td de matemática - aula 1 - frente 1 - versão 12

8/17/2019 Td de Matemática - Aula 1 - Frente 1 - Versão 12

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REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1o GRAU

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O sistema de numeração que usamos é o sistema de numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos emgrupos de dez.

Dezenas cada grupo de 10 unidadesdezenas = 10 unidades

Centenas cada grupo de 10 dezenascentenas = 100 unidades

Milhar cada grupo de 10 centenasmilhar = 1000 unidades

Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa) no numeral:

Ex: 7 8 9

9 casa das unidades (ordem das unidades)8 casa das dezenas (ordem das dezenas)7 casa das centenas (ordem das centenas)

A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais algarismos. Neste caso, separamos os algarismos emclasses de três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta)

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

1º Ordem das unidades2º Ordem das dezenas

3º Ordem das centenas4º Ordem das unidades de milhar5º Ordem das dezenas de milhar6º Ordem das centenas de milhar7º Ordem das unidades de milhão8º Ordem das dezenas de milhão9º Ordem das centenas de milhão10º Ordem das unidades de bilhão11º Ordem das dezenas de bilhão12º Ordem das centenas de bilhão

FORMA POLINOMIAL Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos escrever da seguinte forma:

428 = 4.100 + 2.10 + 8.1 ou 4.102 + 2.101 + 8.100

ATENÇÃO!

Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo sistema de numeração as notações.

Para um número de dois algarismos:N = [ab] forma polinomial: N = 10 a + b

Para um número de três algarismos:N = [abc] forma polinomial: 100 a + 10 b + c

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA

AULA Prof Raul Brito



2CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU

NÚMEROS NATURAIS

Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o que chamamos de números naturais:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...

O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o antecessor de n é (n – 1)

Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as

seguintes notações:

I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivosII. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos paresIII. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares

OPERAÇÕES:

I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número o que chamamos desoma.

a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma.

II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos:

a – b = D ou a – b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D ou R é o resto ou diferença.

III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número ou(fator) o que chamamos de produto.

a · b · c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto.

É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto.

IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata.

Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a b 0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q”

também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e q é o quociente.

Relação Fundamental da Divisão (R.F.D)

a ba b q r, onde 0 r b.

r q

a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto.

NÚMEROS PRIMOS

O que é número primo? A seguir estão representados os números naturais de 2 a 50:

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50




Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por 2, quenúmeros permanecem?

2 3 5 7 911 13 15 17 1921 23 25 27 2931 33 35 37 3941 43 45 47 49

Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números que são divisíveis por 3, quais ficam?

2 3 5 711 13 17 19

23 25 2931 35 3741 43 47 49

Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros númerosdivisíveis por 5, quais ainda continuam?

2 3 5 711 13 17 19

23 2931 3741 43 47 49

Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no primeiro número não assinalado e apagando os demaisnúmeros que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números assinalados com o círculo. Veja os números quepermanecem:

2 3 5 711 13 19

23 29

31 3741 43 47

Esses números que ficaram assinalados com o circulo são números primos. Você sabe o que é um número primo?

Um número natural, maior que 1, é primo quando só é divisível por 1 e por ele mesmo.

Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por exatamente doisnúmeros: 1 e ele mesmo.

Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por mais de doisnúmeros.

Um número natural, maior que 1, é composto quando é divisível por mais de dois números naturais.

Observações:Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de primo ou composto. O número 0 é divisível por maisde dois números naturais (é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado número composto.Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é considerado primo nem composto.

Como reconhecer um número primoHá infinitos números primos.Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar oque acontece: Encontrando um resto zero, o número não é primo.

Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só precisamos fazer as divisões até obter um quociente

menor ou igual ao divisor.Veja: 197 não é divisível por 2, porque não é par.

197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1 + 9 + 7 = 17) não é divisível por 3.




197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5.

1 97 7

57 28

8

197 11

87 17

10

197 13

67 15

2

197 17

27 11

10

Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menorque o divisor, concluímos que 197 é número primo.

ALGORITMO DA DIVISÃODados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e

0 r d . Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D é o dividendo e d é o divisor).

D dD d q r onde 0 r d

r q

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regrassão chamadas de critérios de divisibilidade.

Um número natural N é divisível por:2 se seu algarismo da unidade é par :

Ex.: 31457968 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Ex.: 96257832 ( = 42)4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Ex.: 63517916 ou 00 5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5.

Ex.: 73689210 ou 5 6 se é divisível por 2 e por 3.

Ex.: 962578327 *8 se o número formado por seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Ex.: 42796512 ou 000 9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9.

Ex.: 56482371 ( = 36)

10 se seu algarismo das unidades é 0.Ex.: 27865390

11 *

Divisibilidade por 7

197 não é divisível por 7, porque nessadivisão ocorre resto 1. O quociente (28) émaior que o divisor (7).

197 não é divisível por 11, porque nessadivisão ocorre resto 10. O quociente (17)é maior que o divisor (11).

197 não é divisível por 13, porque nessadivisão ocorre resto 2. O quociente (15) émaior que o divisor (13).

197 não é divisível por 17, porque nessadivisão ocorre resto 10. O quociente (11)é menor que o divisor (17).

quociente

divisor

resto

dividendo




Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a somadas classes pares é zero ou múltiplo de 7.Exemplo:103381285 é divisível por 7?

3ª classe 2ªclasse 1ªclasse

103 381 285

Soma das classes ímpares 385 + 103 = 388Soma das classes pares = 381

Diferença = 7

Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 103381285 também é múltiplo de 7.Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantosforem necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares.

Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a sorna dosalgarismos de ordem par é zero ou múltiplo de 11.Exemplo: 103742 é divisível por 11?Note:

1 0 3 7 4 2

Soma das ordens ímpares 2 + 7 + 0 = 9Soma das ordens pares 4 + 3 + 1 = 8Diferença 9 – 8 = 1Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão por 11 é 1.

ObservaçãoSe a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual à soma dos algarismos de ordem par.

DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMEROExiste um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como vamos achar os divisores de 18:

1) Fatoramos o número 18.18 2

9 3

3 3

1

2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos.18 2

9 3

3 3

1

3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (alinha do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima dele (2 1 2).

1

18 2

9 3

3 3

1

4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos números que estão nas linhas acima dele, à

algarismos de ordem ímpar

algarismos de ordem par

2




direita do traço (3 1 3 e 3 2 6).

1

18 2

9 3

3 3

1

5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e3 2 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18).

1

18 2

9 3

3 3

1

Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 18:1, 2, 3, 6, 9 e 18

QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO NATURALSe N = 2ª · 3b · 5c · 7d · ..., a quantidade de divisores (positivos) de N, dada por:

n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ...

Exemplo:O número de divisores positivos de 90 é:

1 2 1

90 2

45 3

15 3 90 2 · 3 · 5 n[D(90)] (1 1)·(2 1)·(1 1) 2 · 3 · 2 12

5 5

1

ObservaçãoPara encontrar os 12 divisores de 90 faça:

1

90 2 2

45 3 3, 6

15 3 9, 18

5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90

1

Logo os 12 divisores de 90 sãoD(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

RESTO DA DIVISÃO

Resto da divisão por 2 e por 5.O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que o da divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5.Exemplos:3.277 (7 : 2) resto 13.277 (7 : 5) resto 21.323 (3 : 2) resto 11.323 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do nº).

ObservaçãoNo caso da divisão por 2, temos ainda a opção de utilizarmos a seguinte regra prática:Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é zero, e se for ímpar o resto será um.Resto da divisão por 3 e por 9.

2

2

3 – 6

3 – 6

9 – 18




O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da divisão da sorna dos valores absolutos dos semalgarismos, por 3 ou 9.Exemplos:5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 3 23 : 3 resto 25.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 9 23 : 9 resto 5

Resto da divisão por 4.O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e

das unidades de seu numeral por 4.Exemplo:49615 (15 : 4) resto 3

Resto da divisão por 6.O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que oresto da divisão da sorna do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismosrestantes.

Exemplo:Qual o resto da divisão de

por 6?

Soma dos algarismosrestantes

4 4 (2 2 2 1) 4 4 7 32

quádruplo

Logo32 6

2 5

Assim o resto procurado é 2.

Resto da divisão por 7.Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter oresto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7.Exemplo:

Qual o resto da divisão de 111381285 por 7?3ª Classe 2ª Classe 1ªClasse

111 381 285

Soma das classes ímpares 285 + 111 = 396Soma das classes pares = 381Diferença = 15

Corno 15 não é múltiplo de 7 ternos que o número 111381285 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será:15 7

1 2

Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o resto.Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7?

3ª Classe 2ª Classe 1ªClasse

213 340 132

Soma das classes ímpares 213 + 132 = 345Soma das classes pares = 340Diferença = 5

Como 5 não é múltiplo de 7, temos que o número 213340132 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5.

Resto da divisão por 8.O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das centenas,dezenas e das unidades de seu numeral por 8.Exemplo:

318574 (574 : 8) resto 6Resto da divisão por 10.O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das unidades do numeral desse número.Exemplo:1.315 resto 5

2 2 2 1 4

resto




Resto da divisão por 11.Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja umnúmero múltiplo de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto efetuando-se a divisão da diferença obtida por 11.Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11?

8 1 9 2 8 3 7

Soma das ordens ímpares 8 + 9 + 8 + 7 = 32Soma das classes pares = 6Diferença = 26

Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81 92837 não é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será:26 11

4 2

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Múltiplo de um número natural é o produto dele por um número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de

7 (indicado por M(7)) é:7· (0) 0

7· ( 1) 7

7· ( 2) 14

7· ( 3) 21

7· ( 4) 28M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...)

7· ( 5) 35

7· ( 6) 42

.

.

.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Definição:O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primoscomuns e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Definição:O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primoscomuns de a e b, tomados com o menor expoente.

PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC DE DOIS NÚMEROS

1ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto deles e o MDC é 1.Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1

2ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o MMC e o menor é o MDC.Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6

3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números.

a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b)

Ex.: 15 20 MMC(15, 20) MDC(15, 20)

300 60 · 5

algarismos de ordem par

algarismos de ordem ímpar

resto



EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Questão 1

Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e

A1B representados em notação posicional. Sabendo que

B = 2.A e que a diferença entre A1B e AB vale 280,determine o valor de A + B.

Questão 2

O número de inteiros positivos que são divisores do número

N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é

a) 84.

b) 86.

c) 140.

d) 160.

e) 162.

Questão 3

O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos

que necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O

Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede

onde utilizaria os azulejos era retangular e media 3,15

metros de altura por 6,15 metros de comprimento. E por

uma questão de economia ele gostaria de utilizar o menor

numero possível de azulejos quadrados. Antes que o

vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários

para revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer queele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes

entre um azulejo e outro. João ficou todo feliz e disse: papai

eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a

seu pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar.

Pergunta-se:

a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar

o numero de azulejos, nas condições acima?

b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João

c) Qual a medida do lado do azulejo ?

Questão 4

Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o

maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o

quociente vale 6, calcule o dividendo.

Questão 5

Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a

soma dos seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 36

unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversaYX.




Questão 6O estoque de um depósito atacadista de cereais estáconstituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas detrigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 72kg cada. Oscereais disponíveis devem ser reembalados em sacasmenores, todas com o mesmo peso, com o maior pesopossível em cada saca, sem misturar os cereais e sem

sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoqueficará distribuído em n sacas. O valor de n é:a) 29 c) 31b) 30 d) 32

Questão 7 - (UECE)Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas:de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de2002. Coincidirão novamente em:a) outubro de 2011. d) algum mês de 2004.b) setembro de 2003. e) fevereiro de 2015.c) setembro de 2012.

Questão 8 Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos dasdivisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente n, p e q.Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale:a) 76 d) 92b) 84 e) 96c) 88

Questão 9 O número 97381285:a) é divisível por 7.b) na divisão por 7 deixa resto 1.c) na divisão por 7 deixa resto 2.d) na divisão por 7 deixa resto 3.e) na divisão por 7 deixa resto 4.

Questão 10 De forma a não machucar as belas maças que comprou nafeira, a governanta da casa de uma família arruma as frutasem uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha poralguns instantes, não percebe que:

• o dono da casa pegou1

6 das frutas e colocou no

frigobar do quarto;

• sua patroa pegou 1

5 das restantes e levou para comer

no trabalho;

• o filho mais velhos pega para si1

4 do restante para

comer com os amigos no lanche da faculdade;• o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente

1

3 e

1

2 das restantes para comerem.

Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio,fica magoada com a gulodice dos patrões e decide guardaras 3 frutas restantes não mais uma cesta, e sim um pratopequeno. Quantas eram as maçãs arrumadasoriginalmente?a) 8 d) 15b) 12 e) 18c) 14




Questão 11 Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6oegípcio de cerca de 1650 a.C., no qual um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética,frações, cálculo de áreas, volumes, progressões,repartições proporcionais, regra de três simples, equaçõeslineares, trigonometria básica e geometria. É um dos mais

famosos antigos documentos matemáticos que chegaramaos dias de hoje, juntamente com o Papiro de Moscou.Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind.

Acesso em: 17 nov. 2012.

No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se aexpansão de frações como soma de outras frações denumerador 1, como por exemplo

2 1 1 1 1.

73 60 219 292 x

Nessa expressão, o valor de x é igual aa) 345. d) 360.b) 350. e) 365.c) 355.

Questão 12 Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma,ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira

caixa,1

15 das bolas são azuis. O peso total das bolas da

segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeiracaixa. Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa?

a)4

5 d)

2

15

b)

7

8 e)

1

2

c)2

3

Questão 13 Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta parasaber quantos dias ainda faltavam para o seu aniversário.

Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar2

5 do

total de dias e, em seguida, mais1

6 do que restou, ainda

faltariam 10 dias para o seu aniversário. Dessa forma,quantos dias faltavam inicialmente para tão esperada data?a) 10 d) 20b) 14 e) 24c) 16

http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind

http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind




Questão 14 Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher doiscaminhos. No primeiro, ele passa pela casa de Maria e osdois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho2

3 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra

Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda 1 km amenos que no primeiro caminho, mas o dobro do que Mariaterá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Mariae o cinema?a) 1 km d) 4 kmb) 2 km e) 6 kmc) 3 km

Questão 15 Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade Ae outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6apostadores, tendo cada um deles contribuído com amesma importância para a aposta. A fração do prêmio total,que cada apostador da cidade B receberá, é

a) 1

6. d) 1

10.

b)1

8. e)

1

12.

c)1

9.

Questão 16

A geratriz da dízima 1,833... éa

b, então a + b vale:

a) 17. d) 10.

b) 15. e) 9.c) 16.

Questão 17 Um pedreiro poderia fazer um muro em 40 dias e outropedreiro faria o mesmo muro em 60 dias. Trabalhando osdois juntos, em quantos dias concluiria o muro?a) 12. d) 26.b) 20. e) 28.c) 24.

Questão 18 Três torneiras são abertas simultaneamente. A primeiraconsegue encher o tanque completamente cheio em 2h. A

segunda em 4h. A terceira torneira consegue esvaziar omesmo completamente cheio em 3h. Determine o tempopara que o tanque fique completamente cheio, com as trêstorneiras abertas nas condições do problema.

Questão 19

Rafael tem2

3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem

que Reinaldo. A idade de Roberto apresenta4

3 da idade de

Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três éa) 72 d) 48

b) 60 e) 35c) 58




EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Questão 1

Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo dasdezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo aonúmero 12 unidades o resto seja igual ao quadrado doalgarismo das dezenas.

Questão 2

O quociente da divisão de um número N de 2 algarismospela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se odobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo dasunidades ?

Questão 3 - (UECE)

O número de algarismos, contados com as repetições,necessários para numerar as 96 páginas de um livro é iguala:a) 180b) 181c) 182d) 183

Questão 4 - (Fuvest)

Abaixo está representada uma multiplicação onde osalgarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual ovalor de a + b + c?a) 5b) 8

c) 11d) 14e) 17

1abc

3

abc 4

Questão 5

Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24e 30?

Questão 6

Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24e 30?

Questão 7

Sendo dois números A = 22 · 3

3 · 5 e B = 2

3 · 3

2 ·11, o

quociente da divisão do seu MMC pelo seu MDC será:a) 5 · 11

b) 22 · 33 c) 2 · 3 · 5 · 11

d) 22 · 33 · 5 · 11

e) 22 · 3 · 52 · 11




Questão 8 (UECE)

Seja n o menor inteiro positivo para o qualn n n n n n n n

, , , , , , e2 3 4 5 6 7 8 9

são números inteiros. O produto dos

algarismos do número n é:a) 0

b) 5c) 10d) 20

Questão 9 (PUC)

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feitana máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, ena máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foifeita a manutenção nas três máquinas, após quantos diasas máquinas receberão manutenção no mesmo dia ?a) 9 de dezembro

b) 10 de dezembroc) 11 de dezembrod) 14 de dezembroe) 28 de dezembro

Questão 10

Uma empresa de logística é composta de três áreas:administrativa, operacional e vendedores. A áreaadministrativa é composta de30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza umaintegração entre as três áreas, de modo que todos os

funcionários participem ativamente. As equipes devemconter o mesmo número de funcionários com o maiornúmero possível. Determine quantos funcionários devemparticipar de cada equipe e o número possível de equipes.a) 19 equipes com 6 participantes cada umab) 18 equipes com 5 participantes cada umac) 20 equipes com 4 participantes cada umad) 21 equipes com 3 participantes cada uma

Questão 11

Larissa fez uma viagem de 1 210km, até chegar à fazenda

de seu avô. A viagem foi feita da seguinte forma:7

11 do

percurso, de avião;2

5 do resto, de trem; a seguir

3

8 do que

restou, de ônibus; e os demais quilômetros, de carro comtração nas quatro rodas, pois não se chega em carro comtração em duas rodas à fazenda, em época de chuva.Calcule quantos quilômetros percorreu de carro com traçãonas quatro rodas.a) 135b) 145c) 155d) 165e) 175




Questão 12

A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carrono momento de partida e no momento de chegada de umaviagem feita por João.

Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem?a) 10b) 15c) 18d) 25e) 30

Questão 13

Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma

líquida, ou seja, após os descontos, um salário de apenas

520 reais por mês. Dessa quantia, gasta1

4 com aluguel e

2

5 com alimentação da família. Este mês ele teve uma

despesa extra3

8 do seu salário foram gastos com

remédios, extrapolando o seu orçamento e,consequentemente, fazendo com que ele pedisse umadiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou?

a)

41

40 d)

1

40

b)3

40 e)

7

40

c)3

20

Questão 14

Em um aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças.

João ganhou1

12 do bolo, Luiz ganhou a metade do que

João, Maria ganhou 1

6 do bolo, Joana ganhou o dobro de

Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então, pode-seafirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi:

a)3.

8

b)3.

5

c)2.

3

d)5.

8

e)2.

9




Questão 15

Um feirante vendeu, a R$ 2,00 a dúzia, metade dastrezentas dúzias de laranjas que comprou. Dois terços daoutra metade, ele vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante, aR$ 1,00 a dúzia. Qual foi o valor, em reais, que o vendedorfaturou na venda?

a) 300b) 400c) 500d) 600e) 700

Questão 16

Uma pessoa perdeu2

7 do que possuía. Em seguida,

ganhou 320 reais e ficou com o triplo do que possuíainicialmente. Quanto a pessoa possuía inicialmente?

Questão 17

Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou

com1

3; a segunda com

2

5 e a terceira, que ficou com o

resto, recebeu 60 reais a menos do que a primeira. Calculea quantia.

Questão 18

Uma torneira A enche um tanque sozinha em 3 horas. Outra

torneira B, sozinha, enche o mesmo tanque completamenteem 6 horas. Estando o tanque vazio, abrindo-se as duastorneiras simultaneamente, o tanque vai encher em quantotempo?

Questão 19

Uma torneira enche um tanque em apenas 4 horas. O ralodo tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanquecheio, abrimos simultaneamente, a torneira e o ralo. Então,em quantas horas o tanque esvazia-se?

GABARITOF1 F2 F3 F4 F593 63 D D 360F6 F7 F8 F9 F106 C A D A

F11 F12 F13 F14 F15D D D A A

F16 F17 F18 F19140 900 2h 12 h




RESOLUÇOES DAS QUESTÕES DE CASA

Questão 01

Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever:N = X Y

dezena unidadePodemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 10X + Y, já que são X dezenas e Y unidades.Do enunciado, temos:

X = 3Y e 2 2N 12 X 10X Y 12 X

Substituindo o valor de X, temos:

2 2 2

10 3Y Y 12 3Y 30Y Y 12 9Y 0 9Y 31Y 12

Pela fórmula de Bhaskara, encontramos:

2 31 4.9.12 961 432 529 529

31 529 31 23 54y y 32.9 18 18

Assim: X 3Y X 3.3 X 9

Resposta: XY = 93

Questão 02

Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever:N = X Y

dezena unidadePodemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 10X + Y, já que são X dezenas e Y unidades.Do enunciado, temos:N = XY XY X + Y

7Pelo algoritmo da divisão, temos:

XY X Y 7 XY 7X 7Y

Usando a forma polinomial:

XY 10X Y X Y 7 10X Y 7X 7Y 10X 7X 7Y Y 3X 6Y X 2Y

Do enunciado, podemos escrever: 2X 3Y 3

Assim, substituindo o valor de x encontrado:

2 2Y 3Y 3 4Y 3Y 3 Y 3 e X 2.3 X 6

Logo o número procurado é XY = 63.

Resposta: 63

Questão 03

Resolução: A questão pede para determinarmos a quantidade de algarismos que devemos usar para numerar aspáginas de um livro, ou seja, para numerar, por exemplo, a página 20, precisaremos de 2 algarismos, o 2 e o 0 e assimformaremos o número 20. Para numerar a página 48, precisaremos de 2 algarismos, o 4 e o 8, assim formaremos onúmero 48. Então para numerar as páginas de 1 até 9, precisaremos de:

(9 - 1 + 1)x1 = 9x1 = 9 algarismos.Para numerar da página 10 até a 96, precisaremos de:(96 - 10 + 1)x2 = 87x2 = 174 algarismos. (Aqui multiplicamos por 2 porque são números de 2 algarismos) Assim, para numerar as 96 páginas, necessitamos de 9 algarismos (da página 1 até a página 9) + 174 algarismos (dapágina 10 até a página 96), portanto necessitamos de 183 algarismos.Como encontramos o 9 e o 87? Veja o apêndice no final deste material.




Resposta: 183 algarismos

Questão 04

Resolução: Usando o algoritmo da multiplicação, temos:

Assim podemos escrever: 1abc = 1 .1000 + 100a + 10b + ca b c 4 = 1000a + 100b + 10c + 4

Logo, se 1abc 3 = abc4, vem:

3 (1.1000 + 100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c + 43000 + 300a + 30b + 3c = 4 + 1000a + 100b + 10c2996 = 700a + 70b + 7c + (7)428 = 100a + 10b + 1c400 + 20 + 8 = 100a + 10b + 1c

1004 + 102 + 281 = 100a + 10b + 1c

Como a decomposição de qualquer número em potências de 10 (1, 10, 100, 1000.....) é única.......se 1004 + 102 + 281 = 100a + 10b + 1cComparando, temos a = 4, b = 2 e c = 8

Resposta: Alternativa D

Questão 05

Resolução: Fatorando cada um dos números, temos:

18 = 2 . 32

24 = 23 . 3

30 = 2 . 3 . 5O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes:

MMC (18, 24, 30) = 23 . 32 . 5 = 360

Resposta: 360

Questão 06

Resolução: Usando a fatoração da questão anterior, temos que o MDC é o produto dos fatores COMUNS, porém comos menores expoentes:

MDC (18, 24, 30) – 2 . 3 = 6

Resposta: 6

Questão 07

Resolução: Como os números já estão fatorados, temos:

A = 22 . 33 . 5 e B = 23 . 32 . 11

MMC (A, B) = 23 . 33 . 5 . 11

MDC (A, B) = 22 . 32

Logo o quociente q vale:3 3

2 2

2 3 5 11q q 2 3 5 11 q 230

2 3

Resposta: Alternativa C

Questão 08

Resolução: Vamos supor que a questão pedisse o produto dos algarismos do número n para apenas três deles, (vamospegar os três primeiros apenas para facilitar as contas usadas como exemplo).




Então n seria o mmc de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Sendo n = 12, o produto seria 1.2 = 2. Tranquilo até ai?

Bem, se fossen

4;n

7 e

n

9, por exemplo, então n seria o mmc de 4, 7 e 9, fazendo as contas encontramos 252. Sendo

n = 252, o produto seria 2.5.2 = 20.Vejamos o que acontece quando pegamos o 5.

Caso 1: Pegaremos o 5, sem pegar um múltiplo de 2.

Vamos pegar, por exemplo,n

3 ;n

5 en

7 , então n seria o mmc de 3,5 e 7, fazendo as contas, encontramos 105. Sendo

n = 105, o produto seria 1.0.5 = 0.

Caso 2: Pegaremosn

2;n

3 e

n

5, então n seria o mmc de 2, 3 e 5, fazendo as contas encontramos 30. Note que 30 é um

múltiplo de 10. Sendo n = 30, o produto seria 3.0 = 0.

Pegaremos agoran

5;n

6 e

n

7, então n seria o mmc de 5, 6 e 7, fazendo as contas encontramos 210. Note que 210 é um

múltiplo de 10. Sendo n = 210, o produto seria 2.1.0 = 0.

Pegaremos agora n4

; n5

e n9

, então n seria o mmc de 4, 5 e 9, fazendo as contas encontramos 180 note que 180 é um

múltiplo de 10. Sendo n = 180, o produto seria 1.8.0 = 0.Note que se n for um múltiplo de 10, o produto dará sempre zero, pois sempre vai aparecer um zero que vai sermultiplicado. Assim, basta verificarmos se n será um múltiplo de 10!Para ser múltiplo de 10, n precisa ser múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo, por isso nos preocupamos apenas com o 2e com o 5. Ah! Quer dizer que só precisamos nos preocupar com 2 e 5, pois assim n será múltiplo de 10 e o produto será semprezero?Sim!! Por isso pegamos apenas o 2 e o 5.Mas n será múltiplo de 3, 7 ou 8, por exemplo?Sim, mas ele não deixará de ser múltiplo de 10 que é o que nos interessa.

Ah prof entendi agora.

Resposta: alternativa A

Questão 09

Resolução: Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 2 3 = 12Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de Dezembro.

Resposta: 14 de Dezembro

Questão 10

Resolução: Temos que encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30. Fatorando cada número, temos:

Da decomposição em fatores primos:

48 = 2 2 2 2 3

36 = 2 2 3 3




30 = 2 3 5

O MDC é o produto dos fatores COMUNS com os menores expoentes: MDC (30, 36, 48) = 2 3 = 6 Assim, o número total de equipes é:48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipesO número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

Resposta: alternativa A

Questão 11

Resolução: Fazendo-se uma análise das informações dadas, tem-se:

• avião:7

. 1 2 10 k m 770 km11

• trem:2 2

1 210 770 440km 176 km5 5

• ônibus:3 3

1 210 770 176 264 99 km8 8

• carro: x km Assim, temos: 770 + 176 + 99 + x = 1210 1045 + x = 1210 x = 1210 – 1045 x = 165 km

Resposta: alternativa D

Questão 12

Resolução: As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro continha3

4 de sua capacidade no momento da

partida e1

4 no momento de chegada. Desse modo, João gastou

3 1 1

4 4 2 do tanque na viagem. Como o tanque

gastou1

50 252

litros de gasolina na viagem. Note que esta última conta pode ser pensada como “João gastou meio

tanque de gasolina e a metade de 50 é 25”.

Resposta: alternativa D

Questão 13

1ª Resolução: Calculando a fração do salário correspondente às suas despesas neste mês com aluguel, alimentação dafamília e com remédios.

10 16 151 2 3 41

4 5 8 40 40

Conclui-se que ele gastou com essas despesas um total de41

40 ou ainda

1

40 só com remédios. Portanto, ele extrapolou

1

40 do salário.

2ª Resolução: No início ele gastava:1 2 5.1 4.2 5 8 13

x x x x x4 5 20 20 20

, com x = 520 reais, assim temos que os

gastos dele era de13 6760

520 33820 20

reais. Com a despesa extra, foram gastos:3 1560

520 1958 8

reais. Assim o

total gasto com a despesa extra foi de: 338 + 195 = 533 reais.

Logo, o gasto a mais foi de 533 520 13 reais.

Assim, a fração do salário é de13 1

520 40 .




Resposta:1

40 do salário.

Questão 14

Resolução: Fazendo a distribuição do bolo:

João ganhou1 2

ou12 24

Luiz ganhou1

24

Maria ganhou1 4

ou6 24

Joana ganhou2 8

ou6 24

Somando as frações, tem-se:

2 1 4 8 15

24 24 24 24 24

Sobrou para Jorge:24 15 9 3

24 24 24 8

Resposta:3

8.

Questão 15

Resolução: Do enunciado, tem-se a informação direta de que a fração correspondente ao preço de R$ 2,00 é1

2.

Já a fração correspondente ao preço de R$ 1,50 é obtida calculando-se2 1 1

3 2 3

A fração vendida a R$ 1,00 será dada por:1 1 5 1

1 12 3 6 6

Assim:1

300 2 3002

1300 1,50 150

3

1300 1 50

6

Portanto, na venda, o feirante faturou R$ 500,00.

Resposta: R$ 500,00

Questão 16

Resolução: No início tinha x, então:

x perdeu2

7, logo a pessoa ficou com

2 7x 2x 5xx x

7 7 7 7

Depois ganhou 320, ficando com5x

3207

. Após esse ganho, ficou com 3x, temos então uma igualdade:

5x 5x 21x 5x320 3x 320 3x 320 320 7 16x 16x 2240

7 7 7

2240 x x 140

16

Resposta: x = 140,00

Questão 17

Resolução: Uma quantia x será dividida entre três pessoas da seguinte forma:




1ª pessoa: ganhoux

3

2ª pessoa: ganhou2x

5

3ª pessoa: ganhou o restante, ou seja,x 2x 15x 5x 6x 4x

x3 5 15 15

ficando com 60 reais a menos que a primeira,

ou seja,4x x x 4x 5x 4x x

60 60 60 60 x 60 15 x 90015 3 3 15 15 15 15

Resposta: x = 900,00

Questão 18

Resolução: A torneira A sozinha enche o tanque em 3h, veja que em 1h, a torneira A sozinha enche apenas1

3 do

tanque.

A torneira B sozinha enche o tanque em 6h, veja que em 1h, a torneira B sozinha enche apenas1

6 do tanque.

Assim as duas torneiras enchem em 1h,1 1 2 1 3 1

3 6 6 6 2

do tanque. Se as duas torneiras enchem metade do

tanque em 1h, para enchê-lo todo, gastarão 2h.

Resposta: t = 2h

Questão 19

Resolução: A torneira sozinha enche o tanque em 4h, logo em 1h ela enche1

4do tanque.

O ralo sozinho esvazia o tanque em 3h, logo em 1h ele esvazia1

3

do tanque.

Assim os dois juntos em 1h:1 1 3 4 1

4 3 12 12

Ou seja, a cada 1 hora, o tanque faz é esvaziar “um doze avos” dele.

Ora, se a cada 1 hora, a fração 1/12 do tanque é esvaziada, se aguardarmos um intervalo de tempo 12 vezes maior, ou

seja, se aguardarmos 12 horas, o tanque inteiro estará esvaziado.

Resposta: t = 12h

Dica importante: como achar quantos números existem num certointervalo de números ?

Vamos aprender como encontrar a quantidade de números de a até b, e entre a e b. Vejamos:Caso 1: Quantidade de números DE a ATÉ b:Ex.1: Quantos números tem de 5 até 10?Resposta: Veja que DE tanto ATÉ tanto inclui o primeiro e o último número. Assim temos:5 , 6 , 7 , 8 , 9 e 10 , ou seja, temos 6 números.

Ex.2: Quantos números tem de 20 até 37?Resposta: temos os números, 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 e 37

, ou seja, 18 números.

Agora vejamos o seguinte:No exemplo 1, tínhamos os números de 5 até 10, então:10 – 5 = 5, note que temos 6 números e essa diferença deu 5.




No exemplo 2, tínhamos os números de 20 até 37, então:37 – 20 = 17, note que temos 18 números e essa diferença deu 17.Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números DE a ATÉ b pode ser encontrada pelaexpressão:N = b – a + 1, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números.

Caso 2: Quantidade de números ENTRE a e b:

Ex.3: Quantos números tem entre 3 e 9?Resposta: Veja que ENTRE tanto e tanto, não inclui nem o primeiro, nem o último. Assim temos:3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 , ou seja, 5 números.

Ex.4: Quantos números tem entre 19 e 31?Resposta: temos os números: 19, 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31, ou seja, 11 números.

Agora vejamos o seguinte:No exemplo 3, tínhamos os números entre 3 e 9, então:9 – 3 = 6, note que temos 5 números e essa diferença deu 6.

No exemplo 4, tínhamos os números de 19 até 31, então:31 – 19 = 12, note que temos 11 números e essa diferença deu 12.Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números ENTRE a e b pode ser encontrada pelaexpressão:N = b – a – 1, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números.

td de matemática - aula 1 - frente 1 - versão 12

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