PROPRIEDADES TERMODINÂMICASRetirado de: http://leblon.mec.puc-rio.br/~wbraga/fentran/termo/termo16.htm. Tabelas de Propriedades: Interpolação

Pela experiência obtida em tantos anos trabalhando com substâncias, os cientistas acabaram por concluir que a existência de equações simples capazes de descrever os estados termodinâmicos de interesse em engenharia era literalmente impossível. Assim, em determinado momento, eles optaram por realizar medições experimentais cada vez mais precisas e construíram as hoje conhecidas tabelas de propriedades. Assim, para as substâncias em condições próximas às da mudança de fase, como água, amônia, nitrogênio, etc, ao invés de trabalharmos com modelos de comportamento que trazem erros embutidos, o recomendável é o uso das referidas tabelas, pois elas são exatas (ou pelo menos, são tão acuradas quanto possível graças aos sofisticados instrumentos de medição).

Na verdade, para cada uma das substâncias de interesse industrial, temos algumas tabelas (três ou quatro, dependendo do ponto de vista), cada uma delas associada a uma fase da substância. Inerente ao uso de tabelas está a questão da interpolação entre os valores fornecidos. Embora isso seja trabalhoso, a interpolação entre os valores disponíveis nas tabelas é algo bastante comum. Tal tarefa é certamente eliminada pelo uso dos inúmeros programas de propriedades, disponíveis em vários livros.

Para acompanharmos o que acontece com uma determinada massa de uma substância como a água, vamos utilizar um cilindro equipado com um pistão móvel. Dentro do espaço disponível, a água será colocada. Nosso equipamento (veja a figura) está equipado com medidores de pressão, de temperatura e de comprimento (para medir o volume) de forma que a cada instante, os estados termodinâmicos de equilíbrio poderão ser determinados.

USO DE TABELAS

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As Tabelas A tal da Interpolação

Na falta de um programa de computador com as propriedades das substâncias de trabalho, como água, amônia, refrigerante 134a, etc, a solução envolve o uso das tabelas. O primeiro passo é identificá-las. Pelo comum, temos 3 tipos de tabelas: uma para as propriedades do líquido comprimido, outra para as propriedades da mistura (líquido e vapor em equilíbrio) e a terceira com as propriedades do vapor superaquecido. Na prática, como a pressão e a temperatura na região de mistura são dependentes, é comum o uso de duas tabelas para a região de mistura: uma tendo a temperatura como dado de entrada e a outra tendo a pressão como dado de entrada. A diferença é simples: na primeira, os dados de temperatura são igualmente espaçados (por exemplo, com intervalos de 10, 20 ou 50 C) e a outra traz os dados de pressão igualmente espaçados (por exemplo, com intervalos de 20, 50 ou 100 kPa). Veja no seu livro, essas tabelas. Os formatos típicos das tabelas são mostrados abaixo. A substância mostrada é a água, por ser a substância mais comum nessa indústria. Região de Mistura - dado de entrada: temperatura

A primeira coluna traz, como pode ser visto, as informações das temperaturas com espaçamentos de 10 C. Ao seu lado, aparecem as pressões de saturação, em kPa (ou MPa), correspondentes às temperaturas. Em seguida, aparece a coluna com os volumes específicos do líquido saturado, em m3/kg. A coluna seguinte traz a informação do volume específico do vapor saturado seco, também em m3/kg. Informações sobre o volume específico da mistura são dependentes do título, razão entre a massa de vapor e a massa total. Outros dados nessa tabela dizem respeito a energia interna, kJ/kg, entalpia, kJ/kg, e entropia, kJ/kg.K, (propriedades que serão estudadas adiante) tanto do líquido saturado quanto do vapor saturado seco.

Região de Mistura - dado de entrada: pressão

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Note nessa tabela, o ponto crítico que, como vimos, é a última situação (no sentido da maior pressão) na qual a mudança de fase de líquido para vapor é feita gradualmente. Como vimos, todas as propriedades do líquido coincidem com as propriedades do vapor saturado seco. Título, nessa condição, não tem significado.

Região de Vapor Superaquecido

Nessa condição termodinâmica, pressão e temperatura voltam a ser propriedades independentes e determinam unicamente o estado termodinâmico.

Região de Líquido Comprimido

Nessa condição termodinâmica, pressão e temperatura são independentes e definem o estado termodinâmico. A experiência mostra que as propriedades do líquido comprimido (ou sub-resfriado) são muito próximas das propriedades do líquido saturado na mesma temperatura (e não pressão). Isso é:

vlíq. comprim.(P,T) pode ser aproximado por vlíq. saturado(T)

Por exemplo, considere o volume específico da água a 5 MPa e 100 C. Da tabela acima, obtemos o valor experimental medido como sendo 0,0010410 m3/kg. Se entrarmos na tabela de líquido saturado (ou da mistura) com a temperatura de 100 C, obteremos o valor de 0,001044 m3/kg, que é para todos os efeitos práticos, o mesmo valor. Essa aproximação é boa para todas as propriedades, à exceção da entalpia que tem uma fórmula especial que será vista quando discutirmos essa propriedade.

Sobre a Interpolação

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Como foi visto no tópico anterior, as tabelas apresentam seus valores de entrada com espaçamentos variáveis, o que pode trazer ocasionalmente problemas, pois os valores desejados não são diretamente obtidos. A solução é, naturalmente, o uso da interpolação, pelo comum, a linear que é a mais fácil e traz bons resultados. Veremos dois tipos de interpolação, a simples e a dupla.

Interpolação Simples

Vamos supor que seja necessário conhecer o volume específico da água à 198 C e título 50%. Como a informação diz respeito ao título, a conclusão automática é que estamos lidando com mistura de líquido vapor.Para continuarmos, precisamos das informações sobre os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado seco naquela temperatura. Entretanto, consultando uma tabela como a abaixo, notamos que temos informações na temperatura de 195 C e também à 200 C, mas não a 198. Assim, deveremos proceder à uma interpolação que como foi dito anteriormente, será linear.

Assim, o que se segue é simples. O primeiro passo é montar a tabela:

montada com informações de temperaturas imediatamente superior e imediatamente inferior. Desejamos calcular os valores de x (pressão de saturação a 198 C), y (volume específico do líquido saturado a 198 C) e z (volume específico do vapor saturado seco a 198 C). É razoável esperarmos que os valores a 198 C para x, y e de z deverão estar entre os valores correspondentes a 195 e 200 C. Como um possível resultado da interpolação linear, podemos escrever:

Com isso, podemos obter os resultados:

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que devem ser comparados com os resultados experimentais (obtidos, por exemplo, a partir de uma tabela mais refinada ou, no caso, a partir de um programa de computador):

Como se pode ver, a diferença é muito pequena, ratificando a decisão tomada da interpolação linear. Naturalmente, se o espaçamento da tabela aumentar, o erro aumentará pois as equações não são lineares, infelizmente. O procedimento é simples, não?

Interpolação Dupla

Essa situação é mais complicada. Vamos supor que seja necessário conhecer o volume específico do vapor superaquecido a 190 C e pressão de 35 kPa. Consultando uma tabela, obtemos os seguintes dados:

Ou seja, não informações nem a 190 C e nem a 35 kPa (ou 0,035 MPa). Assim, precisaremos completar muitas informações, o que nos levará a muitas interpolações, infelizmente. Novamente, há várias maneiras de fazermos isso. Basicamente, o argumento é descobrir informações inicialmente a 190 C em pressões imediatamente superior e inferior à desejada (ou de forma análoga para a pressão) e em seguida, completar as informações já na temperatura desejada mas agora para a pressão de interesse. Vamos por partes, claro. Se estivéssemos a 10 kPa e depois a 50 kPa, as informações para a temperatura de 190 C seriam determinadas pela tabela:

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os resultados seriam determinados como para a interpolação simples, naturalmente. Com esses, montaríamos a tabela abaixo:

Uma nova interpolação nos fornecerá o valor de z, isto é, o valor do volume específico a 190 C e pressão de 35 kPa. O valor obtido desta tabela é v = 10,675 m3/kg, um valor a ser comparado com 6,095 m3/kg, valor exato obtido a partir do programa de computador anteriormente referido. A diferença é de fato bastante grande. Devo mencionar que essa diferença é devida à grande variação que o volume específico do vapor superaquecido sofre com a pressão, como pode ser observado na tabela acima. Note que o valor do volume específico a 10 kPa é quase 7 vezes maior que o volume a 50 kPa. Desta forma, podemos concluir que a variação é grande e a hipótese da interpolação linear é forte. O valor obtido, 10,657 m3/kg, é o valor se a variação fosse linear, o que, obviamente não é. A saída? Bem, a saída é descobrir uma tabela que contenha dados mais finamente espaçados ou o uso de um programa de computador. De qualquer modo, vale a ilustração e as conclusões.

Comentários:

1 - Pressão de saturação é a pressão na qual a vaporização acontecerá naquela temperatura, ou seja, haverá a mudança de fase

2 - Líquido Saturado é aquele que está na temperatura e na pressão de saturação. Tem título igual a 0, pois ainda não há a formação de vapor. Note que o volume específico do líquido saturado varia muito pouco com a temperatura.

3 - Vapor Saturado ou Vapor Saturado Seco é aquele que está na temperatura e na pressão de saturação. Tem título igual a 1, pois está isento de umidade, isto é, não há mais líquido presente.

4 - Como o processo de interpolação é linear, há várias maneiras de se fazer a interpolação. Veja uma outra possibilidade:

Os resultados são idênticos, como se pode concluir.

Exercícios: 1 - A tabela apresentada a seguir fornece valores do volume específico do vapor de águapara diferentes temperaturas, referentes a duas pressões. Frequentemente sãonecessários valores do volume específico a temperaturas e pressões que não figuram natabela, tendo-se que recorrer a uma interpolação linear para os obter. Assim, usando os

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dados da tabela calcule:a) o volume específico para θ= 200ºC e P=0,113 MPab) a temperatura para P=0,12 MPa e v=1,85 m3/kgc) a temperatura para P=0,11 MPa e v=2,20 m3/kg.

(pode consultar tabela de água no site WWW.ind.ufrj.br/http://146.164.33.61/termo/apostila%20termo%2007/ Arquivo:Tabela de propriedades termodinâmicas22.xls)

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