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Aluna: Carla Soares Restier Lima Carvalho

Polo: Volta Redonda

Tarefa da semana I:

Descreva um método para aproximar, por racionais, a raiz quadrada de 5. Você pode

se inspirar no exemplo acima.

Conforme exemplo da apostila, segue desenvolvimento:

Utilizando a identidade válida para qualquer número real x e a:

x² - a² = (x –a).(x+a).

Se x estiver próximo de a, x+a estará próximo de 2a, e então x² - a² estará próximo

de (x - a)2a.

Consideremos a equação x² -a² = (x - a)2a. Se x² = 5, temos 5 – a² = (x -a).2a

푥 − 푎 = 5 − 푎²

2푎 → 푥 − 푎 = 5

2푎 − 푎2 → 푥 = 푎 −

푎2 +

52푎 ∴ 푥 =

푎2 +

52푎

Sabe-se que √5 tem como resultado um número compreendido entre 2 e 3, pois está

entre os quadrados perfeitos 4 e 9.

Começamos então por 푎 = 2

푥 = 22 +

52.2 = 1 +

54 ∴ 푥 =

94 = 2,25

P

Isto significa que 2,25 é um número racional mais próximo de √5 do que o número 2

Aproximando ainda mais, façamos 푎 =

푥 = 942 +

5

2. 94

→ 푥 = 98 +

2018 → 푥 =

162 + 160144 ∴ 푥 =

322144 = 2,2361111

Percebemos que 2,23611111 está mais próximo de √5 do que o número 2,25.

Façamos 푎 =

푥 = 322144

2 +5

2. 322144

→ 푥 =322288 +

720644 → 푥 =

207368 + 207360185472 =

∴ 푥 = 414728185472 = 2,236067978

Assim 2,236067978 está mais próximo da √5 do que 2,23611111.

Desta forma, podemos aproximar o quanto se queira √5 por números racionais, o

próximo passo seria utilizar 푎 = , e assim sucessivamente

P

Outra maneira que já sabia....

Sabemos que 5 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9 então, sua raiz quadrada estará

compreendida entre os números 2 e 3.

Aí vêm as tentativas:

(2)², (2,1)², (2,2)² ..... e assim teremos:

2² = 4

(2,2)² = 4,84 (pouco ainda)

(2,3)² = 5,29 ( passou de 5)

Começamos a experimentar novamente:

(2,21)²= 4,8841

(2,22)²= 4,9284

(2,23)² = 4,9729

(2,24)² = 5,0176 (passou de 5)

E assim:

(2,231)²= 4,977361 ( vamos tentar aproximar um pouco mais)

(2,232)² = 4,981824

(2,233)² = 4,986289

(2,234)² = 4,990756

(2,235)² = 4,995225

(2,236)² = 4,999696

P

(2,237)² = 5,004169 ( passou de 5, esta é a resposta correta)

Para verificar se existe um número mais aproximado (com certeza sempre irá

existir), devemos fazer:

(2,23601)² = 4,99974072

(2,23602)² = 4,99978544

...

(2,23606)² = 49999,64324

(2,236061)² = 4,9999687796

....

(2,236067)² = 4,999995628

E assim sucessivamente para obter a aproximação de quantas casas decimais

desejar.

Logo, a resposta para aproximação de √ퟓ (poderá ser) será 2,236067.