TÉCNICO EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

CURSO BÁSICO DE TRIGONOMETRIA

Eng. Diogo Pedriali

Rev. 00 Mogi Guaçu – São Paulo – Brasil

Fevereiro de 2019

© Copyright 2019 – Diogo Pedriali

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA ................................................................... 2

2 LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................ 3

2.1 Nomenclatura dos catetos ......................................................................... 3

2.2 Propriedades do triângulo retângulo .......................................................... 4

2.3 Teorema de Pitágoras ............................................................................... 4

2.4 Tipos de triângulo ...................................................................................... 5

2.5 Funções trigonométricas básicas .............................................................. 6

3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ............................................................................ 7

3.1 Seno .......................................................................................................... 8

3.2 Cosseno .................................................................................................... 8

3.3 Tangente ................................................................................................... 9

3.4 Lei dos Senos .......................................................................................... 10

3.5 Lei dos Cossenos .................................................................................... 11

3.6 Lei das Tangentes ................................................................................... 11

4 RESUMO DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ............................................. 12

5 PERÍMETRO ....................................................................................................... 13

6 ÁREA .................................................................................................................. 14

7 VOLUME ............................................................................................................. 16

8 EXERCÍCIOS ...................................................................................................... 17

8.1 Geometria Plana ...................................................................................... 17

8.2 Área e Volume de um Cubo .................................................................... 18

8.3 Área e Volume de um Cilindro ................................................................. 20

8.4 Resolução de Triângulos Retângulos ...................................................... 21

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 27

TRIGONOMETRIA

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1 INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA

A Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os

comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo. A abordagem da trigonometria

penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a

trigonometria esférica.

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida")

O Triângulo Retângulo é um triângulo onde um dos ângulos existentes entre

seus lados medem 90 graus.

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°,

então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são

denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo

possui dois ângulos complementares.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos tecnológicos,

tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e,

consequentemente, nas ciências naturais.

Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias

impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Figura 1 - Triângulo Retângulo

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2 LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes

são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto.

O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.

Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Hipotenusa (hypoteinusa: hypó "por baixo" + teino "eu estendo")

Cateto (do grego cathetós "perpendicular")

Para padronizar o estudo da Trigonometria, é adotado as seguintes notações:

2.1 Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação

ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado

oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo

C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Figura 2 - Tabela de notação do triângulo retângulo

Figura 3 - Nomenclatura dos catetos

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2.2 Propriedades do triângulo retângulo

Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos

complementares.

Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado

maior) e outros dois lados que são os catetos.

Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num

vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é

perpendicular ao lado oposto ao vértice.

2.3 Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da

Matemática, ele descreve uma das relações existentes nos triângulos retângulos.

“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.

Figura 4 - Determinação de altura de triângulo retângulo

Figura 5 - Fórmula do Teorema de Pitágoras

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2.4 Tipos de triângulo

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus

lados:

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos

internos:

Equilátero Isósceles Escaleno

Retângulo Obtusângulo Acutângulo

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2.5 Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados

do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da

trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Tomando um triângulo retângulo XYZ, com hipotenusa “a” medindo 1 unidade,

então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto “CO” e o cosseno do

mesmo é o seu cateto adjacente “CA”. Portanto a tangente do ângulo analisado será

a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

Figura 6 - Relação de funções trigonométricas básicas

Figura 7 - Fórmulas de Seno, Cosseno e Tangente

TRIGONOMETRIA

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3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

O Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das

proporções entre os lados dos triângulos retângulos.

Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na

origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por

duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas

se cortam (intersecção).

Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo,

chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal

do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no

sentido contrário ao anterior.

Na figura abaixo, é disponibilizado o Círculo Trigonométrico e seus

componentes:

O eixo dos cossenos também é conhecido como abscissa e o eixo dos senos

pode ser chamado também de ordenada.

Figura 8 - Círculo Trigonométrico

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3.1 Seno

Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a

proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da

hipotenusa, calculada pela divisão de um valor pelo outro.

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado

na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

3.2 Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a

proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento

da hipotenusa, calculada pela divisão de um valor pelo outro.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser

visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Figura 9 - Representação de Seno

Figura 10 - Representação de Cosseno

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3.3 Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a

proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do

cateto adjacente a ele, calculada pela divisão de um valor pelo outro.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser

visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o

eixo horizontal do lado direito.

Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente

trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto

em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o

raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado.

Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo

trigonométrico que, por definição, é igual a 1.

Observa-se que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o

raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente

trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

Figura 11 - Representação de Tangente

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3.4 Lei dos Senos

A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:

ou equivalentemente:

Onde R é o raio da circunferência onde o triângulo arbitrário está inscrito.

Figura 12 - Triângulo arbitrário

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3.5 Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma

extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

ou equivalentemente:

O Teorema de Pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o

cosseno de 90° é igual a 0.

3.6 Lei das Tangentes

Com base em um triângulo arbitrário, como representado na figura 12, dá se

relação de fórmulas da lei das tangentes, como exibido abaixo:

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4 RESUMO DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

Seno

Cosseno

Tangente

Pitágoras

Secante

Cotangente

Cosecante

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5 PERÍMETRO

Define-se Perímetro como sendo a medida do contorno de um objeto

bidimensional, ou seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Figura Fórmula Variáveis

Círculo R é o raio

Triângulo a,b e c são os lados do

triângulo

Quadrado a é comprimento de um

dos lados

Retângulo h é a altura e w é a largura do retângulo

Polígono Equilátero

n é o número de lados e a é o comprimento de um

dos lados

Polígono de Ângulos Iguais

n é o número de lados e b é a distância entre o

centro do polígono e um dos vértices do mesmo

Polígono Qualquer

a é comprimento dos lados do polígono

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6 ÁREA

Área é um conceito matemático que pode ser definida como a quantidade de

espaço bidimensional, ou seja, o tamanho de uma superfície.

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro

quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos.

Figura Fórmula Variáveis

Triângulo equilátero

é comprimento de um lado do

triângulo.

Triângulo

é metade do perímetro, , e é o

comprimento de cada um dos lados.

Triângulo e são quaisquer dois lados, e é

o ângulo entre eles.

Triângulo

e são a base e altura (medida

perpendicularmente à base),

respectivamente.

Quadrado é o comprimento de um dos lados

do quadrado.

Retângulo e são o comprimento de cada um

dos lados do retângulo.

Losango e são o comprimento de cada

uma das diagonais do losango.

Paralelogramo é o comprimento da base e é a

altura medida na perpendicular.

Trapezóide

e são os lados paralelos e a

distância (altura) entre os lados

paralelos.

Hexágono regular

é o comprimento de um dos lados

do hexágono.

Octógono regular

é o comprimento de um dos lados

do octógono

Polígono regular

é o comprimento de um dos lados e

o número de lados.

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Polígono regular

é o raio do círculo circunscrevente,

o raio do círculo interior, e é o

número de lados.

Polígono regular

é o apótema (raio do círculo interior

ao polígono) e é o perímetro do

polígono.

Círculo

é o raio e o diâmetro.

Setor circular e são, respectivamente, o raio e

ângulo (em radianos).

Elipse e são o semi eixo maior e semi

eixo menor, respectivamente.

Área total da superfície do

cilindro e são o raio e altura do cilindro.

Superfície lateral do cilindro

e são o raio e altura do cilindro.

Superfície total do cone

e são o raio e a distância do

vértice ao círculo base,

respectivamente.

Superfície total da esfera

e são o raio e o diâmetro,

respectivamente.

Superfície total da

pirâmide

é a área da base, o perímetro

da base e a distância do vértice

aos cantos da base.

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7 VOLUME

O Volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo.

Volume tem sua unidade de medida em unidades cúbicas (por exemplo, cm³,

m³, etc). Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³).

Figura Fórmula Variáveis

Cubo s é o comprimento de um lado

Paralelepípedo largura, comprimento, altura

Cilíndro r = raio de uma face circular, h =

altura

Esfera

r = raio da esfera

Elipsóide

a, b, c = semi-eixos do elipsóide

Pirâmide

A = área da base, h = altura

Cone

r = raio do círculo na base, h =

altura

Prisma A = área da base, h = altura

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8 EXERCÍCIOS

8.1 Geometria Plana

1) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:

a) a = 25 e b = 12

b) a = 14 e b = 10

2) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura

igual a 10. Qual a área deste trapézio?

3) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

4) Temos um triângulo eqüilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a

área deste triângulo?

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8.2 Área e Volume de um Cubo

1) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cubo cuja

aresta mede 2cm.

2) Calcule o volume do cubo em que cada aresta mede 100cm.

3) Uma caixa de água mede 50cm x 50cm de lados e tem 50cm de altura. Qual

o seu volume? Quantas garrafas de guaraná, de 333ml cada uma, podem ser

enchidas com a água desta caixa?

4) Uma piscina tem 50m de comprimento, 25m de largura, 2m de profundidade.

Qual a área de sua superfície? Qual o volume de água que ela contém,

quando totalmente cheia? Quantas mamadeiras, de 250ml, você poderia

encher com toda a água desta piscina?

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5) Os cubos seguintes têm, respectivamente, arestas 1, 2 e 3.

a) Calcule o volume de cada um dos cubos.

b) O que ocorre com o volume do cubo quando dobramos sua aresta? E

quanto a triplicamos?

6) Determine o valor da aresta do cubo cujo seu volume é igual 729m3.

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8.3 Área e Volume de um Cilindro

2) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cilindro

eqüilátero conforme a imagem a seguir:

2) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cilindro reto

conforme a imagem a seguir:

3) Uma peça de madeira tem as dimensões e forma da figura abaixo. Qual é o

volume de madeira empregado para fabricar esta peça?

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8.4 Resolução de Triângulos Retângulos

1) Determine os valores literais indicados nas figuras:

a)

b)

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c)

2) Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.

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3) Determine x nas figuras.

a)

O triângulo ABC é eqüilátero.

b)

O triângulo ABC é eqüilátero.

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c)

4) Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

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5) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo,

forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

6) Na figura indicada calcule AB.

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7) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?

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REFERÊNCIAS

IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar: geometria Plana. São Paulo: Atual, 1993.

LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Solgraf, 1999.

RICH, B. Teoria e problemas de geometria. Porto Alegre: Bookman, 2003.

WIKIPEDIA. Trigonometria. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria>. Acesso em: 24 jul. 2018.

SILVA, Marcos Noé Pedro da. Teorema de Pitágoras: Brasil escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm>. Acesso em: 24 jul. 2018.