td de matemÁtica - aula 1 - frente 2 - produtos notaveis - versao 6

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis são identidades que podem ser obtidas de maneira prática. Assim, como são muito frequentes no cálculo algébrico, iremos listar os principais. I. Quadrado da soma de dois termos:

2 2 2a b a 2 a b b

II. Quadrado da diferença de dois termos:

2 2 2a b a 2 a b b

III. Produto da soma pela diferença de dois termos:

2 2a b a b a b

IV. Cubo da soma de dois termos:

3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b

V. Cubo da diferença de dois termos

3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b

Fatoração

Seja uma expressão algébrica escrita como uma soma de termos. Fatorar essa expressão significa escrevê-la na forma de um produto. Para tanto, existem determinadas técnicas, descritas a seguir: Fator Comum Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as parcelas da expressão. Em seguida, colocamos esse termo em evidência. Exemplos 1º) ab + ac = a(b + c)

2º) 24x3y

2 – 6x

4y + 12x

2y

5 = 6x

2y (4xy – x

2 + 2y

4)

Agrupamento Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum a todas as parcelas de expressão. Nesse caso formamos dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos. Exemplos

1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b)

2º) 8x2 – 4xz – 6xy + 3yz = 4x (2x – z) – 3y (2x – z)

= (2x – z) (4x – 3y) Exercício Resolvido

01. Fatorar a expressão a2 – 4ba + 3b

2.

Resolução: 2 2 2 2a 4ab 3b a ba 3ba 3b

a(a b) 3b(a b)

(a b)(a 3b)

Soma e diferença de cubos

São identidades muito úteis em cálculo algébrico. São elas: I. Soma de cubos:

3 3 2 2a b a b a ab b

II. Diferença de cubos:

3 3 2 2a b a b a ab b

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA

AULA 1 – Prof. Raul Brito

2

CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

02. Fatorar a expressão x3 – 27:

Resolução:

x3 – 27 = x

3 – 3

3 = (x – 3) (x

2 + 3x + 9)

Identificação de um produto notável Exemplos

1º) x2 + 10x + 25 = (x + 5)

2 - Quadrado da soma.

2º) 222 2 6 3 3 3a b c ab c ab c ab c - Produto da soma pela diferença.

3º) a3 – 3a

2 + 3a – 1 = (a – 1)

3 – Cubo da diferença.

Fatoração do trinômio da forma ax2 + bx + c

Sejam x1 e x2, as raízes reais do trinômio P(x) = ax2 + bx + c, com a 0. Esse trinômio pode ser escrito na forma:

1 2P x a x x x x

Observação

As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara:

2bx , em que b 4ac

2a

Exercício Resolvido

03. Fatorar a expressão x2 – 5x + 6.

Resolução: Cálculo das raízes:

2

1 2

5 4 1 6 25 24 1

5 1x x 2 e x 3

2

Substituindo na forma fatorada, temos 1(x – 2) (x – 3).

04. (FEI) fatorar 2 2 2a b c 2ab.

Resolução: 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ab a 2ab b c (a b) c (a b c)(a b c) .

05. (UFGO) Simplificando

3 2

2 2

x y 2y y x

x y

, obtém-se:

a) (x + y)2 / (x – y)

b) x – y – 2yx2

c) x + y d) x – y

e) (x2 + y

2) / (x – y)

Resolução:

3 2 2

2 2

x y x yx y 2y x y x y x y 2y

x y x yx y

x y

x y x yx y .

06. Se

23

3

1 1R 3, então R é igual a :

R R

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 6 Resolução:

3


Dados:

2

3 33 2 3

2 3 3

3 3 3 3

3 3 3

1R 3

R

Desenvolvendo temos :

1 1 1 1 1 1 1R R 3 R 3 R R R 3 R

R R R RR R R

1Como R 3 temos :

R

1 1 13 R 3 3 3 3 R 3 3 R 0

R R R

Letra “c”

07. Simplificando 4 4

3 2 2 3

a b

a a b ab b

Resolução:

2 22 2 2 24 4

3 2 2 3 2 2

a ba b a ba b

a a b ab b a (a b) b (a b)

a b a b

(a b) 2 2a b

a b

08. Simplificando a expressão 2

2

a 7a 12

a 6a 9

encontramos:

a) a 4

a 3

b) 12

9

c) 19

15

d) a 7

a 6

e) 4

3

Resolução:

2

2

2

2

a 7a 12Resolvendo as equações

a 6a 9

a 7a 12 0 a 3 a 4

a 6a 9 0 a 3 a 3

Podemos escrever a fatoração: 2 2

2

2

a 7a 12 (a 3) (a 4) e a 6a 9 (a 3) (a 3)

Logo :

(a 3)a 7a 12

a 6a 9

(a 4)

(a 3)

a 4

a 3(a 3)

4


EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Questão 01

Se a.b 1 e 2 2a b 3 . Qual o valor numérico da

expressão 2 2

2 2

a b2

b a ?

Questão 02

Se o comprimento da diagonal de um quadrado é x + y, a área desse quadrado é:

a) 2 2x y

b)

2x y

2

c)

2x y

2

d) 2 2x y

Questão 03

Calculando 2 2934287 934286 obtemos:

a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 Questão 04

O valor numérico da expressão 4

2

a 1 a 1.

a 1 a 1

, para a = 101,

é: a) 101 b) 1110 c) 9801 d) 9900 e) 10000 Questão 05

O número real 4 2

2

x 2x 1r

x 2x 1

é igual a:

a) 2x x

b) 2x x 1

c) 2x 2x 1

d) 2x 2x 1

e) x 1 Questão 06

Se 3x 3 7 e 3y 7 1 , calcule o valor numérico da

expressão 3 3 2 2x y 3x y 3xy

a) 7

b) 3 7

c) 7 d) 8 e) 12

5


Questão 07

Se m + n + p = 6 , mnp = 2 e mn + mp + np = 11, o valor

numérico de 2 2 2m n p

mnp é:

a) 1 b) 3 c) 7 d) 18 e) 22 Questão 08

Se 8 11 n2 2 2 é um quadrado perfeito , o valor de n é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Questão 09

Sabendo que x > 0 e simplificando a fração algébrica:

3 31 1

E x 1 . x 1x x

obtemos:

a)

32x x 1

x

b)

32x x 1

x

c)

33

3

1x

x

d)

3

2 x 1

x

e)

31

xx

Questão 10

O menor valor que a expressão 2 236x y 12x 3 pode

assumir para x e y reais é: a) 0 b) – 1 c) – 2 d) – 3 e) – 4 Questão 11

O valor de 99 99

x 2 5 2 5 é:

a) 2

b) 5

c) 2 5

d) 1 e) – 1

6


Questão 12

(Mackenzie-SP) A expressão 2

4

x x 6 x 2

x 16

é:

a) x 3

x 2

b) x 2

x 2

c) 2

x 2

x 4

d) x 3

x 2

e) 2

x 3

x 4

Questão 13

(UFMG) Os lados de um retângulo são 1a x 1 e

1b x 1 e os de outro retângulo são 2a 3x 7 e

2b 3x 7 . Se os retângulos possuem a mesma área,

o valor de x é:

a) 2 2

b) 3

c) 10

d) 2 e) 4 Questão 14

(UFMG) Fatorando-se a expressão 4 4 3 3x y 2x y 2xy ,

obtém-se:

a) 2 2

x y x y

b) 3

x y x y

c) 22 2x y x y

d) 4

x y

e) x + y Questão 15

(UFMG) A expressão

3 2

2

x y y 3x y

x

é igual a:

a) x + y b) 3x – y c) 3x + y d) x – 3y e) x + 3y

7


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Questão 01

O valor numérico da expressão 2 268 32 está

compreendido no intervalo: a) [30,40[ b) [40,50[ c) [50,60[ d) [60,70[ Questão 02

Sejam x , y são IR com x y 16 e xy 64. O valor da

expressão x y

y x é:

a) – 2. b) – 1. c) 0. d) 1. e) 2. Questão 03

Seja x um número real tal que 3

x 9.x

Um possível valor

de 3

xx

é .α Sendo assim, a soma dos algarismos " "α

será:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

Questão 04

O valor da expressão: 2 2

a b a b é:

a) ab. b) 2ab. c) 3ab. d) 4ab. e) 6ab. Questão 05

Se x

y , x 0,2

a expressão 2(x 2y) 4 x

4y 2 y

é

equivalente a:

a) 2x.

b) 2y.

c) 0.

d) 1

x.2

e) 1

y.2

8


Questão 06

Ao simplificar a expressão 3 2

2

x 4x 4x 16y ,

x 6x 8

em que

x 2 e x 4, obtém-se:

a) x. b) x – 2. c) x + 2. d) x + 4. Questão 07

A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x

2 + 2x – 4) equivale a:

a) 3x2 – 2x + 1.

b) x2 – 6x + 1.

c) (2x + 1)2.

d) (x – 3)2.

e) (x – 2)2 – (x + 1)

2.

Questão 08

Leia com atenção a demonstração a seguir: Vamos provar por a + b que 1 + 1 = 1

Passo 0: Sejam a e b números reais não nulos tais que a = b. Passo 1: Se a = b, podemos multiplicar os dois membros desta igualdade por a e obter: a

2 = ab

Passo 2: A seguir, subtraímos b2 dos dois membros da

igualdade: a2 – b

2 = ab – b

2

Passo 3: Fatorando as expressões, temos: (a + b)(a – b) = b (a – b)

Passo 4: Agora, dividimos ambos os membros por (a – b) e obtemos: a + b = b

Passo 5: Como no início, supomos que a = b, podemos substituir a por b. Assim: b + b = b Passo 6: Colocando b em evidência, obtemos: b (1 + 1) = b Passo 7: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos que: 1 + 1 = 1

É evidente que a demonstração acima está incorreta. Há uma operação errada: a) No passo 2. b) No passo 3. c) No passo 4. d) No passo 6. Questão 09

Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se:

a) 3(7x + 5)2.

b) 3y(5x + 7)2.

c) 3(5x – 7)(5x + 7). d) 3y(7x – 5)(7x + 5).

9


Questão 10

Considerando-se x 1 e y 0, ao simplificar a expressão

1,

1 ( 1)

x x y

x y x

obtém-se:

a) 1.

y

y

b) .1

y

y

c) 1.

x

x

d) .1

x

x

e) 2

.1

x

x

Questão 11

Simplificando a expressão 4 3 3 4

2 2

a a b ab b

a b

, com a b ,

obtém-se

a) a b

a b

b) 2 2a ab b

c) a b

d) 3

a b

Questão 12

Se x y 2 e 2 2x y 3 , então

3 3x y vale

a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. Questão 13

Simplificando a expressão numérica

2 2

123 456 123 455 encontra-se:

a) 0. b) 1. c) 12.345. d) 246.911. Questão 14

Sabendo que 2 2

y 2010 2000 2000 1990 , o valor

de 7

y

10 é igual a:

a) 8 b) 16 c) 20 d) 32

10


Questão 15

A expressão algébrica: 2x x 1 x

.x 1 x 1 2

equivale a: a) 2x b) x c) – 2x d) – x

e) 2

2

x

x 1

Questão 16

Se

21

x 3x

, então 2

2

1x

x , é igual a:

a) 0 b) 1 c) 5 d) 6 Questão 17

Sendo o número n = 6842 - 683

2, a soma dos algarismos de

n é: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 Questão 18

Se x + (1/x) = 3, o valor de x3 + (1/x

3) é:

a) 27 b) 18 c) 9 d) 6 e) 12 Questão 19

Sabendo-se que p + q = 4 e pq = 5, então o valor de

E = p3 + q

3 + p

2q + pq

2 é:

a) 24 b) 26 c) 30 d) 34 e) 36 Questão 20

P(x) = x2 - 50x + A, onde A ∈ IR. Para que o polinômio P(x)

torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é: a) 25 b) 125 c) 225 d) 625 e) 1025

11


RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA

Questão 01:

Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, podemos escrever:

2 268 32 (68 32) (68 32) 100 36 100 36 10 6 60

Resposta: Alternativa D

Questão 02:

Resolução: Tem-se que: 2 2 2 2 2x y x y x y (x y) 2xy x y (x y) x y ( 16) x y

2 2 4 2y x xy y x xy y x xy y x 64 y x

x y 2.y x

Resposta: Alternativa E Questão 03:

Resolução: Do enunciado, temos: 2

2 2 2

2 2

22 2

2 2

3 3 9 9x 9 x 9 x 6 81 x 75 (I)

x x x x

3 3 9 9x x x 6 x 6 (II)

x x x x

Assim, comparando ( I ) e ( II ), temos: 6 75 69

Logo 6 9 15 .

Resposta: Alternativa E

Questão 04:

Resolução: Desenvolvendo cada produto notável, temos:

2 2 2 2 2 2a b a b a 2ab b a 2ab b 4ab.


Questão 05:

Resolução: Desenvolvendo a expressão:

2

x 2y 4 x

4y 2 y

(considerando que

xy

2 ), temos:

2 2 22 2 2x x 4 2x 4 4x 4 2 2x 2x 2 4x 4 4x 4 4x 4 4x 4x

x 2x x 2x 2 x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2

4 22 2

2x.(2x 2)2x

2x 2

Outra maneira seria:

2 2 2 2x x 4 2x 4 2x 2 2x 2 2x 2x 2

x 2 2 2x 2 2 2xx x 2x 2 x 2x 2 2x 2

4 22 2

Resposta: Alternativa A Questão 06:

Resolução: Fatorando a expressão, temos: 3 2 2 2

2

x 4x 4x 16 x (x 4) 4.(x 4) (x 4) (x 4) (x 2) (x 2)y (x 2).

(x 2) (x 4) (x 2) (x 4) (x 2)x 6x 8

12


Logo y x 2 .

Resposta: Alternativa C Questão 07:

Resolução: Simplificando a expressão:

22 2 2 2 22x 4x 5 x 2x 4 2x 4x 5 x 2x 4 x 6x 9 x 3

Resposta: Alternativa D Questão 08:

Resolução: A operação errada foi no passo quatro, dividindo por a – b (1 – 1 = 0) estamos dividindo 2(a + b) e 1(b) por zero, o que não é possível. Resposta: Alternativa C

Questão 09:

Resolução: Fatorando a expressão, temos:

22 2210xy 75x y 147y 3y 25x 70x 49 3y 5x 7 .

Resposta: Alternativa B

Questão 10:

Resolução: Podemos escrever da seguinte forma:

x x y 1 yx x y 1 x(y 1) (y 1) (y 1).(x 1) (y 1)

x 1 y(x 1) y(x 1) y.(x 1) y.(x 1) y

.


Resolução: Simplificando, temos:

3 3 2 23 34 3 3 42 2

2 2

a b a b a b a ab ba a b b a ba a b ab b a ab b

a b a b a b a b a ba b


Questão 12:

Resolução: Temos que 2 2 2

2 2 2x y x y

x y x 2xy y xy2

.

Portanto:

2 2 2

23 3 2 2 3 3 2 2 3 3

3 3

x y x y 2 3x y x y x y xy x y x y x y x y 2 3

2 2

x y 5.

Resposta: Alternativa B Questão 13:

Resolução: Usando o produto da soma pela diferença:

2 2

123 456 123 455 123 456 123 455 123 456 123 455 246 911 .1 246 911

Resposta: Alternativa D Questão 14:


2 2 7y 2000 2010 1990 y 2000 2010 1990 2010 1990 y 2000 4000 20 y 16 10

13


Logo, 7

7 7

y 16.1016

10 10 .


Questão 15:


2 2 2 2 2

2 2

22

2 2

x x 1 x x 1x x 1 x 1 x x x x x 1 x. . .

x 1 x 1 2 2 2x 1 x 1

2x. 1 x2x 1 x . x

2x 1 1 1 x .2


Questão 16:

Resolução: Desenvolvendo o produto notável, temos: 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1x 3 x 2.x. 3 x 2 3 x 5

x x x x x

Resposta: Alternativa C Questão 17:

Resolução: Usando a diferença entre quadrados, temos:

2 2n 684 683 n 684 683 684 683 n 1367 1 n 1367

Logo, a soma dos algarismos é 1 + 3 + 6 + 7 = 17. Resposta: Alternativa D Questão 18:

Resolução: Elevando ao cubo, temos: 3 2 3 2 3

3 3 2 3

2 3

3 3

3 3

1 1 1 1 1 1x 3 x 3 x 3 x 27 x 3x 3x 27

x x x x x x

3 1 1 1 x 3x 27 x 3 x 27.

x xx x

Substituindo o valor dado na questão:

3 3 3 3

3 3 3 3

1 1 1 1x 3 3 27 x 9 27 x 27 9 x 18

x x x x .


Questão 19:

Resolução: Elevando a soma ao cubo, temos:

3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2

E

3 3 2 2 2 2

p q 4 p 3p q 3pq q 64 p p q pq q 2p q 2pq 64

Note que p q p q pq E, então : E 2p q 2pq 64 E 2pq(p q) 64

Substituindo os valores, temos :

E 2 5 4 64 E 40 64 E 24.


Resolução: Para um polinômio ser da forma de um trinômio quadrado perfeito, ele deve tomar a forma:

P(x) = (x + y)2.

14


Desenvolvendo, temos: 2 2P(x) x 2xy y .

Assim, comparando com os dados da questão, temos: 2 2

2

2 2

P(x) x 2xy y

P(x) x 50x A

502xy 50x 2y 50 y y 25.

2

E y A A 25 A 625.


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