12 modelagem mat sist term

Modelag em Matemática de Sistemas 1

1

12 Modelagem Matemática de SistemasTérmico

s

1 INTRODUÇÃO

Sistemas térmicos são sistemas nos quais estão envolvidos o armazenamento e o fluxo de calor por condução, convecção ou radiação. A rigor, sempre estão envolvidas simultaneamente as três formas de transferência de calor. Entretanto, na prática, tem-se em geral a preponderância de uma forma sobre as demais ou então a preponderância de duas formas sobre a terceira, o que é mais comum. Exemplos clássicos de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motor de um automóvel, o refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de um escritório, etc.

Há três maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução, convecção e radiação. Na transferência de calor por condução ou convecção, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por(1) q = K∆θ

onde

∆θ = diferença de temperatura, em KK = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K, dado por

(2) K = kA∆X

na condução

(3) K = hA na convecção

onde k = condutividade térmica, em kcal/m.s.K A = área normal ao fluxo de calor, m2

∆X = espessura do condutor, em mh = coeficiente de transferência de calor por convecção, kcal/m2.s.K

Na transferência de calor por radiação, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por

(4) q = K (θ 4 − θ 4 )r 1 2

onde Kr = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K4, que depende da emissividade, tamanho e configuração da superfície

θ1 = temperatura do emissor, em Kθ1 = temperatura do emissor, em K

h

Ac

2


Na modelagem que será feita a seguir, serão consideradas apenas as transferências de calor porcondução e por convecção, desprezando-se o efeito da radiação.

2 VARIÁVEIS TÉRMICAS

As variáveis usadas para descrever o comportamento de um sistema térmico são:

θ = temperatura em Kelvins [K] o C = K - 273,15

q = fluxo de calor em Watts [W] 1 W = 1 J/s

As temperaturas em vários pontos de um corpo variam com a localização, o que significa que o sistema térmico é inerentemente um sistema com parâmetros distribuídos. Em conseqüência, os modelos matemáticos são constituídos por equações diferenciais parciais, pois as propriedades são distribuídas e não concentradas. Na modelagem e na análise, entretanto, para simplificar o problema, é conveniente admitir que um sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados, no qual as substâncias que são caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor têm capacitância térmica desprezível e que as substâncias que são representadas pela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor. Isso nos conduzirá a modelos regidos por equações diferenciais ordinárias, com as suas já conhecidas vantagens.

3 NÚMERO DE BIOT

Existe um parâmetro adimensional, denominado Número de Biot, que serve de critério para definir se um sistema térmico pode ser admitido como de parâmetros concentrados. Ele é definido como

(5) Bi = c

k

onde h e k já foram definidos e onde Lc é o comprimento característico do sólido, definido por

(6)

onde V = volume do sólido, em m3

L = V

s

As = é a área da superfície de contato entre sólido e fluido, no caso de transferência de calor por convecção, em m2

Evidentemente, Lc depende da forma do

sólido. Assim, para esferas de raio r,

temos:

3

h

0


4 πr3

L = 3

= 1

rc 4πr2 3

Para cilindros maciços de raio r e comprimento L:

π r 2L rL L = =c 2πrL + 2πr2 2(r + L)

Para cubos de aresta L: L 3 L L = =c

6L2 6

Um critério aceitável para que a temmperatura no interior de um sólido não varie com alocalização é que

(7) Bi = c < 0,1 k

4 VARIÁVEIS INCREMENTAIS

Para a maioria dos sistemas térmicos existe uma condição de equilíbrio que define o ponto de operação do sistema. Assim, podemos definir uma temperatura incremental e um fluxo de calor incremental como

^ −

(8) θ(t) = θ(t) − θ

(9)^q(t) =

−q(t) − q

− -onde θ e q são os valores das variáveis no ponto de operação.

5 CAPACITÂNCIA TÉRMICA

Existe uma relação entre a temperatura de um corpo físico e o calor nele armazenado. Não havendo mudança de fase e desde que a faixa de temperaturas não seja excessiva, tal relação pode ser considerada linear. Assim, sendo qi(t) o fluxo de calor que entra em um corpo e qo(t) o fluxo de calor que sai do mesmo corpo, o calor líquido (no sentido contábil) armazenado no corpo entre dois instantes de tempo t0 e t é dado por

t

∫t [ qi (λ) − qo

(λ)]dλ

3


onde λ é uma variável muda usada na integração.

4

0


Vamos assumir que o calor armazenado durante esse intervalo de tempo seja igual a uma certaconstante C multiplicada pela variação de temperatura, ou seja

t

∫ [ qi (λ) − qo (λ)]dλ = C[θ(t) − θ(t0 )]t0

onde θ(t0) é a temperatura do corpo no instante de referência t0. Podemos rescrever a equação acima como

1 t(10)

θ(t) = θ(t0 ) +C ∫t

[ qi (λ) − qo (λ)]dλ

onde a constante C é definida como a capacitância térmica do corpo, dada em [J/K]. Para umcorpo de massa M e calor específico c, a capacitância térmica é dada por C = Mc, para M em [kg]e c em [J/kg.K].Diferenciando a eq. (10), obtemos

(11)

.

(t) =1

[ q (t) − q

(t)]θ C

i o

equação que é muito usada quando o sistema é modelado no espaço de estados.

6 RESISTÊNCIA TÉRMICA

No caso de transferência de calor por condução, a Lei de Fourier estabelece que o fluxo de calor q(t) entre dois corpos com temperatura θ1(t) > θ2(t), separados por um meio condutor, é dado por

θ (t) − θ (t)q(t) = αA 1 2

d

onde α = condutividade térmica do material condutor [J/m.s.K] ou [W/m.K] (tabelada) A = área normal ao fluxo de calor [m2]d = espessura do condutor [m]

Podemos rescrever a equação acima como

(12)

q(t) =1

[θR 1(t) − θ2 (t)]

onde R é definida como a resistência térmica e é função do material e das dimensões do meiocondutor, sendo dada por

(13) R =

d Aα

5

1

B

1 2


Só podemos usar a eq. (12) quando não há armazenamento de energia térmica no meio condutor.Caso isso não aconteça, devemos então incluir a capacitância térmica do meio condutor no modelo.

Resistências térmicas em série

Consideremos dois corpos com temperaturas θ1(t) > θ2(t), separados por duas resistências térmicas em série R1 e R2, conforme ilustra a fig. 1(a):

Fig. 1

Sendo q(t) o fluxo de calor através das mesmas e estando as resistências perfeitamente isoladas termicamente, queremos achar uma resistência térmica equivalente Req, conforme a fig. 1(b). Chamando θB a temperatura na interface das duas resistências, podemos escrever a eq. (12) duas vezes:

q = 1

(θR1

− θB )

q = 1

(θR2

− θ2 )

Eliminando θB nas equações acima, chegamos a

q = 1

(θ − θ )R1 + R2

que, comparada com a eq. (12), permite que escrevamos

Req = R1 + R2

donde podemos concluir que existe uma analogia com as resistências elétricas em série. Podemos estender o resultado para n resistências térmicas em série:

(14)

Req

n

= ∑ Rii = 1

6


Resistências térmicas em paralelo

Aproveitando a analogia citada, podemos estabelecer uma expressão para n resistênciastérmicas em paralelo:

(15)

R = 1

eq n

1∑ Ri = 1 i

7 FONTE TÉRMICA

A fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema. No primeiro caso, o fluxo de calor qi(t) é positivo e, no segundo caso, qi(t) é negativo. A fonte térmica ideal é representada pela fig. 2:

Fig. 2

Vamos estudar, a seguir, a modelagem matemática de alguns sistemas térmicos através de exemplos.

8 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS TÉRMICOS

Exemplo 1

A fig. 3 mostra uma capacitância térmica C isolada do ambiente por uma resistência térmicaequivalente R. A temperatura interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperatura ambiente é θa, também uniforme. Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo qi(t). No

− -ponto de operação, os valores de qi e θ são

qi e θ , respectivamente. Desenvolver um modelo

matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

6


Fig. 3

7


Solução

Aplicando a eq. (12):

qo (t) =1

[θ(t) − θ ] R

a

Substituindo na eq. (11):

ou

.θ(t) =

1C

{ qi (t)

−

1 [θ(t) − θ ]} R

a

.RC θ(t) + θ(t) = Rqi (t) + θ a

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com duas entradas qi(t) e θa e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

^ −

Em termos das variáveis incrementais

θ(t) = θ(t) − θ e

^q(t) = −

q(t) − q

podemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), qi(t) e suas derivadas na EDOL acima,chegando a

.^ ^ ^

RC θ(t) + θ(t) = R qi (t)

Vemos, agora, que temos um sistema com apenas uma entrada e uma saída.

Exemplo 2 - Termômetro de mercúrio

A fig. 4 ilustra um sistema térmico constando de um termômetro de mercúrio que está,

−inicialmente, à temperatura

ambiente−

θ e é mergulhado em um reservatório cujo líquido está a

uma temperatura θ + θb, isto é, θb acima da temperatura ambiente.

Fig. 4

7

Modelag em Matemática de Sistemas 1O reservatório tem capacitância térmica C e o termômetro tem resistência térmica R. Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

8


Solução

Aplicando a eq. (12) para o termômetro:

qi (t) =1

[θR b − θ(t)]

Substituindo na eq. (11):

ou

.θ(t) =

1 {

1

[θC R b

− θ (t)]}

(16)

.RC θ(t) + θ(t) = θb

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com entrada θb e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

Comparando a eq. (16) com a EDOL modelo matemático do circuito elétrico RC paralelo mostrado na fig. 5, dada por

RC d e o

dt+ eo = ei

Fig. 5

vemos que existe uma analogia entre o sistema térmico e o sistema elétrico, denominada analogia eletrotérmica, dada pela tabela seguinte:

Sistema elétrico Sistema térmico

voltagem e temperatura θ corrente elétrica i fluxo de calor q resistência elétrica R resistência térmica R Capacitância C capacitância térmica C

Exemplo 3

A fig. 6 mostra um vaso indeformável de volume V, no qual um líquido de massa específica ρ e calor específico c escoa através dele. Um "mixer" assegura que a temperatura do líquido permaneça uniforme em todo o reservatório e igual a θ(t). O líquido entra no reservatório com

−uma vazão volumétrica constante

w à temperatura θi(t). Ele sai do reservatório com a mesma

8

Modelag em Matemática de Sistemas 1vazão volumétrica à temperatura θo(t), considerada igual à temperatura do líquido θ(t), devido à mistura perfeita feita pelo "mixer". A resistência térmica do vaso é R e a temperatura ambiente é constante e igual a θa.

9

−


Fig. 6

É adicionado um fluxo de calor qh(t) ao líquido por meio de um aquecedor. Desenvolver um modelo matemático para o sistema.

Solução

Calor que entra no vaso:

−qi (t) = qh (t) + w ρcθi (t)

_

Calor que sai do vaso:

q (t) = 1 [θ(t) −

θ0 R a

] + w ρcθ(t)

Capacitância térmica: C = Mc = ρVc

Levando na eq. (11):. 1 1 − 1(t) = [q (t) − q (t)] = {[q (t) + w ρcθ (t)] − [ (θ(t) − θ

−

) + w ρcθ(t)]}θ

C i

o ρcV h i

R a

Rearrumando a equação acima, chegamos à EDOL de 1a ordem

−. w

(t) + ( + 1

)θ(t) =

−w

θ (t) + 1

q (t) + 1

θθ

V RCV

i C h RC

a

onde a constante de tempo é dada por τ = 1 .

w +

1

V RC

Podemos observar que temos três entradas, θi(t), qh(t) e θa, e apenas uma saída, θ(t).

Exemplo 4

Uma esfera de cobre (ρ = 8954 kg/m3, c = 383,1 J/kg.0C e k = 385 W/m. 0C), de diâmetro 0,06 m, é subitamente colocada em um reservatório que contem um líquido quente a uma temperatura θo. Em conseqüência, a temperatura da esfera, θ(t), cresce

9

Modelag em Matemática de Sistemas 1com o tempo. O coeficiente de transferência de calor por convecção é h = 25 W/ m. 0C. Pedem-se:

1

c

{


(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique;(b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema; (c) Calcular a constante de tempo do sistema.

(a)

Solução

L = 1

r = 1

. 0, 06

= 0,01 mc 3 3 2

hL 25x 0, 01Bi = = = 6,49x10 < 0,1

Logo, é possível.

k 385

(b) Aplicando a eq. (11): .

(t) =1

[ q (t) − q

(t)]θ C

i o

onde C = Mc = ρVc

qi = hAs [θ o −

θ(t)]

Logo:

qo = 0

. 1 (t) = hA [θ − θ(t)] − 0}

θ s oρVc

ρVc .

hAs

θ(t) + θ(t) = θ o

(c) τ = ρVc

= ρcL c =

8954x383,1x 0, 01 = 1372 s = 22,87 h

hAs h 25

1


EXERCÍCIOS

1 A figura mostra um vaso fechado, isolado, cheio de líquido e contendo um aquecedor

elétrico imerso no líquido. A resistência elétrica do aquecedor, por sua vez, está colocada dentro de uma jaqueta metálica de resistência térmica RHL. A resistência térmica do vaso e de seu isolamento é RLa. O aquecedor tem uma capacitância térmica CH e o líquido uma capacitância térmica CL. A temperatura do aquecedor é θH e a do líquido é θL, a qual é considerada uniforme devido ao "mixer".

Dados

numéricos: CH =

20 x 103 J/KCL = 1 x 106 J/KRHL = 1 x 10-3 K/WRLA = 5 x 10-3 K/Wθa = 300

K

O aquecedor elétrico e o líquido estão inicialmente à temperatura ambiente θa, estando o aquecedor desligado. No instante t = 0, o aquecedor é ligado, de modo que o fluxo de calor fornecido ao sistema é qi(t). Pedem-se:(a) modelo matemático no espaço de estados, usando as variáveis de estado θH(t) e θL(t),

as quais podem ser obtidas diretamente a partir da eq. (9);(b) usando o VisSim, graficar as temperaturas θH(t) e θL(t) para as entradas θa = 300 K e qi(t)

sendo um degrau de amplitude 1,5 x 104 W;(c) a partir do gráfico do item (b), achar o tempo que leva o líquido para atingir a

temperatura desejada θd = 365 K.Obs.: para os itens (b) e (c) usar os dados numéricos mostrados ao lado da figura.

2 Uma esfera de alumínio de diâmetro 0,08 m encontra-se em um forno à temperatura de

200 0C. Ela é retirada do forno e colocada ao ar livre que se encontra à temperatura de20 0C. Conhecendo as propriedades do alumínio, dadas abaixo, pedem-se:(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique; (b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema;(c) Calcular a constante de tempo do sistema.

Dados do Alumínio: ρ = 2707 kg/m3; c = 896 J/kg.0C; k = 204 W/m. 0C;

1

Modelag em Matemática de Sistemas 1h = 3,5 W/ m.

0CρVc .

Resp.: (a) Sim; (b) hAs

θ(t) + θ(t) = θ ar (c) 2,56 h


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