transformacao de tensoes

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  • 1RESISTNCIA DOS

    MATERIAISCAPITULO

    Notas de Aula:

    Prof. Gilfran Milfont

    As anotaes, bacos, tabelas, fotos e

    grficos contidas neste texto, foram

    retiradas dos seguintes livros:

    -RESISTNCIA DOS MATERIAIS-

    Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

    Hill-4 edio-2006

    - RESISTNCIA DOS MATERIAIS-R.

    C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-

    2004

    -MECNICA DOS MATERIAIS-James

    M. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003

    -MECNICA DOS MATERIAIS- Ansel

    C. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009

    -MECNICA DOS MATERIAIS- Riley,

    Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003

    7 Transformao das Tenses e das

    Deformaes.

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Introduo

    1 - 2

    O estado mais geral de tenses em um ponto

    pode ser representado por 6 componente:

    ),,:(Note que

    tenso tangencial,,

    tenso normal,,

    xzzxzyyzyxxy

    zxyzxy

    zyx

    tttttt

    ttt

    sss

    ===

    O mesmo estado de tenso representado por

    um cunjunto diferente de componentes, se os

    eixos so rotacionados.

    Nosso objetivo aqui verificar as transformaes

    de tenso no elemento, a partir de uma rotao

    nos eixos coordenados e em seguida, fazer a

    mesma anlise para a transformao das

    deformaes.

  • 2RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Estado Plano de Tenses

    1 - 3

    Estado Plano de Tenses a situao onde duas

    das faces do cubo elementar esto isentas de

    tenses. Cosideremos o eixo z como perpendicular

    a estas faces, temos:

    em consequncia:

    .0=== zyzxz tts

    ,, xyyx tss

    Existem vrios exemplos de estado plano de

    tenses. Ocorre, por exemplo, na superfcie livre

    de um elemento estrutural ou elemento de

    mquina, como mostrado na figura.

    .0== yzxz tt

    restam ento as tenses:

    Por convenincia, este estado de tenso

    representado pelo elemento bi-dimensional da

    figura ao lado.

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Transformaes do Estado Plano de Tenses

    cos22

    2

    2cos1

    2

    2cos1cos

    :

    2

    2

    sensen

    sen

    queLembrar

    =

    =

    =

    1 - 4

    ts

    tst

    ts

    tss

    sinsincossin

    coscossincos0

    cossinsinsin

    sincoscoscos0

    AA

    AAAF

    AA

    AAAF

    xyy

    xyxyxy

    xyy

    xyxxx

    ==

    ==

    Considere as condies de equilbrio do

    elemento prismtico da figura, com as faces

    perpendiculares aos eixos x, y, e x .

    )(22cos22

    Isenxyyxyx

    x tssss

    s

    =

    )(2cos22

    IIsen xyyx

    yx tss

    t

    =

    As equaes podem ser escritas em funo do ngulo duplo e nos do a

    tenso normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora,

    forma um ngulo com o eixo x.

  • 3RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Transformaes do Estado Plano de Tenses

    )(22cos22

    IIIsenxyyxyx

    y tssss

    s

    =

    )( IVyxyx ssss =

    1 - 5

    Para encontrarmos y, vamos substituir na exp. para x o ngulo por +90.

    Como cos (2+180)= -cos2 e sen(2+180)= -sen2, encontramos:

    Somando membro a membro as expresses (I) e (III), encontramos:

    O que nos mostra que a soma das tenses normais em um elemento em estado

    plano de tenses, independe da orientao deste elemento.

    As tenses aqui, devem ser tratadas de forma algbrica, ou seja, tenso de

    trao positiva e de compresso negativa. Para a tenso de cisalhamento, se

    convencionou que sero positivas as tenses em cujas faces do elemento se

    est estudando e que tendem a gir-lo no sentido anti-horrio.

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Tenses Principais

    )(2)(

    2

    2cos

    202cos22)(0 Vtg

    sensen

    d

    dp

    yx

    xy

    xyyxx

    ss

    t

    tss

    s=

    ===

    )(22

    )(22

    2

    2

    min

    2

    2

    VII

    VI

    xy

    yxyx

    xy

    yxyx

    mx

    tssss

    s

    tssss

    s

    =

    =

    yxmx ssss = min

    1 - 6

    Os valores mximos e mnimos de x ocorrero para valores de nos quais:

    Verifica-se que a tenso tangencial nula sobre planos que experimentam

    valores mximos e mnimos de tenso normal. Estes planos so conhecidos

    como Planos Principais e as tenses normais nesses planos so conhecidas

    como Tenses Principais e so dadas pela seguinte expresso:

    Observe que se somarmos membro a membro as expresses (VI) e (VII), vamos

    encontrar:

  • 4RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Tenso de Cisalhamento Mxima

    )(22

    )(

    2cos

    20222cos)(0

    VIIItg

    sensen

    d

    ds

    xy

    yx

    xyyx

    yx

    t

    ss

    tss

    t=

    ===

    )(2

    min XImxmxss

    t

    =

    1 - 7

    A teso de cisalhamento mxima se d onde:

    :

    Observa-se que tg2s a inversa negativa de tg2p.

    Portanto, estes dois ngulos diferem de 90. Logo,

    p e s esto afastados de 45. Isto significa que os

    planos onde ocorrem as tenses tangenciais

    mximas esto a 45 dos planos principais.

    Nos planos onde ocorrem a tenso de cisalhamento mxima, a tenso normal

    dada por:

    22

    2

    max xyyx t

    sst

    = (IX)

    2

    yxmed

    ssss

    == (X)

    Uma relao usual dada por:

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Exemplo 7.1

    1 - 8

    Para o estado plano de tenses

    mostrado, determine:

    (a) Os planos principais,

    (b) As tenses principais,

    (c) A tenso mxima de

    cisalhamento e a tenso normal

    correspondente nestes planos.

  • 5RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Exemplo 7.1

    1 - 9

    SOLUO:

    a) Determine os planos principais:

    =

    =

    =

    =

    1.233,1.532

    333.11050

    40222tan

    p

    yx

    xyp

    ss

    t

    = 6.116,6.26p

    b) Determine as tenses principais:

    22

    22

    minmax,

    403020

    22

    =

    = xy

    yxyxt

    sssss

    MPa30

    MPa70

    min

    max

    =

    =

    s

    s

    MPa10

    MPa40MPa50

    =

    ==

    x

    xyx

    s

    ts

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Exemplo 7.1

    1 - 10

    MPa10

    MPa40MPa50

    =

    ==

    x

    xyx

    s

    ts

    2

    1050

    2

    =

    == yxmed

    ssss

    A correspondente tenso normal

    nestes planos :

    MPa20=s

    c) Calcule a tenso de cisalhamento mxima

    e os planos onde ocorrem:

    22

    22

    max

    4030

    2

    =

    = xy

    yxt

    sst

    MPa50max =t

    45= ps = 6.71,4.18s=>

  • 6RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Problema 7.1

    1 - 11

    Uma fora horizontal P de 670N

    aplicada na extremidade D da

    alavanca ABD. Determine:

    (a) As tenses normal e de

    cisalhamento em um elemento

    localizado no ponto H de lados

    paralelos aos eixos x e y,

    (b) Os planos principais e as

    tenses principais no ponto H.

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Problema 7.1

    1 - 12

    SOLUO:

    Determine um sistema de fora-

    momento equivalentes, no centro da

    seo transversal que passa por H.

    mNmNM

    mNmNT

    NP

    x .5,16725,0670

    .2,30846,0670

    670

    ==

    ==

    =

    a) Calcule a tenso normal e de

    cisalhamento no ponto H.

    421

    4

    41

    015,0

    015,0.2,308

    015,0

    015,0.5,167

    m

    mmN

    J

    Tc

    m

    mmN

    I

    Mc

    xy

    y

    t

    s

    ==

    ==

    MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss

  • 7RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Problema 7.1

    1 - 13

    b) Determine os planos e as tenses

    principais para o ponto.

    =

    =

    =

    =

    5.612

    84.12,630

    1,58222tan

    p

    yx

    xy

    p

    ss

    t

    == 5.597.30 pp e

    22

    2

    2

    min,

    1,582

    2,630

    2

    2,620

    22

    =

    = xy

    yxyx

    mx tssss

    s

    MPa

    MPamx

    5,34

    7,97

    min =

    =

    s

    s

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses

    1 - 14

    Passos para a construo do crculo de Mohr:

    1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tenses

    normais e de cisalhamento so conhecidas, indicando o sentido correto

    dessas tenses;

    2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(x;-xy ) e Y(y;xy )

    e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (med;max ). Com

    centro em C e raio CX, trace o crculo, encontrando os pontos A, B, D e E.

    3. Os pontos A de coordenadas (max, 0) e B (min ; 0) representam as tenses

    principais. O ngulo CAX o ngulo 2 p.

    As equaes anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equao de um

    crculo, chamado de cculo de Mohr para as tenses.

    222 yxmedx Rtss =

  • 8RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

    Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses

    1 - 15

    Aps desenhado o crculo, os demais valores

    so encontrados geometricamente ou

    calculados.

    As tenses principais so encontradas em A e B.

    A direo de rotao de Ox para Oa a mesma

    que de CX para CA.

    2