apostila probabilidade e estatistica ufrgs

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Apostila de Probabilidade e estatística

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  • 11

    Prof. Lor Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.br

    http://www. ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sistema Real

    Determinstico

    Probabilstico

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Causas Efeito

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Causas EfeitoXX

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Experincia para o qual o modelo probabilstico adequado.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    E1: Joga-se um dado e observa-se o nmero da face superior.

  • 22

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqncia de caras e coroas ;

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    E3: Uma lmpada nova ligada e conta-se o tempo gasto at queimar;

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    E4: Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido;

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    o conjunto de resultados de uma experincia aleatria.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    S2 = { cccc, ccck, cckc, ckcc,kccc, cckk, kkcc, ckkc,kcck, ckck, kckc, kkkc,

    kkck, kckk, ckkk, kkkk}

  • 33

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    S3 = { t R / t 0000 }

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    S4 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

    (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Um evento um subconjunto de um espao amostra.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Seja E um experimento com espao amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado um elemento de A.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    A A uniounio B, A B, A soma soma B ou A B ou A maismais B, B, se e s se A ocorre se e s se A ocorre ouou B ocorre. B ocorre.

    AB

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    A produto B, A vezes B ou A interseo B, se e s se A ocorre e B ocorre.

    AB

  • 44

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:A menos B, A diferena B, se e s se

    A ocorre e B no ocorre.

    A - B

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    Complementar de A (no A) se e s se A no ocorre.

    A = AC = A

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Dois eventos A e B so mutuamente excludentes se no puderem ocorrer juntos.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    CLSSICOCLSSICO

    FREQENCIAL

    AXIOMTICO

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (nmero de casos favorveis)P(A) = ------------------------------------_

    (nmero de casos possveis)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (nmero de vezes que A ocorre)frA = ---------------------------------------------

    (nmero de vezes que E repetido)

  • 55

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    P(A) = lim frAn

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    P(A) um nmero real que deve satisfazer as seguintes propriedades:

    (1) 0 P(A) 1

    (2) P(S) = 1 (3) P(AUB) = P(A) + P(B)

    se AB =

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (1) P() = 0 (2) P( ) = 1 - P(A)

    (3) P(A - B) = P(A) - P(AB)

    A

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -

    - P(AB) - P(AC) - P(BC) +

    + P(ABC)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Definio P(A/B) = P(AB) / P(B)

    Teorema da multiplicao

    P(AB) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Dois eventos A e B so independentes se a probabilidade de um ocorrer no altera a probabilidade do outro ocorrer, isto :

  • 66

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (1)(1) P(A/B) = P(A)

    (2)(2) P(B/A) = P(B)

    (3)(3) P(AB) = P(A).P(B)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Diz-se que os conjuntos:A1, A2, ..., An

    eventos de um mesmo espao amostra S, formam uma partio deste espao se:

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (1) AiAj = , para todo i j

    (2) A1A2 ... An = S , para todo i j

    (3) P(Ai) > 0, para todo i

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    BB

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    B pode ser escrito como:

    B = (B A1) (B A2) ... (B An)

  • 77

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    BB

    B A1

    B A2

    B A3

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    P(B) ser ento:P(B) = P[(B A1) (B A1) ... (B An)]

    = P(B A1) + P(B A2) + ... + P(B An) =

    = P(BAi) = P(Ai).P(B/Ai)

    P(B) = P(Ai).P(B/Ai)

    BB

    A4A4

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Calcula a probabilidade de ocorrncia de um dos Ai (que formam a partio) dado que ocorreu um evento qualquer B.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    P(Ai /B) = P(AiB)/ P(B) = = P(Ai).P(B/Ai)/ P(B)

    Aplicando a expresso da probabilidade condicionada vem:

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Na expresso P(Ai /B) = P(Ai).P(B/Ai) / P(B)o valor de P(B) obtido atravs do Teorema da Probabilidade Total

  • 88

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    KKK

    CKK

    KKC

    KCK

    CCK

    CKC

    KCC

    CCC

    0

    1

    2

    3

    S

    Xs

    )S(X

    )s(Xx ====

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Uma funo X que associa a cada elemento de S (s S) um nmero real x = X(s) denominada varivel aleatria.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Conforme o conjunto de valores X(S) uma varivel aleatria poder ser discreta ou contnua.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Se o conjunto de valores for finito ou ento infinito enumervel a varivel dita discreta.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Se o conjunto de valores for infinito no enumervelento a varivel dita contnua.

  • 99

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A funo de probabilidade (fp) de uma VAD a funo que associa a cada xi X(S) o nmero f(xi) = P(X = xi)que satisfaz as seguintes propriedades:

    f(xi) 0, para todo i

    f(xi) = 1

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A coleo dos pares [xi, f(xi)]para i = 1, 2, 3, ... denominada

    de distribuio de probabilidade

    da VAD X.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Suponha que um par de dados

    lanado. Ento X = soma do par

    uma varivel aleatria discreta com

    o seguinte conjunto de valores:

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Como X((a, b)) = a + b, o

    conjunto de valores de X dado

    por: X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A funo de probabilidade

    f(x) = P(X = x), associa a cada

    x X(S), um nmero no intervalo [0; 1] dado por:f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =

    = P([x X(S) / X(s) = x})

  • 1010

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Desta forma: f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36