Teorema de Pitágoras 1

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre oscatetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).

O teorema de Pitágoras é uma relaçãomatemática entre os comprimentos dos ladosde qualquer triângulo retângulo.[1] Nageometria euclidiana, o teorema afirma que:

“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciadoanterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

“Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são oscatetos. ”

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente écreditado pela sua descoberta e demonstração,[2][3] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento doteorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcularos lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema dePitágoras).[] [4] [5]

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 –1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de doislados e a medida de algum dos três ângulos.

Teorema de Pitágoras 2

Fórmula e corolários

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e dehipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos doscatetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se oscomprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo sãoconhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado:

       e   Outro corolário do teorema é que:

“Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles. [6]”maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b²,logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba+ a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

DemonstraçõesNão se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras.[7] O teorema de Pitágoras já teve muitasdemonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370demonstrações diferentes.[] Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.[8] E também ofereceramdemonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimopresidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.[9][10][11] O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeitode áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações,e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas

1. Desenha-se um quadrado de lado 2. De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo

dois deles quadrados de lados, respectivamente, a e b: Traça-se doissegmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado,sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmocomprimento que o lado do quadrado;

3. Divide-se cada um destes dois retângulos não quadrados em doistriângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se c ocomprimento de cada diagonal;

4. A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a 5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra

posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado 6. Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a

Teorema de Pitágoras 3

Como representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e representa a mesma área, então . Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igualà soma dos quadrados dos catetos.

Por semelhança de triângulos

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulosABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas

posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade doslados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razãoentre quaisquer dois lados correspondentes detriângulos semelhantes é a mesma, independentementedo tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo retolocalizado em C, como mostrado na figura. Desenha-sea altura com origem no ponto C, e chama-se H suaintersecção com o lado AB. O ponto H divide ocomprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novotriângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, poisambos tem um ângulo reto, e eles compartilham oângulo em A, significando que o terceiro ângulo é omesmo em ambos os triângulos também,[12] marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido,percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade dasrazões dos lados correspondentes:

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.Estas relações podem ser escritas como:

Somando estas duas igualdades, obtém-se

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

Uma variante[13][14][15]

Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes,pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantesé igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, aárea de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH,respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-sex*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

Teorema de Pitágoras 4

Demonstração de Bhaskara[16]

A análise da figura da direita permitecomputar a área do quadradoconstruído sobre a hipotenusa de umtriângulo retângulo: ela é quatro vezesa área desse triângulo mais a área doquadrado restante, de lado (b−a).Equacionando-se, segue que:

Logo:

(otermo (b-a)² é um produto notável)

(por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencialPode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças nahipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, vistoque usa comprimentos, não áreas.

Demonstração que usa equações diferenciais.

Como resultado da mudança da no lado a,

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,

por separação de variáveis.que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no ladob.

Pela integração, segue:

Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b2. Logo,

Num espaço com um produto internoPode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessasituação:

Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:

Segue então:

que é o teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras 5

Pelo rearranjo das partes

Demonstração pelo rearranjode quatro triângulosretângulos idênticos.

Animação mostrando outra demonstração porrearranjo.[17]

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda.Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área pretatotal é constante também. E a área preta pode ser dividida emquadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrandoque a2 + b2 = c2.

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c2 tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixandoum pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo aacomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Doisretângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos.Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos,os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2,mostrando que c 2 = a 2 + b 2.

Recíproca

O "triângulo egípcio", de medidas 3, 4, 5, e,portanto, um triângulo retângulo.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira[18]:"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então oângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

“Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ânguloformado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto. ”

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.[19]

Teorema de Pitágoras 6

Consequências e usosTalvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Nageometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais etrigonometria têm como base este teorema.[20] É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, poiseles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos.[21] E por extensão, em todos os poliedros.

A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes.Sendo o lado e a diagonal, segue que:

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:[22]

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retânguloscongruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:

[22]

Teorema de Pitágoras 7

A diagonal do cubo

AC' (em azul) é uma diagonal do cubo,enquanto AC (em vermelho) é uma

diagonal de uma de suas faces.

Seja a a medida de sua aresta (medida de um lado de uma face quadrada)

(I)Também pelo teorema de Pitágoras tem-se que:

(II)De I e II:

Então:[23]

Identidade trigonométrica fundamental

Disso, segue que:

Ternos pitagóricos

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três númerosinteiros positivos a, b, e c, tais que a 2 + b 2 = c 2. Em outraspalavras, um terno pitagórico representa os comprimentos doslados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têmcomprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b,c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos (o máximo divisor comum de a, b e c é 1).Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21,29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras 8

Números irracionais como comprimento

Espiral de Teodoro

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentosincomensuráveis (ou seja, cuja razão é um número irracional, tal como araiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como réguae compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a umaunidade tem uma hipotenusa de comprimento igual a raiz quadrada de 2. Afigura da direita mostra como construir segmentos de reta comcomprimentos iguais a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Distância entre dois pontos

O teorema de Pitágoras pode ser traduzido para a linguagem dascoordenadas de Descartes:

Seja e Para auxiliar, seja Como A e C possuem mesma ordenada, Como B e C possuem mesma abcissa,

Então [24]

Generalizações

Lei dos cossenosO teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei doscossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teoremamais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema dePitágoras.

Teorema de Pitágoras 9

Teorema de GuaO teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume dahipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (istoé, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não éperpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Figuras semelhantes nos três lados

O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livroOs Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nostrês lados, para figuras semelhantes:[25][26]

“Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior.”Nas geometrias esférica e hiperbólica

Um triângulo esférico

Um triângulo hiperbólico

O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e defato, a versão euclidiana não é válida nas geometrias não euclidianas.[27] (Foimostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado dasparalelas).[28] Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relaçãoentre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Porexemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana ea e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

• Na geometria esférica, tem-se

• Na geometria hiperbólica tem-se

Teorema de Pitágoras 10

História

A tabuleta Plimpton 322 registra ternospitagóricos.

Ilustração do livro Chou Pei Suan Ching, que sugere umademonstração do teorema para um triângulo específico (de lados 3, 4

e 5).

A história do teorema pode ser dividida em quatropartes: o conhecimento de trios pitagóricos,conhecimento da relação entre os lados de um triânguloretângulo, conhecimento das relações entre ângulosadjacentes, e demonstrações do teorema dentro desistemas dedutivos.

O historiador da matemática alemão Moritz Cantor,tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dosegípcios e que eles usavam cordas em agrimensura,especulou que eles construíam ângulos retos por meiode um uma corda com nós para formar um triângulo delados 3, 4 e 5.[29] Bartel van der Waerden afirmou quenão há evidências que sustentem esta especulação,[29]

visão compartilhada por Thomas Little Heath.[30]

Há provas que os antigos babilônios já conheciam oteorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro doperíodo de 1800 a 1600 a.C. foram encontrados eestudados, estando hoje em vários museus. Um deles,Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3colunas, ilustrando trios pitagóricos.

Na China, o teorema também já era conhecido cerca de600 anos antes do período Pitagórico. O problema"Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing éuma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema. [31]

[1] Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Diane Koenig. Prealgebra, pg. 855. (http:/ / books. google. com. br/ books?hl=pt-BR&id=xeIzp5-ddcgC& dq=""the+ pythagorean+ theorem+ is+ a+ mathematical+ relationship+ between+ the+ sides"& q="between+ the+lenghts+ of+ the+ sides+ of+ any"#v=snippet& q="between the lenghts of the sides of any"& f=false)

[3][3] Heath, Vol I, p. 144.[5] Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ PrintHT/ Babylonian_Pythagoras. html)[6] Uma generalização disso é a desigualdade triangular.[7] Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, pg 31 (http:/ / books. google. com. br/ books?id=Z5VoBGy3AoAC&

pg=PA31& dq="pythagoras'+ proof"+ areas& hl=pt-BR& sa=X& ei=bM_xUI-xMZHW8gSygYGIDA& ved=0CF0Q6AEwBg#v=onepage&q="pythagoras' proof" areas& f=false)

[8] Euclid's Elements, Book I, Proposition 47 (http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ java/ elements/ bookI/ propI47. html)[9] Proof #6 (http:/ / www. jimloy. com/ geometry/ pythag. htm)[10] Proof #16 (http:/ / www. cut-the-knot. org/ pythagoras/ )[11] Published in a weekly mathematics column: as noted in and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 (http:/ / www. math. usma.

edu/ people/ rickey/ hm/ Dates/ April. pdf) by V. Frederick Rickey[12] Pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus (32ª proposição de Euclides).[13] John Denker, Introduction to Scaling Laws (http:/ / www. av8n. com/ physics/ scaling. htm#sec-py)[14] (http:/ / terrytao. wordpress. com/ 2007/ 09/ 14/ pythagoras-theorem/ ) Blog de Terence Tao[15] 2ª edição do número especial da Revista do Professor de Matemática – RPM, pgs. 34-39. (http:/ / server22. obmep. org. br:8080/ media/

servicos/ recursos/ 296665. o)[16] Proof #6 in Jim Loy, The Pythagorean Theorem (http:/ / www. jimloy. com/ geometry/ pythag. htm)[18] Demonstração de Euclides no livro Os Elementos (http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ java/ elements/ bookI/ propI48. html)[19][19] James Stuart Tanton. Encyclopedia of Mathematics, pg. 426.[20] (http:/ / math. berkeley. edu/ ~giventh/ papers/ eu. pdf) en:Alexander Givental, The Pythagorean Theorem: What is it about?[21] Rhoad, Milauskas & Whipple. Geometry for Enjoyment and Challenge, pg 384.[22][22] Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 9 - Geometria Plana, pg. 239.

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[23][23] Ira K. Wolf. , pg. 91.[24][24] A. Kolmogorov et al. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning, pgs. 186-187.[25] (http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ java/ elements/ bookVI/ bookVI. html) Elementos. Livro VI, Proposição 31[26] Elon Lages Lima. Medida e Forma em Geometria, pgs. 26-27.[27] Stephen Hawking. God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History, pg 4. (http:/ / books. google. com. br/

books?id=j0dkJQwORvYC& printsec=frontcover& hl=pt-BR#v=onepage& q="Pythagorean theorem is false"& f=false)[28] Scott E. Brodie. The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate. (http:/ / www. cut-the-knot. org/ triangle/ pythpar/

PTimpliesPP. shtml)[29] Craig Smorynski - History of Mathematics: A Supplement, pg. 14 (http:/ / books. google. com. br/ books?id=_zliInaOM8UC& pg=PA14&

lpg=PA14& dq="Moritz+ Cantor"+ pythagorean+ egyptians+ rope& source=bl& ots=KmXBIJlC5L&sig=_BPcM0hAVMUV3dxerneTAwJdDts& hl=pt-BR& sa=X& ei=kQxcUKS0A4Ta8wSyrYGADA& ved=0CCQQ6AEwAQ#v=onepage&q="Moritz Cantor" pythagorean egyptians rope& f=false)

[30] Eli Maor - The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, pg. 15 (http:/ / books. google. com. br/ books?id=Z5VoBGy3AoAC&printsec=frontcover& dq=pythagoras+ theorem+ geometric+ history& source=bl& ots=SJKszjsKi_&sig=pbQlxagjGVqcQJ_vj-Z-wd4uwA0& hl=pt-BR& sa=X& ei=XhJcULT1O7KN0QGeiYHIDw& ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q="there seems to be no"& f=false)

[31] Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem (http:/ / www. chinapage. com/ math/ s9/ pythagoras. html)

Ligações externas• Demonstração do teorema de Pitágoras (segundo Euclides) (http:/ / www. fc. up. pt/ mp/ jcsantos/ Pitagoras. html)• Pythagorean Theorem and its many proofs (http:/ / www. cut-the-knot. org/ pythagoras/ index. shtml) (em inglês)

O teorema de Pitágoras e suas muitas demonstrações, no Cut-the-Knot.• Geometria Analítica e Desenho Geométrico, Unicamp: Teorema de Pitágoras (http:/ / www. ime. unicamp. br/

~sandra/ MA520/ handouts/ lab9. pdf)Introdução, a demonstração de Da Vinci, e História do teorema.

Fontes e Editores da Página 12

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