teoria filas transparencia

37
Fernando Nogueira Teoria de Filas 1 Teoria de Filas Teoria de Filas Agner Krarup Erlang (*1878, Lonborg, Dinamarca; 1929, Copenhagen, Dinamarca).

Upload: hluiz

Post on 29-Dec-2015

27 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

teorira das filas

TRANSCRIPT

Page 1: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 1

Teoria de FilasTeoria de Filas

Agner Krarup Erlang(*1878, Lonborg, Dinamarca; 1929, Copenhagen, Dinamarca).

Page 2: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 2

Introdução

O estudo de Teoria de Filas trata com o fenômeno de aguardar em fila usando medidas representativas da performance do sistema, tais como comprimento médio da fila, tempo médio de espera na fila, utilização média do sistema, entre outros.

USA (2001) ⇒ estimativa de 37.000.000.000 horas gastas em filas pela população/ano.

Pesquisa realizada nos E.U.A. em 1988, com 6000 pessoas. Fonte: Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000).

Page 3: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 3

Exemplo de como calcular com incertezas

Dois trens vão ocupar um mesmo terminal de carga. Os horários de chegada, de saída e de permanência dos trens no terminal são tratados como variáveis aleatórias.

7 .6 8 .4 9 .2 1 0 1 0 .8 1 1 .6 1 2 .4 1 3 .2 1 4 1 4 .8 1 5 .6 1 6 .4 1 7 .2

1 2

G a n tt

h o ra

term

inal

( )( ) ( ) ( ) ττ−τ=∗ ∫∞

∞−

dtgftgf

( )( ) ( ) ( )∑ −=∗n

nmgnfmgf

A soma de 2 variáveis aleatórias, f e g, é realizada pela convolução de f e g:

Contínuo

Discreto

Terminal

Page 4: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 1 chegar no terminal: Tc1=8.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: Ts1 = Tc1 + Pt => Ts1 = conv(Tc1,Pt)=12.4

Page 5: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar no terminal: Tc2=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal: Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4

Page 6: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.05

0.1

0.15

0.2

distribuição de probabilidade do horario de haver 2 trens (FILA) no terminal: P(fila)=0.37333 E(h.fila)=11.9482

Page 7: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)==12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533

Page 8: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal (SEM FILA): Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal + FILA: TsF2 = Ts2 + f => TsF2 = conv(Ts2,f)=16.9553

Page 9: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 9

Estrutura Básica de um Modelo de Fila

Fonte de Entrada ⇒ onde gera-se os clientes.

1)Tamanho da População: finita ou infinita.

2)Distribuição de Probabilidade que os clientes são gerados sobre o tempo (Poisson).

3)Distribuição de Probabilidade do tempo entre chegadas (Exponencial).

obs: 2) ⇔ 3) se 2) Poisson e 3) Exponencial

Fonte de

Entrada

Fila

Mecanismo de

Atendimento

Clientes Clientes Atendidos

Sistema de Fila

Disciplina da Fila

Page 10: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 10

Fila ⇒ onde os clientes aguardam antes de serem atendidos.

1)Número máximo de clientes que a fila pode conter (buffer): finito ou infinito.

Disciplina da Fila ⇒ ordem que os clientes em fila são selecionados para atendimento.

First In First Out (FIFO) = First Come First Served (FCFS), Last In First Out (LIFO), Randômica, Prioridade, entre outras.

Mecanismos de Atendimento (Serviço) ⇒ onde o cliente é atendido.

1)Número de instalações de atendimento em série (não necessariamente).

2)Numero de canais de atendimento (servidores) em paralelo para cada inst. de atend.

3)Distribuição de Probabilidade para cada servidor (Exponencial).

instalação de atendimento 1

Clientes

Clientes Atendidos

Sistema de Fila

444 8444 76 FilaCCCCCC

CCCC

14

13

12

11

SSSS

44 844 76 FilaCCCC

instalação de atendimento 2

CCC

23

22

21

sss

Clientes Atendidos

Page 11: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 11

t

f(t):d

ensi

dade

de

prob

abilid

ade

pdf - Exponencial

λ

0 E(t)=1/ λ 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tf(t

):pro

babi

lidad

e ac

umul

ada

PDF - Exponencial

Distribuição Exponencial

As variáveis aleatórias Tempo Entre Chegadas e Tempo de Atendimento são modeladas geralmente pela Distribuição Exponencial. Seja t um v.a. com Distribuição Exponencial com parâmetro λ, então:

( )λ

=1tE ( ) 2

1tvarλ

=

{ }

{ }

( )0t

edteTtP

e1dteTtP

T

T

t

TT

0

t

=λ=>

−=λ=≤

λ−∞

λ−

λ−λ−

∫( )

⎩⎨⎧

<≥λ

=λ−

0tpara00tparae

tft

Page 12: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 12

Perda de Memória

{ } { }

{ } { }{ }

{ }{ }

( )

( ) { }TtPee

ettP

tTtPttP

tttTtPtttTtP

TtPtttTtP

Tt

tT

>===∆>

∆+>=

∆>∆>∩∆+>

=∆>∆+>

>=∆>∆+>

λ−∆λ−

∆+λ−

Se agora são 8:20hs e a última chegada ocorreu 8:00hs, a probabilidade que a próxima chegada irá ocorrer após 8:30hs é função apenas do intervalo entre 8:20hs e 8:30hs (T), ou seja, éindependente do intervalo entre 8:00hs (quando ocorreu a última chegada) e 8:20hs (∆t). Exemplo:

Uma máquina quebra a cada 40 minutos em média com distribuição exponencial. Assim, a taxa média de quebra é:

A função densidade é:

Se agora são 8:20hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:

Porém, se agora são 7:00hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:

hora/quebra5.14060

==λ( ) 0t,e5.1tf t5.1 >= −

22.0e16010tP 60

105.1≈−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

89.0e16090tP 60

905.1≈−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

{ } { }APBAP =∩⇒

B A =

B contém A

A

∆t Τ t

t >∆t+T t >∆t

t >∆t+T ∩ t >∆t

Page 13: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 13

Processos de Nascimento e Morte: relação entre Poisson e Exponencial

Processo de Nascimento Puro ⇒ somente chegadas são permitidas. Ex: emissão de certidão de nascimento.

Processo de Morte Puro ⇒ somente saídas são permitidas. Ex: retirada aleatória de itens de um estoque.

Tempo entre Chegadas e Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial com parâmetros λn e µn, respectivamente ⇒ Cadeia de Markov em Tempo Contínuo.

Processo de Nascimento Puro

Seja p0(T) a probabilidade de nenhuma chegada durante um período T. Dado que o Tempo entre Chegadas t é exponencial e que a taxa de chegada é λ clientes por unidade de tempo, então:

Expandindo p0(T) em Taylor, para um intervalo de tempo h > 0 , porém pequeno, fica:

Considerando que em um intervalo pequeno, no máximo um evento pode ocorrer, então para h → 0:

( ) { } { } ( ) TT0 ee11TtP1TtPTp λ−λ− =−−=≤−=≥=

( ) ( ) ( )22

h0 hOh1...

!2hh1ehp +λ−=−

λ+λ−== λ−

( ) ( ) h)h1(1hp1hp 01 λ=λ−−≈−=

Page 14: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 14

Este resultado mostra que a probabilidade de uma chegada durante h é diretamente proporcional à h com taxa de chegada λ (constante de proporcionalidade).

A distribuição do número de chegadas pn(T) durante um período T, pode ser deduzida por:

Na primeira equação, n chegadas serão percebidas durante T + h se há n chegadas durante T e nenhuma chegada durante h, ou n-1 chegadas durante T e uma chegada durante h. Todas as outras combinações são impossíveis para a distribuição exponencial (no máximo um evento pode ocorrer para um intervalo de tempo pequeno). Uma vez que chegadas são eventos independentes, o produto das probabilidades pode ser aplicado no lado direito das 2 equações acima. Na segunda equação, zero chegadas durante T + h podem ocorrer somente se nenhuma chegada ocorrer durante T e h. As derivadas das 2 equações dadas acima são:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n,h1.Tphp.TphTp

0n,h.Tph1.Tphp.Tphp.TphTp

0000

1nn11n0nn

=λ−=≈+>λ+λ−=+≈+ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=λ−=−+

=′

>λ+λ−=−+

=′

−→

0n,Tph

TphTplimTp

0n,TpTph

TphTplimTp

000

0h0

1nnnn

0hn

Page 15: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 15

A solução do sistema de equações diferenciais resulta em:

que é a distribuição de Poisson com média chegadas durante T. A variância é . O resultado mostra que se o Tempo entre Chegadas é Exponencial com média 1/λ então o número de chegadas durante T é Poisson com média λT.

( ) ( ) ,...2,1,0n,!neTTp

Tn

n =λ

=λ−

{ } TTnE λ={ } TTnvar λ=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

n - numero de chegadas no periodo T = 1

Pro

babi

lidad

e

Funçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n - numero de chegadas no periodo T = 1

Pro

babi

lidad

e A

cum

ulad

a

Funçao Distribuiçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3

Page 16: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 16

Exemplo:

Um terminal de carga recebe caminhões a uma taxa de 1 caminhão a cada 12 minutos. O Tempo entre Chegadas é exponencialmente distribuído.

a)O número médio de caminhões por dia é:

b)O número médio de caminhões por ano é:

c)A probabilidade de nenhum caminhão chegar em um dia é:

d)A probabilidade de chegar 50 caminhões em 3 horas dado que 40 caminhões chegaram durante as 2 primeiras horas do período de 3 horas é:

Processo de Morte Puro

O sistema possui N clientes e nenhuma chegada é permitida. Atendimentos ocorrem em uma taxa µ clientes por unidade de tempo. A probabilidade pn(T) de n clientes permanecerem após T unidades de tempo é:

dia/hoesminca12024*1260

==λ

ano/hoesminca43800365*120T ==λ

( ) ( ) 0!0e1*1201p

1*1200

0 ≈=−

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 018.0!10e1*51p

!4050

e23*1260

23p1*510

10

1*12604050

4050 ≈==−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−−

−−

Page 17: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 17

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )∑=

µ−−

+

+

−==−

µ=

⎪⎩

⎪⎨

µ=′<<µ+µ−=′

µ−=′→

⎪⎩

⎪⎨

µ+=+<<µ+µ−=+

µ−=+

N

1nn0

TnN

n

10

1nnn

NN

100

1nnn

NN

Tp1TpN,...,2,1n,!nN

eTTp

TpTpNn0,TpTpTp

TpTp0hCom

h.Tp1.TphTpNn0,h.Tph1.TphTp

h1.TphTp

A solução deste sistema de equações diferencias resulta na Distribuição de Poisson Truncada.

Distribuição de Poisson Truncada

Exemplo:

Uma loja de flores recebe 18 buquês de rosas no começo de cada semana. Em média, a loja vende 3 buquês de rosas por dia sendo que tal demanda possui distribuição de Poisson. Sempre que o nível do estoque alcança 5 buquês de rosas, um novo pedido de 18 buquês de rosas é feito para ser entregue no começo da próxima semana. Todo o estoque no fim da semana (sobra) é perdido.

( )

( )⇒µ

⇒µ−

h

h1prob. de realizar 0 atendimentos em h

prob. de realizar 1 atendimento em h

Page 18: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 18

a) Uma vez que o atendimento é realizado numa taxa µ = 3, a probabilidade de fazer um novo pedido (quando o estoque chega em 5 buquês) em qualquer dia da semana é:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )∑=

−−

=−

+=

+++=5

1n

T3n18

0

5105n

7,...,2,1T,!n18

eT3Tp

Tp...TpTpTp

Gráficos para T = 3

Page 19: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 19

b) O número médio de buquês de rosas que serão perdidos no fim de cada semana é:

{ } ( ) buquês664.7np7tnE18

0nn∑

=

==≥

( )7T7t =⇔≥

Gráficos para T = 7

Page 20: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 20

Modelo de Fila de Poisson Generalizado

Processo de Nascimento e Morte combinados (Tempo entre Chegadas e Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial)

Modelo é baseado em situação do processo operando sobre condições de Estados Estavéis (Estados em Fase de Regime, Estados Estacionários).

O estado do sistema é o número n de clientes no Sistema de Fila.

Para n > 0 e h → 0, o estado n pode somente mudar para o estado n – 1 quando um atendimento ocorre na taxa µn ou para o estado n + 1 quando uma chegada ocorreu na taxa λn. Obs: estado 0 só pode mudar para o estado 1 quando uma chegada ocorre na taxa λ0. µ0 não é definido porque nenhum atendimento pode ocorrer para n = 0.

Probabilidades pn são obtidas através do Diagrama de Transição de Taxa:

Page 21: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 21

Em condições de Estados Estáveis, para n > 0, a taxa esperada de fluxo entrando e saindo do estado n precisa ser igual. Uma vez que o estado n pode mudar somente para o estado n – 1 ou n + 1, tem-se:

1n1n1n1n ppnestadonoentrando

fluxodeesperadataxa++−− µ+λ=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( ) nnn pnestadodosaindofluxodeesperadataxa

µ+λ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Igualando as 2 taxas, tem-se a seguinte equação de balanço:( ) 0n,ppe,...2,1n,ppp 1100nnn1n1n1n1n =µ=λ=µ+λ=µ+λ ++−−

Para n = 0, tem-se:

01

01 pp ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

=

Para n = 1, tem-se:

( ) 012

0121112200 ppppp ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛µµλλ

=⇒µ+λ=µ+λ

Por indução:

,...2,1n,p......p 0

11nn

02n1nn =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛µµµλλλ

=−

−−

p0 é determinado através de:1p

0nn =∑

=

Page 22: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 22

Exemplo 1:

Uma mercearia possui a seguinte regra para definir o número de caixas operando na loja dependendo do número de clientes:

3+ de 6

24 a 6

11 a 3

No de caixas operando

No de clientes na loja

A Taxa de Chegada, com distribuição Poisson, é 10 clientes/h e o Tempo de Atendimento, com distribuição Exponencial, é 12 minutos/cliente. Determine a distribuição de probabilidade pn de n clientes no Sistema de Fila em condições de Estados Estáveis.

⎪⎩

⎪⎨

======

==λ=λ

,...8,7n,h/clientes155*36,5,4n,h/clientes105*23,2,1n,h/clientes512

60,...1,0n,h/clientes10

n

n

00

3

4

00

3

3

00

2

2

001

p8p1010

510p

p8p5

10p

p4p5

10p

p2p5

10p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

,...8,7n,p328

p1510

1010

510p

p8p1010

510p

p8p1010

510p

0

6n

0

6n33

n

00

33

6

00

23

5

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Page 23: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 23

p0 é determinado por:

1...32

321831p1...

328

328

328888842pp

2

0

32

00 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⇒=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++++++

Usando a soma da série geométrica , tem-se:1x,x1

1x0i

i <−

=∑∞

=

551p1

321

1831p 00 =⇒=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+

De posse de p0, pode-se calcular então qualquer probabilidade pn. Por exemplo, a probabilidade que somente um caixa esteja operando é dada por:

( ) 255.0551842ppp 321 ≈++=++

e o número esperado de caixas ociosos é:

( ) ( ) ( ) caixa1...pp0ppp1ppp2p3 876543210 =+++++++++

Page 24: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 24

Terminologia

Page 25: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 25

Em condições de Estados Estáveis (não transiente)

Relações entre L, W, Lq e Wq

Fórmula de Little

obs: se

⇒λ= WL

qq WL λ=

λ−≠λ seutilizacten

µ+=

1WW q

µλ

+=⇒µλ

+λ=λ⇒λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

+=λ qqq LLWW1WW

µλ

=−= qLLsnúmero médio de servidores ocupados s

s=ρ

Page 26: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 26

Exemplo 2:

A taxa de chegada de carros é 6 carros/h com distribuição de Poisson em um estacionamento que possui 5 vagas. O intervalo de tempo que os carros ficam estacionados é distribuído exponencialmente com média de 30 min. Os carros que não encontram uma vaga disponível, podem esperar em uma área provisória até que algum carro estacionado deixe o estacionamento. Esta área pode suportar até 3 carros. Demais carros que não conseguem estacionar nem aguardar na área provisória vão embora.

a) a probabilidade, pn, de ter n carros no sistema:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

===µ

==λ=

8,7,6n,h/carros1030605

5,...,2,1n,h/carrosn23060n

7,...,1,0n,h/carros65s

n

n

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

==

− 8,7,6n,p5!53

5,...,2,1n,p!n

3

p

05n

n

0

n

n

15!5

35!5

35!5

3!5

3!4

3!3

3!2

3!13pp1p...pp 3

8

2

765432

00810 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++⇒=+++

.02105.03508.05847.09744.16240.21654.21654.14436.04812pn

876543210n

Page 27: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 27

b) A taxa efetiva de chegada (λeff):

Se 8 carros já estão no estacionamento, então um outro carro não poderáentrar, assim a proporção de carros que não entrarão é p8.

c) O número médio de carros no estacionamento e na área provisória é:

d) O tempo médio que um carro aguarda na área provisória (Wq) é:

e) O número médio de vagas ocupadas (servidores ocupados) é:

f) O fator de utilização do estacionamento:

Fonte Sistemaλ λeff

λlost λ=λeff + λlost

h/carro8737.51263.06eh/carro1263.002105.0x6p losteff8lost =−=λ−λ=λ==λ=λ

carros1286.3p8...p1p0L 810 =+++=

hora03265.2153265.1WWq =−=

µ−=hora53265.

8737.51286.3LW

eff

==λ

=

vagas9386.22

8737.5LLs effq ==

µλ

=−=

58737.2*5

8737.5s

ou58737.5

9368.2ss eff ==

µλ

=ρ===ρ

Page 28: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 28

Notação (a/b/c):(d/e/f)

a: distribuição do tempo entre chegada (M, D, Ek, G, GI);

b: distribuição do tempo de atendimento (M, D, Ek, G, GI);

c: número de servidores (canais de atendimento);

d: disciplina da fila (FIFO, FCFS, LIFO, Randômica, Prioridade, Qualquer, ...)

e: número máximo de clientes no sistema (finito ou infinito);

f: tamanho da fonte de entrada (finito ou infinito).

onde:

M: Markoviano (Exponencial (tempo) ↔ Poisson (taxa));

D: Determinístico (tempo constante);

Ek: Distribuição de Erlang ou Gama ↔ soma de distrib. exponenciais independentes

G: distribuição geral (não se sabe nada sobre os tempos de chegada/serviço);

GI: distribuição geral em que os tempos de chegada/serviço são i.i.d..

Exemplos: (M/M/1):(Fifo/∞/∞), (M/D/10):(Rand/20/∞)

Page 29: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 29

Modelo (M/M/s):(qq/∞/∞)

λeff = λ ⇒ fila (buffer) infinita 0n,n ≥λ=λ

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

≥µλ

λ=

µ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

λ

<≤µλ

λ=

µµµµλ

=−−

=∏

sn,ps!s

ps!s

psi

sn0,p!n

p!n

pn...32

p0sn

n

0nsn

n

0s

1i

n

0

n

0n

n

0

n

n

⎩⎨⎧

≥µ<µ

=µsn,ssn,n

n

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 1

s,

s11

!s!n

s!s!np

1s1s

0n

n

1

sn

sns1s

0n

n

0

<µλ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ−

µλ+

µλ=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλµλ

+µλ

=

−−

=

−∞

=

−−

=

∑∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2

0s

0

s

0k

k0

s

0k

k

0

s

0k 0k0

ks

sksn

nq

1!sp

11

ddp

!sddp

!s

ddp

!sp

!skkppsnL

ρ−ρµλ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ

ρµλ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

ρρ

µλ

=ρρ

ρµλ

=ρµλ

==−=

∑∑ ∑∑∞

=

=

=

=+

= µλ

+= qLLλ

= qq

LW λ

=LW

obs: (M/M/s) é um caso especifico do Modelo de Fila de Poisson Generalizado.

Modelo de Fila de Poisson Generalizado → independente da disciplina de fila.

{ } ( )( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ−−

−ρ−µλ+

=>ωµλ−−µ−

µ−

1se1

1!sp1eTp

1sTs0T { } { }( ) ( )T1s

qq e0p1Tp ρ−µ−=ω−=>ω { } ∑−

=

==ω1s

0nnq p0p

01sse =µλ−− ( ) T1se1 1sT µ=µλ−−−⇒ µλ−−µ−

s–1 e não s porque se um cliente chegar quando n=s, este ficará na fila

n=0 e não n=1 porque se nunca houver fila p{wq=0} = 1 e sem p0 a somatória não resulta em 1.

Page 30: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 30

Exemplo:

Um hospital possui apenas um médico de plantão.Um estudo foi realizado para analisar a viabilidade de contratar mais um médico plantonista, sendo o intervalo entre chegadas estimado de 30 min. e o tempo de atendimento estimado de 20 min, ambos distribuídos exponencialmente.

λ = 2, µ = 3.

De posse dos resultados acima, o hospital entendeu que o tempo aguardado esperado na fila para um único médico (Wq= 2/3 horas = 40 min.) é grande, fato que justifica a contratação de mais médico plantonista.

Page 31: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 31

Modelo (M/M/s):(qq/N/∞), s ≤ N

Difere do modelo (M/M/s):(qq/∞/∞) no número máximo de clientes no sistema que é finito e igual a N. O comprimento máximo da fila é Lq = N-s e λeff ≠ λ.

⎩⎨⎧

≥<≤λ

=λNn0

Nn0,n

⎩⎨⎧

≤≤µ<≤µ

=µNns,ssn0,n

n

( )

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

≤≤µλ

<≤µλ

=

− Nns,ps!s

sn1,p!np

0sn

n

0

n

n

( ) ( ) ( ) 1s

0n

N

1sn

snsn

0 s!s!np

= +=

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλµλ

+µλ

= ∑ ∑

( ) ( )( )( )( )

( )

( )( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−µλ−

µλµλ=

−−

s1

ssN

s1

s1!sspL

sNsN

2

s0

q1s

Para ≠µλ

( ) ( )( )0

s

q p!s2

1sNsNL +−−µλ=

( )λ−=λ−λ=λλ=λ NlosteffNlost p1ep

µλ

+= effqLL

eff

qq

LW

λ=

eff

LWλ

λ=ρ

seff

1s

Para =µλ

Mesmo quando (λ/sµ) ≥ 1 o sistema pode alcançar a condição de estados estáveis porque λn= 0 para n ≥ N.

Page 32: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 32

Exemplo:

Uma companhia de entrega possui 4 caminhões. São observados em média 16 pedidos de entregas por hora com distribuição Poisson e o intervalo de tempo gasto por entrega é em média 12 minutos com distribuição Exponencial. Do ponto de vista de Teoria de Filas, os caminhões são os servidores e os pedidos de entregas são os clientes. A companhia está estudando a possibilidade de implementar (ou não) a seguinte política: advertir a pessoa que solicita um pedido de entrega de um potencial atraso excessivo toda vez que houver 6 pedidos de entrega na fila. Comparar os resultados do modelo sem e com a implantação da política citada.

λ= 16, µ = 5

Cenário 1: (M/M/4):(qq/∞/∞) ⇒ Sem política: Fila (Buffer) infiníta

Cenário 2: (M/M/4):(qq/10/∞) ⇒ Com política: Fila (Buffer) finíta, N = 4 + 6 = 10

Page 33: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 33

Modelo (M/M/R):(qq/K/K), R ≤ K

Aplicação típica: existem R pessoas para dar manutenção em K máquinas. λ é a taxa em que as máquinas quebram e µ é a taxa em que as máquinas são reparadas.

Se todas as máquinas estão quebradas não há mais máquinas para quebrarem ⇒Tamanho da População Finita: λn = (K – n)λ, 0 ≤ n ≤ K.

( )⎩⎨⎧

≥<≤λ−

=λKn0

Kn0,nKn

⎩⎨⎧

≤≤µ<≤µ

=µKnR,R

Rn0,nn

( )

( ) ( )⎪⎪

⎪⎪

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−=

− KnR,pR!R!nK

!K

Rn0,p!n!nK

!K

p

0

n

Rn

0

n

n

( ) ( ) ( )

1R

0n

K

1Rn

n

Rn

n

0 .R!R!nK

!K.!n!nK

!Kp−

= +=− ⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛µλ

−= ∑ ∑

∑=

=K

0nnnpL ( ){ } ( )LKnKEeff −λ=−λ=λ

eff

qq

LW

λ=

eff

LWλ

λ=ρ

seff

µλ

−= effq LL

Page 34: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 34

Exemplo:

Uma companhia possui 22 máquinas. Cada máquina quebra, em média, a cada 2 horas, sendo gastos 12 minutos, em média, para realizar o reparo. O tempo entre quebras e o tempo de reparo são distribuídos Exponencialmente. Analisar a produtividade da companhia em função do número de pessoas encarregadas de dar manutenção.

λ= 0.5, µ = 522

L22sdisponiveimáquinas

quebradasmáquinassdisponiveimáquinasmáquinas

adeprodutivid −=

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

Page 35: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 35

Modelo (M/G/1):(qq/∞/∞)

Distribuição do tempo de atendimento é qualquer com média 1/µ e variância σ2.

Para 1<

µλ

ρ−=1p0 ( )ρ−ρ+σλ

=12

L222

q λ= q

q

LW

µ+=

1WW qpn é intratável analiticamente

Exemplo:

Um lava-jato recebe, em média, 4 carros por hora com distribuição Poisson e o tempo de atendimento é 10 minutos por carro com distribuição exponencial se a lavagem érealizada por um funcionário. Se a lavagem for realizada por uma máquina o tempo de atendimento é também 10 minutos, porém constante (determinístico ⇒ σ2 = 0). Comparar as medidas de performance do sistema operando com o funcionário e com a máquina. λ = 4, µ = 6.

ρ+= qLL

Page 36: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 36

nível de serviço

cust

os

Modelo de Custos para Filas

EOC

EWC

ETC

Nível deserviçoótimo

Modelos de Custos

( ) ( ) ( )

( )

esperadotempodeunidadeporaguardardecustoEWCesperadosistemadooperaçãodecustoEOC

esperadototalcustoETCserviçodenívelsoux

:ondexEWCxEOCxETC

===

µ=

+=

Geralmente utiliza-se:( )( ) LCxEWC

xCxEOC

2

1

==

clienteportempodeunidadeporaguardarporcustoCtempodeunidadeporxdeunidadeporcustoC

:onde

2

1

==

Page 37: Teoria Filas Transparencia

Fernando Nogueira Teoria de Filas 37

Exemplo:

Uma gráfica necessita comprar uma copiadora. Existem 4 modelos de copiadoras no mercado com suas características dada na tabela abaixo. Os Jobs chegam com distribuição Poisson com média de 4 jobs/dia. O tamanho de cada job é em média de 10000 folhas. Contratos com os clientes da gráfica estipula uma penalidade de $80,00 por job/dia de atraso. Qual copiadora a gráfica deve comprar?

Os valores de C1i são os custos de operação dados na tabela acima. Para fins práticos, cada copiadora pode ser tratada como um modelo (M/M/1):(qq/∞/∞). A taxa de chegada é λ = 4 jobs/dia e a taxa de atendimento µi (jobs/dia) é:

66274502433620230151

velocidade(cópias/min)

custo de operação ($/h)

Modelo

sii1i

ii2i1i

iii

L80C24ETCLC24CETC

EWCEOCETCielomod4,3,2,1i

+=×+×=

+=⇒=

66*60*24/10000 =9.50450*60*24/10000 = 7.20036*60*24/10000 = 5.18430*60*24/10000 = 4.320

µi

4321

Modelo i

706,4058,40648,000.734676,00100,00576,001.254751,20271,20480,003.394

1360,001000,00360,0012.504ETCi($)EWCi($)EOCi($)Lsiλi