Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais

Aula 09

Magnos Martinello

Universidade Federal do Espírito Santo - UFESDepartamento de Informática - DI

Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM

– Magnos Martinello UFES 2

Teoria das Filas

■Aula passada

■ Variáveis aleatórias

discretas e contínuas

■ PMF, CDF e função

densidade

■Aula hoje

■ Exemplos de Variáveis

aleatórias discretas e

contínuas

■ Esperança, Variância

– Magnos Martinello UFES

Binomial

■ Contagem de eventos de Bernoulli

independentes

■ Número de sucessos k dado N repetições de

experimentos independentes

■ Dois parâmetros

● p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

● N: número de experimentos

– Magnos Martinello UFES

Características da Distribuição

Binomial

n = 5  p = 0.1

n = 5  p = 0.5

Média

Desvio Padrão

µ

σ

x

x

E X np

np p

= =

= −

( )

( )1

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

– Magnos Martinello UFES

Exemplo 1

■ Experimento: Escolhe-se aleatoriamente 5 clientes de

um supermercado. Qual a probabilidade de um deles

aceitar ser entrevistado, supondo-se que a

probabilidade de um cliente aceitar é 10%.

– Magnos Martinello UFES

Exemplo 1■ Experimento: Escolhe-se aleatoriamente 5 clientes de

um supermercado. Qual a probabilidade de um deles

aceitar ser entrevistado, supondo-se que a

probabilidade de um cliente aceitar é 10%.

P X k n pn

k n kp p

P X

k n k( | , )

!

! ( )!)

( | ,. )!

!( )!. ( . )

= =­

­

= =­

­

=

­

­

1

1 5 15

1 5 11 1 1

1 5 1

                         .328

– Magnos Martinello UFES

Exemplo 2

■ Você realiza um trabalho de telemarketing para uma certa empresa. Nas suas últimas 100 chamadas você realizou 20 vendas (p = .20).

■Se você ligar para 12 pessoas esta noite qual a probabilidade de você:

● A. Não realizar nenhuma venda?● B. Realizar exatamente 2 vendas?● C. Realizar, até, 2 vendas? ● D. Realizar, no mínimo, 2 vendas?

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Poisson

■ Número de eventos que ocorrem em um

determinado intervalo de tempo

■ Parâmetros

● t: intervalo de tempo

● λ : taxa média de ocorrência de eventos por unidade de

tempo

P X =k = e− tλ tλ k

k !

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Exemplo Poisson

■ Chegada de chamadas a um call center segue a

distribuição de Poisson

■ Taxa média de chegada é de 3 chamadas por

minuto

■ Qual a probabilidade de não haver nenhuma

chamada em 1 minuto?

■ Qual a probabilidade de termos mais de 100

chamadas em 1 hora?

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Poisson

■ Qual a probabilidade de termos mais de 100

chamadas em 1 hora?

■ 3 chamadas /minuto

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Propriedade da Distribuição de

Poisson■ A Distribuição de Poisson aproxima a distribuição

binomial para n grande e p pequeno

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V.A Uniforme

■ Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade

■ Exemplo: V.A. uniformemente distribuída entre [0,1]

■ Parâmetros: [a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer

■ De maneira geral, x – a: Onde ocorre o evento

(em relação ao começo do intervalo)

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V.A Uniforme

– Magnos Martinello UFES

Uniforme

■ Se X é uniformemente distribuída entre (0,10) ,

calcule a probabilidade de

■ a) X < 3

■ b) X > 7

■ c) 1 < X < 6

– Magnos Martinello UFES

Uniforme

■ Se X é uniformemente distribuída entre

(0,10) , calcule a probabilidade de

■ a) X < 3

■ b) X > 7

■ c) 1 < X < 6

– Magnos Martinello UFES

Exponencial

■ Tempo até que um evento ocorra

■ Relacionada com Poisson (tempo entre eventos)

■ Parâmetros

● λ : taxa média de ocorrência de eventos

■ CDF ->

■ PDF ->

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Exponencial para diferentes valores

de λ

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Valor Esperado de VA Exponencial

– Magnos Martinello UFES

Normal ou Gaussiana

■ Distribuição fundamental em estatística

● resultado do teorema do limite central

■ Aplicada a muitos fenômenos físicos

■ Parâmetros

● u: média

● s: desvio padrão

■ Normal padrão (média 0, desvio padrão 1)

■ Não possui forma fechada (consultar tabela)

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Média 

Mediana 

Moda

X

f(X)

σ σ

Densidade Normal

■ Possui forma de

‘sino’ e é simétrica

■ Média, mediana e

moda são iguais

■ Variável aleatória

que pode assumir

qualquer valor na

reta (R).

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Valor Esperado, Média, Esperança

■ Valor Esperado de uma Variável Aleatória

Discreta

■ Valor Esperado de uma Variável Aleatória

contínua

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Variância

■ Variável aleatória discreta ou contínua

■ Segundo momento v.a. contínua

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Propriedades da Média

■ Lineariedade

■ Produto se X e Y são independentes

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Propriedades da Variância

■ Soma da variância de duas VA independentes

■ Se X e Y não são independentes