td 1 corrige ondes électromagnétiques non planes émises

IFIPS Corrigé TD Ondes

TD 1 CORRIGE

ondes électromagnétiques non planes émises dans le vide

( )0 3 2

2( )

0 3 2

12 cos

1sin

0

i kr tr

i kr t

ikE E er r

ik kE E er r r

E

ω

ωθ

φ

θ

θ

−

−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠=

2

2

( )(sin )( )1 1 1sin sin

rAAr AdivA

r r r rϕθθ

θ θ θ ϕ∂∂∂

= + +∂ ∂ ∂

ur

(sin ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

sin sinr r

r

A rAA rAA Arot A u u ur r r r r

ϕ ϕθ θθ ϕ

θθ θ ϕ θ ϕ θ

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ur uur uur uur

1. lambda = 3.4 m (c’est de la FM, pas des grandes ondes : France inter 162kHz,

1800m). faire remarquer qu’un dl, c’est toujours par rapport à une quantité sans unité, ou encore qu’on développe tjs en supp. qu’une qtté est bien plus petite qu’une autre. Leur dire qu’on exprime d’abord en fct d’un ε=rapport de ces quantités, puis qu’on fait le dl.

Ici, c’est r qui est bien plus grand que 1/k donc 1/kr <<1 (ça les aide en général de poser ε=1/kr avec ε<<1). Au premier ordre en 1/kr ou en ε, il reste :

2( )

0

0

sin

0

r

i kr t

E

kE E er

E

ωθ

φ

θ −−

=

2.

2 ( )0

2 ( )0

( ) ( sin )1 1

( )sin

i kr t

i kr t

rE E k erotE u ur r r r

k Bi E k e u i Br t

ωθ

ϕ ϕ

ωϕ

θ

θ ω

−

−

⎡ ⎤∂ ∂ −⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

ur uur uur

uruur ur

d’où 3

( )0 sin i kr tkB E e u

rω

ϕθω

−= −ur uur


On a donc k selon ruuur

, E selon uθ−uur

et B selon uϕ−uur

donc on retrouve la structure de l’onde plane : k,E,B triedre. C’est normal car pour un rayonnement sphérique de ce genre, à très grand r, on est localement plan.

3.R : je donne seulement la définition où on repasse d’abord en réel. Donc insister lourdement là dessus !!! Faire remarquer que si on prend la def. de R ci dessous avec des complexes, on aura alors R en cos(2(kr-ωt)) qd on repassera à la fin en réél, et donc sa valeur moyenne est nulle (donc pas d’énergie transportée par l’onde !). On passe donc en réel :

2

0 sin cos( )kE E kr trθ θ ω− −

3

0 sin cos( )kB E kr t ur ϕθ ω

ω= − −

ur uur

d’où 5

2 2 202

0 0

1 sin cos ( ) rE B kR E kr t u

rθ ω

μ μ ω∧

= = −ur ur

ur uur

R se propage selon ur : ça dit le sens dans lequel se propage l’énergie emag. R en sin2θ donc c’est comme un dipole en gros : lobes sur les côtés. Ce n’est donc pas isotrope. Dire qu’une antenne, ce n’est pas isotrope, ce à quoi on pouvait s’attendre puisque la géométrie de l’antenne définit un axe non isotrope justement. Si on veut bien capter, il faut se mettre dans le plan perpendiculaire à l’axe de l’antenne. 4 Lien avec la puissance : puissance = flux de R Puissance moyenne sortant d’une sphere :

_ _

.surface entourant sphere

P R dS= ∫∫ur uur

Ici, R perpendiculaire à dS et 2 sin rdS r d d uθ θ ϕ=uur uur

et 5

2 202

0

1 1sin2 rtemps

kR E ur

θμ ω

=ur uur

d’où 5

2 2 202

0_ _

2 4 252 3 00

0 00 0

1 1sin . sin2

41 1 sin2 3

r rsurface entourant sphere

kP E u r d d ur

k Ek E d dc

π π

θ θ θ ϕμ ω

πθ θ ϕμ ω μ

=

= =

∫∫

∫ ∫

uur uur

où on a utilisé k/ω=1/c (rappeler que ce n’est vrai que dans le vide infini) On voit que Pe ne dépend plus de r : normal : qq soit la sphère autour de la source, la puissance totale reçue est identique (a condition qu’il n’y ait pas de dissipation, évidemment). Remarquer aussi que c’est en E0

2 5 ) Une antenne isotrope n’existe pas, c’est une vue de l’esprit. La densité de puissance par unité de surface d’une telle antenne serait Pe/4πL2, d’où la formule. D = 3/2 sin2 θ Dmax = 1.5 (50% de plus qu’une antenne isotrope virtuelle de même puissance)


Dmin = 0 rien n’est emis selon l’axe Oz Comme Pe, le diagramme de directivité ne dépend pas de L. Ce résultat est généralisable pour toutes les antennes, il découle de la conservation de l’énergie. (Si on veut raffiner, ce diagramme peut dépendre de L si on considère l’influence du sol et du relief.)

90°

6 ) Omnidirectionnelle car toutes les directions du plan horizontale sont arrosée identiquement. C’est une bonne chose pour une antenne émetteur. 7 ) D est le plus fort dans le plan horizontale. Angle d’ouverture verticale : 2 * (90°- ArcSin (0.51/2) )=2* (90° - ArcSin (0.7)) ~ 90° 8)

70°

30°

Antenne directionnelle, il faut faire attention où on la positionne, car seul un angle de 70° est arrosé : l’installer dans un coin de pièce. L’ouverture horizontale de 30 ° implique que


seul un étage sera couvert. Avantage : éventuellement, éviter d’ouvrire son réseau aux voisins, plus de puissance utile (puisque moins dispersée). Note : les pics d’intensité secondaire sont dus à des phénomènes d’interférences entre différents éléments de l’antenne, c’est très courant dans les diagrammes de rayonnement. 9 ) les antennes râteau nécessitent une orientation afin d’avoir une bonne réceptions : les angles d’ouvertures sont encore plus faibles. Même raisonnement avec des paraboles, mais pire. B. ORDRES DE GRANDEUR

1. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau

d’1 mm de diamètre. C’est une onde plane dans le vide donc B0~E0/c et R~E0B0/μ0 et la puissance est le flux de R donc P=RS~ E0B0S/μ0= E0

2 S/cμ0=10-3W et S~10-6 d’où E0~102 à 103 V/m et B0~10-6Tesla~0.01 Gauss (champ terrestre =0.5 Gauss)

2. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est

uniforme sur une demi-sphère concentrique avec la station. Comme ci-dessus, R perpendiculaire à la demi sphere en tout point donc on a juste le scalaire : P=RS~E0

2 S/cμ0 où S=2πr2 Ici, P=105 d’où pour r=10km, E0=0.3 V/m 3. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1W de façon sensiblement uniforme dans l’espace. Au niveau du cerveau, à 10 cm du téléphone, P=RS=R*4πr2=1W et r=0.1 donc R=8 W/m2 =puissance rayonnée par unité de surface. 4. Un satellite TV type DBS emet une puissance de 100W et couvre un pays comme la France. France ~ 1012 m2 et antenne ~1m2 donc Precue =100*1/1012=10-10 W !!! Mais il y a démodulation par l’antenne et en plus, elle est parabolique, donc elle parvient à detecter d’aussi faibles puissances. 5. Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux

d’énergie de 1,35.103 Watt. Noter que c’est 1015 fois plus fort que le satellite télé ! Puissance proportionnelle à la surface exposée : donc P(sur pupille)= 1.35 103*π*(10-3)2 / 1 =4mW : dangereux de regarder le soleil en face


corrigé TD 3

Vue macroscopique des diélectriques

I. Moments d’une distribution de charge • Dans chacun des cas suivants, indiquez si le moment d’ordre zéro (charge électrique

équivalente) et le moment dipolaire sont nuls ou non. • Comment varie, à grande distance de ces distributions, le potentiel électrique V et le

champ électrique E en fonction de la distance r à la distribution, selon l’axe z ?

cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5 M0 non nul seulement pour 1 M1 non nul pour 2;3;4 (dipoles) M2 non nul pour 5 (quadrupole) rappeler que le dipole est dessiné en reliant le barycentre des charges positives et négatives. pour cas 1 :V~1/r E~1/r2

pour cas 2,3,4 : V~d/r2 E~d/r3 où d=taille du dipole

II. Un diéléctrique dans un condensateur

1. Rappeler le lien entre la polarisation P, la charge de polarisation de surface σp et de volume ρp équivalentes, le champ dépolarisant Ed et le champ total E dans un diélectrique homogène. σp=P.n et ρp=-div P (n = vecteur normal à la surface de l'interieur du dielectrique vers l'exterieur) et jp=-dP/dt (insister que ce sont des charges de surface et de volume fictives)

+2e

-2e

z

+e

z

+e +e

-3e

+e

z

+e

-2e

+e

+e

z

+e

z

-e

+e


Edepolarisant est le champ créé par les dipôles électriques (c'est à dire la polarisation) une fois alignés. Il dépend de l'amplitude et de la direction de ces dipoles, mais aussi de la forme de l'objet considéré. E=champ total=Eext+Edepolarisant C'est ce champ qui intervient dans Maxwell, et pas Eext, tant qu'on est dans le diélectrique. Si réponse linéaire, P=ε0χE et εr=1+χ (attention, ce n'est pas Eext mais bien E qui intervient dans l'expression de P) 2. On considère un condensateur plan alimenté par une tension constante, qui crèe donc un champ électrique 0E

uur entre ses parois (voir figure). On place entre les parois un diélectrique

homogène soit rectangulaire, soit sphérique. Dessinez dans chaque cas • les dipôles électriques au sein du matériau • la charge de polarisation de surface σp et de volume ρp équivalentes • le champ dépolarisant Ed dû à ces dipôles et le champ total E résultant dans le

diélectrique Dans les deux premiers cas, E0 est le même dans tout l'espace entre les armatures. Dans le dernier cas, on a créé un champ qui varie comme indiqué sur la figure. .

1ere colonne : les dipôles s'alignent au champ. Attention, souligner que ce n'est pas tout ou rien mais qu'ils s'alignent en fait proportionellement à leur susceptibilité.

les dipoles σp et ρp Ed et Etot

- +

E0

- +

E0

- +

E0

- +

E0

- +

E0

- +

E0

- - - - -

+ + +

ρp=0

σp=0

σp=0

Etot<E

Ed opposé à E0

+

+++

+++

-

-

- Etot<E

Ed opposé à E0

ρp=0

E0 E0

E0

ρp

- - -

- - -

-

-

σp<0 faible

- - -

σp>0 fort

Etot<E

Ed opposé à E0

σp<0 σp>0


2eme colonne: On a utilisé σp=P.n et ρp=-div P Insister que n change pour chaque surface 3eme colonne : Ed est créé par les charges dessinées dans la colonne 2, donc on voit bien que Ed s'oppose à E0 mais est évidemment toujours plus petit (l'effet est plus faible que la cause) donc Etot reste dans le sens de E0 mais plus petit d'où l'interet d'une capa : l’introduction du diélectrique augmente la capa du condensateur et réduit le champ en son sein, donc diminue la tension de claquage. C’est comme ça que Faraday avait découvert les diéelectriques et leur effet. 3. . Rappeler quelles sont les equations de Maxwell dans un diélectrique en fonction de E et P, puis de D. En déduire l'équation de propagation pour le champ électrique dans le cas particulier d'un diélectrique homogène linéaire isotrope où εr est réel et constant, et où il n'y a pas de charges libres. Dans un diélectrique, Maxwell devient en tenant compte de l'effet des dipoles via σP et jP :

tEjjBrot

tBErot

Bdiv

Ediv

Plibre

Plibre

∂∂

++=

∂∂

−=

=

+=

0000

00

0

)(

εμμμ

ερ

ερ

ce qui se réécrit :

tDjBrot

Ddiv

libre

libre

∂∂

+=

=

00

)(

μμ

ρ

en posant PED += 0ε Equation de propagation si εr constant et pas de charges libres : ρlibre=jlibre=0 et

EPED rεεε 00 =+= d'où :


tEBrot

tBErot

Bdiv

Ediv

r

r

∂∂

=

∂∂

−=

=

=

)(

0

0)(

00

0

εεμ

εε

On recalcule l'equation de propagation :

2

2

00

00 ])([)()(

)0(

))(())((

tE

tt

E

tBrot

tBrot

Egrad

EEdivgradErotrot

r

r

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=∂

∂−=

∂∂

−=

Δ−=

Δ−=

εεμ

εεμ

d'où 02

2

00 =∂

∂−Δ

tEE rεεμ

On a la même équation que dans le vide, mais avec εr en plus. Donc la solution est une onde

de vitesse nccvitesse

rr

===εεεμ 00

1 en définissant l'indice optique

d'un milieu n par rn ε= On peut leur montrer ce que ça fait pour un E progressif plan sinusoidal en ei(k.z-ωt) par

exemple : on trouve 0200

2 =+− EEk rωεεμ d'où cnk

r == εεμω 00

comme je l'ai annoncé plus haut.


TD 4

Corrigé Ondes emag dans les métaux Une onde électromagnétique plane incidente se propage suivant l'axe Oz dans le vide. Le champ incident iE

ur est polarisé rectilignement selon Ox. Un métal est placé dans la partie de

l'espace z>0. Réflexion sur un métal parfait et pression de radiation On suppose dans cette partie que le métal est parfait, c’est à dire que sa conductivité est infinie. Dans ce cas, l’onde incidente se réfléchit totalement et ne pénètre pas dans le métal.

1. ( )

0i kz t

i xE E e uω−=uur uur

et ( )0 i kz t

i yEB e uc

ω−=uur uur

2. 2 1 1 20

E E nσε →− =

uur uur uuuur Ici, 1 2 zn u→ =

uuuur uur

En particulier, // 2 // 1 0surface surfaceE E− =uuuuuuuur uuuuuuuur

. Ici, la surface de séparation est le plan z=0. Le métal est parfait donc E//2=0 donc E//1=0. Si on a seulement le champ incident, il ne s’annule pas et on ne satisfait pas la condition aux limites. Il y a donc apparition d’un champ réfléchi Er tel que E//1=Ei+Er=0 quand z=0. A partir de cette condition, on peut remonter à l’expression de Er connaissant Ei mais ce n’est pas si évident et il faut être rigoureux :

en z=0, Ei//+Er//=0 donc si on note ( . )

0r ri k r t

r r rE E e uω−=uur ruur uur

on a en z=0 (et seulement en z=0): ( 0 ) (0 )

0 // 0 0xr yr ri k x k r t i tr r i xE e u E e uω ω+ + − −+ =

uuur uur

C’est vrai quelque soit t donc ωr=ωi C’est vrai quelque soit x et y donc kxr=0 et kyr=0

C’est vrai en direction donc 0 // 0r r i xE u E u= −uuur uur

Reste à connaître kzr : pour ça, on utilise le fait que k/ω=1/c dans le vide, pour l’onde incidente et réfléchie. Donc puisque ωr=ωi, on a necessairement : zr zik k k= = donc zrk k= ± . Si on choisissait +k, l’onde resterait incidente. On la veut réfléchie, donc se propageant vers les z négatifs, donc on choisit –k. Finalement,

( )0

i kz tr i xE E e uω− −= −

uur uur

L’onde résultante observée est la somme de Er et Ei qui vaut : ( ) ( )

0 0 0 2 sin( )i kz t i kz t i tt i x i x i xE E e u E e u E i kz e uω ω ω− − − −= − =

uur uur uur uur

C’est une onde stationnaire. A tracer et montrer qu’au cours du temps, ça bouge mais les noeuds et les extremas restent immobiles. On déduit Br par Maxwell appliqué à Er ou bien Btot par Maxwell sur Etot :


0 2cos( ) i titot y

EB kz e uc

ω−=uuur uur

3. 2 1 0 1 2sB B j nμ →− = ∧uur uur uur uuuur

On a ici B2=0 dans le métal (pas de champ magnétique dépendant du temps) d’où :

01 0 02cos( )

0

yi ti

s z y x

jEB j u kz e u jc

ωμ μ−

⎡ ⎤⎢ ⎥− = ∧ = − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

uur uur uur uur

d’où 0

0

2cos( ) i tiy x

E kz e u jc

ω

μ− =

uur et jy=0. Attention, tout ça n’est vrai qu’en z=0 d’où :

0

0

2 i tix

Ej ec

ω

μ−=

4. Du fait de l’existence de ce courant, quel type de force s’exerce sur la surface ?

Laplace : F = F I dl B= ∧ur uur ur

Donc force dans la troisieme direction selon Oz. Donc ça pousse le métal sur sa surface. Donc la force agit comme une pression dîte donc pression de radiation. P = dF/dS

Il faut repasser en réél quand on considere des forces, donc P en

220

20

cos ( )E tc

ωμ

a. La queue des comètes est composée de poussières et de gaz. Le gaz (H20,CO,CN...) qui diffuse une lumière bleue est sous l'influence du vent solaire (electrons et protons émis par le soleil) dont nous ne discuterons pas ici. Par contre, les poussières qui diffusent une lumière jaune sont des petits grains très réfléchissants qui subissent la pression de radiation. Supposons qu'un grain de poussière s'apparente à un grain métallique parfait. Dire quelles forces agissent sur ce grain (en supposant que les autres planètes ont une influence négligeable par rapport au soleil). Comparer qualitativement les forces agissant sur deux grains de tailles différentes et prédire où se trouve le soleil par rapport aux comètes sur les deux photos ci-dessous. Pourquoi cette queue est-elle courbée ? forces : gravitation due au soleil et pression de radiation. La force solaire est en GMm/D2 où M=masse du soleil, m=masse d’un grain, D=distance entre grain et soleil. Ici, m varie en r3 où r=rayon du grain. La pression de radiation, elle, varie en r2 (elle agit sur la surface du grain qui varie en r2). Donc il existe un rcritique tel que si r>rc gravitation>pression de radiation et l’inverse si r<rc Donc les petits grains sont plus poussés par le soleil que les grands. De ce fait, ils ne sont plus sur la même orbite et il y a donc inflexion de la queue de la comète. La queue courbée correspond donc à la matière réfléchissante. Cela n’a rien à voir avec la queue composée de gaz bleu qui subit le vent solaire.


On peut aussi citer le projet développé par la NASA : un astéroide fonce sur la terre. Pour le dévier, on envoie un vaisseau qui pulvérise de la peinture métallisée dessus, de sorte que le soleil exerce alors une force sur lui qui le dévie. Mais ça marche seulement si on le fait très longtemps avant l’impact car la force étant radiale, elle est peu efficace pour dévier l’astéroide de sa trajectoire. II. Pénétration dans un métal non parfait 1. div(j)+dρ/dt=0 donc ça donne ici : div(j)=div(σΕ)=σ div(E) = σ ρ / ε0 = - dρ/dt Equa dif en ρ d’où solution en ρ=ρ0exp(-t/τ) où τ=ε0/σ Cuivre : τ=10−19 secondes. Autrement dit, la charge disparait en 10-19 sec, donc pour tout phénomène plus long, on peut la négliger, ce qu’on a fait ci dessus. A très haute fréquence, ce n’est plus valable bien sûr. Dans ce cas arrivent les ondes plasma, etc... Donc si freq pas trop élevée par rapport à 1/τ=σ/ε0, alors ρ=0 très vite donc div E=0 . C’est le cas dans les radiofréquences par exemple : ν~106 à 108 Hz d’où ε0ω/ σ=10-9 à 10-12 2.

( )0 0 0 0 0

0

0

divE

divB

BrotE i Bt

ErotB E i Et

ω

μ σ μ ε μ σ ε ω

=

=

∂= − =

∂∂

= + = −∂

ur

ur

urur ur

urur ur ur

Dans cette dernière équation, à basse fréquence, quand ω<<σ/ε0 on peut bien négliger le deuxieme terme. C’est le cas dans les radiofréquences par exemple : ν~106 à 108 Hz d’où ε0ω/ σ=10-9 à 10-12

3. Déduire des équations de Maxwell la forme de l'équation de propagation pour Em. Par rot(rot(E))=grad(div(E))-Laplacien(E)=-Laplacien(E) on déduit iω rot (Bm) = iωμ0σEm=km

2Em donc k2=iωμ0σ On voit que k est ici complexe. 4. Et ~ exp(i(kt z-ωt)) ux

Ici k2=iωμ0σ et dans le vide k=ω/c

On utilise 12

ii += d’où


01

2ik ωμ σ +

= ±

d’où

0

0

'2

"2

k

k

ωμ σ

ωμ σ

= ±

= ±

5. Puisque E en exp(ikt z), on a bien une partie exponentiellement atténuée (due à k’’) et une partie progressive due à k’ : Et ~ ei(k’z-ωt) e-k’’z

on définit δ=1/k’’ comme épaisseur de peau (ça pénètre seulement dans cette peau). b.

Poynting : on passe en réel et on fait

0 0

1 exp( 2 / )2 z

E BR z uδμ μ δω∧

= = −ur ur

ur uur

l’énergie se propage comme l’onde selon Oz. Elle est aussi atténuée et se dissipe sous forme d’effet Joule et de chaleur sur l’épaisseur δ. 5.c - Il ne s'agit plus d'une onde stationnaire, car r < 1 - Eviter le terme de "réflexion totale" réservé à la réflexion d'un faisceau lumineux à

l'interface entre un milieu moins réfringent et un milieu plus réfringent, au-delà de l'angle de réflexion totale.

6. Cuivre : ν=50Hz δ=0.9 cm : l’onde pénètre sans problème dans un métal de 1mm d ‘(épaisseur ν=1 MHz δ=65 μm : elle ne pénètre pas : le métal est comme un miroir.

Et

z

x


Dans ce dernier cas, si on envoie de la radiofréquence sur un métal, ça va donc pénétrer seulement dans une très fine couche, et donc fort échauffement en surface. L'épaisseur de peau est très faible aux fréquences optiques ( de l'ordre du nm). Très peu d'électrons sont donc concernés et la majeure partie de l'onde incidente est réfléchie, et non dissipée par effet Joule dans le métal. L'onde ne pénètre pas dans le métal, il est dons opaque. De plus il est fortement réfléchissant (du moins, s'il est bien poli en surface). 7. Onde incidente : Ei = E0 ei (kz-ωt) ux Bi = (E0/c) ei (kz-ωt) uy <Ri> = (E0

2/2c) uz Onde réfléchie : Er = r E0 ei (-kz-ωt) ux Br = (- r E0/c) ei (-kz-ωt) uy <Rr> = (- r2 E0

2/2c) uz Onde transmise : <Rt> = (t2 E0

2/2μ0δω) e-2z/δ uz On effectue un bilan d'énergie en z = 0 : la puissance de l'onde transmise se retrouve dans l'onde réfléchie + l'onde transmise selon E0

2 / 2c = r2 E02 / 2c + t2 E0

2/2μ0δω 1 = r2 + t2 (c/μ0 ω δ) ou 1 = R + T avec R = r2 et T = t2 (c/μ0 ω δ) Pour avoir d'autres relations entre r et t il faut écrire les deux relations de passage à la surface (sur E et B)…


TD 5 Corrigé Guides d’ondes rectangulaires

On considère un guide d’onde rectangulaire constitué de parois métalliques de largeur et hauteur a et b. On cherche la forme des ondes électromagnétiques qui peuvent s’y propager, et les caractéristiques de cette propagation.

1. On cherche une solution pour Eur

qui soit progressive selon z et stationnaire selon y, de polarisation selon x. L'onde est-elle TE (transverse électrique) ? Est-elle plane ? Exprimer E

ur.

( )0 sin( ) i kz t

xE E y e uωα φ −= +ur uur

-onde transverse electrique car propagation selon z perpendiculaire à E qui est selon x. -onde plane ? plane=surface d’onde est un plan. Ici, surface d’onde E=cste implique

( )sin( ) i kz ty e csteωα ϕ −+ = à t donné. Si il n’y avait que l’exponentielle, la surface d’onde serait un plan perpendiculaire à z, donc xy. Mais ici, à cause du sin(αy), ça ne marche plus. Ce n’est donc pas une onde plane.

2. Ecrire les conditions aux limites que doit satisfaire Eur

sur chaque paroi métallique (métal supposé parfait). Qu'en déduit-on pour la longueur d’onde spatiale de E

ur ?

on applique E// continue sur chaque surface. Surface=métal parfait où E=0 donc il faut satisfaire sur chaque surface E//=0. Sur le sol et le plafond (plan x=0 et x=a), E est par construction perpendiculaire à la surface, donc E//=0, donc c’est déjà satisfait. Sur les parois y=0 et y=a par contre, E//=Ex donc il faut satisfaire

( )0 sin( ) 0i kz tE y e ωα φ −+ =

en y=0 : cela implique necessairement sin( ) 0ϕ = d’où φ=0

en y=a : cela implique necessairement sin( ) 0yα = d’où nbπα = avec n entier

Longueur d’onde : pour la partie progressive, c’est λ=2π/k pour la partie stationnaire, c’est la periode du sinus, donc λ=2π/α=b/n

z

x

y

b

a


On voit qu’il existe plusieurs solutions, (les differentes valeurs de n). Donc il peut coexister plusieurs champs electriques de periodes differentes selon Oy dans le guide. On appelle ça les modes du guide. Dessiner E

ur à un instant donné dans le guide d’onde.

à representer en coupe pour deux modes par exemple n=1 et n=2...

3. Calculer Bur

. L’onde est-elle TM (transverse magnétique) ? Vérifier les équations de Maxwell. Déduire de l’une d’elles une relation liant ω et k. Il s’agit d’une relation de dispersion. Qu'appelle-t-on les différents « modes » du guide ?

par Maxwell : rot(E)=-dB/dt=iωB d’où

( )0

( )0

0

sin( )

cos( )

i kz t

i kz t

kB E y e

i E y e

ω

ω

αωα αω

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ur

attention : ne pas remplacer ici k/ω par 1/c, car ce n’est plus la relation de dispersion ! On n’est plus dans le vide « infini ». L’onde n’est pas TM. La derniere equation de Maxwell donne :

2

2( ) ( ) ( )

0 0 0

( )0

( )

0

( ) sin( ) sin( ) sin( )

cos( )

xi kz t i kz t i kz t

y x

zi kz t

irot B Ec

k krot B E y e i E y e i E y e u

i E y e

ω ω ω

ω

ω

αα α α αω ω ωα αω

− − −

−

= −

⎡ ⎤⎢ ⎥

∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∂ ∧ = − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

uuur ur ur

uuur ur uur

d'où

2( ) ( ) ( )

0 0 02

222 2 2

2

sin( ) sin( ) sin( )

'

i kz t i kz t i kz ti kE y e i E y e i E y ec

nd où k kc b

ω ω ωω αα α α αω ω

ω πα

− − −⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Note : on peut obtenir le même résultat à partir de l’équation de propagation.

4. On voit que si on cherche k fonction de ω, si ω est trop faible, k2 négatif ce qui est impossible. Donc k n’est défini que pour des pulsations ω>ωc=cπn/b. En dessous, l’onde ne pénètre pas. On peut leur mentionner que dans ce cas en fait, on peut quand


même traiter le problème, mais k devient imaginaire pur : c’est une onde évanescente. A la différence d’une onde qui pénètre dans un métal, il n’y a pas dissipation (il n’y a rien qui puisse dissiper l’énergie) : Si on essaie de faire pénétrer une onde, elle sera réfléchie (l’onde évanescente assurant les conditions limites).

On voit de plus que la fréquence de coupure augmente avec n : plus ω élevé, plus il y a de modes possibles.

2

4

6

n=4n=3

n=2

ωc(n=4)ωc(n=3)ωc(n=2)

k

ω

asymptote de pente c

ωc(n=1)

n=1

5. Au voisinage de k0 on peut écrire: ( )0101 ωωω

−∂∂

+=kkk

On obtient ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+− xktixktixkkieAeAetxE ω

ωω

ωωω

2100

21

)(),( soit ),0(

'

xktEe xik

ω∂∂

−− .

Pour la propagationde l’énergie il faut garder le carré, donc le terme de phase

disparaît et on obtient une vitesse de propagation qui est ω∂

∂k/1 , la vitesse de groupe.

6. les guides sont utilisés en monomodes, en général, donc entre ωc1 et ωc2 : c’est à peu près ce que donne les constructeurs (avec une marge, et en évitant la région près de ωc1 où la vitesse de groupe est très petite -> forte dispersion)

Pour être sur de travailler en monomode, il ne faut pas qu’une onde se développe polarisée selon y dans cette gamme de fréquence : il faut donc ωc1 (E//y) > ωc2 (E//x) D’où cp/a>cp2/b, d’où a < b/2 On a bien une hauteur qui est deux fois plus petite que

la largeur. Cela permet de déterminer l’orientation du champ électrique du mode fondamental.


Note : il y a évidemment des modes plus compliqués que les modes étudiés ici, avec un champ électrique non polarisé selon l’axe x ou y, ou des modes TM. Ici les modes ne sont caractérisé que par un entier, n. Dans le cas général, il en faut deux (on parle de mode TEm,n, ou TMm,n). Mais le mode étudié ici est bien le fondamental, et les résultats présentés sont corrects.

A.N : ν=2.45 GHz . freq de coupure : νn = n c / 2 b Il faut b tel que n soit compris entre n1 (b=c/2n =6.1 cm) et n2 (b=2c/2n=12.2cm). Il faut a tel que n soit plus petit que n1, d’où a < 6.1 cm b = 8cm et a = 2.5 cm (à peu près les dimensions du guide sur la photo) convient. Note : le travail en monomode est particulièrement important pour les applications radars ou télécoms (problème de dispersion) : dans le four a micro-onde, où le but est de convoyer de la puissance, ce n’est pas crucial.

7. Calculer la vitesse de phase vφ et de groupe vg. Quelles sont leurs significations physiques respectives ?

2 2 2

2 22

2 22

2 2

gd d c c kv c kdk dk b

cv ck k bφ

ω πω

ω π

= = + =

= = +

On voit que vg est plus petit que c car k est plus petit que ω/c d’après la relation de dispersion. Par contre, vφ est plus grand que c. En fait, c’est vg qui a du sens : c’est la vitesse de propagation de l’énergie, ou encore la vitesse d’un pulse electromag envoyé dans le guide, alors que vf est la vitesse de phase, donc d’une des oscillations qui composeraient ce pulse : elle n’a pas de réalité physique mesurable ici.

8. Calculer le vecteur de Poynting pour en déduire dans quelle direction se propage l’énergie. Calculer la puissance moyenne à travers une section du guide d’onde.

b

a


0

00 0

0

20

0

2 2 20

0sin( ) cos( )1 0 sin( ) cos( )

0cos( )sin( )

01 sin( )cos( )cos( )sin( )

sin ( ) cos ( )

E y kz tE B kR E y kz t

E y kz t

E y y kz t kz t

kE y kz t

α ωα ω

μ μ ωα α ωω

α α α ω ωμ ω

α ωω

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎡ ⎤ ⎢ ⎥∧ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∧ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

ur urur

mais en moyenne temporelle, la deuxième ligne devient nulle car <cos*sin>=<sin(2..)>=0

donc 2 20

0

1 1sin ( )2 z

kR E y uαμ ω

=ur uur

On peut voir que le flux d’énergie n’est pas homogène dans une section. Pour le mode TE1, l’énergie est transportée principalement dans le centre du guide (dans la direction y), même si elle est homogène dans la direction x. Le long des parois y=0 et y=b, il y a des nœuds d’énergie. Pour les modes supérieurs, il y a des nœuds dans le guide (c’est pour des raisons similaire que le four à micro-onde ne chauffe pas à certains endroits). L’énergie moyenne se propage bien selon Oz, direction de propagation de l’onde elle même. La puissance moyenne :

2 20

0sec sec

2 2 20 0

0 00

1. sin ( ).2

1 1sin ( ).2 2 2

moytion tion

b

kP R dS E y dxdy

k k bE a y dy E a

αμ ω

αμ ω μ ω

= =

= =

∫∫ ∫∫

∫

ur uur

Elle ne dépend pas de z : transport sans perte d’énergie. C’est normal, il n’y a aucune source de dissipation dans notre model. Si on considère le métal comme non parfait, alors une partie de l’énergie du guide viendra s’y dissiper, et Pmoy aura une dépendance exponentielle selon z (les pertes sont comprises entre 1 et 50 dB/100feet selon les fréquences et les tailles des guides).


r n

n0 Saut

Gradient

CORRIGE TD6 Fibres optiques

I. Trajectoire des rayons lumineux. Approche optique

A. fibre optique à saut d’indice

1- Par Descartes, reflexion totale si α>arcsin(n1/n0) donc si i<ilimite où sin ilim < n0 cos αlim donc sin ilim<racine(n0

2-n12)

pour n0=1.5 et n1=1.49 on trouve ilim=6.6°

B. Fibre à gradient d’indice

1- n(0)=n0 => Ok

n(a)=n1 => n1= Δ−10n => 2

0

1 )(1nn

−=Δ

2- vφ = c/n or n0>n1 => Avec les fibres à gradient on accélère les rayons lumineux quand ils sont près de la gaine (extérieure) Diminue le retard Plus d’informations. 3.

dz


n0sin(π/2-θ0) = n(r) sin(π/2-θ(r) ) et par transitivité, c’est vrai qq soit r dans le coeur. D’où n(r)cos(θ(r))=n0cos θ0

Géométriquement, on a dl2=dr2+dz2 et tan θ(r)=dr/dz

Ce qui donne 2222

00

)/(1))((tan1 (r)cos

1cos

)( dzdrrn

rn+=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θ

θθ

D’où 1cos

)()/(2

00

2 −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θnrndzdr ; On dérive cette équation par rapport à z.

dzdrr

anrn

dzd

ndzd

dzdr r

2))(()cos(

1.2 220

22

002

2 Δ−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

θ => 0

)cos( 20

2

2

=Δ

+ radz

rdθ

donc equa dif f’’=-α2f avec α2 = Δ/(a2 cos2θ0 ) solution r = r0 sin (α x + φ) en x=0, r=0 donc φ=0 et dr/dx = tan θ0 donc r0 = a sin θ0 / racine (Δ) donc le rayon n’est plus droit mais en sinusoide : il est plus arrondi ici car il a été progressivement refracté de proche en proche. C’est analogue aux rayons lumineux d’un mirage : air chaud peu dense au sol donc indice faible et air plus froid en altitude. Donc là aussi gradient thermique implique gradient d’indice entre sol et point plus élevé, ce qui infléchit les rayons lumineux et donne une impression de mirage par temps chaud par exemple sur une route bitumée.

4. Période Δ

== 0cos22 θπαπλ

a

II. Approche électromagnétique 1- Equation de propagation de E

r

02

22

=+Δ Ec

nErr ω avec n=n0 ou n1

2- Er

=f(y) xtkzi ue )( ω− donc 0)( 22

2

2'' =−+ fk

cnf ω

3- On choisit 22

21 kc

n−

ω <0 dans la gaine pour que f soit evanescente donc que l’onde

z θ0

θ(r)dr


ne passe pas à travers la gaine mais reste piegée dans le coeur (équivalent de la réflexion totale).

On choisit 22

20 kc

n−

ω> 0 dans le coeur pour que f soit sinusoidale, d’où un régime

stationnaire perpendiculairement à z comme dans un guide d’onde.

Dans le cœur : ϕω

+−= ykc

nEyfcoeur )(cos()( 2

2

20

0 )

Dans la gaine : ykc

nEyf gaine )(exp()( 22

21

1 −−=ω

On veut donc k1<k<k2. On doit ajouter les conditions de continuité entre les deux milieux pour déterminer E0, E1,et ϕ. 4- On doit avoir continuité de la composante E// en r=a ; On a donc

On peut donc en tirer les relations entre k et w (relation de dispersion) ;

Pour βa<2.405, seul le premier mode peut se propoager dans la fibre fibre monomode (grandeur typique de rayon ≈ 2μm. Le rayon doit être de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde). Pour les valeurs supérieures de βa, il y a plusieurs modes possibles. 5- Fibre mono-mode : Une seule vitesse de phase parcours unique et bien défini pas de distorsion de phase pas de distorsion du signal. Convient pour la transmission de signaux analogiques. Si on travaille en impulsions (numériques), on peut utiliser les multimodes qui sont + faciles à raccorder. Mais vitesse de phase différentes et donc distorsions de phase (surtout vrai pour les fibres a saut d’indice bcp moins pour les gradients d’indice). Par contre, les multimodes permettent de transporter plus d’énergie.

6- BitBErot ω=

∂∂

−=r

r

r

Function sinus

Exp

2 4

k

aakk β=− 221


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

−

−

)(0

)(0

)cos(

)sin(0

tkzi

tkzi

eyEi

eyEkB

ω

ω

ϕαωα

ϕαω

r

5- Fibre mono-mode : Une seule vitesse de phase parcours unique et bien défini pas de distorsion de phase pas de distorsion du signal. Convient pour la transmission de signaux analogiques. Si on travaille en impulsions (numériques), on peut utiliser les multimodes qui sont + faciles à raccorder. Mais vitesse de phase différentes et donc distorsions de phase (surtout vrai pour les fibres a saut d’indice bcp moins pour les gradients d’indice). Par contre, les multimodes permettent de transporter plus d’énergie.

6- BitBErot ω=

∂∂

−=r

r

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

−

−

)(0

)(0

)cos(

)sin(0

tkzi

tkzi

eyEi

eyEkB

ω

ω

ϕαωα

ϕαω

r

7- On a donc pour poynting 0μ

BERrrr ×=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−−++=

)(cos)(sin

)cos()sin()cos()sin(

0

22

0

20

0

20

tkzykE

tkztkzyyE

R

ωϕαωμ

ωωϕαϕαωμαr

D’où

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=

)(sin2

00

2

0

20 ϕα

ωμy

kERr

En moyenne l’énergie se propage bien selon l’axe de la fibre Oz.

td 1 corrige ondes électromagnétiques non planes émises

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