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NONLINEAR CONTROL: STABILIZING CONTROL VIA FEEDBACK LINEARIZATION AND HIGH-GAIN OBSERVER

“GERADOR SÍNCRONO CONECTADO A UMA BARRA INFINITA”

Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

ELE222- Sistemas Não Lineares

RESUMO: O presente documento consiste em um

relato das atividades desenvolvidas durante o capítulos 12 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil 3 Ed da disciplina do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual consiste em na aplicação de controle não linear a partir da linearização por realimentação. Esta linearização não é igual a linearização “jacobiana” aproximada do sistema, a diferencia é que esta linearização por realimentação converte exatamente o sistema em lineal. Este capitulo está dividido em várias partes, mas apenas nós vamos estudar a parte “Input-State Linearization” e “State feedback control”. Será feita uma breve introdução dos principais conceitos envolvidos sobre um sistema não linear Linearizable. Em seguida, será feito um desenvolvimento teórico sobre a linearização entrada-estado o qual será aplicado a um motor gerador síncrono conectado a uma barra infinita, e uma vez definido o modelo lineal sera feito um projeto de controle ótimo, linear-quadratic-regulator (LQR), depois será feito um desenvolvimento teórico sobre a implementação do observador de alto ganho no sistema não linear. Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultados para pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis a traves de simulações com Simulink.

PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis de

estado, difeomorfismo, LQR, Matlab.

1 INTRODUÇÃO

Linearização por realimentação é uma das técnicas de controle mais conhecidas para lidar com os sistemas não lineares e é muito eficaz em problemas de controle na vida real. No entanto, existe também uma série de limitações associadas com o abordagem de linearização. A primeira limitações é que ele não pode ser usado para todos os sistemas não lineares (não todos os sistemas são linearizable feedback). A segunda limitação é que todos os estados do sistema devem ser acessíveis. A terceira é que a robustez da técnica não é garantida em presencia de incerteza.

1 Sistema que tem uma entrada e uma saída

A ideia central consiste em transformar algebricamente dinâmicas não lineares em sistemas (totalmente ou parcialmente) lineares, de modo que as técnicas de controle lineares podem ser aplicadas. A maioria das abordagens de linearização por realimentação são com base na linearização entrada-saída ou linearização espaço-estado. Neste relatório nós vamos presentar a segunda técnica que é aplicado no caso quando a dinâmica não linear do sistema não está na forma canônica controlável, com esta técnica nós podemos obter um modelo linear que resulta numa representação exata do modelo não linear original ao longo de um conjunto de condições.

2 BASE TEÓRICA

2.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO

DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistema

não-linear SISO1, representado no modelo state-space da forma:

( ) ( ) (1)

( )

Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) é a

entrada, ( ) é a medição da saída, e e

definidas no domínio .A equação (1) é

linearizable entrada-estado si um difeomorfismo2 ( ) contem o origem e o troco

de variáveis

2 É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta

definido no domínio , sua inversa ( ) está definida

em ( ).

Figura1 - Input-state linearization

2

( ) (2)

A equação (2) transforma o sistema (1) em:

( ) ( ) (3)

( ( ))

Onde:

Controle linearizante

( )

( ) (4)

(A,B) controlável e ( ) não singular em .

A não linearidade do sistema pode ser eliminada pela equação (4), o qual pode estar definida em um

domínio e por tanto a linearização só será linear em aquele domínio.

Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

Nós podemos reescrever (3) expressado nas novas

coordenadas:

( ) ( ) (5)

Mas, quando é possível obter um sistema dado na forma (3) ? A resposta é derivando a equação (2).

( ) ( ) (6)

E igualando a (3), nós concluímos que o

difeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições:

( ) ( ) ( ) ( ) (7)

( ) ( ) (8)

Agora tendo:

( ) [

( )

( )

(

] (9)

A equação (7) é equivalente a:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

A equação (8) é equivalente a:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

A existência de que satisfazem (10) e

(11) é uma condição necessário e suficiente para que (1) seja linearizavel entrada-estado.

3 CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS

Consideremos o sistema input-state linearization (3), e a transformação de variáveis (2). Onde ( ) é um

difeomorfismo.

Nós devemos projetar tal que ( ) seja

Hurwiz. Fazendo substituição de (4) em (3), a equação de

estado linear fica:

(12)

Figura 2 - Controle por realimentação

3

Aplicando a lei de controle:

( )

E fazendo substituição em (12), o sistema em

malha fechada fica:

( ) (13)

Agora para projetar (13), nós devemos utilizar a

formulação do problema LQR (linear-quadratic-regulator).

3.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS ÓTIMO (LQR)

Seja um sistema dinâmico linear definido por:

(14)

O objetivo do projeto é manter o sistema mais perto

possível ao equilíbrio

O básico problema é encontrar um controle de realimentação de estados da forma:

(15)

Tal que minimize o critério:

∫ ( )

(16)

Considerando que:

A matriz é tipicamente semi-definida positiva

é uma matriz definida positiva

é um vetor de estados n-dimensional

é um vetor de estrada m-dimensional

É a medida de precisão de controle

É a medida do esforço de controle

Si o sistema (1) tem apenas uma entrada, a matriz

será uma escalar.

Agora escolhidas , nós podemos encontrar a

solução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual

está definida por:

(17)

Considerando:

( )

E encontrando a matriz da equação (17), nós

podemos obter o ganho do controle ótimo, que está definido por:

(18)

Outra maneira de obter o ganho de controle ótimo é a solução da equação (17) é a partir da função de

Matlab, que está definida por:

( ) (19)

4 OBSERVADOR DE ALTO GANHO Considere o sistema não linear representado por a seguinte estrutura:

( ) ( ) (20)

Agora considerando um observador de estados:

O observador de estados está definido a partir de (20)

por:

( ) ( ) ( ) (21)

Onde:

( )

( )

Onde o ganho do observador é projetado como:

Figura 3 - Observador de estados

4

[

] (22)

Onde:

é um parâmetro pequeno positivo

As constante positivas são escolhidas tal que as raízes do polinômio escolhido tenham parte real negativa:

(23)

O objetivo do projeto do observador, é projetar um ganho tal que o observador seja suficientemente rápido, para recuperar o rendimento conseguido pela realimentação de estados. O problema acontece é quando o valor do parâmetro é muito pequeno, aparece

o que é chamado fenômeno pico o qual pode afetar o controle do sistema.

5 SISTEMA NÃO LINEAR: GERADOR SÍNCRONO CONECTADO A UMA BARRA INFINITA

Representação do sistema em equações de

estados.[1]

( )

( )

[

] [

]

Onde os estados são:

= ângulo de carga na máquina (rad.)

= Desvio da velocidade do rotor com relação a velocidade síncrona.

= Tensão interna de eixo em quadratura

As constantes são definidas:

Então as equações de estados ficam:

(24)

( ) (25)

( ) (26)

5.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA NAS NOVAS VARIÁVEIS DE ESTADO

Reescrevendo na forma (1):

( ) [

( ) ( ) (

)

( ) (

)

]

( ) [ ]

Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaça (10) e (11).

( ) [

] [

]

( ) [

] [

]

( ) [

] [

]

Nos podemos observar que ( ) não depende de e

, por tanto:

( )

Agora:

( )

( ) [

] [

( ) ( ) (

)

( ) (

)

]

( )

Agora:

( )

( ) [

] [

( ) ( ) (

)

( ) (

)

]

( ) ( ) (

)

( ) (

) (

) (

)

Por tanto, o difeomorfismo estada dado por:

5

( ) [

( ) ( ) (

)

]

O sistema nas novas variáveis de estado:

{

( ) ( ) (

)

A representação do sistema nas novas variáveis de estado é:

( ) ( ) (

)

( ) ( )

Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o

termo não lineal da 3 equação anterior:

( )

( )

Onde as funções ( ) e ( ) estão definidas por:

( ) (

) ( )

(

) ( )

( )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) [

] [ ] ( )

( ) ( )

Nós podemos observar que a linearização só é linear no domínio

Agora, o modelo do sistema nas novas coordenadas

é:

{

(29)

5.2 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS ÓTIMO (LQR)

Considerando a representação do sistema nas

novas coordenadas (29). Nós podemos escrever:

Onde:

[

] [ ]

O básico problema do projeto de realimentação de

estados (LQR) é encontrar um controle de realimentação de estados da forma (15), tal que minimize o seguinte criterio:

∫ ( )

(30)

Agora definidas , nós podemos encontrar a

solução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual

está definida por:

(31)

Definindo as matrizes:

[

]

( )

Nós podemos encontrar a solução da equação de Ricatti Reescrevendo (31):

[

]

[

] [

] [

] [

]

[

] [ ] [

]

[ ]

[

] [

]

[

]

E encontrando a matriz , nós podemos obter o ganho do controle ótimo, que está definido por (18):

[

]

[ ]

[

]

(32)

6

Agora considerando (15), nós podemos reescrever (30) da seguinte maneira:

∫ ( ( ) ( ))

∫ ( ⏞

)

(31)

Agora usaremos uma função de lyapunov para

encontrar a solução. Consideremos que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) O índice de desempenho (31) é encontrado da

seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) (32)

5.3 OBSERVADOR DE ALTO GANHO

Para começar, nós devemos definir qualquer

polinômio (23), considerando que suas raízes devem

estar no lado esquerdo do semi-plano.

(33)

Suas raízes está posicionadas em:

Agora, a partir de (22), nós podemos definir o ganho

do observador e o critério minimizado para diferentes valores de .

(34)

[

]

(35)

[

]

(36)

[

]

O estados estimados da máquina, está definido por:

{

( )

( ) ( )

( ) ( )

6 SIMULAÇÕES 6.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE

ESTADOS ÓTIMO

Figura7 - Modelo da máscara no simulink

Figura7 - Subsystem da máscara (realimentação de estados

Figura9 - Modelo da máquina

Figura8 - Subsystem realimentação de estados

7

6.2 OBSERVADOR DE ALTO GANHO

Figura11 - Sinal de controle

Figura13 - Modelo da máscara no simulink

Figura11 - Resposta de cada um dos estados do sistema

Figura14 - observador de estados

Figura15 – Subsystem observador de estados

Figura10 - Controle linearizante + controle ótimo

Figura14 - Modelo interno subsystem observador de alto ganho

Figura12 - sinal de controle ( )

( )

8

Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema ε=0.01

ε=0.01

ε=0.001

Figura17 – Estados estimados

Figura19 - sinal de controle ( )

( )

Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema

Figura18– Erro de estimação

Figura 20 - Resposta de cada um dos estados do sistema

9

ε=0.0001

Figura17 - Sinal de controle ( )

( )

Figura22– Erro de estimação

Figura23 - Sinal de controle e ( )

( )

Figura 24 - Resposta de cada um dos estados do sistema

Figura25 – Estados estimados

Figura21 – Estados estimados

10

Figura27 - Sinal de controle ( )

( )

7 AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO OBSERVADOR

7.1 Sim observador de alto ganho

Condições iniciais:

( ) [

]

Estabilização dos estados:

( ) [

]

Critério de minimização (32) :

7.2 Com observador de alto ganho

Condições iniciais:

( ) [

]

Estabilização dos estados:

( ) [

]

Critério de minimização (32) :

Estabilização dos estados:

( ) [

]

Critério de minimização (32) :

Estabilização dos estados:

( ) [

]

Critério de minimização (32) :

Figura26 – Erro de estimação

11

8 CONCLUSÕES

A combinação de controle global limitada do estado de feedback e de alto ganho observadores permite uma abordagem separação onde o controlador de realimentação de estado é projetado primeiramente para satisfazer os objetivos do projeto, o observador de alto ganho é projetado, rápido o suficiente, para recuperar o desempenho alcançado em realimentação de estado. Esta abordagem separação é usado na maioria dos trabalhos que utilizam alto ganho de observadores.

Foi avaliado o desempenho do observador de alto ganho a traves do valor do critério de minimização, tendo um desempenho do 99.36%.

A linearização por realimentação é aplicado em diversas aplicações como: helicópteros, aeronaves de alto rendimento, robots industriais, dispositivos biomédicos, controle de vehiculos, etc.

9 REFERÊNCIAS

[1] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em

sistemas de potência, tese de Doctorado, Alexandre Sanfelice Bazanella

[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,

1996. [3] Engenheria de controle moderna, Ogata, 3 Ed, Capitulo 13,

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