transformacao de tensoes

1RESISTNCIA DOS

MATERIAISCAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotaes, bacos, tabelas, fotos e

grficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4 edio-2006

- RESISTNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-

2004

-MECNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003

-MECNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009

-MECNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003

7 Transformao das Tenses e das

Deformaes.

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Introduo

1 - 2

O estado mais geral de tenses em um ponto

pode ser representado por 6 componente:

),,:(Note que

tenso tangencial,,

tenso normal,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

tttttt

ttt

sss

===

O mesmo estado de tenso representado por

um cunjunto diferente de componentes, se os

eixos so rotacionados.

Nosso objetivo aqui verificar as transformaes

de tenso no elemento, a partir de uma rotao

nos eixos coordenados e em seguida, fazer a

mesma anlise para a transformao das

deformaes.

2RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estado Plano de Tenses

1 - 3

Estado Plano de Tenses a situao onde duas

das faces do cubo elementar esto isentas de

tenses. Cosideremos o eixo z como perpendicular

a estas faces, temos:

em consequncia:

.0=== zyzxz tts

,, xyyx tss

Existem vrios exemplos de estado plano de

tenses. Ocorre, por exemplo, na superfcie livre

de um elemento estrutural ou elemento de

mquina, como mostrado na figura.

.0== yzxz tt

restam ento as tenses:

Por convenincia, este estado de tenso

representado pelo elemento bi-dimensional da

figura ao lado.

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Transformaes do Estado Plano de Tenses

cos22

2

2cos1

2

2cos1cos

:

2

2

sensen

sen

queLembrar

=

=

=

1 - 4

ts

tst

ts

tss

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

==

==

Considere as condies de equilbrio do

elemento prismtico da figura, com as faces

perpendiculares aos eixos x, y, e x .

)(22cos22

Isenxyyxyx

x tssss

s

=

)(2cos22

IIsen xyyx

yx tss

t

=

As equaes podem ser escritas em funo do ngulo duplo e nos do a

tenso normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora,

forma um ngulo com o eixo x.

3RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Transformaes do Estado Plano de Tenses

)(22cos22

IIIsenxyyxyx

y tssss

s

=

)( IVyxyx ssss =

1 - 5

Para encontrarmos y, vamos substituir na exp. para x o ngulo por +90.

Como cos (2+180)= -cos2 e sen(2+180)= -sen2, encontramos:

Somando membro a membro as expresses (I) e (III), encontramos:

O que nos mostra que a soma das tenses normais em um elemento em estado

plano de tenses, independe da orientao deste elemento.

As tenses aqui, devem ser tratadas de forma algbrica, ou seja, tenso de

trao positiva e de compresso negativa. Para a tenso de cisalhamento, se

convencionou que sero positivas as tenses em cujas faces do elemento se

est estudando e que tendem a gir-lo no sentido anti-horrio.

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Tenses Principais

)(2)(

2

2cos

202cos22)(0 Vtg

sensen

d

dp

yx

xy

xyyxx

ss

t

tss

s=

===

)(22

)(22

2

2

min

2

2

VII

VI

xy

yxyx

xy

yxyx

mx

tssss

s

tssss

s

=

=

yxmx ssss = min

1 - 6

Os valores mximos e mnimos de x ocorrero para valores de nos quais:

Verifica-se que a tenso tangencial nula sobre planos que experimentam

valores mximos e mnimos de tenso normal. Estes planos so conhecidos

como Planos Principais e as tenses normais nesses planos so conhecidas

como Tenses Principais e so dadas pela seguinte expresso:

Observe que se somarmos membro a membro as expresses (VI) e (VII), vamos

encontrar:

4RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Tenso de Cisalhamento Mxima

)(22

)(

2cos

20222cos)(0

VIIItg

sensen

d

ds

xy

yx

xyyx

yx

t

ss

tss

t=

===

)(2

min XImxmxss

t

=

1 - 7

A teso de cisalhamento mxima se d onde:

:

Observa-se que tg2s a inversa negativa de tg2p.

Portanto, estes dois ngulos diferem de 90. Logo,

p e s esto afastados de 45. Isto significa que os

planos onde ocorrem as tenses tangenciais

mximas esto a 45 dos planos principais.

Nos planos onde ocorrem a tenso de cisalhamento mxima, a tenso normal

dada por:

22

2

max xyyx t

sst

= (IX)

2

yxmed

ssss

== (X)

Uma relao usual dada por:

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 8

Para o estado plano de tenses

mostrado, determine:

(a) Os planos principais,

(b) As tenses principais,

(c) A tenso mxima de

cisalhamento e a tenso normal

correspondente nestes planos.

5RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 9

SOLUO:

a) Determine os planos principais:

=

=

=

=

1.233,1.532

333.11050

40222tan

p

yx

xyp

ss

t

= 6.116,6.26p

b) Determine as tenses principais:

22

22

minmax,

403020

22

=

= xy

yxyxt

sssss

MPa30

MPa70

min

max

=

=

s

s

MPa10

MPa40MPa50

=

==

x

xyx

s

ts

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 10

MPa10

MPa40MPa50

=

==

x

xyx

s

ts

2

1050

2

=

== yxmed

ssss

A correspondente tenso normal

nestes planos :

MPa20=s

c) Calcule a tenso de cisalhamento mxima

e os planos onde ocorrem:

22

22

max

4030

2

=

= xy

yxt

sst

MPa50max =t

45= ps = 6.71,4.18s=>

6RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 11

Uma fora horizontal P de 670N

aplicada na extremidade D da

alavanca ABD. Determine:

(a) As tenses normal e de

cisalhamento em um elemento

localizado no ponto H de lados

paralelos aos eixos x e y,

(b) Os planos principais e as

tenses principais no ponto H.

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 12

SOLUO:

Determine um sistema de fora-

momento equivalentes, no centro da

seo transversal que passa por H.

mNmNM

mNmNT

NP

x .5,16725,0670

.2,30846,0670

670

==

==

=

a) Calcule a tenso normal e de

cisalhamento no ponto H.

421

4

41

015,0

015,0.2,308

015,0

015,0.5,167

m

mmN

J

Tc

m

mmN

I

Mc

xy

y

t

s

==

==

MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss

7RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 13

b) Determine os planos e as tenses

principais para o ponto.

=

=

=

=

5.612

84.12,630

1,58222tan

p

yx

xy

p

ss

t

== 5.597.30 pp e

22

2

2

min,

1,582

2,630

2

2,620

22

=

= xy

yxyx

mx tssss

s

MPa

MPamx

5,34

7,97

min =

=

s

s

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses

1 - 14

Passos para a construo do crculo de Mohr:

1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tenses

normais e de cisalhamento so conhecidas, indicando o sentido correto

dessas tenses;

2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(x;-xy ) e Y(y;xy )

e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (med;max ). Com

centro em C e raio CX, trace o crculo, encontrando os pontos A, B, D e E.

3. Os pontos A de coordenadas (max, 0) e B (min ; 0) representam as tenses

principais. O ngulo CAX o ngulo 2 p.

As equaes anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equao de um

crculo, chamado de cculo de Mohr para as tenses.

222 yxmedx Rtss =

8RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses

1 - 15

Aps desenhado o crculo, os demais valores

so encontrados geometricamente ou

calculados.

As tenses principais so encontradas em A e B.

A direo de rotao de Ox para Oa a mesma

que de CX para CA.

2