teoria das filas e simulação -...

Universidade Federal de Mato Grosso - Campus Universitário do AraguaiaInstituto de Ciências Exatas e da Terra

Teoria das Filas e SimulaçãoBacharelado em Ciência da Computação

Prof. Ivairton M. Santos http://comp.cua.ufmt.br/ ivairton/

March 22, 2017

1Índice

Introdução

Modelagem de SistemasAplicações

FilasPropriedadesVariáveis randômicas fundamentaisProcessos de chegada e de atendimentoApêndice - Tabelas de referênciasModelos de filas

Modelo M/M/1Modelo M/M/1/KModelo M/M/cModelo Erlang

SimulaçãoMétodo de Monte Carlo

Ivairton | Teoria das Filas e Simulação

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Introdução

I A Teoria das Filas e a Teoria da Simulação são técnicas deplanejamento.

I Constituem da base teórica de programas de computadorrelacionados com simulação.

I Envolve matemática, modelagem e algoritmos.


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Modelagem de Sistemas

I Sistemas balanceados

Qual é a quantidade correta de equipamentos (sejam eles máquinas,veículos, pessoas, etc)? Ou, qual é o melhor layout e o melhor fluxodentro do sistema?

I O que são filas?

As filas são antipáticas e dispendiosas.

I Uma modelagem de sistema pode ser feita por duasabordagens:

I Teoria das filasI Simulação


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Modelagem de SistemasAplicações

I Linhas de produçãoI TransportesI ComunicaçõesI Bancos, supermercados, escritóriose, etc.


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FilasElementos

I Em uma típica fila temos:I PopulaçãoI ClientesI FilaI Serviço


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FilasCaracterísticas

I Características de uma filaI Clientes e tamanho da populaçãoI Processo de chegada (distribuição de frequência, tal como

distribuição normal, de Poisson e exponencial)

Ritmo de chegada = λ | Ex: λ = 20 clientes/minutoIntervalo de Chegadas = IC | Ex: IC = 3 segundos

I Processo de atendimento

Ritmo de atendimento = µ | Ex: µ = 6 clientes/minutoTempo de Duração = TA | Ex: TA = 10 segundos/cliente

I Número de servidoresI Disciplina da fila (FIFO, LIFO, prioridade, randômico)I Tamanho médio da filaI Tamanho máximo da filaI Tempo médio de espera


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I Variáveis randômicasI Diretamente ligadas às filasI Para as principais variáveis existe um valor médioI E uma distribuição de probabilidades

I Sistemas estáveisI A abordagem matemática de filas exige que λ e µ sejam estaveis

(constantes)I Por mais que possam ocorrer sistuações adversas, em sistemas

estáveis todas as características randômicas das filas se mantêmestáveis

I Tamanho da amostra

É importante escolher um tamanho correto para a amostra.


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I Dimensionamento: tipo da filaI Uma única fila e um único servidorI Uma única fila e diversos servidoresI Diversas filas e diversos servidoresI Filas especiaisI Alteração dinâmica no sistema de atendimento


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FilasExercício

I Exercício 1 - Considere um sistema em que navios chegam aum porto para carregar algum produto. Abaixo estão anotadosos valores de intervalos entre chegadas (em horas) para 10navios:

Cliente: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10Intervalo: 10 02 13 07 02 08 08 08 10 09

A duração do processo de carga (em horas) para cada navio é:

Cliente: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10Duração: 05 05 03 03 06 07 06 08 02 05

Pede-se:1. O intervalo médio entre chegadas2. A duração média do carregamento3. Tente desenhar um esquema de funcionamento da fila4. Calcule o tamanho médio da fila5. Calcule o tempo médio de espera na fila


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FilasVariáveis randômicas fundamentais

I Variáveis referentes ao sistemaI TS = Tempo médio de permanência no sistemaI NS = Número médio e clientes no sistema

I Variáveis referentes ao processo de chegadaI λ = ritmo médio de chegadaI IC = Intervalo médio entre chegadas

Por definição: IC = 1λ

I Variáveis referentes à filaI TF = Tempo médio de permanência na filaI NF = Número médio de clientes na fila

I Variáveis referentes ao processo de atendimentoI TA = Tempo médio de atendimento ou de serviçoI M = Quantidade de atendentesI NA = Número médio de clientes em atendimentoI µ = Ritmo médio de atendimento de cada atendente

Por definição: TA = 1µ


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I Relações básicas:NS = NF + NATS = TF + TA

I Pode-se demosntrar que: NA = λµ = TA

IC . Portanto:NS = NF + NA = NF + λ

µ = NF + TAIC

I Taxa de utilização dos atendentesI Para o caso de uma fila/um atendente:ρ = λ

µI Para uma fila/vários atendentes:ρ = λ

Mµ

I Número mínimo de atendentesi = |λµ | = |TA

IC |I Formulas de Litter:

NF = λ.TFNS = λ.TS


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FilasExemplos

I Exemplo 1: Em uma fábrica observou-se o funcionamento deum dado setor, em que λ = 20 clientes/hora, µ = 25clientes/hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio da fila.Solução:TA = 1

µ = 0,04TF = TS - TA = 0,26NF = λ.TF = 5,2 clientes

I Exemplo 2: Para o mesmo sistema anterior, calcular NS e NA.Solução:NS = λ.TS = 20 × 0,3 = 6 clientesNA = NS - NF = 6 - 5,2 = 0,8 clientes

I Exemplo 3: Em uma mineração verificou-se que o tempo médio(TS) dos caminhões junto às carregadeiras é de 3 minutos eque, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor. Qual a taxade chegada de caminhões?Solução:Pela lei de Little: NS = λ.TS ou λ = NS/TSLogo: λ = 6/3 = 2 chegadas/minuto


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FilasExemplos

I Exemplo 4: No mesmo sistema anterior, exisstindo um total de30 caminhões em serviço, qual a duração de um ciclo?Solução:Chamamos de ciclo o tempo gasto para que todos os caminhões"passem" pela carregadeira uma vez. Ao final de um ciclo osistema terá atendido uma vez a cada um dos 30 camnhiões.Duração do ciclo = (Quantidade de caminhões) / λDuração do ciclo = 30 / λ = 30/2 = 15 minutos

I Exemplo 5: No mesmo sistema dos 2 exercícios anteriores, qualo tempo médio para o processo completo de descarregamento(ou TFS: Tempo Fora do Sistema)?Solução:Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do sistema(TS=3) com o tempo de descarregamento (TFS). Logo:TFS + TS = 15TFS = 15 - 3 = 12


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FilasPostulados básicos

I Postulados básicos:a) Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que

saib) Em um sistema estável, o fluxo de etrada se mantém nas diversas

seções do sistemac) Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somasd) Em um sistema estável, o fluxo de desdobra aritmeticamente


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FilasExercícios

I Exercício 1: Em uma pizzaria que faz entregas em casa,chegam em média 4 entregadores/minuto para pegar o produtoa ser entregue. Sabe-se ainda que o número médio deenetregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual o tempomédio no sistema?

I Exercício 2: No mesmo sistema anterior, existem 40entregadores. Qual o tempo médio da entrega (TFS)?

I Exercício 3: Em um sistema de computação tem-se:I Tempo médio de pensar e fornecer dados (TFS) = 15 minutosI Quantidade de terminais ativos = 40I Taxa de chegada de transnsações = 2/segundo

Pede-se o tempo de resposta do computador (TS).


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FilasExercícios

I Exercício 4: Em uma mineração temos 12 caminhões efetuandoum ciclo no qual consomem 4 minutos entre fila e carregamentopela escavadeira (TS) e, a seguir, gastam 8 minutos para levar acarga até o britador e voltar (TFS). Calcular λ e NS.

I Exercício 5:Em um sistema de computação temos 21 terminais.O tempo médio de resposta do computador (TS) é de 2segundos e existem, em média, 6 transações (NS) dentro dosistema. Pede-se:

a) Qual a taxa de chegada de transações?b) Qual a duração de um ciclo?c) Qual o tempo médio de pensar e fornecer os dados (TFS)?

I Exercício 6: A representação de fluxo dada abaixo correspondeao fluxo de peças em um setor de uma fábrica, calcule o fluxo dechegda em cada equipamento:Em A: λ = 10; Em B: λ = 20De A para C, valor de C?De B para D e de C para D, valor de D?De D para E, com taxa de 30%, valor de E?De D para F, com taxa de 70%, valor de F?


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FilasProcessos de chegada e de atendimento

I Considere um processo de chegada de uma forma quantitativa.I Por exemplo, a tabela abaixo descreve a chegada de veículos a

um pedágio a cada intervalo de 1 minuto, no período de 1 hora.

I Nas 60 anotações, chegaram 120 veículos, com λ = 2veículos/minuto.

I O menor valor (0) ocorreu 9 vezes.I O maior valor (8) ocorreu 1 vez.


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I Uma análise adequada desses dados deve-se valer daestatística.

I O principal objetivo é saber como os valores se distribuem emtorno da média.

I Ao agrupar os dados temos:I O gráfico abaixo mostra a curva para o ritmo de chegada x

frequência relativa:


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Qual é a distribuição estatística que mais se aproxima dos dadosreais apresentados?

I Uma metodologia é usar como critério o teste baseado em x2.I Para o caso, a distribuição que mais se aproxima é a de

Poisson.


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Distribuição de Poisson:

f (x) = λx e−λ

x!

I A distribuição de Poisson tem se mostrado aplicável a inúmerostipos de processos de chegadas práticos.


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I Exemplo: Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos/semana(segundo uma distribuição de Poisson). Qual a probabilidade deocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em umamesma semana?(a) zero pedidos(b) 7 pedidos(c) até 7 pedidos(d) Acima de 7 pedidos

Solução:(a) f (0) = 0, 001(b) f (7) = 0, 149(c) f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6) + f (7) = 0, 598(d) 1 − (f (0) + f (1) + ...+ f (7)) = 1 − 0, 598 = 0, 402


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I A distribuição de Poisson está relacionada com ritmos.

Distribuição Exponencial NegativaPode-se demonstrar que a distribuição Exponencial Negativa é acorrespondente da distribuição de Poisson quando nos referimos aintervalos entre chegadas.

I Considerando ainda o exemplo do pedágio, podemosreescrevê-lo considerando os intervalos entre chegadas deveículos, conforme tabela abaixo:


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I Considere uma abordagem estatística por faixa de intervalosentre chegadas:


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Distribuição Exponencial Negativaf (x) = λe−λx

onde, f (x) é a função densidade, sendo λ o ritmo de chegada e x otempo.

I Para calcularmos a frequência relativa de ocorrência dechegadas no intervalo t e t + ∆t , devemos calcular a integral nomesmo intervalo (de x = 0 até x = x)

F (x) = 1− e−λx


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I O valor da integral de F (x) no intervalo (t , t + ∆t) éF (t + ∆t)− F (t) e representa também a probabilidade deocorrência do fenômeno no intervalo (t , t + ∆t)


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I Exemplo: Considerando o problema o pedágio, para o qualλ = 2 chegadas/minuto (ou 0,033 chegadas/segundo), ou IC =30 segundos:(a) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas

seja de até 30 sgundos (0,5 min):Solução: F (0, 5) = 0, 632 ou 63,2%

(b) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegdasseja maior que 30 segundos:Solução: 1 − F (0, 5) = 1 − 0, 632 = 0, 368 ou 36,8%

(c) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegdasesteja compreendido entre 12 e 24 segundos (0,2 e 0,4 minutos):Solução: F (0, 4)− F (0, 2) = 0, 551 − 0, 330 = 0, 221 ou 22,1


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FilasExercícios

I Exercício 1: Um profissional foi solicitado para efetuar umestudo em uma firma distribuidora de gasolina. Esta firmapossui um pátio com uma bomba, onde os caminhões sãocarregados com gasolina. Com o aumento das vendas, temacontecido frequentemente a lotação do pátio por caminhões,além de atrapalhar o trânsito local. Assim, a missão doprofissional é redimensionar o pátio no que se refere ao númeroótimo de postos de atendimento. Inicialmente, ele estudou oritmo de chegada, fazendo uma coleta de dados, conformetabela abaixo, que relaciona a quantidade de veículos quechegou ao pátio em cada um dos 80 intervalos de 1 hora.

Pede-se: verificar graficamente se o ritmo de chegadas seaproxima da distribuição de Poisson.


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FilasExercícios

I Exercício 2: Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmode 4 falhas/semana, segundo uma distribuição de Poisson.Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação deconserto ao departamento responsável pela manutenção. Quala probabilidade de, em uma dada semana, chegarem asseguintes quantidades de solicitações de conserto:(a) zero(b) 1 falha(c) até 4 falhas(d) mais que 4 falhas(e) 12 falhas

I Exercício 3: Em um dado sistema o intervalo médio entre duaschegadas é IC = 10 minutos (λ = 6 chegadas/hora, Dist. Exp.Negativa). Pede-se a probabilidade de que o intervalo entreduas chegadas seja:(a) até 6 minutos(b) maior que 6 minutos(c) entre 6 e 30 minutos(d) maior que 30 minutos


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FilasO processo de atendimento

I Ainda considerando o problema do pedágio, mas agora comatenção ao atendente, considere a tabela abaixo que mostra 100valores referentes a duração de cada atendimento:

Temos:TA = 20 segundos/cliente (TA = 0,33 minutos/cliente)Ou seja: µ = 3 clientes/minuto

I Para análise desses dados é necessário agrupá-los emintervalos.


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I Verificando se os valores da frequência relativa seguem adistribuição exponencial, tem-se:

I Nota-se que existe uma grande diferença entre as curvas.


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I Observa-se que a distribuição Exponencial prevê uma altaprobabilidade para o atendimento nos primeiros momentos, oque é absurdo.

A distribuição Exponencial geralmente não se adapta ao processo deatendimento.

I Um dos poucos (raros) casos em que a distribuição ExponencialNegativa se adapta ao atendimento é o caso da duração de umaligação telefônica.

I Para este processo não existe uma única distribuição quemelhor se adapte.

I As candidatas com boas possibilidades são:I Hiper-exponencial de grau mI Erlang de grau m


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I Exemplo: A duração média de um telefonema é de 6 minutos esegue a distribuição Exponencial Negativa. Qual a probabilidadede que a duração seja:(a) até 6 minutos(b) acima de 6 minutos(c) até 1 minuto(d) entre 1 e 6 minutos(e) acima de 30 minutos

Solução: (vide valores da distribuição exponencial acumuada)Visto que TA = 6 minutos, pode-se considerar µ = 10ligações/hora.(a) F (0, 1) = 0, 632 ou 63,2%(b) 1 − F (0, 1) = 1 − 0, 632 = 0, 368 ou 36,8%(c) F (0, 011) = 0, 153 ou 15,3%(d) F (0, 1)− F (0, 011) = 0, 632 − 0, 153 = 0, 479 ou 47,9(e) 1 − F (0, 5) = 1 − 0, 993 = 0, 007 ou 0,7%


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FilasExercícios

I Exercício 4: O mesmo profissional do Exercício 1 estudou oprocesso de atendimento no pátio. Os dados da tabela abaixomostram a duração de cada atendimento em minutos:

Pede-se: verifique graficamente se a duração do atendimentosegue a distribuição Exponencial Negativa.


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FilasExercícios

I Exercício 5: A duração média de carga de um caminhão emuma empresa de atacado é de 20 minutos (µ = 3atendimentos/hora). Considere que o proceso siga a distribuiçãoExponencial Negativa e calcule a probabilidade de que o tempode carga seja de:(a) até 10 minutos(b) entre 10 e 20 minutos(c) entre 20 e 30 minutos(d) entre 30 e 40 minutos

Conforme visto, é pouco provavel que o processo de carregamentode um caminhão obedeça a distribuição Exponencial. Façacomentários qualitativos sobre quais valores seriam mais prováveispara as respostas dos itens anteriores.


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FilasApêndice - Tabelas


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Modelo M/M/1

I O modelo de fila M/M/1 é aquele em que tanto as chegadasquanto o atendimento são marcovianos e temos um únicoatendente.

I Pode-se ter uma população infinita ou finita.


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Modelo M/M/1População infinita

I São as seguintes fórmulas que tram as principais variáveisrandômicas:

Nome Descrição Fórmula

NF Número médio de clientes na fila NF = λ2

µ(µ−λ)

NS Número médio de clientes no sistema NS = λµ−λ

TF Tempo médio que o cliente fica na fila TF = λµ(µ−λ

TS Tempo médio que o cliente fica no sistema TS = 1µ−λ

Pn Probabilidade de existirem n clientes no sistema Pn = (1− λµ )λ

µ )n


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Modelo M/M/1Taxa de utilização

I Chamamos de taxa de utilização a relação entre o ritmo médiode chegada e o ritmo médio de atendimento:

ρ = λµ

I Sistemas estáveis exigem λ menor que µ, ou ρ < 1.


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Modelo M/M/1Exemplo

I Exemplo 1: a cabine telefônica - Suponha que as chegdas auma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de6 chegadas/hora. A duração média do telefonema é de 3minutos e suponha que siga a distribuição exponencial. Pede-se

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não terque esperar?

b) Qual o número médio de pessoas na fila?c) Qual o número médio de pessoas no sistema?d) Qual o número médio de clientes usando o telefone?e) Qual o tempo na fila?f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situaçãm em que o tempo

médio de espra na fila seria de 3 minutos?g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?


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Modelo M/M/1Exemplo

Solução: Pelos dados temos: λ = 6 chegadas/hora (IC=10 minutos);TA = 3 minutos (µ = 20atendimentos/horaa) Probabilidade de não ter ninguém no sistema:

P0 = 1− λ/µ = 1− 6/20 = 0,7

b) NF = λ2

µ(µ−λ) = (62)/(20(20− 6)) = 0,128

c) NS = λ/(µ− λ) = 0,428d) NA = NS − NF = 0,428− 0,128 = 0,30e) TF = λ/µ(µ− λ) = 6/20(20− 6) = 0,021hora = 1,28minutosf) Para TF = 3 minutos ou TF = 0,05 hora e mantendo o mesmoµ = 20 clientes/hora, temos: λ = TF×µ2

1+µ×TF = 10 chegadas/hora

g) A fração do dia em que o telefone está em uso é dado por 1− P0,ou seja, 30%.


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Modelo M/M/1/K

I Um caso particular e comum é aquele em quea população declientes é finita.

I Exemplo: Uma mineradora com 1 escavadeira e algunscaminhões.

I A tabela asseguir K representa a quantidade finita de clientesque estão percorrendo o sistema

Nome Descrição FórmulaNF número médio de clientes na fila NF = K − λ+µ

λ + (1− P0) + λµ

NS Número médio de clientes no sistema NS = K − λ+µλ + (1− P0) + λ

µ + λµ

TF Tempo médio que o cliente fica na fila TF = Kλ −

(λ+µ)×(1−P0)λ2

TS Tempo médio que o cliente fica no sistema TS = Kλ −

(λ+µ)×(1−P0)λ2 + 1

µ

Pn Prob. de existirem n clientes no sistema Pn =( µλ )K−n

(K−n)×ΣKj=0

(µλ

)j

j!


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Modelo M/M/1/KExercícios

Exercícios:

1. Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3/hora e oserviço demora, em média, 16 minutos. Qual o tempo de esperana recepção? e no sistema?

2. Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de25/hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2min. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espra e afração de tempo em que a bilheteria não trabalha.

3. Em um sitema no qual λ = 4 clientes/hora e µ = 6 clientes/hora,qual a probabilidade de existir no sistema:(a) zero clientes(b) 1 cliente(c) 3 ou 4 clientes(d) 5 ou mais clietes


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Modelo M/M/1/KExercícios

Exercícios:

1. No mesmo sistema anterior, admitindo-se que o custo do clienteparado seja de R$10/hora, pede-se o custo horário de clientesno sistema.

2. Em um sistema de filas sequenciais, no qual as peças fluempela linha de produção (Linha 1 e Linha 2 alimentam em paraleloa Linha 3), temos:λ1 = 10, λ2 = 5, µ1 = 15, µ2 = 30 e µ3 = 20Calcule:(a) NF, TF, NS e TS para cada servidor(b) NS e TS para o sistema como um todo


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O modelo M/M/c

I O modelo M/M/c é aquele em que temos uma única fila ediversos servidores.

I Tanto a chegada como o atendimento são marcovianos.I Será considerado que a capacidade de atendimento de cada um

dos servidores é a mesma.I Para este modelo são válidas as seguintes definições:

I λ = ritmo médio de chegada;I IC = intervalo médio entre chegadas (IC = 1/λ);I TA = tempo médio de atendimento, ou de serviço em cada

atendente;I µ = ritmo médio de atendimento de cada atendente (TA = 1/µ


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O modelo M/M/cPopulação infinita: fórmulas x gráficos

Fórmulas × GráficosAs fórmulas para o modelo M/M/c são complexas e difíceis de seremmanipuladas. De modo geral, prefere-se o uso de gráficos dereferência.

I Utilizaremos gráfico para obter o número médio dos clientes nafila (NF) em função do fator de utilização, tendo como parâmetroa quantidade de servidores M.

I Utilizaremos gráfico para obter o número médio de clientes nosistema (NS).

I Para os dois casos a taxa de utilização é:

ρ = λ/Mµ

onde λ é o ritmo de chegada, M a quantidade de servidores e µo ritmo de atendimento.


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ρ = λ/MµIvairton | Teoria das Filas e Simulação

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ρ = λ/MµIvairton | Teoria das Filas e Simulação

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I Em ambos os gráficos a ordenada tem escala logarítmica.I Em ambos os gráficos o valor da ordenada tende para infinito

quando ρ tende para 1.I Observa-se a redução acentuada quando dobra-se a

capacidade de atendimento.I Observa-se também que, aumentando a quantidade de

servidores, o tamanho da fila diminui e aumenta a quantidade declientes no sistema.

I Após o uso dos gráficos, as outras variáveis randômicasfundamentais podem ser obtidas pelas fórmulas de Little (TF =NF/λ e TS = NS/λ).


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O modelo M/M/cExemplos

I Exemplo 1 - Depósito de ferramentas: Retomando o exemploonde foi calculado o custo horário de um sistema com 1atendente em que λ = 1 e µ = 1,2, sendo R$9,00 o custohorário do atendente e R$18,00 o custo horário do operárioparado. Podemos agora acrescentar diversos atendentes,avaliando o custo mínimo:

M ρ NS Custo atend. Custo ope. Total1 0,833 5,0 R$9,00 R$90,00 R$99,002 0,417 1,0 R$18,00 R$18,00 R$36,003 0,277 0,7 R$27,00 R$12,60 R$39,604 0,208 0,6 R$36,00 R$10,80 R$46,805 0,200 0,59 R$45,00 R$10,62 R$55,62


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I Exemplo 2 - Chegada superior a atendimento: Uma agênciabancária possui 5 atendentes e funciona diariamente das 10:00às 16:00 (6 horas). O ritmo de chegada é de 110 clientes /hora ea duração média de atendimento é de 3 minutos (µ=20atendimentos/hora). Pergunta-se: (a) o tamanho médio da fila;(b) o tempo médio de espera na fila.

Solução: Temos um problema que não se enquadra no modeloM/M/c, visto que o funcionamento da agência não tem duraçãocontínua e infinita, pré-requisito da teoria de filas. Caso istoocorresse, teríamos:ρ = λ/Mµ = 110/(5× 20) = 1,1Isso nos leva a concluir que tanto o tamanho médio da fila, como otempo médio de espera tendem a infinito.


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I Exemplo 3 - Fila única versus diversas filas: Um bancodeseja modificar a forma de atendimento a seus clientes, quehoje funciona comdiversas filas, pelo sistema de fina única. Osdados atuais são:λ = 70 clientes/hora, que se distribuem em 5 filasM = 5 atendentesµ = 20 clientes/hora (TA = 3 minutos)

Solução: (a) situação atual com 5 filas. Em cada fila temos:λ = 70/5 = 14TS = 1/(µ− λ) = 0,167 hora = 10 minutosNS = λ× TS = 14 × 0,167 = 2,33Nas 5 filas temos: NS (total) = 5 x 2,33 = 11,67 pessoasSolução: (b) situação futura com fila únicaρ = λ/M.µ = 70/(5 x 20) = 0,7Usando o gráfico como referêcia: NS = 5 pessoasTS = NS/λ = 5/70 = 0,07 hora = 4,3 minutos


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O modelo M/M/cExercícios

1. Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor deatendimento. O primeiro trabalha apenas com depósito e osegundo com retiradas. Sabe-se que o tempo de serviço deambos segue a distribuição exponencial, com uma média de 3minutos/cliente. As chegadas obedecem a disribuição dePoison, com média de 16 chegadas/hora para os depositantes e14 chegadas/hora para os que fazem retiradas. Qual seria oefeito no tempo médio no sistema (TS) se ambos os funcionáriostrabalhassem com retiradas e depósitos?

2. Um siderúrgica possui 3 veículos para atender deslocamentosde seus funcionários. O ritmo médio de solicitação de veículos éde 10 pedidos/hora e o tempo médio de uma viagem é de 20minutos. Calcule o número médio de clientes na fila e o tempomédio na fila. Qual deve ser o número adequado de veículos demodo que o tempo médio de espera na fial seja inferior a 5minutos?


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O modelo Erlang

I O modelo M/M/c não dimensiona filas precisamente.I Uma opção de modelo mais preciso é o Erlang (M/Em/c).I Neste modelo, os atendimentos seguem a Distribuição de Erlang

de grau m.I O modelo M/M/c fornce um valor para TF (tempo na fila) maior

que o modelo M/Em/c, ou seja, M/M/c superdimensiona anecessidade de servidores.


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Simulação

SimulaçãoÉ a técnica de solução de um problema pela análise de um modeloque descreve o comportamento do sistema usando um computador.

"Simulação implica na modelagem de um processo ou sistema, de talforma que o modelo imite as respostas do sistema real numasucessão de eventos que ocorrem ao longo do tempo.”(Schriber, 1974)

SistemaÉ uma agregação de objetos que possuem alguma interação ouinterdependência.


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Simulação

ModeloÉ a representação de um sistema

I Os modelos podem ser categorizados como:I IcônicosI AnalógicosI SimbólicosI MatemáticosI Diagramáticos


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Simulação

I Justificativa para o uso da simulação (no contexto da teoria dasfilas):

1. Inviabilidade da interferência do sistema real;2. O sistema em estudo não existe.

I Metodologia apra a simulação de sistemas:Etapa 1 Construção do modelo da simulação atual;Etapa 2 Inclusão de alterações no modelo da situação atual para refletir a

situação futura desejada.I Método de Monte Carlo é fundamental em simulações de

sistemas discretos. Proporciona recriar o funcionamento de umsistema real dentro de um modelo teórico.


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Método de Monte Carlo

Método de Monte CarloÉ uma maneira de se transformar um conjunto de números aleatóriosem outro conjunto de números (variáveis aleatórias), com a mesmadistribuição da variável considerada.

I São conceitos importantes:I números aleatórios;I distribuições relativas e cumulativas;I funções relativa e cumulativa.


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Método de Monte Carlo

I Esperamos que a simulação forneça resultados semelhantesaos da vida real;

I Assim, ao simular, por exemplo, um processo de atendimento,isso seguirá etapas:

I Sorteio de um número aleatório;I Uso do número sorteado numa função densidade (que se baseia

num gráfico obtido por uma função cumulativa);I Obtem-se portanto, o número correspondente ao tempo de

atendimento, por exemplo.I A garantia do método de Monte Carlo é que quando este

processo se repete em grande número, os valores simulados seassemelham aos valores reais (no que se refere às variáveisrandômicas).


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Bibliografia

I Estes slides são baseados predominantemente no livro:PRADO, Darci. Teoria das Filas e da Simulação - SériePesquisa Operacional. Volume 2. Ed. DesenvolvimentoGerencial, Belo Horizonte, 1999.


Obrigado!Prof. Ivairton M. Santos

teoria das filas e simulação -...

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