10 tensoes no-solo

TENSÕES NOS SOLOS

● CONCEITO DE TENSÕES NO SOLOAplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos →conceito de tensões num meio particulado ⇒ os solos sãoconstituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula apartícula e suportadas pela água dos vazios.

Transmissão de esforços entre as partículas– Partículas granulares → transmissão de forças através do

contato direto grão a grão;

– Partículas de argila → pode ocorrer através da água adsorvida

A transmissão se dá por áreas muito reduzidas. Ao longo de umplano horizontal no solo tem-se esforços decompostos emcomponentes normais e tangenciais.

Conceito de tensão total em um meio contínuo– Conceito de tensão normal:

– Conceito de tensão tangencial:

Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa)→ áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total)

área

N∑=σ

área

T∑=τ

��

● TENSÕES NA MASSA DE SOLO– Tensões devido ao peso próprio

– Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas aoterreno.

Tensões devido ao peso próprio do soloCaso geral - terreno inclinado

Semi-espaço infinito, solo homogêneo

acima do NA, elemento de solo de

espessura unitária.

Por equilíbrio:

Σ FH= 0 ⇒ Ee = Ed

Σ FV= 0 ⇒ W = R

W = peso do elemento unitário

de solo

σv = tensão atuante na base

do elemento de solo

Caso particular - terreno horizontal e plano, com constânciahorizontal nas camadas e ausência de cargas externas -tensões geostáticas →→→→ tensões cisalhantes nos planos horizontale vertical são nulas

solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2, ...,com pesos específicos γ1, γ2, ...

TENSÕES NOS SOLOS

γ⋅⋅⋅=γ⋅⋅⋅= zicosb1zbW o

icoszb

Rv ⋅⋅γ==σ

zv ⋅γ=σ

nn2211v z...zz ⋅γ++⋅γ+⋅γ=σ

σv

��

TENSÕES NOS SOLOS

– Exemplo de cálculo

– Pressão neutra (ou poropressão) - u ou uw

Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a cargapiezométrica da lei de Bernoulli.

Zw = altura da coluna d’água

– Tensões efetivas - σ’Terzaghi → estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em

um plano qualquer → soma de duas parcelas:

• Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas →tensão efetiva (σσσσ’) - extremamente difícil mensuração !

• Pressão na água dos poros (uw)

Num caso mais genérico (solo não saturado):

• Pressão no ar dos poros (ua)

ww zu ⋅γ=

��

TENSÕES NOS SOLOS

Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio:

para solo saturado:

σ = tensão total A = área totalσ’= tensão efetiva Ac = área de contatouw = poropressão na água Aw = área de água (pressão neutra)ua = poropressão no ar Aa = área de ar

Como Ac <<<<< A impossível mensuração → σ’ definido peloPrincípio das tensões efetivas

• Princípio das tensões efetivas:

• A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por:

• Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões(deformações e resistência ao cisalhamento) são devido avariações na tensão efetiva - associados ao deslocamentorelativo das partículas de solo.

• Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva

aawwc AuAuA'A ⋅+⋅+⋅σ=⋅σ

wwc AuA'A ⋅+⋅σ=⋅σ

u' −σ=σ

��

• Implicações do conceito de tensões efetivas– Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva

como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão,respondendo pelas características de deformabilidade eresistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de sercalculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continuasendo conceitualmente considerada a tensão no esqueletomineral;

– Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nossolos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solopode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total,basta que haja variação da pressão neutra;

– Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso,sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestandodeformações lentas a tensão efetiva constante;

– A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido aoatrito entre as partículas, função das tensões de contato entreas partículas.

• Cálculo da tensão efetiva

TENSÕES NOS SOLOS

��

• Exemplo de cálculoNo caso geostático, as tensões horizontais associadas às tensões

verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo norepouso (K0).

• Relação entre tensões efetivas horizontal (σ’h) e vertical (σ’v)No caso geostático as tensões horizontais associadas às tensões

verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo norepouso (K0).

O valor de K0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história detensões, plasticidade, ...

VALORES TÍPICOS:

Tipo de solo K0

areia fofa 0,50

areia densa 0,40

argila de baixa plasticidade 0,50

argila muito plástica 0,65

argila pré-adensada > 1

solos compactados > 1

TENSÕES NOS SOLOS

v

h0

'

'K

σσ=

��

– Efeito da capilaridadePor efeito da tensão superficial entre a água e a superfície daspartículas → a água consegue subir acima do nível freático a umaaltura maior quanto menor forem os vazios.

• Tensão superficial da água e tensões capilares

• Distribuição das poropressões

Exemplo de cálculo

TENSÕES NOS SOLOS

wc

r

T2h

γ⋅⋅=

T (água a 20oC)= 0,073 N/m2

uw=γw z

uw= - (γw z)

u= uw(?) + ua(?)

zz

��

TENSÕES NOS SOLOS

Tensões devido a cargas externas - propagação e distribuição– Tensões devido a cargas externas

Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem ser originadas por carregamentos externos.A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia.– Distribuição das tensõesExperiências dos primórdios da Mecânica dos Solos:

• os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada;

• o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em profundidade;

• como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais diminuem com a profundidade.

–

DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos

– Bulbos de tensõesBulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de

mesmo acréscimo de tensões.Para efeito de projetos convenciona-se ∆σ = 0,1 σ0 como o bulbo de tensões mais afastado → superfície mais distante sob efeito da carga externa.

– Método do espraiamento das tensõesSimplificadamente o método considera as tensões verticais

uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo de espraiamento de 30o.

Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito:

TENSÕES NOS SOLOS

o0v30tgz2L2

L2⋅⋅+⋅

⋅⋅σ=σ


TENSÕES NOS SOLOS

O método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos.

– Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação e distribuição das tensões

Kögler e Scheidig (1927-1929) → experimentos com o carregamento de placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões verticais no interior de substratos de areia compactada.

Soluções propostas:• Para cargas em faixas de largura 2B

• Para cargas aplicadas em placas circulares de raio R

• Para cargas aplicadas em placasquadradas de lado A

• Para cargas aplicadas em placas retangulares de lados A e B

θ = 30o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidosθ = 45o para solos predominantemente granulares e compactos

θ⋅+⋅

⋅σ=σtgzB

B20z

2

2

0z)tgzR(

Rθ⋅+

⋅σ=σ

2

2

0z)tgzA(

Aθ⋅+

⋅σ=σ

)tgzB()tgzA(BA

0zθ⋅+⋅θ⋅+

⋅⋅σ=σ


TENSÕES NOS SOLOS

– Aplicação da Teoria da ElasticidadePara a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de

solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade →relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).

• Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidadeA aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos

solos é questionável, pois os mesmos não satisfazem os requisitos das hipóteses:

– Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) eelástico (deformações reversíveis) → para que seja válida os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos Efeitos;

– Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) →foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade;

– Isotropia → O solo é em muitos casos anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada.

Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também válido o Princípio de Saint-Venant → “Desde que as resultantes de dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa região suficientemente afastada da aplicação do carregamento independe da forma com que o carregamento é aplicado”.

– Soluções com base na Teoria da Elasticidade• Solução de Boussinesq para carga concentradaBoussinesq → determinou tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga puntual aplicada na superfície deste semi-espaço.


– Acréscimo de tensão vertical

ou

onde

Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0)

– Acréscimo de tensão horizontal radial

– Acréscimo de tensão transversal

TENSÕES NOS SOLOS

θ⋅⋅π⋅⋅

=σ 52z cos

z2P3

B2z NzP⋅=σ

2zz

P48,0 ⋅=σ

]cos1

cos21(sencos3[z2

P 23

2rθ+θ

⋅)ν⋅−−θ⋅θ⋅⋅⋅π⋅

=σ

]cos1

cos[cosz2

P21(2

32t

θ+θ

−θ⋅⋅π⋅

⋅)ν⋅−−=σ

25

2B

zr1

12

3N

+

⋅π⋅

=


– Tensão cisalhante

O coeficiente de Poisson → se relaciona ao coeficiente de empuxo no repouso

• Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de extensão infinita

Melan (1932) → integração em linha da equação de Boussinesq

ou de outra forma

Q em kN/m

• Solução de Carothers-Terzaghi para carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita

A partir da equação de Melan.

β = ângulo entre a vertical e a bissetriz de 2α2α =ψ - θβ = θ + α

onde ν: coeficiente de Poisson e α éexpresso em radianos

Q em kN/m2

TENSÕES NOS SOLOS

θ⋅θ⋅⋅π⋅⋅

=τ sencosz2

P3 42

z

x

εε

−=νν−

ν=

1K0

222

3

z)xz(

zQ2+

⋅π⋅

=σ 222

2

x)xz(

zxQ2+⋅

⋅π⋅

=σ

θ⋅⋅π⋅

=σ 4z cos

zQ2

)22cos2(senQz α+β⋅α⋅

π=σ )22cos2sen(Q

x α+β⋅α−⋅π

=σ

α⋅ν⋅π⋅

=σQ4

y


Solução gráfica

TENSÕES NOS SOLOS


• Solução de Osterberg para carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita

Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento:

A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por sobreposição dos efeitos:

onde no caso de um aterro: Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a

solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Terzaghi.

TENSÕES NOS SOLOS

)II( direito ladoesquerdo lado0z σ+σσ=σ ⋅

aterro do espessuraaterro0 ⋅γ=σ


• Solução de Carothers para carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita

Solução gráfica (ν = 0,45) para acréscimos de tensão vertical (σz= ∆σ1) e de tensão horizontal (σx= ∆σ3):

TENSÕES NOS SOLOS


• Solução de Love para carga uniforme sobre superfície circular

A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada:

Soluções gráficas (para ν = 0,45)

TENSÕES NOS SOLOS

[ ]

+−⋅σ=σ

23

20z

)zR(1

11


TENSÕES NOS SOLOS


• Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular– Solução de NewmarkNewmark (1933) → a partir da integração da equação de

Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular.

Equação:

Solução gráfica:entrada: m e n → tem-se Iσ

Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.

TENSÕES NOS SOLOS

σ⋅σ=σ I0z

zam =

zbn =

[ ]

⋅−++++⋅⋅⋅

+++⋅⋅+++++⋅++⋅⋅⋅

⋅π⋅

σ=σ 2222

5,022

222222

225,0220

znm1nm)1nm(nm2arctg

)1nm()nm1nm()2nm()1nm(nm2

4


– Solução de SteinbrennerTensões no vértice do retângulo a uma profundidade z.Equação:

onde: e a > b

Solucão gráfica: entrada z/b e a/b → saída

TENSÕES NOS SOLOS

⋅+

+⋅⋅

+⋅

+

−⋅−−⋅+−⋅⋅⋅−+⋅

⋅⋅π⋅

σ=σ

R)za()zR(a

zbzb

)zR(z)zR()ba()zR(za2)ba(a

zbarctg

2 22

22

22222

220

z

222 zbaR ++=

0

ziσσ

=


• Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer -Método dos “quadradinhos” (Ábaco circular de Newmark)

Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos.

Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais

Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,.... da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ= 0,1. Da equação de Love:

Como Iσ = f(R/z) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela:

O ábaco é ainda dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência Iσ=0,005

TENSÕES NOS SOLOS

( )2

3

20

z

zR1

11I

+−=

σσ

=σ( )

+−⋅σ=σ

23

20z

zR1

11


Uso do ábaco– É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de

construção do ábaco (AB= z), sendo este centrado no ponto onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões;

– Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área de carregamento (devem ser contabilizadas de maneira fracionada os “quadradinhos” ocupados parcialmente);

– O acréscimo de tensão vertical será dado por:sendo Iσ= 0,005

– É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do desenho.

Exemplo:

TENSÕES NOS SOLOS

σ⋅⋅σ=σ In0z


• Soluções de Mindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido na massa de solo

As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-infinita.

Mindlin (1936) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pela pontaPp - parcela da carga transmitida pela pontaKp - coeficiente de influência (ábaco - lado direito)

Antunes Martins (1945) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento daestaca.

Pa - parcela da carga transmitida pelo fusteKa - coeficiente de influência (ábaco - lado esquerdo)

TENSÕES NOS SOLOS

p2

pz K

CP

⋅=σ

a2

az K

CP

⋅=σ


• Outras soluçõesSoluções elásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos

elementos finitos).Bibliografia: Poulos e Davis “Elastic solutions for soil and rock

mechanics”.• Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio

de Saint-Venant– Para uma área retangular carregada, para cotas z > 3 b, a

influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual aplicada no centro de gravidade da área;

– A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da superfície retangular;

– Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. formulação de Carothers - Terzaghi).

– Considerações sobre o emprego da Teoria da Elasticidade a solos não homogêneos

As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos de tensões verticais que independem do Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as simplificações quanto a isotropia e principalmente homogeneidade.

Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único material apresentam tendência natural a valores de módulos crescentes com profundidade → necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas (métodos computacionais) ⇒ uso difundido em Mecânica dos Pavimentos.

Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa para tal é o fato de conduzirem a resultados com razoável aproximação às medições experimentais.

TENSÕES NOS SOLOS


10 tensoes no-solo

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