1

2

Sumário

TRIGONOMETRIA ............................................................................................................3

GEOMETRIA ESPACIAL ..................................................................................................8

Geometria Plana – Fórmulas Básicas ...........................................................................8

Prismas ........................................................................................................................ 11

Cilindro ......................................................................................................................... 18

Pirâmide ....................................................................................................................... 21

Cone ............................................................................................................................. 24

Esferas ......................................................................................................................... 27

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 32

3

TRIGONOMETRIA

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Onde:

a hipotenusa

bcatetos

c

É no triângulo retângulo que vale a máxima Pitagórica: “O quadrado da

hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.

2 2 2a b c

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações trigonométricas básicas são aquelas que associam as medidas

dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As principais são: seno,

cosseno e tangente. O ângulo, medido em graus, é indicado pela letra x.

Função Notação Fórmula

seno sen x

Cateto Oposto

sen xHipotenusa

4

cosseno cos x

cosCateto Adjacente

xHipotenusa

tangente tan x

Oposto

tan

Catetox

Cateto Adjacente

Relação Fundamental

2 2cos 1sen x x

Círculo Trigonométrico

5

Valor numérico de Sen, Cos, Tan, Cotg, Sec e Cossec

0 30 6

ou

45 4

ou

60 3

ou

90 2

ou

sen 0 1

2

2

2

3

2 1

cos 1 3

2

2

2

1

2 0

tan 0 3

3 1 3

cotg 3 1 3

3 0

sec 1 2 3

3

3

3 2

cossec 2 3

3

2 3

3 1

Sinal das funções trigonométricas

1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ Quadrantes (+)

sen + + – – cossec 2

cos + – – + sec 4

tan + – + – cotg 3

6

Identidades Trigonométricas

2 2cos 1sen x x

tancos

sen xx

x

cost

xco g x

sen x

1sec

cosx

x

1cossec

sx

en x

2 2sec 1 tanx x

2 2sec 1 tco x co g x

Seno e Cosseno da soma e da diferença de arcos

Soma Diferença

cos cossen x y sen x y sen y x cos cossen x y sen x y sen y x

cos cos cosx y x y sen x sen y cos cos cosx y x y sen x sen y

Testes

1. Um papagaio (ou pandorga) é preso a um fio esticado que forma um ângulo

de 45° com o solo. O comprimento do fio é de 100m. Determine a altura do

papagaio em relação ao solo.

A) 10 2

B) 20 2

C) 30 2

D) 40 2

E) 50 2

7

2. Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede

vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada

ao chão é de:

A) 0,5 m

B) 1 m

C) 1,5 m

D) 1,7 m

E) 2 m

3.Se 4 cos15º cos75ºy , então y² vale:

A) 1

B) 1/4

C) 1/2

D) 3/4

E) 2

4. Complete as lacunas abaixo:

i. cosseno é positivo no _____ e _____ quadrantes.

ii. seno é negativo no _____ e _____ quadrantes.

iii. tangente é negativa no _____ e _____ quadrantes.

iv. secante é positiva no _____ e _____ quadrantes.

Gabarito

1.E 2.A 3.B

8

GEOMETRIA ESPACIAL

Geometria Plana – Fórmulas Básicas

Triângulo Triângulo Retângulo Triângulo

Equilátero

Retângulo

Fig

ura

Áre

a

2

b hA

2

b hA

2 3

4

aA A b h

Pe

rím

etr

o

P a b c P a b c 3P a 2P a b

9

Quadrado

Hexágono

Regular Círculo

Fig

ura

Áre

a

2A a 26 3

4

aA 2A r

Pe

rím

etr

o

4P a 6P a 2C r

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo vale a relação: 2V F A

V vertice

onde A Aresta

F Face

Face: é qualquer figura plana que delimita o poliedro. Formada por, no

mínimo, 3 arestas.

Aresta: é qualquer linha (lado) que determina a face.

Vértice: é o ponto de encontro de, pelo menos, 3 arestas.

10

Testes

1.Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em

6 unidades. Calcule o número de faces.

2.O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número

de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?

3.Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de

Hexaedro?

Gabarito

1.8

2.10

3.F = 6, A = 12, V = 8

11

Prismas

São poliedros convexos que possuem 2 faces iguais, em planos paralelos,

denominadas BASES e cujas faces laterais são paralelogramos (para prismas

oblíquos) e retângulos (para prismas retos).

Exemplos

Prisma Oblíquo Prisma Reto

Prisma Triangular Regular

Área da Base

2 3

4b

aA

Área Lateral

3lA a H

Área Total

2 33

2t

aA aH

Volume

2 3

4

aV H

12

Prisma Quadrangular Regular

Área da Base

2

bA a

Área Lateral

4lA a H

Área Total

24 2tA aH a

Volume

2V a H

Prisma Hexagonal Regular

Área da Base

2 23 36 3

4 2b b

a aA A

Área Lateral

6lA a H

Área Total

26 3 3tA aH a

Volume

2 33

2

aV H

13

O CUBO – Hexaedro Regular

Área da Base

2

bA a

Área Lateral

24lA a

Área Total

26tA a

Volume

3V a

Diagonal de Face

2fd a

Diagonal do Cubo

3fd a

14

Testes

1. Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal "O Estado de São Paulo", em

6/9/95, que a Secretaria da Agricultura e Abastecimento determinou que os

produtores de tomates enviem a mercadoria ao CEAGESP usando caixas,

padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são: 495mm de

comprimento, 355mm de altura e 220mm de largura. Cada medida tem uma

tolerância, para mais ou menos, de 3mm. A diferença entre o volume máximo e

o volume mínimo de cada caixa (em mm³):

A) 1.097.832

B) 1.078.572

C) 2.176.404

D) 2.160.000

E) 2.700.000

2. Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com

dimensões de 15cm de comprimento, 7,5cm de largura a 4cm de altura.

Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do ferro é 7,8g/cm³?

A) 35,1

B) 234

C) 351

D) 2340

E) 3510

15

3. Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma sala tem 8 mm de

largura, 10 mm de comprimento e 8 mm de altura. A capacidade, em litros,

dessa sala é:

A) 640

B) 6400

C) 800

D) 8000

E) 80000

4. A aresta de um tetraedro regular mede 2 cm. A medida do volume desse

poliedro, em cm³, é:

A) 2 2

3

B) 4 3

3

C) 8 2

D) 8 3

E) 16

16

5. Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância

máxima entre dois vértices deste paralelepípedo é:

A) 7 cm.

B) 8 cm.

C) 9 cm.

D) 10 cm.

E) 11 cm.

6. Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem

3m e 4m. Se a altura deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base,

então seu volume, em m³, é igual a:

A) 60

B) 30

C) 24

D) 12

7. Uma caixa-d'água, com a forma de um paralelepípedo retângulo, tem

capacidade para 1.000 litros. Qual é a capacidade de outra caixa, semelhante à

primeira, cujas medidas das arestas são 20% maiores?

A) 1.728 litros

B) 1.800 litros

C) 1.836 litros

D) 1.900 litros

E) 1.948 litros

17

8.A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de

comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas

e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água

restante no reservatório atingiu a altura de:

A) 2m

B) 3m

C) 7m

D) 8m

E) 9m

9. Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o

volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:

A) 125

B) 100

C) 75

D) 60

E) 25

10. Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de

dimensões 15m e 10m. A quantidade necessária de litros de água para que o

nível de água da piscina suba 10 cm é:

A) 0,15 L

B) 1,5 L

C) 150 L

D) 1.500 L

E) 15.000

18

Gabarito

1. B

2. E

3. E

4. A

5. A

6. A

7. A

8. C

9. A

10.E

Cilindro

Entre todas as definições possíveis para o cilindro, a melhor diz que é um

prisma de base circular, assim sendo, temos...

Diâmetro

2D r

Área da Base

2

bA r

Área Lateral

2lA r H

Área Total

22 2lA r H r

Volume

2V r H

Cilindro Equilátero

2H r

19

Testes

1.Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e

18,5cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900ml, o volume

de ar contido na lata "cheia" e "fechada" é: (Adote = 3,14)

A) 29,44 ml

B) 10,0 ml

C) 15,60 ml

D) 21,72 ml

E) 35,50 ml

2.Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a

3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual

a 20m². Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

3.Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio

da base 3m. O nível da água nele contida está a 2

3 da altura do tanque. Se =

3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:

A) 113040

B) 169040

C) 56520

D) 37680

E) 56520

20

4.Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente

cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com

diâmetro 2 vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido

nesse segundo recipiente?

A) 1,5 cm

B) 2 cm

C) 2,5 cm

D) 4,5 cm

E) 5 cm

Gabarito

1. A

2. B

3. A

4. C

21

Pirâmide

São poliedros convexos cujas faces laterais são triangulares.

Exemplos

Pirâmide Reta Pirâmide Oblíqua

Pirâmide Triangular Regular

Área da Base

2 3

4b

aA

Área Lateral

3

2l

a APA

Área Total

23 3

2 2t

a AP aA

Volume

2 3

4 3

a HV

22

Onde AP é o apótema da Pirâmide

Pirâmide Quadrangular Regular

Área da Base

2

bA a

Área Lateral

2lA a AP

Área Total

22tA a AP a

Volume

2

3

a HV

Pirâmide Hexagonal Regular

Área da Base

2 23 36 3

4 2b b

a aA A

Área Lateral

3lA a AP

Área Total

23 33

2t

aA a AP

Volume

2 3

2

aV H

23

O TETRAEDRO REGULAR

Área da Base

2 3

4b

aA

Área Lateral

2 33

4l

aA

Área Total

2 3tA a

Volume

3 2

12

aV

Testes

1. São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um

dos planos um triângulo ABC de área 30cm² e no outro plano um ponto

qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:

A) 10cm³

B) 20cm³

C) 30cm³

D) 40cm³

E) 50cm³

24

2. Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única

alternativa correta é:

A) a intersecção pode ser um quadrilátero

B) a interseção é sempre um triângulo

C) a interseção é sempre um triângulo equilátero

D) a intersecção nunca é um triângulo equilátero

E) a intersecção nunca é um quadrilátero

Gabarito

1.E

2.A

Cone

De forma semelhante ao cilindro, podemos dizer que o cone é uma

pirâmide de base circular.

Diâmetro

2D r

Área da Base

2

bA r

Área Lateral

lA r g

Área Total

2

lA r g r

Volume

2

3

r HV

Cone Equilátero

2g r

25

Testes

26

1.A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da

base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8cm, então o volume

do cone, em centímetros cúbicos, é

A)64

B)48

C)32

D)16

E)8

2.Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm.

Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a

base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

A) 10 3 cm

B) 3 10 cm

C) 20 2 cm

D) 20 cm

E) 10cm

3.Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm.

Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?

A) 20

27

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

Gabarito

1.A

2.A

3.E

Esferas

Diâmetro

2D r

Superfície Esférica

24Sup r

Volume

34

3V r

28

Testes

1.Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é

igual a:

A)

3

3

r

B) 32

3

r

C) 3r

D) 32r

E) 32 r

2.Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a

uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma

circunferência. O raio desta circunferência, em cm é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

29

3.A razão entre a área lateral do cilindro equilátero e da superfície esférica,

da esfera nele inscrita, é:

A) 1

B) 1

2

C) 1

3

D) 1

4

E) 2

3

4.Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro

circular reto de altura h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 3

E) 13

5. Qual o diâmetro, em cm, de uma esfera cujo do raio vale 8cm?

A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

E) 20

30

6.Numa esfera de diâmetro 20 cm, a metade do raio vale?

A) 5 cm

B) 10 cm

C) 15 cm

D) 20 cm

7.A superfície de uma esfera vale 16 m². O diâmetro dessa esfera, em m,

vale?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

8.Numa esfera de raio igual 4 cm, o volume, em cm³, vale?

9. Uma esfera que possui raio de 05 cm possui uma superfície esférica

igual a?

10.Qual o volume de uma esfera cujo diâmetro vale 6cm?

31

Gabarito:

1. E

2. E

3. A

4. C

5. D

6. A

7. B

8. V = 3

3

256cm

9. S = 100 π cm2

10. V = 36 π cm3

Sugestão de sites para consulta:

1.www.alunosonline.com.br

2.www.somatematica.com.br

3.www.matematicadidatica.com.br

32

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de olho no

mundo do trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, 2004.

MACHADO, A. DOS S. Matemática Machado. Volume único. São Paulo.

Editora Atual, 2009.

DEGENSZAJN, D; DOLCE, O; IEZZI, O. & PÉRIGO, R. Matemática – Volume

único. São Paulo: Editora Atual, 5ªed., 2011.