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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

295

Trigonometria em triângulos retângulos

Teorema de Pitágoras Antes de trabalharmos com o Teorema de Pitágoras, precisamos estudar

os triângulos retângulos.

Triângulo retângulo

Os triângulos são figuras geométricas fundamentais, pois são os polígo-nos que possuem a menor quantidade possível de lados. Consequentemen-te, podemos pensar que são os triângulos que constituem os demais polígo-nos. Assim, estudar triângulos nos fornece uma considerável vantagem em Geometria, já que o triângulo é elemento formador desses polígonos.

Iniciaremos nosso estudo com os triângulos retângulos.

Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.

A seguir temos um triângulo retângulo onde A e C , B representam as medidas dos três ângulos internos do triângulo, sendo o ângulo reto locali-zado no vértice A.

A

c

a

b

B C

O lado BC , oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa e os lados AB e AC são chamados de catetos do triângulo retângulo. Uma relação ma-temática importante afirma que:


296


Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma das medi-das dos outros dois ângulos agudos de vértices B e C é sempre 90°:

B + C = 90°

Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.

Um dos teoremas mais importantes da Geometria é o Teorema de Pitá-goras. De significado simples, esse teorema estabelece uma relação sempre válida entre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um mesmo triângulo retângulo. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenu-sa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

ab

cNa figura, se a representa a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos

catetos, então:

a2 = b2 + c2

Vamos mostrar algumas aplicações geométricas do triângulo retângulo, iniciando com o cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.

Dado um triângulo equilátero ABC, ou seja, um triângulo cujas medidas dos lados são todas iguais, podemos traçar a altura de medida h relativa ao lado AB obtendo, assim, o triângulo HBC:

A

h

HB

C

l l

ll

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297

Observe que o ponto H é ponto médio do lado de medida AB .

Assim, sendo l a medida de cada lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo HBC, temos:

l

l

l

l

l

l

l

2 22

2 22

22

2

2

4

34

34

32

= +æèç

öø÷

= -

=

=

=

h

h

h

h

h

Logo, a altura h de um triângulo equilátero, em função do lado l, é dada

por h =l 3

2.

Vamos mostrar agora uma aplicação do Teorema de Pitágoras em um quadrado que, como sabemos, é um quadrilátero que possui quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos retos. No caso de um quadrado ABCD, podemos traçar a diagonal de medida AC e representá-la por d:

A B

CD

l

l

d


298


Sendo l a medida do lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

d

d

d

d

2 2 2

2 2

2

2

2

2

= +

=

=

=

l l

l

l

l

A conclusão é a de que a medida da diagonal d de um quadrado de lado l, é dada por d = l 2 .

Razões trigonométricas num triângulo retângulo

Estudaremos agora algumas relações matemáticas extremamente úteis, chamadas de relações trigonométricas e que estão relacionadas com as me-didas dos ângulos e dos lados de um triângulo retângulo.

Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigono-métricas para os dois ângulos agudos (menores que 90°) α e β do triângulo.

b

c

a

α

β

Razão Seno: o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângu-lo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e da hipotenusa.

5

12

13

α

β



299

hipotenusa cateto oposto a α

αsen α=cateto oposto a α

hipotenusa

Exemplo:

sen

sen

a

b

=

=

513

1213

Razão cosseno: o cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retân-gulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e da hipotenusa.

hipotenusa

cateto adjacente a α

αcos α=cateto adjacente a α

hipotenusa

Exemplo:

5

12

13

α

β

cos

cos

a

b

=

=

1213

513


300


Razão tangente: a tangente de um ângulo agudo em um triângulo re-tângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo.

hipotenusa


αtg α=cateto oposto a α


cateto oposto a α

Exemplo:

5

12

13

α

β

tg

tg

a

b

=

=

512

125

Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°

Nas relações geométricas, os ângulos 30°, 45° e 60° se destacam em rela-ção aos demais, pois são muito utilizados nas construções de figuras planas importantes. Por essa razão, são denominados de ângulos notáveis.

Para encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°, vamos considerar um triângulo equilátero ABC cujo lado tem medida l e cuja altura

tem medida h =l 3

2.



301

A

30⁰ 30⁰

HB

C

ll

2l

2l

60⁰ 60⁰

h =l 3

2

No triângulo BCH anterior, vamos utilizar as razões trigonométricas dos ângulos de 30° e 60°:

12sen 30° = 2

3h 32cos 30° =

2

32 2tg 30° = h 33

2

=

= =

= =

l

l

l

l l

l l

l

332sen 60° =

2

12cos 60° = 2

3h 2tg 60° = 3

2 2

=

=

= =

l

l

l

l

l

l l


302


Para o cálculo das razões seno, cosseno e tangente de 45°, vamos utilizar um quadrado ABCD cujo lado tem medida l e cuja diagonal tem medida l 2 .

A B

CD

l

l

d

45⁰

Observe o triângulo retângulo ABC que compõe o quadrado anterior. Uti-lizando as razões trigonométricas, temos:

sen 45 =

cos 45 =

tg 45 =

° = =

° = =

° =

l

l

l

l

l

l

212

22

212

22

1

Os valores que obtivemos permitem a construção de uma tabela das razões trigonométricas de ângulos notáveis:

30° 45° 60°

sen12

22

32

cos3

22

2

12

tg3

31 3



303

Observação: as razões trigonométricas mais empregadas nos problemas de Física ou Matemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°.

Relações entre seno, cosseno e tangente

Considere o triângulo retângulo de medidas a, b e c e ângulos agudos α e β.

c

b

a

α

β

Nesse triângulo, o cateto de medida c é oposto em relação ao ângulo α e adjacente em relação a β. Da mesma forma, o cateto de medida b é oposto em relação ao ângulo β e adjacente em relação a α.

Consequentemente:

senca

e senba

a b b a= = = =cos cos

Essas igualdades serão verdadeiras sempre que os ângulos α e β forem complementares, ou seja:

α + β = 90°.

De uma forma geral, se α e β são ângulos complementares, então:

sen α = cos (90° – α) e cos α = sen (90°–α)

Exemplo:

sen 30° = cos 60° = 12

sen 60° = cos 30° = 3

2

As igualdades são válidas porque 30° + 60° = 90°, ou seja, os ângulos 30° e 60° são complementares.


304


Relação fundamental da trigonometria Considerando novamente o triângulo retângulo anterior, vamos utilizar o

Teorema de Pitágoras para obter outra relação importante:

a2 = b2 + c2

Dividindo a2 = b2 + c2 por a2, com a ≠ 0, temos:

aa

ba

ca

2

2

2

2

2

2= +

Mas, considerando que senca

e senba

a b b a= = = =cos cos , então a igualdade corresponde a:

12 2

=( ) +( )cos a asen

ou sen2 α + cos2 α = 1

Esse fato pode ser generalizado para qualquer ângulo α: a soma dos qua-drados do seno e do cosseno de um mesmo ângulo é sempre igual a 1.

sen2 α + cos2 α = 1

Devido à sua importância, essa última relação é chamada de relação fun-damental da trigonometria.

Existe também uma importante relação entre as medidas do seno, do cosseno e da tangente de um mesmo ângulo agudo. Para compreendê-la, considere um triângulo retângulo de medidas a, b e c, e ângulo agudo α:

c

b

a

α

O que ocorre quando dividimos o seno pelo cosseno de um mesmo ângulo agudo?



305

Observe:

sencos

caba

ca

ab

cb

tgaa

a= = ´ = =

Logo, a tangente de um ângulo agudo α é o quociente entre o seno e o cosseno desse ângulo α:

tgsencos

aaa

=

Essa relação permite obter o valor da tangente de um ângulo agudo a partir do seno e do cosseno desse ângulo, sem a necessidade de construir um triângulo e observar as medidas dos lados.

Com esses conteúdos, estamos prontos para resolver algumas questões.

Resolução de questões 1. (Esaf ) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2 : 3 : 4. O ângu-

lo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40°.

b) 70°.

c) 75°.

d) 80°.

e) 90°.

2. (Esaf ) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangen-tes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20cm, então seu perímetro será igual a:


306


a) 40cm.

b) 35cm.

c) 23cm.

d) 42cm.

e) 45cm.

3. (FCC) Sabendo-se que cos x + 3sen x = 1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) –4/3.

b) 4/3.

c) 5/3.

d) –5/3.

e) –3/4.

4. (Fuvest) Se o triângulo ABC é retângulo em A, e se o seno do ângulo B é 0,8, qual o valor da tangente do ângulo C?

a) 0,25.

b) 0,50.

c) 0,75.

d) 1,00.

e) 1,25.

5. (Unicamp) Seja x um número real positivo tal que x, x +1 e x + 2 sejam medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assinale, entre as alternati-vas a seguir, aquela que contém o perímetro desse triângulo.

a) 10.

b) 12.

c) 11.

d) 13.

e) 15.Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,

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307

6. (UFV) Depois de andar 5m numa escada rolante, uma pessoa percebeu que se deslocou 4m em relação à horizontal. Tendo andado 10m na mes-ma escada, de quantos metros terá se deslocado em relação à vertical?

a) 5.

b) 8.

c) 9.

d) 6.

e) 7.

7. (Fuvest) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenu-sa mede 6. A área do triângulo é:

a) 2 2 .

b) 6.

c) 4 2 .

d) 3.

e) 6 .

8. (Cesgranrio) Um cateto de um triângulo retângulo é duas vezes e meia o outro cateto. Se a área do triângulo vale 20, o menor cateto mede:

a) 2.

b) 4.

c) 5.

d) 2 2 .

e) 2 2 .

9. (UEL) Um triângulo retângulo é tal que a hipotenusa mede 6 5 cm e a soma das medidas dos catetos é igual a 18cm. A área desse triângulo, em centímetros quadrados, é:

a) 36.

b) 72.


308


c) 144.

d) 156.

e) 192.

10. (ES) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é ( )12 2 6+ cm. A área deste triângulo, em cm², é:

a) 5.

b) 4.

c) 3.

d) 2 2 .

e) 3 2 .

Dica de estudo Das inúmeras quantidades de lados que um polígono pode ter, o triân-

gulo se destaca por possuir a menor quantidade possível de lados. Esse fato faz do triângulo um polígono especial, por ser o polígono “formador” dos demais, de modo que compreender bem as relações trigonométricas cons-titui-se em um grande trunfo na resolução de problemas geométricos. Além disso, entre os triângulos, destaca-se o triângulo retângulo. O fato de possuir um ângulo reto permite relacioná-lo com mais facilidade a outras figuras ge-ométricas. Nesse sentido, iniciar com o domínio dos conteúdos dessa aula é uma maneira adequada para se embasar na Trigonometria e na Geometria.

Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GARBI, G. Gilberto. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilho-so mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)



309

LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito 1. Se os ângulos agudos encontram-se na razão 2 : 3 : 4, vamos supor que os

ângulos tenham medida 2x, 3x e 4x. Assim, se a soma dos ângulos inter-nos é igual a 180°, temos:

2x + 3x + 4x = 180°

9x = 180°

x = 20°

Assim, o maior dos ângulos mede:

4x = 4 . 20° = 80°

Resposta: D

2. Sendo x a medida dos segmentos que têm extremidades no ponto P e nos pontos de tangência, temos:

20 – x

20 – x x

x

10

P

O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados.

Logo, o perímetro é dado por:

(20 – x) + 1 + 1 + x + x + (20 – x) = 42cm


310


Resposta: D

3. Solução:

cos x + 3sen x = 1

cos x = 1 – 3sen x

Substituindo na relação fundamental da trigonometria, temos:

sen2 x + cos2 x = 1

sen2 x + (1 – 3sen x)2 = 1

sen2 x + 1 – 2. 3 . sen x + 9sen2 x = 1

10sen2 x – 6 . sen x = 0

2 . sen x .(5 . sen x – 3) = 0

sen x = 0 ou sen x = 3/5

Se sen x = 0, então:

cos x = 1 e tg x = 0/1 = 0.

Se sen x = 3/5, então:

cos x = -4/5 e tg x = -3/4.

Resposta: E

4. Se sen (B) = 0,8 = 4/5, então, sem perda de generalidade, pode-se consi-derar que a medida do cateto oposto ao ângulo do vértice B é igual a 4 e a hipotenusa mede 5. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos obter a medida do outro cateto:

a2 = b2 + c2

52 = 42 + c2

25 = 16 + c2

25 – 16 = c2

9 = c2

c = 3



311

Logo, a tangente do ângulo do vértice C, definida como sendo a razão en-tre as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ângulo C, é dada por:

tg C( )= =34

0 75,

Resposta: C

5. Se x, (x +1) e (x + 2) são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, então x e (x + 1) são as medidas dos catetos e (x + 2) é a medida da hipo-tenusa. Assim, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2

x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2

x2 – 2x – 3 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos:

( ) ( ) ( )2

1 2

2 2 4 .1. 3x

2 .1

2 4 12x

2

2 16x

2

2 4x

2

2 4 6 2 4 2x 3 ou x 1 (não convém, pois x > 0).

2 2 2 2

− − ± − − −=

± +=

±=

±=

+ − −= = = = = = −

Assim, se x = 3, as medidas dos lados do triângulo são x = 3, x + 1 = 4 e x + 2 = 5.


312


O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados, ou seja, 3 + 4 + 5 = 12 unidades de comprimento.

Resposta: B

6. Vamos considerar um triângulo retângulo que representa essa situação, de modo que 5m seja a medida da hipotenusa e 4m seja a medida do cateto de mede o deslocamento em relação à horizontal. Utilizando o te-orema de Pitágoras, obtém-se a medida do outro cateto: 3m. Como o des-locamento total pela escada rolante é igual a 10m, mantendo-se a inclina-ção ao longo da subida, é possível um triângulo congruente ao primeiro.

Observe a figura:

α

5

5

α

4

3

3

3

4

4

Logo, o deslocamento total em relação à vertical é igual a 3 + 3 = 6m.

Resposta: D

7. Sendo x a medida do outro cateto, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

6 = 2 + x 36 = 4 + x

36 - 4 = x 32 = x

2 2 2 2

2

® ®

® 22

®

= ® =x x32 4 2



313

A área de um triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto

das medidas dos catetos, ou seja, 4 2 22

4 2.

= .

Resposta: C

8. Se o menor cateto mede x, então o outro cateto deve medir 2,5 x. A me-dida da área do triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos. Logo:

x x

x

. ,

.,

2 52

20

20 22 5

2

=

=

x = 16

x = 4

2

Resposta: B

9. Sejam x e y as medidas dos catetos, respectivamente. Então, x + y = 18. Elevando-se ao quadrado ambos os membros da última equação, temos:

(x + y)2 = 182

x2 + 2xy + y2 = 324

Mas, por Pitágoras, x y2 22

22

6 5 6 5 180+ =( ) = ( ) =. .

Então:

(x2 + y2) + 2xy = 324

180 + 2xy = 324

2xy = 144

xy = 72


314


Como a área de um triângulo retângulo é igual ao semiproduto das medi-das dos catetos x e y, temos:

x . y 72Área 36

2 2= = =

Resposta: A

10. Sendo x a medida de cada cateto e y da hipotenusa, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

y = x + x

y = 2x

2 2 2

2 2

y x

y x

=

=

2

2

2

O perímetro do triângulo é igual a x x y x x x+ + = + = +( )2 2 2 2. .

Logo:

x

x

x

x

.

. .

. .

2 2 12 2 6

2 2 2 6 2 6

2 2 6 2 2

6

+( )= +

+( )= +

+( )= +( )

=

Assim, a medida da área do triângulo é dada por:

6 62

6 62

362

62

3. .

= = = =

Resposta: C


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