tensor das tensoes

Generalizao do Conceito de Tenso Caso Simples de Traco

A tenso Tn(a), num dado

ponto de um corpo, depende

da orientao do plano que

consideramos a passar por

esse ponto.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

a

Tn

(a

)/T

x

a

x

yn

FF0A

1A

n aT

0x n a T T

1

0cosA

Aa

a0A

1A

1 0

cos

cos

n

x

A Aa a

a

F

T

TF

cosxn aa TT

Tenso de Normal e Tenso de Corte As componentes normal (s) e

de corte ou tangencial (t) da

tenso dependem da

orientao do plano que

consideramos a passar pelo

ponto.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 15 30 45 60 75 90

a

s (

a)/

sx

t ( a

)/s

x

aasat

asas

cossin)(

cos)(

x

2x

s(a)=sx(cosa2

t(a)=sxsinacosa

n

a

F x0A

1AF

y

n aT

x x T

01

cos

AA

a

02

1

2cos cos cos cosxn A Aa aa a aa T F F

01sen sen sen cos sen cosxn AAa a a a a aaa FT F

Noo de Tenso num Ponto

De um modo geral, a tenso, e particularmente as suas

componentes normal e de corte, dependem, no s da orientao

da seco (transversal ou outra), mas tambm da posio do

ponto.

Exemplo de provete de

seco varivel

F F x

y

1A 2A

1x2x

2x xT 1x xT

21 xx x x TT

21A A

Anlise geral do estado de tenso

Em Geral:

Foras de massa (volume)

Considere-se um corpo carregado em equilbrio.

Corte-se o corpo atravs de um plano P.


P

1F

2F

3F

1F

2F

3F

O estado de cada uma das partes manter-se- se a aco da outra parte for

substituda por foras distribudas na superfcie de separao.

Considere-se cada uma das partes e seja dA um elemento de superfcie comum,

centrado no ponto P. 5

F3

A

dA dF

2

A

dA

- dF

1

Se a fora exercida em dA pela parte 1 sobre a 2 for dF ento, a fora exercida pela parte 2

sobre a parte 1 no mesmo elemento dA, dever ser igual a dF e de sentido contrrio, pelo

Princpio da Aco e da Reaco.


1F

2F

3F

6

Para o plano P, define-se o vector tenso Tn no ponto P atravs do seguinte limite:

d 0

dT lim

dn

A A

F


A

dA dF

2

3F Tn

n(2)

s

t

ns(2)

Sendo Tn o vector tenso no ponto P, possvel

projectar esse vector segundo as direces normal

(n(2)) e tangencial (ns(2)) faceta dA, obtendo-se a

tenso normal s e a tenso de corte t. 7

Para o plano P, define-se o vector tenso Tn no ponto P atravs do seguinte limite:

d 0

dT lim

dn

A A

F


A

dA

dF

2

3F

Tn

Em Concluso:

As dimenses fsicas da tenso so de fora por unidade de

rea;

A tenso num ponto definida a partir de um plano ou

fronteira imaginrios que dividem o corpo em duas partes;

A tenso um vector equivalente aco de uma parte do

corpo sobre a outra;

A direco e amplitude do vector tenso so variveis de

ponto para ponto.

8


Tn

n(1)

s

t

Tn

n(2)

s

t Cada plano P que corta o corpo num ponto P, fica

associado a duas facetas, consoante se considere

uma ou outra das partes em que o corpo dividido.

, ,n n nP P T T n T n

9

ns(2)

ns(1)

Em Concluso:

A tenso resultante, num ponto e numa seco a passar pelo ponto, pode sempre decompor-se segundo

duas componentes:

- Normal

- De corte ou tangencial

s Tenso normal

t Tenso de corte ou tangencial

Lado 2


Tn

n(2)

s

t

dA P

dF

10

ns(2)

Considere-se:

um sistema de eixos cartesiano centrado no ponto P;

o corte obtido por cada um dos planos;

cada uma das facetas, pertencente a cada uma das partes em que o corpo dividido.

1x x

2y x

3z x

1Ox Ox n

xT

12xyt s

11xxs s

13xzt s

1x x

2y x

3z x

12xyt s

11xxs s

13xzt s

12xyt s

13xzt s

11xxs s

Componentes Cartesianas da Tenso

11

Considere-se:




1x x

2y x

3z x

2Oy Ox n

yT

21yxt s22yys s

23yzt s

1x x

2y x

3z x

21yxt s

23yzt s22yys s


22yys s21yxt s

23yzt s

12

Considere-se:




1x x

2y x

3z x

3Oz Ox n

zT

31zxt s

33zzs s

32zyt s

1x x

2y x

3z x

31zxt s

32zyt s

33zzs s


33zzs s

31zxt s 32zyt s

13

Definio:

sij a componente

cartesiana do tensor das

tenses que se exerce na

faceta de normal xi (-xi),

na direco xj (-xj).

Se i=j a tenso normal;

Se ij a tenso tangencial


13s

12s11s

P 21s

22s

23s

31s32s

33s

11s

12s

13s

31s

21s

23s22s

32s

33s1x x

2y x

3z x

a

A dimenso da aresta do cubo, a, tende para zero 14

As componentes cartesianas da tenso podem ser representadas em forma matricial,

com o primeiro ndice a indicar a linha e o segundo a indicar a coluna.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

s s s s s s s s s

T


Tensor das Tenses

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

(Plano ) n Ox

(Plano ) n Oy

(Plano ) n Oz

, , 1,2,3ijT i j

15

As Tenses Normais so positivas se actuarem no sentido da normal exterior ao plano a que

pertencem, e negativas no caso contrrio. Tenses normais positivas so tenses de traco e

tenses normais negativas so tenses de compresso.

As Tenses de Corte so positivas:

a) quando esto orientadas no sentido positivo dos eixos, em planos cuja normal exterior est

orientada no sentido positivo do respectivo eixo;

b) quando esto orientadas no sentido negativo dos eixos, em planos cuja normal exterior est

orientada no sentido negativo dos eixos.

As Tenses de Corte so negativas nos casos contrrios.

Conveno de Sinal das Tenses

16

P

22s

23s

31s32s

33s

11s

12s

13s

1x x

2y x

3z x

13s

12s11s

P

31s

21s

23s22s

32s

33s1x x

2y x

3z x

Significado Fsico do Sinal das Tenses

x

A forma final em traco (+)

diferente de compresso (-).

Do ponto de vista da

deformao, h diferena entre

traco e compresso.

xx

xx

s

s

s

s

xx

xx

Tenses Normais

Traco (+)

Compresso (-)

x

x

A forma final a mesma (para t>0

e t 0) t < 0)

17

Equaes de Equilbrio

18

1x x

2y x

3z x

12xyt s

13xzt s

11xxs s

1x x

2y x

3z x

xy xyt t

xx xxs s

xz xzt t

1x x

1x x

1x x

0

xxs

xxs

xx xxs s

Declive da recta:

Equao da recta:

xx xx

x x

s s

xxxx xxx xx

ss s

Equaes de Equilbrio

19

P y

x

z

zxt

zyt

zzs

yzt

yxt

yysxyt

xxs

xzt

zy

zy zz

tt

zxzx z

z

tt

zzzz z

z

ss

xxxx x

x

ss

xy

xy xx

tt

xzxz x

x

tt

yx

yx yy

tt

yz

yz yy

tt

yy

yy yy

ss

x

y

z

, e 0x y z

xxxx

yy

yy

zzzz

xx

yy

zz

ss

ss

ss

etc.....

Fx, Fy e Fz so as componentes de eventuais fora de massa a actuar

sobre o elemento de volume. Considera-se que as foras esto a actuar

no centride.

0yxxx zx

xx xx yx yx zx zx xx y z y x z z x y F x y zx y z

ts ts s t t t t

Equaes de Equilbrio Esttico

- Exemplo -

Equao de equilbrio (somatrio das foras segundo Ox igual a zero):

Equilbrio de foras

segundo Ox

20

P y

x

z

zxt

yxt

xxs

zxzx z

z

tt

xxxx x

x

ss

yx

yx yy

tt

x

y

z

xF

0yxxx zx

xx xx yx yx zx zx xx y z y x z z x y F x y zx y z

ts ts s t t t t

0yx yy zy

yx yx yy yy zy zy yx y z y x z z x y F x y zx y z

t s tt t s s t t

0yzxz zz

xz xz yz yz zz zz zx y z y x z z x y F x y zx y z

tt st t t t s s

0

0

0

yxxx zxx

xy yy zy

y

yzxz zzz

Fx y z

Fx y z

Fx y z

ts t

t s t

tt s

Equaes de equilbrio esttico segundo Ox, Oy e Oz (somatrio das foras igual a zero):


Equilbrio de foras

21

Equaes de Equilbrio

22

P 21

21 2

2

xx

ss

2222 2

2

xx

ss

2323 2

2

xx

ss

3131 3

3

xx

ss

3232 3

3

xx

ss

3333 3

3

xx

ss

1111 1

1

xx

ss

1212 1

1

xx

ss

1313 1

1

xx

ss

31s

21s

23s

13s

12s

11s

22s

32s

33s

1x

2x

3x

3111 211

1 2 3

3212 222

1 2 3

13 23 333

1 2 3

0

0

0

Fx x x

Fx x x

Fx x x

ss s

ss s

s s s

11,1 21,2 31,3 1

12,1 22,2 32,3 2

13,1 23,2 33,3 3

0

0

0

F

F

F

s s s

s s s

s s s

, 0ji j iT F

yxxx zxx x

xy yy zy

y y

yzxz zzz z

F ax y z

F ax y z

F ax y z

ts t

t s t

tt s

Fora de Inrcia: inF a

Equaes de Equilbrio Dinmico

Equaes de equilbrio dinmico segundo Ox, Oy e Oz

(somatrio das foras igual a zero):

23

,ji j i iT F a


- Exemplo -

24

O y

x

z

2zx

zx

z

z

tt

2zx

zx

z

z

tt

x

y

z

Equao de equilbrio (somatrio dos momentos segundo Oy igual a zero):

Equilbrio de

momentos segundo Oy

02 2 2 2 2 2 2 2

zx zx xz xzzx zx xz xz

z z z z x x x xx y x y y z y z

z z x x

t t t tt t t t

2xz

xz

x

x

tt

2

xzxz

x

x

tt

Equaes de equilbrio esttico segundo Ox, Oy e Oz (somatrio dos momentos igual a zero):


Equilbrio de momentos

02 2 2 2 2 2 2 2

zy zy yz yz

zy zy yz yz

z z z z y y y yx y x y x z x z

z z y y

t t t tt t t t

02 2 2 2 2 2 2 2

zx zx xz xzzx zx xz xz

z z z z x x x xx y x y y z y z

z z x x

t t t tt t t t

02 2 2 2 2 2 2 2

xy xy yx yx

xy xy yx yx

x x x x y y y yz y z y x z x z

x x y y

t t t tt t t t

zy yzt t

zx xzt t

xy yxt t25

Implicao das Equaes de Equilbrio de

Momentos

O tensor das tenses tem apenas 6 componentes independentes

xy yx

xz zx

yz zy

t t

t t

t t

O Tensor das Tenses simtrico

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

T

26

11 12 13

21 22 23

31 32 33

s s s s s s s s s

T

11 12 13

12 22 23

13 23 33

s s s s s s s s s

T

ji ijT T

Implicao das Equaes de Equilbrio de

Momentos

27

Anteriormente obtiveram-se as equaes de equilbrio em notao

indicial na seguinte forma:

Atendendo simetria das tenses, as equaes de equilbrio em notao

indicial podem ser escritas na forma mais habitual:

, 0ji j iT F

, 0ij j iT F

11 12 13

21 22 23

31 32 33

s s s s s s s s s

T

Tensor das Tenses

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

T

Em resumo: o tensor das tenses representa as componentes da tenso num ponto de um

corpo, isto as componentes normal (uma) e de corte (duas) que actuam em cada um de

trs planos perpendiculares entre si (cujas interseces dois a dois definem um sistema

de eixos cartesiano), a passar por esse ponto. Com base do estudo do equilbrio de um

cubo elementar, em redor de um ponto, demonstrou-se que apenas 6 componentes da

tenso so independentes em vez de 9 [=3x(2+1)]

Como veremos em seguida, o tensor das tenses define de forma completa o estado de

tenso num dado corpo de um corpo, isto , conhecendo as componentes da tenso

naqueles trs planos, possvel determinar as tenses, normal e de corte noutro

qualquer plano inclinado em relao aos trs primeiros. Assim sendo, pode-se escrever

o tensor num novo sistema de eixos, Oxyz, determinando as componentes da tenso

em trs novos planos perpendiculares, cujas interseces so Ox, Oy e Oz.

Tensor escrito no sistema

de eixos Oxyz=Ox1x2x3

28

Tenso num ponto para um plano de orientao

arbitrria (isto , inclinado em relao a Ox, Oy e Oz)

29

Tn

P

A

C

B

n

y

x

z A superfcie ABC, de rea A, uma faceta de normal n, em que se exerce um vector tenso

Tn.

2rea ABP rea ABC cos ,Oy An n

1rea APC rea ABC cos ,Ox An n

3rea BPC rea ABC cos ,Oz An n

Atendendo a que o corpo se encontra em equilbrio, pode estabelecer-

se a equao de equilbrio das foras aplicadas no tetraedro ABCP.

As foras volmicas, de componentes Fi, admitem-se aplicadas no

centride do tetraedro.



30

Tn

P

A

C

B

n

22s

21s

23s

11s12s

13s

32s

33s

31s

3x

1x

2x

Equilbrio de foras

1 11 1 12 2 13 3 1

10

3nT A An An An AhFs s s

h

2 21 1 22 2 23 3 2

10


3 31 1 32 2 33 3 3

10




31

Tn

P

A

C

B

n

22s

21s

23s

11s12s

13s

32s

33s

31s

3x

1x

2x

1 11 1 12 2 13 3nT n n ns s s

h

2 21 1 22 2 23 3nT n n ns s s

3 31 1 32 2 33 3nT n n ns s s

0h

n T Tn

, , 1,2,3in ij j

T T n i j

Essas expresses so geralmente designadas por Equaes de Cauchy.

O vector tenso em qualquer faceta que passe por P, pode ser expresso em

funo das componentes cartesianas da tenso Tij e da normal faceta n.



Notao alternativa:

32

cos ,

cos ,

cos ,

l Ox

m Oy

n Oz

n

n n

n

cos ,

cos ,

cos ,

n

n n

n

X Ox

Y Oy

Z Oz

T n

T T n

T n

rea APC Al

rea ABP Am

rea BPC An

0

0

0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

AX Al Am An

AY Al Am An

AZ Al Am Am

s t t

t s t

t t s

Componentes da tenso resultante Tn=(X,Y,Z), para um plano de orientao

arbitrria, em funo dos cossenos directores da normal a esse plano e das

componentes cartesianas da tenso no ponto considerado.

n

m

l

Z

Y

X

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

n T T n

nmlZ

nmlY

nmlX

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

stt

tst

tts

33

Tn

P

A

C

B

n 3x

1x

2x

Tenses normal e de corte num plano de orientao

arbitrria

ns

Tenso normal:

A tenso normal paralela a n

(direco previamente definida).

.ns T n in iT ns

n Xl Ym Zns T n

s n i ins s

2 2 2

nTt s n T

2 2 2 2

nT X Y Z

Tenso de corte:

2

i in n nT T T2 .n n nT T T

Notao alternativa:

Notao alternativa:

34

Tn

P

A

C

B

n 3x

1x

2x

Tenses normal e de corte num plano de orientao

arbitrria

ns

s

s

s

X ll

Y mm

Z nn

s

t

s

t

s

t

s

s

s

l l X

m m Y

n n Z

s t

s t

s t

Orientao da tenso de corte:

cos ,

cos ,

cos ,

s

s s

s

l Ox

m Oy

n Oz

n

ns

s

t

T nn

i

i

n i

s

T nn

s

t

Notao alternativa:

tensor das tensoes

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