TEORIA DAS FILASINTRODUOUm dos sintomas mais frequentes de funcionamento deficiente de um Sistema a existncia de filas (filas de clientes, filas de produtos, etc.). Quando o nmero de clientes espera de atendimento, num banco, por exemplo, for muito grande permanentemente, sinal de que o nmero de caixas no est adequadamente dimensionado. Um dos tpicos da Pesquisa Operacional com muitas e variadas aplicaes no campo da administrao das empresas a Teoria das Filas, que trata de problemas de congestionamento de sistemas, onde a caracterstica principal a presena de clientes solicitando servios de alguma forma. Em sua expresso mais simples, um sistema de filas composto por elementos que querem ser atendidos em 1 posto de servio e que, eventualmente, devem esperar at que oposto esteja disponvel. O que a Teoria das Filas: Ferramenta matemtica para tratar de eventos aleatrios o estudo da espera em filas Proporciona uma maneira de definir o ambiente de um sistema de filas matematicamente Permite prever respostas provveis e tempos de espera

As aplicaes em administrao so muitas: Estabelecimento de uma poltica de atendimento ao pblico, em empresas concessionrias de servios pblicos, determinando o nmero de atendentes e a especializao de cada um. Estudo de um sistema de almoxarifados, de forma a determinar os custos totais de operao. Estudo da operao de um centro de processamento de dados, com o objetivo de determinar polticas de atendimento e prioridades para execuo dos servios. Determinao de equipes de manuteno em grandes instalaes, onde h custos elevados associados aos equipamentos danificados espera de reparos. Estudo de operao de caixas (bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer uma poltica tima de atendimento ao pblico.

Objetivo da Teoria de Filas Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parmetros, exemplos: Tempo de espera mdio Probabilidade de formao de fila Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema1

Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo Nmero mdio de clientes na fila Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos

Fatores que Condicionam a Operao dos SistemasExistem diversos fatores que condicionam a operao de um sistema. Tais so as suas interferncias que o desempenho do sistema passa a ser funo deles. Podem ser classificados em: Forma do atendimento; Modo de chegada; Disciplina da fila; Estrutura do sistema.

1 Forma de Atendimentos. De uma forma geral, os postos de atendimento so formados por pessoas, instalaes e equipamentos que devem operar em sintonia, de forma a prestar um bom servio. Por isso, existem diversos elementos passveis de atuao por parte do administrador, com o objetivo de aprimorar o desempenho do sistema: Dimensionamento da capacidade Treinamento dos atendentes Rotinas administrativas Sistemas de informaes.

Todos esses elementos podem ser observados, pesquisados, avaliados e aprimorados. O resultado da interao desses fatores aparece, para o cliente, como o tempo gasto em cada atendimento ou como o nmero de atendimentos que o sistema consegue fornecer. Assim, essa a varivel que o administrador deve observar em primeiro lugar. O primeiro passo no estudo de um sistema de filas o levantamento estatstico do nmero de clientes atendidos por unidade de tempo, ou do tempo gasto em cada atendimento. Esse tempo pode ser regular, ou seja, todos os atendimentos tem a mesma durao ou so aleatrios, que a situao mais comum, onde cada cliente exige um tempo prprio para soluo de seu problema. A finalidade do levantamento estatstico , ento, determinar a distribuio de probabilidades do nmero de atendimentos ou da durao de cada atendimento. O resultado obtido uma funo de distribuio de probabilidades como as mostradas na figura abaixo.

2

Alm disso, mais dois fatores devem ser analisados na definio do regime de atendimento: Disponibilidade do servio, j que alguns sistemas s atendem durante um certo intervalo de tempo, enquanto outros esto sempre em disponibilidade. Capacidade de atendimento simultneo do sistema, isto , o nmero de postos de servio que podem atender aos clientes. Existem sistemas com apenas um posto ou com vrios postos de atendimento.

2 Modo de Chegada. As chegadas de clientes a um sistema ocorrem, na maioria dos casos de interesse para a administrao, de forma aleatria, ou seja, o nmero de clientes que chegam por unidade de tempo varia ao acaso. Torna-se importante, dessa forma, realizar um levantamento estatstico com a finalidade de descobrir se o processo de chegadas pode ser caracterizado por uma distribuio de probabilidades. Para que essa caracterizao possa ser feita, o processo de chegadas tem necessariamente que estar no chamado estado estacionrio. Isso significa que a distribuio de probabilidades que identifica o processo hoje ser a mesma de amanh. Ao contrrio, quando a distribuio de probabilidades de um evento varia com o tempo, o sistema dito no estado no estacionrio ou transitrio. Assim, a afluncia de pblico a uma agncia bancria um processo estacionrio, j que depende das condies normais de negcio existentes na localidade. Porm, a iminncia de uma greve bancria prolongada ou boato de falncia, por exemplo, levariam o sistema para o estado no estacionrio, j que provocaria uma corrida ao banco. Isso significa que a distribuio de probabilidades que explica o evento aleatrio das chegadas normais seria diferente da distribuio que explicaria as chegadas, no caso de corrida ao banco. A distribuio de probabilidades do nmero de chegadas uma funo como a3

mostrada na Figura abaixo.

3 Disciplina da Fila. A disciplina da fila um conjunto de regras que determinam a ordem em que os clientes sero atendidos. Esse atendimento pode ser feito pela ordem de chegada FIFO (o primeiro a chegar o primeiro a ser atendido), pela ordem inversa de chegada - LIFO (o ltimo a chegar o primeiro a ser atendido), pelo atendimento com prioridade para certas classes etc. 4 Estrutura do Sistema Estrutura simples: uma fila e um canal de atendimento. Estrutura de uma fila e vrios canais de atendimento paralelos. Sistema complexo: filas e canais de atendimentos em srie e em paralelos.

Alm das caractersticas gerais de um sistema de filas, importante determinar a estrutura do mesmo, que um elemento fundamental do estudo. Esses sistemas podem ter as estruturas o mais variadas possveis, sendo que cada caso exige um estudo analtico diferente. A estrutura mais simples mostrada na figura (a), onde temos um sistema de 1 fila e 1 canal. A figura (b) mostra um sistema de 1 fila e 3 canais em paralelo.

4

Medidas da Efetividade de um SistemaNo estudo de um sistema de filas, podem ser determinadas vrias medidas de efetividade ou parmetros do sistema, com a finalidade de indicar seu desempenho, como: a) Percentagem (%) do tempo em que o posto de atendimento permanece ocioso ou ocupado (taxa de ocupao); b) Tempo mdio que cada cliente gasta na fila de espera, que chamaremos de TF; c) Tempo mdio gasto pelo cliente no sistema, isto , a mdia dos tempos computados desde o instante de entrada at o de sada, que chamaremos de TS; d) Nmero mdio de clientes na fila, em uma unidade de tempo, ou, o que a mesma coisa, tamanho mdio da fila, que chamaremos de NF; e) Nmero mdio de clientes no sistema em uma unidade de tempo, que ser chamado de NS; f) Probabilidade de existir um nmero n de clientes no sistema, em um determinado momento. A escolha do parmetro depende do objetivo do estudo. Por exemplo, no dimensionamento de um ptio de estacionamento, a rea do ptio ser proporcional ao nmero mdio de veculos no sistema. A probabilidade de haver um nmero maior que essa mdia o risco que se corre de que o ptio no seja suficiente. Pode ocorrer que num determinado estudo os objetivos sejam conflitantes. Por exemplo, no estudo de um almoxarifado necessrio haver um compromisso entre o nmero mdio de clientes na fila e o tempo ocioso do atendente, j que um varia inversamente com o outro, e ambos tm peso econmico. No sistema de filas, podem ser determinadas vrias medidas da efetividade do sistema. Alguns exemplos so: Percentual de tempo em que o posto de atendimento permanece ocioso ou ocupado. Tempo mdio que cada cliente gasta na fila de espera. Tempo mdio gasto pelo cliente no sistema, ou seja, a mdia dos tempos computados desde o instante de entrada at o momento de sada. Nmero mdio de clientes na fila, em uma unidade de tempo, ou o tamanho mdio da fila. Nmero mdio de clientes no sistema em uma unidade de tempo. Probabilidade de existir um nmero n de clientes no sistema.

5

Modelos Usuais de Sistemas de Atendimento

6

MODELO 01SISTEMA DE UMA FILA E UM CANAL DE ATENDIMENTO COM POPULAO INFINITA Caractersticas Gerais:As equaes so baseadas nas seguintes caractersticas de chegada e atendimento: AS CHEGADAS ocorrem segundo uma distribuio de Poisson com mdia chegadas/tempo. OS TEMPOS DE ATENDIMENTOS seguem a distribuio exponencial negativa com mdia 1/ (ou seja: o nmero de atendimentos segue a distribuio de Poisson com mdia ). O NMERO DE ATENDIMENTOS segue a distribuio de Poisson com mdia . O atendimento fila feito por ordem de chegada. O nmero de clientes potenciais suficientemente grande para que a populao possa ser considerada infinita. Condio de estabilidade do sistema: <

Equaes do Modelo:1 A probabilidade do sistema estar ocupado ou da utilizao de um sistema :

Em que: = utilizao do sistema = taxa de chegada, unidades/perodo de tempo = taxa de atendimento, unidades/perodo de tempo7

As equaes que se seguem s sero vlidas quando / < 1. 2 Probabilidade de haver n clientes no sistema:

( )

(

)

3 Probabilidade de que o n de clientes no sistema seja superior a um certo valor r:

(

)

( )( )

(( )

)

Desenvolvendo a equao acima, teremos:

4 Probabilidade de que o sistema esteja vazio ou ocioso:

(

)

(

)

Que fornece o percentual de tempo em que o sistema est inativo, tambm chamada de taxa de ociosidade. 5 Probabilidade de que o sistema esteja ocupado Taxa de Utilizao

(chamado de fator ou taxa de ocupao. 6 Taxa de ociosidade =

)

( ),

7 Nmero mdio de clientes na fila (NF):

(

)

Este valor inclui as filas de tamanho zero. Podemos calcular tambm o tamanho mdio da fila, apenas quando h fila. 8 Nmero mdio de clientes no sistema (NS):

8

9 Tempo mdio de espera na fila por cliente (TF):

(10 Tempo mdio gasto no sistema por clientes (TS):

)

11 O nmero esperado na fila no vazia NF ( F>0) :

12 Probabilidade de que um cliente permanea mais que t unidades de tempo no sistema:

13 Probabilidade de que um cliente permanea mais que t unidades de tempo na fila:

Relaes entre TF, TS, NF e NSA partir das frmulas do modelo apresentado anteriormente podemos extrair algumas relaes entre as diversas medidas de efetividade do sistema. Assim, podemos ver que o nmero mdio de clientes na fila (no sistema) tem a seguinte relao com o tempo mdio de espera (gasto no sistema): Relao no nmero mdio de clientes com tempo mdio de espera Relao entre o numero mdio de clientes no sistema com o tempo mdio gasto no sistema por clientes Por definio, o tempo mdio de espera na fila igual ao tempo mdio gasto no sistema menos o tempo mdio gasto no atendimento. Assim:

Multiplicando ambos os lados por e substituindo nas frmulas acima:9

TAXA DE SERVIO PARA MNIMO CUSTO TOTAL DO SISTEMA evidente que um aumento na taxa de atendimento do sistema promovera melhor desempenho global. No entanto, na maioria dos casos prticos, maior eficincia do sistema de atendimento resultar tambm em maior custo total de servio. O objetivo desta seo determinar a taxa de servio que resulta no menor custo total do sistema. Vamos usar a seguinte nomenclatura: CT : custo total do sistema CE : custo de estada no sistema mdio por perodo CA : custo de atendimento mdio por perodo CEunit : custo de estada unitrio (por cliente) por perodo CAunit: custo de atendimento unitrio, por cliente.

Dessa forma, podem ser escritas as relaes:

onde NS o nmero mdio de clientes no sistema. Substituindo:

Da mesma forma, como o nmero mdio de clientes atendidos por unidade de tempo, temos:

Substituindo:

10

Para encontrar o valor de * que d o mnimo custo, basta resolver a equao:

(

) ( )

Resolvendo com relao a :

(Onde:

)

Sendo: * a taxa de servio que resulta no menor custo total no modelo de 1 fila e 1 canal.

11

Exerccios1. O caixa de um restaurante fast-food, nos horrios de pico, recebe, em mdia, dois clientes a cada minuto. A chegada dos clientes nesses horrios obedece distribuio de Poisson. Qual a probabilidade de que, em um dado minuto, o caixa receba: a) Nenhum cliente; b) Dois clientes; c) Trs clientes ou menos.

2. Num pedgio chegam 3 carros, em mdia, a cada 10 segundos. Determine a probabilidade de que cheguem 0, 1, 2, 3, .... carros em um certo intervalo de 10 segundos. Sabendo que a chegada dos carros obedece a distribuio de Poisson. ( ) onde: = 3 carros a cada 10 segundo e x = 0, 1, 2, ....

3. O Aeroporto Porto Seguro concentra todo o servio de uma ponte area. Isto faz com que o trfego fique um pouco congestionado. A intensidade do trfego areo funo da hora do dia, mas o momento critico est entre 17 e 18 horas dos dias teis, exatamente durante o retorno das pessoas que deixaram a cidade pela ponte area para trabalhar fora. Os avies que chegam ficam em uma fila, aguardando a vez de aterrissar. Eles ficam sobrevoando em grandes crculos nas proximidades do aeroporto de Porto Seguro, at que a torre de controle libere alguma pista para pouso. Para este horrio (entre 17 e 18 horas), a taxa mdia de chegada de avies de um a cada 3 minutos. A torre de controle, por sua vez, consegue aterrissar, em mdia, um avio por minuto. Supondo que tanto a taxa de chegada como a taxa de pouso dos avies obedea distribuio de Poisson, determinar: a) A taxa de utilizao do sistema de aterrissagem do aeroporto; b) A probabilidade de que nenhum avio esteja pousando ou aguardando liberao de pista; c) A probabilidade de que haja apenas um avio aterrissando ou aguardando ordem para isso; d) A probabilidade de que no haja mais de trs avies sobrevoando o aeroporto, aguardando instrues para pouso; e) O numero mdio de avies aguardando ordem de pouso; f) O numero mdio de avies pousando ou aguardando ordem de pouso; g) O tempo mdio que um avio fica sobrevoando o aeroporto, aguardando ordem para pousar; h) O tempo mdio que um avio demora a aterrissar, incluindo o tempo de aterrissagem em si, mais o tempo que fica sobrevoando o aeroporto aguardando ordem de pousar.

4. O servio de emergncia de um hospital consegue atender, em mdia, um caso a cada 10 minutos. Os casos chegam razo de um a cada 15 minutos. Os casos so atendidos em uma base PEPS. O numero de casos que chegam a emergncia obedecem distribuio de Poison. Pede-se: a) O numero mdio de casos na emergncia; b) O numero mdio de casos na fila para serem atendidos; c) O tempo mdio de espera na fila; d) A probabilidade de que haja dois casos para serem atendidos. e) A probabilidade de que na emergncia no haja nenhum caso para ser atendido.12

5. Uma copiadora para uso de escritrio usada e operada por pessoas deste mesmo escritrio, como o trabalho varia de tamanho e numero de cpias, a taxa de atendimento se aproxima da distribuio de Poison, tendo uma taxa de atendimento mdio de 10 trabalhos por hora. Geralmente as necessidades de uso so aleatrios durante as 8 horas de trabalho dirio, mas chegam a uma taxa de 5 trabalhos por hora. Varias pessoas notaram que surge uma linha de espera, s vezes, e tm questionado a poltica de se manter apenas uma unidade copiadora. Se o tempo de uma secretria custa R$ 10,00 por hora. Faa uma analise para determinar: a) A taxa de utilizao do equipamento. b) O tempo mdio que uma chegada tem que espera na fila; c) O tempo mdio do sistema.

6. Suponhamos um pedgio onde h somente uma caixa fazendo o atendimento; os carros chegam a uma taxa de 2 carros por minuto e o tempo mdio de atendimento de cada carro por parte da caixa de 10 segundos.

7. O departamento de roupas de uma grande loja emprega uma costureira para ajustes nas roupas dos clientes. O nmero de clientes que requerem ajustes segue uma distribuio de Poisson com taxa mdia de chegada de 24 clientes / hora. Os clientes provam uma vez, a roupa ajustada, e ento eles esperam pelo atendimento da costureira. O tempo gasto para ajustar uma roupa segue uma distribuio exponencial, com mdia 2 minutos. a) Qual o nmero mdio de clientes na sala de ajustes? b) Quanto tempo poderia um cliente esperar gastar na sala de ajustes? c) Qual a probabilidade de que um cliente espere mais do que 10 minutos pelo atendimento da costureira? d) Qual o tempo de espera mdio para ser atendido pela costureira?

8. Uma casa de doces finos possui um atendente. O modelo de chegada de clientes nos sbados segue aproximadamente uma distribuio de Poisson, com uma taxa mdia de chagada de 10 pessoas por hora. O tempo mdio gasto para atender um cliente estimado como sendo exponencialmente distribudo, com tempo mdio de atendimento de 4 minutos. a) Calcule a probabilidade de se formar uma fila. b) Determine o tamanho mdio da fila. c) Calcule o tempo de espera mdio dos clientes na fila. d) Qual a probabilidade de que um cliente gaste menos de 12 minutos na loja.

13