term odin a mica

Universidade do Vale do Paraba

Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo

APOSTILA DE TERMODINAMICA

Profa. Dra. Angela Krabbe

Prof. Dr. Caius Selhorst

Ao Aluno

Esta apostila sera elaborada ao longo da disciplina de Termodinamica, ministrada noscursos das Engenharias da Univap.

A apostila sera uma compilacao das notas de aula que estarao fundamentadas noslivros listados na bibliografia recomendada.

Estas notas de aula nao substituirao o uso dos livros textos, mas poderao auxilia-lo noentendimento dos conteudos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livrosseja utilizado para uma melhor compreensao dos conteudos desse curso.

Sao Jose dos Campos - 2013

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Sumario

1 Temperatura 31.1 Temperatura e Equilbrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Escalas de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Escala Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Escala Celsius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Escala Fahrenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Dilatacao Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Teoria Cinetica dos Gases 112.1 O Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Massa Molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Propriedades Moleculares dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Uma visao molecular da pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Trajetoria Livre Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Distribuicao das velocidades moleculares . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.4 Distribuicao das Energias moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Primeira Lei da Termodinamica 263.1 A absorcao de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Primeira Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Calor especfico molar de um gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Volume constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Pressao Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Mecanismos de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.1 Conducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.2 Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Maquinas Termicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinamica 414.0.3 Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.0.4 Processos reversveis e irreversveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.0.5 Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.0.6 A maquina de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

Captulo 1

Temperatura

A termodinamica a ciencia da energia no contexto mais amplo surgiu lado a ladocom a revolucao industrial em decorrencia do estudo sistematico sobre a conversao deenergia termica em movimento e trabalho mecanico. Da o nome termo + dinamica.De fato, a analise de motores e geradores de varios tipos permanece sendo o foco datermodinamica para a engenharia. Porem, como ciencia, a termodinamica agora se estendea todas as formas de conversao de energia, incluindo as que envolvem os organismos vivos.Por exemplo:

Motores convertem energia dos combustveis em energia mecanica de pistoes, engre-nagens e rodas de movimento;

Celulas de combustvel convertem energia qumica em energia eletrica; Celulas fotovoltaicas convertem energia eletromagnetica da luz em energia eletrica; Organismos convertem energia qumica dos alimentos em uma variedade de outras

formas de energia, incluindo energia cinetica, energia sonora e energia termica;

1.1 Temperatura e Equilbrio termico

O conceito central da termodinamica e a temperatura. Estamos tao familiarizados comessa palavra que temos a tendencia de sermos excessivamente confiantes. Comecaremoscom a ideia do senso comum de que a temperatura seja uma medida de quao quenteoufrioesta um sistema. Essa sensacao de temperaturanem sempre e confiavel.

Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrimao de ferro parece estar maisfrio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de ambos estarem amesma temperatura. Por que? Esse erro na nossa percepcao ocorre porque o ferro removeenergia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira. Portanto, vamos entendero conceito de temperatura mais profundamente.

Suponha que tivessemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato como outro e isolados de influencias externas. Voce poderia perceber que o corpo mais quenteiria se esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, voceperceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partirdesse momento, as temperaturas dos corpos nao sofrerao alteracoes, isto e, eles atingiraouma situacao final, denominada estado de equilbrio termico.

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1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA Temperatura

LEI ZERO DA TERMODINAMICA - Se cada um dos sistemas A e B estaem equilbrio termico com um terceiro sistema C, entao A e B estao em equilbriotermico entre si.

Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero e: Todo corpo possui umapropriedade chamada temperatura.

A lei zero surgiu no seculo XX, na decada de 1930, muito depois da primeira e segundaleis da termodinamica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito detemperatura, a qual e fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um numerode ordem menor para designa-la.

1.2 Escalas de Temperatura

A temperatura e uma das sete grandezas basicas do S.I. e esta relacionada a` energiatermica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma grandezafsica, e necessario que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito quantitativodesta grandeza. Esta medida e feita com termometros.

1.2.1 Escala Kelvin

A escala que universalmente adotada em fsica e a escala Kelvin, na qual o zero daescala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absolutoda temperatura.

A escala Kelvin e calibrada no chamado ponto trplice da agua, na qual o gelo, agualquida e vapor dagua coexistem em equilbrio termico e vale exatamente:

T3 = 273, 16K (1.1)

1.2.2 Escala Celsius

O grau Celsius (C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em home-nagem ao astronomo sueco Anders Celsius (17011744), que foi o primeiro a propo-la em1742. Esta e utilizada em quase todos os pases do mundo para as medidas do dia a diae comerciais.

Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibracao:

o ponto de congelamento da agua corresponde - 0C o ponto de ebulicao da agua - 100 CEnquanto que os valores de congelacao e evaporacao da agua estao aproximadamente

corretos, a definicao original nao e apropriada como um padrao formal: ela depende dadefinicao de pressao atmosferica padrao, que por sua vez depende da propria definicao detemperatura. A definicao oficial atual de grau Celsius define 0,01 C como o ponto triploda agua, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da diferenca de temperatura entre o pontotriplo da agua e o zero absoluto. Esta definicao garante que 1 grau Celsius apresenta amesma variacao de temperatura que 1 kelvin.

4


A temperatura na escala Celsius Tc em termos da escala Kelvin e dada pela equacao:

Tc = T 273, 15C (1.2)

1.2.3 Escala Fahrenheit

A escala Fahrenheit tambem foi originalmente baseada em dois pontos fixos:

o ponto de congelamento da agua corresponde - 32F o ponto de ebulicao da agua - 212 F

A Fig.1.1 mostra as relacoes entre as essas tres escalas de temperatura.Transformando F para C:

Tc 0100 0 =

TF 32212 32

Tc100

=TF 32

180

Tc =5

9(TF 32) (1.3)

Transformando F para K:

T 273373 273 =

TF 32212 32

T 273100

=TF 32

180

T 273 = 59

(TF 32)

T =5

9(TF 32) + 273 (1.4)

5


Figura 1.1: Escalas de Temperatura

Exerccios

1. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem? R: -40

2. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem? R: 574,25

3. A resistencia de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entreo ponto trplice da agua e o ponto de ebulicao da agua na pressao atmosferica. Quala temperatura medida por este termometro para o ponto de ebulicao normal daagua? R: 380,2K

4. Voce deve se preocupar se o seu medico lhe disser que a sua temperatura e de 310K? Explique sua resposta. R: 36,85 C

5. A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit e igual a :

(a) duas vezes a da escala Celsius? R: 320 F

(b) metade da escala Celsius? R: -12 F

6. Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71 C. Quetemperatura e esta na escala Fahrenheit e Kelvin? R: 202,15 K; -95,8 F

7. Suponha que voce encontre antigas anotacoes cientficas que descrevem uma escalade temperatura chamada Z, na qual o ponto de ebulicao da agua e 65 Z e o ponto decongelamento e de -14Z. A que temperatura na escala Farenheit uma temperaturaT= -98,0Z corresponderia? R: F=-159,4 F

8. Supondo que em um livro de fsica muito antigo voce encontre a referencia a umaescala P, cujos pontos fixos eram -20 P para a fusao do gelo e 130 P para a aguaem ebulicao. Determine: (a) a relacao entre a escala Celsius e essa escala e (b) atemperatura em graus Celsius que corresponde a 70 P. R: - - ; 60 C

9. Para medir a febre de pacientes, um estudante de medicina criou sua propria escalalinear de temperatura. Nessa nova escala, os valores 0 e 10 correspondem, respec-tivamente, a 37C e 40C. Qual a temperatura em que o valor numero de ambasescalas coincidem? R: T 52,9 C

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1.3. DILATACAO TERMICA Temperatura

Figura 1.2: Trilhos ferroviarios deformados por causa da expansao termica.

1.3 Dilatacao Termica

Praticamente todas as substancias, sejam solidas, lquidas ou gasosas, dilatam-se como aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura e diminuda e o efeitoda variacao de temperatura, especialmente a dilatacao, tem muitas implicacoes na vidadiaria. A dilatacao termica de um solido sugere um aumento da separacao media entreos atomos do solido.

Voce ja deve ter notado um espacamento nos blocos de concreto das ruas e avenidas,bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse espacamento e necessariojustamente por causa da dilatacao que os materiais sofrem.

Tambem em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo, paraabrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma.

O controle da temperatura feito atraves de termostatos com laminas bimetalicas, utili-zadas no ferro eletrico e em termopares que sao os dispositivos que constam em automoveise outros tipos de termometros, ocorre com base na dilatacao de certos materiais.

Dilatacao Linear

Se a temperatura de uma haste metalica de comprimento L for elevada de uma quan-tidade T , verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade

L = LT, (1.5)

onde e uma constante chamada de coeficiente de expansao linear de um dadomaterial.

Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quandoaquecido de 0C a 30 C? Dado: Ferro = 12106(C)1.

L = LT = 12 106(C)110m (30C0C) = 0, 0036m = 3, 6mm. (1.6)

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Dilatacao Superficial e Volumetrica

Para muitos solidos os coeficientes de dilatacao sao os mesmos nas diversas dimensoes(dilatacao isotropica). Considerando que uma placa de dimensoes L01 e L02 para umadada temperatura inicial Ti sofra dilatacao para L1 e L2 quando variamos a temperaturaem T .

Sendo T = LL0

muito menor que 1 (T (T )2, podemos assim desconsiderar o termo(T )2

A = A0(1 + 2T )

A = A0 + 2A0T

A A0 = 2A0T

8


A = 2A0T (1.14)

O mesmo procedimento pode ser feito em relacao a` dilatacao volumetrica dos solidos,chegando a equacao

V = 3V0T (1.15)

Tambem e possvel deduzir essa relacao usando o calculo diferencial. Consideremosum cubo de um material com um lado L e volume V = L3. Na temperatura inicial, osvalores sao L0 e V0. Quando a temperatura aumenta de dT , a aresta aumenta de dL, e ovolume aumenta uma quantidade dV dada por

dV =dV

dLdL = 3L2dL (1.16)

Substitumos agora L e V pelos valores iniciais L0 e V0. Conforme a equacao 1.5, dLe dado por

dL = L0dL (1.17)

Como V0 = L30, podemos expressar dV do seguinte modo

dV = 3L20L0dT = 3V0dT (1.18)

O comportamento incomum da agua

Lquidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e temcoeficientes medios de expansao de volume dez vezes maiores do que dos solidos. A aguafria e uma excecao a` regra, como voce pode ver a partir da curva de densidade versustemperatura, mostrada na Fig. 1.3. Conforme a temperatura aumenta de C a 4C, aagua se contrai e, entao, sua densidade aumenta. Acima de 4C, a agua se expande com oaumento de temperatura e, entao, sua densidade diminui. Portanto, a densidade da aguaatinge um valor maximo de 1 g/cm3 a 4C.

Podemos usar esse comportamento incomum de expansao termica da agua para expli-car por que uma lagoa comeca a congelar na superfcie em vez de no fundo. Quando atemperatura do ar cai de, por exemplo, 7C para 6C, a agua da superfcie tambem esfriae, consequentemente, diminui em volume. A agua da superfcie e mais densa que abaixoda superfcie, que nao esfriou e diminui em volume. Como resultado, a agua da superfcieafunda, e a mais quente do fundo se move para a superfcie. Quando a temperatura doar esta entre 4C e 0C, no entanto, a agua da superfcie se expande a` medida que esfria,ficando menos densa que a abaixo da superfcie. O processo de mistura para, e eventual-mente a agua da superfcie congela. A` medida que a agua congela, o gelo permanece nasuperfcie, porque e menos denso que a agua. O gelo continua a se acumular na superfcie,enquanto a agua perto do fundo permanece a 4C. Se nao fosse esse o caso, peixes e outrasformas de vida marinha nao sobreviveriam.

9


Figura 1.3: Variacao na densidade da agua a` pressao atmosferica com a temperatua.

Exerccios

1. Uma regua metrica de aco esta para ter a sua marcacao gravada e deseja-se que osintervalos de milmetros apresentem uma exatidao de 5 105 a uma determinadatemperatura. Qual e a variacao maxima da temperatura que pode ocorrer durantea gravacao? Dado: aco = 11 106(C)1 R: 4,54 C

2. Uma barra feita com uma liga de alumnio mede 10 cm a 20 C e 10,015 cm noponto de ebulicao da agua. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamentoda agua? (b) Qual e a sua temperatura, se o seu comprimento e de 10,009 cm? R:(a) 9,99625cm; (b) 68C

3. Um furo circular em uma placa de alumnio possui um diametro de 2,725 cm a 12C. Qual o diametro do furo quando a temperatura da placa e aumentada ate 140C? Dado: Al = 23 106(C)1 R: 2,733cm

4. Um cubo de latao tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua area superficial, sea temperatura subir de 20 para 75 C? Dado: latao = 19 106(C)1. R: 11, 29cm2

5. Uma barra de aco a 25 C tem 3 cm de diametro. Um anel de latao tem diametro in-terior de 2,992 cm a 25 C. A que temperatura comum o anel se ajustara exatamentea barra? R: 361 C.

6. O comprimento de um fio de alumnio e de 40 m a 20 C. Sabendo-se que o fio eaquecido ate 60 C e que o coeficiente de dilatacao termica linear do alumnio e24 106(C)1, determine: (a) a dilatacao do fio e (b) o comprimento final do fio.R: 0,0384 m; R: 40,0384 m

7. Uma placa retangular de alumnio tem area de 40 cm2 a 0 C. Calcule a area finalda placa a (a) 50 C e (b) -20 C. R: 40,096 cm2; R: 39,9616 cm2

8. Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de base 4 cm2 e comprimento1 m a` temperatura de 68 F. Determine o comprimento e o volume dessa barra a`temperatua de 518 F. Considere estanho = 20.106C1. R: 100,5 cm; 406 cm3

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Captulo 2

Teoria Cinetica dos Gases

2.1 O Gas Ideal

A equacao de expansao de volume V = 3V0T e baseada na suposicao de que omaterial tem volume inicial Vi antes que a variacao na temperatura ocorra. Esse e o casopara lquidos e solidos, porque tem volume fixo a certa temperatura.

Para gases, o caso e completamente diferente. As forcas interatomicas dentro dosgases sao muito fracas, e, em muitos casos podemos imagina-las como nao existentes e,ainda assim, fazer boas aproximacoes. Portanto, nao ha separacao de equilbrio para osatomos e nenhum volume padrao a certa temperatura; o volume depende do tamanhodo recipiente. Como resultado, nao podemos expressar variacoes no volume V em umprocesso em um gas com a equacao 1.15.

Para um gas e util saber as quantidades volume V , pressao p e temperatura T serelacionam para uma amostra de gas de massa m. Em geral, a equacao que relacionaessas quantidades, chamada equacao de estado e muito complicada. Se o gas e mantidoa uma pressao muito baixa (ou massa especfica baixa), no entanto, a equacao de estadoe bastante simples, e pode ser determinada a partir de resultados experimentais. Um gasde densidade tao baixa e geralmente chamado de gas ideal.

Gas ideal e um gas cujas propriedades representam o comportamento limite de gasesreais com massas especficas suficientemente baixas.

O gas ideal e uma abstracao, mas e uma abstracao util porque:

1. Gases reais - com massas especficas suficientemente baixas apresentam um com-portamento proximos de um gas ideal;

2. as propriedades termodinamicas de um gas ideal estao relacionados entre si atravesde uma forma simples.

Atraves de experimentos desenvolvidos em laboratorio com gases reais descobriu-seque as suas pressoes p , volume V , e temperatura T estao estao relacionadas por

pV = NkT (2.1)

Aqui N e o numero de moleculas contidas no volume V e k e uma constante chamadaconstante de Boltzman. O seu valor medido e:

11

2.1. O GAS IDEAL Teoria Cinetica dos Gases

k = 1, 38 1023J/KA temperatura T na equacao acima sera sempre expressa em Kelvins.Frequentemente e util expressar a quantidade de gas em termos do numero de mols n:

n =N

NA

onde NA e a constante de Avogrado, isto e, o numero de moleculas contidas em um molde qualquer substancia. O cientista italiano Amadeo Avogrado (1776-1856) sugeriu quetodos os gases contem o mesmo numero de atomos ou moleculas quando eles ocupamo mesmo volume sob as mesmas condicoes de temperatura e pressao. O seu valor eNA = 6, 02 times10

23 moleculas/molO mol e uma das sete unidades de base do SI e e definido como o numero de atomos

em uma amostra de 12 g de carbono-12.Em termos de numero de mols, pode-se escrever a equacao 2.1 como

pV = nRT (2.2)

ondeR = k/NA e uma constante, chamada constante molar do gas. O seu valor eR = 8, 31J/mol K.

Considerando somente gases contidos em recipientes lacrados, o numero de mols (e onumero de moleculas) nao mudara durante um problema deste tipo. Neste caso,

pV = nRT = constante (2.3)

Se o gas estiver inicialmente no estado i, caracterizado pelas variaveis de estado pi,Vi, e Ti, e em algum momento posterior estiver em outro estado final f , as variaveis deestado para esses dois estados estarao relacionadas por :

pfVfTf

=piViTi

(2.4)

2.1.1 Massa Molar

A massa de uma molecula e determinada somando-se as massas dos atomos consti-tuintes da molecula. As massas atomicas sao geralmente fornecidas em unidades de u.Por exemplo, a massa de uma molecula de dioxido de enxofre (SO2) e

m(SO2) = m(S) + 2 m(O)= 32, 1u+ 2 (16, 0u)= 64, 1u

onde: 1u = 1, 661 1024 g ou 1, 661 1027 kg.Como muitas vezes descrevemos um gas em termos do numero de mols (n), podemos

fazer o mesmo com a massa de uma molecula e calcular a chamada massa molar M , aqual e simplesmente a massa da molecula multiplicada pelo numero de moleculas por mol

12

2.1. O GAS IDEAL Teoria Cinetica dos Gases

M = m NAA massa molar, medida em gramas e numericamente igual a` massa molecular, medida

em u. Assim, a massa molar do SO2 e

M = 64, 1 g/mol = 0, 0641 kg/mol.

Exerccios

1. Um cilindro isolado com um embolo montado contem oxigenio a uma temperaturade 20C e uma pressao de 15 atm em um volume de 22 litros. O embolo e baixado,diminuindo o volume do gas para 16 litros e, simultaneamente, a temperatura eaumentada para 25C. Supondo que o oxigenio comporta-se como um gas ideal sobestas condicoes, qual e a pressao final do gas? R : pf = 21atm

2. (a) Calcule o volume ocupado por 1 mol de um gas ideal em condicoes normais, istoe, pressao de 1 atm e temperatura de 0C. R : V = 2,246 102m3 = 22,46l(b) Mostre que o numero de moleculas por cm3 em condicoes normais e 2, 681019.

3. O melhor vacuo que pode ser obtido em laboratorio corresponde a uma pressao deaproximadamente 1018 atm, ou, ou 1, 01 1013 Pa. Quantas moleculas existempor cm3 neste vacuo a 22 C. R : N = 22,8 moleculas

4. Uma quantidade de gas ideal ocupa um volume de 2,47 m3 a 12,0 C e a 108 kPa.(a) Quantos mols do gas estao presentes? R : n = 112,64 mols(b) Se a pressao e aumentada para 316 kPa e a temperatura e aumentada para 31,0C, qual e o novo volume ocupado pelo gas? R : Vf = 0,900m3

5. Gas oxigenio com volume de 1130 cm3 a 42,0 C e a uma pressao de 101 kPa expandeate que o seu volume seja 1530 cm3e sua pressao seja 106 kPa. Determine

(a) o numero de mols de oxigenio no sistema. R : n = 0,044 mols(b) a sua temperatura final. Tf = 447,62K

6. Certa massa gasosa sob pressao de 3 atm ocupa um volume de 20 l a temperatura de27 C. Determine: (a) o volume ocupado pelo gas a 127 C, sob a mesma pressao.R :26,7litros(b) a pressao que o gas exerce C quando ocupa o volume de 40 l. R : 1,5litros(c) em que temperatura o volume de 20 l do gas exerce a pressao de 5 atm. R : 500K

7. Uma seringa de injecao com o embolo na marca de 20 cm3, a` temperatura ambientede 27 C e a` pressao de 1,0 . 105 Pa, e vedado e colocado em um freezer a -13 C.Verifica-se que, ao atingir o equilbrio termico, o embolo esta na marca de 18 cm3.Determine nesas condicoes a pressao do ar aprisionado na seringa. R : 9,6.104Pa

8. Um freezer, regulado para manter a temperatura em seu interior a -10 C, foi ligadoquando a temperatura ambiente estava 30 C. Calcule a pressao em seu interior aposcerto tempo de funcionamento. R : 0,87atm

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2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cinetica dos Gases

2.2 Propriedades Moleculares dos Gases

Nesta secao estudaremos o modelo de gas ideal do ponto de vista microscopico. Cons-truiremos um modelo estrutural de um gas mantido em um recipiente. A estrutura ma-tematica e as previsoes feitas por este modelo constituem a teoria cinetica dos gases.

Em nosso modelo estrutural, faremos as seguintes suposicoes:

1. O numero de moleculas no gas e alto e a separacao media entre elas e grande quandocomparada com suas dimensoes.

2. As moleculas obedecem a`s leis do movimento de Newton, mas, como um todo semovem aleatoriamente.

3. As moleculas interagem somente por meio de forcas de curto alcance durante colisoeselasticas.

4. As moleculas fazem colisoes elasticas com as paredes.

5. O gas ideal em consideracao e uma substancia puras, isto e, todas as moleculas saoidenticas.

2.2.1 Uma visao molecular da pressao

Considere que as N moleculas de um gas ideal estejam confinadas em um recipientecubico de lado L, conforme mostra a figura 2.1.

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 4

As molculas desse gs esto continu-amente colidindo com as paredes do recipi-ente. Vamos analisar especificamente a co-liso de uma molcula, que se dirige paracolidir com a parede do recipiente paralelaao plano yz e que passa pela origem.Quando ela colide com a parede, no acon-

- mvx x

+mvx

tecer mudana nas componentes y e zdo momento linear, mas a componente xdo momento linear mudar de sinal, aconte-cer uma reverso neste movimento. Esta-mos considerando que as colises soperfeitamente elsticas. A variao do mo-mento dever-se- apenas a mudana dacomponente x .

!p = pf pi = mvx (-mvx) = 2mvx

Sejam A1 e A2 as paredes do cuboperpendiculares ao eixo x . A molcula vaicolidir com a face A1 e levar um intervalo

y

A2 A1

x

z

de tempo !t para colidir com a face oposta A2 e depois colidir novamente com A1 .O tempo t necessrio para essa molcula ir de uma face at outra dado por

t=L/vx , e desse modo:

Xv

Ltt

22 ==!

A variao do momento linear de uma molcula, num intervalo !t entre duas coli-ses com a mesma face do recipiente dada por:

L

mv

vL

mv

t

p X

X

XX

2

/2

2==

!

!

A equao anterior nos d a fora que uma molcula exerce na face considerada.Para se encontrar a fora total exercida por todas as molculas, devemos considerar ascontribuies de todas as N molculas:

( )22 22 1 XNXXX vvvL

mF +++= !

A presso que essas molculas exercero depender da fora mdia e ser dadapor:

( )22 22 132 XNXXX

vvvL

m

L

Fp +++== !

onde estamos representando o valor mdio de uma grandeza A por . Como asmolculas no so distinguveis, os valores mdios das componentes x de cada umadas molculas so iguais, ou seja:

Figura 2.1: Choque elastico de uma partculas contra as paredes do recipiente cubico.

Vamos nos concentrar na analise de uma unica molecula de massa m, cuja velocidade~v pode ser decomposta segundo as componentes vx, vy e vz. Quando essa molecula atingea face A1 do cubo mostrado na figura 2.1, ela rebate com componente de velocidade nadirecao x invertida, uma vez que todas as colisoes sao admitidas como elasticas, isto e,

14


vx vx.Nao havera qualquer efeito sobre vy ou vz, de modo que a variacao da quantidade de

movimento linear da molecula possui apenas uma componente na direcao x, expressa por

(Quantidade de movimento final) (Quantidade de movimento inicial) =(mvx) (mvx) =

2mvxUma vez que a quantidade de movimento linear total e conservada durante a colisao,

a quantidade de movimento linear atribuda a` sua area A1 e +2mvx .Suponha que essa molecula atinja a area A2 sem colidir com qualquer outra molecula

ao longo de sua trajetoria. O tempo necessaria para cruzar o cubo e

t =L

vx.

Em A2 ela novamente possui componente de velocidade na direcao x invertida, re-tornando para A1. Admitindo que nao haja colisao com outra molecula, a trajetoriacompleta leva um tempo igual a

t =2L

vx,

que e o tempo entre as colisoes com a superfcie A1. A forca impulsiva media exercidapor essa molecula sobre A1 e igual a` quantidade de movimento transferida dividida pelointervalo de tempo entre as transferencias, isto e,

Fx =2mvx2L/vx

=mv2xL

.

Para obter a forca total sobre A1, deve-se somar as quantidadesmv2xL

para todas asmoleculas

Fx =m

L(v21x + v

22x + v

23x + ...).

Em seguida, para obter a pressao, divide-se essa forca pela area A1, ou seja, L2. A

pressao e, portanto,

p =Fx

area=

m(v21x+v22x+v

23x+...)

L

L2

=m

L3(v21x + v

22x + v

23x + ...).

Se N e o numero total de moleculas do recipiente, entao Nm e a massa total, e amassa especfica () sera dada por

=Nm

L3,

assim,m

L3=

N

15


e

p =

(v21x + v

22x + v

23x + ...

N

).

A quantidade entre parenteses e o valor medio de v2x para as moleculas do recipiente,que sera representada por (v2x)med. Assim,

p = (v2x)med.

Para qualquer molecula,v2 = v2x + v

2y + v

2z .

Uma vez que existem muitas moleculas e tendo em vista que elas se movem de formatotalmente aleatoria, os valores medios de v2x, v

2y e v

2z sao identicos, e o valor de cada um

e exatamente um terco do valor medio de v2. Logo,

(v2x)med =(v2)med

3

assim,

p =1

3(v2)med.

A raiz quadrada de (v2)med e chamada velocidade media quadratica das moleculas, evale

vrms =

(v2)med

vrms =

3p

.

Exerccios

1. Verifica-se que cinco moleculas escolhidas ao acaso possuem velocidades de 500, 600,700, 800 e 900m/s.(a) Ache sua velocidade media. R : vmed = 700m/s(b) Qual a velocidade media quadratica das moleculas? R : vrms = 714m/s

2. Calcule a velocidade media quadratica das moleculas de hidrogenio na temperaturade 0,00C e a uma pressao de 1,00atm, admitindo que o hidrogenio seja um gasideal. Nessas condicoes, o hidrogenio possui massa especfica de 8, 99 102 kg/m3.R : vrms = 1836m/s

3. Um recipiente cubico possui 10cm de lado e contem oxigenio a uma pressao de1,0atm e uma temperatura de 300K.(a) Quantos mols de oxigenio estao presentes no interior do recipiente?R : n = 0,041 mols(b) Quantas moleculas? R : N = 2,5 1022moleculas

4. Uma massa gasosa ocupa um volume de 20 l, em condicoes normais de pressao etemperatura. Se a pressao sobre o gas for dobrada e sua temperatura for elevadaate atingir um valor de 1040 F, qual o volume que esse gas ocupara? R: V 30,5l

16


2.2.2 Trajetoria Livre Media

v.t

(a)

(b)

(c)

v.!t

Figura 2.2: a) Choque entre duas moleculas identicas de diametro d. b) Descricao alter-nativa: choque entre uma molecula com diametro 2d e outra pontual. c) Cilindro geradopelo deslocamento da partcula de diametro 2d.

Entre colisoes sucessivas, o movimento de uma molecula de um gas ideal e retilneo euniforme. A distancia media que uma molecula percorre entre duas colisoes sucessivas echamada trajetoria livre media.

Se tivermos duas moleculas de diametro d, ocorrera uma colisao quando seus centrosse aproximarem de uma distancia d (Figura 2.2a).

Uma descricao equivalente das colisoes entre moleculas consiste em considerar umadelas pontual e a outra com diametro 2d, pois a colisao ocorrera quando os seus centrosse aproximarem de uma distancia d (Figura 2.2b), assim como na situacao anterior.

Se estivermos observando uma molecula nas suas multiplas colisoes, podemos consi-derar que ela tem um diametro 2d e as outras sao pontuais.

Em um intervalo de tempo t, a molecula maior percorre um cilindro cuja area desecao transversal e pid2, o comprimento e Lcil = v t, onde v e a velocidade da molecula(Figura 2.2c). O volume do cilindro sera:

Vcil = area da base comprimentoVcil = pid

2 v tConsidere que o volume do recipiente no qual o gas esta confinado seja V e que o

recipiente contenha N moleculas. Assim, o numero de moleculas pontuais no cilindro e

Ncil = NVcilV

=Npid2vt

V

17


Uma vez que a molecula em movimento e as moleculas pontuais exercem forcas umassobre as outras, esse e tambem o numero de colisoes associadas a` moleculas em movimentono intervalo de tempo t.

A trajetoria livre media e a distancia total percorrida pela molecula em movimentono intervalo de tempo t, dividida pelo numero de colisoes ocorridas neste intervalo, ou

=LcilNcil

=vtV

Npid2vt

=V

Npid2

Esse resultado e apenas uma primeira aproximacao, pois ele se baseia na hipotese deque apenas uma molecula se move e que todas as outras estao em repouso.

Uma conclusao similar sobre a media pode ser obtida para o caso em que as moleculaspossuem velocidades diferentes. Um calculo completo, considerando a distribuicao realdas velocidades das moleculas fornece

vrelativa =

2 vmedia.

Como resultado, temos que a trajetoria livre media media e:

=V

2Npid2

ou, em termos da pressao p e temperatura T

=kT2ppid2

Exerccios

1. Quais sao (a) a trajetoria livre media e (b) a taxa media de colisoes para o nitrogenioa` temperatura ambiente (T = 300K) e a` pressao atmosferica (p = 1, 01 105Pa)?Uma molecula de nitrogenio possui diametro efetivo d = 3, 15 1010m e, para ascondicoes estabelecidas, uma velocidade media vmed = 478m/s.R: a) = 9,3 108m; b) taxa = 5,1 109 colisoes/segundo

2. A 2500 km acima da superfcie da Terra, a massa especfica e de aproximadamente1 molecula/cm3. Qual a trajetoria livre media prevista? Suponha o diametro mo-lecular igual a 2, 0 108cm. R: = 5,6 1012m

3. O livre percurso medio das moleculas de nitrogenio, a 0C e 1atm, e 0, 80105cm. Aesta temperatura e pressao ha 2, 7 1019 molecula/cm3. Qual o diametro molecular?R: 3,2 1010m

18


2.2.3 Distribuicao das velocidades moleculares

O fsico escoces James Clerk Maxwell (1831-1879) foi quem primeiro resolveu o pro-blema da distribuicao das velocidades em um gas contendo um grande numero de moleculas.A distribuicao de moleculas de Maxwell para uma amostra de gas com temperatura Tcontendo N moleculas, cada uma com massa m, e dada por

N(v) = 4piN

(m

2pikBT

)3/2v2emv

2/2kBT . (1)

A figura 2.3 mostra duas distribuicoes de velocidades para N = 105 moleculas denitrogenio (N2), considerando as temperaturas de 300K (curva azul) e 900K (curva la-ranja).

Figura 2.3: Exemplos da distribuicao das velocidades moleculares para o N2.

N(v) e o produto N(v) dv (adimensional) e fornece o numero de moleculas quepossuem velocidades na faixa de v a v+dv. Ao integrar os numeros de moleculas presentesentre v = 0 e v , devemos obter o numero total de moleculas do sistema (N). Istoe, deve ser verdadeira a equacao

N =

0

N(v) dv

Consequencias da Distribuicao de Velocidades

Pode-se obter muitas informacoes uteis a partir da equacao de distribuicao das velo-cidades moleculares (Eq. 1).

1. A velocidade mais provavel (vp): Essa e a velocidade para a qual (N(v)) apre-senta seu valor maximo. Esse valor pode ser obtido impondo

N(v)

dv= 0

19


e resolvendo para v. O resultado e

vp =

2kBT

mou vp =

2RT

M

2. A velocidade media (vmed): Para se obter a velocidade media das moleculas,adiciona-se todas as velocidades individuais e divide-se pelo numero de moleculas,isto e:

vmed =1

N

0

v N(v) dvO resultado e

vmed =

8kBT

pimou vmed =

8RT

piM

3. A velocidade media quadratica (vrms): Essa quantidade ja foi obtida no iniciodo captulo. Para obte-la a partir da equacao de distribuicao de velocidades, proce-demos conforme descrito no item anterior, exceto pelo fato de se obter o valor mediode v2, ou seja:

(v2)med =1

N

0

v2 N(v) dvEsta integracao resulta em

(v2)med =3kBT

m.

A velocidade media quadratica e igual a` raiz quadrada dessa quantidade, isto e,vrms =

(v2)med. Como resultado temos:

vmed =

3kBT

mou vmed =

3RT

M

4. A energia cinetica media de translacao por molecula (Ktrans): Devido a`hipotese de que o gas ideal e monoatomico, a energia cinetica de translacao e aunica forma de energia que a molecula pode possuir. Uma molecula pontual naopode possuir energia de rotacao e admite-se que nao hajam variacoes nas energiasinternas da molecula.

Para obtermos Ktrans, devemos, inicialmente, obter a energia cinetica de translacaototal do conjunto de N moleculas e, em seguida, dividi-la por N . A energia totalK e

K =1

2m(v21 + v

22 + ...+ v

2N)

K =1

2mN

(v21 + v22 + ...+ v

2N)

N

K =1

2mNv2rms

Substituindo v2rms = 3kBT/m, temos

K =3

2NkBT

Dividindo por N, teremos Ktrans

Ktrans =3

2kBT

20


Exerccios

1. As velocidades de dez partculas em m/s sao:

0,0; 1,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0 e 6,0.

Determine:

(a) a velocidade media; R: vmed = 3,1 m/s

(b) a velocidade media quadratica; R: vrms = 3,5 m/s

(c) a velocidade mais provavel. R: vp = 3,0 m/s

2. Um tanque de volume de 0, 300m3 contem 2 mols de gas Helio a 20, 0C. Supondoque o Helio comporta-se como um gas ideal, encontre:

(a) a energia interna total do gas. R: K = 7,30 103J(b) a energia media por molecula. R: Ktrans = 6,07 1021J

3. Calcule a massa de uma molecula de nitrogenio, N2. O peso molecular e 28 kg/kmol.R: 4,65x1026 kg

4. Quantos atomos de helio, He, existem em 2,0 g de helio? (M= 4kg/kmol para oHe.) R: 3,01.1023 kmol

5. Uma gotinha de mercurio tem um raio de 0,5 mm. Quantos atomos de mercurioexistem na gotinha? (Para Hg, M = 202 Kg/ kmol e = 13 600 kg/m3). R:2,1x1019

6. Quantas moleculas existem em 70 cm3 de benzeno? (Para o benzeno, = 0,88 g.cm3

e M = 78 kg/mol). R: 4,8 x 1023

7. Calcule a velocidade quadratica media de uma molecula de nitrogenio (M = 28kg/kmol) no ar, a OC. R: 490 m/s

8. Calcule as seguintes razoes para os gases hidrogenio (M=2kg/kmol) e nitrogenio(M=28 kg/kmol), a` mesma temperatura:

(a) (Ec)H/(Ec)N

(b) (vqm)H/(vqm)N

21


2.2.4 Distribuicao das Energias moleculares

Uma descricao alternativa do movimento das moleculas pode ser obtida observandoa distribuicao das energias ao inves da distribuicao das velocidades. Isto e, observandoa distribuicao de N(E), de modo que N(E) dE fornece o numero de moleculas comenergias entre E e E + dE.

Sendo o numero de moleculas com energias cineticas entre E e E + dE identico aonumero de moleculas com velocidades entre v e v + dv, matematicamente temos:

N(E) dE = N(v) dv,

N(E) = N(v) dvdE

(1)

Considerando que as moleculas possuam apenas energia cinetica, temos:

E =1

2mv2

v =

(2E

m

)1/2(2)

dv

dE=

1

2E1/2

(2

m

)1/2(3)

Dado: N(v) = 4piN

(m

2pikBT

)3/2v2emv

2/2kBT (4)

Substituindo as equacoes (2), (3) e (4) na equacao (1), temos:

N(E) =2Npi

1

(kBT )3/2E1/2eE/kBT (5)

A equacao (5) e a distribuicao das energias de Maxwell-Boltzmann. A partir destaequacao, pode-se calcular a fracao de moleculas de um gas que possuem energias entre Ee E + dE, que e expressa por

N(E)dE

N.

Conforme considerado anteriormente, N e o numero total de moleculas, e pode ser deter-minado por

N =

0

N(E) dE.

22


Lista de revisao I

1. Em um dia quando a temperatura alcanca 60 F, qual e a temperatura em grausCelsius e em kelvins? R:288,56 K e 15,56 C

2. O ouro tem ponto de fusao de 1.064 C e um ponto de ebulicao de 2.660 C. (a)Expresse estas temperaturas em graus Fahrenheit e kelvis. (b) Calcule a diferencaentre estas temperaturas nas 3 escalas termometricas utilizadas. R: (a) 1947,2 Fe 4820 F; 1337 K e 2933 K (b) =1596 C, 1596 K e 2872,8 F

3. A variacao diaria da temperatura da ponte Golden Gate em Sao Francisco podeexceder 20 C. O comprimento da ponte e de aproximadamente 2 km e ela e feitade aco ( = 1, 1105 C1). Qual e aproximadamente a variacao do comprimentoda ponte para esta variacao de temperatura? R: L = 44 cm

4. Um mastro de alumnio de uma bandeira possui 33 m de altura. De quanto aumentao seu comprimento quando a temperatura sobe 15 C? (Al = 2, 3 105 C1) R:L = 1,138 cm

5. Uma esfera oca de alumnio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a15 C. O coeficiente de dilatacao linear do alumnio e 2, 3 105 C1. De quantoscm3 varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobre para 40 C?

O volume da cavidade aumenta ou diminui? R: Vi = 7,23cm3

6. Uma barra retilnea e formada por uma parte de latao soldada em outra de aco. A20 C, o comprimento total da barra e 30 cm, dos quais 20 cm de latao e 10 cmde aco. Os coeficientes de dilatacao linear sao 1, 9 105 C1 para o latao e1, 1 105 C1 para o aco. Qual e o coeficiente de dilatacao linear da barra? R: = 1,63 105/C

7. O comprimento de uma haste, medido com uma regua de aco ( = 1, 1105 C1)a temperatura ambiente de 20 C, e igual a 20,05 cm. Em seguida, a haste e a reguasao colocadas em um forno a 270 C. Dentro deste forno, o comprimento da hastemedida com a mesma regua e de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatacao termicado material da haste. R: = 2,3 105/C. A haste e feita de alumnio.

8. Um gas ideal ocupa um volume de 100 cm3 a 20, 0 C e 100 Pa. (a) Encontreo numero de mols do gas no recipiente. (b) Quantas moleculas do gas estao norecipiente? R: n = 4,1 106 mols e N = 2,47 1018 moleculas

9. Massa especfica e massa dividida pelo volume. Se o volume V depende da tem-peratura, a massa especefica tambem depende. Mostre que a variacao na massaespecefica com uma variacao de temperatura T e dada por

= T,onde e o coeficiente de dilatacao volumetrica. Explique o sinal negativo.

10. Dado um tanque de helio com volume de 0, 100 m3 e pressao 150 atm. Quantosbaloes este tanque pode inflar se cada balao cheio for uma esfera de 0,300 m dediametro em uma pressao absoluta de 1,20 atm? R: 892 baloes

23


11. Um gas ideal e mantido em um recipiente de volume constante. Inicialmente, suatemperatura e 10, 0 C e sua pressao 2,50 atm. Qual sera sua pressao quando suatemperatura for 80, 0 C? R: p = 3,15 105 Pa

12. Um cilindro contem oxigenio e temperatura de 20 C, pressao de 15 atmosferas evolume de 100 litros. Um embolo e deslocado no cilindro de modo a diminuir ovolume do gas para 80 litros e aumentando sua temperatura para 25 C. Supondoque o oxigenio se comporte como gas ideal nestas condicoes, determinar sua pressaofinal. R: p= 19,07 atm

13. Sendo a velocidade quadratica media das moleculas de um gas dada por

vrms =

3p

,

encontre uma equacao que relacione a vrms com a temperatura (T ) e a massa molar

(M). R: vrms =(

3RTM

)1/214. A 0 C e a` pressao de 1, 000 atm a densidade do ar, do oxigenio e do nitrogenio sao,

respectivamente 1, 293 kg/m3, 1, 429 kg/m3 e 1, 251 kg/m3. Calcule a percentagemde nitrogenio no ar, a partir desses dados, supondo apenas a presenca destes doisultimos gases. R: 76,4 %

15. Em um perodo de 1, 00 s, 5, 00 1023 moleculas de nitrogenio atingem uma paredecom uma area de 8, 00 cm2. Se as moleculas deslocam-se com uma velocidadede 300 m/s e atingem a parede frontalmente em colisoes perfeitamente elasticas,qual a pressao exercida na parede? (A massa molecular de uma molecula de N2 e4, 68 1026 kg.) R: p=1,76 104 Pa

16. A massa da molecula de H2 e 3, 32 1024 g. Se 1023 moleculas de hidrogeniochocam-se por segundo contra 2, 0 cm2 de uma parede inclinada de 45 em relacaoa` direcao da velocidade, que vale 105 cm/s, qual e a pressao que elas exercem sobrea parede? R: p=2,35 103 Pa

17. Uma bolha de ar de 19, 4 cm3 de volume esta no fundo de um lago com 41,5 m deprofundidade, onde a temperatura e de 3, 80 C. A bolha sobe ate a superfcie, queesta a` temperatura de 22, 6 C. Considere que a temperatura da bolha e a mesmada agua a` sua volta e determine o seu volume no instante imediatamente anterior a`chegada da bolha a` superfcie. R: Vf = 106,7cm

3

18. A 273F e 1, 00 102 atm a densidade de um gas e de 1, 24 105 g/cm3. (a)Determinar a vrms para as moleculas do gas. (b) Determinar a massa molar do gas.R: (a) vrms = 494m/s; (b) 4,15 102 kg/mol

19. (a) Determinar o valor medio da energia cinetica das moleculas de um gas ideal a0, 00 C e a 100, 0 C. (b) Qual e a energia cinetica por mol de um gas ideal nessastemperaturas? (a)5,65 1021 J e 7,72 1021J; (b) 3401 J e 4647 J

20. (a) Quantos atomos de gas helio enchem um balao de 30, 0 cm de diametro a 20, 0 Ce 1,00 atm? (b) qual e a energia cinetica media dos atomos de helio? (c) Qual e a

24


velocidade media quadratica dos atomos de helio? R: (a) 3,531023 moleculas;(b) 6,07 1021 J; (c) 1,35 km/s

21. Um reservatorio de aco contem 315 g de amonia (NH3) a uma pressao absoluta de1, 35106 Pa e a uma temperatura de 77, 0 C. (a) Qual o volume desse reservatorio?(b) Faz-se uma verificacao posterior no reservatorio quando a temperatura diminuiupara 22 C e a pressao absoluta caiu para 8, 68 105 Pa. Quantos gramas de gasescapou do reservatorio? R: (a) 39,9 l; (b) 14,13 mols; (c) 74,71g

22. Nas CNTP (Condicoes Normais de Temperatura e Pressao - 0 C e 1,00 atm) atrajetoria livre media dos atomos no helio e de 285 nm. Determinar (a) o numerode moleculas por metro cubico e (b) o diametro efetivo dos atomos de helio. R: (a)2,68 1025 moleculas; (b) 1, 72 1010 m = 0,172nm

23. Um reservatorio cilndrico com 56,0 cm de comprimento e 12,5 cm de diametro,mantem 0,350 mols de gas nitrogenio a uma pressao de 2,05 atm. Determine avelocidade media quadratica (vrms) das moleculas de nitrogenio. R: 660m/s

24. A 2500 km acima da superfcie da Terra, a massa especfica e de aproximadamente1 molecula/cm3. Qual a trajetoria livre media? Suponha um diametro molecularigual a 2, 0 108 cm. R: 5,6 1012m

25. Calcule a velocidade media quadratica das moleculas de amonia (NH3) a 56, 0C.

Um atomo de nitrogenio possui uma massa de 2, 33 1026 kg e um atomo dehidrogenio possui massa de 1, 67 1027 kg. R: 694 m/s

26. A temperatura no espaco interestrelar e de 2,7 K. Determine a velocidade mediaquadratica das moleculas de hidrogenio a essa temperatura. R: 183 m/s

27. O livre percurso medio das moleculas de nitrogenio, a 0 C e 1 atm, e 0, 80 105 cm. A essa temperatura e pressao ha 2, 7 1019 moleculas/cm3. Qual odiametro molecular? R: 3,2 1010

28. Considere uma amostra de gas argonio a 35, 0 C e sob pressao de 1,22 atm. Suponhaque o raio de um atomo (esferico) de argonio seja de 0, 7101010 m. Calcule a fracaodo volume do recipiente que e realmente ocupada pelos atomos. R:4,34 105

29. Dez partculas se movem com a seguinte distribuicao de velocidades: quatro a200 m/s, duas a 500 m/s e quatro a 600 m/s. Calcule as velocidades media emedia quadratica. R: 458 m/s

25

Captulo 3

Primeira Lei da Termodinamica

Calor (Q) e a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhanca devido a umadiferenca de temperatura entre eles. Calor nao e uma propriedade dos sistemas termo-dinamicos, e por tal nao e correto afirmar que um corpo possui mais calor que outro, etao pouco e correto afirmar que um corpo possuicalor. O conceito de calor utilizadopela populacao, em senso comum, de forma nao cientfica, geralmente e apegado a` ideiado calorico. Assim, costuma-se ouvir casos como: que calor!, que frio!e outros. Per-cebemos que isso e errado uma vez que o termo calore a transicao de energia de umcorpo mais quente para um corpo mais frio.

Podemos transferir energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de TrabalhoW por meio de uma forca atuando sobre um sistema. Calor e trabalho , diferentementeda temperatura, da pressao e do volume, nao sao propriedades intrnsecas de um sistema.Eles possuem significado apenas quando descrevem a transferencia do ambiente para osistema. O calor e positivo quando energia se transfere do seu ambiente para umaenergia termica do sistema (dizemos que o calor e absorvido). O calor e negativo quandose transfere energia de uma energia termica do sistema para o seu ambiente (dizemos queo calor e liberado ou perdido). Essa transferencia de energia e mostrada na figura 3.1

Antes de os cientistas se darem conta de que o calor e energia transferida, o calorera medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da agua. Assim, acaloria (cal) foi definida como a quantidadade de calor que elevaria a temperatura de 1g de agua de 14,5 C para 15,5 C .

Em 1948, a comunidade cientfica decidiu que ja que o calor e energia transferida, aunidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o joule (J). Asrelacoes entre as varias unidades de calor sao:

1cal = 3, 969 103Btu = 4, 186J (3.1)

3.1 A absorcao de calor

Capacidade Calorfica

Quando certa quantidade de calor e transmitida para um corpo, na maioria dos casos suatemperatura aumenta. A propriedade fsica que define a quantidade de calor Q necessaria

26

3.1. A ABSORCAO DE CALOR Primeira Lei da Termodinamica

Figura 3.1: Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), osistema perde Calor (Q) para o ambiente ate que se estabeleca um equilbrio termico (b).(c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistemaabsorve calor ate se estabelecer o equilbrio termico.

para aquecer determinado material T e chamada capacidade termica, sendo definidamatematicamente como:

C =Q

Tou Q = CT (3.2)

Desse modo poderemos calcular a capacidade termica de 1 litro de agua, de 2 litros deagua, 1 litro de azeite, etc. A capacidade termica caracteriza o corpo, e nao a substanciaque o constitui. Dois corpos de massas e de substancias diferentes podem possuir a mesmacapacidade termica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma substancia possuemcapacidades termicas diferentes.

A grandeza que caracteriza uma substancia e o calor especfico.

Calor Especfico

E definido como sendo a quantidade de calor Q necessaria para elevar em 1oC a massa de1g de determinado material, ou seja:

c =Q

mT

27

3.1. A ABSORCAO DE CALOR Primeira Lei da Termodinamica

Q = mcT (3.3)

A unidade no SI e J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor especfico ecal/(g.C).

Calores de Transformacao

Como foi mencionado, uma substancia altera a sua temperatura quando ela troca calorcom a sua vizinhanca. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de calor emanter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 C e retirada docongelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 C. Esse materialira absorver calor da sua vizinhanca e transformar-se em agua a uma temperatura de 0C.No exemplo acima nao houve mudanca de temperatura, mas houve mudanca de estadofsico, do estado solido para o lquido.

A propriedade fsica que define a quantidade de calor (Q) necessaria para uma mudancade fase de uma massa m de determinada substancia e chamada calor latente, e e definidacomo

L =Q

m(3.4)

Q = Lm (3.5)

A unidade do calor latente e cal/g. Calor latente de fusao Lf e o termo usadoquando a mudanca de fase e do solido para o lquido (fundir significa combinar porderretimento), e o calor latente de vaporazicao Lv e o termo usado quando a mudancade fase e do lquido para o gasoso ( o lquido vaporiza). O calor latente de variassubstancias varia consideravelmente.

Exerccios

1. Em um episodio de gripe, um homem de 80 kg tem 39C de febre (cerca de 2C acima da temperatura normal de 37 C). Considerando que o corpo humano econstitudo essencialmente de agua, qual seria o calor necessario para produzir essavariacao de temperatura? Dado: c =1,00 cal/g C R: 160 kcal.

2. Calcule a energia necessaria para elevar a temperatura de 0,500 kg de agua por 3C . R: 1500 cal

3. Qual o calor especfico da agua no S.I.? 4190 J/kg K

4. A temperatura de uma peca de metal de 0,0500 kg e elevada para 200,0 C e entaoe colocada em um bequer isolado contendo 0,400 kg de agua inicialmente a 20 C.Se a temperatura final de equilbrio do sistema combinado for 22,4 C, descubra ocalor especfico do metal. Despreze as trocas de calor com o bequer. R: 0,108 cal/g C

28

3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinamica

Qagua +Qmetal = 0

5. Um estudante faz uma refeicao que contem 2000 kcal de energia. Ele deseja realizaruma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0kg. Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia?Considere que ele levanta o peso a uma distancia de 2,00 m cada vez. R: 8542 vezes

W = Ph = mgh

6. Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m = 720 g a-10C para leva-la ao estado lquido a 15 C? R: 71856 cal

7. Que massa de vapor dagua a 100 C deve ser misturada com 150 g de gelo no seuponto de fusao, em um recipiente isolado termicamente, para produzir agua lquidaa 50C? Dados: cagua = 1 cal/gC, Lf = 79, 5 cal/g, Lv = 539 cal/g R: 32,97 g

3.2 Trabalho

Nesta secao, olhamos com algum detalhe como a energia pode ser transferida na forma decalor (Q) e trabalho (W) entre um sistema e o seu ambiente. As grandezas Q e W nao saocaractersticas do estado de equilbrio do sistema, mas sim dos processos termodinamicospelos quais o sistema passa de um estado de equilbrio para outro. Desse modo, se osistema vai de um estado de equilbrio inicial i para outro estado de equilibrio final, pordois caminhos diferentes, para cada caminho ele tera um valor de (Q) e (W) especfico.Neste caso, Q e W sao definidos como:

Q = calor transferido para o sistema

W = trabalho realizado pelo sistema

Por exemplo, considere um solido ou um fluido em um cilindro com um pistao movel,como mostrado na Figura 3.2. Suponha que a secao reta do cilindro possua area A e quea pressao exercida pelo sistema sobre a face do pistao seja igual a P . A forca total Fexercida pelo sistema sobre o pistao e dada por F = PA. Quando o pistao se move umadistancia infinitesimal dx, o trabalho dW realizado por essa forca e

Figura 3.2: O trabalho infinitesimal realizado pelo sistema durante a pequena expansao

29

3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinamica

dW = Fdx = PAdx (3.6)

Porem,

Adx = dV (3.7)

onde dV e uma variacao infinitesimal do volume do sistema. Logo, o trabalho realizadopelo sistema durante essa variacao infinitesimal do volume e

dW = PdV (3.8)

Para uma variacao finita de volume entre o estado inicial e o final, temos

W =

V fV i

PdV (3.9)

Em geral, a pressao do sistema pode variar durante a variacao do volume. Esse e ocaso, por exemplo, dos cilindros de um motor de automovel quando os pistoes movem-separa frente e para tras. Para calcular a integral na equacao 3.9, devemos saber como apressao no sistema varia em funcao do volume. A figura 3.3 e representada graficamentepela area embaixo da curva de P em funcao de V entre os limites V1 e V2. O trabalho epositivo quando o sistema se expande (Fig. 3.3a). Quando um sistema e comprimido,seu volume diminui e ele realiza trabalho negativo sobre as vizinhancas.

Figura 3.3: O trabalho realizado e dado pela area embaixo da curva em um diagrama PV

Trabalho realizado a temperatura constante

Suponha que um gas ideal em um arranjo pistao-cilindro se expanda de um volume inicialVi ate um volume final Vf enquanto mantemos a temperatura T do gas constante. Umprocesso como este, em temperatura constante, e chamado de expansao isotermica e oinverso (quando o V se reduz pela compressao) e chamado de compressao isotermica.Neste caso, o trabalho e:

W = NKT lnVfVi

(3.10)

30

3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINAMICA Primeira Lei da Termodinamica

Trabalho realizado a pressao constante

W = p(Vf Vi) = pV (3.11)

Trabalho realizado a volume constante

W = 0 (3.12)

3.3 Primeira Lei da Termodinamica

Para o processo de compressao de gas em um cilindro, o trabalho realizado dependeda trajetoria especfica percorrida entre o estado inicial e o final, conforme sugerido naFigura 3.3. Existe sempre uma infinidade de caminhos possveis. A Figura 3.5 mostratres caminhos diferentes para ir do estado 1 para o estado 2.

Figura 3.4: O trabalho realizado pelo sistema durante uma transicao entre dois estadosdepende do caminho escolhido.

Define-se uma grandeza, chamada energia interna E, caraterizada pelos diversos tiposde energia possveis de existir em uma substancia quando ela esta em um determinadoestado.

No caso mais simples, de um gas monoatomico, a energia interna depende apenas domovimento dos atomos (energia cinetica de translacao).

A diferenca de energia interna entre os estados inicial e final Eint = Ef Ei e umagrandeza de grande importancia na termodinamica, porque independe do percurso usadopara ir de um estado para outro. Assim temos que:

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Eint = QW (3.13)

Podemos reagrupar a equacao anterior na forma

Q = Eint +W (3.14)

Esta e a Primeira Lei da Termodinamica, que e um princpio da conservacao daenergia para incluir a transferencia de energia sob forma de calor, assim como a realizacaode trabalho mecanico. A diferenca entre a quantidade de calor Q e o trabalho W en-volvidos em um percurso entre os estados inicial e final, depende apenas dos estados, efornece o mesmo valor independente do percurso escolhido.

Casos especiais da Primeira Lei da Termodinamica

1. Processos adiabaticos. Um processo adiabatico e um processo que ocorre taorapidamente ou ocorre em um sistema que esta tao bem isolado que nao ocorrenenhuma transferencia de energia na forma de calor entre o sistema e o seu ambiente.Num processo adiabatico, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodinamica:

Eint = W (3.15)

2. Processos a volume constante. Sao os chamados processos isovolumetricos.Usando a definicao de trabalho executado pelo sistema entre os estado inicial efinal, encontramos que:

Wif =

fi

PdV = 0 (3.16)

pois nao aconteceu variacao de volume. Atraves da Primeira Lei da Termodinamicaencontramos que:

Eint = Q (3.17)

3. Processos Cclicos. Num processo cclico o sistema passa por varias transformacoes,mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos queEi = Ef e portanto nao existe variacao de energia interna, logo:

Q = W (3.18)

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Exerccios

1. Calcule o trabalho realizado por um gas ideal que se expande isotermicamente desdeo volume inicial Vi ate o volume final Vf . R : Wif = NKT ln

VfVi

2. Um mol de oxigenio (suponha que ele seja um gas ideal) se expande a uma tempera-tura constante de T de 310 K de um volume inicial Vi de 12 l para um volume finalde Vf de 19 l. Qual o trabalho realizado pelo gas durante a expansao? R: 1180J

3. O diagrama PV da figura abaixo mostra uma serie de processos termodinamicos.No processo ab, 150 J de calor sao fornecidos ao sistema, e no processo bd, 600 J decalor sao fornecidos ao sitema. Calcule a) a variacao da energia interna no processoab, abd e acd R : Eint,ab = 150J,Eint,abd = 510J,Eint,acd = 600J

Figura 3.5: Um diagrama PV mostrando os diversos processos termodinamicos

4. Um sistema termodinamico e levado de um estado inicial A para um outro estadoB e de volta ao estado A, passando pelo estado C, como mostrado pela trajetoriaABCA no diagrama p V .(a) Complete a tabela da Figura abaixo preenchendo-a com + ou - para o sinal de

cada grandeza termodinamica associada com cada etapa do ciclo.

(b) Calcule o valor numerico do trabalho realizado pelo sistema para o clico ABCAcompleto.

R: -20 J

5. Quando um sistema e levado do estado i para o estado f ao longo da trajetoria iafna Figura abaixo, Q = 50 cal e W = 20 cal. Ao longo da trajetoria ibf , Q = 36 cal.

(a) Qual o valor de W ao longo da trajetoria ibf? R: 6 cal

(b) Se W = 13 cal para a trajetoria de volta fi, qual sera Q para esta trajetoria?R: -43 cal

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3.4. CALOR ESPECIFICO MOLAR DE UM GAS IDEALPrimeira Lei da Termodinamica

(c) Considere Eint,i = 10 cal. Qual e Eint,f? R: 40 cal

(d) Se Eint,b = 22cal, qual o valor de Q para a trajetoria ib e para a trajetoria bf?R: 18 cal

3.4 Calor especfico molar de um gas ideal

Energia Interna

A energia interna Eint de um gas monoatomico e funcao apenas da temperatura de umgas; ela nao depende de nenhuma outra variavel. Para um gas monoatomico, a energiainterna do gas ideal e simplesmente a soma das energias cineticas de translacao de seusatomos. Considerando uma amostra de n mols de um gas ideal e, a energia interna e dadapor:

Eint =3

2nRT (3.19)

3.4.1 Volume constante

A figura 3.6 mostra n moles de um gas ideal na pressao p e temperatura T , confinadosem um cilindro de volume fixo V . Este estado inicial i do gas esta marcado no diagrama

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p V . Suponha agora que voce adiciona uma pequena quantidade de energia ao gas soba forma de calor Q aumentando lentamente a temperatura do reservatorio termico. Atemperatura do gas se eleva de uma pequena quantidade para T + T , e a sua pressaose eleva para p+ p, levando o gas ao estado final f .

Figura 3.6: Processo a volume cosnatante em um diagrama p V .

O calor esta relacionado com a variacao de temperatura por :

Q = nCV T (volume constante) (3.20)

onde CV e uma constante chamada calor especfico molar a volume constante.Como o volume e mantido constante, o gas nao consegue se expandir e portanto nao

consegue realizar nenhum trabalho. Assim podemos escrever a Eint como:

Eint = nCV T (3.21)

Esta equacao nos diz que uma variacao na energia interna Eint de um gas ideal con-finado depende apenas da variacao de temperatura do gas; ela nao depende de qual tipode processo produz a variacao na temperatura.

3.4.2 Pressao Constante

Agora supomos que a temperatura do gas ideal e aumentada da mesma pequena quan-tidade T como antes, mas que a energia necessaria (calor Q) e adicionada com o gassujeito a pressao constante. Esse processo e mostrado na figura 3.7.

O calor esta relacionado com a variacao de temperatura por :

Q = nCpT (pressao constante) (3.22)

onde Cp e uma constante chamada calor especfico molar a pressao constante. EsteCp e maior do que o calor especfico molar a volume constante CV , pois agora deve-sefornecer energia nao apenas para elevar a temperatura do gas, mas tambem para que ogas realize trabalho.

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Figura 3.7: Processo a pressao constante em um diagrama pV . O trabalho pV e dadopela area sombreada.

Exerccios

1. Encontre os valores dos calores especficos molares para os casos isobarico e isovo-lumetrico para um gas ideal a partir da Primeira Lei da Termodinamica.R : Cv = 12,5J/mol K e Cp = 20,8J/mol K

2. Dado que as curvas do diagrama (p V ) abaixo representam variacoes isotermicas,e que as variacoes de energia Eab e Eac sao iguais, encontre uma relacao entreCV e Cp a partir da Primeira Lei da Termodinamica. R : Cp Cv

3. A partir da relacao para os gases ideais pV = constante, encontre uma relacaoentre V e T sejam as unicas variaveis R : TV1 = constante

4. Um cilindro contem 3 mols de gas helio a` temperatura de 300 K.

(a) Quanta energia deve ser transferida para o gas pelo calor para aumentar suatemperatura para 500 K se ele for aquecido a volume constante? R: 7479 J

(b) Quanta energia deve ser transferida para o gas pelo calor a pressao constantepara aumentar a temperatura para 500 K? R: 12465 J

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3.5. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinamica

5. Qual o trabalho realizado no exerccio anterior no processo isobarico? R: 4986 J

6. A mistura ar-combustvel no cilindro de um motor a diesel a 20 C e comprimidaa partir de uma pressao inicial de 1 atm e volume de 800 cm3 para um volume de60 cm3. Considerando que a mistura se comporta como um gas ideal com = 1, 40e a compressao e adiabatica, descubra a pressao e a temperatura finais da mistura.R: 826 K

3.5 Mecanismos de transferencia de calor

A transferencia de calor de um ponto a outro de um meio se da atraves de tres processosdiferentes: conveccao, radiacao e conducao.

Figura 3.8: Exemplos dos mecanismos de transferencia de calor.

A conveccao ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calore transferido pelo movimento do proprio fluido, que constitui uma corrente de conveccao.Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tendea subir sob o efeito gravitacional, sendo substitudo por um fluido mais frio, o que geranaturalmente correntes de conveccao. O borbulhar da agua fervente em uma panela e oresultado de correntes de conveccao.

A radiacao transfere calor de um ponto a outro atraves da radiacao eletromagnetica. Aradiacao termica e emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo podeaquece-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar e uma forma de aproveitamento da radiacao solar para a producao de calor. Um ferro em brasa emite radiacao termicae aquece a regiao que o rodeia.

A conducao de calor so pode acontecer atraves de um meio material, sem que hajamovimento do proprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios solidos sob o efeitode diferencas de temperatura.

3.5.1 Conducao

Considere um bloco cujo material tem espessura x e um corte transversal de area Acom as faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2, onde T2 > T1.

O bloco permite que a energia seja transferida da regiao de alta temperatura para ade baixa temperatura por meio da conducao termica. A taxa de transferencia de energia

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pelo calor

P = Qt

Fluxo de energiaT2>T1

!x

T2

T1

A

e proporcional a` area do corte transversal do bloco e a` diferenca de temperatura einversamente proporcional a` espessura do bloco:

P = Qt AT

x

Como cada material tem uma condutividade termica especfica, introduzimos a constantek na equacao, assim:

P = kATx

(Watts).

Resistencia Termica a` conducao (R)

Se voce estivesse interessado em isolar a sua casa ou em manter as latinhas de refri-gerante geladas em um piquinique, voce esta mais interessado em maus condutores decalor do que em bons condutores. Por esse motivo, o conceito de resistencia termica Rfoi introduzido na pratica de engenharia. O valor R de uma parede de espessura x edefinido como

R =x

k(3.23)

Quanto menor for a condutividade termica do material do qual uma parede e feita,maior sera o valor de R, assim algo que possua um alto valor R e um mau condutortermico, portanto um bom isolante termico.

A unidade normalmente usada para R (que nos Estados Unidos pelo menos, quasenunca e indicada e: ft2 F h/Btu.

Para uma barra composta contendo diversos materiais de espessuras x1,x2, ... econdutividade termicas k1, k2, ... a taxa de trasnferencia de energia pela barra no estadoestavel e

P =AT

R(3.24)

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3.5.2 Radiacao

Radiacao termica e a radiacao eletromagnetica emitida por um corpo em qualquer tem-peratura. A radiacao e uma forma de transmissao de calor pela qual um segundo corpopode absorver as ondas que se propagam pelo espaco em forma de energia eletromagneticaaumentando sua temperatura.

A taxa de emissao de energia de um corpo por meio da radiacao termica a partir desua superfcie e proporcional a` quarta potencia de sua temperatura superficial absoluta.Este princpio e conhecido como a Lei de Stefan e e expressa por:

P = AeT 4,

onde:P e a potencia irradiada pelo corpo (W); e a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5, 6696 108 W/(m2K4);A e a area da superfcie do corpo (m2);e e a emissividade;T a temperatura da superfcie do corpo (K).

Exerccios

1. Uma janela cuja area e de 2,0m2 e envidracada com vidro de espessura de 4,0 mm. Ajanela esta na parede de uma casa e a temperatura externa e 10 C . A temperaturano interior da casa e 25C. Quanta energia e transferida atraves da janela pelo calorem 1h? Dados: kvidro = 0, 8W/(m

C) R : 2,16 107 J2. O filamento de tungstenio de uma lampada de 100W irradia 2W de luz (os demais

98W sao carregados para fora por conveccao e conducao). O filamento tem areasuperficial de 0,250mm2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura dofilamento. R: 3491 K

3. Uma barra de ouro esa em contato termico com uma barra de prata de mesmocomprimento e area. Uma extremidade da barra composta de ouro e mantida a80C e a extremidade oposta esta a 30C. Quando a transferencia de energia atingeo estado estacionario, qual a temperatura da juncao?Dados: kAu = 314W/(m

C) e kAg = 427W/(mC) R: 51,18 C

4. A figura abaixo mostra a secao transversal de uma parede feita de pinho brancocom espessura La e de tijolos com espessura Ld, envolvendo duas camadas de ummaterial desconhecido com espessuras e condutividades identicas. A condutividadetermica do pinho e ka e a do tijolo e kd. A area da face A da parede e desconhecida.A conducao termica atraves da parede ja atingiu o regime permanente; as unicastemperaturas de interface conhecidads sao T1 = 25

C, T2 = 20C e T5 = 10.C.Considerando Ld = 2La e kd = 5ka, qual e a temperatura da interface T4? R: - 8C

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Figura 3.9: Exerccio 5

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Captulo 4

Maquinas Termicas, entropia e aSegunda Lei da Termodinamica

4.0.3 Maquinas Termicas

Maquina termica ou motor e um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma decalor, e realiza trabalho util. Por exemplo, em um processo tpico, no qual uma usinade energia produz eletricidade, um combustvel - por exemplo, carvao - e queimado e osgases produzidos a altas temperaturas sao usados para converter agua lquida em vapor.Esse vapor e direcionado para as laminas de uma turbina, colocando-a em rotacao. Aenergia mecanica associada a essa rotacao e usada para acionar um gerador eletrico.

A maquina termica carrega alguma substancia que trabalha por um processo cclicodurante o qual (1) a substancia que trabalha absorve energia do calor de um reservatoriode energia em alta temperatura, (2) o trabalho e realizado pelo motor, e (3) a energia eexpelida pelo calor para um reservatorio em temperatura mais baixa.

Figura 4.1: Representacao esquematica de uma maquina termica

A figura 4.1 representa esquematicamente uma maquina termica. O motor absorveuma quantidade de energia |Qq| (usamos valores absolutos para realizar todas as trans-

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Maquinas Termicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinamica

ferencias de enegia por calor positivo, e a direcao da transferencia e indicada com umsinal negativo).

Wmaq maquina realiza trabalhoWmaq maquina realiza trabalhoQf calor fornecido para o reservatorio frio

Como a substancia de trabalho passa por um ciclo Eint = 0 . A partir da PrimeiraLei da Termodinamica , Eint = Q W = Q Wmaq, e o trabalho resultante Wmaqrealizado sobre uma maquina termica e igual a` energia resultante Qtot transferida paraele. Portanto:

Wmaq = |Qq| |Qf | (4.1)A eficiencia termica de uma maquina e definida como:

e =Wmaq|Qq| =

|Qq| |Qf ||Qq = 1

|Qf ||Qq| (4.2)

A equacao 4.2 mostra que uma maquina termica tem 100% de eficiencia (e = 1)somente se |Qf | = 0, isto e se a energia nao e expelida para o reservatorio frio. Como aseficiencias de maquinas reais sao bem abaixo de 100%, a seguinte versao alternativa daSegunda Lei da Termodinamica nos diz:

Nao e possvel nenhuma serie de processos cujo unico resultado seja a transferenciade energia de calor de um reservatorio termico e a completa conversao desta energia emtrabalho.e

4.0.4 Processos reversveis e irreversveis

Um processo reversvel e aquele no qual o sistema pode retornar as suas condicoes iniciaispelo mesmo caminho e no qual cada ponto ao longo da trajetoria e um estado de equilbrio.Um processo que nao satisfaca a essas exigencias e irreversvel.

Sabe-se que a maioria dos processos naturais e irreversvel, o processo reversvel e umaidealizacao.

Exemplo: Se oxigenio e nitrogenio forem mantidos em um recipiente, separados poruma membrana, e esta membrana for perfurada, as moleculas de oxigenio e nitrogenio semisturam, Nunca vemos oxigenio e nitrogenio de uma mistura se separarem espontanea-mente em lados opostos do recipiente.

Por outro lado, se um processo real ocorrer muito lentamente, de tal forma que o sis-tema esteja muito proximo do equilbrio, esse processo pode ser modelado como reversvel.Por exemplo, imagine comprimir um gas muito lentamente ao deixar cair alguns graos deareia em um pistao sem atrito (veja Figura 4.2). A pressao, o volume e a temperatura dogas sao bem definidos durante essa compressao isotermica. Cada grao de areia adicionadorepresenta um pequena mudanca para um novo estado de equilbrio. O processo pode serrevertido pela lenta remocao dos graos de areia do pistao.

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Figura 4.2: Pistao comprimindo um gas muito lentamente, ao cair graos de areia.

4.0.5 Maquinas Termicas

Maquinas termicas ou motor e um dispositivo que extrai energia do ambiente, na formade calor, e realiza trabalho util. Na interior de toda maquina termica esta uma substanciade trabalho, que sofre as transformacoes termodinamicas que possibilitam as mudancasde forma de energia.

Para que uma maquina funcione de maneira permanete, e necessario que ela opere emciclos, ou seja, a substancia de trabalho passa por diversas transformacoes termodinamicasate retornar ao estado inicial, completando um ciclo.

4.0.6 A maquina de Carnot

Em um ciclo de uma maquina de Carnot a substancia de trabalho passa por quatroprocessos diferentes, onde dois processos sao isotermicos (AB e CD) e ou outros dois saoadiabaticos (BC e DA).

Figura 4.3: Partindo de A, o gas realiza uma expansao isotermica AB, recebendo calorde Q1 ( fonte quente). A seguir, ocorre a expansao adiabatica BC, durante a qual nao hatroca de calor. A compressao isotermica CD se verifica a` temperatura T2 da fonte fria,e nesta etapa o gas rejeita a quantidade Q2 que nao foi transformada em trabalho. Acompressao adiabatica DA se completa sem a troca de calor.

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O sistema absorve uma quantidade de calor Q2 isotermicamente a uma temperaturaT2 quando vai do estado A ao estado B. E de maneira equivalente, o sistema rejeita umaquantidade de calor Q1 isotermicamente a uma temperatura T1 quando sai do estadoC ao D. As transformacoes BC e DA ocorrem adiabaticamente, ou seja, sem que ocorratroca de calor com o ambiente.

O trabalho executado pelo sistema na transformacoes isotermica de A para B e calcu-lado como

WAB =

BA

pdV (4.3)

Para um gas ideal termos: p = nRTV

ou seja,

WAB = nRT2

VBVA

dV

V= nRT2ln(

VBVA

) (4.4)

De maneira similar, na transformacao CD o trabalho sera dado por

WCD = nRT1ln(VDVC

) (4.5)

Considerando que a substancia de trabalho e um gas ideal, a sua energia internadepende explicitamente da temperatura, como a temperatura se mantem constante aolongo das transformacoes acime, anetao:

E(T2) = EA = EB (4.6)

E(T1) = EC = ED (4.7)

Pela Primeira Lei da Termodinamica

dE = dQ dW (4.8)

encontramos que:

EAB = QAB WAB Q2 QAB = WAB (4.9)ECD = QCD WCD Q1 QCD = WCD (4.10)

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Lista de revisao II

1. Uma geologa trabalhando no campo toma seu cafe da manha em uma xcara dealumnio. A xcara possui uma massa igual a 0,120 kg e estava inicialmente a 20 Cquando a geologa a encheu com 0,300 kg de um cafe que estava inicialmente a umatemperatura de 70 C. Qual e a temperatura final depois que o cafe e a xcaraatingem o equilbrio termico? (Suponha que o calor especfico do cafe seja igualao da agua (cH2O w 4190 J/kgK), e que nao exista nenhuma troca com o meioambiente (cAl w 910 J/kgK)). Resp.: Tf = 66 C

2. Um calormetro de alumnio de 250 g contem 0, 5 l de agua a 20 C, inicialmenteem equilbrio. Coloca-se dentro do calormetro um bloco de gelo de 100 g. Calculea temperatura final do sistema. O calor especfico do alumnio e 0, 21 cal/gC e ocalor latente de fusao do gelo e de 80 cal/g (durante o processo de fusao, o gelopermanece a 0 C). Resp.: Tf = 4,7 C

3. Um calormetro de latao de 200 g contem 250 g de agua a 30 C, inicialmenteem equilbrio. Quando 150 g de alcool etlico a 15 C sao despejadas dentro docalormetro, a temperatura de equilbrio atingida e de 26, 3 C. O calor especficodo latao e 0, 09 cal/gC. Calcule o calor especfico do alcool etlico.Resp.: c = 0,59 cal/gC

4. Um calormetro de capacidade termica igual a 50 cal/g contem uma mistura de100 g de agua e 100 g de gelo, em equilbrio termico. Mergulha-se nele um aquecedoreletrico de capacidade termica desprezvel, pelo qual se faz passar uma corrente, compotencia P constante. Apos 5 minutos, o calormetro contem agua a 39, 7 C. Ocalor latente de fusao e 80 cal/g. Qual e a potencia (em W) do aquecedor? Resp.:P = 250 W

5. A uma temperatura ambiente de 27 C, uma bala de chumbo de 10 g, com umavelocidade de 300 m/s, penetra num pendulo balstico de massa igual a 200 g efica retida nele. se a energia cinetica dissipada pela bala fosse totalmente gastaem aquece-la, daria para derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantasgramas? O calor especfico do chumbo e 0, 031 cal/gC, sua temperatura de fusao ede 327 C e o calor latente de fusao e 5,85cal/g. Resp.: md = 1,6 g

6. Uma chaleira de alumnio contendo agua em ebulicao, a 100 C, esta sobre umachama. O raio do fundo da chaleira e de 7,5 cm e sua espessura e de 2 mm. Acondutividade termica do alumnio e 0, 49 cal/s cm C. A chaleira vaporiza 1 l deagua em 5 min. O calor de vaporizacao da agua a 100 C e de 540 cal/g. A quetemperatura esta o fundo da chaleira? Despreze as perdas pelas superfcies laterais.Resp.: T = 104,6 C

7. Uma caixa de isopor usada para manter as bebidas frias em um piquenique possuiarea total (incluindo a tampa) igual a 0, 80 m2, e a espessura de sua parede mede2,0 cm. A caixa este cheia de agua, gelo e latas de Coca-Cola a 0 C. Qual e a taxade fluxo de calor para o interior da caixa, se a temperatura da parede externa forde 30 C? Qual e a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia? Resp.:H = 12 W = 12 J/s e m = 3,1 kg

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8. Uma barra de aco de 10,0 cm de comprimento e soldada pela extremidade a umabarra de cobre de 20,0 cm de comprimento. As duas barras sao perfeitamenteisoladas em suas partes laterais. A secao reta das duas barras e um quadrado delado igual a 2,0 cm. A extremidade livre da barra de aco e mantida a 100 C pelocontato com vapor dagua obtido por ebulicao, e a extremidade livre da barra decobre e mantida a 0 C por estar em contato com gelo. Calcule a temperaturana juncao entre as duas barras e a taxa total da transferencia de calor. Resp.:T = 20,7 C e H = 15,9 W

9. Uma placa quadrada de aco, com lado igual a 10 cm, e aquecida em uma forja ateuma temperatura de 800 C. Sabendo que a emissividade e igual a 0,60, qual e ataxa de energia transmitida por radiacao? Resp.: H = 900 W

10. Sabendo que a area total do corpo de uma pessoa e 1, 20 m2, e que a temperaturada superfcie e de 37 C, calcule a taxa total de transferencia de calor do corpopor radiacao. Se o meio ambiente esta a uma temperatura de 20 C, qual a taxaresultante de calor perdido pelo corpo por radiacao? A emissividade do corpo eproxima da unidade. Resp.: H = 628 W e Htotal = 127 W

11. Voce deseja comer um sundae com calda quente com um valor alimentcio de 900Calorias (kcal) e a seguir subir correndo varios lances de escada para transformarem energia a sobremesa ingerida. Ate que altura tera de subir? Use a sua massacomo parametro de entrada. Resp.: uma pessoa com 60 kg teria que subir 6400 m

12. Um grama de agua (1 cm3) se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo deebulicao a uma pressao constante de 1 atm. O calor de vaporizao para essa pressaoe Lv = 2, 256 106J/kg. Calcule a) o trabalho realizado pela agua quando ela setransforma em vapor; b) o aumento de sua energia interna. Resp.: a) W = 169 Je E = 2087 J

13. A` pressao atmosferica, a vaporizacao completa de 1 l de agua a 100 C gera 1, 671 m3

de vapor de agua. O calor latente de vaporizacao da agua a esta temperatura e539,6 cal/g.

(a) Quanto trabalho e realizado pela expansao do vapor no processo de vaporizacaode 1 l de agua?

(b) Qual e a variacao de energia interna do sistema nesse processo?

Resp.: a)W = 1,64 105 J; b)E = 2,09 106 J14. Um quarto topico contem cerca de 2500 moles de ar. Calcule a variacao de energia

interna para essa quantidade de ar quando ele e resfriado de 23, 9 C ate 11, 6 Cmantendo-se uma pressao constante igual a 1, 0 atm. Considere o ar um gas idealcom = 1, 40. Resp.: E = 6,39 105 J

15. A razao de compressao de um motor diesel e 15 para 1; isto significa que o ar ecomprimido no interior do cilindro ate um volume igual a 1

15do seu volume inicial.

Sabendo que a pressao inicial e de 1, 015 Pa e que a temperatura inicial e 27 C,

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calcule a temperatura final e a pressao final depois da compressao. O ar e basica-mente uma mistura dos gases diatomicos oxigenio e hidrogenio; considere o ar umgas com = 1, 40. Resp.: Tf = 613

C; Pf = 44 Pa

16. No exerccio anterior, qual e o trabalho realizado pelo gas durante a compressao,sabendo que o volume inicial e de 1, 0 litro? Considere o CV igual a 20, 8 J/mol K.Resp.: W = 494 J

17. O motor a gasolina de um caminhao grande consome 10 kJ de calor e realiza 2 kJde trabalho mecanico em cada ciclo. O calor e obtido pela queima de gasolina comcalor de combustao LC = 5, 0 104 J/g.(a) Qual e a eficiencia termica dessa maquina?

(b) Qual e a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo?

(c) Qual e a quantidade de gasolina queimada em cada ciclo?

(d) Se o motor completa 25 ciclos por segundo, qual e a potencia fornecida emwatts?

(e) Qual e a quantidade de gasolina queimada por segundo? E por hora?

Resp.: a) e = 20%, b) QC = 8000 J, c) QH = 0,20 g, d) P = 50 kW, e)5,0 g/s ou 18 kg/h

18. Calcule o trabalho por mol realizado por um gas ideal que se expande isotermica-mente, quer dizer, a` temperatura constante, desde o volume inicial Vi ate o volumefinal Vf . Obs.: O trabalho realizado pode ser representado como:

W =

VfVi

p dV

19. Um fluido homogeneo pode passar de um estado inicial i a um estado final f noplano (p, V) atraves de dois caminhos diferentes, representados por iaf e ibf nodiagrama indicador (fig.). A diferenca de energia interna entre os estados inicial efinal e Ef Ei = 50 J. O trabalho realizado pelo sistema na passagem de i para be de 100 J. O trabalho realizado pelo sistema quando descreve o ciclo (iafbi) e de200 J. A partir desses dados, determine, em magnitude e sinal:

(a) A quantidade de calor Q(ibf), associada ao caminho ibf ;

(b) O trabalho W(iaf);

(c) A quantidade de calor Q(iaf) associada ao caminho iaf ;

(d) Se o sistema regressa do estado final ao estado inicial seguindo a diagonal fcido retangulo (fig.), o trabalho W(fci) e a quantidade de calor Q(fci) associadosa esse caminho.

Resp.: a)Qa = 150 J; b)W(iaf) = 300 J; c) Qc = 350 J; d) Q = 250 J

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0 V (m3)

p (Pa)

i

a

b

c

f

20. O diagrama indicador da Figura abaixo, onde a pressao e medida em bar (1 bar =105 Pa) e o volume em l, esta associado com um ciclo descrito por um fluido ho-mogeneo. Sejam W , Q e E, respectivamente o trabalho, quantidade de calor evariacaoo de energia interna do sistema associados com cada etapa do ciclo e como ciclo completo, cujos valores (em J) devem ser preenchidos na tabela abaixo.

Etapa W (J) Q (J) E (J)ab 800bcca -100

Ciclo (abca)0 V (l)

p (Bar)

a

c

b1

2

5 10

21. Quando centenas de abelhas japonesas formam uma bola compacta ao redor de umavespa gigante que tenta invadir a sua colmeia, elas conseguem aumentar rapidamentea temperatura dos seus corpos da temperatura normal de 35 C para 47 C ou 48C . Essa temperatura mais alta e letal para a vespa, mas nao para as abelhas.Suponha o seguinte: que 500 abelhas formam uma bola de raio R = 2 cm por umtempo t = 20 min, que a principal perda de energia pela bola seja por radiacaotermcia, que a superfcie da bola tenha emissividade e = 0.8 e que a bola apresentetemperatura uniforme. Em media, que energia adicional deve ser produzida porcada abelha durante os 20 min para manter 47 C ? Resp.: 0,81 J

22. O teto de uma habitacao familiar em um clima frio deveria ter um valor R de 30.Para fornecer um isolamento como este, qual deveria a espessura de uma camadade (a) de espuma de poliuretano e (b) de prata? Resp.: (a) 0,13 m e (b) 2,3km.

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term odin a mica

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