teoria_das_estruturas i - apostila

TEORIA DAS ESTRUTURAS IParte 2Notas de Aula CIV208

Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Colaborao:

A ndra Regina D ias da Silva

Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008

SUMRIO

1. Trelias Isostticas1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. Aplicaes ..................................................................................................... 1 Tipos .............................................................................................................. 2 Definio ........................................................................................................ 3 Consideraes de Projeto ............................................................................... 3 Classificao .................................................................................................. 4 Grau de Indeterminao ................................................................................ 5 Estabilidade ................................................................................................... 6 Observaes Importantes .............................................................................. 7 Anlise e Mtodos de Resoluo ................................................................... 8 Trelias Compostas ..................................................................................... 16 Trelias Complexas ...................................................................................... 20 Trelias de Altura Constante ........................................................................ 25

2. Grelhas Isostticas2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. Introduo .................................................................................................... 35 Aplicaes ................................................................................................... 36 Definio ...................................................................................................... 38 Observaes ................................................................................................ 38 Grelha Engastada-Livre ............................................................................... 40 Grelha Isosttica Triapoiada ........................................................................ 41 Viga Balco .................................................................................................. 42

Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 43

1. TRELIAS ISOSTTICAS

1.1. APLICAES

Teoria das Estruturas I

1

TRELIAS ISOSTTICAS 1.2. TIPOS


2

TRELIAS ISOSTTICAS 1.3. DEFINIO So estruturas reticuladas indeformadas, constitudas de barras retas com extremidades rotuladas formando malhas triangulares.B

500 N

2 1

A 3

C

Pontos nodais: A, B e C Barras (elementos, membros):1 2 3

1.4. CONSIDERAES DE PROJETO

1. As barras so conectadas atravs de juntas idealizadas como rotuladas.

A gusset plate

Tenses principais

Esforo Normal

Tenses secundrias Momento Fletor

2. O carregamento externo aplicado apenas nas juntas (pontos nodais).


3

TRELIAS ISOSTTICAS 1.5. CLASSIFICAO

1. Trelias Simples

2. Trelias Compostas

simple trusses simple trusses

Tipo 1 Tipo 2

secondary simple trusses



main simple trusses

Tipo 3Teoria das Estruturas I 4

TRELIAS ISOSTTICAS

3. Trelias Complexas

1.6. GRAU DE INDETERMINAO

Nmero de incgnitas: nmero de barras (b) + nmero de reaes (r) Nmero de equaes (para cada n j):

Fx FyPortanto,

=0 =0

b + r = 2 j : Estaticamente Determinada (Trelia isosttica)b + r > 2 j : Estaticamente Indeterminada (Trelia hiperesttica)

1.7. ESTABILIDADE

Se b + r < 2 j : Trelia Instvel (Trelia hiposttica)


5

TRELIAS ISOSTTICAS 1. Estabilidade Externa

Situaes de Instabilidade (externamente instvel)

2. Estabilidade Interna

Situao de Estabilidade (estabilidade interna)

Situao de Instabilidade (instabilidade interna)


6

TRELIAS ISOSTTICAS Situao de Estabilidade (estabilidade interna)

Trelia composta

Situao de Instabilidade (instabilidade interna)

Trelia complexa

Portanto, Se b + r < 2 j : Trelia instvel. Se b + r 2 j : Trelia instvel se as reaes de apoio so concorrentes ou paralelas, ou se os componentes da trelia formam um mecanismo de colapso.

1.8. OBSERVAES IMPORTANTES a. Todo sistema reticulado deformvel instvel (hiposttico). Todo sistema indeformvel estvel (isosttico ou hiperesttico). b. Trelias isostticas com cargas fora dos ns no so trelias ideais. c. Qualquer sistema reticulado constitudo por um polgono fechado rotulado em seus vrtices deformvel (e, portanto, hiposttico), exceto o caso do tringulo.


7

TRELIAS ISOSTTICAS d. Lei de Formao das Trelias Isostticas: Uma trelia biapoiada constituda por 3 barras formando um tringulo isosttica. Se, a partir dessa configurao bsica, acrescentarmos novos ns atravs de duas novas barras, essa nova trelia ser ainda isosttica. Isto porque surgem duas novas incgnitas no problema, simultaneamente ao acrscimo de duas novas equaes de equilbrio ao sistema. e. Outro tipo de trelia isosttica a trelia triarticulada (ver figura abaixo).

f. As trelias so geralmente de madeira ou de ao. Esses materiais suportam bem os esforos de trao e compresso. g. Na prtica, a grande maioria das trelias ISOSTTICA.

1.9. ANLISE E MTODOS DE RESOLUO

Anlise de uma trelia Avaliao dos esforos normais nas barras e reaes de apoio.

Mtodos de Resoluo: 1. Mtodo do equilbrio dos ns 2. Mtodo das sees (Mtodo de Ritter) 3. Mtodo de Cremona


8

TRELIAS ISOSTTICAS

a) Idia Bsica dos Mtodos de Resoluo

1. Mtodo do equilbrio dos ns

B 500 N

B 500 N

45O

2m

FBC (compresso) FBA (trao)B C 500 N

A

45O

2m

45O

FBC (compresso)

FBA (trao)

2. Mtodo das sees (Mtodo de Ritter)

a B

C

D

2m

A 2m 1000 N

G

a 2m

F 2m

E

2m

Dy FBCC

FBC45O

C

2m

Dx2m

2m45O

FGC

FGC

2m 1000 N

G

FGF

G

FGF

Ex


9

TRELIAS ISOSTTICAS

i. As sees de Ritter no precisam ser retas, elas podem ter formas quaisquer. Porm, devem ser contnuas e atravessar toda a trelia. ii. Deve-se escolher sees de Ritter que interceptem trs barras no paralelas e no concorrentes no mesmo ponto. Podem ocorrer, entretanto, sees de Ritter que interceptem mais de trs barras e a partir das quais seja possvel determinar os esforos normais em alguma(s) das barras. iii. O Mtodo de Ritter se presta admiravelmente ao clculo das trelias de altura constante, fazendo-o recair at no clculo de uma viga de substituio, quando o carregamento vertical.

3. Mtodo de Cremona

E

1

F

3P

2

4 3 5 8 B C 9

6

aD

HA = 3P

A

7

3P VA = 2P VD = P a a a

HA = 3P VA = 2P N7 N4 N2 N8 N7 N3

N9 N6 VD = P

(N A)N1 N3 N2

(N B)N6 N5 N4

3P

(N D)

N1

(N E)

(N F)


10

TRELIAS ISOSTTICAS

N3 N2 3P A N7 2P N7 B

N4

N6

N8

D N9 P

(N B)

(N A)

(N D)

E N2 N3

N1

N1

F

3P

N4 N5

N6

(N E)

(N F)

b) Aplicaes

1. Mtodo do equilbrio dos ns

Problema 1: Pede-se avaliar as foras em cada membro da trelia abaixo. Defina tambm se essas foras so de trao ou compresso.

2 KN F 3 KN G 3 KN

E

A

30O 60O

60O

60O

60O 30O

D

B 3m 3m

C 3m


11

TRELIAS ISOSTTICAS

Problema 2 : Pede-se avaliar as foras em cada membro da trelia abaixo. Defina tambm se essas foras so de trao ou compresso. As reaes so dadas.

175 lb C B60O

200 lb

D60O

F45O 30O 45O 30O

A Ax = 141.4 lb

E

10 ft Ay = 125.4 lb

10 ft Ey = 191.0 lb

Caracterstica: Elementos com Esforo Normal Nulo

Problema 1: Pede-se indicar aqueles membros da trelia abaixo que possuem esforo normal nulo.

P

B

C

A

E

D


12

TRELIAS ISOSTTICAS

Soluo:

1. Ponto nodal C

2. Ponto nodal A

Fx = 0; FCB = 0 + Fy = 0; FCD = 0

+

+ Fy = 0; FAB sen = 0 FAB = 0 (sen 0) Fx = 0; -FAE + 0 = 0 FAE = 0+

Problema 2: Pede-se indicar aqueles membros da trelia abaixo que possuem esforo normal nulo.

C

PB D

A G F

E

Soluo: 1. Ponto nodal D 2. Ponto nodal F

+

Fy = 0; FDF = 0

+ Fy = 0; FCFsen + 0 = 0 FCF = 0 (sen 0)


13

TRELIAS ISOSTTICAS Problema 3: Pede-se indicar aqueles membros da trelia abaixo que possuem esforo normal nulo.

A

B

C H

G

F

E

D

P

2. Mtodo das sees (Mtodo de Ritter)

Problema 1: Pede-se avaliar o esforo normal nas barras BC, GC e GF da trelia abaixo. Defina se esses esforos so de trao ou compresso.

a B

C

D

2m

A 2m 1000 N

G

a 2m

F 2m

E


14

TRELIAS ISOSTTICAS

Soluo:2m

FBC

C

Estratgia 1

2m45O

FGC

2m 1000 N

G

FGF

Dy FBCC45O

2m

Dx2m

Estratgia 2FGCG

FGF

Ey

Problema 2: Pede-se avaliar o esforo normal nas barras CF e GC. Defina se esses esforos so de trao ou compresso. As reaes de apoio so dadas.


15

TRELIAS ISOSTTICAS

Problema 3: Pede-se avaliar o esforo normal nas barras GF e GD. Defina se esses esforos so de trao ou compresso. As reaes de apoio so dadas.G a H F 4m 3m A Ax = 0 3m Ay = 9 kN 6 kN B 3m 8 kN C a 3m 2 kN D 3m Ey = 7 kN E

Soluo:

FGF FGD

FCD

1.10. TRELIAS COMPOSTAS

Formao: conexo de duas ou mais trelias simples atravs de barras e pontos nodais. Anlise: aplicao de ambos os mtodos (equilbrio dos ns e sees-Ritter). Tipo 1 Avaliar as reaes (trelia completa). Usar o mtodo das sees (cortar a trelia atravs da barra que faz a conexo das duas trelias simples). Avaliar a fora nessa barra (ligao entre as trel ias). Analisar as trelias simples usando o mtodo do equilbrio dos ns.simple trusses


16

TRELIAS ISOSTTICAS Tipo 2 Avaliar as reaes (trelia completa). Usar o mtodo das sees e cortar cada uma das trs barras que faz a conexo das duas trelias simples. Avaliar a fora normal nessas barras (diagrama de corpo livre). Analisar as trelias simples usando o mtodo do equilbrio dos ns.

simple trusses

Tipo 3 Remover as trelias secundrias usando membros fictcios (linhas tracejadas) para construir a trelia principal. O efeito (fora) exercido pelas trelias secundrias na trelia principal introduzido nas juntas onde as trelias secundrias so conectadas trelia principal. Avaliar as foras nos membros fictcios (linhas tracejadas) usando o mtodo do equilbrio dos ns ou sees. Essas foras so aplicadas nas juntas das trelias secundrias e assim, usando o mtodo do equilbrio dos ns, as foras nas barras das trelias secundrias podem ser avaliadas.




main simple trusses


17

TRELIAS ISOSTTICAS Problema 1: Indique como analisar a trelia composta abaixo. As reaes de apoio so dadas.4m H a G 2m I J K F 2m A Ax = 0 2m Ay = 5 kN 4 kN B a 2m 2 kN C 2m 4 kN D 2m Ey = 5 kN E

Soluo:Passo 1:

Passo 2:

Problema 2: Indique como analisar a trelia composta abaixo. As reaes de apoio so dadas.C a H

D 6 ft45o

G a45o 45o

12 ft

F E

Ax = 0

A 6 ft Ay = 3 k

B 6 ft 3k 6 ft 6 ft

6 ft 3k Fy = 3 k

Soluo:

Passo 1:

Passo 2:


18

TRELIAS ISOSTTICAS

Problema 3: Indique como analisar a trelia composta abaixo. As reaes de apoio so dadas.E

3 kN F5o

3 kN5o 5o

D H

G5o 45o

A Ax = 0

C B 6m 6m Cy = 4.62 kN

Ay = 4.62 kN

Soluo:

Passo 1:FAE E 3 kN F G A FAE 1.5 kN 1.5 kN F G C FEC 1.5 kN 1.5 kN FEC E 3 kN

Passo 2:

Passo 3:


19

TRELIAS ISOSTTICAS 1.11. TRELIAS COMPLEXAS

Formao: Sua lei de formao no se enquadra nos casos das trelias simples ou compostas. Anlise: Mtodo do Equilbrio dos Ns. Procedimentos a. Computacional: Escrever as equaes de equilbrio para cada ponto nodal (junta). Resolver o sistema de equaes resultante: A N = B. b. Manual: Trelias complexas pequenas (GI baixo). Idia da superposio do efeitos.

Procedimento de Anlise: MANUAL

Etapa 1 Determinar as reaes de apoio. Comear a imaginar como a trelia poderia ser analisada pelo mtodo do equilbrio dos ns. Se numa determinada junta existem 3 incgnitas, remova um dos membros e o substitua por um membro imaginrio introduzido em outro lugar na trelia.

Trelia Original

Trelia Modificada


20

TRELIAS ISOSTTICAS

Etapa 2

Introduzir o carregamento externo na trelia modificada. Avaliar, atravs do mtodo do equilbrio dos ns, os esforos normais Si em cada membro i. Na trelia exemplo:

Junta A : S'AB e S'AF' ' Junta F : SFE e SFC ' ' Junta D : SDE e SDC (ambos so nulos) ' ' Junta E : SEB e SEC ' Junta B : SBC

Trelia Modificada

Etapa 3

Retirar o carregamento externo na trelia modificada. Introduzir cargas unitrias colineares na trelia modificada nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado. Resolver a trelia modificada para esse carregamento (avaliar, atravs do mtodo do equilbrio dos ns, os esforos normais si em cada membro i). Na trelia exemplo:

Junta A : s AB e s AF Junta F : sFE e sFC Junta D : sDE e sDC Junta E : sEB e sEC Junta B : sBC

Trelia Modificada


21

TRELIAS ISOSTTICAS

Etapa 4 Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposio dos efeitos):

Si = Si' + x siDeterminao de x (para o membro i de substituio empregado):

Si = Si' + x si = 0

x=

Si' si

Na trelia exemplo (membro EC):' SEC = SEC + x sEC = 0

x=

' SEC sEC

Problema: Determine o esforo normal de cada membro da trelia complexa mostrada na figura abaixo. Assuma que as juntas B, F e D esto na mesma linha horizontal. Defina tambm se os esforos so de trao ou compresso.C

5k4 ft B 45o F 45o D

3 ft A E

8 ft


22

TRELIAS ISOSTTICAS

Soluo: Etapa 1

Determinar as reaes de apoio. Remover um dos membros e empregar um membro imaginrio introduzido em outro lugar na trelia.C C

5k4 ft B 45o F 45o D B

5k

45o

45o

D

3 ft A E

5k

A

E

8 ft

4.38 k

4.38 k

Etapa 2:

Introduzir o carregamento externo na trelia modificada. Avaliar os esforos normais Si em cada membro i.' Junta C : S'CB e SCD ' ' Junta F : SFA e SFE (ambos so nulos) ' ' Junta E : SEB e SED ' ' Junta D : SDA e SDB ' Junta B : SBA

Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA

S i'3.54 -3.54 0 0 0 -4.38 5.34 -2.50 2.50


23

TRELIAS ISOSTTICAS Etapa 3: Na trelia modificada, introduzir cargas unitrias colineares nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado. Resolver a trelia modificada para esse carregamento.Junta C : sCB e sCD Junta F : sFA e sFE Junta E : sEB e sED Junta D : sDA e sDB Junta B : sBAMembro CB CD FA FE EB ED DA DB BA si -0.707 -0.707 0.833 0.833 -0.712 -0.250 -0.712 -1.167 -0.250A E B 1k C

1k F D

Etapa 4: Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposio dos efeitos):

Si = Si' + x siem que x uma incgnita. Determinar x (para o membro DB de substituio empregado):' SDB = SDB + x sDB = 0 ' SDB

Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA

x=

sDB

=

( 2.5) 1.167

S i'3.54 -3.54 0 0 0 -4.38 5.34 -2.50 2.50

si-0.707 -0.707 0.833 0.833 -0.712 -0.250 -0.712 1.167 -0.250

x si-1.51 -1.51 1.78 1.78 -1.53 -0.536 -1.52 2.50 -0535

Si2.02 (T) 5.05 (C) 1.78 (T) 1.78 (T) 1.53 (C) 4.91 (C) 3.81 (T) 0 1.96 (T)

x = 2.142


24

TRELIAS ISOSTTICAS 1.12. TRELIAS DE ALTURA CONSTANTE

Anlise: Viga de Substituio Tipos:P1D

P2 O1 E O2 F V2

P3 O3 D3 S1G

P4 S2H

P5I

P6J

P7K

P8

Trelia com uma diagonal por painel

V0 D1A

V1 D2

V3

V4

V5B

V6

V7C

h

S1 S2 VA

VB

A

O1

B

O2s s

C

O3s

Trelia com duas diagonais por painel (Vigas Hssler)

V0

s

D1 V0Ai

s

V1

D2 D2

V2

D3

s

D1

i

i

V1

i

V2

i

D3

i

V3

U1 C 2t

U2 D 2t

U3 E 2t

F

G

B

2t

2t

1. Trelia com uma diagonal por painelP1D

P2 O1 E O2 F V2

P3 O3 D3 S1G

P4 S2H

P5I

P6J

P7K

P8

V0 D1A

V1 D2

V3

V4

V5B

V6

V7C

h

S1 S2 VA

VB

Idia bsica: Viga de Substituio

P1d e

P2f

P3g

P4h

P5i

P6j

P7k

P8

VA

VB

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores) Anlise b. Barras Diagonais c. Barras VerticaisTeoria das Estruturas I 25

TRELIAS ISOSTTICAS a. Barras Horizontais (inferiores)P1D

dE

P2

dF

P3

dG

S1 O 3

h

D3A F

U3 S1

VA

Avaliao de U3:

MG = 0 VA 3d P1 3d P2 2d P3 d U3 h = 0 U3 = VA 3d P1 3d P2 2d P3 d h

Momento fletor na seo g (Viga de Substituio): Mg = VA 3d P1 3d P2 2d P3 dP1d e

P2f

P3g

P4h

P5i

P6j

P7k

P8

VA

VB

Portanto:

U3 = +

Mg h

Sinal: positivo (TRAO)

Barras Horizontais (superiores)

Avaliao de O3:

MF' = 0 VA 2d P1 2d P2 d + O3 h = 0 O3 = VA 2d P1 2d P2 d h

Momento fletor na seo f (Viga de Substituio): Mf = VA 2d P1 2d P2 d

P1d e

P2f

P3g

P4h

P5i

P6j

P7k

P8

VA

VB

Portanto: O3 =

Mf h

Sinal: negativo (COMPRESSO)


26

TRELIAS ISOSTTICAS b. Barras DiagonaisP1D

dE

P2

dF

P3

dG

S1 O 3

h

D3A F

U3 S1

VA

Avaliao de D3:

FY = 0 VA P1 P2 P3 + D3 sen = 0 P1d e

D3 =

VA P1 P2 P3 senP6i j

Esforo cortante no trecho f-g (Viga de Substituio):

P2f

P3g

P4h

P5

P7k

P8

Q f g = VA P1 P2 P3

VA

VB

Portanto: D3 =

Qf g senCaso Geral: Sinal: estudar cada caso

c. Barras VerticaisP1D E

P2F

P3G

P4 S2H

V3A F

S2

VA

Avaliao de V3:

FY ' = 0 VA P1 P2 P3 P4 V3 = 0

V3 = VA P1 P2 P3 P4

Esforo cortante no trecho g-h (Viga de Substituio):P1d e

Qgh = VA P1 P2 P3 P4

P2f

P3g

P4h

P5i

P6j

P7k

P8

VA

VB

Caso Geral: Sinal: estudar cada caso27

Portanto:

V3 = Qgh


TRELIAS ISOSTTICAS

V0 = VAF

P3

V5 = VB

PBK

A

B

VA

V2 = P3

VB

V7 = PB

Observao: casos de barras verticais que no possvel utilizar a Seo de Ritter (caso de interceptar mais, ou menos, de trs barras). Soluo: Mtodo do equilbrio dos ns. No caso: V0 = VA (compresso) V2 = P3 (compresso) V5 = VB (compresso) V7 = P8 (compresso)

Aplicao

Problema 1: Determine o esforo normal de cada membro da trelia (altura constante e uma diagonal por painel) mostrada na figura abaixo. A trelia carregada superiormente.

2t

2t

2t

2t

2t

h=3m

3m

3m

3m

3m


28

TRELIAS ISOSTTICAS

Soluo 1: Viga de substituio:

2t

2t

2t

2t

2t

Frmulas:5t 5t

U3 = +DMF 9 mt 12 mt 9 mt

Mg hMf hint erceptado

O3 = D=

1 Q trecho sen

3t

3t

+

1t

1t DEC 1t 1t 3t

V = Q trecho

int erceptado

3t

Problema 2: Obter os esforos normais para as barras da trelia-marquise da figura a seguir.

S1 A V1 A O1

O2 V2 B U1 S2 3t U2 3t D2 V3

O3 V4 D3 C U3 D

S2

O4 D4 E U4 h=3m

D1

3t

S1 4m

3t

4m

4m

4m


29

TRELIAS ISOSTTICAS Problema 3: A figura abaixo representa uma trelia de altura constante. Porm, esto faltando as diagonais (uma em cada painel). Pede-se: a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem todas a trao. b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforo normal atuante nas barras horizontais no ultrapasse, em mdulo, o valor de 8 tf. c. Para esse valor de h, achar os esforos normais nas barras.2t 2t 2t 2t 2t

C

D

E

F

G

H

I

J h

A 2m 2m 2m 2m 2m 2m

B 2m

2. Trelia com Duas Diagonais por Painel (Trelia de Hssler)S1 S P 2 4 O3s

P1C D

P2E

P3V2

P5G

P6H

P7I

P8J

F

D3

s

h/2 V3i

A

V2i

D3 U3 S1 S2

h/2B

Idia bsica: Viga de SubstituioP1c d

P2e

P3f

P4g

P5h

P6i

P7j

P8

VA

VB

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores) Anlise b. Barras Diagonais c. Barras VerticaisTeoria das Estruturas I 30

TRELIAS ISOSTTICAS a. Barras Horizontais (inferiores)P1 d P2 d P3 S1 O3 V2s I V2

S1 VA

U3

Avaliao de U3:

ME = 0 VA 2d P1 2d P2 d U3 h = 0 U3 = VA 2d P1 2d P2 d hMe = VA 2d P1 2d P2 dP6h i

Momento fletor na seo e (viga de substituio):P1c d

P2e

P3f

P4g

P5

P7j

P8

VA

VB

Portanto:

U3 = +

Me h

Sinal: positivo (TRAO)

b. Barras Horizontais (superiores)P1 d P2 d P3 S1 O3s V2 I

V2

S1 VA

U3

Avaliao de O3:

ME

= 0 VA 2d P1 2d P2 d + O3 h = 0 VA 2d P1 2d P2 d h

O3 =

Momento fletor na seo e (viga de substituio):P1c d

Me = VA 2d P1 2d P2 dP6 P7i j

P2e

P3f

P4g

P5h

P8

VA

VB

Portanto:Teoria das Estruturas I

O3 =

Me h

Sinal: negativo (COMPRESSO)31

TRELIAS ISOSTTICAS b. Barras DiagonaisP1 P2 P3 D3 D2 D3 VAi is

Qef Qef

FX' = 0Avaliao de D3 e D3 :s i

s s Di3 cos D3 cos = 0 Di3 = D3

s FY ' = 0 VA P1 P2 P3 Di3 sen D3 sen = 0 s Di3 = D3 =

VA P1 P2 P3 2 sen

Esforo cortante no trecho e-f (Viga de Substituio): Qe f = VA P1 P2 P3P1c d

P2e

P3f

P4g

P5h

P6i

P7j

P8

VA

VB

s Portanto: Di3 = D3 =

Qe f 2 sen

Caso Geral: Sinal: estudar cada casoV2i

c. Barras VerticaisD2i

Qde

E

Avaliao de V2i:

F

Y

i i = 0 Di2 sen V2 = 0 V2 = Di2 sen

Esforo cortante no trecho d-e (Viga de Substituio): Qde = VA P1 P2

Q d e Mas a diagonal Di2 = 2 seni Portanto: V2 =

P1c d

P2e

P3f

P4g

P5h

P6i

P7j

P8

Q d e 2

VA

VB

Caso Geral: Sinal: estudar cada casoTeoria das Estruturas I 32

TRELIAS ISOSTTICASP1 P2 P3 S1 O3 V2 V2 S1 VA U3is

Avaliao de V2s:

FY ' = 0 VA P1 P2 P3 V2i V2s = 0 s i V2 = VA P1 P2 P3 V2

s Observao: no caso de carregamento inferior, obteramos inicialmente V2 pelo i equilbrio do n E e, em seguida, o valor de V2 atravs da condio

FY = 0.V3 = P4/23 1 VA Pi 2 i=1

D3i

i D4

4 1 VA Pi 2 i=1

Avaliao de V3:

F

Y`

= 0 Di3 sen Di4 sen V3 = 0 V3 = Di3 sen Di4 senQe f 2 seneDi4 = Qf g 2 sen

Mas Di3 =

Assim

V3 =

1 Qe f Q f g 2

(

)

No caso, V3 =

P4 2

(COMPRESSO)

Caso Geral: Sinal: estudar cada caso


33

TRELIAS ISOSTTICAS Problema 4 : Determine o esforo normal de cada membro da trelia de Hssler (altura constante e duas diagonais por painel) mostrada a seguir. A trelia carregada inferiormente.

A O1V0s

BV1s

O2

CV2s

O3

D1s D1i

D2s D2i

D3s V3 D3i

2t

V0i

V1i U1 C U2 D

V2i

2t F 2t 2t 2tG

A

U3 E

B

2t 2t 2t

2t 2t

2t

2t 2t


34

2. GRELHAS ISOSTTICAS

2.1. INTRODUO

a. Prtico Espacial Equaes da Esttica: Foras: Momentos:

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

Caso Particular: Foras numa s direo (no caso, z) e perpendiculares a um plano (no caso, x-y). b. Grelhas

Equaes da Esttica:

Fz = 0 Momentos: Mx = 0 My = 0Foras:

Fx = 0; Fy = 0; e Mz = 0Teoria das Estruturas I

(meras identidades)

35

GRELHAS ISOSTTICAS 2.2. APLICAES


36

GRELHAS ISOSTTICAS

Viga-Balco


37

GRELHAS ISOSTTICAS 2.3. DEFINIO

Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano. Grelhas Isostticas: Anlise atravs das trs equaes Tipos: 1. Grelha engastada-livre 2. Grelha triapoiada

Fz = 0, Mx = 0 e My = 0

3. Viga-balco

2.4. OBSERVAES

1. Grelha engastada-livre: as reaes de apoio so calculadas pelas equaes:

F

z

=0

Mx = 0 My = 0

2. Grelha triapoiada: as reaes de apoio podem calculadas por equaes independentes uma da outra. No exemplo abaixo:

Mreta BC = 0 Mreta CD = 0 Fz = 0

VD VB VC


38

GRELHAS ISOSTTICAS

3. Conhecendo-se as reaes de apoio, consegue-se obter os esforos solicitantes atuantes numa seo genrica S da grelha. 4. Esforos solicitantes atuantes numa seo genrica S da grelha: Q : perpendicular ao plano P da grelhaM : situado no plano P da grelha

5. O momento M pode ser decomposto em duas componentes: M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questo) T : momento toror (direo do eixo da barra) 6. Numa seo genrica de uma grelha podem atuar trs esforos simples: Q : esforo cortante (perpendicular ao plano da grelha) M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questo) T : momento toror (direo do eixo da barra) 7. Grelha triapoiada: Os apoios no devem estar situados sobre uma mesma reta (caso isso ocorra, ela ser hiposttica). A grelha deve ter, alm dos trs apoios perpendiculares a seu plano, pelo menos, mais trs apoios no prprio plano, que garantam estabilidade para carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo:


39

GRELHAS ISOSTTICAS

8. No caso de grelha com carregamento oblquo ao seu plano, deve-se decomp-lo em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana).

Grelha

Estrutura plana

2.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura abaixo, cujas barras formam, em todos os ns, ngulos de 90.2 t/m D C 3m A B 3m 3m

1t

Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo, em que a carga de 2 tf perpendicular ao plano ABC.2t

C

4 2m

A 4m

B


40

GRELHAS ISOSTTICAS

2.6. GRELHA TRIAPOIADA

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas barras formam, em todos os ns, ngulos de 90.

1t E D 4t A VE

3t

F 2m

2m B VB 2m C

VC 2m

Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas barras formam, em todos os ns, ngulos de 90. As barras BCD e ADF esto submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para baixo e as demais esto descarregadas.

A 5m B C D 5m E F 5m H 5m 5m 5m G


41

GRELHAS ISOSTTICAS 2.7. VIGA BALCO

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balco semicircular da figura a seguir.

B90o

P

R

A

Problema 2: Resolver a viga-balco semicircular submetida a um carregamento uniformemente distribudo q.q B

90o

R

A


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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

Gonalves, P.B., Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural, Notas de aula, Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003. Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7 edio, Prentice Hall, 2008. Soriano, H.L., Esttica das Estruturas, 1 Edio, Editora Cincia Moderna, 2007. Sssekind, J.C., Curso de Anlise Estrutural, Vol. 1, 12 edio, Editora Globo, Porto Alegre, 1994.


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teoria_das_estruturas i - apostila

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