teoria das filas aplicadas aos atendimentos de...

TEORIA DAS FILAS APLICADAS AOS

ATENDIMENTOS DE MANUTENÇÃO DE

UMA EMPRESA DO RAMO METAL-

MECÂNICO

LEANDRO LUIS CORSO (UCS)

[email protected]

Teilor Braz dos Santos (UCS)

[email protected]

Reynaldo Chile Palomino (UFS)

[email protected]

Gabriela Dias Brito (UFOB)

[email protected]

Leticia Giotti (UFOB)

[email protected]

Este artigo apresenta a utilização da Teoria das filas para avaliar e

dimensionar corretamente a equipe de manutenção de uma empresa do

ramo metal-mecânico. As frequências e tempos de atendimentos das

solicitações foram caracterizados pelos modelos de distribuição de

Poisson e Exponencial, respectivamente. Particularmente a disciplina

de atendimento ocorre por prioridades, das quais, também foram

avaliadas singularmente pela Teoria de Superposição de Fluxo de

Poisson. Através das equações de utilização, a necessidade de

incremento de mão-de-obra ficou evidente, destacando as solicitações

de prioridade Muito Alta e Baixa. Pelas mesmas fórmulas, pode-se

estimar a número ideal de manutentores para alcançar a estabilidade

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.




2

Palavras-chave: teoria das filas, manutenção, metal-mecânico




3

1. Introdução

Muitas vezes já tivemos que esperar em algum tipo de fila para obter um serviço. A teoria das

filas estuda matematicamente a formação dessas filas e estuda o comportamento de um

sistema cuja demanda pode crescer gradativa ou aleatoriamente. Para a aplicação desta teoria

é necessário coletar e analisar dados referentes ao sistema adotando hipóteses sobre seu

comportamento.

Neste artigo vamos avaliar o comportamento de um sistema de filas, para permitir o

dimensionamento adequado de equipe de manutenção de uma empresa do ramo metal-

mecânico.

1.1. Caracterização do ambiente

Na empresa estudada, as solicitações de manutenção são feitas através de um sistema Via

Web, das quais ao recebê-las, o setor de Planejamento e Controle de Manutenção (PCM) faz a

avaliação e programa os serviços aos manutentores. Basicamente, subdivide-se a manutenção

dos equipamentos por duas filiais: Industrial e Predial/Instalações. A primeira compreende

todas as máquinas e equipamentos relacionados ao processo produtivo, como por exemplo,

tornos CNC, centros de usinagem, furadeiras, entre outros. A filial Predial caracteriza-se por

manutenções relacionadas a conserto de móveis, piso, paredes, etc. As Instalações

compreendem as manutenções em estações de tratamento de efluente, redes de ar, de vapor e

água, ou seja, são as instalações necessárias e de suporte da primeira filial e são conhecidas

como utilidades.

A estrutura do setor de manutenção é composta por seis funcionários, sendo dois funcionários

no PCM; três manutentores para atender a demanda Industrial e parte das instalações; e um

manutentor para atendimentos aos serviços prediais.

Através do estudo de Teoria das Filas, pretende-se avaliar o número de atendimentos

realizados e serviços solicitados. Após isso, será avaliado, se com o aumento do quadro de

manutentores haverá uma redução do número de solicitações na fila e um atendimento mais

rápido aos clientes.




4

1.2. Justificativa

O aumento das horas de produção acarreta no aumento do número de manutenções dos ativos

da fábrica. No processo de atendimento, nota-se que há duas restrições, das quais, envolvem

fatores legislativos e de custos para empresa. No primeiro há o limite da jornada de horas

trabalhos normais e de horas extras definidas pelo Ministério do Trabalho. O segundo seria o

incremento de mão-de-obra que aumentaria as despesas da planta. Por outro lado, a falta da

mesma implica em equipamentos produtivos aguardando reparos.

Sabe-se também que filas grandes e tempos de espera de atendimento longos geram

reclamações parte dos clientes. Logo, a Teoria das filas pode auxiliar no aumento de

desempenho do sistema de atendimento as manutenções.

2. Referencial teórico

O conceito de Teoria das Filas foi idealizada em 1909, pelo engenheiro matemático e

estatístico dinamarquês Agner Krarkup Erlang. A teoria foi desenvolvida para prover modelos

matemáticos que predizem o comportamento de sistemas que geram atendimento às demandas

de determinado processo em ritmo contínuo e aleatório. Assim, a Teoria das Filas se tornou

uma das técnicas de Pesquisa Operacional para abordar problemas de congestionamentos de

sistemas onde há solicitação de serviços do cliente e o sistema acaba tendo restrições para

atendimento gerando filas. Semelhante ao abordado neste trabalho nos sistemas de

atendimento a um setor de manutenção.

O objetivo específico da Teoria das Filas é reduzir custos pela otimização do sistema

envolvido por meio da análise dos resultados gerados por fórmulas (matemáticas) adequadas

ao modelo específico de cada processo. Esses resultados devem possibilitar a análise de

situações individuais, podendo ser gerados manualmente para substituir os dados de entrada

nas fórmulas, ou por programas de computador. Por exemplo, o Add-in que no Excel é escrito

em linguagem de programação Visual Basic ou programas chamados apllets, que são

pequenos programas desenvolvidos em Java.

2.1. Teoria de filas

De acordo com Carrión (2007, p.11): “Em geral todo sistema de filas tem diferentes




5

características mas suas formas de funcionamento são similares”. Para o autor, as formas de

chegada e atendimento são similares, e para obter os resultados é indispensável dados de

entrada, como por exemplo, a razão de chegada e a razão de atendimento. Ainda, o autor

considera necessário conhecer características da fila de espera denominando o sistema em

questão como sendo Markoviano ou não Markoviano.

Uma característica importante para o estudo do comportamento das filas é o tipo de

distribuição de probabilidade que regem as atividades do processo, mais especificamente

chegada e atendimento. Essas distribuições devem encontrar valores tais como: valor

esperado e variância.

2.1.1. Definições

Conforme Gross et. al (2008) um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando e

esperando para um determinado serviço, e logo após o atendimento os mesmos saindo do

sistema. Quando o número de clientes for maior do que 30, a população pode ser considerada

infinita e independente, o que implica em que a chegada de um cliente não afetará

significativamente a probabilidade de chegada de outro. Uma população de menor tamanho,

afeta, de forma considerável, a probabilidade de chegada de outro cliente. Às unidades de

população que chegam para atendimento chamam-se clientes, que podem ser pessoas,

máquinas, arquivos a serem processados, etc.

Para definirmos o conceito da fila consideramos o número de clientes que aguardam

atendimento, na qual não estão inclusos os clientes em atendimento. O processo e/ou sistema

que realiza o atendimento é denominado de unidade de atendimento, que pode ser única ou de

múltiplas unidades.

A taxa de chegada de clientes para serem atendidos é dada pelo número de clientes por

unidade de tempo e é representada por λ. Os processos são representados por distribuições de

frequência devido a irregularidade da taxa de chegadas de clientes ao sistema. As mais

conhecidas distribuições são do tipo Normal, de Poisson, e Exponencial (CHWIF, 2014).

A taxa de atendimento aos clientes é dada pelo número de clientes por unidade de tempo e é

representada por µ. Para obtenção do valor dessa taxa é considerado que o atendimento é




6

realizado em 100% do tempo disponível, não sendo considerada a ociosidade do sistema, o

que afeta matematicamente a distribuição de frequência. Em geral, a distribuição mais

utilizada nesses casos é a distribuição de Poisson, da qual sugere que as chegadas e o

atendimento sejam independentes (ANDRADE 2004; FREITAS, 2008) ).

A taxa de utilização dos atendentes é representada por ρ, o número de atendentes m é

determinante para o cálculo dessa taxa, que é dada pela seguinte expressão (PRADO, 2014):

Único atendente: (1)

Mais de um atendente: (2)

A análise de um sistema onde λ>µ diz que haverá fila, e então exigirá a utilização de métodos

para otimização do sistema, ou seja, para diminuição das filas.

No sistema de fila existe um método para definir qual o próximo cliente que será atendido,

que é chamada de disciplina de fila descritas a seguir:

- FCFS: Primeiro a chegar, primeiro a ser atendido;

- LCFS: Último a chegar, primeiro a ser atendido;

- SIRO: Atendimento em ordem randômico;

- GD: Fila com disciplina genérica.

O que determina o tamanho de uma fila é o número médio de clientes NF que aguardam

atendimento e o que leva ao cliente escolher a fila. O funcionamento ideal do sistema seria

não ter fila.

Em relação ao tempo de atendimento temos TF que é o tempo médio que o cliente fica na fila;

TS representa o tempo que o cliente fica no sistema, ou seja, o tempo na fila somado ao tempo

de atendimento. A soma do número de clientes aguardando na fila e os que estão sendo

atendidos chamamos de número médio de clientes no sistema NS.

2.1.2. Notação

Para descrição de um sistema de filas, Kendall (1951) inventou uma notação descrita por seis

características: 1/2/3/4/5/6. A primeira e segunda, respectivamente, caracterizam a natureza

do processo de chegada e dos tempos de atendimento; em geral ambas são independentes,




7

juntamente com as variáveis e os tipos de distribuição de cada uma. A terceira é o número de

atendentes. A quarta descreve a disciplina da fila de espera. A quinta o número máximo de

clientes permitidos no sistema, considerando os que estão na fila e sendo atendidos. E a sexta

característica significa o tamanho da população que pode ser finita ou infinita.

2.2. Distribuição de poisson

A distribuição de Poisson (CHWIF, 2014) é uma distribuição de probabilidade discreta que

expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes

eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento. A probabilidade de

que existam k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,...) é expressa por:

(3)

Onde:

P(x) = probabilidade de x chagadas em t período de tempo;

λ = taxa média de chegadas por unidade de tempo “t”;

e = exponencial (2,7183)

Susan (2007) relata que em muitos casos precisamos dividir um processo de Poisson em

outros sub-processos, como por exemplo em sistemas que há clientes preferenciais e não-

preferenciais com seu respectivo agente de atendimento. Em outras aplicações, tem de se

juntar todos os fluxos independentes em um único de chegada. Tal propriedade provém do

princípio de Superposição de Poisson.

2.3. Distribuição exponencial

A distribuição Exponencial é muito utilizada para determinar o tempo necessário para efetuar

uma tarefa. Esta distribuição está ligada a distribuição de Poisson e é uma distribuição

contínua de probabilidade que analisa opostamente o evento. As chegadas independem do

intervalo entre elas; o tempo de serviço independe do tempo do serviço anterior e os

intervalos não estão relacionados com o tempo (CHWIF, 2014).

Quando o tempo de chegada é distribuído exponencialmente e seu tempo de duração é




8

variável utilizamos a distribuição Exponencial. Sua função é representada pela Equação 4 e o

coeficiente de variação na Equação 5.

(4)

(5)

Modelos de distribuição exponencial também podem ser aplicados a falhas de equipamentos,

como utilizado no trabalho de Madu (1990). O mesmo autor relata que há outros trabalhos

também que envolvem distribuição de Weibull e Gama, mas que assumem apenas o tempo

total no sistema ou sem o tempo de espera.

2.4. Filas com Prioridade

Derbala (2005) comenta que quanto maior o tempo de espera de um serviço, maior se torna a

sua prioridade. Na manutenção, casos de serviços de prioridade alta, média e baixa, se não

realizados antes que a falha inutilize o equipamento, começam a se tornar urgentes. Isto, pode

interromper outros serviços em andamento fazendo que aumente o tempo da solicitação no

sistema.

Na literatura, encontra-se modelos e estudos para sistemas com prioridades, no entanto,

apenas para casos com até duas classes de prioridades. Mathematics in Science and

Engineering (1968) explica que cada prioridade possui seu respectivo comportamento, o que

torna o sistema multidimensional e de difícil estudo.

A análise deste trabalho baseou-se no estudo de Shimshak et al. (1981), em que foi utilizada

três diferentes análises: múltiplo servidor e sem prioridades; filas com duas prioridades, mas

sem preferências; filas com duas prioridades, mas permitindo atendimento preferencial. Em

todas as análises, as chegadas adequam-se a Poisson e os tempos de serviço à distribuição

exponencial. Os autores também trabalham singularmente com os dados das respectivas

prioridades partindo do princípio de superposição de Poisson. Em outro estudo, Zhang et. al

(2012) também insere a relação de custo e homem-hora nos seus modelos.

3. Modelagem do sistema de filas do setor de manutenção

Para se chegar à caracterização feita nas próximas seções, a coleta de dados baseou-se nas




9

seguintes considerações:

a) Tamanho da amostra analisada é de 1561 solicitações;

b) Compõe solicitações recebidas, no período do ano de 2011, durante os dias de

operação da empresa, das 00:00 de segunda-feira até às 09:30 de sábado;

c) Estão compreendidas as solicitações das filiais Industriais e Predial/Instalações.

3.1. Caracterização do modelo das chegadas

Na Tabela 1 mostra-se a frequência para a quantidade de solicitações recebidas por dia com

valores mínimo e máximo, respectivamente, de 0 e 15. Dentre todas as solicitações recebidas,

obteve-se uma taxa média de chegada λ de 5 solicitações por dia, no caso, tal parâmetro foi

utilizado para cálculo da distribuição de Poisson, representada no gráfico 1.

Tabela 01 –Frequência e distribuição do número de solicitações recebidas por dia

Solicitações

por dia (x) Freq.

Absoluta

Freq.

Relativa

Dist. de

Poisson

f(x)

Solicitações

por dia (x) Freq.

Absoluta

Freq.

Relativa

Dist. de

Poisson

f(x)

0 26 0,08 0,01 8 17 0,05 0,07

1 26 0,08 0,03 9 18 0,06 0,04

2 21 0,07 0,08 10 11 0,04 0,02

3 41 0,13 0,14 11 9 0,03 0,01

4 34 0,11 0,18 12 1 0,003 0,0034

5 30 0,1 0.18 13 5 0,02 0,0013

6 35 0,11 0,15 14 2 0,01 0,0005

7 36 0,12 0,1 15 1 0,003 0,0002

Gráfico 01 – Curvas da frequência relativa e da Distribuição de Poisson para λ = 5




10

3.2. Caracterização do tempo de atendimento

Com os dados de tempo de atendimento de todas as solicitações concluídas em 2011, obteve-

se uma média de tempo de atendimento TA de 1,88 dias por solicitação. Sabendo-se que TA é

igual “1/µ”, os tempos de atendimento foram subdivididos nos intervalos destacados na

Tabela 2.

Tabela 2- Dados de frequência e distribuição exponencial negativa dos tempos de atendimento

Tempo de

atendimento

(dias)

Frequência

Absoluta

Frequência

Relativa

Exponencial

Negativa

μ = 0,53

Tempo de

atendimento

(dias)

Frequência

Absoluta

Frequência

Relativa

Exponencial

Negativa

μ = 0,53

0 - 0,05 514 0,4589 0,51614 7- 8 4 0,0036 0,00764

0,05 - 0,1 201 0,1795 0,50264 8 - 9 1 0,0009 0,00449

0,1 - 0,5 225 0,2009 0,40662 9 - 10 4 0,0036 0,00265

0,5 - 1 41 0,0366 0,31196 10 - 12 6 0,0054 0,00092

1 - 1,5 22 0,0196 0,23934 12 -15 8 0,0071 0,00019

1,5 - 3 25 0,0223 0,10808 15 - 18 6 0,0054 0,00004

3 - 4 11 0,0098 0,06362 18 - 20 0 0,0000 0,00001

4 -5 9 0,0080 0,03745 20 - 40 9 0,0080 3,29x10-10

5 - 6 11 0,0098 0,02204 40 - 80 7 0,0063 2,04x10-19

6 - 7 9 0,0080 0,01297 80 - 180 7 0,0063 1,96x10-42

A partir dos dados da tabela 2, montou-se curva dos dados de tempo atendimento no gráfico

2. A mesma assemelha-se a uma distribuição exponencial negativa, na qual, utilizando a taxa

de atendimento μ como coeficiente principal da equação utilizada.

Gráfico 2 - Curvas da frequência relativa e da distribuição exponencial negativa para o tempo de atendimento




11

4. Caracterização pela disciplina da fila

No recebimento de cada solicitação, o responsável pelo PCM classifica o grau de prioridade

“k” que será dado para cada atendimento. Problemas relacionados à indisponibilidade total da

máquina ou risco à segurança são classificados automaticamente com prioridade “Muito alta”.

Se a máquina apresenta característica de falha, mas não ocorreu ainda uma perda produtiva,

conforme a relevância do equipamento no processo produtivo, a solicitação pode ser

classificada diretamente como atendimento de prioridade “Alta” ou „Média”. Os de prioridade

“Baixa” abrangem, geralmente, os serviços da filial Predial/Instalações. Em função destas

classificações analisar-se-á o sistema, parcialmente, em torno das prioridades e de cada uma

de suas características e dados encontrados.

Na análise das solicitações de cada prioridade também utilizou-se os conceitos das Leis

Operacionais estudadas por Buzen e Denning (1978) e simplificadamente pela Lei de Little.

Coletando-se os dados parciais de cada prioridade chegou-se aos principais da tabela 3.

Tabela 3 – Dados conforme cada prioridade das solicitações

Prioridade

(k)

Nº de

solicitações

λk

(Solicitações/dia)

Tempo

na fila

TFk

(Dias)

TAk

(Dias) μk

(Solicitações/dia)

Tempo no

Sistema- TSk

(Dias)

Muito alta 501 1,60 6,24 2,18 0,94 5,79

Alta 420 1,35 3,83 1,69 0,83 5,43

Média 139 0,45 5,31 1,17 0,27 5,75

Baixa 501 1,60 3,9 1,94 0,99 5,73




12

∑ 1561 5,00 - -

3,03 -

Observar que o somatório de λn se iguala ao valor obtido na distribuição de Poisson

caracterizado anteriormente, o que exemplifica a Teoria da Superposição do Fluxo de

Poisson. Coincidentemente, a quantidade de solicitações “Muito alta” e “Baixa” são iguais e,

as taxas médias de conclusão apresentam valores bem próximos. Convém ressaltar que a taxa

de conclusões μk e TAk não estão inter-relacionados pela relação TA= 1/μ, os mesmos se

tratam de uma média obtida no período apurado.

4.1. Medidas de desempenho das filas

Para casos gerais, pode-se avaliar o desempenho das filas através das Leis Operacionais

definidas nos trabalhos de Buzen e Denning (1978). Elas possuem subdivisões de outras leis

singulares de relações simples e diretas para uso em qualquer sistema de filas

desconsiderando as distribuições de chegadas ou de tempo. Como medida de desempenho

tem-se a lei de Utilização dada por:

(6)

Onde Xn, é chamado“throughput” e representa os números de términos em um determinado

tempo. No caso, utilizaremos os valores das taxas médias de conclusão μk da tabela 3.

Também, pode-se avaliar o fator de utilização ou intensidade do tráfego ρk para cada

atendimento relativo a cada prioridade. O mesmo advém da relação entre a taxa de chegadas e

a taxa de atendimento.

(7)

Na tabela 4, foi calculado o respectivo ρ para cada prioridade e respectivo critério. O critério 1

utiliza diretamente μk da taxa de conclusões médias, enquanto que no critério 3 considerou-se

diretamente TAk(1/μ) . Os valores utilizados provêm da tabela 3.

No critério 4, se utilizou os parâmetros dos modelos de Poisson de chegada e da exponencial

dos tempos de atendimentos. O valor de “m” utilizado é de 4 servidores que atendem toda a

demanda.




13

Tabela 4 – Taxas de utilização ou intensidade de tráfico para cada prioridade

Critério Prioridade

ρ Muito Alta Alta Média Baixa

1 ρk 1,70 1,62 1,66 1,61

2 Uk 2,05 1,40 0,32 1,92

3 ρk (TAk=1/μ) 3,48 2,28 0,52 3,10

4 ρ =λ/m.μ 2,35

Pela literatura, a Lei de Little, só pode ser aplicada a um sistema equilibrado, mas a

utilizaremos no sistema de prioridades para simples avaliação do sistema. O número de

solicitações no sistema “NSk” é dado pela seguinte relação:

(8)

Onde TSk também pode ser dado como:

(9)

A partir do TSk da tabela 3, calculou-se os resultados de NSk para o critério 1 da tabela 4 (ver

tabela 5). Já no critério 2 partiu-se da equação 9 acima. Por fim, utilizando a sub-definição de

TAk no critério 3.

Tabela 5 – Resultado dos cálculos para Número de solicitações no sistema NSk

Critério Prioridade

NSk

Muito

Alta Alta Média Baixa

1

6,32 7,33 2,58 9,16

2

13,47 7,45 2,91 9,34

3

11,68 6,79 4,05 7,85

4.2. Avaliação do número de servidores

No gráfico 3, mostra-se a curva identificando o número de servidores requeridos conforme a

taxa de utilização do sistema caracterizado pela distribuição de Poisson e a Exponencial

negativa. Percebe-se que para chegar a uma taxa estável (ρ=1), o sistema deveria ter nove

servidores.

Gráfico 3 – Taxa de utilização ρ em função do número de servidores.




14

O sistema atual apresenta quatro servidores e presumindo que cada um seja alocado para cada

prioridade, pode-se analisar ρ isoladamente a cada uma. Assim, utilizando o pressuposto que

um sistema estável possui uma taxa de saída mais próxima a taxa de entrada (λ≈µ), no gráfico

4 verifica-se quantidade de servidores para tal.

Gráfico 4 – Taxa de utilização ρk em função do nº de servidores para cada prioridade

Logo, pelas curvas do Gráfico 4, para as prioridades “Muita alta” e “Baixa” seriam

necessários três servidores para atender suas respectivas demandas. Enquanto que para as

solicitações de prioridade “Alta”, dois servidores diminuíram a taxa de utilização quase ao

valor de 1. Para os casos de prioridade “Média” pode-se manter o servidor atual, pois os

índices de taxa de utilização estão abaixo de 1. Assim, ncessita-se, de uma equipe de nove

servidores para atende a demandas para todas as prioridades listadas.




15

Conforme gráfico 5, utilizando a fórmula 6, deverá haver dois servidores para o atendimento

de cada prioridade “Muito alta”,“baixa” e também da “Alta”. Enquanto que para as de

prioridade “Média”, também não haveria necessidade de mais servidores. No entanto, isto

totaliza apenas uma equipe com sete servidores.

Gráfico 5 – Taxa de utilização Uk em função do número de servidores

5. Conclusão

As modelos de distribuição das chegadas e tempos de atendimento adequaram-se

satisfatoriamente aos modelos encontrados nas literaturas. Na falta de equações específicas

para os modelos marcovianos com disciplina de fila PR, a análise teve de ser feita

parcialmente em torno de cada prioridade das solicitações. Porém, por todas as equações de

referência de desempenho, constatou-se a instabilidade do sistema.

A análise gráfica das equações da taxa de utilização permite avaliar a quantidade de

servidores necessários para atender a demanda de solicitações, principalmente, as de

prioridade “Muito Alta” e “Baixa”. A empresa pode optar por um incremento de 2 servidores,

como visto no último gráfico, visando a minimização do custo em recursos de mão de obra.

Paralelamente, aliada a Teoria das filas, pode-se obter melhores resultados com outras

práticas de engenharia de manutenção, como por exemplo, o aumento de preventivas,

preditivas e inspeções periódicas afim de diminuir as solicitações de prioridade “Muito Alta”,

genericamente, relacionadas as urgências. Logo, a Teoria das filas pode ajudar no

dimensionamento da equipe de manutenção para atender eficientemente o seu cliente, bem




16

como, aumentar a disponibilidade e produtividade operacional dos ativos da empresa.

REFERÊNCIAS

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