transformacao de tensoes
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1RESISTNCIA DOS
MATERIAISCAPITULO
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotaes, bacos, tabelas, fotos e
grficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4 edio-2006
- RESISTNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-
2004
-MECNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003
-MECNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009
-MECNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003
7 Transformao das Tenses e das
Deformaes.
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introduo
1 - 2
O estado mais geral de tenses em um ponto
pode ser representado por 6 componente:
),,:(Note que
tenso tangencial,,
tenso normal,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx
tttttt
ttt
sss
===
O mesmo estado de tenso representado por
um cunjunto diferente de componentes, se os
eixos so rotacionados.
Nosso objetivo aqui verificar as transformaes
de tenso no elemento, a partir de uma rotao
nos eixos coordenados e em seguida, fazer a
mesma anlise para a transformao das
deformaes.
2RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Estado Plano de Tenses
1 - 3
Estado Plano de Tenses a situao onde duas
das faces do cubo elementar esto isentas de
tenses. Cosideremos o eixo z como perpendicular
a estas faces, temos:
em consequncia:
.0=== zyzxz tts
,, xyyx tss
Existem vrios exemplos de estado plano de
tenses. Ocorre, por exemplo, na superfcie livre
de um elemento estrutural ou elemento de
mquina, como mostrado na figura.
.0== yzxz tt
restam ento as tenses:
Por convenincia, este estado de tenso
representado pelo elemento bi-dimensional da
figura ao lado.
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Transformaes do Estado Plano de Tenses
cos22
2
2cos1
2
2cos1cos
:
2
2
sensen
sen
queLembrar
=
=
=
1 - 4
ts
tst
ts
tss
sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx
==
==
Considere as condies de equilbrio do
elemento prismtico da figura, com as faces
perpendiculares aos eixos x, y, e x .
)(22cos22
Isenxyyxyx
x tssss
s
=
)(2cos22
IIsen xyyx
yx tss
t
=
As equaes podem ser escritas em funo do ngulo duplo e nos do a
tenso normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora,
forma um ngulo com o eixo x.
3RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Transformaes do Estado Plano de Tenses
)(22cos22
IIIsenxyyxyx
y tssss
s
=
)( IVyxyx ssss =
1 - 5
Para encontrarmos y, vamos substituir na exp. para x o ngulo por +90.
Como cos (2+180)= -cos2 e sen(2+180)= -sen2, encontramos:
Somando membro a membro as expresses (I) e (III), encontramos:
O que nos mostra que a soma das tenses normais em um elemento em estado
plano de tenses, independe da orientao deste elemento.
As tenses aqui, devem ser tratadas de forma algbrica, ou seja, tenso de
trao positiva e de compresso negativa. Para a tenso de cisalhamento, se
convencionou que sero positivas as tenses em cujas faces do elemento se
est estudando e que tendem a gir-lo no sentido anti-horrio.
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tenses Principais
)(2)(
2
2cos
202cos22)(0 Vtg
sensen
d
dp
yx
xy
xyyxx
ss
t
tss
s=
===
)(22
)(22
2
2
min
2
2
VII
VI
xy
yxyx
xy
yxyx
mx
tssss
s
tssss
s
=
=
yxmx ssss = min
1 - 6
Os valores mximos e mnimos de x ocorrero para valores de nos quais:
Verifica-se que a tenso tangencial nula sobre planos que experimentam
valores mximos e mnimos de tenso normal. Estes planos so conhecidos
como Planos Principais e as tenses normais nesses planos so conhecidas
como Tenses Principais e so dadas pela seguinte expresso:
Observe que se somarmos membro a membro as expresses (VI) e (VII), vamos
encontrar:
4RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tenso de Cisalhamento Mxima
)(22
)(
2cos
20222cos)(0
VIIItg
sensen
d
ds
xy
yx
xyyx
yx
t
ss
tss
t=
===
)(2
min XImxmxss
t
=
1 - 7
A teso de cisalhamento mxima se d onde:
:
Observa-se que tg2s a inversa negativa de tg2p.
Portanto, estes dois ngulos diferem de 90. Logo,
p e s esto afastados de 45. Isto significa que os
planos onde ocorrem as tenses tangenciais
mximas esto a 45 dos planos principais.
Nos planos onde ocorrem a tenso de cisalhamento mxima, a tenso normal
dada por:
22
2
max xyyx t
sst
= (IX)
2
yxmed
ssss
== (X)
Uma relao usual dada por:
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 8
Para o estado plano de tenses
mostrado, determine:
(a) Os planos principais,
(b) As tenses principais,
(c) A tenso mxima de
cisalhamento e a tenso normal
correspondente nestes planos.
5RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 9
SOLUO:
a) Determine os planos principais:
=
=
=
=
1.233,1.532
333.11050
40222tan
p
yx
xyp
ss
t
= 6.116,6.26p
b) Determine as tenses principais:
22
22
minmax,
403020
22
=
= xy
yxyxt
sssss
MPa30
MPa70
min
max
=
=
s
s
MPa10
MPa40MPa50
=
==
x
xyx
s
ts
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 10
MPa10
MPa40MPa50
=
==
x
xyx
s
ts
2
1050
2
=
== yxmed
ssss
A correspondente tenso normal
nestes planos :
MPa20=s
c) Calcule a tenso de cisalhamento mxima
e os planos onde ocorrem:
22
22
max
4030
2
=
= xy
yxt
sst
MPa50max =t
45= ps = 6.71,4.18s=>
6RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 11
Uma fora horizontal P de 670N
aplicada na extremidade D da
alavanca ABD. Determine:
(a) As tenses normal e de
cisalhamento em um elemento
localizado no ponto H de lados
paralelos aos eixos x e y,
(b) Os planos principais e as
tenses principais no ponto H.
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 12
SOLUO:
Determine um sistema de fora-
momento equivalentes, no centro da
seo transversal que passa por H.
mNmNM
mNmNT
NP
x .5,16725,0670
.2,30846,0670
670
==
==
=
a) Calcule a tenso normal e de
cisalhamento no ponto H.
421
4
41
015,0
015,0.2,308
015,0
015,0.5,167
m
mmN
J
Tc
m
mmN
I
Mc
xy
y
t
s
==
==
MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss
7RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 13
b) Determine os planos e as tenses
principais para o ponto.
=
=
=
=
5.612
84.12,630
1,58222tan
p
yx
xy
p
ss
t
== 5.597.30 pp e
22
2
2
min,
1,582
2,630
2
2,620
22
=
= xy
yxyx
mx tssss
s
MPa
MPamx
5,34
7,97
min =
=
s
s
RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses
1 - 14
Passos para a construo do crculo de Mohr:
1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tenses
normais e de cisalhamento so conhecidas, indicando o sentido correto
dessas tenses;
2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(x;-xy ) e Y(y;xy )
e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (med;max ). Com
centro em C e raio CX, trace o crculo, encontrando os pontos A, B, D e E.
3. Os pontos A de coordenadas (max, 0) e B (min ; 0) representam as tenses
principais. O ngulo CAX o ngulo 2 p.
As equaes anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equao de um
crculo, chamado de cculo de Mohr para as tenses.
222 yxmedx Rtss =
8RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Crculo de Mohr Para o Estado Plano de Tenses
1 - 15
Aps desenhado o crculo, os demais valores
so encontrados geometricamente ou
calculados.
As tenses principais so encontradas em A e B.
A direo de rotao de Ox para Oa a mesma
que de CX para CA.
2