.2 AmostragemAleatria 1277.3 PropriedadesdeEstimadores 128

7.3.1 EstimadoresNoTendenciosos1287.3.2 VarinciadeumEstimador129

7.3.3 ErroPadro:ReportandoumaEstimativa1307.3.4 EstimativaBootstrapdoErroPadro1307.3.5 ErroMdioQuadrticodeumEstimador131

7.4 MtododaMximaVerossimilhana 1327.5 DistribuiesAmostrais 1367.6 DistribuiesAmostraisdasMdias 1367.7 IntroduoaIntervalosdeConfiana 139


CAPTULO 8 InfernciaEstatsticaparaumanica Amostra 142

8.1 TestedeHipteses 1428.1.1 HiptesesEstatsticas1428.1.2 TestesdeHiptesesEstatsticas1438.1.3 HiptesesUnilateraiseBilaterais1478.1.4 ProcedimentoGeralparaTestesdeHipteses148

8.2 InfernciasobreaMdiadeumaPopulaocomVarinciaConhecida 1498.2.1 TestesdeHiptesesparaaMdia 1498.2.2 Valoresp nosTestesdeHipteses1508.2.3 O ErroTipoII eaEscolhado

TamanhodaAmostra 150

8.2.4 TesteparaAmostrasGrandes 1528.2.5 AlgunsComemriosPrticossobre

TestesdeHipteses1528.2.6 IntervalodeConfianaparaaMdia 1538.2.7 MtodoGeralparaDeduzirum

IntervalodeConfiana 1558.2.8 IntervalosdeConfianaBootstrap155

8.3 InfernciasobreaMdiadeumaPopulaocomVarinciaDesconhecida 157

8.3.1 TestesdeHiptesesparaaMdia 1578.3.2 Valorp paraumTestet 1598.3.3 SoluoComputacional1598.3.4 EscolhadoTamanhodaAmostra 160

8.3.5 IntervalodeConfiananaMdia 1618.4 InfernciasobreaVarinciadeuma

PopulaoNormal 1638.4.1 TestesdeHiptesesparaaVarinciadeuma

PopulaoNormal 1638.4.2 Erro[3eEscolhadoTamanhodaAmostra 1648.4.3 IntervalodeConfianaparaaVarinciadeuma

PopulaoNormal 1648.5 InfernciasobreaProporodeumaPopulao 166

8.5.1 TestesdeHiptesesparaumaProporoBinomial 166

8.5.2 ErroTipoII eEscolhadoTamanhodaAmostra 1668.5.3 IntervalodeConfianaparauma

ProporoBinomial 1678.6 TabelacomResumodosProcedimentosdeInferncia

sobreumanica Amostra 169

8.7 TestandoaAdequaodoAjuste 1698.8 TestesdaTabeladeContingncia 172


CAPTULO 9 InfernciaEstatsticaparaDuasAmostras 179

9.1 Introduo 1799.2 InfernciasobreumaDiferenanasMdiascom

VarinciasConhecidas 179

9.2.1 TestesdeHiptesesparaumaDiferenanasMdiascomVarinciasConhecidas180

9.2.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 1819.2.3 IdentificandoCausaeEfeito 182

9.2.4 IntervalodeConfianaparaumaDiferenanasMdiascomVarinciasConhecid~s182

9.3 Infernciasobrea DiferenanasMdiasdeDuasDistribuiesNormaiscomVariaesDesconhecidas 185

9.3.1 TestesdeHiptesesparaaDiferenanasMdias,comVarinciasDesconhecidas185

9.3.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 187

9.3.3 IntervalodeConfianaparaaDiferenanasMdias 187

9.3.4 SoluoComputacional1899.4 Testet Emparelhado 1919.5 InfernciassobreasVarinciasde

DuasPopulaesNormais 1959.5.1 TestesdeHiptesesparaaRazodeDuasVarincias1959.5.2 Erro~eEscolhadoTamanhodaAmostra 1979.5.3 IntervalodeConfianaparaaRazode

DuasVarincias1979.6 InfernciasobreProporesdeDuasPopulaes 198

9.6.1 TesteparaAmostrasGrandes,ConsiderandoHo: Pl =P2 198

9.6.2Erro13 eEscolhadoTamanhodaAmostra 1999.6.3IntervalodeConfianaparaPl - P2 200

9.7 Tabelacomo ResumodosProcedimentosdeInfernciasobreDuasAmostras 201


CAPTULO 10RegressoLinearSimpleseCorrelao 205

10.1 ModelosEmpricos 20510.2 RegressoLinearSimples 20710.3 PropriedadesdosEstimadoresdeMnimosQuadradose

Estimaodecr 21110,4 AbusosComunsnaRegresso 21210.5 TestesdeHiptesesnaRegressoLinearSimples 213

10.5.1UsodeTestest 213

10.5.2AnlisedeVarincia:UmaAbordagemparaTestaraSignificnciadaRegress~214

10.6 IntervalosdeConfiana 21610.6.1IntervalosdeConfianaparaaInclinao

eaInterseo21610.6.2IntervalodeConfianaparaaRespostaMdia 217

10.7 PrevisodeNovasObservaes 21810.8 ClculodaAdequaodoModelodeRegresso 219

10.8.1AnliseResidual219

10.8.2CoeficientedeDeterminao(R2) 22110.8.3FaltadeAjuste 221

10.9 TransformaesparaumaLinha Reta 22410.lOCorrelao 224ExercciosSuplementares227ExercciosparaExpandiraMente 229

CAPTULO 11RegressoLinearMltipla 230

11.1 ModelodaRegressoLinearMltipla 23011.2 EstimaodeParmetrospeloMtododosMnimos

Quadrados 23211.3 AbordagemMatricialparaaRegressoLinear

Mltipla 23311.4 PropriedadesdosEstimadoresdeMnimos

QuadradoseEstimaodecr 24011.5 TestesdeHiptesesparaaRegresso

LinearMltipla 24111.5.1 TesteparaSignificnciadaRegresso24111.5.2TesteparaosCoeficientesIndividuaisdeRegressoe

SubconjuntosdeCoeficientes24211.6 IntervalosdeConfianaparaaRegresso

LinearMltipla 24511.6.1IntervalosdeConfianaparaosCoeficientes

IndividuaisdeRegresso24511.6.2IntervalodeConfianaparaaRespostaMdia 245

11.7 PrediodeNovasObservaes 24611.8 MedidasdaAdequaodoModelo 247

SUMRIO xi

11.8.1CoeficientedeDeterminaoMltipla(R2) 24711.8.2AnliseResidual 24811.8.3ObservaesInfluentes249

11.9 ModelosdeRegressoPolinomial 25111.10VariveisIndicativas 252

11.11SeleodeVariveisnaRegressoMltipla 25511.11.1ProblemadeConstruiroModelo 255

11.11.2ProcedimentosComputacionaisparaaSeleodeVariveis 255

11.11.3SadaComputacionalparaaRegressoemEtapas 260

11.12Multicolinearidade 263


CAPTULO 12PlanejamentoeAnlisedeExperimentoscomumnico Fator:A AnlisedeVarincia 268

12.1 A EstratgiadeExperimentao 26812.2 ExperimentoCompletamenteAleatorizado

comumnico Fator 269

12.2.1UmExemplo 26912.2.2A AnlisedeVarincia 270

12.2.3SadaComputacional27312.2.4AnliseResidualeVerificaodoModelo 275

12.3 TestesparaMdiasIndividuaisdeTratamento 27812.3.1ComparaoGrficadasMdias 27812.3.2ContrastesOrtogonais27812.3.3MtododeFisherdaMnima

DiferenaSignificativa27912,4 ModelocomEfeitosAleatrios 28112.5 PlanejamentoAleatorizadocom

BlocosCompletos 28412.5.1PlanejamentoeAnliseEstatstica28412.5.2TestesparaasMdiasIndividuais

dosTratamentos287

12.5.3AnliseResidualeVerificaodoModelo 28812.5.4PlanejamentoAleatorizadocomBlocosCompletos

ecomFatoresAleatrios 288

12.6 DeterminaodoTamanhodaAmostraemExperimentoscomumnico Fator 29012.6.1O CasodosEfeitosFixos 29012.6.2O CasodosEfeitosAleatrios 291


CAPTULO 13PlanejamentodeExperimentoscomVriosFatores 295

13.1 Introduo 29513.2 AlgumasAplicaesdasTcnicasde

PlanejamentodeExperimentos 29513.3 ExperimentosFatoriais 29713.4 ExperimentosFatoriaiscomDoisFatores 299

13.4.1AnliseEstatsticadoModelodeEfeitosFixos 300

xii SUMRIO

13,4.2VerificaodaAdequaodoModelo 30313,4.3SadaComputacional30313,4,4UmaObservaoporClula 30313,4.5FatoresAleatrios304

13.5 ExperimentosFatoriaisGerais 30613.6 PlanejamentoFatorial2k 309

13.6.1Planejamento22 31013.6.2Planejamento2k parak ~ 3Fatores31313.6.3RplicanicadoPlanejamento2k 31813.6,4AdiodePontosCentraisaum

Planejamento2k 32013.7 BlocagemeSuperposiono Planejamento2k 32313.8 ReplicaoFracionriadoPlanejamento2k 327

13.8.1UmaMeiaFraodoPlanejamento2k 32713.8.2FraesMenores:O FatorialFracionrio2k-p 331

13.9 MtodosePlanejamentosdeSuperfciedeResposta 33613.9.1MtododaAscendentedeMaiorInclinao

(SteepestAscent) 33713.9.2AnlisedeumaSuperfciedeRespostade

SegundaOrdem 339ExercciosSuplementares343ExercciosparaExpandira Mente 346

CAPTULO 14EstatsticaNo Paramtrica 347

14.1 Introduo 34714.2 TestedosSinais 348

14.2.1DescriodoTeste 34814.2.2TestedosSinaisparaAmostrasEmparelhadas35014.2.3ErroTipoII paraoTestedosSinais 35014.2,4ComparaocomoTestet 351

14.3 TestedeWilcoxon do PostocomSinais 352

14.3.1DescriodoTeste 35314.3.2AproximaoparaAmostrasGrandes35314.3.3ObservaesEmparelhadas35314.3,4ComparaescomoTestet 354

14.4 TestedeWilcoxon daSoma:1osPostos 355

14,4.1DescriodoTeste 35514,4.2AproximaoparaAmostrasGrandes35614,4.3ComparaocomoTestet 356

14.5 MtodosNo ParamtricosnaAnlisedeVarincia 35714.5.1TestedeKruskal-Wallis357

14.5.2TransformaodePosto 358ExercciosSuplementares358ExercciosparaExpandiraMente 359

CAPTULO 15ControleEstatsticodaQualidade 360

15.1 MelhoriaeEstatsticadaQualidade 36015.2 ControleEstatsticodaQualidade 36115.3 ControleEstatsticodeProcesso 36115.4 IntroduoaosGrficosdeControle 361

15,4.1PrincpiosBsicos36115,4.2ProjetodeumGrficodeControle 36415,4.3SubgruposRacionais36415,4,4AnlisedePadresdeComportamentopara

GrficosdeControle 365

15.5 GrficosdeControle X e R 36715.6 GrficosdeControleparaMedidas

Individuais 371

15.7 CapacidadedeProcesso 37415.8 GrficosdeControleparaAtributos 377

15.8.1GrficoP (GrficodeControleparaPropores377

15.8.2GrficoU (GrficodeControleparaDefeitosporUnidade) 378

15.9 DesempenhodoGrficodeControle 38015.10GrficodeControledaSoma

Cumulativa 382

15.11OutrasFerramentasparaResolverProblemasdeCEP 386

15.12Implementandoo CEP 388ExercciosSuplementares389ExercciosparaExpandiraMente 391

AP~NDICES 393

A TabelaseGrficosEstatsticos 395

B MaterialTcnicoSuplementar 426I TcnicasdeContagem 426

II FunoGeradoradeMomento 429III FunesdeVariveisAleatrias 432IV DesenvolvimentodasDistribuies

te F 436

V AbordagemBayesianaparaEstimao 437VI TestesdaRazodaVerossimilhana 439

VII FatoresAleatriosemExperimentosFatoriais 440

C Bibliografia 445D RespostasdosExercciosSelecionados 447

NDICE 460

oPapeldaEstatsticanaEngenharia

ESQUEMA DO CAPTULO

1.1 oMTODO DE ENGENHARIA E O JULGAMENTOESTATSTICO

1.1.1EngenhariaeResoluodeProblemas

1.1.2JulgamentoEstatstico1.2 COLETANDO DADOS EM ENGENHARIA

1.1O MTODO DE ENGENHARIA E OJULGAMENTO ESTATSTICO

1.1.1EngenhariaeResoluodeProblemas

Um engenheiroalgumqueresolveproblemasdeinteressedasociedade,pelaaplicaoeficientedeprincpioscientficos.Osengenheirosexecutamissoatravsdorefmamentodoprodutoouprocessosexistentes,oupeloprojetodeumnovoproduto,ouprocessoqueencontreasnecessidadesdos consumidores.Omtodode engenhariaou cientfico a abordagemparafor-mulare resolveressesproblemas.As etapasno mtododeen-genhariasodadasa seguir:

1. Desenvolverumadescrioclaraeconcisadoproblema.2. Identificar,no mnimotentar,os fatoresimportantesque

afetamesseproblemaou quepossamdesempenharumpapelemsuasoluo.

3. Proporummodeloparaoproblema,usandoconhecimentocientficooudeengenhariadofenmenoestudado.Esta-belecerlimitaesousuposiesdomodelo.

4. Conduzirexperimentosapropriadose coletardadosparatestarouvalidaro modelo-tentativaou conclusesfeitasnasetapas2 e 3.

5. Refinaro modelo,combasenosdadosobservados.

1.3 MODELOS MECANICISTAS E EMPRICOS

1.4 PLANEJANDO INVESTIGAESEXPERIMENTAIS

1.5 OBSERVANDO PROCESSOS AO LONGO DO TEMPO

6. Manipularomodelodemodoaajudaro desenvolvimentodasoluodoproblema.

7. Conduzirumexperimentoapropriadoparaconfirmarquea soluopropostaparao problema efetivaeeficiente.

8. Tirarconclusesoufazerrecomendaesbaseadasnaso-luodoproblema.

As etapasno mtododeengenhariasomostradasnaFig. 1.1.Notequeomtododeengenhariacaracterizaumaforterelaorecprocaentreoproblema,osfatoresquepodeminfluenciarsuasoluo,ummodelodofenmenoeaexperinciaparaverificaraadequaodomodeloedasoluopropostaparaoproblema.As etapas2-4,naFig. 1.1,socolocadasemumretngulo,in-dicandoquevriosciclosou iteraesdessasetapaspodemserrequeridosparaobtera soluofinal. Conseqentemente,en-genheirostmdesabercomoplanejar,eficientemente,osexpe-rimentos,coletardados,analisare interpretarosdadose enten-dercomoosdadosobservadosestorelacionadosaomodeloqueelespropuseramparao problemasobestudo.

O campodaestatsticalida coma coleta,a apresentao,aanlisee o usodosdadosparatomardecises,resolverproble-maseplanejarprodutoseprocessos.Devidoa muitosaspectosdaprticadeengenhariaenvolveremotrabalhocomdados,ob-viamentealgumconhecimentodeestatstica importanteparaqualquerengenheiro.Especificamente,tcnicasestatsticaspo-demserumaajudapoderosanoplanejamentodenovosprodu-

2 O PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA

Definio

Seasn observaesemumaamostraforemdenotadasporXI' X2, ... , X,,, ento,amdiadaamostraser

12,6+12,9+... +13,18

EXEMPLO 1.1A mdiadaamostradaforaderemooparaasoitoobserva-escoletadasnosprottiposdosconectores

8

2: XiX = Xl +Xl +... Xn =;=I

n 8

(1.1)

n

2: Xi;=1

nx = XI +Xl +... +Xn

n

A Fig. 1.2apresentaumdiagramadepontosdessesdados.O diagramadepontosumgrficomuitotilparaexibirumpe-quenoconjuntodedados,isto,cercade20observaes.Essegrficonospermitirverfacilmenteduascaractersticasdosda-dos;a localizaoouomeio,eo espalhamentoouavariabili-dade.Quandoo nmerodeobservaespequeno,geralmentedificil identificarqualquerpadroespecficonavariabilidade,emborao diagramadepontossejaumamaneiraconvenientedeverquaisquercaractersticasincomunsnosdados.

Podemostambmdescrevernumericamenteascaractersti-

casdosdados.Por exemplo,podemoscaracterizara localiza-ooutendnciacentralnosdadosatravsdamdiaaritmticacomum.Porquequasesemprepensamosemnossosdadoscomosendoumaamostra,referir-nos-emosmdiaartmticacomoa mdiada amostra.

tosesistemas,melhorandoosprojetosexistenteseplanejando,desenvolvendoemelhorandoosprocessosdeproduo.

Mtodosestatsticossousadosparanosajudara entenderavariabilidade.Por variabilidade,queremosdizerquesucessi-vasobservaesdeumsistemaoufenmenonoproduzemexa-tamenteo mesmoresultado.Todosnsencontramosvariabili-dadeemnossodia-a-diaeojulgamentoestatsticopodenosdarumamaneiratil paraincorporaressavariabilidadeemnossosprocessosdetomadadedeciso.Por exemplo,considereo de-sempenhodeconsumodegasolinade seucarro.Voc sempreconsegueomesmodesempenhodeconsumoemcadatanquedecombustvel?Naturalmente,no-na verdade,algumasvezesodesempenhovariaconsideravelmente.Essavariabilidadeobser-vadano consumode gasolinadependedemuitosfatores,taiscomoo tipodeestradamaisusadarecentemente(cidadeoues-trada),asmudanasnacondiodoveCuloaolongodotempo(quepoderiamincluir fatorescomodesgastedopneuou com-pressodomotoroudesgastedavlvula),amarcae/ounmerodeoctanagemdagasolinausada,oumesmo,possivelmente,ascondiesclimticas.Essesfatoresrepresentamfontespoten-ciaisdevariabilidadenosistema.A Estatsticanosforneceumaestruturaparadescreveressavariabilidadee paraaprenderso-brequaisfontespotenciaisdevariabilidadesomaisimportan-tesou quaistmo maiorimpactono desempenhodeconsumode gasolina.

Encontramostambmvariabilidadeemproblemasdeenge-nharia.Por exemplo,suponhaqueumengenheiroestejaproje-tandoumconectordenilonparaserusadoemumaaplicaoautomotiva.O engenheiroestconsiderandoestabelecercomoespecificaodoprojetoumaespessuradeparedede3/32pole-gada,masest,dealgummodo,inseguroacercadoefeitodessadecisonaforaderemoodoconector.Seaforaderemoofor muitobaixa,o conectorpodefalharquandoelefor instaladonomotor.Oitounidadesdoprottiposoproduzidasesuasfor-asderemoosomedidas,resultandonosseguintesdados(emlibras-p):12,6;12,9;13,4;12,3;13,6;13,5;12,6;13,1.Comoantecipamos,nemtodososprottipostmamesmaforadere-moo.

o PAPEL DA EsTA TfsTICA NA ENGENHARIA 3

Definio

Fig. 1.3A mdiadaamostracomoum pontodeequilibrioparaum sistemadepesos.

SeXI, X2, .. , Xn forumaamostraden observaes,entoavarincia da amostraser

tir emtodososconectoresqueserovendidosaosconsumido-res.Algumasvezes,existeumapopulaofsicareal,tal comoumaporodepastilhasdesilcioproduzidasemumafbricadesemicondutores.Podemospensartambmemcalcularo valormdiodetodasasobservaesemumapopulao.Essamdiachamadademdiapopulacional,sendodenotadapelaletragre-gafL(mi).

Quandohouverumnmerofinitodeobservaes(isto,N)napopulao,entoa mdiapopulacionalser

Xi Xi - X(Xi - X)2

1

12,6 -0,40,162

12,9 -0,10,013

13,4 0,40,164

12,3 -0,70,495

13,6 0,60,366

13,5 0,50,257

12,6 -0,40,168

13,1 0,10,01------

1"04,0 0,01,60

assim,avarinciadaamostra

Tabela 1.1ClculodosTermosparaaVarinciaeDesvio-PadrodaAmostra

2 1,60 1,60 02286(l'b ,)2s =8 _ 1 =-7-=, I ras-pe

e o desvio-padrodaamostra

EXEMPLO 1.2A Tabela1.1apresentaasquantidadesnecessriasparacal-cularavarinciae o desvio-padrodaamostraparaos dadosdaforaderemoo.EssesdadossograficadosnaFig. 1.4.O numeradordeS2

8

L (Xi - x)2 = 1,60i=1

s = v'0,2286=0,48libras-p

dadosdaforaderemoodoconector.Quantomaioravariabi-lidadenosdadosdaforaderemoo,maiorserovalorabsolu-todealgunsdosdesviosXi - X. UmavezqueosdesviosXi - Xsomarozero,temosdeusarumamedidadevariabilidadequetransformeosdesviosnegativosemquantidadesnonegativas.Elevar ao quadradoos desvios uma abordagemusadanavarinciadaamostra.Conseqentemente,seS2forpequeno,ha-ver,relativamente,poucavariabilidadenosdados;porm,seS2forgrande,avariabilidadeserrelativamentegrande.

(1.2)

(1.3)

N

L Xii=1f..L=--N

n

L (Xi - X)2S2 = _i=_I _

n - 1

i; 13

L

I

I

12 1415

Forade remoo

A mdiada amostra,X, umaestimativarazovelda mdiapopulacional, fL. Logo, o engenheiroduranteo projeto doconectorusandoumaespessuradeparedede3/32polegadacon-cluiria,combasenosdados,queumaestimativadaforadere-moomdiaseria13,0libras-p.

Nos captulosseguintes,discutiremosmodelosparapopula-esinfinitase issonos levara urnadefmiomaisgeraldemdiapopulacional,fL. Muitosproblemasimportantesdeenge-nhariaenvolvemfazerrefernciasoutomardecisessobreumamdiapopulacional.

Emboraamdiadaamostrasejatil, elanotransmitetodaa informaoacercadeumaamostradedados.A variabilidadeou dispersonosdadospodeserdescritapelavarincia ou odesvio-padroda amostra.

odesvio-padrodaamostra,s,araizquadradapositi-va davarinci

4 O PAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA

EXEMPLOl.3Calcularemosavarinciaeo desvio-padrodaamostra,usan-do o mtododoatalho,Eq. IA. A frmulafornece

n Il

2: X? +n:x2 - 2:X 2: Xii=1 i=1

n - 1

NotequeaEq. IA requerquesecalculeo quadradodecadaXi'levando-se,ento,aoquadradoasomadeXi' subtraindo('i,xY/ndeI x;,efinalmentedividindoporn - I. Algumasvezes,issochamadodemtodoabreviadoparaclculodeS2 (ous).

n

e,j quex =(l/n) I,Xi' essaltimaequaosereduzai = 1(X.)2

X?- i=1 I (104)2 i=1 ns =--------

n - 1

(1.6)r = mx(xi) - mn(xi)

Umadefiniomaisgeraldavarinciacr serdadaadiante.Observamos,previamente,queamdiadaamostrapoderiaserusadacomoumaestimativadamdiapopulacional.Similarmen-te,avarinciadaamostraumaestimativadavarinciadapo-pulao.

Note queo divisordavarinciadaamostra o tamanhodaamostramenosum(n - I), enquantoparaavarinciadapopula-o,o divisor o tamanhoN dapopulao.Sesoubssemosovalor verdadeirodamdiapopulacional]L, entopoderamosencontrara varinciadaamostracomoa mdiadosquadradosdosdesviosdasobservaesdaamostraemtomode]L. Na pr-tica,ovalorde]L quasenuncaconhecidoe,dessaforma,asomadosquadradosdosdesviosemtomodamdiax daamostratemdeserusada.No entanto,asobservaesXi tendema sermaisprximasdeseuvalormdio,x, doqueamdiapopulacional,]L.Por conseguinte,paracompensarisso,usamosn - 1 comoodivisoremvezden.Seusssemosn comoodivisornavarincia

daamostra,obteramosumamedidadevariabilidadequeseria,emmdia,consistentementemenorqueavarinciaverdadeiracrdapopulao.

Umaoutramaneiradepensaracercadissoconsiderarava-rinciaS2 daamostra,comoestandobaseadaemn - I grausdeliberdade.O termograusdeliberdaderesultadofatodequendesviosXl - x, X2 - x, ..., Xn - x sempresomamzeroe,as-sim,especificarosvaloresdequaisquern - I dessasquantida-desdeterminaautomaticamenteaquelerestante.Isso foi ilus-tradonaTabela1.1.Dessaforma,somenten - I dosn desvios,Xi - x,estolivrementedeterminados.

Almdavarinciaedodesvio-padrodaamostra,aamplitu-deda amostra,ouadiferenaentreamaioreamenorobserva-o,umamedidatildevariabilidade.A amplitudedaamostradefinidacomosegue.

Definio

SeasnobservaesemumaamostraforemdenotadasporXI' X2, ... , x," entoaamplitudedaamostraser13536 _ (104f, 8

7

Il

2: (X? +:x2 - 2ix;)i=1

n-

n

2: (xi -:xi2 i=1S =-----

n - I

( n )2n 2: Xi2:x?- i=1

2 i=I nS =--------n - 1

Cmputode 52O cmputodeS2 requero clculodex, n subtraesen opera-esdeelevaraoquadradoesomar.SeasobservaesoriginaisouosdesviosXi - x noforeminteiros,podesertediosotraba-lharcomosdesviosXi - X evriosdecimaispodemterdesercarregadosparaassegurara exatidonumrica.Uma frmulacomputacionalmaiseficienteparaavarinciadaamostraobti-dacomosegue:

e

s =VO,2286 =0,48libras-p

Essesresultadosconcordamexatamentecomaquelesobtidospreviamente.

= 1,;0 =0,2286(libras-p)2 Paraosdadosdaforaderemoo,aamplitudedaamostrar =13,6- 12,3=1,3.Geralmente,medidaqueavariabilidadenos dadosda amostraaumenta,a amplitudeda amostraau-menta.

A amplitudedaamostrafcildecalcular,masignoratodaainformaocontidanosdadosentreosvaloresmaiore menor.Por exemplo,asduasamostras1,3,5,8 e9 e 1,5,5,5,9 tmamesmaamplitude(r =8).Entretanto,odesvio-padrodaprimei-ra amostra SI =3,35,enquantoo desvio-padrodasegundaamostraS2 =2,83.A variabilidaderealmentemenornasegun-daamostra.

Algumasvezes,quandoo tamanhodaamostraforpequeno,isto,n

oPAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA 5

mir os dados.Outrosmtodosparadescreveros dadosseroapresentadosno Capo2.

Osengenheirosestofreqentementeinteressadosemdesen-volverummodelodosistemaouprocessoquegerouosdados.Essesmodelosenvolvemconceitosdeprobabilidadequeserointroduzidosno Capo3.Veremosqueanoodeumadistribui-odeprobabilidade,comoummodeloquedescreveavaria-bilidadeemum sistemaou processo, muito importantenoambientedeengenharia.Os Caps.4-6exploraroessesconcei-tosemdetalhes.

1.1.2JulgamentoEstatstico

A necessidadedeumjulgamentoestatsticoaparecefreqente-mentenasoluodeproblemasdeengenharia.Considereo en-genheiroprojetandoo conector.A partirdetestesemprottipo,elesabequeumaestimativarazoveldaforamdiaderemo-oseria13,0lb-ft. Entretanto,elepensaqueessevalorpodesermuitobaixoparaa aplcaopretendida;assim,eledecideconsiderarumprojetoalternativocomumaespessuramaiordeparede,1/8polegada.Oitoprottiposdesseprojetosoconstru-doseasmedidasobservadasdaforaderemooso:12,9;13,7;12,8;13,9;14,2;13,2;13,5e 13,1.A mdiae o desvio-padrodaamostraso 13,4e 0,50,respectivamente.ResultadosparaambasasamostrassograficadoscomodiagramadepontosnaFig. 1.5.Essegrficoeosclculosprecedentesdoaimpressodequeo aumentodaespessuradaparedelevouaumaumentonaforaderemoo.No entanto,halgumasquestesbviasaperguntar.Por exemplo,comosabemosqueumaoutraamostradeprottiposnodarresultadosdiferentes?A amostradeoitoprottipos adequadaparafornecerresultadosconfiveis?Seusarmos.osresultadosobtidosdostestesatagoraparaconcluirqueaumentandoa espessuradaparedeaumentaa resistncia,quaisosriscosqueestoassociadoscomessadeciso?Porexem-plo, serpossvelqueo aumentoaparentenaforaderemooobservadanosprottiposmais espessossejaapenasdevidovariabilidadeaparenteno sistemae queo aumentodaespessuradaparte(e seucusto)realmentenoafetea foraderemoo?

Freqentemente,as leis fisicas(taiscomoa lei deOhm e alei degsideal)soaplicadasparaajudarnoprojetodeprodu-tose processos.Estamosfamiliarizadoscomesseraciocnioapartirdeleis geraisparacasosespeciais.Porm,tambm im-portanteraciocinarapartirdeumasrieespecficademedidasparacasosmaisgeraispararespondersquestesprvias.Esseargumento a partirdeumaamostra(talcomoos oito conec-tores)paraumapopulao(talcomoos conectoresqueserovendidosaos consumidores).O raciocnio referido comoinferncia estatstica.Ver Fig. 1.6.Historicamente,medidasforamobtidasdeumaamostradepessoasegeneralizadasparaumapopulao,mantendo-sea terminologia.Claramente,oraciocniobaseadonasmedidasdealgunsobjetosparamedidasemtodososobjetospoderesultaremerros(chamadosdeerrosdeamostragem).No entanto,sea amostrafor selecionadaade-quadamente,essesriscospoderoserquantificadoseumtama-nhoapropriadodeamostrapodeserdeterminado.

=f2 polegada

o= ~ polegada

Fig. 1.6Infernciaestatisticaumtipoderaciocnio.

Populaofutura

?

Tempo.

1- - - - - - - - - - - ,IIIIIIIII I, J

Estudoanaltico

Estudoenumerativo

1- - - - - - - - - - - ,II PopulaoI ?

: (:::):!_-~---jxl' X2"'" xn.

Em algunscasos,aamostrarealmenteselecionadaapar-tir dapopulao.A amostraumsubconjuntodapopulao.Por exemplo,umaamostradetrspastilhaspodeserselecio-nadade um lote de produodepastilhasna fabricaodesemicondutores.Baseadonos dadosda amostra,queremosconcluiralgumacoisaarespeitodolote.Por exemplo,amdiadasmedidasderesistividadena amostra(:X) no esperadaparaigualarexatamentemdiadasmedidasderesistividadeno lote (f.L). Entretanto,se :x for alta,devemosestarpreocu-padoscomque f.L sejamuitoalta.A infernciaestatstica apartirde :x para f.L.

Em outroscasos,apopulaonoexisteainda,masdeveserpensadacomofuturasrplicasdosobjetosnaamostra.Parares-pondersquestesprvias,os oito prottiposdosconectorestmdeserrepresentantivos,decertomodo,daquelesqueserovendidosaosconsumidores.Geralmente,osoitoconectoressovistoscomoumaamostradapopulaodeconectoresqueserovendidosaosconsumidores.Claramente,essaanliserequeral-gumanoodeestabilidadecomoumasuposioadicional.Porexemplo,deveserconsideradoqueasfontesdevariabilidadenafabricaodeprottipos(taiscomotemperatura,pressoetem-po decura)soasmesmasqueaquelasparaosconectoresqueserovendidosaosconsumidores.

O exemplodepastilhasapartirdeloteschamadodeestudoenumerador.Umaamostrausadaparafazerumainfernciapopulaodaqualaamostraselecionada.O exemplodoconectorchamadodeestudoanaltico.Umaamostrausadaparafazerumainfernciaaumapopulaofutura.As anlisesestatsticassogeralmenteasmesmasemambososcasos,pormumestudoanalticorequer,claramente,umasuposiodeestabilidade.VerFig.1.7.

I

15

o 00 00 o o o I13 14Forade remoo

12

Fig. 1.5Diagramadepontosdaforaderemooparaduasespessurasdeparede. Fig. 1.7Estudoenumerativoversusestudoanaltico.

6 O PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA

1.2COLETANDO DADOS DE ENGENHARIA

Na seoprvia,ilustramosalgunsmtodossimplespararesu-mirdados.No ambientedeengenharia,osdadossoquasesem-preumaamostraquefoi selecionadaapartirdealgumapopula-o.Geralmente,essesdadossocoletadosemumadasduasmaneirasaseguir.

A primeiramaneirapelaqualosengenheirosfreqentementecoletamdadosapartirdeumestudoobservacional.Nessasitu-ao,o processoou sistemaqueestsendoestudadopodeserobservadosomentepelo engenheiroe os dadossoobtidosmedidaquesetomamdisponveis.Porexemplo,suponhaqueumengenheiroestejaavaliandoo desempenhodeumprocessodefabricaodecomponentesplsticosatravsdainjeoemmol-de.Pode-seobservaro processo,selecionarcomponentesmedidaquesofabricadosemedirimportantescaractersticasdeinteresse,taiscomoaespessuradaparede,o encolhimentoouaresistnciadapea.O engenheiropodemedirtambmeregistrarasvariveisdeprocessopotencialmenteimportantes,taiscomoatemperaturadomolde,o contedodeumidadedamatria-pri-maeotempodociclo.Freqentemente,emumestudoobserva-dor,o engenheiroestinteressadoemusarosdadosparacons-truir um modelodo sistemaou processo.Essesmodelossofreqentementechamadosdemodelosempricos,sendointrodu-zidose ilustradosemmaioresdetalhesnaprximaseo.Umaoutramaneira queos dadosobservadossoobtidosatravsdaanlisededadoshistricosdosistemaouprocesso.Porexem-plo, nafabricaodesemicondutores,razoavelmentecomummanterregistrosextensosdecadabateladaou lotedepastilhasquefoi produzido.Essesregistrosincluiriamdadosdetestedecaractersticasfisicase eltricasdaspastilhas,assimcomoascondiesdeprocessamentosobasquaiscadabateladadepas-tilhasfoi produzida.Se apareceremquestesrelativasa umamudanaemumaimportantecaractersticaeltrica,ahistriadoprocessopodeserestudadaemum esforoparadeterminaropontono tempoondea mudanaocorreue paraganharalgumdiscernimentoemrelaosvariveisdoprocessoquedevemserresponsveispelamudana.Freqentemente,essesestudosenvolvemumconjuntomuitograndededadose requeremumfirmedomniodosprincpiosestatsticos,seoengenheiroquiseralcanaro sucesso.

A segundamaneirapelaqualosdadosdeengenhariasoob-tidosatravsdeumexperimentoplanejado.Em umexperi-mentoplanejado,oengenheirofazvaraespropositaisnasva-riveiscontrolveisdealgunssistemasouprocessos,observaosdadosdesadadosistemaresultantee,ento,fazumainfernciaoudecisosobreasvariveisquesoresponsveispelasmudan-

asobservadasnodesempenhodesada.O exemplodoconectordeplsticonaseoprviailustrouumexperimentoplanejado;ouseja,umamudanadeliberadafoi feitanaespessuradapare-dedoconector,como objetivodedescobrirseumaforadere-moomaiorpoderiaserounoobtida.O planejamentodeex-perimentostemumpapelmuitoimportantenoprojetoedesen-volvimentodeengenhariaenamelhoriadosprocessosdefabri-cao.Geralmente,quandoprodutoseprocessossoplanejadosedesenvolvidoscomexperimentosplanejados,elestmmelhordesempenho,maisaltaconfiabilidadeemenorescustosglobais.Experimentosplanejadostambmdesempenhamum papelcrucialnareduodotempodeconduodeumprojetodeen-genhariaedodesenvolvimentodeatividades.Na Seo1.4,ilus-traremosvriostiposdeexperimentosplanejadosparao exem-plo doconector.

Na Seo 1.1, introduzimos os conceitos de estudosenumeradorese analticos.A maioriadosproblemasde enge-nhariaenvolveosestudosanalticos.Os dadosprovenientesdeobservaoeosdadosprovenientesdeexperimentosplanejadospodemserobtidosemambosos tiposdeestudos,masfreqen-tementeelesenvolvemestudosanalticos;isto,ainfernciaoudecisodaanlisesobrecomoo sistemaouo processosede-sempenharno futuro.

A habilidadedepensareanalisar,estatisticamente,osdadosamostraisnoscapacitara responderquestessobreo sistemaouo processoemestudo.Por exemplo,considereo problemaarespeitodaescolhadaespessuradaparededoconectordeni-lon.Uma abordagemquepoderiaserusadanaresoluodesseproblemacompararasmdiasdaforaderemoopara3/32polegada,JkJI32, epara1/8polegada,J.LU8, usandoatcnicadetesteestatsticodehipteses.Os Caps.8 e9 discutiroo testedehi-pteseseoutrastcnicasrelacionadas.Emgeral,umahipteseumaafirmaosobrealgumaspectodo sistemaemquetenha-mosinteresse.Por exemplo,o engenheiropodeestarinteressa-do emsabersea foramdiaderemoode3/32polegadaex-cedeacargamximatpicaaserencontradanessaaplicao,ouseja,12,75libras-p.Assim sendo,estaramosinteressadosemtestarotestedehiptesesemquearesistnciamdiaJ.L3132 exce-deria12,75libras-p.Isso chamadodeproblemadetestedehiptesescomumanicaamostra.O Capo8 apresentartcni-casparaessetipodeproblema.Alternativamente,o engenheiropodeestarinteressadoemtestarahiptesedequeumaumentodaespessuradaparedede3/32para1/8depolegadaresultaemumaumentodaforamdiaderemoo.Claramente,esseumexemplodeestudoanalticoetambmumexemplodeumpro-blemaenvolvendotestedehiptesesparaduasamostras.Pro-blemasdessetiposerodiscutidosno Capo9.

---------EXERCCIOS PARA AS SEES 1.1E 1.2---------1.1. Foramfeitasoitomedidasdodimetrointernodeanisdepis- 7099;6930;6992;7518;7100;6935;7518;7013;6800;7041

toforjadosdeummotordeumautomvel.Osdados(emmm) e 6890.Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.Cons-so:74,001;74,003;74,015;74,000;74,005;74,002;74,005e truaumdiagramadepontosdosdados.74,004.Calculeamdiaeodesvio-padrodaamostra,construa 1.4. Um artigono Journal o/ StructuralEngineering(Vol. 115,umdiagramadepontosecomenteosdados. 1989)descreveumexperimentoparatestara resistnciaresul-

1.2. Em AppliedLi/e DataAnalysis(Wiley, 1982),WayneNelson tanteemtuboscircularescomcalotassoldadasnasextremida-apresentao tempodeesgotamentodeumfluido isolanteentre des.Osprimeirosresultados(emkN) so:96;96;102;102;102;eletrodosa 34 kV. Os tempos,emminutos,so:0,19;0,78; 104;104;108;126;126;128;128;140;156;160;160;164e0,96;1,31;2,78;3,16;4,15;4,67;4,85;6,50;7,35;8,01;8,27; 170.Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.Construa12,06;31,75;32,52;33,91;36,71e 72,89.Calculea mdiae umdiagramadepontosdosdados.o desvio-padrodaamostra. 1.5. Um artigoemHumanFactors (junhode1989)apresentouda-

1.3. A ediodejaneirode 1990deArizona Trendcontmum su- dossobreaacomodaovisual(umafunodomovimentodoplementodescrevendoos 12"melhores"camposde golfedo olho),reconhecendoumpadrodemanchaemumvdeoCRTestado.Os comprimentosdessescamposemjardasso:6981; de altaresoluo.Os dadosso:36,45;67,90;38,77;42,18;

o PAPEL DA EsTATSTlCA NA ENGENHARIA 7

1.6.

26,72; 50,77; 39,30e 49,71. Calcule a mdia e o desvio- 1.7.padro da amostra.Construaum diagramade pontos dosdados. 1.8.Os seguintesdadossomedidasde intensidadesolar direta(watts/m2), emdiasdiferentes,emumalocalizaono sul daEspanha:562;869;708;775;775;704;809;856;655;806;878;909;918;558;768;870;918;940;946;661;820;898;935;952;957;693;835;905;939;955;960;498;653;730e 753.Calculeamdiae o desvio-padrodaamostra.

ParacadaumdosExerccios1.1a 1.6,discutaseosdadosresul-tamdeumestudoobservadooudeumexperimentoplanejado.A ediode22 deabrilde 1991deAviation WeekandSpaceTechnologyreportaque,duranteumaoperaodeguerranodeserto,pilotosdaforaareaamericana(F-117A)realizaram1270vos decombate,comumtotalde6905horas.Qual foia duraomdiadeumamissoF-117A duranteessaopera-o?Por queo parmetroquevoccalculoufoi a mdiapo-pu1aciona1?

1.3MODELOS MECANICISTAS E EMPRICOS

em que aforma da funof desconhecida.Talvez, um modelode trabalho pudesse ser desenvolvido a partir de uma expansoem srie de Taylor, considerando apenas o termo de primeiraordem, produzindo assimum modelo da forma

Mn = 130 + 131V + !32C + !33T (1.10)sendo f3's os parmetrosdesconhecidos.Agora, assim como nalei deOhm, essemodelo no descreverexatamenteo fenmeno,

de modo que devemosconsiderar outrasfontes de variabilidade

Os modelos desempenhamum importante papel na anlise depraticamentetodos os problemas de engenharia.Muito da edu-cao formal de engenheiros envolve o aprendizado sobre osmodelos relevantes a campos e a tcnicas especficos para apli-car essesmodelos na formulao e soluo deproblemas. Comoum simples exemplo, suponhaqueestejamosmedindo a corren-te em um fio fino de cobre.Nosso modelo para essefenmenopode ser a lei de Ohm

Corrente =voltagem/resistncia

(1.11)

Tabela 1.2Dadossobrea ResistnciadeTraodaCola no Arame

Resistncia

ComprimentoNmero da

Traodo ArameAltura do MoldeObservao

yXI X,

I9,95250

224,458110

331,7511120

435,0010550

525,028295

616,864200

714,382375

89,60252

924,359100

1027,508300

1117,084412

1237,0011400

1341,9512500

1411,662360

1521,654205

1617,894400

1769,0020600

1810,301585

1934,9310540

2046,5915250

2144,8815290

2254,1216510

2356,6317590

2422,136100

2521,155400

Esse o modelo queusaremospararelacionaro pesomolecularsoutrastrsvariveis.Essetipochamadomodelo emprico; ou seja,eleusaanossaengenhariae o conhecimentocientfico do fenme-no,pormnodiretamentedesenvolvidoapartirdenossoconheci-mentoterico ou dosprimeiros princpios do mecanismobsico.

Com o objetivo de ilustraressasidias comum exemploespe-cfico, considereos dadosna Tabela 1.2.Essa tabelacontm da-

dos dastrsvariveis, que foram coletadosem uma plantade fa-bricao de semicondutores.Nessa planta, o semicondutor[mal um aramecolado a uma estrutura.As variveis reportadassoa resistncia trao (uma medida da quantidade de forarequeridapararomper a cola), o comprimentodo aramee a alturada matriz. Gostariamos de encontrarum modelo relacionando a

resistncia trao,ao comprimentodo aramee alturadamatriz.Infelizmente, no h mecanismofisico quepossamosfacilmenteaplicar aqui. Por conseguinte,no pareceprovvel quea aborda-gem de modelo mecanicistapossa ser usada com sucesso.Notequeesse um exemplode um estudoobservador(ver Seo 1.2).

quepossam afetar o peso molecular. Desse modo, adicionamosum outro termo ao modelo resultando

(1.9)

(1.8)

(1. 7)1= E/R

I=E/R+E

Mn =I(V, C, T)

sendo E um termo adicionado ao modelo para considerar o fatode que os valores observados da correnteno seguemperfeita-menteo modelo mecanicista.Podemos pensarE como sendoumtermo que inclui os efeitos de todas as fontes no modeladas devariabilidade que afetamesse sistema.

Algumas vezes, os engenheiros trabalham com problemaspara os quaisno h modelo mecanicista simples ou bem enten-dido, queexplique o fenmeno.Por exemplo, suponhaque este-jamos interessados no peso molecular mdio (Mil) de umpolmero. Agora, sabemos que Mil est relacionado viscosi-dade (V) do material e tambm depende da quantidade decatalisador (C) e da temperatura(1)no reatorde polimerizao,quando o material fabricado. A relao entreMil e essasvari-veis

Chamamos esse tipo de modelo mecanstico, porque ele construdo a partir denosso conhecimento do mecanismo fisicobsico,querelacionaessasvariveis.No entanto,sefizermosesseprocesso de medio mais de uma vez, talvez em tempos dife-rentes,ou mesmo em dias diferentes, a con"enteobservadapo-derdiferir levementepor causadepequenasmudanasou vari-aesemfatoresqueno estejamperfeitamentecontrolados,taiscomo mudanasnatemperaturaambiente,flutuaesno desem-penho do medidor, pequenasimpurezaspresentesem diferenteslocalizaes do fio e impulsos na voltagem. Logo, um modelomais realista da corrente observadapode ser

ou

8 o PAPEL DA Esr ATSTICA NA ENGENHARIA

Fig. 1.8Grficotridimensionaldosdadosdoarameedaresistnciatrao.

Fig. 1.9Grfico devaloresprevistosdaresistnciatrao,apartirdomodeloempriconaEq. 1.12.

Muito doquesabemosemengenhariaenascinciasfisico-qu-micasdesenvolvidoatravsdetestesouexperincias.Freqen-temente,engenheirostrabalhamemreasproblemticas,emquenenhumateoriacientficaou de engenharia completamenteaplicvel.Assim,aexperinciaeaobservaodosdadosresul-tantesconstituemasnicasmaneiraspelasquaisoproblemapodeserresolvido.Mesmoquehajaumaboateoriacientficabsicaemquepossamosconfiarnaexplicaodofenmenodeinteres-se, quasesemprenecessrioconduzirtestesou experimentosparaconfirmarqueateoria,naverdade,operativanasituaoouno ambienteno qualelaestsendoaplicada.Julgamentoes-tatsticoe mtodosestatsticosdesempenhamumpapelimpor-tantenoplanejamento,conduoe anlisededadosapartirdeexperimentosdeengenharia.

A Seo1.1continhaumbreveexemploenvolvendoumen-genheiroqueestavainvestigandoo impactodoaumentodaes-pessuradaparededeum conectornaforaderemoo.Lem-bre-sedequeo engenheiroconstruiuoito prottiposde cadaprojeto(3/32e 1/8polegada),testoucadaunidadee calculouamdiae o desvio-padrodaamostradaforaderemooparacadaprojeto.Notamosqueotesteestatsticodehiptesesfoiumaestruturapossvelparainvestigarqueo aumentodaespessuradaparedeno projetoconduziriaa nveis maisaltosda foramdiaderemoo.Essaumailustraodousodojulgamentoestatsticoparaajudarnaanlisededados,apartirdeumsim-plesexperimentocomparativo.

Julgamentoestatsticopodetambmseraplicadoa proble-masexperimentaismaissrios.Parailustrar,reconsidereopro-blemadaespessuradaparededoconector.Suponhaque,quan-dooconectorforarranjadonaaplicao,eleserprimeiroimersoemumadesivo,sendoentocuradoo arranjo,pelaaplicaodecaloraolongodealgumperododetempo.A foraderemoo medidano arranjofinal. O engenheirosuspeitaque,emadi-oespessuradaparede,o tempoe atemperaturadecurapo-deriamteralgumefeitonodesempenhodoconector.Dessafor-ma,necessrioplanejarumexperimentoquenospermitirin-vestigaro efeitodetodosos trsfatoresnaforaderemoo.

Quandovrios fatoressopotencialmenteimportantes,amelhorestratgiada experincia planejaralgumtipo deex-perimentofatorial. Um experimentofatorial aqueleemqueos fatoressovariadosconjuntamente.Parailustrar,suponhaque,noexperimentodoconector,ostemposdecuradeinteres-sesejam1e 24 h e queosnveisdetemperaturasejam70F e100F.Agora,umavezquetodosostrsfatorestmdoisnveis,umexperimentofatorialconsistiriadasoitocombinaesdetes-temostradasnosvrticesdocubonaFig. 1.10.Duastentativas,ourplicas,seriamfeitasemcadavrtice,resultandoemumex-perimentofatorialcom16corridas.OsvaloresobservadosdaforaderemooestomostradosentreparntesesnosvrticesdocubonaFig. 1.10.Notequeesseexperimentousaoitoprottiposde 3/32polegadae oito prottiposde 1/8polegada,o mesmonmerousadonoestudocomparativosimplesdaSeo1.1,po-rmagoraestamosinvestigandotrsfatores.Geralmente,experi-mentosfatoriaissoamaneiramaiseficientedeestudarosefei-tosde interaodosvriosfatores.

1.4PLANEJANDO INVESTIGAESEXPERIMENTAIS

binaesdecomprimentodearamee alturadamatrizquefos-semdeinteresse.Essencialmente,omodeloempricopoderiaserusadoporumengenheiroexatamentedamesmamaneiraqueummodelomecanicistapoderiaserusado.

600500

400 .300 ~\~

200 o~O 100 ~20 ~y>\~

16

8

8

12 16Comprimento do arame

12Comprimento do arame

o O

080"ti

~ 60Ctl

Ctl

g 40

o PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA 9

14,8(14,6, 15,0)

15,1(14,9, 15,3)

13,6(13,4, 13,8)

12,9(12,6, 13,2)

e


Tipo de adesivo

I

I ./, ./, ./

------"--Velho

'\Novo ~

::o

" 100'O>Q.

E 70'~

If:'


. I IIIIIX

80,584,087,591,094,598,0

Concentrao

Fig. 1.14O diagramadepontosilustraavariao,masnoidentificaoproblema. Alvo

.~

Bolinhas de gude

100

o

'lUo-~ 90c Q)uco80

10 20 30

Nmero da observao

Fig. 1.15 Um grfico temporal de concentraoprov mais informaesdo que o diagramade pontos.

ximadamenteduasvezesmaiorqueparaaestratgia1.Osajus-tesno funil aumentaramos desviosato alvo.A explicaoqueo erro(odesviodaposiodaboladegudeato alvo)paraumaboladegudenoprovinformaosobreo erroqueocor-rerparaaprximabola.Conseqentemente,osajustesno fu-nil nodiminuemerrosfuturos.Em vez disso,elestendemamovero funil paramaislongedo alvo.

Fig.1.16 O experimentodofunil deDeming.

Esseexperimentointeressantemostraqueosajustesemumprocesso,baseadosemperturbaesaleatrias,podemrealmen-te aumentara variaodo processo.Isso conhecidocomosobrecontroleoucontroledemasiado.Ajustesdevemserapli-cadossomenteparacompensarmudananoaleatrianopro-cesso- ento,elespodemajudar.Uma simulaocompu-tacionalpodeserusadaparademonstrarasliesdoexperimen-to dofunil. A Fig. 1.17(a)apresentaumgrficodotempo,com50medidas(denotadaspory) deumprocessoemquesomenteperturbaes!fleatriasestopresentes.O valoralvoparaopro-cesso de 10unidades.A Fig. 1.17(b)apresentaos mesmosdadosdepoisdosajustesseremaplicadosmdiadoprocesso,emumatentativade produzirdadosmaisprximosao alvo.Cada ajuste igual e opostoao desviodamedidaprviaemrelaoaoalvo.Porexemplo,quandoamedidafor 11(umauni-dadeacimado alvo),a mdiaserreduzidaporumaunidadeantesquea prximamedidasejagerada.O sobrecontroleau-mentouosdesviosemrelaoaoalvo.

A Fig. 1.18(a)apresentaosmesmosdadosdaFig. 1.17(a),excetoqueasmedidasdepoisdaobservaodenmero25so

14

1312

11

y 109

87

6

10 20 30 40 50

Nmero da observao

Fig.1.17(a)Dadosdoprocessosomentecomdistrbiosaleatrios.

1413

12

11

y 109

87

6

10 20 30 40 50

Nmero da observao

Fig. 1.17(b)Ajustesaplicadosaosdistrbiosaleatrioscontrolamemdemasiaoprocessoeaumentamosdesviosemrelaoaoalvo.


14

1312

11

y 10

9

8

7

6

10 20 30Nmerodaobservao

40 50

Fig. 1.18(a)A mdia do processomuda (paracima, por duasunidades)depoisda observaode nmero25.

14

1312

11

y 10

9

87

6

A mudan a na mdia doprocesso detectada

10 20 30 40 50

Nmerodaobservao

Fig. 1.18(b)A mudananamdiadoprocessodetectadanaobservaodenmero28easmedidasseguintessodiminudasporduasunidades.

Fig. 1.19Um grfico(carta)decontroleparaosdadosdeconcentraodeproces-soquimico.

tesestoabaixodalinha centrale duasdelasrealmentecaemabaixodolimiteinferiordecontrole.Esseumsinalmuitofortedequeumaaocorretivanecessrianesseprocesso.Sepu-dermosencontrareeliminaracausabsicadessedistrbio,po-demosmelhorar,consideravelmente,o desempenhodo pro-cesso.

Grficosdecontrolesoumaaplicaomuitoimportantedeestatsticaparamonitorizar,controlare melhorarumprocesso.O ramodaestatsticaquefazusodascartasdecontrole cha-madodecontroleestatsticode processoou CEP. Discutire-mosCEP e grficosdecontroleno Capo15.

Nmerodaobservao

30252015105

Limiteinferiordecontrole=82,54

Limitesuperiordecontrole=100,5

o

100

80

o1(1)

~c 90~c:o

aumentadasemduasunidadesparasimularo efeitodeumamu-dananamdiadoprocesso.Quandohouverumamudanaver-dadeiranamdiadeumprocesso,umajustepodersertil. AFig. 1.18(b)apresentaosdadosobtidosquandoumajuste(dimi-nuioemduasunidades)for aplicadomdiadepoisdeamu-danatersidodetectada(naobservaodenmero28).Notequeesseajustediminuiosdesviosemrelaoaoalvo.

A questodequandoaplicarajustes(eporqualquantidade)comeacomumentendimentodostiposdevariaoqueafetamumprocesso.Umgrficooucartadecontroleumamaneiraines-timveldeexaminaravariabilidadeemdadosaolongodotempo.A Fig. 1.19mostraumgrficodecontroleparaosdadosdecon-centraodoprocessoqumicodaFig. 1.15.A linhacentralnacartadecontroleapenasamdiadasmedidasdeconcentraoparaasprimeiras20amostras(x =91,5g/l),quandooprocessoestiverestvel.O limitesuperiordecontrolee o limiteinferiordecontrolesoumparde limites,estatisticamentededuzidos,querefletea variabilidadeinerenteounaturalnoprocesso.Es-seslimitesestolocalizadosacimaeabaixodalinhacentral,porumadistnciacorrespondentea trsdesvios-padrodosvalo-resdeconcentrao.Seoprocessoestiveroperandocomodeve,semquaisquerfontesexternasdevariabilidadepresentesnosis-tema,asmedidasdeconcentraodeveroflutuaraleatoriamen-teemtomodalinhacentralequasetodaselasdeverocairentreoslimitesdecontrole.

No grficodecontroledaFig. 1.19,aestruturavisualdere-ferncia,providapelalinhacentralepeloslimitesdecontrole,indicaquealgumtranstornoou distrbioatingiuo processo,emtomodaamostra20,porquetodasasobservaesseguin-

ExercciosSuplementares

1.9. A prevenodapropagaodafraturaporfadigaemestruturasdeaeronavesumimportanteelementodasegurana.Um estu-dodeengenhariaparainvestigara fraturapor fadigaemn =9asascarregadasciclicamentereportouosseguintescomprimen-tos(emmm)defratura:2,13;2,96;3,02;1,82;1,15;1,37;2,04; 1.13.2,47;2,60.(a) Calculea mdiada amostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.

1.10. ConsidereosdadosdeintensidadesolamoExerCcio1.6.Comessesdados,prepareum diagramadepontos.Indiqueondeamdiadaamostracaino diagrama.D umainterpretaopr-ticadamdiadaamostra. 1.14.

1.11. O ExerCcio1.5descreveos dadosdeum artigoemHumanFactors emacomodaovisual, a partirdeum experimentoenvolvendoum vdeoCRT dealtaresoluo.(a) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.(b) Os dadosdeum segundoexperimento,usandoumvdeo

combaixaresoluo,foramreportadosnoartigo.Elesso:8,85;35,80;26,53;64,63;9,00;15,38;8,14e 8,24.Pre-pareum diagramadepontosporessasegundaamostraecompare-ocomo diagramaparaa primeiraamostra.OquevocpodeconcluiracercadaresoluodeCRT nes-sa situao?

1.12. O pH deumasoluo medidooitovezesporumaoperadorausandoo mesmoinstrumento.Ela obtmos seguintesdados:7,15;7,20;7,18;7,19;7,21;7,20;7,16e 7,18.


(a) Calculea mdiadaamostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) Quaissoasmaioresfontesdevariabilidadenesseexpe-

rimento?

Um artigonoJournal ofAircraft (1988)descreveo clculodecoeficientesdearrasteparao aeroflioNASA 0012.Diferen-tesalgoritrnosdeclculoforamusadosparaM~=0,7,comosseguintesresultados(oscoeficientesdearrasteestoemuni-dadesdecounts,ou seja,1count equivalentea um coefici-entede arrastede 0,0001):79; 100;74; 83; 81; 85; 82; 80 e84.Calculeamdia,avarinciae o desvio-padrodaamostrae construaum diagramadepontos.Os dadosa seguircorrespondemstemperaturasdasjunesdosanis(grausF), paracadalanamentorealou detestedeummotordeum fogueteespacial(daPresidentialCommissi-onon theSpaceShuttleChallengerAccident,VoI. 1,pp. 129-131):84;49;61;40;83;67;45;66;70;69;80;58;68;60;67;72;73;70; 57;63;70;78;52;67; 53;67;75;61;70; 81;76;79;75;76;58;31.(a) Calcule a mdia, a varincia e o desvio-padro da

amostra.(b) Construaum diagramadepontoscomos dadosdetem-

peratura.(c) Semconsiderara menorobservao(31F),recalculeas

quantidadesdo item(a).Comenteo queencontrou.Quo"diferentes"soasoutrastemperaturasemrelaoaesseltimovalor?

EXERCCIOS PARA EXPANDIR A MENTE

1.15. Considereosdadosdo aerofliono ExerCcio1.13.De

cadavalor,subtraia30e entomultipliqueasquantida-desresultantespor 10.Agora,calculeS2 paraosnovosdados.ComoestessaquantidaderelacionadaaS2 paraosdadosoriginais?Expliqueporqu.

11

1.16. Considerea quantidade~ (Xi - a)20 Qualo valordea1=1queminirnizaessaquantidade?

1.17. UsandoosresultadosdoExerCcio1.16,qualdasduas11 n

quantidadesI (Xi - X )2 eI (Xi - fL)2 seramenor,i=1 ;=1desdequex * fL?

1.18. Codificando osdados.FaaYi=a +bx;,i=1,2, ..o, n,emquea ebsoconstantesdiferentesdezero.Encontreumarelaoentre.x ey e entreSx esr

1.19. Umaamostra,commedidasdetemperaturaemumafor-nalha,resultouemumamdia(OF)de835,00eumdes-vio-padrode 10,50Usandoosresultadosdo Exerccio1018,quaissoa mdiae os desvios-padroexpressosemC?

1.20. Considerea amostraXI' x2, .. o Xn, commdiadaamos-traX e desvio-padroso FaaZi= (Xi - x )/s, i= 1,2,.. o, no Quais so os valoresda mdiae do desvio-pa-drodeZ,?

SumrioeApresentaodeDados

ESQUEMA DO CAPTULO

2.1 IMPORT ANCIA DO SUMRIO E APRESENTAODEDADaS

2.2 DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS

2.3 DISTRIBUIES DE FREQtNCIA EHISTOGRAMAS

2.1IMPORTNCIA DO SUMRIO EAPRESENTAO DE DADOS

No Capo1,introduzimosamdia,avarinciaeo desvio-padrodaamostraeodiagramadepontoscomotcnicasparasumarizardados.Sumrioseapresentaesdedadosbemconstitudossoessenciaisaobomjulgamentoestatstico,porquepermitemaoengenheirofocarascaractersticasimportantesdosdadosouterdiscemimentoacercado tipo demodeloquedeveriaserusadonasoluodoproblema.

O computadorsetomouumaferramentaimportantenaapre-sentaoenaanlisededados.Enquantomuitastcnicasesta-tsticasnecessitamsomentedeumacalculadoraporttil,essaabordagempoderequerermuitotempoeesforo,sendoneces-srioum computadorpararealizaras tarefasde formamuitomaiseficiente.

A maioriadaanliseestatsticafeitausandoumabibliotecadeprogramasestatsticos,escritosapriori. O usurioentracomos dadose, ento,selecionaos tipos deanlisese apresenta-esde sadaquesode interesse.Pacotesestatsticosestodisponveistantoparacomputadoresdegrandeportecomoparacomputadorespessoais.Entreospacotesmaispopularese lar-gamenteusadosestoo SAS (StatisticalAnalysisSystem),paraservidorese computadorespessoais(PCs), e o StatgraphicseMinitabparaPc. Apresentaremosalgunsexemplosdesadadevriospacotesestatsticosemtodoo livro.No discutiremosa

2.4 DIAGRAMA DE CAIXA

2.5 GRFICOS SEQENCIAIS DE TEMPO

facilidadedeusodospacotescomrelao entradae ediodedadosouaousodoscomandos.Vocencontraressespaco-tes,ousimilares,disponveisnasuainstituio,juntamentecompessoasexperientesemmanipul-los.

2.2DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS

O diagramadepontosumaapresentaotildedados,nocasodeamostraspequenas,atcercade20observaes.No entanto,quandoo nmerodeobservaesfor moderamentealto,outrasapresentaesgrficaspodemsermaisteis.

Por exemplo,considereosdadosnaTabela2.1.Essesdadossoaresistnciacompresso,emlibrasporpolegadaquadra-da(psi),de80corposdeprovadeumanovaliga dealumnio-ltio, submetidaavaliaocomoumpossvelmaterialparaele-mentosestruturaisdeaeronaves.Os dadosforamregistradosmedidaqueostestesiamsendorealizadose,nesseformato,elesno contm muita informao a respeito da resistnciacompressiva.Questescomo"Quepercentagemdoscorposdeprovacai abaixode120psi?"nosofceisderesponder.Por-queexistemmuitasobservaes,a construodeumdiagramadepontos,usandoessesdados,seriarelativamenteineficiente;apresentaesmaisefetivasestodisponveisparaconjuntoscommuitosdados.

Um diagramaderamo efolhasumaboamaneiradeobterumaapresentaovisualinformativadeumconjuntodedados

XI,X2, .. , x,,,emquecadanmeroXi consisteem,nomnimo,doisdgitos.Paraconstruiro diagramaderamoefolhas,dividimoscadanmeroXi emduaspartes:umramo, consistindoemumou maisdgitosiniciais,e umafolha, consistindonosdgitosrestantes.Parailustrar,seosdadosconsistirememinformaespercentuais,entreOe 100,dosdefeitosnoslotesdepastilhasdesemicondutores,entopoderemosdividiro valor76 noramo7e nafolha6. Em geral,devemosescolher,relativamente,pou-cosramosemcomparaoaonmerodeobservaes. geral-mentemelhorescolherentreSe20ramos.Umavezqueumcon-juntoderamostenhasidoescolhido,elessolistadosaolongodamargemesquerdadodiagrama.Ao ladodecadaramo,todasasfolhascorrespondentesaosvaloresobservadossolistadasnaordememqueelasforamencontradasnoconjuntodedados.

EXEMPLO 2.1Parailustraraconstruodeumdiagramaderamoefolhas,considereosdadosnaTabela2.1,sobrearesistnciacom-pressodeumaliga. Como valoresdosramos,selecionare-mososnmeros7,8,9, ...,24. O diagramaresultantederamoe folhas apresentadonaFig. 2.1. A ltimacolunano dia-gramaafreqnciadonmerodefolhasassociadasacadaramo.Uma inspeodessediagramarevelaimediatamentequeamaioriadasresistnciascompressoestentre110e200psi equeumvalorcentralestemalgumlugarentreISOe 160psi.Alm disso,asresistnciasestodistribudasapro-ximadamentedeformasimtricaemtomodovalorcentral.O

SUMRIO E ApRESENTAO DE DADOS 15

diagramaderamoe folhasnoscapacitaa determinarrapida-mentealgumascaractersticasimportantesdosdados,quenoforamimediatamentebviasquandodaapresentaooriginalnaTabela2.1.

Emalgunsconjuntosdedados,podeserdesejvelprovermaisintervalosouramos.UmamaneiradefazerissoseriadividiroramoS (porexemplo)emdoisnovosramos,SL eSD. O ramoSL temfolhas0,1,2,3 e4eoramoSUtemfolhasS,6,7,8 e9.Issodobra-ronmeroderamosoriginais.Poderamosaumentarquatrovezeso nmeroderamosoriginais,definindocinconovosramos:SzcomfolhasOe 1,St (paradoisetrs)comfolhas2 e 3,Sf (paraquatroecinco)comfolhas4 eS,Ss(paraseisesete)comfolhas6e7,eSecomfolhas8e9.

EXEMPLO 2.2A Fig. 2.2ilustrao diagramaderamoefolhaspara25observa-essobreos rendimentosdeumabateladadeum processoqumico.Na Fig. 2.2(a),usamos6,7, 8e9 comoosramos.Issoresultaemmuitospoucosramoseo diagramaderamoefolhasnoprovmuitainformaosobreosdados.NaFig.2.2(b),divi-dimoscadaramoemduaspartes,resultandoemumaapresenta-omaisadequadadosdados.A Fig. 2.2(c)ilustraumdiagramaderamoefolhas,comcadaramodivididoemcincopartes.Humnmeroexcessivoderamosnessegrfico,resultandoemumdi-agramaquenonosdiz muitoacercadaformadosdados.

Ramo FolhaFreqncia

7

6 1

8

7 1

9

7 1

10

5 1 2

11580 3

12103 3

13

4 1 353 5 6

14

29583169 815

471340886808 12

16

3073050879 10

17

8544162106 10

18

0361410 7

19

960934 6

20

7 108 4

218 1

221 89 3

237 1

245 1

Fig. 2.1 Diagrama de ramo e folhas paraos dadosde resistncia compressona Tabela 2.1.

Tabela2.1ResistnciaCompressode80 CorposdeProvadaLigadeAluITnio-Ltio

105

22118318612118118014397

154153174120168167141245

228174199181158176110163

131154115160208158133207

180190193194133156123134

17876167184135229146218

157101171165172158169199

151142163145171148158160

17514987160237150135196

201200176150170118149

16 SUMRIO E APRESENT AAo DE DADOS

Ramo Folha

6 1345567 0113578898 13447889 235

(a)

Ramo Folha RamoFolha

6L

134 6z16U

556 6t37L

01 13 6f4557U

57889 6568L

1344 6e8U

788 7z0119L

23 7t39U

5 7f5

(b)

7s77e

8898z

18t

38f

448s

78e

889z 9t

239f

59s ge

(c)

Fig. 2.3Diagramaderamoe folhasdoMinitab.

Diagramade Caracteresem Ramoe Folhas

Ramo e Folhas da ResistnciaN =80 Unidade da Folha =1,0

q3' temaproximadamentetrsquartos(75%)dasobservaesabaixodeseuvalor.Comono casodamediana,osquartispo-demnosernicos.Os dadosderesistnciacompresso,naFig. 2.3,contmn =80observaes.O pacoteMinitab calcu-la o primeiroeo terceiroquartiscomosendoas(n +1)/4e3(n+1)/4observaesordenadas,interpolandoquandonecess-rio. Por exemplo,(80 +1)/4=20,25e 3(80+ 1)/4=60,75.

Fig. 2.2Diagramaderamoe folhasparao Exemplo2.2.

A Fig. 2.3mostraumdiagramaderamoefolhasdosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1,produzidopeloMinitab.O pacoteusaosmesmosramosqueadotamosnaFig. 2.1.Notetambmqueocomputadorordenaasfolhasdamenorparaamai-or, emcadaramo.Essaformadogrfico geralmentechamadadediagramaordenadode ramo e folhas.Por causadotempodemandado,isso geralmenteno feito quandoo diagramaconstrudomanualmente.O computadoradicionaumacolunaesquerdadosramosqueprovumacontagemdasobservaes,tantonoramocomoacimadelenametadesuperiordodiagrama,eumacontagemdasobservaes,tantonoramocomoabaixodelenametadeinferiordodiagrama.No ramointermedirio16,aco-lunaindicao nmerodeobservaesnesseramo.

.O diagramaordenadoderamoe folhastomarelativamentefcil encontrarcaractersticasdosdados,taiscomoospercentis,osquartiseamediana.A medianadeumaamostraumamedi-dadetendnciacentral,quedivideosdadosemduaspartesiguais,metadeabaixodamedianaemetadeacima.Seonmerodeobser-vaesfor par,amedianaestarnametadedadistnciaentreosdoisvalorescentrais.Da Fig. 2.3,encontramoso 40.0e o 41.0valoresdaresistnciacomo160e163;logo,amediana(160+163)/2=161,5.Seonmerodeobservaesformpar,amedianasero valorcentral.A modadaamostraovalordaobservaoqueocorrecommaisfreqncia.A Fig. 2.3indicaqueamoda158;essevalorocorrequatrovezesenenhumoutrovalorocorretofreqentementenaamostra.

Podemostambmdividir os dadosem mais de duaspar-tes.Quandoum conjuntoordenadode dados dividido emquatropartesiguais, os pontosde diviso sochamadosdequartis. O primeiro quartil ou quartil inferior, qj, um va-lor quetemaproximadamenteumquarto(25%)dasobserva-esabaixo delee aproximadamente75% dasobservaesacima.O segundoquartil, q2,temaproximadamentemetade(50%)dasobservaesabaixodeseuvalor.Osegundoquartilexa-tamenteigual mediana.O terceiroquartilouquartilsuperior,

12358

11172537

(10)332316106521

789

101112131415161718192021222324

6771 505801 3133455123568990013446788880003357789011244566800113460346990178818975

Conseqentemente,o Minitab interpola entrea 20.3 e a 21.3 ob-servaoordenada,de modo a obterql =143,50e entrea 60.3ea 61.3observao ordenada, de modo a obter q3 = 181,00.Emgeral,o 100k.opercentil o valor demodo queaproximadamente100k%dasobservaesestonesseou abaixodessevalor e apro-ximadamente100(1- k)% deles estoacima dele. Finalmente,podemos usar a faixa interquartil definida como IQR =q3 -qI,como uma medida de variabilidade. Em relao faixa ordi-nma da amostra,a faixa interquartil menos sensvel a valoresextremosna amostra.

Muitos pacotes estatsticos computacionais provem sum-rios dedadosqueincluem essasquantidades.A sadaobtidapara

SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS 17

os dados da resistncia compressona Tabela 2.1, a partir doMinitab, mostradana Tabela 2.2.

Tabela 2.2 ResumodasEstatsticasparaos Dadosde ResistnciaCompresso,Provenientesdo Minitab

Erro-padroVarivel

NMdiaMedianaDesvio-padroda mdia80

162,66161,5033,773,78

Mn

MxQ1Q376,00

245,00143,50181,00

EXERCCIOS PARA A SEO 2.22.1.

Um artigoemTechnometrics(VaI. 19,1977,p.425)apresenta 34,233,633,834,7osseguintesdadossobretaxasdeoctanagemdecombustvelpara

33,134,734,233,6motor,devriasmisturasdegasolina:

34,535,033,432,535,6

35,434,734,136,3

36,234,635,188,5

87,783,486,787,5 35,136,835,236,894,7

91,191,094,287,8 34,735,135,037,984,3

86,788,290,888,3Q33,6 35,334,936,490,1

93,488,590,189,2 37,832,635,834,689,0

96,193,391,892,3 36,633,137,633,689,8

89,687,488,488,9 35,434,637,334,191,6

90,491,192,689,8 34,635,934,634,7Q

90,3 91,690,593,792,7 33,834,735,535,790,0

90,7100,396,593,3 37,133,632,836,891,5

88,687,684,386,7 34,032,932,134,389,9

88,392,793,291,0 34,133,534,532,798,8

94,287,988,690,988,3

85,393,088,789,990,4

90,194,492,791,82.4.Os dadosmostradosa seguirrepresentamo rendimentode9091,2

89,390,489,389,7 bate1adasconsecutivasdeum substratode cermica,no qual90,6

91,191,291,092,2 umrevestimentodemetalfoi aplicadoporumprocessodede-92,2

92,2 posioa vapor.Construaumdiagramaderamoe folhasparaessesdados.

Construaum diagramaderamoe folhasparaessesdados.

2.2.Os seguintesdadossoosnmerosdeciclosatfalhardecor- 94,187,394,192,484,685,4

posdeprovadealumnio,sujeitosa umatensoalternadare-93,284,192,190,683,686,6

petida,de21.000psi e 18ciclospor segundo:90,690,196,489,185,491,7

91,495,288,288,889,787,5

11151567122317821055 88,286,186,486,487,684,2

1310188337515221764 86,194,385,085,185,185,1

15401203226517921330O95,193,284,984,089,690,5

15021207191010001608e=o90,086,778,393,790,095,6

12581015101818201535 92,483,089,687,790,188,3

Q1315 845145219401781 87,395,390,390,694,384,1

10851674189011201750 86,694,193,189,497,383,7

798101621009101501 91,297,894,688,696.882,9

10201102159417301238 86,193,196,384,194,487,3

86516052023110299090,486,494,782,696,186,4

2130706131515781468 89,187,691,183,198,084,5

1421221512697581512

1109785126014161750

14818851888156016422.5.Encontrea medianae os quartisparaos dadosdeoctanagemQ

do combustveldo motorno Exerccio2.1.2.6.

Encontrea medianae os quartisparaos dadosde fraturano(a)

Construaumdiagramaderamoe folhasparaessesdados.QExerCcio2.2.(b)

Voc achaqueo corpode prova"sobreviver"almde2.7.Encontrea mediana,a modae a mdiadaamostradosdados2.000ciclos? Justifiquesuaresposta.

QnoExerccio2.3.Expliquecomoessastrsmedidasdelocali-23.

A percentagemdealgodonomaterialusadoparafabricarca- zaodescrevemdiferentescaractersticasdosdados.misasdehomens dadaa seguir.Construaum diagramade

2.8.Encontrea medianae osquartisparaos dadosderendimentoramoe folhasparaessesdados.

Dno Exerccio2.4.e=o

18 SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS

2.3DISTRIBUIES DE FREQNCIA EHISTOGRAMAS

Umadistribuiodefreqnciaumsumriomaiscompactodosdados,emrelaoaodiagramaderamoefolhas.Paraconstruirumadistribuiodefreqncia,temosdedividirafaixadedadosemintervalos,quesogeralmentechamadosdeintervalosdeclasseouclulas.Sepossvel,osintervalosdevemserdeiguaislargurasdemodoaaumentarainformaovisualnadistribuiodefreqncias.Algumjulgamentotemdeserusadonaseleodonmerodeintervalosdeclasses,demodoqueumaapresen-taorazovelpossaserdesenvolvida.O nmerodeintervalosdependedo nmerodeobservaese daquantidadededisper-sodosdados.Umadistribuiodefreqncianoserinforma-tivaseusarumnmeromuitobaixooumuitoaltodeintervalos

de classe.Geralmente,achamosque 5 a 20 intervalos sosatisfatriosnamaioriadoscasose queo nmerodeintervalosdevecrescercomn.Naprtica,trabalha-sebemseonmerodeintervalosdeclassefor aproximadamenteigualraizquadradado nmerodeobservaes.

UmadistribuiodefreqnciaparaosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1mostradanaTabela2.3.Umavezqueoconjuntodedadoscontm80observaese .j8O =9,sus-peitamosdequecercade8 ou9 intervalosdeclasseforneceroumadistribuiosatisfatriadefreqncia.O maiore o menorvaloresdosdadosso245e76,respectivamente;assim,osinter-valostmdecobrirumafaixadenomnimo245- 76=169uni-dadesnaescaladepsi.Sequisermosqueo limiteinferiorparao primeirointervalodeclassecomeceumpoucoabaixodome-norvalordosdadosequeo limitesuperiorparao ltimointer-valodeclassecomeceumpoucoacimadomaiorvalordosda-dos,entopodemoscomearadistribuiodefreqnciaem70 e termin-Iaem250.Esse umintervalooufaixa de 180

unidadesdepsi.Nove intervalos,cadaumcom20 psi delar-gura,fornecemumarazoveldistribuiodefreqncia.Logo,adistribuiodefreqnciasnaTabela2.3baseadaemnoveintervalosde classe.

A quartacolunadaTabela2.3contmuma distribuiodefreqnciasrelativas.As freqnciasrelativassoencontra-dasdividindoafreqnciaobservadaemcadaintervalopelon-merototalde observaes.A ltimacolunadaTabela2.3ex-pressaasfreqnciasrelativasnabasecumulativa.Distribuiesdefreqnciassogeralmentemaisfceisdeinterpretardoqueastabelasdedados.Por exemplo,naTabela2.3muitofcilverqueamaioriadoscorposdeprovatemresistnciascom-

pressoentre130e190psieque97,5%doscorposdeprovacaemabaixode230psi.

tambmtil apresentaradistribuiodefreqncianafor-magrfica,conformemostradonaFig. 2.4.Tal grfico cha-madodehistograma.Paradesenharumhistograma,useo eixohorizontalpararepresentaraescalademedidasedesenheosli-mitesdosintervalos.O eixoverticalrepresentaa escaladefre-qncia(oufreqnciarelativa).Seosintervalosdeclassetive-remigual largura,entoasalturasdos retngulosdesenhadosnoshistogramasseroproporcionaiss freqncias.Se os in-tervalosdeclassetiveremlargurasdesiguais,ento costumedesenharretnguloscujasreasseroproporcionaissfreqn-cias.Entretanto,os histogramassomaisfceisde interpre-tar quandoos intervalosde classetma mesmalargura.Ohistograma,comoo diagramaderamoe folhas,forneceumaimpressovisualdaformadadistribuiodasmedidas,assimcomoinformaosobreadispersodosdados.NaFig. 2.4,noteadistribuiosimtricaemformadesinodasmedidasderesis-tncia.

Duranteapassagemdosdadosoriginaisoudo diagramaderamo e folhas paraum diagramade freqnciaou paraumhistograma,perdemosalgumainformaoporquenotemosmaisasobservaesindividuais.Entretanto,essaperdade informa-opequenacomparadaaoganhodeconcisoe defacilidadedeinterpretaoaousaradistribuiodefreqnciaehistograma.

A Fig. 2.5 mostraumhistograma,obtidono Minitab, dosdadosderesistnciacompresso.Os nmeros"padres"fo-ramusadosnessehistograma,levandoa 17intervalosdeclas-se.Notamosque os histogramaspodemser, relativamente,

0,3125 25

'"

0,2500 20> ~ '"~ 0,1895

'15' ':J

SUMRIO E APRESENTAO DE DAOOS 19

140 160 180 200 220 240

o

20

250200100

10

,:;> 5r:r ~u..

O

150

Resistncia

Fig. 2.5 Histogramados dadosde resistncia compresso,provenientedoMinitab com 17 intervalos de classe.

Resistncia

Fig. 2.6 Histogramados dadosde resistncia compresso,provenientedoMinitab com 9 intervalosde classe.

Fig. 2.7 Grfico de distribuiocumulativados dadosde resistncia com-presso,provenientedo Minitab.

coincidiro.Usualmente,encontraremosquemoda mediana>mdia,seadistribuiofor distorcidaparaaesquerda.

Distribuiesdefreqnciasehistogramassotambmusa-doscomdadosqualitativosouporcategorias.Em algumasapli-caes,haverumaordemnaturaldascategorias(taiscomoca-louro,segundo,terceiroequartanistanauniversidade),enquan-to emoutras,a ordemdascategoriasserarbitrria(taiscomomachoefmea).Quandousamosdadosporcategoria,osinter-valosdevemteramesmalargura.

250200150Resistncia

100

10

o

80

~ 60:;>

~ 50u.~ 40c;~30~ 20u..

sensveisaonmeroe larguradeseusintervalos.Paracon-juntospequenosdedados,oshistogramaspodemmudardra-maticamentenaaparncia,seonmeroe/oua larguradosin-tervalosmudarem.Histogramassomaisestveisparacon-juntos grandesde dados,preferencialmentecom70, 100oumaisdados.A Fig. 2.6mostrao histograma,comnoveinter-valos,feitopeloMinitab paraosdadosderesistncia com-presso.Ele similar ao histogramaoriginal, mostradonaFig. 2.4. Umavezqueonmerodeobservaesmoderamentegrande(n =80),aescolhado nmerodeintervalosno es-pecialmenteimportantee ambas(Figs. 2.5e2.6)conduzemainformaosimilar.

A Fig. 2.7mostraumavariaodehistograma,disponvelno Minitab,o grfico de freqnciacumulativa.Nessegr-fico, a alturade cadabarra o nmerototalde observaesque menorou igual ao limite superiordo intervalo.Distri-buiescumulativasso tambmteis na interpretaodedados;porexemplo,podemosler diretamentedaFig. 2.7 queexistem,aproximadamente,70 observaesmenoresqueouiguaisa 200psi.

Histogramassomaisefetivoscomoaapresentaodedados,paraamostrasrelativamentegrandes,tipon 2:75a 100oumaior.Quandoo tamanhodaamostrafor grande,o histogramapoderserumindicadorconfiveldaformageraldapopulaodemedi-dasdaqualaamostrafoi retirada.A Fig. 2.8apresentatrscasos.Geralmente,seosdadosforemsirntricog;-comonaFig.2.8b,entoamdiaeamedianacoincidiro.Se,almdisso,osdadostiveremapenasumamoda(dizemosqueosdadossounimodais),entoamdia,amedianaeamodacoincidiro.Seosdadostiveremdes-viodesimetria(assirntricos,comumalongacaudaparaumlado),comonasFigs.2.8aec,entoamdia,amedianae amodano

Desvioparaa esquerdaou negativo Simtrico Desvioparaa direitaou positivo

(a) (b) (e)

Fig. 2.8Histogramasparadistribuiessimtricasedeslocadas.

20 SUMRIO E ApRESENTAO DE DAOOS

EXEMPLO 2.3

I A Fig. 2.9apre"otaap


A linha se estende, apartir do primeiro quartil, ato menor ponto dado que estejana faixa de 1,5 interquarti.

A iinha se estende, a partirdo terceiro quartil, at omaior ponto dado que estejana faixa de 1,5 interquarti.

o o'\/Outliers

o/Outlierextremo

f.+--l,5 rQR 1 1,5rQR I :( raR 01< 1,5IQR 01c-Q)'OQ) 90u '..E80

100

15020025070Resistncia

23Planta

Fig. 2.11DiagramadecaixaparaosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1. Fig. 2.12Diagramasdecaixacomparativosdeumindicedequalidadeemtrsplantas.

495150

464649

504950

524448

485150

514644

475245

Calculea mdiae a medianada amostra.Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.Construaumdiagramadecaixadosdadosecomentesobreainformaonessediagrama.Encontreos percentis5% e 95% datemperatura.

(a)(b)(c)

(d)

As novemedidasqueseguemsotemperaturasde fornalha,registradasembateladassucessivasdeum processodefabri-caodesemicondutores(unidadesemF):953;950;948;955;951;949;957;954e 955.(a) Calculeamdia,avarinciaeo desvio-padrodaamostra.(b) Encontreamediana.Dequantoamaiormedidadetempe-

raturapoderiaaumentar,semmudaro valordamediana?(c) Construaum diagramadecaixadosdados.O Exerccio 1.13 apresentacoeficientesde arrastepara oaeroflio0012daNASA. Voc calculoua mdia,a varinciae o desvio-padrodaamostradetodosaquelescoeficientes.(a) Encontreos quartisinferior e superiordoscoeficientes

de arraste.(b) Construaum diagramadecaixadosdados.(c) Isolea maiorobservao(100)erefaaos itens(a)e (b).

Comentesuaresposta.Os seguintesdadossoastemperaturas,emdias consecuti-vos,doefluentenadescargadeumaunidadedetratamentodeesgoto:

434549

2.20.D""'"

2.19.

EXERCCIOS PARA A SEO 2.4 ----------2.18.oExerccio 1.14apresentouastemperaturasnajuno dos

anis (grausFahrenheit)paracadalanamentode testeourealdo fogueteespacial.Naqueleexerccio,desejava-seen-contrara mdiae o desvio-padroda amostrade tempera-tura.(a) Encontreos quartisinferiore superiordetemperatura.(b) Encontrea mediana.(c) Isoleamenorobservao(31F)erecalculeasquantida-

desdaspartes(a)e (b).Comenteo queencontrou.Quodiferentessoas outrastemperaturasemrelaoa essemenorvalor?

(d) Construa,apartirdosdados,umdiagramadecaixae co-mentea possvelpresenade outliers.

Um artigono Transactionsof the!nstitutionof ChemicalEn-gineers(Vol. 34,1956,pp.280-293)reportoudadossobreumexperimento,investigandoo efeitodemuitasvariveisdepro-cessosna oxidao,emfasevapor,denaftaleno.Uma amos-tra da conversopercentualmolar de naftalenoemanidridomalicoresultaem:4,2; 4,7;4,7; 5,0;3,8;3,6; 3,0; 5,1;3,1;3,8;4,8;4,0; 5,2;4,3; 2,8;2,0;2,8;3,3;4,8e 5,0.(a) Calculea mdiada amostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) Construaum diagramadecaixadosdados.O "tempode igniofria" deum motorde carroestsendoinvestigadopor umfabricantedegasolina.Os seguintestem-pos(emsegundos)foramobtidosemumveculodeteste:1,75;1,92;2,62;2,35;3,09;3,15;2,53e 1,91.(a) Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.(b) Construaumdiagramadecaixadosdados.

2.17.

2.16.

2.15.

Q

22 SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS

2.5GRFICOS SEQENCIAIS DE TEMPO

Fig. 2.13 Vendas da companhiapor ano (a) e por quadrimestre(b).

1982 1983 19841985 1986 1987 1988 1989 19901991 Anos

(a)

2341991 Quadrimestres

2 3 41990

(b)

2 3 41989

ramoEssediagramaapresentaefetivamenteavariabilidadeglo-balnosdadosderesistnciacompressoemostra,simultane-amente,a variabilidadenessasmedidasao longodo tempo.Aimpressogeralquearesistnciacompressovariaemtomodovalormdiode162,67,nohavendopadrobviofortenessavariabilidadeaolongodotempo.

O grficodigipontonaFig. 2.15noscontaumfatodiferente.Essegrficoresume30observaesdeconcentraonoprodu-

>

As apresentaesgrficasquetemosconsiderado,comohisto-gramas,diagramasderamoe folhase diagramasdecaixa,somtodosvisuaismuitoteisparamostrara variabilidadenosdados.Entretanto,notamosnaSeo1.5queo tempo umfa-torimportantequecontribuiparaavariabilidadedosdadoseosmtodosgrficosacimamencionadosnolevamissoemconsi-derao.Umasrietemporalouseqnciatemporalumcon-juntodedadosemqueasobservaessoregistradasnaordememqueelasocorrem.Um grfico de srietemporal aqueleemqueoeixoverticaldenotaovalorobservadodavarivel(porexemplo,x) eo eixohorizontaldenotao tempo(quepoderiaserminutos,dias,anos,etc.).Quandoasmedidassoplotadascomoumasrietemporal,freqentementevemostendncias,ciclosououtrascaractersticasgeraisdosdadosquenopoderiamservis-tosdeoutraforma.

Porexemplo,considereaFig. 2.13(a),queapresentaumgrfi-co desrietemporaldasvendasanuaisdeumacompanhia,du-ranteosltimos10anos.A impressogeraldessegrficoqueasvendasmostraramumatendnciaparacima.Existealgumavariabilidadeemtomodessatendncia,comalgumasvendasanuaisaumentandosobreaquelasdoltimoanoealgumasven-dasanuaisdiminuindo.A Fig. 2.13(b)mostraosltimostrsanosdevendasregistradasnotrimestre.Essegrficomostraclaramentequeasvendasanuaisnessenegcioexibemumavariabilidadecclica no trimestre,comasvendasno primeiroe no segundotrimestressendo,geralmente,maioresdoqueasvendasduranteo terceiroeo quartotrimestres.

Algumasvezes,podesermuitotil combinarumgrficodesrietemporalcomalgumasoutrasapresentaesgrficasqueconsideramospreviamente.J. StuartHunter (TheAmericanStatiscian,VoI. 42, 1988,p. 54)sugeriucombinaro diagramaderamoefolhascomogrficodesrietemporalparaformarumgrficodigiponto.

A Fig. 2.14mostraumgrficodigipontoparaasobservaesderesistncia compressodaTabela2.1,considerandoqueessasobservaessoregistradasnaordememqueelasocorre-

Folha Ramo Grfico de srie temDoral

.. \ .. ...

'.vf~.'..~~fr

Folha Ramo Grlicodesrietemporal


8ge

69s

f\459f

f\ 23339t ._e e\

0010000

9z

IV J.J'v \~ .999988e

~. / /\/v666778s

4581 li

23

8t

1 8z

Fig.2.15Grficodigipontodasleiturasdeconcentraodeumprocessoqumico,observadasdehoraemhora.

to na sada de um processo qumico, em que as observaessoregistradasemintervalosdeuma hora. Esse diagramaindica queduranteasprimeiras 20 horas de operao,esseprocessoprodu-ziu concentraesgeralmenteacimade85g/l; porm,depoisdesse

tempo, alguma coisa pode ter ocorrido no processo, que resul-tou emconcentraesmais baixas. Se essavariabilidade na con-centraode sada do produto puder serreduzida, entoa opera-o desseprocesso poder ser melhorada.

EXERCCIOS PARA A SEO 2.52.21. O CollegeofEngineeringandAppliedSciencenaArizonaState

Universitytemum sistemaVAX de computadores.Os tem- )1;1,posderespostapara20tarefasconsecutivasforamregistrados,sendomostradosabaixoeemordem(leiaparabaixoe,ento,da esquerdaparaa direita).

225248203195249

195255245235220

199183213236245

190175178175190

(a) Construaum diagramada srietemporaldosdados.(b) Construaeinterpreteumgrficod

estatistica aplicada e probabilidade para engenheiros montgomery cap 1 e 2

Documents