Teoria das Filas

Estrutura de Apresentao

Introduo Aspectos Histricos Estrutura Bsica Elementos de uma Fila

Caractersticas de uma Fila Varveis Fundamentais Relaes entre as variveis Exemplos Notao de Kendall Modelo M/M/1 Exemplo Bibliografia

O que so Filas?Filas, filas,...

As filas so a praga do mundo atual! Espera-se em fila no banco, na portaria,ponto de nibus, no trnsito, no restaurante... (TEIXEIRA 2008). As formaes de filas ocorrem porque a procura pelo servio maior do que acapacidade do sistema de atender a esta procura;

Os motivos para no se aumentar a capacidade de atendimento dos serviosso: inviabilidade econmica e limitao de espao;

A Teoria das Filas tenta atravs de anlises matemticas detalhadas encontrarum ponto de equilbrio que satisfaa o cliente e seja vivel economicamente para oprovedor do servio (evitar desperdcios e minimizar gargalos).

Introduo

O que so Filas?

Introduo

As filas no nosso dia--dia

As filas no so simpticasLei de Murphy

a fila que anda a outra, mas no adianta trocar de fila pois a fila que anda a outra

Aspectos Histricos

Teoria das Filas

Sculo XX (1908) na Dinamarca, A. K. Erlang estudava oredimensionamento de centrais telefnicas.

Simulao Surgimento do computador; Dcada de 60; Segundo FREITAS FILHO (2001), simulao a utilizao de tcnicasmatemticas, empregadas em computadores digitais, que permitemrepresentar o funcionamento de processos reais.

Estrutura Bsica

Processo de Chegada

Atendimento

Servidores

Fila

Clientes

Populao

Caractersticas de uma Fila

Antes de observar o funcionamento de uma fila, necessrio conceituarmelhor alguns termos da Teoria das Filas.

Processo de ChegadasO processo de chegada determina o padro de chegada dos clientes no sistema. Aschegadas ocorrem de acordo com as leis da probabilidade; assim, precisoconhecer qual a distribuio de probabilidade que descreve os tempos entre aschegadas dos clientes.

Parmetros:

- (ritmo mdio de chegada);- IC (intervalo mdio entre chegadas).

Clientes e Tamanho da PopulaoNmero potencial de clientes que podem chegar ao sistema.

Um cliente proveniente de uma populao (finita ou infinita).

Caractersticas de uma Fila

Postos de Atendimento/ Servidores o recurso que processa os clientes. Podem ser fsicos ou no.

Processo de Atendimento - ServidoresO processo de atendimento especificado pelo comportamento do fluxo deusurios atendidos.

muito provvel que exista uma variao no tempo de atendimento de cadacliente no servidor e por este motivo, o tempo de atendimento assim como otempo de chegada descrito por uma distribuio de probabilidade.

Parmetros:

- (ritmo mdio de atendimento);- TA (tempo ou durao mdia do servio ou atendimento).

Caractersticas de uma Fila

Disciplina das Filas o critrio estabelecido pela gerncia do sistema, segundo o qual os usuriosque se encontram na fila so atendidos quando um posto fica disponvel. Dentreas disciplinas mais utilizadas, podem-se citar:

- FIFO (first in first out): os usurios so atendidos na ordem das chegadas.Ex: Compra de ingressos no cinema

- LIFO (last in first out): o primeiro usurio a ser atendido o que chegou por ltimo.Ex: Peas em estoques verticais

-PRI (priority service): o atendimento aos usurios segue uma ou mais prioridadespreestabelecidas pela gerncia do sistema.Ex: Cirurgias Hospitalares

-SIRO (Service in random order): o atendimento aos usurios segue uma ordem aleatria.Ex: Consrcios

Capacidade do Sistema

o nmero mximo de usurios que o sistema comporta e pode ser finita ouinfinita. Na capacidade finita, quando esta atingida, os usurios que chegamat o instante da prxima liberao so rejeitados.

Variveis referentes ao sistema:TS = tempo mdio de permanncia no sistema;NS = nmero mdio de clientes no sistema;

Variveis referentes ao processo de chegada: = ritmo mdio de chegada;IC = intervalo entre chegadas;Por definio: IC = 1/ ;

Variveis referentes fila:TF = tempo mdio de permanncia na fila;NF = nmero mdio de clientes na fila;

Variveis referentes ao processo de atendimento:TA = tempo mdio de atendimento ou servio;c = quantidade de atendentes ou servidores;NA = nmero mdio de clientes que esto sendo atendidos; = ritmo mdio de atendimento de cada atendente;por definio: TA = 1/ ;

Variveis Fundamentais

Variveis Fundamentais

Localizao das Variveis:

Relaes entre as variveis

* Little - demonstrou que, para um sistema estvel de filas, aplica-se sempre que onmero de chegadas igual ao nmero de sadas (denominado sistema emequilbrio)

Em uma minerao, cada caminho efetua um ciclo em que carregado deminrio por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para odescarregamento e retorna s carregadeiras. Verificou-se que o tempo mdio (TS)dos caminhes junto ao britador de 12 minutos e que, em mdia, existem 6caminhes (NS) no setor. Qual a taxa de chegada de caminhes?

Exemplos

Soluo: Queremos encontrar a taxa de chegada.A relao que temos a de Little: NS = .TSLogo: NS = .TS e = NS/TSPortanto: = 6/12 = 0,5 chegada/ minuto.

TS = tempo mdio de permanncia no sistema;NS = nmero mdio de clientes no sistema; = ritmo mdio de chegada;

Ainda no exemplo dos camines, existindo um total de 30 caminhes, em servio,qual a durao de um ciclo?

Exemplos

Soluo:

Queremos o ciclo, que o tempo gasto para que um caminho, partindo de umponto de referncia qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo ponto.

tambm o tempo necessrio para que todos os caminhes passem pelo mesmoponto.

Se considerarmos o britador como sendo o ponto de referncia e conhecendoagora a taxa de chegada a este ponto, podemos deduzir o tempo gasto para quetodos os caminhes passem por este ponto:

Durao do ciclo: (Quantidade de caminhes)/ Durao do ciclo = 30/ = 30/ 0,5 = 60 minutos.

No mesmo sistema ainda, qual o tempo mdio para o processo completo decarregamento (ou TFS: Tempo fora do sistema)?

Exemplos

Soluo:

Consideremos como o sistema em estudo o espao formado em torno do britador, no qual temos o caminho que est sendo descarregado e os outros em fila. Por excluso, um caminho est fora do sistema quando no ocupa o espao citado. Um ciclo corresponde soma do tempo dentro do sistema (TS = 12) mais o tempo fora do sistema (TFS). Logo:

TFS + TS = ciclo = 60 minutosTFS = 60 12 = 48 minutos.

Notao de Kendall

A notao de Kendall muito utilizada para descrever sistemas de fila, sua notao a seguinte: :

A/B/c/K/m/Z

- A a distribuio dos intervalos de tempo entre chegadas- B a distribuio dos tempos de servio

M = Exponencial (Markov, Memoryless) Em = Erlang de estgio m Hm = Hyperexponencial D = Determinstico G = Geral (para todas as distribuies)

- c a quantidade de servidores

- K a capacidade mxima do sistema

- m o tamanho da populao

- Z a disciplina da fila

M/D/2//FIFO Indica um processo de filas com tempos de chegadas exponenciais (M), tempos de servio determinsticos (D), dois servidores em paralelo (2), capacidade ilimitada e disciplina FIFO.

Em muitas situaes utilizamos apenas os trs primeiros smbolos, assumindo assim que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FIFO.

Notao de Kendall - Exemplo

Os clientes chegam, recebem algum atendimento e, ento, desocupam o sistema.

Para esse modelo so vlidas as definies:

- = Ritmo mdio de chegadas;

- IC = Intervalo mdio entre chegadas (por definio: IC = 1/); - TA = Tempo mdio de atendimento ou de servio;

- = Ritmo mdio de Atendimentos de cada atendente (por definio: TA = 1/).

Modelo M/M/1

Para o modelo M/M/1 temos as seguintes relaes:

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefnica obedecem a lei dePoisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A durao mdia do telefonema de 3 minutos e suponhamos que segue a distribuio exponencial. Pede-se:

1) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar cabine e no ter que esperar?Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo:

Ento: P0 = 1-/ = 1- (6/20) = 0,7 = 70% de probabilidade.

Modelo M/M/1 - Exemplo

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter60 / 3 = 20

mesnetTypewriter1 h = 60 min logo 60/6=10

Exemplo: A Cabine telefnica

2) Qual o nmero mdio de pessoas na fila?

Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo: NF = (6)2/ (20(20-6)) = 0,128 pessoas na fila

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

3) Qual o tempo na fila?

Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo: TF = 6/ (20(20-6)) = 0,021 hora ou 1,28 minutos.

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

4) Qual a frao do dia durante a qual o telefone est em uso?

A frao do dia durante a qual o telefone est em uso exatamente igual a (1-P0),isto , a probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conformecalculado no item a, este valor 30%.

Modelo M/M/1

mesnetTypewriter

PRADO, Darci. Teoria das Filas e da Simulao. 2.ed. Minas Gerais: INDG, 2006.

RIBEIRO, Celso. Simulao e Modelagem de Sistemas. Universidade do Vale do RioDoce. Disponvel em: http://www.di.inf.puc-rio.br/~celso/grupo/filas-3.ppt. Acesso em 22out. 2008.

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Referncia Bibliogrfica